黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期末考试数学(理)试题 (1)

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）满分：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若复数,215iiz-=则z的共轭复数对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限2．如果命题" ()"p q⌝∨为假命题，则（）A．,p q均为真命题 B．,p q均为假命题C．,p q中至少有一个为真命题 D．,p q中至多有一个真命题3．设1.05.0=a,1.0log4=b，1.04.0=c,则( )A.a c b>> B．acb>> C．cab>> D. c a b>>4．已知向量(,),a x y=r若实数,x y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-35xyxyx,则ar的最大值是( ) A．73 B．52C．43 D.325．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（）A.1B.2C.3D.46．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（）A. 82万盒B. 83万盒C. 84万盒D. 85万盒7．函数()()2sinf x xωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如上图所示，其中,A B两点之间的距离为5， 则=)1(f ( )A ．3B ．3-C ．1D ．1-8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．21B ．1C ．1-D ．29．数列}{},{n n b a 满足111==b a ，*11,2N n b b a a nn nn ∈==-++, 则数列}{n a b 的前10项的和为（ ）A ．)14(349- B ．)14(3110- C ．)14(319- D ．)14(3410-10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C相交于A 、B 两点,则22OA OB +（O 为坐标原点）的最小值为( )A ．4B ．8C ．10D . 1211．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()xf x e >的解是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D . 0ln 2x <<12．若)(x f零点（ ）A ．)(--=x e x f y C ．)(-=xe xf y 二、填空题：（每小题513．正四棱锥O -ABCD O -14．向量,若a r⊥15．若直线2-+by ax 则12a b+16是 . 三、解答题：17.（本小题满分12在ABC ∆，10cos A =25sin sin sin sin a A b B c C B +-=. （1）求B 的值；（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S .xyO ONM18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差;（2）在（1）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ， 且,SA SC SA BD =⊥．（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上的点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 与圆O :25122=+y x 相切， 证明：MON ∠为定值；21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间；（3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图所示，AB 是圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，AC AB =，CO 交圆O 于点P ， CO 的延长线交圆O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E ．（1）求证：AP FAPC AB=； （2）若圆O 的直径1AB =，求tan CPE ∠的值．(23)（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，πα<≤0）， 设(2,1)P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围．（24）（本小题满分10）选修4一5：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈．（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）答案一、选择题：CCAAB DDABC CB二、填空题： 13． π)74(- 14．3 15．223+ 16． 1->a 三、解答题：17.解析：（1）Q sin sin sinC sin 5a Ab Bc a B +-=，∴2225a b c ab +-=．∴222cos 25a b c C ab +-==．又Q A B C 、、是ABC ∆的内角，∴sin A C ==Q ()cos cos cos sin sin 1051052A C A C A C +=-=-=- 又Q ABC 、、是ABC ∆的内角，∴0A C π<+<，∴34A C π+=．∴()4B A C ππ=-+=．（2）Q sin sin c b C B =，∴sin sin bc C B=⨯=∴ABC ∆的面积11sin 106022S bc A ==⨯⨯= 18．解析：（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）13.19.解析：（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥． 又,,BD SA SA AC A BD ⊥⋂=∴⊥Q 平面SAC ． 又,SO SAC BD SO ⊂⊥Q 平面 ,,SA SC AO OC SO AC ==∴⊥Q又,AC BD O SO ⋂=∴⊥Q 平面ABCD ． （2）连接OP ，∵SB P 平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC OP =，SB OP ∴P ． 又∵O 是BD 的中点，∴P 是SD 的中点．由题意知ABD V 为正三角形．1OD ∴=．由（1）知SO ⊥平面ABCD ，∴SO OD ⊥．又2SD =Q ，∴在Rt SOD V 中，SO =P 到面ABCD11122sin120322A PCD P ACD V V --⎛⎫∴==⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭20．解析：（1）229161x y +=；（2）2π=∠MON ;21. 解析：（1）20x y +-=；（2）当1a >-时，单调递增区间为(1,)a ++∞时，单调递减区间为(0,1)a +；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞时，无单调递减区间；（3）211e a e +≥-或2a ≤﹣.22. 解析：（1）见解析；（223. 解析：(1)||AB =分 (2)22||||(14,22]PA PB +∈——————————10分24. 解析：解：（1）当3a =时，()0f x >即|2||23|0x x --->等价于：3210x x ⎧≤⎪⎨⎪->⎩或322350x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩或210x x ≤⎧⎨-+>⎩ 解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（2）()2|2|f x x x a =---所以()0f x <可化为|2|2x a x ->- ① 即22x a x ->-或22x a x -<-①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +< Q (,2)x ∈-∞， ∴a ∈∅或4a ≥ 4a ∴≥。

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）满分：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若复数,215iiz-=则z的共轭复数对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限2．如果命题" ()"p q⌝∨为假命题，则（）A．,p q均为真命题 B．,p q均为假命题C．,p q中至少有一个为真命题 D．,p q中至多有一个真命题3．设1.05.0=a,1.0log4=b，1.04.0=c,则( )A.a c b>> B．acb>> C．cab>> D. c a b>>4．已知向量(,),a x y=r若实数,x y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-35xyxyx,则ar的最大值是( ) A．73 B．52C．43 D.325．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（）A.1B.2C.3D.46．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（）A. 82万盒B. 83万盒C. 84万盒D. 85万盒7．函数()()2sinf x xωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如上图所示，其中,A B两点之间的距离为5， 则=)1(f ( )A ．3B ．3-C ．1D ．1-8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．21B ．1C ．1-D ．29．数列}{},{n n b a 满足111==b a ，*11,2N n b b a a nn nn ∈==-++, 则数列}{n a b 的前10项的和为（ ）A ．)14(349- B ．)14(3110- C ．)14(319- D ．)14(3410-10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C相交于A 、B 两点,则22OA OB +（O 为坐标原点）的最小值为( )A ．4B ．8C ．10D . 1211．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()xf x e >的解是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D . 0ln 2x <<12．若)(x f零点（ ）A ．)(--=x e x f y C ．)(-=xe xf y 二、填空题：（每小题513．正四棱锥O -ABCD O -14．向量,若a r⊥15．若直线2-+by ax 则12a b+16是 . 三、解答题：17.（本小题满分12在ABC ∆，10cos A =25sin sin sin sin a A b B c C B +-=. （1）求B 的值；（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S .xyO ONM18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差;（2）在（1）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ， 且,SA SC SA BD =⊥．（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ∠=︒，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 上的点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 与圆O :25122=+y x 相切， 证明：MON ∠为定值；21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间；（3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图所示，AB 是圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，AC AB =，CO 交圆O 于点P ， CO 的延长线交圆O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E ．（1）求证：AP FAPC AB=； （2）若圆O 的直径1AB =，求tan CPE ∠的值．(23)（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，πα<≤0）， 设(2,1)P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围．（24）（本小题满分10）选修4一5：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈．（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）答案一、选择题：CCAAB DDABC CB二、填空题： 13． π)74(- 14．3 15．223+ 16． 1->a 三、解答题：17.解析：（1）Q sin sin sinC sin 5a Ab Bc a B +-=，∴2225a b c ab +-=．∴222cos 25a b c C ab +-==．又Q A B C 、、是ABC ∆的内角，∴sin A C ==Q ()cos cos cos sin sin 1051052A C A C A C +=-=-=- 又Q ABC 、、是ABC ∆的内角，∴0A C π<+<，∴34A C π+=．∴()4B A C ππ=-+=．（2）Q sin sin c b C B =，∴sin sin bc C B=⨯=∴ABC ∆的面积11sin 106022S bc A ==⨯⨯= 18．解析：（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）13.19.解析：（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥． 又,,BD SA SA AC A BD ⊥⋂=∴⊥Q 平面SAC ． 又,SO SAC BD SO ⊂⊥Q 平面 ,,SA SC AO OC SO AC ==∴⊥Q又,AC BD O SO ⋂=∴⊥Q 平面ABCD ． （2）连接OP ，∵SB P 平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC OP =，SB OP ∴P ． 又∵O 是BD 的中点，∴P 是SD 的中点．由题意知ABD V 为正三角形．1OD ∴=．由（1）知SO ⊥平面ABCD ，∴SO OD ⊥．又2SD =Q ，∴在Rt SOD V 中，SO =P 到面ABCD11122sin120322A PCD P ACD V V --⎛⎫∴==⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭20．解析：（1）229161x y +=；（2）2π=∠MON ;21. 解析：（1）20x y +-=；（2）当1a >-时，单调递增区间为(1,)a ++∞时，单调递减区间为(0,1)a +；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞时，无单调递减区间；（3）211e a e +≥-或2a ≤﹣.22. 解析：（1）见解析；（223. 解析：(1)||AB =分 (2)22||||(14,22]PA PB +∈——————————10分24. 解析：解：（1）当3a =时，()0f x >即|2||23|0x x --->等价于：3210x x ⎧≤⎪⎨⎪->⎩或322350x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩或210x x ≤⎧⎨-+>⎩ 解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（2）()2|2|f x x x a =---所以()0f x <可化为|2|2x a x ->- ① 即22x a x ->-或22x a x -<-①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +< Q (,2)x ∈-∞， ∴a ∈∅或4a ≥ 4a ∴≥。

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三理科数学考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：每小题5分，共12小题 1.集合{}24,031x y x Q x x xP -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=,则=⋂Q P （ ）A. (12]，B. [12]，C. ),1()3,(+∞⋃--∞D. [12)， 2.已知复数531iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B. z 的共轭复数为14i -C ．5z = D. z 在复平面内对应的点在第二象限3.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件（2）()sin cos f x x x =+则()f x 最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变 （4）设随机变量ζ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ζ>=，则1(10)2P p ζ-<<=- A.4 B.3 C.2 D.14. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是2，该几何体的体积为 ( )A ．43 B. 83C.4D. 1635.函数12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-的单调递减区间为（ ） A.5(,)88k k ππππ++k Z ∈ B. 3(,)88k k ππππ++ k Z ∈C. 3(,)88k k ππππ-+ k Z ∈D. 35(,)88k k ππππ++k Z ∈6．执行如图程序框图其输出结果是 （ ） A ．29 B ．31正视图俯视图侧视图C ．33D ．357.变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ）C. 92 D. 58．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( )A.484B. 472C.252D.2329.设不等式组0301x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）B.36π-D. 4π10.若抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点M 为这两条曲线的一个交点，且MF p =，则双曲线的离心率为（ ） A21+11.在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=, 22240BC AC +-=,若将其沿AC 折成直二面角D AC B --,则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为（ ） A ．16π B.8π C. 4π D. 2π12.已知函数()ln f x x x k =-+，在区间1[,]e e上任取三个数,,a b c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．(1)-+∞， B.(,1)-∞- C. (,3)e -∞- D. (3)e -+∞，二、填空题：每小题5分，共20分 13.在*3)()n n N -∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于14. AOB ∆为等腰直角三角形，1OA =,OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则AP OP ⋅的最小值为15.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,),(0,)A a B b C b --分别为其三个顶点. 直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率12e =，则tan BDC ∠= 16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2,c b ==，则ABC ∆的面积最大值为三、解答题：共70分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*∈+=N n S a n n 121. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若n n a b 2log =,11+=n n n b b c ,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示： （Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.附:2K ＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++19.ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的AHIG中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点． （Ⅰ）求证：IH //BC ；（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值；20.已知椭圆14:22=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,. (1)若︒=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=, 求λ的取值范围.21.设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2aF x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点．（Ⅰ）求ADF ∠的度数；（Ⅱ）若AC AB =，求BC AC :．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为:sin()42πρθ+=（其中t 为常数）.（Ⅰ）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （Ⅱ）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++.13.-270 14.81- 15.33- 16.2217.(1)当1n =时,11112a S =+,解得12a = 当2n ≥时,11112n n a S --=+……① 112n n a S =+ ……② ②-①得112n n n a a a --= 即12n n a a -=∴数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列 ∴2n n a =(2)22log log 2n n n b a n===11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++ 11111111 (223341)n T n n =-+-+-++-+=111n -+ n N *∈ 110,12n ⎛⎤∴∈ ⎥+⎝⎦ 1,12n T ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭18. (I) 22110(40302020)60506050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯27.822K ≈ 27.822 6.635K ≈>∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. (II)X的可能取值为0,1,2,3 271)31()0(3===X P 92)31)(32()1(213===C X P 94)32)(31()2(223===C X P 278)32()3(3===X P()2E X =19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ，所以//ED 平面BCH 因为⊄ED面BCH ⋂平 面HI AED =所以HI ED //又因为(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ，)0,1,3(F ，(E )2,0,2(-=，)0,1,1(=，)1,2,0(-=，=设平面AGI 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-001111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平面CHI 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n HI n ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-002221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15155321,cos 21=⋅->=<n n ，所以二面角C GI A --的余弦值为151520.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则142121=+y x .由︒=∠90ADC 得1-=⋅CD AD k k , 1121111-=-⋅+∴x y x y ,()()124112*********-=-+-=-⋅+∴x x x x x y , 解得舍去）(2,3211-==x x A3221=∴y , 2332221=⨯⨯=S . (2)设()22,y x D , 动点P 在圆422=+y x 上, ∴1-=⋅PA PB k k . 又21k k λ=, ∴1212222-⋅=+-x y x y λ, 即()()222212y x x -+-=λ=()()41122222x x x --+- =()()()222244112x x x --+-=21422--⋅x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+21142x .又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x , 则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数,∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞- 从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-21解: （1）依题意，知)(x f 的定义域为（0，+∞），当21==b a 时，x x x x f 2141ln )(2--=，xx x x x x f 2)1)(2(21211)('-+-=--=令)('x f =0，解得1=x ．（∵0>x ），当10<<x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减。

3．已知为纯虚数（是虚数单位）则实数（ ）4．已知，满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若的最小值为，则（ ）5．执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（ ）6．在中,已知30,4,34=∠==B AC AB ,则的面积是（ ） 或7．已知等差数列的前项和为，若，则=（ )8.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( ) 9.将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的一条对称轴是（ ）10. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（ ） 11.函数22()log (0)1x g x x x =>+，关于方程2()()230g x m g x m +++=有三个不同实数解，则实数的取值范围为（ ）((),4427,-∞-++∞12.已知椭圆的左右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若()11221,2,(,),(,)A B x y C x y 是上不同的点，且，则的取值范围是（ ）二、填空题（每题5分共20分）13．若等比数列的首项，且，则数列的公比是_______.14．已知命题，命题2:210(0)q x x m m ++-≤>，若非是非的必要不充分条件，那么实数的取值范围是 .15.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 .16.已知函数,下列结论中正确的为 (将正确的序号都填上) ①既是奇函数,又是周期函数 ②的图像关于直线对称 ③的最大值为 ④在上是增函数 三、解答题17．（本小题满分12分）设函数)32cos(cos 2)(2π--=x x x f .（Ⅰ）当时，求的值域；（5分）（Ⅱ）已知中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值．（7分）18．（本小题满分12分）已知数列中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（4分）（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. （8分）考生注意，19题只选一题A 或B 作答，并用2B 铅笔在答题卡上把对应的题号涂黑19．（本小题满分10分）A:己知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）圆，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．B ．如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,平面平面, ∥,已知（1）设是上的一点,求证:平面平面;（4分）（2）当三角形为正三角形时，点在线段（不含线段端点）上的什么位置时，二面角的大小为（8分）21．（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.（1）求椭圆的离心率；（2分）（2）求与的值；（4分）（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. （6分）22. （本小题满分12分）已知函数（其中为常数）.(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；（4分）(Ⅱ)当时，设函数的个极值点为，且.证明：. （8分）（2）， --------------------------------------6分122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=- ， -----------8分若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn--------------------12分 19.A:（1）由得 ------------------------2分 又222cos 2sin ,4πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭22cos 2sin .ρρθρθ∴=+22220,x y x y ∴+--=即 ----------------------------4分（2）圆心距1),d ==得两圆相交，---------- 6分由22221220x y x y x y ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩得直线的方程为 -----------------7分4= ----------------------- 8分||2AB ∴==-------------------------------------- 10分 19.B: 解：(1)证明：如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC . (2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. 20.（1）因为，得，又因为，所以有即又因为平面平面，且交线为AD ，所以， ，故平面平面----------------------4分（2）由条件可知，三角形PAD 为正三角形，所以取AD 的中点O ，连PO ，则PO 垂直于AD ，由于平面平面，所以PO 垂直于平面ABCD ，过O 点作BD 的平行线，交AB 于点E,则有,所以分别以为轴，建空间直角坐标系所以点)33,0,0(),0,8,3(),0,0,3(),0,0,3(),0,0,0(P B D A O --，由于且，得到，设（，则有))1(33,4,6(λλλ--M ，因为由（1）的证明可知，所以平面PAD 的法向量可取：，设平面MAD的法向量为，则有14,33,00))1(33,4,36)(,,(0)0,0,6)(,,(0022-===⇒⎩⎨⎧=-+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅λλλλλz y x z y x z y x n n 则有令即有 由二面角成得，故当M 满足：时符合条件-------12分21.（1）因为，所以，得，即，所以离心率.------------------2分（2）因为，，所以由，得，--------------4分将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a -+=⨯，解得， 所以. --------------------------------------------6分从而，即为定值. -------------------------12分 法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ， 由，得，同理，---------------------8分将坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12123()4()0AB x x y y k +++=， -------------------------------------10分同理，34343()4()0CD x x y y k +++=， 而，所以34343()4()0AB x x y y k +++=，所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=，即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以为定值. -----------------------------------12分 22.(Ⅰ)求导得：. 令可得.列表如下:单调减区间为,;增区间为. --------------------4分(Ⅱ)由题，xx a x a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=对于函数，有∴函数在上单调递减，在上单调递增 ∵函数有3个极值点， 从而012ln2)2()(min <+==aa h x h ，所以， 当时，，，∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，， 此时，函数有3个极值点，且；∴当时，是函数的两个零点，--------------6分。

理科数学哈尔滨市2016年高三期末试卷理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）1．集合，，则=（）A.B.C.D.2．在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知向量满足，，则的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 64．已知递减的等比数列满足，则（）A. 63B.C.D.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.6．已知圆的方程为．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A. 10B. 20C. 30D. 407．三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，AA1⊥平面ABC，且AA1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A. -1B. 0C. 1D. i9．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )A.B.C. 3D. 010．已知椭圆方程：，双曲线：的渐近线分别为，若椭圆上某点的切线与直线相交，设交点分别交于,则的面积的最小值为（）A. 1B.C.D. 211．如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t＞0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是 ( )．A.B.C.D.12．若满足，满足，函数则函数的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4填空题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。

）13．已知，则=14．的展开式二项式系数最大项是15．如果实数满足，则的最大值为_________16．已知等差数列的前项和为，公差为，，且．关于以下几种说法：（1）；（2）；（3）；（4）当时，最大；（5）．其中正确的有____（把你认为正确的说法都写上）18．某单位考勤制度为早中晚刷脸3次，在规定时间内刷脸3次标记为绿色，刷脸2次标记为蓝色，刷脸1次标记为橙色，刷脸0次标记为红色，若标记为橙色，蓝色，红色需要填写申辩说明理由，现有前一天的考勤记录报表显示为甲办公室共计4人，其中标记红色1人，绿色2人，蓝色1人．乙办公室共计3人，其中标记橙色1人，绿色2人．现从甲乙两个办公室各任意抽取2人．（1）求抽取的4人标记均为绿色的概率；（2）若标记为红色，蓝色，橙色的人需要提交申辩，设所抽取的4人需要填写申辩的人数为，求的分布列和数学期望．19．多面体ABCDEF中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AF=2，AB=AD=，BC=DC=1，∠BAD=60o，且B、C、E、F四点共面．（1）求线段DE的长度；（2）求二面角B-EF-D的大小；20．已知抛物线：，过焦点的直线交于两点．（1）若线段的中点为,求点的轨迹方程；（2）若的面积为(为坐标原点)，求证：为定值，并求出此定值．21．（1）当时，求单调区间．（2）若恒成立，求整数的最小值．简答题（综合题）（本大题共1小题，每小题____分，共____分。

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三理科数学考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：每小题5分，共12小题 1.集合{}24,031x y x Q x x xP -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=,则=⋂Q P （ ）A. (12]，B. [12]，C. ),1()3,(+∞⋃--∞D. [12)， 2.已知复数531iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B. z 的共轭复数为14i -C ．5z = D. z 在复平面内对应的点在第二象限3.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件（2）()sin cos f x x x =+则()f x 最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变 （4）设随机变量ζ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ζ>=，则1(10)2P p ζ-<<=- A.4 B.3 C.2 D.14. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是2，该几何体的体积为 ( )A ．43 B. 83C.4D. 1635.函数12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-的单调递减区间为（ ） A.5(,)88k k ππππ++k Z ∈ B. 3(,)88k k ππππ++ k Z ∈C. 3(,)88k k ππππ-+ k Z ∈D. 35(,)88k k ππππ++k Z ∈6．执行如图程序框图其输出结果是 （ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35正视图俯视图侧视图7.变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ）B.C.92D. 5 8．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( )A.484B. 472C.252D.2329.设不等式组0301x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）B.36π-C.D. 4π10.若抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点M 为这两条曲线的一个交点，且MF p =，则双曲线的离心率为（ ） AB.2+C. 1D.11.在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=, 22240BC AC +-=,若将其沿AC 折成直二面角D AC B --,则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为（ ）A ．16π B.8π C. 4π D. 2π12.已知函数()ln f x x x k =-+，在区间1[,]e e上任取三个数,,a b c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．(1)-+∞， B.(,1)-∞- C. (,3)e -∞- D. (3)e -+∞，二、填空题：每小题5分，共20分 13.在*3)()n n N -∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于14. AOB ∆为等腰直角三角形，1OA =,OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则AP OP ⋅的最小值为15.椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,),(0,)A a B b C b --分别为其三个顶点. 直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率12e =，则tan BDC ∠=16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2,c b ==，则ABC ∆的面积最大值为三、解答题：共70分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*∈+=N n S a n n 121. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若n n a b 2log =,11+=n n n b b c ,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望. 附:2K ＝2()n ad bc -19.ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G两点．（Ⅰ）求证：IH //BC ；（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值；AH ICDBFGE20.已知椭圆14:22=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,.(1)若︒=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=, 求λ的取值范围.21.设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2aF x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点． （Ⅰ）求ADF ∠的度数；（Ⅱ）若AC AB =，求BC AC :．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为:sin()4πρθ+=（其中t 为常数）.（Ⅰ）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （Ⅱ）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++.13.-270 14.81- 15.33- 16.2217.(1)当1n =时,11112a S =+,解得12a = 当2n ≥时,11112n n a S --=+……① 112n n a S =+ ……② ②-①得112n n n a a a --= 即12n n a a -= ∴数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列 ∴2n n a =(2)22log log 2n n n b a n ===11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++ 11111111 (223341)n T n n =-+-+-++-+=111n -+ n N *∈ 110,12n ⎛⎤∴∈ ⎥+⎝⎦ 1,12n T ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭18. (I) 22110(40302020)60506050K ⨯-⨯=⨯⨯⨯27.822K ≈ 27.8226.635K ≈> ∴有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. (II)X的可能取值为0,1,2,3271)31()0(3===X P 92)31)(32()1(213===C X P 94)32)(31()2(223===C X P 278)32()3(3===X P ()2E X =19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ，所以//ED 平面BCH 因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面HI ED //又因为BC ED //，所以IH //BC . (Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ，)0,1,3(F ，(E )2,0,2(-=EA ，)0,1,1(=，)1,2,0(-=CH ，=HI 设平面AGI 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-001111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平面CHI 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则A⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-002221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15155321,cos 21=⋅->=<n n ，所以二面角C GI A --的余弦值为151520.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则142121=+y x .由︒=∠90ADC 得1-=⋅CD AD k k , 1121111-=-⋅+∴x y x y ,()()124112*********-=-+-=-⋅+∴x x x x x y , 解得舍去）(2,3211-==x x 3221=∴y , 2332221=⨯⨯=S . (2)设()22,y x D , 动点P 在圆422=+y x 上, ∴1-=⋅PA PB k k . 又21k k λ=, ∴1212222-⋅=+-x y x y λ, 即()()222212y x x -+-=λ=()()41122222x x x --+- =()()()222244112x x x --+-=21422--⋅x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+21142x .又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x , 则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数,∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞- 从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-21解: （1）依题意，知)(x f 的定义域为（0，+∞），当21==b a 时，x x x x f 2141ln )(2--=，xx x x x x f 2)1)(2(21211)('-+-=--=令)('x f =0，解得1=x ．（∵0>x ），当10<<x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减。

哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ，{}1)2(ln |1<=-x x N ，则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,，则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．已知向量)2,1(=，)1,3(21=-，)3,(x =，若()//2+，则=x （ ）.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51.C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ，ββαcos sin 1tan +=，则（ ） .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a ( ).A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 20162017 10．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中，若AC BC ⊥，3π=∠A ，4=AC ，41=AA ，M 为1AA 的中点，P 为BM的中点，Q 在线段1CA 上，QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A 13 .B 13.C .D12．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m in )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若22241c b a +=，则=cB a cos _______________ 15．已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224y x z +=的取值范围________16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极A坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 18.（本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=,求,a c ． 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ，数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； （2）记nnn a b c =，数列}{n c 的前n 项和为n T ，证明：当6≥n 时， 12<-n T n 20.（本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==， 又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥P MAC -的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分） 已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ，6-10 CABBA ， 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17（1）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+，得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=；（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=，121t t =- ，所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--（不成立）． 即 2C A B =+, 得3C π=，所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=,（舍去） 得5,412A B ππ==． （2）1sin 32ABC S ac B ∆===+,又sin sin a cA C =, 即2=，得a c ==19.（1）当1n =时，1112(1)S a a ==-，所以12a =， 当1n >时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =，公比2q =的等比数列，通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=，得11b =.当2n ≥时，n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22n n ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅，验证首项满足，于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++，所以12n T =23112222n n++++， 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-，所以2n T =-22n n +，即2nT -=22nn +，下证：当6n ≥时，(2)12n n n +<，令()f n =(2)2n n n +，(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n+- 当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即(2)12nn n +<，即当6n ≥时，21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥,PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.（1）设{}n a 的公差为d ，由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩，110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩，故*1()n a n n N =+∈ （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈，使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立,即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++，2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x '=-+，得112x =；212x =-（舍去）． 2分当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：4分(Ⅱ) 221)()2 f x a x x x'=-+=， 令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 5分当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 6分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增； 7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以，当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(l n 3)2l n 312(2)l n 363m a a a a +->+----成立， 1即14114,4a am a m a a->-<=-，432,432-<->a m a am ，所以313-≤m 12分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）【答案】C考点：复数的运算，共轭复数2.已知全集为，集合，，则集合（）【答案】D【解析】试题分析：, ,选D考点：集合的运算3.若幂函数的图象不过原点，则的取值是（）【答案】D【解析】试题分析：由幂函数的定义，可得考点：幂函数的定义4.设，则是的（）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件【答案】A考点：充要条件5.已知向量，，，若，则（ ）【答案】D【解析】试题分析：由题意，，则考点：向量的运算，向量共线的充要条件6.已知数列满足，，则（ ）【答案】C【解析】试题分析：即数列为公比的等比数列，则()35792461579133243log ()log 2435a a a q a a a a a a ++=++=∴++==-考点：等比数列的性质7.已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为时，的最大值是（ ）【答案】A考点：简单的线性规划8.设，，，则（ ）【答案】B【解析】 试题分析：由题意2sin cos sin cos 1tan 1sin 22222tan tan cos 42cos sin 1tan sin cos cos sin 2222222ββββββπβαββββββββ⎛⎫+++ ⎪+⎛⎫⎝⎭=====+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，选B考点：三角恒等变换【思路点晴】本题考查同角三角函数间基本关系的运用，三角恒等变换.等知识.解题时根据已知等式右边，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间基本关系及两角和与差的正切函数公式化简，根据与的范围确定出与的关系式，代入原式计算即可得到结果9.数列满足，对任意的都有，则 ( )【答案】B考点：数列求和10.一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（）【答案】A【解析】考点：由三视图求面积11.在直三棱柱中，若，，，，为的中点，为的中点，在线段上，.则异面直线与所成角的正弦值为（）【答案】C【解析】考点：利用空间直角坐标系计算异面直线所成的角【思路点晴】本题考查异面直线所成角的求法，属中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出面直线与所成角的余弦值，再用同角三角函数的基本关系式求出其正弦值12.对于任意实数，定义，定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（）【答案】A【解析】考点：分段函数的应用【思路点晴】本题考查了函数的图象的作法及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了直线的斜率的求法与应用，属于基础题．由题意可得函数f （x ）是周期函数，从而作出函数与的图象，再结合图象求出四个临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.【答案】【解析】试题分析：()() 31322233 001131122|1|1101333x dx x dx x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 考点：定积分14.．在中，角的对边分别为，若，则_______________【答案】考点：余弦定理15.已知，满足，则的取值范围________【答案】【解析】试题分析：,则可设[),0,2,x y y x θθθπθθθ+==∈∴==))22222444cos cos 6z x y θθθθθθ∴=+=-+=-+()[)[]21cos 22684sin 20,24,126z πθθθθπ⎛⎫=+-+=--∈∴∈ ⎪⎝⎭\考点：三角函数的最值【思路点晴】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解题时注意换元法的应用，同时易得要注意换元以后变量的取值范围16.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.【答案】【解析】试题分析：由题意三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为22BC AB = 设外接圆的半径为，则故外接球的半径为球的表面积等于考点：球的表面积【思路点晴】本题考查球的表面积，棱柱的体积，同时考查学生的计算能力，属于中档题． 利用三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，求出，再求出外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）直线（为参数）与曲线交于两点，与轴交于，求．【答案】（1）（2）考点：极坐标有直角坐标的互化18.在△中，所对的边分别为，,．（1）求；（2）若,求．【答案】（1）．（2）考点：解三角形19.已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有（1）求数列与数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，证明：当时，【答案】（1），（2）见解析（2）证明： ==，所以=，错位相减得=，所以，即，下证：当时，，令=， ==当时，，即当时，单调减，又，所以当时，，即，即当时，考点：数列的通项公式，错位相减法20.如图，是直角梯形，，，，又，，直线与直线所成的角为（1）求证：平面⊥平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）考点：平面与平面垂直的判定定理，几何体的体积【思路点晴】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、三棱锥体积等有关知识，属中档题.考查思维能力和空间想象能力、化归转化能力和推理运算能力．解题时正确运用平面与平面垂直的判定定理和等体积法是解题的关键21.已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，若存在，使得成立．求实数的取值范围．【答案】（1）（2）考点：等差数列的通项公式，数列的求和【思路点晴】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，属中档题.运用参数分离和基本不等式是解题的关键．22.已知函数．(Ⅰ)当时，求函数的极值；(Ⅱ)时，讨论的单调性；(Ⅲ)若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ) 函数的极小值为，无极大值(Ⅱ)见解析(Ⅲ)考点：利用导数研究函数的性质。

哈六中2009—2010学年度上学期期末考试高三数学（理工类）试题第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合}2,1,0,1,2{--=M ，},8221|{1R x x N x ∈<<=+，则=⋂N M （ ） （A ）}1,0{ （B ）}1,0{- （C ）}1,1,0{- （D ）}2,1,0,1,2{--2．已知a 为实数，若2321>++i a i ，则=a （ ） （A ）1 （B ）2- （C ）31 （D ）213．在ABC ∆中，若b a 25=，B A 2=，则=B cos （ ） （A ）35 （B ）45 （C ）55 （D ）654．已知函数)(x f y =与x e y =互为反函数，函数)(x g y =的图象与)(x f y =的图象关于x 轴对称，若1)(=a g ，则实数a 的值为（ ）（A ）e 1 （B ）e1- （C ）e - （D ）e 5．设函数3x y =与2)21(-=x y 的图象的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是（ ）（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）)3,2( （D ）)4,3( 6．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则=2010S （ ） （A ）2010- （B ）2009- （C ）2009 （D ）2010 7．设直线n m ,和平面βα,，下列四个命题中正确的是（ D ）（A ）若α//m ，α//n ，则n m // （B ）若α⊂m ，α⊂n ，β//m ，β//n ，则βα// （C ）若βα⊥，α⊂m ，则β⊥m （D ）若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α//m 8．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占61，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ） （A ）61 （B ）81 （C ）101 （D ）1219．已知a 是使表达式x x -+>2142成立的最小整数，则方程1|12|1-=--x a x 实数根的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 10．曲线43sin(2212πθρρ+=+的中心在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限11．点),(y x P 满足042422≤+--+y x y x ，则点P 到直线01=-+y x 的最短距离为（ ） （A ）2 （B ）0 （C ）12- （D ）12+12．已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为（ ）（A ）22b a a+ （B ）a b a 222+ （C ）a b （D ）b a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、选择题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．13．如图，正方形的四个顶点)0,0(O 、)0,1(A 、)1,1(B 、)1,0(C ，曲线2x y =经过点B ， 现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是____________14．由5,4,3,2,1五个数字组成的无重复数字的三位数中，能被3整除的三位数的个数是_______（用数字作答）15．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装20台洗衣机；每辆乙型货车运输费用300元，可装10台洗衣机，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最小运输费用为____________16．如图，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，F 是椭圆的左焦点，且)(21OF OP OQ +=，4||=OQ 则点P 到该椭圆左准线的距离为____________PABDCE三、解答题：本大题共有6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）已知集合}),22,12(|{R m m m a a M ∈--+==，}),16,23(|{R n n n N ∈+-==，且N M ⋂∈，设函数)cos ,sin 21()(x x x f ⋅=．（1）求函数)(x f 的单调减区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最大值和最小值．18．（本小题12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们的培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,并指出中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明现理由；（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及期学期望ξE ．19．（本小题12分）四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CD PD BC PB ⊥⊥,，且2=PA ，点E 满足31=． （1）求证：⊥PA 平面ABCD ； （2）求二面角D AC E --的余弦值；（3）在线段BC 上是否存在点F 使得//PF 平面EAC ？若存在， 确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题12分）已知数列}{n a 的首项51=a ，前n 项和为n S ，且)(52*1N n n S S n n ∈++=+． （1）求数列}{n a 的通项；（2）令n n x a x a x a x f +++= 221)(，求函数)(x f 在1=x 处的导数)1('f ．21．（本小题12分）已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率52=e ，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于B A ,两点． （1）求椭圆方程；（2）设点)0,(m M 是线段OF 上的一个动点，且⊥+)(，求m 的取值范围； （3）设点C 是点A 关于x 轴对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得N B C ,,三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．22．（本小题12分）已知函数)0(ln )(2>-=a x a x x f ． （1）当3=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 在区间),1(a e 上零点的个数．高三上学期期末考试理科数学答案选择题：CDBAB ADBCD CA 填空题：（13）31 （14）24（15）2200 （16）25 17解：（1）令)16,23()22,12(+-==--+=n n m m 得0,23=-=n m ，所以)1,2(-=--------2分所以)4sin(2sin cos )cos ,sin 21()1,2()(π--=-=⋅-=x x x x x x f --------2分令22422πππππ+≤-≤-k x k 得434ππ≤≤-x ，所以单调减区间为]432,42[ππππ+-k k --------2分（2）当]2,0[π∈x 时，444πππ≤-≤-x ，有22)4sin(22≤-≤-πx --------2分 所以]1,1[)4sin(2)(-∈--=πx x f ，所以)(x f 的最大值为1，最小值为1---------2分18解：（1）茎叶图如图--------1分，乙的中位数是84--------2分 （2）派甲，理由是：甲的平均数是85，乙的平均数是85，甲的方差是35.5，乙的方差是41，甲成绩更稳定--------3分 （3）设事件A 表示甲一次成绩中高于80分，则4386)(==A P --------2分，ξ的可能取值为3,2,1,0， 且)43,3(~B ξ，所以分布列为（略）--------2分，49=ξE 次--------2分19解：（1）由521++=+n S S n n 得421++=-n S S n n ，相减得121+=+n n a a ，即)1(211+=++n n a a ----2分当1=n 时，6212+=S S ，所以62121+=+a a a ，得112=a ，所以1212+=a a ，--------2分 所以1261-⋅=+n n a ，即123-⋅=n n a --------2分（2）则n n x a x a x a x f +++= 221)(，所以121'2)(-+++=n n x na x a a x f --------1分 n na a a f +++= 21'2)1(，则n n n na n n n -⋅=-⋅=23)123(，所以2)1(]22221[32)1(221'+-⋅++⋅+⋅=+++=n n n na a a f n n --------1分 由错项相减法得2)1(62)33()1(1'+-+-=+n n n f n --------4分 20解：（1）⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥PA B PB AB BC PB BC AB 平面PA BC PAB ⊥⇒，同理PA DC ⊥，所以⊥PA 平面ABCD -----4分（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建系，则)0,0,0(A ，)0,0,2(B ，)0,2,2(C ，)0,2,0(D ，)34,32,0(E ，)0,2,2(=AC ，)34,32,0(=AE --------2分设面ACE 的法向量),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+03432022z y y x ，取)1,2,2(-=--------2分 面ACD 的法得量)2,0,0(=--------1分，所以31,cos >=<，所以二面角的余弦值为31--------2分 （3）设)20)(0,,2(≤≤a a F ，则)2,,2(-=a ，所以0=⋅m PF ，解得1=a ，即F 为中点--------2分21解：（1）由题意知1=b ，又54222222=-==a b a a c e ，所以52=a ，所以1522=+y x --------4分（2）由（1）得)0,2(F ，所以20≤≤m ，设l 的方程为)0)(2(≠-=k x k y ，联立得052020)15(2222=-+-+k x k x k ，15202221+=+k k x x ，155202221+-=k k x x ，--------2分),2(2121y y m x x +-+=+，),(1212y y x x --=，由题意得0))(())(2(12211221=-++--+y y y y x x m x x ，代入可得0)58(2=--m k m ，所以0582>-=m m k 得580<<m --------4分（3）设)0,(t N ，则有//，所以),(1212y y x x +-=，),(11y x t -=，所以))(()(112112x t y y y x x -+=-，代入解得25=t --------2分 22解：（1）当3=a 时，x x x f ln 3)(2-=，1)1(=f ，1)1('-=f ，所以直线方程为02=-+y x --------2分（2）定义域为0>x ，xa x x a x x f -=-=2'22)(，令0)('=x f 得2ax =，且)2ln 1(2)2(aa a f -=------2分当0)2ln 1(2>-aa 即e a 20<<时，无零点--------2分 令)0()(>-=a a e a g a ，01)('>-=a e a g ，所以0>>a e a --------2分当0)2ln 1(2=-aa 即e a 2=时，e a =2，且1)1(=f ，0)(>-=a e e f a a ，e e e 21<<，一个零点----2分 当0)2ln 1(2<-a a 即e a 2>时，由a e a >得222aa e a >>，所以两个零点--------2分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 21【答案】C考点：复数的运算，共轭复数 2.已知全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ，{}1)2(ln |1<=-x x N ，则集合=)(N C M R （ ）.A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,1【答案】D 【解析】 试题分析：{}1|0|122x M x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭,{}{}1|(ln 2)1=|1x N x x x -=<<{}{}=|1()|12R R C N x x MC N x x ∴≥∴=≤＜,选D考点：集合的运算3.若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m【答案】D 【解析】试题分析：由幂函数的定义，可得2222233=1(33)120m m m m y m m x m m m --⎧-+⎪=-+⋅⇒=⎨--<⎪⎩ 考点：幂函数的定义4.设R y x ∈,，则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 【答案】A考点：充要条件5.已知向量)2,1(=a ，)1,3(21=-，)3,(x c =，若()c b a //2+，则=x （ ） .A 2- .B 4- .C 3- .D 1-【答案】D 【解析】试题分析：由题意，()1(3,1)2(3,1)4,22a b b a ⎡⎤-=⇒=-=-⎣⎦，则()()2=-2,62//-6-601a b a b c x x ++∴=∴=-考点：向量的运算，向量共线的充要条件6.已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51-.B 51 .C 5- .D 5【答案】C 【解析】试题分析：*33111log log ()3n n n n a a n N a a +++=∈∴=即数列{}n a 为公比3q =的等比数列，则()35792461579133243log ()log 2435a a a q a a a a a a ++=++=∴++==-考点：等比数列的性质7.已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 22【答案】A考点：简单的线性规划 8.设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ，ββαcos sin 1tan +=，则（ ） .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+【答案】B 【解析】试题分析：由题意2sin cos sin cos 1tan 1sin 22222tan tan cos 42cos sin 1tan sin cos cos sin 2222222ββββββπβαββββββββ⎛⎫+++ ⎪+⎛⎫⎝⎭=====+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πβ，,24242422πβπππβπααβ⎛⎫⎛⎫+∈∴=+⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B考点：三角恒等变换【思路点晴】本题考查同角三角函数间基本关系的运用，三角恒等变换.等知识.解题时根据已知等式右边，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间基本关系及两角和与差的正切函数公式化简，根据α与β的范围确定出α与β的关系式，代入原式计算即可得到结果9.数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 20162017【答案】B考点：数列求和10.一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+【答案】A 【解析】考点：由三视图求面积11.在直三棱柱111C B A ABC -中，若AC BC ⊥，3π=∠A ，4=AC ，41=AA ，M 为1AA 的中点，P 为BM 的中点，Q 在线段1CA 上，QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A .B .C .D 【答案】C 【解析】考点：利用空间直角坐标系计算异面直线所成的角【思路点晴】本题考查异面直线所成角的求法，属中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.以C 为原点CB ，为x 轴，CA 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出面直线PQ 与AC 所成角θ的余弦值，再用同角三角函数的基本关系式求出其正弦值12.对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a ≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12min )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1 .C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21【答案】A 【解析】考点：分段函数的应用【思路点晴】本题考查了函数的图象的作法及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了直线的斜率的求法与应用，属于基础题．由题意可得函数f （x ）是周期函数，从而作出函数)(x f 与()h x mx =的图象，再结合图象求出四个临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.32 0|1|_______x dx -=⎰【答案】223【解析】 试题分析：()() 31322233 001131122|1|1101333x dx x dx x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰考点：定积分14.．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若22241c b a +=，则=cBa cos _______________ 【答案】58考点：余弦定理15.已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224y x z +=的取值范围________ 【答案】[]4,12z ∈ 【解析】试题分析：())22222466x xy y x y ++=∴++=,则可设[),0,2,x y y x θθθπθθθ+==∈∴==))22222444cos cos 6z x y θθθθθθ∴=+=+=-+()[)[]21cos 22684sin 20,24,126z πθθθθπ⎛⎫=+-+=--∈∴∈ ⎪⎝⎭\考点：三角函数的最值【思路点晴】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解题时注意换元法的应用，同时易得要注意换元以后变量的取值范围16.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于_______________.【答案】8π 【解析】试题分析：由题意三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3 60,1=∠=BAC AC22BC AB =设ABC 外接圆的半径为R ，则21sin 60BCR R =∴==球的表面积等于48ππ= 考点：球的表面积【思路点晴】本题考查球的表面积，棱柱的体积，同时考查学生的计算能力，属于中档题． 求出1AA ，再求出ABC 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积． 三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 【答案】（1）()()22112x y -+-=（2考点：极坐标有直角坐标的互化18.在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=求,a c ．【答案】（1）,43A C ππ==．（2）a c ==考点：解三角形19.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ，数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； （2）记nnn a b c =，数列}{n c 的前n 项和为n T ，证明：当6≥n 时， 12<-n T n 【答案】（1）2()n n a n N *=∈，n b n =()n N *∈（2）见解析（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++，所以12nT =23112222n n++++， 错位相减得12n T =231111122222n n n+++++-，所以2n T =-22n n +，即2nT -=22n n +， 下证：当6n ≥时，(2)12n n n +<，令()f n =(2)2nn n +，(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +- 当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即(2)12nn n +<，即当6n ≥时，21n n T -< 考点：数列的通项公式，错位相减法20.如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥P MAC -的体积．【答案】（1）见解析（2考点：平面与平面垂直的判定定理，几何体的体积【思路点晴】本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、三棱锥体积等有关知识，属中档题.考查思维能力和空间想象能力、化归转化能力和推理运算能力．解题时正确运用平面与平面垂直的判定定理和等体积法是解题的关键21.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．【答案】（1）*1()n a n n N =+∈（2）116λ≤考点：等差数列的通项公式，数列的求和【思路点晴】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，属中档题.运用参数分离和基本不等式是解题的关键． 22.已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立， 求实数m 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 函数()f x 的极小值为(Ⅱ)见解析(Ⅲ) 313-≤m考点：利用导数研究函数的性质。