2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件可得，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，得成立；若，得【详解】若，得成立；反之，若，得故选：C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.3．向量,a b r r 满足1a r =，b =r ，()(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C【解析】试题分析：设向量a r 与b r 的夹角为θ．∵()(2)a b a b +⊥-r rr r ，∴2222()(2)2211cos 0a b a b a b a b θ+⋅-=-+⋅=⨯-+=rrrrrrrr ，化为cos 0θ=，∵[0,]θπ∈，∴090θ=．故选C ． 【考点】平面向量数量积的运算． 4．已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32 C ．43D ．34【答案】C【解析】根据等差数列的性质先求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差，即可求出5a ． 【详解】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则73114d a a =+，即1142d =+，解得18d =． 则53111132244d a a =+=+=，解得343a =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5．已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出． 【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6．在ABC ∆中,2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ,20AE DE +=u u u r u u u r,若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,则( )A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【解析】依题可得，点D 为边BC 的中点，2AE DE =-u u u r u u u r，从而可得出1()6DE AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ， 1()2DB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ， 2133EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，从而可得出21,33x y ==-，即可得到2x y =-．【详解】如图所示：∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r， ∴点D 为边BC 的中点，∵20AE DE +=u u u r u u u r ，∴2AE DE =-u u u r u u u r ，∴11()36DE AD AB AC =-=-+u u u r u u u r u u ur u u u r ，又11()22DB CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．又EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴21,33x y ==-，即2x y =-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==u u u u r u u u u r ,(0m >),212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r ,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y x =C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出． 【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==u u u u r u u u u r 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=u u u r u u u u r 可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 8．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】根据定义，可判断出()g x 为偶函数，根据其导数可得出，0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小． 【详解】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数． 因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题． 10．要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位 B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC【解析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换得到． 【详解】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确．故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题． 11．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD【解析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥u u u r u u u r， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横②直角顶点A在1坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中③直角顶点A在x轴上，斜边在1点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横④直角顶点A在x轴上，斜边不在1坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．三、填空题13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB V 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．【答案】【解析】根据等腰直角三角形边长可求得弦长2AB =，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离d ，根据垂径定理构造方程可求得结果. 【详解】AOB ∆Q 为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r === 2AB ∴=又圆O的圆心到直线距离d ==2AB ∴===，解得：a =故答案为【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为. 14．已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a+，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ． 【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+． 所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案为3． 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15．2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足573002TN N -=⋅(0N 表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到______年之间.(参考数据:lg 20.3≈,lg 70.84≈,lg30.48≈) 【答案】126876 【解析】把5730T =代入573002TN N -=⋅，即可求出；再令3573072T ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出T 的范围． 【详解】 ∵573002TN N -=⋅，∴当5730T =时，100122N N N -=⋅=， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：3573072T ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7T ->， ∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2T -->=≈-，6876T ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876． 【点睛】本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题． 16．已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,3AC =,若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6π,则线段BC 长度的取值范围为______.【答案】7,13⎡⎤⎣⎦【解析】由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ，根据()222111111274BC BB B C C CB C =++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r，即可分别求出BC 的最小值与最大值． 【详解】如图所示：分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C=++u u u r u u u r u u u u r u u u u r， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C CBB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 而111111AB AC B C AB AC -≤≤+u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=u u u u r u u u r u u u u r ，BC 最小为= 当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=u u u u r u u u r u u u u r ，BC =．∴线段BC 长度的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．四、解答题17．已知()()2cos sin f x x x x =-+. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)π,32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)⎡-⎣. 【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 的解析式进行三角恒等变换，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据周期公式和整体代换法即可求出周期和单调递减区间；(2)令42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，由sin y t =在4,33ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出22sin t -≤≤，从而求出()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围．【详解】(1)由题意，化简得())22cos sin 2cos 1f x x x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期π ∵sin y x =的减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+．所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(2)因为∵,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以42,333πππt x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，即有22sin t -≤≤所以，函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围是⎡-⎣． 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，周期公式的应用，整体代换法求正弦型函数的单调区间，以及换元法求三角函数在闭区间上的值域，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．18．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a=+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S . 【答案】(1)45;(2)152或92. 【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出． 【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c=由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析,12n n a -=;(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在． 【详解】(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈ 因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列． ∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+ ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n nn n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226xf x x =--(1x ≥)，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及其通项公式的求法，错位相减法，构造函数法，零点存在性定理等的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 20．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)5. 【解析】(1)按照题目定义，只要证明AB ⊥面11ACC A 即可，而由1A A AB ⊥，AB AC ⊥即可证出AB ⊥面11ACC A ；(2)先根据基本不等式求出当AB AC ==鳖膈1C ABC -体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角11C A B C --的余弦值． 【详解】(1)∵1A A ⊥底面ABC ，AB Ì面ABC ∴1A A AB ⊥又AB AC ⊥，1A A AC A =I ∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形 ∴四棱锥11B A ACC -为阳马．(2)∵AB AC ⊥，2BC =，∴224AB AC += 又∵1A A ⊥底面ABC ， ∴111132C ABC V C C AB AC -=⋅⋅⋅ 221123323AB AC AB AC +=⋅⋅≤⋅=当且仅当AB AC ==113C ABC V AB AC -=⋅⋅取最大值∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系)B，()C ，()10,0,2A)12A B =-uuu r，()BC =u u u r，()11AC =uuu u r设面1A BC 的一个法向量()1111,,n x y z =u r由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v得)1n =ur同理得()22,0,1n =u ur∴12121215cos ,5||||n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r二面角11C A B C --的余弦值为155．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．21．给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,22a b +C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率22,点(2在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析.【解析】(1)根据题意列出222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出22a =，2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为2x =22x =-43MN =经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN 应为“卫星圆”的直径，即MN = 【详解】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b =所以椭圆的方程为22184x y +=，卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN 应为“卫星圆”的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 是“卫星圆”220012x y +=的直径，∴MN 为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．22．已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1) 设()()112cos g x f x x x'==-+，然后判断函数()g x '在(0,)π上的符号，得出()g x 的单调性，再利用零点存在定理判断()g x 在(0,)π上是否存在唯一零点即可；(2) 分(0,)x π∈，[),2x ππ∈，和[)2,x π∈+∞三种情况分别考虑()f x 的零点存在情况，从而得证．【详解】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+， 当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x '=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减， 又因为31103g ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证． (2) ①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增;当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减;所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20f ππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x'=-< 所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤<所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-< 所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题．。
