全国100所名校最新高考模拟示范卷七 数学(理数)卷(含答案)

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（七）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 的实部是虚部的两倍，且满足151iz a i++=+，则实数a =（ ）． A ．1-B ．5C ．1D ．92．已知集合{}2|30A x x x =-≤，{}*|23,B x x n n ==-∈N ，则A B ⋂=（ ）． A ．{3,1}--B ．{1,3}C ．{0,1,3}D ．{0,1,2,3}3．已知点(1,1)A ，(1,2)B -，点C 在直线20x y +=上，若AC AB ⊥u u u r u u u r，则点C 的坐标是（ ）．A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．21,55⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知3sin 24tan()θπθ=+，且()k k θπ≠∈Z ，则cos2θ等于（ ）． A ．13-B ．13C ．14-D ．145．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）．A ．1B ．12C ．56D ．37666．我国法定劳动年龄是16周岁至退休年龄（退休年龄一般指男60周岁，女干部身份55周岁，女工人50周岁）．为更好了解我国劳动年龄人口变化情况，有关专家统计了2010~2025年我国劳动年龄人口和15~59周岁人口数量（含预测），得到下表：其中2010年劳动年龄人口是9.20亿人，则下列结论不正确的是（ ）． A ．2012年劳动年龄人口比2011年减少了400万人以上 B ．2011~2018这8年15~59周岁人口数的平均数是9.34亿C ．2016~2018年，15~59周岁人口数每年的减少率都小于同年劳动人口每年的减少率D ．2015~2020年这6年15~59周岁人口数的方差小于这6年劳动人口数的方差7．已知直线:0l kx y +-=与双曲线222:1(0)y C x b b-=>的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为43，则双曲线C 的焦距为（ ）．A ．4B ．6C ．D ．88．已知函数()ln f x x x =-的图象在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，且1212x x =，则12x x +=（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．69．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈．问积几何？”题中的“圆亭”是一个几何体，其三视图如图所示，其中正视图和侧视图是高为1丈的全等梯形，俯视图中的两个圆的周长分别是2丈和3丈，取3π=，则该圆亭外接球的球心到下底面的距离为（ ）．A ．512丈 B ．1736丈 C ．2972丈 D ．3172丈10．若函数()2sin(2)02f x x πϕϕ⎫=-+<<⎪⎭在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ϕ的取值范围是（ ）． A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知函数()f x 是R 上的函数，当0x ≥时，2211()log log 12x f x x +=⋅+．若()02f x =，则0x =（ ）． A ．12或3- B ．1或12-C ．3-D ．1-12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，点F 是AD 上一点，12AB AA ==，3BC =，1AF =．动点P 在上底面1111A B C D 上，且满足三棱锥P BEF -的体积等于1，则直线CP 与1DD 所成角的正切值的最大值为（ ）．ABCD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知实数x ，y 满足约束条件2201040x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则4x y +的最大值为 ．14．一个书架的其中一层摆放了7本书，现要把新拿来的2本不同的数学书和1本化学书放入该层，要求2本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有 种．（用数字作答）15．在ABC △中，3cos cos c A a C =，且sin sin 3sin a A c C B -=，则b = ．16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c，直线0x -=与C 相交于A 、B 两点．若0AF BF ⋅=u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．在等差数列{}n a 中，39a =，56248a a +=．各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1，其前n 项和为n S ，且2319a S +=． （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足132log n n n n c c a b +-=-，11c =，求12111na c c c +++…． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，2CD AB ==，2AD =，E 是BC 上一点，且3BC BE =．（1）求证：BC ⊥平面PDE ；（2）F 是PA 的中点，若二面角A BC P --的平面角的正切值为2，求直线CF 与平面PEF 所成角的正弦值．19．秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市50%的企业进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示：（1）环保部门对企业抽查评估完成后，随机抽取了50家企业的评估得分（40≥分）为样本，得到如下频率分布表： 其中a、b 表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是73.6．现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取3个，若以样本中频率为概率，求至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率； （2）某企业为取得一个好的得分，在评估前投入80万元进行技术改造，由于技术水平问题，被评定为“合格”“良好”和“优秀”的概率分别为16，12和13，且由此增加的产值分别为20万元，40万元和60万元．设该企业当年因改造而增加的利润为X 万元，求X 的数学期望．20．直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点． （1）设点M 在第一象限，过M 作抛物线C 的准线的垂线，A 为垂足，且1tan 2MFA ∠=，直线1l 与直线l 关于直线AM 对称，求直线1l 的方程；（2）过F 且与l 垂直的直线2l 与圆22:(3)3D x y -+=交于P ，Q 两点，若MPQ △与NPQ △面积之和为k 的值． 21．设函数2()1xf x ekx =--，k ∈R ．（1）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当2k >时，若存在正实数m ，使得对(0,)x m ∀∈，都有|()|2f x x >，求实数k 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程是32sin 00,04a πρθθρ⎛⎫+=≤≤≥ ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程是3545x t a y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）若2a =-，M 是圆C 上一动点，求点M 到直线l 的距离d 的最小值和最大值； （2）直线1l 与l 关于原点对称，且直线1l 截曲线C的弦长等于，求实数a 的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1||24|f x x x =+--．（1）若关于x 的不等式()|1||1|f x m x ≤+-+的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）设{}2min (),65f x x x -+表示()f x ，265x x -+二者中较小的一个，若函数{}2()min (),65(06)g x f x x x x =-+≤<，求函数()g x 的值域．2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1．A 本题考查复数的概念和运算．15321iz a a i i+=-=-++，由题意得1a =-． 2．B 本题考查集合的运算．∵{|03}A x x =≤≤，{1,1,3,5,}B =-…，∴{1,3}A B ⋂=．3．D 本题考查向量的坐标运算．设点(2,)C m m -，则(21,1)AC m m ==---u u u r ，∵(2,1)AB =-u u u r，AC AB ⊥u u u r u u u r ，∴142105m m m ++-=⇒=-，∴C 的坐标是21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 4．B 本题考查余弦的倍角公式．由已知得22cos 3θ=，∴21cos22cos 13θθ=-=． 5．D 本题考查程序框图．12S =，1i =；56S =，2i =；3766S =，3i =，结束循环，输出S 的值．6．C 本题考查统计知识．2012年劳动年龄人口数比2011减少了460万人，故A 项正确；通过计算可判断B 项正确；C 项不正确，计算后即可判断，应该是大于；D 项正确，由图得15~59周岁人口数减幅比较小，而劳动人口数的减幅比较大．7．B 本题考查双曲线的性质．设直线l 与渐近线0bx y -=平行，∵l过点，43=，解得28b =，∴29c =，双曲线C 的焦距为6．8．A 本题考查导数的几何意义的应用．∵1()1f x x'=-，∴()1111f x x '=-，()2211f x x '=-，则1211111x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()1212210x x x x +-+=，∵1212x x =，∴122x x +=． 9．D 本题考查数学史和三视图．由三视图可得，该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为13丈和12丈，高为1丈．设球心到下底面的距离为x 丈，则222211(1)23x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3172x =． 10．C 本题考查三角函数的性质．()2sin(2)f x x ϕ=-+，则当,424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,212x ππϕϕϕ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，∵02πϕ<<，又()f x 在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，∴223123ππϕππϕ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得5612ππϕ≤≤． 11．C 本题考查函数的奇偶性的应用．当0x >时，2log (1)0x +>，∴[]222211()log (1)log (1)1log (1)224f x x x x ⎡⎤=-++-=-+-+<⎢⎥⎣⎦，∴00x <．当0x >时，由()2f x =-，得2log (1)2x +=或1-，得3x =或12x =-（舍去），∵函数()f x 是奇函数，∴03x =-． 12．A 本题考查立体几何的综合应用．在底面ABCD 上取一点H ，使得三棱锥H BEF -的体积等于1，即三棱锥E BFH -的体积等于1，由已知条件得132BHF S S ==△下底面，∴H 与C 重合，过C 作CM FE ∥，且交11B C 于M ，则11113B M B C =，过M 作MN BF ∥，且交11A D 于N ，则11113D N A D =．连接CN ，则平面CMN ∥平面BEF ，∴当点P 在MN 上运动时，满足三棱锥P BEF -的体积等于1，又直线CP 与1DD 所成角就是直线CP 与1CC 所成角，即111tan C PC CP CC ∠=为所求，∴当点P 与N 重合时，1C P 取最，即1max tan C CP ∠=．13．10 本题考查线性规划的应用．根据约束条件画出可行域（图略），当取直线220x y -+=和40x y +-=的交点(2,2)时，4x y +取最大值10．14．144 本题考查排列组合．先把两本数学书不分开放入该层，有1282C A 种摆放方法，再把化学书放入，有19C 种摆放方法，故共有121829144C A C =种摆放方法．15．6 本题考查解三角形．由余弦定理得()22222233cos cos b c a a b c c A a C bb+-+-=⇒=，即22212a cb -=①．由正弦定理得22sin sin 3sin 3a Ac C B a c b -=⇒-=②．由①②得6b =．162本题考查椭圆的离心率，设()00,A y ，∵0AF BF ⋅=u u u r u u u r ，即AF BF ⊥u u u r u u u r ，∴||||OF OA =u u u r u u u r ，则2228y y c +=，即229y c =①，又22002281y y a b+=，∴2220228a b y b a =+②，由①②得422481890c a c a -+=，即4281890e e -+=，234e =或232e =（舍去），解得2e =17．解：本题考查等差数列、等比数列和裂项求和．（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则0q >，∵39a =，56248a a +=，∴2(92)9348d d +++=，得3d =，∴236a a d =-=， ∵2319a S +=，∴22390q q --=， 又0q >，解得3q =，∴3d =，3n a n =，13n n b -=．（2）由（1）得132log 3(21)1n n n n c c a b n n n +-=-=--=+， ∴()()()112211(1)122n n n n n n n c c c c c c c c n ---+-+-++-+=+++==……， ∴12112(1)1n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1112331na c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴121111111162122333131n c n c c c n n n ⎛⎫+++=-+-++-= ⎪++⎝⎭……． 18．解：本题考查线面垂直、二面角角以及线面角． （1）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥．过E 作EG CD ⊥，垂足为G，∵2CD AB ==2AD =，3BC BE =，∴2433EG AD ==，3DG =，3CG =， ∴22222228DE CE EG DG CG CD +=++==，即CE DE ⊥， ∵PD DE D ⋂=，∴BC ⊥平面PDE ． （2）由（1）得BC ⊥平面PDE ． ∴PED ∠是二面角A BC P --的平面角． ∵PD ⊥底面ABCD，3DE ==，∴tan 2PD PED DE ∠==，则2PD =． 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，B，C，4,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)P ，(1,0,1)F ，∴(1,0,1)PF =-u u u r，4,233PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，(1)FC =--u u ur ． 设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =r，则00PF P n n E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u r r，∴042033x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =，则4n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，∴|cos ,|F n C 〈〉==u r u ur ∴直线CF 与平面PEF19．解：本题考查概率与统计． （1）∵样本评估得分的平均数是73.6，∴450.04550.106575850.20950.1273.6a b ⨯+⨯+++⨯+⨯=， 即657537.9a b +=①，又0.54a b +=②，由①②解得0.26a =，0.28b =，则企业评估得分不少于70分的频率为0.6，∴至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率232332381555125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）依题意，X 的可能取值为60-，40-，20-，0，60，且该企业被抽中的概率为12，则 111(60)2612P X =-=⨯=，11111(40)26223P X =-=⨯+⨯=，111(20)236P X =-=⨯=，111(0)224P X ==⨯=， 111(60)236P X ==⨯=，X 的分布列为∴135()60(40)(20)060123663E X =-⨯+-⨯+-⨯++⨯=-．20．解：本题考查抛物线概念及其与直线的位置关系． （1）设抛物线C 的准线与x 轴的交点为B ，根据抛物线的定义得||||MA MF =，则MAF MFA ∠=∠．∵MAF AFB ∠=∠，1tan 2MFA ∠=，||2BF =， ∴||||tan 1AB BF AFB =∠=，4tan 3BFM ∠=，∴点M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线MN 的斜率为43-， ∵直线1l 与直线l 关于直线AM 对称， ∴直线1l 的方程为41134y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4320x y -+=． （2）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=， 令()11,M x y ，()22,N x y ，则12242x x k+=+，121x x ⋅=，2244||k MN k +==． ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=， ∴圆心(3,0)D 到直线PQ=，∵圆D ，∴||PQ ==，∴MPQ △与NPQ △面积之和221144||||22k S MN PQ k +==⋅=∵直线PQ 与圆D 有两个交点，∴1(k -∈，且10k -≠， 令21t k =，则(0,3)t ∈，由S ==2t =或0t =（舍去），∴212k =，得2k =±． 21．解：本题考查导数的综合应用．（1）由2()1x f x e kx =--，得2()2x f x e k '=-，∵(0,)x ∈+∞，∴222x e >，当2k >时，由2()20x f x e k '=->，得1ln 22k x >，即函数()f x 在1ln ,22k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 由()0f x '<，得10ln 22k x <<，即函数()f x 在10,ln 22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2k ≤，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）当2k >时，由（1）结合函数()f x 图象知，00x ∃>，使得对任意()00,x x ∈，都有()0f x <，则由|()|2f x x >得2(2)10x k x e -+->． 设2(2)10x k x e-+->，2()(2)1x t x k x e =-+-， 令()0t x '>得12ln 22k x -<，令()0t x '<得12ln 22k x ->． 若24k <≤，则12ln 022k -≤，∵()0120,ln ,22k x -⎛⎫⊆+∞ ⎪⎝⎭，∴()t x 在()00,x 上单调递减，注意到(0)0t =，∴对任意()00,x x ∈，()0t x <，与题设不符；若4k >，则12ln 022k ->，12120,ln ,ln 2222k k --⎛⎫⎛⎫⊆-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()t x 在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∵(0)0t =，∴对任意120,ln22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0t x >符合题意．此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意(0,)x m ∈，都有()|2f x x >． 综上所述，k 的取值范围为(4,)k ∈+∞．22．解：本题考查直线和圆的极坐标与参数方程．（1）当2a =-时，由34sin 004πρθθ⎛⎫+=≤≤ ⎪⎝⎭，得曲线C 是圆2240x y y +-=的34部分，如图所示，将直线l 的直角坐标方程化为4380x y ++=，由图得，当M 与(1,1)A -重合时，d 取最小值75； 又曲线C 的圆心(0,2)到直线l 的距离为145，半径1r =， ∴max 1419155d =+=． （2）∵曲线222:()C x y a a ++=，直线:4340l x x a ++=，∴圆心C 到直线的距离|34|||55a a a d -+==．∵由圆C 的半径为||a ，直线l 截圆C 的弦长等于，∴=，即||5a =52a =±． 经检验52a =±均合题意，∴52a =±． 23．解：本题考查绝对值不等式．（1）由()|1||1|f x m x ≤+-+，得|22||24||1|x x m +--≤+， ∵关于x 的不等式()|1||1|f x m x ≤+-+的解集为R ，∴|22||24||1|x x m +--≤+对任意x ∈R 恒成立，∵|22||24||(22)(24)|6x x x x +--≤+--=，∴|1|6m +≥，解得7m ≤-或5m ≥，∴实数m 的取值范围是(,7][5,)-∞-⋃+∞．（2）5,1()33,125,2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，设2165y x x =-+，在同一平面直角坐标系作出函数()y f x =和2165y x x =-+的图象，∵函数{}2()min (),65(06)g x f x x x x =-+≤<，∴函数()y g x =的图象是图中的实线部分，则当3x =时，()g x 取最小值4-；当1x =或5时，()g x 取最大值0． ∴函数()g x 的值域为[4,0]-．。

2021年全国100所名校最新高考模拟示范卷(七)一.选择题塞舌尔享有“旅游者天堂”的美誉,由115个大、小岛屿组成,第一大岛为马埃岛,首都维多利亚是唯一的城市和港口。

受多重因素影响,维多利亚昼夜长度最大差值为23分钟,每年4月16日和8月26日前后昼夜平分。

1.塞舌尔马埃岛A.东北部最为平坦开阔B.西端岬角沿海多浅滩C.摩恩峰海拔不超过1000mD.岛上山脉大致呈东北—西南走向【解析】塞舌尔马埃岛东南部等高线最稀疏,地形最为平坦开阔;西端岬角沿海等高线重合,海岸陡峻,难以形成浅滩;等高距为500m,摩恩峰海拔不超过1000m;岛上山脉大致呈西北—东南走向。

答案C2.悉尼游客飞抵塞舌尔维多利亚,最近航线方向是A.先西北、后东南B.先西南、后西北C.先东北、后西南D.先西北、后西南【解析】悉尼大致在塞舌尔的东南方向,最近航线方向应该是大圆劣弧航线,两地都位于南半球,故应先西南、后西北。

答案B3.“日出06:17,日落18:13”是某游客的塞舌尔时间观测记录,该日最可能是A.4月22日B.10月22日C.6月22日D.9月23日【解析】该日昼长(日落-日出)小于夜长,接近昼夜平分,应是大阳直射北半球,应接近4月16日或8月26日前。

答案A热岛强度指城市和郊区两个代表性观测点的气温差值,热岛强度变化与城市化进程有着显著的联系。

读1984~2012年珠江三角洲地区某城市年平均热岛强度与常住人口、地区生产总值的关系变化图。

4.1984~2012年该城市年平均热岛强度变化A.与常住人口变化始终一致B.与人口数量存在明显的相关性C.与地区生产总值变化没有关系D.随地区生产总值增加而不断下降【解析】读图可知,1984~2012年该城市年平均热岛强度呈波动上升趋势,与常住人口变化并非完全一致,但这是该城市经济发展和城市居住人口增多的结果,与城市人口增加存在明显的相关性。

答案B5.由热岛强度变化趋势,可推知该城市A.处于城市化初级阶段B.处在城市化加速发展阶段C.出现了逆城市化现象D.城市中心人口在减少【解析】读图可知,该城市的热岛强度呈波动上升趋势,可推知城市人口和城市用地规模在不断增长,说明该城市处在城市化加速发展阶段。

一、单选题1.已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2.设双曲线（，）的左焦点为F ，离心率是，M 是双曲线渐近线上的点，且（O 为原点），若，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．3. 《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．5. 已知抛物线上一点，F 为焦点，直线FA 交抛物线的准线于点B ，满足，则（ ）A．B．C．D．6.已知四面体中，，点在线段上，过点作，垂足为，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为（ ）A．B．C．D．7. 已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…在和之间插入n 个数，使成等差数列．这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：①②2023届高三第七次百校大联考数学试题(新高考)(1)2023届高三第七次百校大联考数学试题(新高考)(1)二、多选题三、填空题四、解答题③④其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知函数图象上的点都满足，则下列说法中正确的有（ ）A．B ．若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则直线的斜率为.C ．若函数在处取极小值，则.D ．存在四个顶点都在函数的图象上的正方形，且这样的正方形有两个.10.等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．若，，则C ．若，，则D ．若，则，11. 已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C ．函数在区间上单调递增D ．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象12.已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M在棱上运动，N 在底面ABCD 内（N 可以在正方形ABCD 边上）运动，线段MN 中点的轨迹为Ω，Ω与平面ABCD 、平面和平面围成的区域内有一个小球，球心为O ，则（ ）A ．球O半径的最大值为B ．Ω被正方体侧面截得曲线的总长为C ．Ω的面积为D ．Ω与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为13. 现将半径为1和2的小铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球内接正四面体的体积为___________.14.如图，在正方体中，是中点，在上，且，点是侧面（包括边界）上一动点，且平面，则的取值范围是________.15.函数，则________.16.等差数列的前n 项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.17. 设函数的最大值为1.（Ⅰ）求a值及递增区间；（Ⅱ）若将函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，求满足的实数的集合.18. 已知函数.(1)讨论的极值点的个数；(2)若函数有两个极值点，证明：.19. 在中，，点在线段上，且，.（1）求；（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，求边长.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)20. 已知数列中，，，．（1）求，的值；（2）求的前2021项和．21. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点．(1)证明：平面BDE；(2)求三棱锥的体积．。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

2021年全国100所名校高考数学模拟示范试卷（理科）（七）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2020·广东省·单元测试)已知复数z满足：zi=1+i(i是虚数单位)，则z的虚部为()A. −iB. iC. 1D. −12.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x|−1≤x<3}，B={x|ln(x−2)<1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤3}B. {x|2<x<3}C. {x|−1≤x<e+2}D. {x|3<x<e+2}3.(2020·北京市·月考试卷)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“m//β且n//β”是“α//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.(2021·全国·模拟题)中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中剪下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为√5−12时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为()A. √5+1B. √5+12C. √5−14D. √5−15.(2021·全国·模拟题)函数f(x)=(x−2)⋅e x的最小值为()A. −2B. −eC. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，则3人从同一入口进站的概率为()A. 15B. 35C. 125D. 3257.(2021·全国·模拟题)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.2]=1，[π]=3，[−2.1]=−3，则执行如图所示的程序框图，输出a的值为()A. 5B. 8C. 11D. 148.(2021·全国·模拟题)下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是()A. f(x)=lnxxB. f(x)=x3+x2C. f(x)=−x|x|D. f(x)=−lg(√x2+1−x)9.(2019·海南省海口市·月考试卷)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a、b均为正数)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为()A. 54B. 32C. √3D. 2√310.(2021·全国·模拟题)已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过()小时后须再次向病人体内补充这种药物.(已知lg2≈0.30，lg3≈0.48，结果精确到0.1ℎ)A. 1.8B. 1.9C. 2.1D. 2.211.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，点A为函数f(x)图象上的一个最高点，点B，C为函数f(x)的图象与x轴相邻的两个交点.若△ABC周长的最小值为4+2√5，且将函数f(x)的图象向右平移13个单位后所得函数的图象恰好关于原点对称，则φ的值为()A. π3B. π4C. π6D. π1212.(2021·全国·模拟题)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知定点A(−2,0)，B(2,0)，动点C满足|AC|=2|BC|，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P，已知点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P 于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，当∠DFE=30°时，直线AD的斜率为()A. √3913B. √2613C. √34D. √134二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=√2b=2，且A=π，则a=______ ．14. (2014·浙江省宁波市·模拟题)已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2，则z =2x +y 的最小值是______ ．15. (2021·全国·模拟题)在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ______ ． 16. (2021·全国·模拟题)如图所示，在棱长为2a 的正四面体ABCD中，点E ，F 分别为AC ，BD 的中点，现用一个与EF 垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·全国·模拟题)已知数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a nn }的前n 项和S n ．18. (2021·全国·模拟题)如图所示，AB 为圆锥S −ABC 底面圆的直径，点C 为底面半圆弧AB ⏜上不与A ，B 重合的一点，设点D 为劣弧BC⏜的中点． (1)求证：BC ⊥SD ；(2)设AB =2，且圆锥的高为3，当∠BAC =60°时，求二面角A −SC −B 的余弦值．19. (2021·全国·模拟题)焦虑症是一种常见的神经症，多发于中青年群体，某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联，随机抽取10人进行焦虑值(满分100分)的测试，根据调查得到如下数据表：(1)我们约定：焦虑值y 关于年龄x 的线性相关系数的绝对值在0.75(含0.75)以上为线性相关性较强，否则视为线性相关性较弱，如果没有较强的线性相关性，那么不考虑用线性回归进行拟合.试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值y 与年龄x 的相关关系进行拟合.若能，请求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程(回归方程的斜率和截距的估计值均精确到0.01)；若不能，请说明理由．(2)现从所调查的10人中随机抽取5人，记年龄在20岁(含20岁)以上的人数为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：x −=22.2，y −=71.4，√∑x i 210i=1−10x −2≈15.48，√∑y i 210i=1−10y −2≈40.08，∑x i 10i=1y i −10x −y −=525.2．对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归方程y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −． 线性相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2．20. (2021·全国·模拟题)已知点P 在椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上，点F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点.设|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值和最小值分别为4和2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，求△MF 1N 内切圆面积的最大值．21. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=me x ． (1)若关于x 的不等式x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若m >0，且曲线y =f(x)与抛物线x 2=y 有两条公切线，求正数m 的取值范围．22. (2021·全国·模拟题)已知圆C 1：x 2+y 2=4，若C 1上所有的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的√5倍，得到曲线C 2，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)设M ，N 为曲线C 上的两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求1|OM|2+1|ON|2的值．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1)解不等式f(x)≥3x的解集；(2)设f(x)的最小值为m，且1a +4b=m(a>0,b>0)，求a2+b2b+4a的最小值．答案和解析1.【答案】D【知识点】复数的三角形式、复数的四则运算【解析】解：由zi=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为−1．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−1≤x<3}，B={x|0<x−2<e}={x|2<x<e+2}，∴A∩B={x|2<x<3}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【知识点】充要条件、面面平行的性质、面面平行的判定【解析】【分析】本题考查简易逻辑，以及立体几何中面面平行的判定和性质，属于基础题．通过立体几何知识，进行判断．【解答】解：m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，推不出“m//β且n//β”，缺少条件m，n相交；若“α//β”，则α内任意一条直线都平行于平面β，正确；故“m//β且n//β”是“α//β”的必要不充分条件，故选：B．4.【答案】A【知识点】弧长公式与扇形面积公式【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，由题意知l2r+l =√5−12，即2l=2(√5−1)r+(√5−1)l，得(3−√5)l=2(√5−1)r，即lr =√5−1)3−√5=√5+1，即弧度数为√5+1，故选：A．设扇形的弧长为l，半径为r，根据条件建立方程进行求解即可．本题主要考查扇形的圆心角的计算，根据条件建立方程，利用弧度角公式是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】B【知识点】函数的最值【解析】解：函数f(x)=(x−2)⋅e x则f′(x)=e x+(x−2)⋅e x令f′(x)=0，即e x+(x−2)⋅e x=0可得：x=1．当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增，当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,1)单调递减，∴当x=1，f(x)取得最小值为−e．故选：B．利用导函数研究其单调性即可求解最小值．本题考查了利用导函数研究单调性问题求解最值．属于基础题．6.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，则3人从同一入口进站的概率为P=5125=125．故选：C．基本事件总数n=53=125，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，由此能求出3人从同一入口进站的概率．本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题．7.【答案】C【知识点】程序框图【解析】解：程序开始，i=1，a=5，a−2[a5]=5−2[1]=3，i=2，a=8，a−2[a5]=8−2[1.6]=6，i=3，a=11，a−2[a5]=11−2[2.1]=7>6，即输出的a=11．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性与单调区间【解析】解：A.函数的定义域为{x|x>0}，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，排除A，B.f(1)=2，f(−1)=0，则f(−1)≠−f(1)且f(−1)≠f(1)，即f(x)为非奇非偶函数，排除B，C.f(−x)=−(−x)|−x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=−x2为减函数，不满足条件．排除C，D.f(−x)+f(x)=−lg(√x2+1+x)−lg(√x2+1−x)=−lg(√x2+1+x)(√x2+1−x)=−lg1=0，当x≥0时，f(x)=√x2+1+x=lg(√x2+1+x)为增函数，满足条件，故选：D．分别判断函数的定义域，利用函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】A【知识点】抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义、双曲线的概念及标准方程、圆锥曲线中的综合问题、双曲线的性质及几何意义【解析】【分析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于中档题．由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，由△AOB的面积为3，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y=±bax，又∵抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线分别交于A，B两点，∴设A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，∵△AOB的面积为3，∴12×2×4ba=3，∴4b=3a，4c=5a，∴e=ca =54．故选：A．10.【答案】A【解析】解：设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物， 则2000(1−25%)x ≤1200，化简可得(34)x≤35，所以x ≥log 3435=lg35lg 34=lg3−lg5lg3−lg4=lg3+lg2−1lg3−2lg2≈0.48+0.30−10.48−2×0.30≈1.8，所以经过1.8小时后须再次向病人体内补充这种药物． 故选：A ．设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物，由题意列出不等式2000(1−25%)x ≤1200，然后利用对数的运算性质进行化简求解，即可得到答案．本题考查了函数在实际生活中的应用，对数运算性质的运用，解题的关键是由题意列出不等关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.【答案】D【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，点A 为函数f(x)图象上的一个最高点，点B ，C 为函数f(x)的图象与x 轴相邻的两个交点．若△ABC 周长的最小值为4+2√5， 故有πω+2√1+(π2ω)2=4+2√5，求得ω=π4，故f(x)=sin(π4x +φ)．将函数f(x)的图象向右平移13个单位后，所得函数y =sin(π4x −π12+φ)的图象恰好关于原点对称，∴−π12+φ=kπ，k ∈Z ， 则φ的值为π12， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得φ的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．12.【答案】A【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】解：如图所示，设动点C(x,y)，则有√(x +2)2+y 2=2√(x −2)2+y 2，化简可得x 2+y 2−203x +4=0，即圆P 的方程为：(x −103)2+y 2=649，由正弦定理可得，DEsin30∘=163，解得DE =83， 所以△DPE 为等边三角形，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，则sin∠PAG =PG PA=4√33163=√34， 所以cos∠PAG =√1−(√34)2=√134，故k AD =tan∠PAG =√34√134=√3913． 故选：A ．设动点C(x,y)，从而求出点C 的轨迹方程P ，然后利用正弦定理求出DE 的值，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，利用边角关系求出sin∠PAG ，由同角三角函数关系求出tan∠PAG ，即可得到答案．本题考查了动点轨迹方程的求解，圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．13.【答案】√2【知识点】正弦定理【解析】解：由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∵c =√2b =2，且A =π4， ∴a 2=(√2)2+22−2⋅√2⋅2⋅√22， ∴a =√2． 故答案为：√2．根据已知条件，运用余弦定理，即可求解．本题考查了余弦定理公式的使用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】−5【知识点】最优解问题【解析】解：满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域如图示：由图可知，当x =−1，y =−3时，2x +y 有最小值−5． 故答案为：−5．本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x +y 中，求出2x +y 的最小值．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.【答案】53【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用【解析】解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{λ−μ=1λ2+μ=1，解得{λ=43μ=13，∴λ+μ=53． 故答案为：53．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可解决此问题． 本题考查平面向量基本定理及数乘运算，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】8√6π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：将四面体补成正方体，如图， 设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形(四边形)， 因为EF ⊥BD ，EF ⊥平面MNGH ，所以BD//平面MNGH ，由线面平行的性质定理可得MH//BD//NG ，由PQ//平面MNGH ，同理可得MN//AC//HG ， 所以截面四边形MNGH 为平行四边形， 因为该四面体为正四面体，所以MH =AM ，MN =BM ， 所以MN +MH =2a ，由MH//BD ，MN//AC ，可得MH ⊥MN ， 所以四边形MNGH 为矩形， 所以S 四边形MNGH =MH ⋅MN ≤(MH+MN 2)2=a 2=4，当且仅当MH =MN 时取等号， 所以a =2，所以四面体的外接球的体积为V =4π3(√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)22)3=8√6π．将四面体补成正方体，设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形，然后证明四边形MNGH 为矩形，利用基本不等式可得面积的最值，从而可求出a 的值，进而可得正方体的边长，最后利用球的体积公式解之即可．本题主要考查了三棱锥外接球的体积，解题的关键是将四面体补成正方体，同时考查了空间想象能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ，整理得：a n+1a n=2(n+1)n，所以a nan−1=2nn−1，......，a 2a 1=2×21，所以a nan−1⋅a n−1a n−2⋅.....⋅a 2a 1=2n−1×(21×32×....×nn−1)，整理得an a 1=2n−1⋅n ， 所以a n =n ⋅2n−1(首项符合通项)， 故a n =n ⋅2n−1．(2)由(1)得：ann =2n−1，所以S n =1×(2n −1)2−1=2n −1．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)直接利用数列的递推关系式中叠乘法的应用求出数列的通项公式； (2)利用等比数列的求和公式的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 18.【答案】(1)证明：取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，则SO ⊥平面ABC ，且OD 垂直平分BC ， 所以SO ⊥BC ，BC ⊥OD ，又因为SO ∩OD =O ，SO ，OD ⊂平面SOD ， 所以BC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ， 故BC ⊥SD ；(2)解：因为AB 为底面圆的直径，所以AC ⊥BC ， 以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为AB =2，SO =3，∠BAC =60°，所以AC =1，BC =√3， 则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),S(12,√32,3)，所以SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,−3),SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√32,−3)，SB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−3)， 设平面ASC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x −√32y −3z =0−12x −√32y −3z =0，令z =1，则y =−2√3，故n ⃗ =(0,−2√3,1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12a +√32b −3c =0−12a −√32b −3c =0， 令c =1，则a =−6，故m ⃗⃗⃗ =(−6,0,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1√13×√37=√481481， 故二面角A −SC −B 的余弦值为√481481．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面SOD ，由面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ASC 和平面SBC 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度， 从而判断是否能用线性回归方程进行拟合． 相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2=525.215.48×40.08≈84.65%>0.75，由题意，y 与x 有较强的线性相关，故可用线性回归对它们的相关性进行拟合， 设回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=∑x i 10i=1y i −10x −y−∑x i 210i=1−10x−2=55.215.482≈2.19，a ̂=y −−b ̂x −≈22.78，∴焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程为y ̂=2.19x +22.78． (2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5， P(ξ=1)=C 61C 44C 105=142，P(ξ=2)=C 62C 63C 105=521， P(ξ=3)=C 63C 42C 105=1021，P(ξ=4)=C 64C 41C 105=521，P(ξ=5)=C 65C 105=142，∴ξ的分布列为∴E(ξ)=1×142+2×521+3×1021+4×521+5×142=3．【知识点】回归直线方程、离散型随机变量的期望与方差【解析】(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度，从而判断是否能用线性回归方程进行拟合．求出相关系数r ≈84.65%>0.75，从而y 与x 有较强的线性相关，可用线性回归对它们的相关性进行拟合，由此能求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程．(2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查直线回归方程、概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】解：(1)设坐标原点为O ，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由题意可得，|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，所以a =2，b =√3， 故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)因为三角形内切圆的半径r =2S △MF1N|MF 1|+|NF 1|+|MN|=2S △MF 1N4a=S △MF 1N4，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为π[(S △MF 1N )max 4]2=π[(S △MF 1N )max ]216，设直线l 的方程为x =my +1，联立直线l 的方程与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4， 所以S △MF 1N =12⋅|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12√m 2+1(3m 2+4)2 =12√19m 2+15+1m 2+1=12√19(m 2+1)+1m 2+1+6，令t =m 2+1(t ≥1)，则f(t)=9t +1t (t ≥1)， 所以f′(t)=9−1t 2>0，故f(t)在[1,+∞)上单调递增， 所以f(t)≥f(1)=10， 所以S △MF 1N ≤12×√116=3，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为9π16．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)设坐标原点为O ，利用|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，从而求出|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，即可得到a 和b 的值，即可得到答案；(2)由三角形内切圆的半径r ，得到△MF 1N 内切圆面积的最大值与△MF 1N 面积的关系，设直线l 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，得到韦达定理，表示出△MF 1N 面积的表达式，利用函数的单调性求解最值，即可得到答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立， 令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，则g′(x)=e x +(x −1)e x −2mx =x(e x −2m)，当m ≤12时，若x ≥0，则g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上单调递增， 所以当x ≥0时，g(x)≥g(0)=0， 即m ≤12符合题意， 当m >12时，2m >1，当0<x <ln(2m)时，g′(x)<0，g(x)在(0,ln(2m))上单调递减， 所以g(ln(2m))<g(0)=0， 所以m >12不符合意义，综上所述，实数a 的取值范围为(−∞,12]. (2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，则切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 由{x 2=y y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 得x 2−me x 0x +me x 0(x 0−1)=0， 令△=(−me x 0)2−4me x 0(x 0−1)=0， 可得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，则ℎ′(x)=4e x −4e x (x−1)(e x )2=4(2−x)e x，可得ℎ(x)在(1,2]上单调递增，在(2,+∞)上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(2)=4e 2， 当x >1时，ℎ(x)>0，由题意，直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点， 所以正数m 的取值范围为(0,4e 2).【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)不等式等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立，令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，只需g(x)min ≥0，进而得出m 的取值范围．(2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，结合导数的几何意义可得切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)，联立抛物线，由△=0，得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，只需直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点，即可得正数m 的取值范围． 本题考查导数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)设圆C 1上任意一点P(x,y)经变换后对应的点为P′(x′,y′)，则{x′=3x y′=√5y ，即{x =x′3y =√5，代入圆C 1：x 2+y 2=4，得(x′3)2+(√5)2=4，化简可得曲线C 2的直角坐标方程为x 236+y220=1，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入，可得曲线C 2的极坐标方程为5ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=180， 即ρ2=1805+4sin 2θ；(2)设M(ρ1,α)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴N(ρ2,α±π2)， 由(1)可得1|OM|2=1ρ12=5+4sin 2α180，1|ON|2=1ρ22=5+4sin 2(α±π2)180，∴1|OM|2+1|ON|2=5+4sin 2α180+5+4sin 2(α±π2)180=14180=790．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由曲线的伸缩变换求得曲线C 2的直角坐标方程，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ可得曲线C 2的极坐标方程；(2)设出M 的坐标，由向量数量积为0得N 的坐标，再分别求出1|OM|2与1|ON|2，作和即可求得答案．本题考查曲线的伸缩变换，考查简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x −x −3≥3x ，解得x ≤−25， 此时原不等式的解集为{x|x ≤−3}；当−3<x <1时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x +x +3≥3x ，解得x ≤43，此时原不等式的解集为{x|−3<x<1}；当x≥1时，不等式f(x)≥3x⇔x−1+x+3≥3x，解得x≤2，此时原不等式的解集为{x|1≤x≤2}．综上，不等式f(x)≥3x的解集为{x|x≤2}；(2)∵|x−1|+|x+3|≥|(x−1)−(x+3)|=4，当且仅当(x−1)(x+3)≤0，即−3≤x≤1时取等号，∴m=4，则1a +4b=4(a>0,b>0)，即b+4a=4ab，∴a2+b2b+4a =a2+b24ab=14(ab+ba)≥14×2√ab⋅ba=12，当且仅当a=b=54时取等号，故a2+b2b+4a 的最小值为12．【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式【解析】(1)去绝对值把不等式f(x)≥3x转化为不等式组，求解后取并集得答案；(2)利用绝对值的不等式求得f(x)的最小值为m，可得b+4a=4ab，代入a2+b2b+4a，再由基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。

2020届全国100所名校高三高考模拟金典卷（七）数学（理）试题一、单选题1．已知集合1{|03},{|0}5x A x x B x x-=<<=>-，则A B =U （ ） A ．{|3x x <或5}x > B ．{|35}x x << C ．{|13}x x << D ．{|05}x x <<【答案】D【解析】根据分式不等式的解法，求得{|15}B x x =<<，再利用集合的并集运算，即可求出A B U . 【详解】解：由题可知，1{|03},{|0}5x A x x B x x-=<<=>-， 由105x x ->-，得出()()15050x x x ⎧-->⎨-≠⎩，解得：15x <<， {|15}B x x ∴=<<， {|05}A B x x ∴=<<U .故选：D. 【点睛】本题考查集合的并集运算以及分式不等式的解法． 2．若复数212iz i+=-，则|3|z +=（ ）A ．B ．C ．4D 【答案】A【解析】根据复数的除法运算求出z i =，得出33z i +=+，再利用复数的模运算即可求出结果. 【详解】 解：2(2)(12)512(12)(12)5i i i iz i i i i +++====--+，|3|3z i ∴+=+==故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模． 3．已知14a =，93log 2b =，8log 3c =，则（ ） A ．c b a << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】C【解析】利用对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】 ∵9913log 3log 42a b ==>=， 4881log 8log 34a c ==<=， ∴b a c <<． 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，属基础题.4．根据某市环境保护局公布2013—2018这六年每年的空气质量优良的天数，绘制如图所示的折线图．根据图中信息可知，这六年中，每年空气质量优良天数的中位数是（ ）A ．301.5B ．302.5C ．303.5D ．300【答案】B【解析】把六个数据从小到大排列，位置处于最中间的两个数的平均数即为中位数. 【详解】解：根据图表看出，数据从小到大排列为290、295、300、305、305、315，共六个数据，所以中位数为300305302.52+=． 故选：B. 【点睛】本题考查根据图表求中位数，属于基础题．5．设1,x y >∈R ，则“1x y >+”是“||1x y >+”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据题意，取2,3x y ==-时，结合不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得出答案. 【详解】解：由题可知，1,x y >∈R ，设2,3x y ==-时，满足1x y >+，但不满足||1x y >+， 故“1x y >+”推不出“||1x y >+”，而“||1x y >+”⇒“1x y >+”， 故“1x y >+”是“||1x y >+”的必要不充分条件． 故选：C. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，以及不等式的性质的应用． 6．函数cos 1xy aa=-（0a >且1a ≠）的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分类讨论当1a >和当01a <<时，取特殊值结合图象进行排除. 【详解】解：若1a >，则当0x =时，10y a a=->， cos 1111cos 1,0x x y a a a a--∴=--=Q 剟?，故A 项错误；若01a <<时，则当0x =时，10y a a=-<， cos 1111cos 1,0x x y a a a a--∴=--=Q 剟?，故D 项错误，当0x =时，0y ≠，故B 项错误， 故选：C ． 【点睛】本题考查根据函数的解析式识别函数图象，通过观察图象和利用特殊值法进行排除.7．若圆22(4)9x y -+=上的各点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的最大距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．4D 【答案】A【解析】根据题意，可知圆上点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的最大距离为6，即圆心到渐近线的距离与圆半径之和为6，求出3d =，利用点到直线的距离公式得出a 和b 的关系，结合222c a b =+，即可求出离心率. 【详解】解：由题可知，圆22(4)9x y -+=的圆心为(4,0)，半径为3r =，圆上点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的最大距离为6，即圆心到渐近线的距离d 与圆半径r 之和为6， 即：6d r +=，则3d =，设渐近线方程为0bx ay +=，由题意可得，圆心(4,0)到渐近线0bx ay +=的距离3d ==，而222c a b =+，22916b c ∴=，22167c a ∴=，则7c a =，7c e a ∴==. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式.8．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（ ）A ．221a -∈Z B ．215a Z -∈ C ．27a -∈Z D ．23a -∈Z 【答案】A【解析】 由题意可知，该程序框图的功能是使得实数a ，使得3除余2，被5除余3，被七除余2的数值， 其中53a n =⨯+表示除5除余3的数，再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入221a -∈Z ，故选A ． 9．已知正方体ABCD A B C D ''''-，记过点A 与三条直线,,AB AD AA '所成角都相等的直线条数为m ，过点A 与三个平面,,ABB A ABCD ADD A ''''所成角都相等的直线的条数为n ，则m n +=（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知条件，结合正方体的结构特征进行分析求解即可. 【详解】解：在正方体ABCD A B C D ''''-中，过点A 与三条直线,,AB AD AA '所成角都相等的直线有AC '，过A 作BD '的平行线，过A 作A C '的平行线，过A 作B D '的平行线，共4条，故4m =． 过点A 与三个平面,,ABB A ABCD ADD A ''''所成角都相等的直线分两类： 第一类，通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC '， 第二类，在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条， 合计4条，故4n =． 综上可知8m n +=． 故选：B.【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，涉及对线线角和线面角的理解，注意正方体的结构特征的合理运用.10．将函数()2cos2f x x =的图象向右平移个6π单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a 和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[,]32ππB ．[,]62ππC ．[,]63ππD ．3[,]48ππ【答案】A【解析】根据函数()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律推得()g x 的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的单调增区间，再结合函数()g x 在区间[0,]3a 和7[2,]6a π上均单调递增，列出关于a 的不等式组进行求解即可. 【详解】根据题意，将函数()2cos2f x x =的图象向右平移个6π单位后得到函数()g x 的图象，则 ()2cos 22cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.根据函数()g x 的单调增区间满足()2223k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，，解得(),36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.当0k =时，函数的增区间为,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，函数的增区间为27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 若满足函数()g x 在区间[0,]3a 和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则 03627236a a πππ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩ ，解得,32a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律以及根据三角函数的单调性求参数范围.11．设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()2x f x =是“似周期函数”；③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”．以上正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假. 【详解】解：①∵“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，(1)()f x f x ∴-=-，(2)(1)()f x f x f x ∴-=--=，故()y f x =它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数()2x f x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅， 即22x T x T +=⋅恒成立，故2T T =成立，但无解，故②错误；③若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”， 则存在非零常数T ，则()()f x T T f x +=⋅， 即[]cos ()cos x T T x ωω+=恒成立，故cos()cos x T T x ωωω+=恒成立， 即cos cos sin sin cos x T x T T x ωωωωω⋅-⋅=恒成立，故cos sin 0T T T ωω=⎧⎨=⎩，故2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ，故③正确．所以以上正确结论的个数是2. 故选：C. 【点睛】本题考查与函数有关的命题的真假判断，正确理解“似周期函数”的定义是解题的关键.12．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，其长轴长为41C 上任取一点P ，过点P 作圆222:(3)2C x y ++=的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r的最小值为（ ）A ．2-B ．32-C ．53-D ．43-【答案】B【解析】根据题意求得椭圆方程，再将目标式转化为关于2PC 的函数，求得2PC 的最大值，即可求得目标式的最小值. 【详解】由椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，其长轴长为4∴24a =，c a =222a b c =+，解得2a =，1b =， ∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=．不妨设22MC N θ∠=，由对称性可得22PC M PC N θ∠=∠=，则()222222||cos 222cos 1C M C N C M C N MC N θθ⋅=∠==-uuuu r uuu u r uuuu r uuu u r222284cos 2422PC θ=-=⨯-=-， 再设点(,)P x y ，则2214x y +=，可得2244x y =-，点2(0,3)C -，2222222(3)44693(1)16PC x y y y y y =++=-+++=--+，∵11y -剟，∴当1y =时，22PC 的最大值为16． 因此22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r 的最小值为832162-=-． 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中向量问题的最值，本题的难点在于设出角度，将问题表述为函数关系，属综合中档题.二、填空题 13．621(1)(1)x x-+展开式中3x 的系数为__________． 【答案】14. 【解析】()()()66622111111x x x x x⎛⎫-+=+-⋅+ ⎪⎝⎭，在()61x +中，3x 的项系数为3620C =，对()6211x x⋅+的3x 项系数为566C =，∴3x 的系数为20614-=． 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．设G 是ABC Vsin 3sin sin 0A GB B C ++=u u r u u u r u u r，则角B的大小为_________． 【答案】3π 【解析】根据重心的向量表示，结合正弦定理以及余弦定理，即可容易求得结果. 【详解】∵G 为ABC V 的重心，∴0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r，3sin A B C ==，3b ==，∴2222231cos 262a cbc B ac c +-===，又∵B 为ABC V 的内角，∴3B π=．故答案为：3π. 【点睛】本题考查用余弦定理解三角形，用正弦定理将角化边，涉及重心的向量表示，属综合基础题.15．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是ABC V 内（含边界）的一个动点，满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离成等差数列，则点P 到平面DCA 的距离的最大值为________．【答案】【解析】根据题意，设动点P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离分别为123,,h h h ，正四面体ABCD 的棱长为9，求出每个面的面积为4S =，高h DO ==ABCD 的体积得到123h h h ++=，再由满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离的成等差数列，即可求出点P 到平面DCA 的距离最大值. 【详解】解：设动点P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离分别为123,,h h h ， ∵正四面体ABCD 的棱长为9，每个面的面积为199sin 6024S =⨯⨯⨯︒=， 如图，取BC 的中点E ，连接AE ，过D 作DO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则23AO AE ===∴高h DO ===∴正四面体ABCD 的体积12311()33V Sh S h h h ==++， 12336h h h ∴++=．∵满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离的成等差数列，123213336,26h h h h h h ∴++==∴+=，∴点P 到平面DCA 的距离最大值为26． 故答案为：26．【点睛】本题考查点到平面距离和利用等体积法解决点面距离问题，涉及正四面体的结构特征和体积，考查空间想象能力和计算能力.三、双空题16．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)．(1)若f (x )的单调递减区间是(0,4)，则实数k 的值为________； (2)若f (x )在(0,4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________． 【答案】131(0,]3【解析】(1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13. (2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)≤0，解得k ≤.又k >0，故0<k ≤13.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a λ=-，其中λ是不为零的常数，n *∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3λ=，记32log n nb a =，求数列{}2n n b b +⋅的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）13n n a λ-=⋅（Ⅱ）n T =22312n n --++ 【解析】试题分析：（1）由已知23n n S a λ=-可得：1123n n S a λ++=-，两式相减化简得13n n a λ-=⋅；（2）2n b n =，所以()2411222n n b b n n n n+⎛⎫⋅==- ⎪++⎝⎭，得22312n T n n =--++． 试题解析：（Ⅰ）由已知23n n S a λ=-可得：1123n n S a λ++=- 两式相减得：11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=∵1123S a λ=-∴10a λ=≠∴0n a ≠∴+13n na a = ∴{}n a 是首项为λ，公比为3的等比数列，从而13n n a λ-=⋅ （Ⅱ）因为3λ=，所以3nn a =，从而2n b n=∴()2411222n n b b n n n n +⎛⎫⋅==- ⎪++⎝⎭∴111111121324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L1112221321212n n n n ⎡⎤=+--=--⎢⎥++++⎣⎦点睛：本题考查数列基本型的综合应用．首先考查n S 型求通项的公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩应用，求解通项；然后考察裂项相消求和，需要对裂项基本型要熟悉：()411222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，解得答案．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBD ∆是等边三角形，AD BC ∥，2AP AB AD BD ===. （1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若直线PB 与CD 所成角的大小为60°，求二面角B PC D --的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【详解】 （1）∵22AP AB AD BD ===， 且PBD ∆是等边三角形∴PAB ∆，PAD ∆，BAD ∆均为直角三角形，即DA AB ⊥，DA PA ⊥， ∴DA ⊥平面PAB ∵DA ⊂平面ABD ∴平面PAB ⊥平面PAD（2）以{},,AB AD AP u u u v u u u v u u u v为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．令1AP AB AD ===，2BD =，∴()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,1P ．设()1,,0C t ，则()1,0,1PB =-u u u v ，()1,1,0CD t =--u u u v．∵直线PB 与CD 所成角大小为60°，所以1cos ,2PB CD PB CD PB CD⋅==⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，()212211t =⨯+-，解得2t =或0t =（舍）， ∴()1,2,0C =，设平面BPC 的一个法向量为(),,n x y z =v．∵()0,2,0BC =u u u v ，()1,0,1BP =-u u u v，则 00BP n BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v即200y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则1z =，所以()1,0,1n =． ∵平面DPC 的一个法向量为(),,m x y z =v，∵()0,1,1DP =-u u u v ，()1,1,0DC =u u u v，则00DP m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v 即0y z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x =，1z =-， ∴()1,1,1m =--v．∴cos ,0m nm n m n⋅==⋅v vv v v v ，故二面角B PC D --的大小为90°．19．已知函数()ln 1,af x x a x=+-∈R ． （1）若函数()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）当(0,)x π∈时，证明：1ln sin xe x x>-．【答案】（1）2e a =．（2）见解析【解析】（1）由题可知，()f x 的定义城为(0,)+∞，且221()a x af x x x x-'=-=，分类讨论参数，当0a „和当0a >，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当x a =时，()ln f a a =，()f x 取得最小值ln a ，结合已知()f x 的最小值为2，即可求出a 的值；（2）当(0,)x π∈，结合第（1）可知11ln x x -…，将证明1ln sin xe x x>-转化为只要证e sin 0x x x ->，构造新函数()e sin xh x x x =-，通过导数研究函数的单调性，进而得出当0πx <<时，()(0)0h x h >=，即e sin 0xx x ->，即可证明出1ln sin xe x x>-．【详解】解：（1）()ln 1af x x x=+-的定义城为(0,)+∞， 且221()a x af x x x x -'=-=，Q 函数()f x 的最小值为2，若0a „，则()0f x '>，于是()f x 在(0,)+∞上单调递增， 故()f x 无最小值，不合题意，若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，故()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 于是当x a =时，()ln f a a =，()f x 取得最小值ln a ， 由已知得ln 2a =，解得2e a =． 综上可知2e a =．（2）∵由（1）得，当0a >时，()f x 取得最小值ln a ， 所以当1a =时，()f x 取得最小值ln10=，即()0f x ≥， 则()101ln f x x x =+-≥，即：11ln x x-…， 由题知，当(0,)x π∈时，证明：1ln sin xe x x >-，∴要证1sin x e x x>，只要证e sin 0x x x ->，∴令()e sin x h x x x =-，则()(1)e cos x h x x x '=+-， ∴当0πx <<时，0()(1)cos 110x h x x e x e '=+->⋅-=， 所以()h x 在[0,)π上单调递增．∴当0πx <<时，()(0)0h x h >=，即e sin 0x x x ->，∴当(0,)x π∈时，不等式e 1ln sin xx x>-成立．【点睛】本题考查函数最值与利用导数证明不等式问题，涉及利用导数研究函数的单调性和构造函数的方法，考查转化思想和计算能力．20．已知抛物线2(0)x py p =>上点P 处的切线方程为10x y ++=． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且122y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点T ，求ABT ∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）9. 【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得021x p=-,再根据切点在切线上,解方程组得4p =（2）设线段AB 中点()0,1M x ，根据斜率公式得()012142AB x k x x =+=，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线l 方程,解得T 坐标,利用点到点到直线距离公式得高,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式得底|AB|,根据三角形面积公式得面积函数关系,最后根据均值不等式求最值试题解析：（Ⅰ）设点200,x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x py =得2x y p =，求导2x y p '=， 因为直线PQ 的斜率为-1，所以021x p =-且20010x x p++=，解得4p =， 所以抛物线的方程为24x y =． （Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则121200,,22x x y y x y ++== ()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--， ∴直线l 的方程为()0021y x x x -=--， 即()0230x x y +-+=，l ∴过定点()0,3T .联立()0220002:1224024x AB y x x x xx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩得()220004424022x x x ∆=--⇒-＞＜＜，AB12x =-== 设()0,3T到AB 的距离d =12ABT S AB d ∆∴=⋅==≤=， 当且仅当2200482x x+=-，即0x =(-2,2)时取等号， ABTS ∆∴.21．一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中的白球个数为n X ． （1）求1EX ；（2）设()2n k P X k P =+=，求()12(0,1,2,,10)n P X k k +=+=⋅⋅⋅； （3）证明：111112n n EX EX +=+． 【答案】（1）1176EX =（2）()0111(0),62211(110).1212n k k P k P X k k k P P k +-⎧=⎪⎪=+=⎨+-⎪+⎪⎩剟（3）证明见解析【解析】（1）根据1X 的取值以及概率，即可容易求得数学期望； （2）求得当0k =时，以及110k ≤≤时的概率，则问题得解；（3）对第1n +次白球个数的数学期望分为第1n +次取出来的是白球，或者黑球进行讨论，即可证明. 【详解】（1）∵12X =或13X =， ∴()12122106P X ===+，()110532106P X ===+， ∴1151723666EX =⨯+⨯=． （2）∵当0k =时，()10126n P X P +==， 当110k 剟时，第1n +次取出来有2k +个白球的可能性有两种： 第n 次袋中有2k +个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变， 即袋中有2k +个白球，10k -个黑球，第1n +次取出来的也是白球的概率为212k kP +； 第n 次袋中有1k +个白球，第1n +次取出来的是黑球，由于每次总数为12个， 故此时黑球数为11k -个，这种情况发生的概率为11112k kP --；∴()112112(110)1212n k k k kP X k P P k +-+-=+=+剟， ∴综上可知，()0111(0),62211(110).1212n k k P k P X k k k P P k +-⎧=⎪⎪=+=⎨+-⎪+⎪⎩剟（3）∵第1n +次白球个数的数学期望分为两类情况：第n 次白球个数的数学期望为n EX ，由于白球和黑球的总数为12， 第1n +次取出来的是白球的概率为12nEX ， 第1n +次取出来的是黑球的概率为1212nEX -，此时白球的个数为1n EX +，∴()11211212n nn n n EX EX EX EX EX +-=⋅+⋅+ ()()1211111121212n n n n EX EX EX EX ⎛⎫=+-⋅+=+ ⎪⎝⎭ 即111112n n EX EX +=+． 【点睛】本题考查概率的计算，数学期望的计算，本题的难点在于分类讨论要仔细严谨，属综合中档题.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,4,x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为22(1)1y x +-=．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）曲线2:(0,0)2C πθαρα=><<分别交直线和曲线1C 于点,A B ，求||||OB OA 的最大值及相应的α的值．【答案】（1cos sin 40θρθ+-=．2sin ρθ=．（2）3πα=时，||||OB OA 取得最大值34． 【解析】（1）利用消参法将直线l 参数方程化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直线l 和曲线1C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）由（1cos sin 40θρθ+-=，令θα=，得出||OA =||2sin OB α=，进而得出4||sin 2sin ||OB OA ααα+=⋅，利用降幂公式和辅助角公式，化简得11sin(2)||46|2|OB OA πα=+-，即可求得||||OB OA 的最大值及相应的α的值． 【详解】解：（1）由题可知，直线l的参数方程为,4,x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），40y +-=，利用互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，cos sin 40θρθ+-=，由于曲线1C 的普通方程为：22(1)1y x +-=，即：222x y y +=，1C ∴的极坐标方程为2sin ρθ=．（2cos sin 40θρθ+-=，令θα=，则ρ=||OA =又||2sin OB α=Q ，2||sin 12sin sin cos ||422OB OA αααααα+∴==+⋅11cos 21111sin 22cos 2222422αααα⎫-=⨯=+-⎪⎪⎝⎭11sin(2)426πα=+-， 即：11sin(2)||46|2|OB OA πα=+- 50,22666ππππαα<<∴-<-<Q ， 262ππα∴-=，即当3πα=时，||||OB OA 取得最大值34．【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将直角坐标方程化为极坐标方程，以及利用三角函数求最值，还涉及降幂公式和辅助角公式的应用，考查计算能力.23．已知函数()32f x x =-. （1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133yyf x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）0t =或2t =；（2）94m ≥. 【解析】分析：(1)根据()f x 的表达式求出23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再解绝对值不等式;(2)由绝对值的性质可得32313x x --+≤，则原问题转化为323133yyx x m ---+≤+⋅恒成立，即333y y m -+⋅≥恒成立，反表示出()333yym ≥-，求出()333yy-的最大值即可.详解：（Ⅰ）233f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由条件得3x 1t ≥-，得13t x -≤-或13t x -≥， ∴1133t -=，即0t =或2t =. （Ⅱ）原不等式等价于323133yyx x m ---+≤+⋅恒成立，而()()323132313x x x x --+≤--+=， ∴333y y m -≤+⋅，则()333yym ≥-恒成立，第 21 页 共 21 页 ∵()max 93334y y ⎡⎤-=⎣⎦，∴94m ≥， 等号成立当且仅当33log 2y =时成立. 点睛：(1)对于两侧都含有绝对值的不等式可以采用平方的策略去掉绝对值；（2）充分利用定理a b a b a b -≤±≤+将问题转化为求函数最值问题.。

100所名校高考模拟金典卷·数学（七）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|03}A x x =<<，1{|0}5x B x x-=>-，则A B ⋃=（ ） A ．{|35}x x x <>或 B ．{|35}x x << C ．{|13}x x <<D ．{|05}x x <<2．若复数212iz i+=-，则|3|z +=（ ）A B ．C ．4D3．已知14a =，93log 2b =，8logc = ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．b a c <<4．根据某市环境保护局公布2013-2018这六年每年的空气质量优良的天数，绘制如图所示的折线图．根据图中信息可知，这六年中，每年空气质量优良天数的中位数是（ ）A ．301.5B ．302.5C ．303.5D ．3005．设1x >，y ∈R ，则“1x y >+”是“||1x y >+”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．函数cos 1xy aa=-（0a >且1a ≠）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若圆22(4)9x y -+=上的各点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的最大距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）A ．7B ．7C ．4D 8．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（ ）A ．2?21a -∈Z B ．2?15a -∈Z C ．2?7a -∈Z D ．2?3a -∈Z 9．已知正方体ABCD A B C D ''''-，记过点A 与三条直线AB ，AD ，AA '所成角都相等的直线条数为m ，过点A 与三个平面ABB A ''，ABCD ，ADDA''所成角都相等的直线的条数为n ，则m n +=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()2xf x =是“似周期函数”；③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”． 以上正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴长为41C 上任取一点P ，过点P 作圆222:(3)2C x y ++=的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r的最小值为（ ） A ．2-B ．32-C ．53-D ．43-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．6211(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为__________．14．设G 是ABC △的重心，sin 3sin sin 0A GB B C ++=u u r u u u r u u r，则角B 的大小为_________．15．已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>．（1）若()f x 的单调递减区间是(0,4)，实数k 的值为__________； （2）若()f x 在(0,4)上为减函数，则实数k 的取值范围是____________．16．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是ABC △内（含边界）的一个动点，满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离成等差数列，则点P 到平面DCA 的距离的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a λ=-，其中λ是不为零的常数，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3λ=，记32log n nb a =，求数列{}2n n b b +⋅的前n 项和n T ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBD △是等边三角形，AD BC ∥，2AP AB AD BD ===．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ．（2）若直线PB 与CD 所成角的大小为60°，求二面角B PC D --的大小． 19．已知函数()ln 1,af x x a x=+-∈R ． （1）若函数()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）当(0,)x π∈时，证明：1ln sin xe x x>-． 20．已知抛物线2(0)x py p =>上点P 处的切线方程为10x y ++=．（1）求抛物线的方程；（2）设()11,A x y 和()22,B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠，且122y y +=，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于点T ，求ABT △面积的最大值．21．一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中的白球个数为n X ． （1）求1EX ；（2）设()2n k P X k P =+=，求()12(0,1,2,,10)n P X k k +=+=⋅⋅⋅； （3）证明：111112n n EX EX +=+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为,4,x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为22(1)1x y +-=．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程； （2）曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线和曲线1C 于点A ，B ，求||||OB OA 的最大值及相应的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|32|f x x =-．（1）若不等式2|1|3f x t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭…的解集为11,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()|31|33yyf x x m -+++⋅„对任意x ，y 恒成立，求实数m 取值范围．100所名校高考模拟金典卷·数学参考答案（七～十二）（七）1．答案 D命题意图 本题考查并集问题．解题分析 ∵{|15}B x x =<<，∴{|05}A B x x ⋃=<<． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的除法运算和复数的模． 解题分析 2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i +++====--+，|3|z += 3．答案 C命题意图 本题考查比较大小． 解题分析∵9913log log 42a b ==>=，881log log 4a c ==<=，∴b ac <<． 4．答案 B命题意图 本题考查图表问题．解题分析 该组数据为290、295、300、305、305、315，共六组数据，所以中位数为300305302.52+=．解题分析 当2x =，3y =-时，满足1x y >+，但不满足||1x y >+，故“1x y >+”推不出“||1x y >+”，而“||1x y >+”⇒“1x y >+”，故“1x y >+”是“||1x y >+”的必要不充分条件． 6．答案 C命题意图 本题考查函数的图象．解题分析 若1a >，则当0x =时，10y a a=->， ∵1cos 1x -剟，∴cos 1110xy aa a a-=--=…，故A 项错误； 若01a <<时，则当0x =时，10y a a=-<， ∵1cos 1x -剟，∴cos 1110xy aa a a-=-≤-=，故D 项错误， 当0x =时，0y ≠，故B 项错误，∴选C 项． 7．答案 A命题意图 本题考查圆与双曲线． 解题分析 设渐近线方程为0bx ay +=，由题意可得圆心(4,0)到渐近线0bx ay +=的距离3d ==，∴2297b a =，∴22167c a =，∴c e a ==．8．答案 A命题意图 本题考查数学史和程序框图．解题分析 由题意可知，该程序框图的功能是有实数a ，被3除余2，被5除余3，被七除余2的数值，其中53a n =+表示除5除余3的数，再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入“2?21a -∈Z ”．解题分析 在正方体ABCD A B C D ''''-中，过点A 与三条直线AB ，AD ，AA '所成角都相等的直线有AC '；过A 作BD '的平行线，过A 作A C '的平行线，过A 作B D '的平行线，共4条，故4m =．过点A 与三个平面ABB A ''，ABCD ，ADDA''所成角都相等的直线分两类： 第一类，通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC '；第二类，在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条，合计4条，故4n =． 综上可知8m n +=．10．答案 A命题意图 本题考查三角函数． 解题分析 由题可知()2cos26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，其单调递增区间为222()6k x k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z 剟()36k x k k ππππ⇒-+∈Z 剟．即0,,336a ππ⎡⎤⎡⎤⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，7272,,63636a a ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…，22332a a πππ⇒厔?．11．答案 C命题意图 本题考查新定义．解题分析 ①∵“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，∴(1)()f x f x -=-， ∴(2)(1)()f x f x f x -=--=，故它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数()2xf x =是“似周期函数”，则()()f x T T f x +=⋅，即22x Tx T +=⋅恒成立，故2T T =成立，无解，故②错误；③若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则()()f x T T f x +=⋅，即cos ()cos x T T x ωω+=恒成立，故cos()cos x T T x ωωω+=恒成立，即cos cos sin sin cos x T x T T x ωωωωω⋅-⋅=恒成立． 故cos sin 0T TT ωω=⎧⎨=⎩，故2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ，故③正确．12.答案 B命题意图 本题考查向量、圆与椭圆．解题分析 由椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴长为4∴24a =，c a =，222a b c =+，解得2a =，1b =，∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=． 不妨设22MC N θ∠=，由对称性可得22PC M PC N θ∠=∠=，则()222222||cos 22cos 1C M C N C M C N MC N θθ⋅=∠==-u u u u u r u u u u r u u u u u r222284cos 2422PC θ=-=⨯-=-， 再设点(,)P x y ，则2214x y +=，可得2244x y =-，点2(0,3)C -， 2222222(3)44693(1)16PC x y y y y y =++=-+++=--+，∵11y -剟，∴当1y =时，22PC 的最大值为16． 因此22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r的最小值为832162-=-． 13．答案 14命题意图 本题考查二项式定理．解题分析 ∵66622111(1)(1)(1)x x x x x ⎛⎫-+=+-⋅+ ⎪⎝⎭，∴在6(1)x +中，3x 的项的系数为36C ，62(1)x x +中，3x 的项的系数为56C ，∴展开式中3x 项的系数为356614C C -=．14．答案3π 命题意图 本题考查向量与解三角形．解题分析 ∵G 为ABC △的重心，∴0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r3sin A B C ==，3b ==，∴2222231cos 262a cbc B ac c +-===， 又∵B 为ABC △的内角，∴3B π=．15．答案1310,3⎛⎤ ⎥⎝⎦． 命题意图 本题考查函数的单调性．解题分析 （1）对函数求导，得2()36(1)f x kx k x '=+-， ∵函数的单调递减区间是(0,4)，∴()0f x '<的解集是(0,4)， ∵0k >，∴236(1)0kx k x +-<等价于3(4)0kx x -<， 可得6(1)12k k -=-，解得13k =． （2）若()f x 在(0,4)上为减函数， 则236(1)0kx k x +-„在(0,4)内恒成立， 即22k x +„在(0,4)内成立，故103k <„．16．答案命题意图 本题考查点到平面距离．解题分析 设动点P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离分别为1h ，2h ，3h ，∵正四面体ABCD 的棱长为9，每个面的面积为199sin 602S =⨯⨯⨯︒= 如图，取BC 的中点E ，连接AE ．过D 作DO ⊥平面ABC ，垂足为O ．则23AO AE ===∴高h DO === ∴正四面体ABCD 的体积()1231133V Sh S h h h ==++，∴123h h h ++=．∵满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面 DCA 的距离的成等差数列，∴12323h h h h ++==13h h += ∴点P 到平面DCA的距离最大值为． 17．命题意图 本题考查数列问题．解题分析 （1）由已知23n n S a λ=-可得1123n n S a λ++=-， 两式相减得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=， ∵1123S a λ=-，∴10a λ=≠，∴0n a ≠，∴13n na a +=， ∴{}n a 是首项为λ，公比为3的等比数列，从而13n n a λ-=⋅．（2）因为3λ=，所以3nn a =，从而2n b n=， ∴24112(2)2n n b b n n n n +⎛⎫⋅==- ⎪++⎝⎭，∴111111121324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112221321212n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭． 18．命题意图 本题考查面面垂直和二面角． 解题分析 （1）∵2AP AB AD BD ===，且PBD △是等边三角形， ∴PAB △，PAD △，BAD △均为直角三角形，即DA AB ⊥，DA PA ⊥， ∴DA ⊥平面PAB ，∵DA ⊆平面PAD ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）以{},,AB AD AP u u u r u u u r u u u r为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．令1AP AB AD ===，BD =，∴(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ．设(1,,0)C t ，则(1,0,1)PB =-u u u r ，(1,1,0)CD t =--u u u r．∵直线PB 与CD 所成角的大小为60°，所以1|cos ,|2||||PB CD PB CD PB CD ⋅〈〉==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ，即12=，解得2t =或0t =（舍去）， ∴(1,2,0)C ，设平面BPC 的一个法向量为(,,)n x y z =r．∵(0,2,0)BC =u u u r ，(1,0,1)BP =-u u u r ，则00BP n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r，即200y x z =⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =，所以(1,0,1)n =r ． 设平面DPC 的一个法向量为(,,)m x y z =u r ，∵(0,1,1)DP =-u u u r ，(1,1,0)DC =u u u r ，则00DP m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r，即0y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1y =-，则1x =，1z =-，∴(1,1,1)m =--u r ． cos ,0||||m nm n m n ⋅〈〉==⋅u r ru r r ur r ，故二面角B PC D --的平面角为90°．19．命题意图 本题考查函数最值与用导数证明不等式问题． 解题分析 （1）()ln 1a f x x x =+-的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x-'=-=． 若0a …，则()0f x '>，于是()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()f x 无最小值，不合题意． 若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>． 故()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，于是当x a =时，()f x 取得最小值ln a ，由已知得ln 2a =，解得2a e =．综上可知2a e =．（2）∵当(0,)x π∈，且1a =时，由（1）可知11ln x x-…， ∴要证1sin x e x x>，只要证sin 0x e x ->． ∴令()sin xh x xe x =-，则()(1)cos xh x x e x '=+-，∴当0x π<<时，0()(1)cos 110xh x x e x e '=+->⋅-=，所以()h x 在[0,)π上单调递增．∴当0x π<<时，()(0)0h x h >=，即sin 0xxe x ->，∴当(0,)x π∈时，不等式1ln sin xe x x>-成立． 20．命题意图 本题考查抛物线问题．解题分析 （1）设点200,x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x py =得2x y p =，求导得2x y p '=，可得021x p=-，且2010x x p ++=，解得4p =， 所以抛物线的方程为24x y =．（2）设线段AB 的中点()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，()222121012212114442ABx x y y x k x x x x x x --===+=--， ∴直线l 的方程为()0021y x x x -=--， 即02(3)0x x y +-+=， ∴l 过定点(0,3)T ．联立()0220002:1224024x AB y x x x xx x x y⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩， 得()220004424022x x x ∆=-->⇒-<<，12||AB x=-==设(0,3)T到AB的距离d=∴1||2ABTS AB d=⋅=△==，当且仅当2200482x x+=-，即x=∴ABTS△21．命题意图本题考查概率和数学期望．解题分析（1）∵12X=或13X=，∴()12122106P X===+，()110532106P X===+，∴1151723666EX=⨯+⨯=．（2）∵当0k=时，()10126nP X P+==，当110k剟时，第1n+次取出来有2k+个白球的可能性有两种：第n次袋中有2k+个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，即袋中有2k+个白球，10k-个黑球，第1n+次取出来的也是白球的概率为212kkP+；第n次袋中有1k+个白球，第1n+次取出来的是黑球，由于每次总数为12个，故此时黑球数为11k-个，这种情况发生的概率为11112kkP--；∴()112112(110)1212n k kk kP X k P P k+-+-=+=+剟，∴综上可知，()111(0),62211(110).1212nk kP kP X kk kP P k+-⎧=⎪⎪=+=⎨+-⎪+⎪⎩剟（3）∵第1n +次白球个数的数学期望分为两类情况：第n 次白球个数的数学期望为n EX ，由于白球和黑球的总数为12， 第1n +次取出来的是白球的概率为12nEX ， 第1n +次取出来的是黑球的概率为1212nEX -，此时白球的个数为1n EX +，∴()11211212n nn n n EX EX EX EX EX +-=⋅+⋅+ ()()1211111121212n n n n EX EX EX EX ⎛⎫=+-⋅+=+ ⎪⎝⎭ 即111112n n EX EX +=+． 22．命题意图 本题考查极坐标与参数方程．解题分析 （1）∵4y -=40y +-=，cos sin 40θρθ+-=． 曲线1C 的普通方程为222x y y +=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴1C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （2）cos sin 40θρθ+-=，令θα=，则42sin 3ρπα==⎛⎫+⎪⎝⎭，即2||sin 3OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又∵||2sin OB α=，∴2||111sin sin sin cos sin 2||32426OB OA ππαααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=+⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵02πα<<，∴52666πππα-<-<， ∴262ππα-=，即当3πα=时，||||OB OA 取得最大值34． 23．命题意图 本题考查绝对值不等式和恒成立问题．解题分析 （1）2|3|3f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由条件得|3||1|x t -…， 得|1|3t x --„或|1|3t x -…， ∴|1|133t -=，即0t =或2t =． （2）原不等式等价于|32||31|33yyx x m ---++⋅„恒成立，而|32||31||(32)(31)|3x x x x --+--+=„，∴333y y m -+⋅„，则()333yym -…恒成立，∵()max93334yy⎡⎤-=⎣⎦，∴94m ≥，等号成立当且仅当33log 2y =时成立． 即实数m 的取值范围为9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i(1i)1i+=- （ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i 2．已知集合{0,1,2,3}A =，{|22,}x B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2} 3．已知向量(1,2)a =- ，(2,1)b = ，且(2)a a b ⋅-=（ ）A ．5B ．5-C ．11D ．11-4．关于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，有以下四个命题．甲：长轴长为10．乙：短轴长为8．丙：离心率为45．丁：C 上的点到其左焦点的距离的最大值为8． 若只有一个假命题，则该命题是 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球冠)．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积2S Rh π=．已知该灯笼的高为40cm ，圆柱的高为4cm ，圆柱的底面圆直径为24cm ，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）A ．21536cm πB ．21472cm πC ．21824cm πD ．21760cm π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为()e (0,1,2,)!kP X k k k λλ-=== ，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布．若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ）A ．41e B ．44e C ．694e D ．69e 7．已知ln 33a =，22e b =，ln 77c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<8．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 是BC 上靠近点B 的一个四等分点，M 是棱1CC 上的动点，若平面1D MN 与平面ABCD 所成锐二面角的最小值为θ，则cos θ=（ ）A ．45B ．35CD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．如图，四棱雉S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，则下列结论正确的是 （ ） A ．AB SA ⊥B ．AC 与SB 所成的角为90︒C ．AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角10．已知lg 2a =，lg 3b =，则（ ）A ．2107a b+=B ．2lg12a b +=C ．181log 102a b=+D ．361log 522aa b-=+11．已知抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点K ，过焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，过点M 作AB 的垂线交x 轴于点Q ，点M 在C 的准线上的射影为点N ，则 （ ）A ．AF BF AF BF +=⋅B ．tan cos AKF MQF ∠=∠C ．//NF MQD ．32AB FQ =12．已知()f x 是R 上的奇函数，(1)1f =，且(2)(2)40f x f x x --++=恒成立，则 （ ）A ．(3)5f =B ．(4)8f =C ．(2023)4047f =D ．(2024)8096f =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在62x ⎛⎝的展开式中，第四项的系数为 ．14．写出满足圆心在直线2y x =，且被x 轴截得的弦长为2的圆的标准方程 ．15．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，6855f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω= ．16．若函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知数列{}n a 满足3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos bc A ab C ac B +=． （1）证明：2a ，2b ，2c 成等差数列； （2）若sin 3sin A C =，求cos B ．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA ，1CC 上，且11AD C E ==，过点1A 的平面//α平面BDE ，平面11B C F α= ． （1）求1A F ；（2）求直线BF 与平面BDE 所成角的正弦值．二氧化碳会导致温室效应，是全球变暖的元凶之一．因为二氧化碳具有保温的作用，会逐渐使地球表面温度升高．某机构统计了当地近几年二氧化碳的排放量x (单位：百万吨)与该地平均气温升高值y (单位：℃)的一些数据，得到如下表格：x141721273239y 0.2 0.3 0.5 0.8 1.01.4（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(计算结果精确到0.001)．(若0.75r ≥，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，否则不可用) （2）试用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程．（3）某企业为降低二氧化碳的排放量，加大了研发投入，使得企业每天的二氧化碳排放量Z (单位：吨)近似服从正态分布(5,4)N ，则该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为多少?附：相关系数()()niix x y y r --=∑；回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+= ． 参考数据：61126.6i ii x y==∑，62150)4(i i x x =-=∑，621.041(i i y y =-=∑ 3.61≈．已知函数()()ln 1(0)f x x a x a =-->．（1）若曲线()y f x =在x a =处的切线方程为(1)0a x y b --+=，求实数a ，b 的值； （2）若2a =，关于x 的方程()f x mx =有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．22．(12分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．当l x ⊥轴时，AB =． （1）若A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ，证明：1221212()x y x y y y -=-． （2）在x 轴上是否存在定点M ，使得222AM BM AB +-为定值?若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由．。

初高中数学学习资料的店
1 初高中数学学习资料的店
100所名校高考模拟金典卷·数学（七）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|03}A x x =<<，1{|
0}5x B x x -=>-，则A B ⋃=（ ） A ．{|35}x x x <>或
B ．{|35}x x <<
C ．{|13}x x <<
D ．{|05}x x << 2．若复数212i z i
+=-，则|3|z +=（ ） A
B
．C ．4 D
3．已知14a =，93log 2
b =
，8log c = ） A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．b a c << 4．根据某市环境保护局公布2013-2018这六年每年的空气质量优良的天数，绘制如图所示的折线图．根据图中信息可知，这六年中，每年空气质量优良天数的中位数是（ ）
A ．301.5
B ．302.5
C ．303.5
D ．300
5．设1x >，y ∈R ，则“1x y >+”是“||1x y >+”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件。