云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考五数学理试题含答案

云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（六）数学数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合{}ln A x y x ==，{}ln B y y x ==，则A B = （）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．R D ．∅2．已知20232023i z =+，则z 的虚部是（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-3．已知函数()()1e 3,0,0,0,3,0x x f x x g x x +⎧->⎪==⎨⎪-<⎩为奇函数，则()1g -=（）A ．3B ．6C ．26e -D ．23e -4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加实践活动，则周六、周日各有两位同学参加实践活动的概率为（）A ．34B ．38C ．35D ．785．已知函数()4sin 3cos f x x x =-+在0x 处取到最大值，则0sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（）A．2510--B．2510-C．2510-+D．2510+6．已知圆C ：224240x y x y +-++=与直线l ：10mx y m -++=（0m ≠），过l 上任意一点M 向圆C 引切线，切点为A ，B ，若ACB ∠的最小值为23π，则实数m 的值为（）A ．125B ．75-C ．75D ．125-7．函数()()2363e xf x x x a =-++，若存在0x ∈R ，使得对任意x ∈R ，都有()()0f x f x ≥，则a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．0a ≤C ．3a >D ．3a <8．对于数列{}n a ，定义：1n n nb a a =+（*n ∈N ），称数列{}n b 是{}n a 的“倒和数列”．下列命题正确的是（）A ．若数列{}n a 的通项为：12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最小值为2B ．若数列{}n a 的通项为：34n a n =，则数列{}n b 不是单调递增数列C ．若数列{}n a 的通项为：ln n na n=，则3n ≥时数列{}n b 单调递减D ．若数列{}n a 的通项为：sin n a n =，则1112b b <二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y cx c =+（1,2,,i n =⋅⋅⋅），c 为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数可能相同B ．两组样本数据的样本中位数一定不同C ．两组样本数据的样本标准差可能相同D ．两组样本数据的样本极差一定不同10．如图，在边长为1的正方体ABCD EFGH -中取BDEG 四个顶点，得到正四面体BDEG ，则下列正确的是（）A ．正四面体BDEG 的体积为13B ．正四面体BDEG 的外接球的半径为4C ．正四面体BDEG 的棱切球的半径为12D ．正四面体BDEG 的内切球的半径、棱切球的半径和外接球的半径为等比数列11．过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且该直线与y 轴的交点为Q ，若FP OQ ≤（O 为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（）A ．65B．1-CD12．已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导函数，若对任意的x ∈R ，都有()()()xf x f x xf x +'>，则下列结论正确的是（）A ．()10f >B ．()()e 122f f <C ．()()ln22ln2f f <D ．当0x <时，()()e 220xf x f x ->三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()3,1a = ，()2,2b =，则cos ,a a b -= ______．14．已知棱长均相等的正三棱柱ABC A B C '-''，则异面直线BC '与A C '所成角的余弦值为______．15．已知椭圆E ：2212412x y +=，O 为坐标原点，A ，B 是椭圆上两点，OA ，OB 的斜率存在并分别记为OA k ，OB k ，且12OA OB k k ⋅=-，则22OA OB +=______．16．已知函数()sin f x A x ω=（0A >，0ω>）的图象向右平移4π个单位长度后，所得函数在59,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦上至少存在两个最值点，则实数ω的取值范围是______．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且22a ac b +=．（1）证明：2B A =；（2）求b aa b-的取值范围．18．（本小题满分12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知：11a =，11112n n n n n n S a S a a a +++-=（*n ∈N ）．（1）求证：数列n n S a ⎧⎫⎨⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：0121231C C C C nn n n n n a a a a ++++⋅⋅⋅+．19．（本小题满分12分）如图甲，在菱形ABCD 与等腰直角ADE △中，2AD =，AD DE ⊥，120ABC ∠=︒，现将ADE △沿AD旋转，点E 旋转到点P ，如图乙，若PB =（1）求证：PB AC ⊥；（2）求二面角A PB C --平面角的余弦的绝对值，并据此求出平面PAB 在平面PBC 上投影的面积．20．（本小题满分12分）2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球决赛，中国队以3比0战胜日本队，夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军．她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的精神．某学校为了弘扬女排精神，组织高三同学参加《三环杯》排球赛，采用5局3胜制，每局25个回合，决胜局15个回合．在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方．经统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12；当乙队拥有发球权时，乙队获胜的概率为23，且在第一回合中，甲队和乙队拥有相同的发球权．（1）在第一局比赛中，求在前三个回合里乙队获得2分的概率；（2）在第二局比赛中，假设由乙队先发球，试比较在第五个回合中，甲乙两队谁发球的概率更大？21．（本小题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）过()2,0M 且离心率为2．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且MA MB ⊥，求证：直线l 恒过定点，且该定点不在C 上．22．（本小题满分12分）已知函数()1e x af x x-=．（1）若()f x 在()()2,2f 处的切线l 与直线4e 10x y +-=垂直，求l 的方程；（2）若0a >，且()ln axf x x a ≥+恒成立，求a 的取值范围．数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CACBADBD【解析】1．{}{}ln 0A x y x x x ===>，{}{}ln B y y x y y ===∈R ，则A B =R ，故选C ．2．20232023i2023i z =+=-，则2023i z =+，所以z 的虚部是1，故选A ．3．∵()f x 为奇函数，∴0x <时，0x ->，则()()1e 3xf x f x -+-=-=-，∴0x <时，()1e3x f x -+=-+，则()()()112113e 66e g f --+-=-+=-+=-，故选C ．4．4位周学各自在周六、周日两天中任选一天参加实践活动，共有4216=种选法，周六、周日各有两位同学参加实践活动共有24C 6=种选法，46328P ==，故选B ．5．因为()()434sin 3cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=-+=--=-- ⎪⎝⎭，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，又()f x 在0x 处取到最大值，所以022x k πϕπ-=-+（k ∈Z ），即022x k πϕπ=-+（k ∈Z ），则04sin cos 5x ϕ=-=-，03cos sin 5x ϕ==，所以00013233sin sin 322510x x x π⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭，故选A ．6．圆C ：()()22211x y -++=，圆心()21C -，，半径1r =，由ACB ∠的最小值为23π，可得32ACM ππ≤∠<．又1cos CM ACM =∠，10cos 2ACM <∠≤，所以CM 的最小值为2，而圆心()21C -，到直线l ：10mx y m -++=（0m ≠）的距离等于2，2=，解得125m =-，故选D ．7．因为任意x ∈R ，都有()()0f x f x ≥，所以()0f x 是函数()f x 的最小值，也是极小值，故()00f x '=，解得20330x a +-=，则3a <，记二次函数()233g x x a =+-的零点为10x x ，，且10x x <，则()f x 在()1,x -∞，()0,x +∞上单调递增，在()10,x x 上单调递减，当x →-∞时，()0f x +→，因为()0f x 是最小值，所以()00f x ≤，即()()()0020000363e 66e 0x x f x x x a x =-++=-≤，解得01x ≥，故20330a x =-≤，故选B ．8．对于A ，1122nn a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，函数()1f x x x =+在()0,1上单调递减，则数列{}n b 的最小值为52，故A 错误；对于B ，数列{}n a 单调递增，且2n ≥时，312n a ≥>，函数()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增，则数列{}n b 单调递增，而1n =时，134254312b =+=，又23213236b =+=，∴12b b <，所以数列{}n b 是单调递增数列，故B 错误；对于C ，因为函数ln x y x =在()e,+∞上单调递减，且max 11ey =<，所以3n ≥时，数列{}n a 单调递减，且01n a <<，又函数()1f x x x=+在()01，上单调递减，则3n ≥时，数列{}n b 单调递增，故C 错误；对于D ，∵11sin11sin1.581a =≈≈，12sin12sin 2.580.5a =≈≈，∴1112a a >，由函数()1f x x x=+在()0,1上单调递减知：1112b b <，故D 正确，故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ACACDABDABC【解析】9．当取11x =，22x =，33x =，23c =时，A 成立，B 不成立；C ：()()()()2D y D cx D c c D x =+=，故方差可能相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为()()max min max min max min y y cx c cx c cx cx -=+-+=-，故极差可能相同，错误，故选AC ．10．对于A 选项，111463BDEG V =-⨯=，故而A 正确；对于B 选项，正四面体BDEG 的外接球即为正方体ABCD EFGH -的外接球，故而半径为2，故而B 选项错误；对于C 选项，正四面体BDEG 的棱切球即为正方体ABCD EFGH -的内切球，故而半径为12，故而C 选项正确；对于D 选项，正四面体BDEG 的内切球的半径为正方体体对角线16，所以半径为6，由6，12，2成等比数列，所以D 选项正确，综上所述，故选ACD ．11．不妨设双曲线的渐近线方程为by xa=，右焦点(),0F c，则点(),0F c到渐近线by xa=的距离为FP b==，在方程()ay x cb=--中，令0x=，得acyb=，所以0,acQb⎛⎫⎪⎝⎭，由FP OQ≤，可得acbb≤，则20b ac-≤，即220c a ac--≤，即210e e--≤，解得151522e+≤≤，又因为1e>．所以1512e<≤，故选ABD．12．设()()e x xf xg x=，则()()()()e xg x xf x f x xf x-=+-⎡⎤⎣⎦''，据题意()0g x'>，故()g x是一个定义在R上的增函数，则()()()012g g g<<，即()()2122e ef f<<，化简得()10f>，()()e122f f<，故A，B正确；又()()ln22ln2g g<，即()()ln2ln2ln42ln224f f<，化简得()()ln22ln2f f<，故C正确；由于()()()()()()2222222ee e exx x xxf x xf x xg x g x f x f x⎡⎤-=-=-⎣⎦，当0x<时，()()20g x g x-<，解得()()22e0xf x f x->，故D选项不正确，故选ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．根据题意，向量()3,1a=，()2,2b=，则()1,1a b-=-，则有a==，a b-==，()2a a b⋅-=，故()5cos,5a a ba a ba a b⋅--==-．14．如图1，连接AC'，A C'交于点N，取AB的中点M，连接MN，则MNC∠为异面直线所成的角或其补角，不妨令2AB=，则在三角形NMC中，CN MN==，CM=，由余弦定理可知：1 cos4MNC∠=，所以异面直线BC'与A C'所成角的余弦值为1 4．15．设()Aαα，(),Bββ，[)0,2απ∈，[)02βπ∈,，由12OA OBk k⋅=-，整理得：cos cos sin sin0αβαβ+=，即()cos0αβ-=，则2παβ-=±或32π±，所以22cos sinαβ=，()22222412cos cos36OA OBαβ+=++=．16．将()sinf x A xω=的图象向右平移4π个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为()sin4g x A xπωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当29544Tππππω=≤-=，即2ω≥时，()g x在5944ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上至少存在两个最值点，满足题意；当02ω<≤时，[],24xπωωπωπω-∈，所以222kkππωπππωπ⎧≤-+⎪⎪⎨⎪≥+⎪⎩，（k∈Z），解得11422k kω+≤≤-+（k∈Z）．当1k≤时，解集为∅，不符合题意；当2k=时，解得5342ω≤≤；当3k=时，解得7542ω≤≤．综上，实数ω的取值范围是537424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）证明：由余弦定理可得22222cos b a c ac B a ac =+-=+，化简可得2cos a c a B =-，由正弦定理可得sin sin 2sin cos A C A B =-．又()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A =-=-，∴A B A =-或()A B A π=--，即2B A =或B π=（舍去）．（2）解：∵2B A =，∴3C A B A ππ=--=-，∴由正弦定理可得()22sin 2sin sin 3sin sin 22sin cos A A b a b a ac c C A a b ab ab b B A A A +--======223sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos sin sin 2sin cos 2sin cos A A A A A A A A AA A A A ++-==2223cos sin 4cos 112cos 2cos 2cos 2cos A A A A A A A--===-.又∵0A π<<，0B π<<，0C π<<，∴00203A A A ππππ<<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩，，，解得03A π<<，∴1cos 12A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,．令cos t A =，则122b a t a b t-=-，∵函数122y t t =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴1320,22y t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，即30,2b a a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．18．（本小题满分12分）（1）证明：由11112n n n n n n S a S a a a +++-=，有1112n n n n S S a a ++-=，又11a =，故111Sa =，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，所以12n n S n a +=，即12n n n S a +=，故1122n n n S a +++=，两式相减得112122n n n n n a a a ++++=-，即1122n n n n a a ++=，所以11111n n a a a n n +==⋅⋅⋅==+，因此{}n a 的通项公式为n a n =．（2）解：设0121231C C C C n n n n n n S a a a a +=+++⋅⋅⋅+，则由（1）知()012C 2C 3C 1C nn n n n S n =+++⋅⋅⋅++，又()12101C C 3C 2C C nn n n n n n S n n -=+++⋅⋅⋅+++，两式相加得：()()()()0112202C 1C 2C C 3C 1C 1C C n n n n n n n n n n n n S n n n n --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++-+⋅⋅⋅+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∵C C m n mn n-=，0,1,,m n=⋅⋅⋅()()()()01222C 2C 2C 2C n n n n n S n n n n =++++++⋅⋅⋅++()()()0122C C C C 22n n n n n n n n =++++⋅⋅⋅+=+∴()122n S n -=+.19．（本小题满分12分）（1）证明：由菱形ABCD 中，120ABC ︒∠=，则ADB △为边长为2的正三角形，即2DB =，又有PB =2DP =，所以222DB PD PB +=，即DB PD ⊥．又AD DE ⊥，即AD DP ⊥，且AD DB D = ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥，如图2，连接AC ，与BD 交于点O ，则BD AC ⊥，且BD PD D = ，所以AC ⊥平面PBD ，故而PB AC ⊥．（2）解：取PB 的中点Q ，连接OQ ，如图3建立以OA ，OB ，OQ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则)A ，()0,1,0B，()C ，()0,1,2P -，()AB = ，()0,2,2PB =-，)CB =．设()1111,,n x y z = 为平面PAB 的一个法向量，则110,0,n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11110,220,y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令1z =，则11x =，1y =(1n = ．设()2222,,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则220,0,n CB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22220220y y z +=-=⎪⎩令2z =21x =-，2y =(2n =- ．令二面角A PB C --的平面角为θ，则12125cos 7n n n n θ⋅==⋅ ．如图4，在三角形PAB中，由题意知：PA PB ==2AB =，则PAB S =△，令平面PAB 在平面PBC 上投影的面积为0S ，57=，所以0577S =，所以平面PAB 在平面PBC 上投影的面积为7．20．（本小题满分12分）解：（1）当某局比赛开始，甲队先发球，乙队获取2分的概率为：()1112111111211322232232223372P =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=甲；当某局比赛开始，乙队先发球，乙队获取2分的概率为：()111212111221523232332233327P =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=乙；所以在前三局比赛中，乙队获得2分的概率135797227216P =+=．（2）方法一：在第五个回合中，甲队开球的概率：()54411123P P P =+-，同理：()43311123P P P =+-，()32211123P P P =+-，()21111123P P P =+-，∵10P =，∴213P =，3718P =，443108P =，5259648P =，又∵525916482P =<，故在第五个回合中，乙队开球的概率更大．方法二：设在第i 个回合中，甲队开球的概率为i P ，由全概率公式得：()111111112363i i i i P P P P ---=+-=+，即：1212565i i P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由题意得：10P =，所以数列25i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭由是以25-为首项，16为公比的等比数列，所以：1221556i i P -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即：1221556i i P -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，所以：4522125915566482P ⎛⎫=-⨯=< ⎪⎝⎭，故在第五个回合中，乙队开球的概率更大．21．（本小题满分12分）解：（1）因为C 经过点()2,0M ，可知2a =，因为离心率72c e a ==，解得c =．因为222c a b =+，解得b =，所以C 的方程为22143x y -=．（2）（ⅰ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22,3412,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩整理得()2223484120k x kmx m ----=．由()()()2222340,84344120,k km k m ⎧-≠⎪⎨∆=----->⎪⎩得222340,340k k m ⎧-≠⎨-+>⎩（*），且122834km x x k +=-，212241234m x x k --=-，因为()2,0M ，所以()112,MA x y =- ，()222,MB x y =- ．因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅= ，即()()1212220x x y y --+=，所以()()()121212240x x x x kx m kx m -+++++=，即()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，所以()()22222412812403434m km k km m k k--++-++=--，化简得2216280m km k ++=，即()228360m k k +-=，解得2m k =-或14m k =-，且均满足（*），当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线l 过定点()2,0，即点M ，不符合题意，舍去；当14m k =-时，直线l 的方程为()14y k x =-，直线l 过定点()14,0，符合题意；（ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x t =（2t >），由22,3412,x t x y =⎧⎨-=⎩解得222,33,4A B A B x x t y y t ==⎧⎪⎨==-⎪⎩依题意，因为MA MB ⊥，()2,0M ，所以2A y t =-，即()222A y t =-，所以2233444t t t -=-+，即216280t t -+=，解得2t =（舍）或14t =，所以直线l 的方程为14x =，直线l 过点()14,0，综上所述，直线l 经过一个不在双曲线C 上的定点，定点的坐标为()14,0．法二：由题意可得，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22,3412,x my n x y =+⎧⎨-=⎩整理得()2223463120m y mny n -++-=，()()()2222340,64343120,m mn m n ⎧-≠⎪⎨∆=--⨯->⎪⎩得222340,340m m n ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩（*）且122634mn y y m +=--，212231234n y y m -⋅=-．因为()2,0M ，所以()112,MA x y =- ，()222,MB x y =- ，因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅= ，即()()1212220x x y y --+=，∴()121212240,x x x x y y -+++=即()()()121212240my n my n my n my n y y ++-+++++=，∴()()()22121212440m y y mn m y y n n ++-+-++=，所以()()()222221312624403434m n mn mn m n n m m +----++=--，化简得216280n n -+=，解得2n =或14n =，均满足（*）．当2n =时，直线l 的方程为2x my =+，直线l 过定点()2,0，即点M ，不符合题意，舍去；当14n =时，直线l 的方程为14x my =+，直线l 过定点()14,0，符合题意；直线l 经过一个不在双曲线C 上的定点，定点的坐标为()14,0．22．（本小题满分12分）解：（1）直线4e 10x y +-=的斜率为4e-，()()121e x a x f x x -'-=，由题可得，()e e 244a f =='，故()1e 1,x a f x x -==，()e 22f =，切线l 的方程为：()e e 224y x -=-，即e 4y x =．（2）由题可得：21eln x a x a -≥+恒成立，即21e ln 0x a x a ---≥恒成立，设()21ln x g x a e x a -=--，0x >，()211e x g x a x -=-'，当0x >，()g x '在()0,+∞上单调递增，当0x →时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，∴∃唯一()00,x ∈+∞使得()00g x '=，即01201e x a x -=．当()00,x x ∈时，()g x 单调递减，()0,x x ∈+∞时，()g x 单调递增，()()0001120001min 01e ln e ln e x x x g x g x a x a x x ---==--=⋅--0000011ln ln ln x x x x x =--≥---∵()0g x ≥恒成立，∴()min 0g x ≥，∴0ln 0x -≥，则(]00,1x ∈，令()2110g a =-≥'，此时满足题意，解得1a ≥，当()0,1a ∈时，()210g a a =-<，不满足题意，综上，[)1,a ∈+∞．。

云南师范大学附属中学2020届高三数学（理）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]-2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1CD ．23．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．24．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．955．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-6．函数()sin()x xf x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ）A ．13B ．29C ．59D ．158．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e+ B ．(2ln 2)e + C ．222e + D ．1ln 2e +9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A B ．4C ．4πD ．10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC11．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A ．21B ．C ．D ．二、填空题12．能说明命题“a ，b ，c ，d 是实数，若a b >，c d >，则ac bd >”是假命题的一组数对（a ，b ，c ，d ）是________.13．已知某学校高三年级1500名学生参加某次考试的成绩X （单位：分）服从正态分布2(80,20)N ，估计成绩在120分以上的学生人数有________.附：若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.14．设抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线围成的图形面积为6，则抛物线的方程为________.15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3wn x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.三、解答题16．已知F 是双曲线G ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，1l ，2l 是双曲线的两条渐近线，过F 且垂直1l 的直线与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若三角形AOB 的面积2AOB S ab ∆=（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A 3BC D 17．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式； （2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.18．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码1～7分别表示2012～2018.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =-19．如图，已知菱形ABCD 和矩形ACFE 所在的平面互相垂直，2AC AE =.（1）若G 为BE 的中点，求证：//AG 平面BDF ；（2）若二面角A BE D --，求tan ABC ∠.20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，00(,)P x y 在椭圆C 上.求证：（1）直线l ：00221x x y ya b+=是椭圆在点P 处的切线；（2）从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F .21．设函数()(0,1)x a f x a x x a =->>.（1）证明：(0,)x ∀∈+∞，都有ln x <（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求()f x 的极值.22．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(1)(1)3y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程；（2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.23．如图，AB 是半圆直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB ，C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x ，y 表示线段OD ，CD 的长度；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求44a b +的最小值.解析云南师范大学附属中学2020届高三数学（理）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]- 【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 2sin 75︒︒+=（ ） A．2 B ．1 CD．【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+=︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力. 3．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，再计算OP OQ ⋅得到答案. 【详解】121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，，， 故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95 【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键. 5．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值． 【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)r r r r r r T C a x---+=-6626(1)r r r r C a x --=-， 令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ）A ．13B ．29C ．59D ．15【答案】B【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出． 【详解】解：∵“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为2554C 102⨯==， “从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为210109C 452⨯==， ∴小明今晚复习的两本均是必修教材的概率102459P ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题．8．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e+ B ．(2ln 2)e + C ．222e + D ．1ln 2e +【答案】A【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e 得2a e eae e -+⎧≥⎨≥⎩，解不等式得1a =，再代入解析式即可求出函数值．【详解】解：∵2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩，∴当函数x a <时，22()x a f x e e -+-+>=，当x a ≥时，()f x ex ae =≥，又函数的最小值为e ，∴2a e e ae e-+⎧≥⎨≥⎩，∴211a a -≥⎧⎨≥⎩，则1a =，所以(ln 2)(2)f f +ln 22e2e -+=+ln 22ee 2e -=⨯+242e e=+， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A B ．4C ．4πD ．【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，画出函数图像，计算1PQ =24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为1PQ =24PQ =，所以最小值为4 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD 不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。

云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________则天池盆体积为1π183´´故盆中积水体积为1896π948π故平地降雨量约为948ππ14´故选：BCD【点睛】关键点睛：利用球与三棱锥内切求ABCD 所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角P CD A --的平面角为PEA Ð.【详解】（1）平面PCD 与平面P AE 能垂直，理由如下：在△ABC 中4,3,90AB BC ABC ==Ð=o ，故5AC =，即AC AD =，所以△ADC 为等腰三角形，又E 为CD 中点，故AE CD ^，因为PA CD ^，且 PA AE A =I ，,PA AE Ì面PAE ，所以CD ^面PAE ，由CD Ì面PCD ，故面PCD ^面PAE .（2）CD ^Q 平面PAE ，PEA \Ð是二面角P CD A --的平面角，过点B 作//BG CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF ，由（1）知BG ^平面PAE ，BPF \Ð为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG AE ^，由90CBP Ð=o ，则PB CB ^，由90ABC Ð=o ，则AB CB ^，又PB AB B Ç=，且,PB AB Ì面PAB ，则CB ^面PAB ，而PA Ì面PAB ，所以PA CB ^，结合PA CD ^，CB CD C =I ，且,CB CD Ì面ABCD ，所以PA ^面ABCD ，则PBA Ð为直线PB 与平面ABCD 所成的角，有题意知PBA BPF Ð=Ð，Rt Rt PBA BPF PA BF \@Þ=V V ,。

2023届云南省云南师范大学附属中学高考适应性月考卷（五）数学试题一、单选题1．在如图所示的复平面内，复数z 对应的点为Z ，则2iz=-（ ）．A ．1355i +B ．13i 55-C ．13i 55--D ．13i 55-+【答案】A【分析】根据复数运算法则即可. 【详解】由图可知1i z =+，则()()()()1i 2i 1i 13i 13i 2i 2i 2i 2i 555z ++++====+---+， 故选:A ．2．设集合{}3log ,27A y y x x ==>，{}2560B x x x =-+<，则() RA B ⋂=（ ）． A ．(]2,3 B ．()2,3 C ．(],3-∞D ．(),3-∞【答案】B【分析】求得对数函数的值域求得A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得() RA B ⋂.【详解】当27x >时，3333log log 27log 33x >==，所以集合{}{}3log ,273A y y x x y y ==>=>， 所以{} R3A y y =≤，()()256230x x x x -+=--<，解得23x <<，所以{}{}256023B x x x x x =-+<=<<，所以(){} R23A B x x ⋂=<<故选：B3．已知等差数列{}n a 的前3项和为27，5230a a +=，则8a =（ ） A ．31 B ．32C ．33D ．34【答案】C【分析】根据已知条件求得1a 和公差d ，从而求得8a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意313327S a d =+=，12530a d +=， 解得4d =，15a =，所以81752833a a d =+=+=． 故选：C4．已知a ，b 满足()2,2a =，2b =，()a b b -⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】B【分析】根据()a b b -⊥求得a b ⋅，根据向量的夹角公式求得a ，b 的夹角. 【详解】因为()a b b -⊥，所以()220,4a b b a b b a b b -⋅=⋅-=⋅==， 则42cos ,2222a b a b a b⋅===⋅⋅， 由于[],0,πa b ∈，所以π,4a b =. 故选：B5．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（ ）种不同的编码．A ．120B ．60C ．40D ．10【答案】D【分析】本题转化为排列问题，即3个分别相同的元素与2个分别相同的元素排成一列的总数问题. 【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数552323A 10A ?A N ==．故选：D6．如图，为了测量一建筑物AB 的高，测量者在建筑物底部B 点所在的水平面上选取两个观测点C ，D ，在C 点和D 点测得A 点的仰角分别为30°和60°，并且测得26CD =m ，120CBD ∠=︒，则建筑物AB 的高度为（ ）．A 521B 1021mC 39mD ．239【答案】D【分析】利用余弦定理列方程，化简求得AB 的高. 【详解】由30ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，设AB x =， 在Rt ACB △、Rt ADB 中，tan 30AB BC︒=，tan 60AB BD ︒=，所以3BC x ，3BD =， 在BCD △中，由余弦定理222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅︒， 即)222331263232x x x ⎫⎛⎫=+-⋅-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得239x =239x =-， 所以建筑物的高度AB 为39m ． 故选：D7．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P ABCD -底面为矩形，且3AB =，7BC =2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（ ）． A ．16π B ．18πC ．20πD ．25π【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111AO =，1OA OA R ==， 当O 在12O O 下方时，设2OO h =， 则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =， 所以刍童外接球的表面积为20π． 同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去． 综上所述：当刍童外接球的表面积为20π． 故选：C8．连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若()f x 的图象是一条连续不断的曲线，(),x a b ∀∈，()f x 的导函数()f x '都存在，且()f x '的导函数()f x ''也都存在．若()0,x a b ∃∈，使得()00f x ''=，且在0x 的左、右附近，()f x ''异号，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点，根据上述定义，若()()22f ,是函数()()()5414e 0206x k x x kx f x x =--+>唯一的拐点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据题意，2e xk x=无变号零点，利用导数判断y =2e x x 的单调性求得其最值，即可求得参数的范围.【详解】()()5414e 206xk f x x x kx =--+，()()4323e 43x k f x x x kx '=--+， ()()()()3222e 22e x x f x x kx kx x kx ''=--+=--，因为()()22f ,是()f x 唯一的拐点，所以2x =是()f x ''唯一的变号零点， 即2e xy kx =-无变号零点，即2e xk x=无变号零点，设()2e xg x x =，()()3e 2x g x x-'=，2x >，()0g x '>，2x <，()0g x '<， 所以()()2mine 24g x g ==，x →+∞时，()g x ∞→+，当0x >时，0x →，()g x ∞→+，故2e 4k ≤，满足题意.故选：B ．二、多选题9．已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．()0fB ．()f x 最小正周期为π2C ．2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心D ．()f x 在5π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【详解】对A 选项代入计算即可，对B 选项利用结论正切函数最小正周期为πω，对B选项代入检验即可，对D 选项利用整体代换法，求出π23x -的范围，再利用正切函数的单调性即可判断. ()π0tan 3f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A 错误；()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，B 正确；当2π3x =时，2π2ππtan 20333f ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，C 正确； 当5π7π,1212x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π2,326x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为tan y x =在π5π,26⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 正确．故选：BCD ．10．如图．四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA BE ∥，且22PA BC BE BA ===，记四面体P ACD -，E PBC -，E PAC -的体积为1V ，2V ，3V ，则下列说法正确的是（ ）．A ．122V V =B ．1323V V =C ．1V ，2V ，3V 成等差数列D ．232V V =【答案】AD【分析】利用棱锥的体积计算公式，结合线面垂直的判定定理，分别求得123,,V V V ，即可判断和选择. 【详解】连接,,PB BD AE ，如下所示：因为PA ⊥面ABCD ，故点P 到平面ABCD 的距离为PA ；又四边形ABCD 为矩形，BC AB ⊥，PA ⊥面,ABCD BC ⊂面ABCD ，故BC PA ⊥， 又,AB PA ⊂面,PBE AB PA A ⋂=，故BC ⊥面PBE ，故点C 到面PAB 的距离为BC ； 同理可得：DA ⊥面PAE ，故点D 到面PAE 的距离为DA ； 不妨设222PA BC BE BA ====，则111122123323P ACD ACD V V S PA -⎛⎫==⋅=⋅⨯⨯⋅= ⎪⎝⎭，()11311211212222PBE PABE PAB S S S =-=+⨯-⨯⨯=-=⎡⎤⎣⎦， 2111123323E PBC C PBE PBE V V V S BC --===⋅=⋅⋅=，311122123323E PAC C PAE D PAE PAE V V V V S DA ---⎛⎫====⋅=⋅⨯⨯⋅= ⎪⎝⎭，因此122V V =，232V V =． 故选：AD ．11．已知椭圆22:12x C y +=，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为D ，直线BD 交椭圆于另一点M ，则下列说法正确的是（ ）． A ．若D 为椭圆的一个焦点时，则ABD △的周长为226+ B ．若1k =，则ABD △的面积为23C ．直线BM 的斜率为2kD ．0AM AB ⋅= 【答案】ABD【分析】根据D 为焦点，求得,A B 坐标，结合椭圆定义，即可求得判断A 的正误；联立直线方程和椭圆方程，结合三角形面积公式即可判断B 的正误；根据斜率的计算公式，即可直接判断C 的正误；根据,MA MB 斜率关系，结合C 中所得结论，即可判断D 的正误. 【详解】对A ：如图，由对称性，不妨设D 为椭圆的左焦点，则()1,0D -，故易得21,A ⎛- ⎝⎭，则6OA =AB 6=又因为222AD BD a +==ABD △的周长为226A 正确；对B ：由2212x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得6x =，不妨设66A ⎛ ⎝⎭，66B ⎝⎭，6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则26A B y y -=，6OD =，所以1626223ABD S ==△．故B 正确； 对C ：设()00,A x y ，()00,B x y --，则()0,0D x ，所以00122BM BD y k k k x ===，C 错误； 对D ：设()00,A x y ，则20012x y +=，(),M m n ，则2200022000MA MB n y n y n y k k m x m x m x -+-⋅=⋅=-+-， 又点M 和点A 在椭圆C 上，2212m n +=①，220012x y +=②，①－②得22022012n y m x -=--，因为12MB k k =，则1122MA k k ⋅=-，得1MA k k =-，∴11MA AB k k k k ⎛⎫⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭，∴90MAB ∠=︒，所以0AM AB ⋅=，D 正确．故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域都为R ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭成立，则下列说法正确的是（ ）． A ．()01f =B ．若()112f =，则()122f =-C ．()f x '为偶函数D ．若()10f =，则11151920192023022222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】BD【分析】根据题意运用特殊值检验方法，排除法即可解决.【详解】令0x y ==，则()()()20020f f f +=，解得()01f =或()00f =，故A 错误；令1x y ==，()()()21210=f f f ，所以()01f =，令2x =，0y =，则()()()22021f f f +=，解得()122f =-，故B 正确；当()00f =时，令x y =，则有()()()2200f x f x f ==， 所以()0f x =，()0f x '=，当()01f =，令x y =-，则有()()()()20f x f x f f x +-=， 所以()()=f x f x -，所以()()f x f x ''=--，所以()f x '为奇函数， 综上，()f x '为奇函数，故C 错误；令2x y =+，则()()()()22110f y f y f y f ++=+=， 所以11152019202302222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确． 故选：BD ．三、填空题13．曲线1x y e -=的一条切线斜率为1，则该切线方程为______． 【答案】y x =【分析】设切点，根据切点处的导函数值与斜率相等即可解决.【详解】设切点为()010,x x e -，因为1x y e -'=，所以由题意011x e -=，则01x =， 所以切点为()1,1， 所以切线方程为y x =． 故答案为：y x =.14．在()32x kx +的展开式中，3x 的系数为8，则实数k 的值为______．【答案】2【分析】根据展开式的通项求某项的系数即可. 【详解】()32x kx +的展开式的通项为626133rrr r r r r r T C xk x C x k --+=⋅=，令6r 3-=，解得3r =，所以3x 系数是3338C k =，解得2k =．故答案为：2.15．设ABC 的面积为S ，BAC θ∠=，已知4AB AC ⋅=，2S ≤≤()22πcos 4f θθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为______．【答案】⎣⎦【分析】由向量数量积公式和三角形面积公式得到1tan θ≤ππ,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，三角恒等变换化简得到()πsin 26f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θ的范围，结合正弦函数图象求出值域.【详解】由题意cos 4AB AC AB AC θ⋅=⋅=，12sin 2AB AC θ≤⋅≤所以1tan θ≤≤所以ππ,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22ππ1cos 2cos 1cos 2422f θθθθθ⎤+⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1π2cos 2sin 226θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为ππ,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π5π2,636θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π5π266θ+=，即π3θ=时，()f θ；当π2π263θ+=，即π4θ=时，()f θ；故()f θ∈⎣⎦.故答案为：⎣⎦16．在概率论发展的过程中，通过构造试验推翻或验证某些结论是统计学家们常用的方法，若事件A ，B ，C 满足()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =同时成立，则称事件A ，B ，C 两两独立，现有一个正六面体，六个面分别标有1到6的六个数，随机抛掷该六面体一次，观察与地面接触的面上的数字，得到样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，若{}1,2,3,4A =，{}1,2,5B =，则可以构造C ＝______（填一个满足条件的即可），使得()()()()P ABC P A P B P C =成立时，但不满足事件A ，B ，C 两两独立 【答案】{}1,3,4（答案不唯一）【分析】根据相互独立事件以及“,,A B C 两两相互”的定义对问题进行分析，先判断,A B 相互独立，确定构造事件C ，使“A 与C ”或“B 与C ”不相互独立，根据事件C 包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间C .【详解】元素1或2有且仅有一个属于C ，剩余的3，4，5，6中任选两个属于C ，都满足条件要求． 因为()23P A =，()12P B =，()13P AB =，()()()P A P B P AB =， 若不满足事件A ，B ，C 两两独立，只需构造事件C使得()()()P A P C P AC ≠和()()()P B P C P BC ≠至少有一个成立．设事件C 包含的基本事件个数为N （16N ≤≤且N ∈N ），()n ABC m =（02m ≤≤且N m ∈）， 当()()()()P ABC P A P B P C =成立时，有216326m N=⨯⨯，得3N m =， 所以3N =或6N =．（1）若6N =，则{}1,2,3,4,5,6C =，{}1,2A B C ⋂⋂=，()()()()P ABC P A P B P C =成立，此时()12P BC =，()12P B =，()1P C =，()()()P BC P B P C =； ()23P AC =，()23P A =，()1P C =，()()()P AC P A P C =，又因为()()()P AB P A P B =，所以事件A ，B ，C 两两独立，不满足要求． （2）若3N =，则()1n ABC =，因为{}1,2,3,4A =，{}1,2,5B =，所以必有1C ∈且2C ∉、2C 且1C ∉两种情况． 当1C ∈且2C ∉时，()23P A =，()12P B =，()12P C =， 所以()()14P B P C =，()()13P A P C =，所以若事件A ，B ，C 两两独立，则存在事件C 使得()14P BC =且()13P AC =， 此时()2n AC =，()32n BC =，不符合题意， 所以A ，B ，C 不可能两两独立．所以构造集合C 使得()3n C =，1C ∈且2C ∉均满足题意，满足要求的C 为：{}1,3,4、{}1,3,5、{}1,3,6、{}1,4,5、{}1,4,6、{}1,5,6．当2C 且1C ∉时，同理符合要求的集合C 为：{}2,3,4、{}2,3,5、{}2,3,6、{}2,4,5、{}2,4,6、{}2,5,6． 故答案为：{}1,3,4（答案不唯一）四、解答题17．ABC 的内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC 的内心，记OBC △，OAC ，OAB 的面积为1S ，2S ，3S ，已知22213213S S S S S +-=，3c =．(1)求角B ；(2)在①sin sin 2sin A B C +=；②sin 2sin AB=；③cos cos a C c A +=角形是否存在？若存在，求出三角形面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)π3B = (2)答案见解析【分析】（1）利用三角形的面积公式列方程，结合余弦定理求得B .（2）选①，结合正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积.选②，利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，得出矛盾，由此说明理由.选③，利用余弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）设ABC 内切圆半径为r ，因为22213213S S S S S +-=，所以2221111122222ar cr br ar cr ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =．（2）若选择①，因为sin sin 2sin A B C +=，所以26a b c +==， 由（1）知222a c b ac +-=，3c =，所以2293a b a +-=，所以()22963a a a +--=，解得3a b ==，所以ABC 存在且唯一，面积11sin 922S ab C ==⨯=． 若选择②，sin 2sin AB=，所以2a b =， 由（1）知222a c b ac +-=，3c =，所以22496b b b +-=，整理得2230b b -+=，b 无解，故ABC 不存在．若选择③，因为cos cos a C c A +=所以22222222a b c b c a a c b ab bc+-+-⨯+⨯== 由（1）知222a c b ac +-=，3c =， 所以2973a a +-=，整理得2320a a ，解得1a =或2a =，经检验，1a =或2a =，满足题意， 所以ABC 存在两个．当1a =时，ABC 的面积121sin 32S ac B ==⨯当2a =时，ABC 的面积11sin 622S ac B ==⨯=． 18．研究表明，季节变化引起的光照强度会影响人群的情绪，其主要原因是光照可以控制褪黑素的分泌，干扰正常的生物节律，进而间接参与情绪的调节，为了探究光照强度是否也会影响其它动物褪黑索的分泌，科研人员将200只小白鼠置于光照条件下，控制光照时长，将光照时长按[)0,4，[)4,8，[)8,12，[)12,16，[)16,20，[]20,24分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．试验发现，共有130只小白鼠褪黑素分泌正常，其中光照时长不小于8小时的有90只褪黑素分泌正常．(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05α=的独立性检验，能否认为褪黑素分泌与光照时长不小于8小时有关联？（单位：只）褪黑素光照时间合计小于8小时不小于8小时分泌正常 分泌不正常 合计(2)以样本中的频率估计概率，计算光照小于8小时的条件下，小白鼠褪黑素分泌不正常的概率． 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）．参考数据： ()2P x αχ≥0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，可以认为褪黑素分泌与光照时长不小于8小时有关联；(2)15.【分析】（1）先计算出光照小于8小时的共有50只，不小于8小时的有150只，结合褪黑素分泌正常的有130只，其中光照时长不小于8小时有90只，填写列联表，计算卡方，与3.841比较后得到结论；（2）由条件概率公式计算光照小于8小时的条件下，小白鼠褪黑素分泌不正常的概率． 【详解】（1）()0.03750.025420050+⨯⨯=（只）由题意，光照小于8小时的有50只，不小于8小时的有150只，褪黑素分泌正常的有130只，其中光照时长不小于8小时有90只，小于8小时有40只， 故列联表如下：零假设为0H ：褪黑素分泌与光照时长不小于8小时无关联．根据列联表中数据，得()2220040601090 6.59 3.8415015070130χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据0.05α=的独立性检验，认为褪黑素分泌与光照时长不小于8小时有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．（2）令事件A ＝“小白鼠光照小于8小时”，事件B ＝“小白鼠褪黑素分泌不正常”， 则()()()101505n AB P B A n A ===， 故光照小于8小时的条件下，小白鼠褪黑素分泌不正常的概率为15．19．如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为12，1AB =，1AC 与1A C 交于点D ，E 为BC 中点．(1)求证：DE //平面11AA B B ；(2)若1CC AB =，DE BC ⊥，求直线1AC 与平面DEC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)63．【分析】（1）通过正DE //1A B ，即可由线线平行证明线面平行；（2）结合已知条件，通过证明线面垂直，求得BC 的长度；再以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，求得1AC 的方向向量和平面DEC 的法向量，利用向量法即可求得结果. 【详解】（1）证明：连接1A B ，如图，因为111ABC A B C 为直三棱柱，1AC 与1A C 交于点D ，所以D 为1A C 中点， 又因为E 为BC 中点，所以1DE A B ∥，1A B ⊂面11AA B B ，而DE ⊄平面11AA B B ， 所以DE //平面11AA B B ． （2）由题意11CC AB ==，因为DE BC ⊥，1DE A B ∥，所以1BC A B ⊥． 又因为1BC BB ⊥，11A BB B B =，11,A B B B ⊂面11AA B B ，所以BC ⊥平面11AA B B ，又AB ⊂面11AA B B ，所以BC AB ⊥，由111111122ABC A B C V BC -=⨯⨯⨯=，得1BC =，又1B B ⊥面,,ABC BA BC ⊂面ABC ，故11,B B BA B B BC ⊥⊥，故以B 点为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系，则1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0C ，()10,1,1A ，()0,1,0A ，()11,0,1C ，111,,222D ⎛⎫⎪⎝⎭，1,0,02EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111,,222DC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,1,1AC =-，设平面DEC 的法向量为(),,n x y z =，则1021110222n EC x n DC x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，令1y =，得()0,1,1n =-为平面DEC 的一个法向量，则11126cos ,6n AC n AC n AC ⋅=== 所以直线1AC 与平面DEC 620．已知数列{}n a 满足：()111n n n a na +-=-，23a =． (1)证明：{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)数列112n a n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求满足123100n b b b b ++++<的最大正整数n ．【答案】(1)证明见解析，21n a n =- (2)13【分析】（1）法一：化简已知条件得到212n n n a a a +++=，从而证得{}n a 为等差数列，并求得n a .法二：先猜想n a ，然后利用数学归纳法进行证明，再结合等差数列的定义证得{}n a 为等差数列.（2）利用分组求和法求得123n b b b b ++++，结合函数的单调性求得正确答案.【详解】（1）法一：()1110n n n a na +--+=①，得()21110n n na n a ++-++=②， ②－①，得2120n n n na na na ++-+=，即212n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列，又101a =-，∴11a =，23a =，公差2d =，所以21n a n =-． 法二：令1n =时，101a =-，11a =，23a =， 令2n =时，32215a a =-=，猜想21n a n =-． 下面数学归纳法证明：①当1n =时，101a =-，11a =，12111a =⨯-=， ②假设当n k =时，121a k =-，则当1n k =+时，()()211121121k k k a ka k k k k +-=-=--=--，解得121k a k +=+，所以1n k =+成立． 综上所述，n *∀∈N 时，21n a n =-．()121212n n a a n n +-=+--=，所以数列{}n a 是等差数列.（2）11124n a nn b n n +⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()123111441111110012334214nn n n n n n b b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦++++=+=-+< ⎪⎝⎭-，即()11111002343nn n +⎛⎫-<- ⎪⎝⎭因为()()111234xx x f x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()1,+∞上单调递增，()1411114105100343f ⎛⎫=->- ⎪⎝⎭，()131111391100343f ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭，所以满足条件的最大正整数为13．21．已知点A 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右顶点，(B 在双曲线Γ上，(5,C ，ABC 的内切圆为M ．(1)求曲线Γ和M 的方程；(2)已知12,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，过D 作M 的两条切线分别交Γ于1A ，2A 两点，证明：直线12A A 与M 相切．【答案】(1)22:121x y Γ-=，M ：()2241x y -+=； (2)证明见解析.【分析】(1)将B 的坐标代入双曲线方程即可求双曲线方程；设出圆心坐标，根据几何关系求出圆的圆心和半径即可求圆的方程．(2)设出圆的切线方程，利用点到直线距离等于半径求出切线斜率满足的方程，再将切线方程与双曲线方程联立求出点12,A A 的纵坐标即可作答． 【详解】（1）由题知1,0A ，∵(B 在双曲线Γ上，∴22251b -=，解得2112b =，∴双曲线22:121x y Γ-=．由对称性知，M 的圆心在x 正半轴上，设M 的圆心()(),01M a a >，半径为r ，则5a r +=， AB所在直线方程为)1y x =-40y -=，r =，则13a r -=，解得1r =，4a =，∴M 的方程为()2241x y -+=．（2）依题意，过D 且与圆M 相切的直线斜率存在，设切线方程为()122y k x =-+，即1202kx y k --+=，1=，即212830k k +-=．设()111,A x y ，()222,A x y ，设切线1DA 的斜率为1k ，切线2DA 的斜率为2k ， 则1k 、2k 是方程212830k k +-=的两个实根．由()122122121y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩得：()()2222111111124812482440k x k k x k k -+--+-=，① ∵过点D 的M 的切线与双曲线Γ交于两点，∴211120k -≠，且()()()()22222111111Δ481216121121616310k k k k k k ⎡⎤=---+-=->⎣⎦， ∵点12,2D ⎛⎫⎪⎝⎭在Γ上，故2是方程①的一个根，1x 是方程①的另外一个根；则根据韦达定理得211121482442112k k x k -+-=-，解得211112211241224122112121k k k x k k -+--==+--， 而2111283k k =-+，于是得11111112114124(83)11131(2)121212831222k k k y k x k k k ---+=-+=⋅+=+=-+=---+-， 同理22224122121k x k -=+-，21y =-， 因此直线12A A 的方程为1y =-，∵M 的圆心(4,0)M 到直线12A A 的距离为1， ∴直线12A A 与M 相切．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是注意到12,2D ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线上，联立切线方程和双曲线方程后，借助韦达定理的两根之积可快速求出1A 和2A 的横坐标.求出切线斜率满足的方程，从而求出1A 和2A 的纵坐标.22．已知()e sin cos xf x x x =++，()2cos 2sin 21g x x x x =-++．(1)证明：0x ≥时，()2f x ≥；(2)设()f x 的导函数为()f x '，求曲线()y f x '=与曲线()y g x =的交点个数． 【答案】(1)证明见解析(2)曲线()y f x '=与曲线()y g x =的有2个交点．【分析】（1）首先对函数求导，构造函数()e 1xm x x =--，()sin n x x x =-，证明两个函数单调递增，得到常用的一个放缩e 1x x ≥+，即可证明()0f x '≥，则得到()()min 02f x f ==.（2）设()()()x f x g x ϕ'=-，()e cos sin 2xx x x ϕ'=++-，根据（1）的结论结合零点存在定理即可证明()x ϕ在[)0,∞+上有唯一零点，对于(),0x ∈-∞时，利用导函数证明()x ϕ在(),0∞-上单调递减，再次使用零点存在定理证明()x ϕ在(),0∞-上存在唯一零点，综合则有两个交点.【详解】（1）证明：()e sin cos x f x x x =++，()e cos sin xf x x x '=+-，当0x ≥时，设()e 1xm x x =--，()sin n x x x =-，则()0e 1e 10x m x =≥-'-=，()1cos n x x =-'，[]cos 1,1x ∈-，()1cos 0n x x ∴='-≥所以()()00m x m ≥=，()()00n x n ≥=， 所以e 1x x ≥+，sin x x ≥，所以()e cos sin 1cos sin 0xf x x x x x x '=+-≥++-≥，所以()f x 在[)0,⎡⎤+∞⎣⎦上单调递增，所以()()min 02f x f ==， 所以()2f x ≥．（2）()e cos sin xf x x x '=+-，()2cos 2sin 21g x x x x =-++，设()()()x f x g x ϕ'=-，()e cos sin 21x x x x x ϕ=-+--，()e cos sin 2x x x x ϕ'=++-，①当0x ≥时，由（1）知()e cos sin 20xx x x ϕ'=++-≥，所以()x ϕ在[)0,∞+上单调递增，又因为()010ϕ=-<，()ππe 2π0ϕ=->，所以()x ϕ在[)0,∞+上有唯一零点，所以曲线()y f x '=与曲线()y g x =在[)0,∞+上有一个交点．②当0x <时，()e cos sin 2xx x x ϕ'=++-，()cos sin 2e 1e x xx x x ϕ+-⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭， 设()cos sin 21exx x h x +-=+，[]sin 1,1x ∈-，则()22sin 0e x x h x -'=≥， 所以()h x 在(),0∞-上单调递增， 所以()()00h x h ≤=，所以()0x ϕ'<， 所以()x ϕ在(),0∞-上单调递减，第 21 页 共 21 页 ()010ϕ=-<，()ππ2π0e ϕ-=+>，所以()x ϕ在(),0∞-上有唯一零点，所以曲线()y f x '=与曲线()y g x =在(),0∞-上有一个交点．综上所述，曲线()y f x '=与曲线()y g x =的有2个交点．【点睛】结论点睛：常见的一些放缩不等式：①e 1x x x ≥+>(仅当0x =取等号)②e e x x ≥(仅当1x =取等号) ③1e ,(1)1x x x≤<-(仅当0x =取等号) ④()21e 102x x x x ≥++≥(仅当0x =取等号)； ⑤()21e 102x x x x ≤++≤(仅当0x =取等号)； 本题在第一问证明导函数大于等于0时，采用了第一条的放缩，从而证明原函数的单调性.。

2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（五）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,A x x x Z =≤∈，则满足条件B A 的集合B 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】先确定集合A 中元素，再由真子集个数的计算公式，即可得出结果.【详解】因为{}{}1,101A x x x Z =≤∈=-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=， 故选：C ．2．已知函数12()f x x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象恒在x 轴上方 B ．f （x ）的图象经过原点 C ．f （x ）是R 上的减函数 D ．f （x ）是偶函数【答案】A【分析】先化简()f x 的表达式，结合函数的定义域、单调性、奇偶性、图像性质对选项进行判定.【详解】化简得11221()f x xx x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()f x 的定义域为(0+)∞，， 对于A ，()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，故A 正确； 对于B ，该函数不经过原点，故B 错误；对于C ，函数()f x 的定义域为(0+)∞，，在定义域内是减函数，并不是在R 上的减函数，故C 错误；对于D ，函数定义域并不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，不是偶函数，故D 错误； 故选：A3．已知如图的程序框图，则当输出的y 的值为8时，输入的x 的值为（ ）A ．-3，3，-1B ．-1，-3C ．-3D ．-1【答案】C【分析】读懂程序框图的分段函数，令8y =，计算出x 的值即可.【详解】该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +>⎧=⎨-≤⎩，，，， 当8y =时，098x x >⎧⎨+=⎩，或2018x x ≤⎧⎨-=⎩，，解得3x =-.故选：C ．4．若a ，b ，c 均为单位向量，且a b ⊥，13c a kb =+（k ＞0），则k 的取值是（ ）A ．13B ．23C 6D 22【答案】D【分析】由题意知21c =，按照向量数量积的定义进行计算求值. 【详解】由题意知1,1,1,0a b c a b ===⋅=，所以222222112113939c a kb a ka b k b k ⎛⎫=+=+⋅+=+= ⎪⎝⎭，又0k >，所以22k =故选：D5．已知定义域为R 的函数f （x ）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是（ ）A ．f （a ）＞f （b ）＞f （0）B ．f （0）＜f （c ）＜f （d ）C ．f （b ）＜f （0）＜f （c ）D ．f （c ）＜f （d ）＜f （e ）【答案】D【分析】根据导数图判断函数的单调性，即可判断函数值的大小关系.【详解】由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，A 错误；()(0)()f b f f c >>，B ，C 错误；()()()f c f d f e <<，D 正确.故选：D6．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是（ ） A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆 C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线 D ．曲线Γ不能表示抛物线【答案】B【分析】理解辨析双曲线、等轴双曲线、椭圆等定义逐一判断即可.【详解】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误. 故选：B ．7．4名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动，若要求每个地方至少有一名同学，则不同的安排方法共有（ ） A ．72种 B ．64种C ．36种D ．24种【答案】C【分析】由题意，先按人数进行分组，再将三组人分别安排到三个地方.即可求解. 【详解】由题意，三个地点中有一处为2人，其余均为1人， 先按人数进行分组，共有24C 种分法， 再将三组人分别安排到三个地方，总共有2343C A 36=种安排方法，故选：C ．8．九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘．假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过a n 步演变，出现只穿有第n 环的状态，则a n ＋1＝2a n ＋1，且a 1＝1．则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为a 8＋1＋a 6＋1＋a 4＋1＋a 2＋1＋1＝（ ） A ．345 B ．344C ．341D ．340【答案】C【分析】令1n n b a =+，由题设可得数列{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，求出其通项公式，即可求出结果.【详解】由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+， 则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a =+=， 则864864211111222a a a a ++++++++=+++221341+=， 故选：C9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线BD 1且过点A ，M 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面的形状是（ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．五边形D ．以上都不对【答案】B【分析】画出图形，设截面为α、BDAM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1//BD α推出//MN AP ，从而推出截面AMNP 为梯形.【详解】如图，设截面为α，设BDAM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1//BD α可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行， ∴α平面11BB C C MN =，由//MN AP 且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形.故选：B10．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ） A 51 B 5C ．3 D ．2【答案】A【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为22|||i |1z x y x y =++=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-++-所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||51OA r -=， 故选：A ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.11．已知函数f （x ）＝cos x ，若x 1，2,00,44x ππ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，有122221()()f x f x x x <，则（ ）A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．2212x x > D ．2212x x < 【答案】D【分析】将不等式122221()()f x f x x x <转化为221122()()x f x x f x <，然后构造函数2()cos g x x x =，利用导数研究()g x 的单调性，结合()g x 为偶函数确定正确选项. 【详解】因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数．当π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =- sin x x ，则()3sin cos h x x x x '=--，则()0h x '<在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()h x 在π04⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ2044h ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g x '>在π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()g x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <.故选：D【点睛】方法点睛：求解不等式有关的问题，可采用构造函数法，利用导数研究函数的单调性来求解.12．已知在三棱锥P -ABC 中，PA ＝PB ，ABC 为锐角三角形，且点P 在平面ABC 上的投影O 1为ABC 的垂心，O 2为PAB 的重心．若二面角P -AB -C 的余弦值为13，且1PO =PC =CO 2＝（）A ．B ．3C ．3D ．1【答案】A【分析】画出图形，延长2PO 交AB 于点M ，说明PM AB ⊥.推出1MO AB ⊥.得出二面角PAB C 的平面角即为1PMO ∠，然后通过转化，利用余弦定理求出2CO 即可.【详解】如图，延长2PO 交AB 于点M ，则M 为AB 的中点，且由PA PB =可得PM AB ⊥．又1PO AB ⊥，所以AB ⊥平面1PMO ，所以1MO AB ⊥．所以二面角PAB C 的平面角即为1PMO ∠，又1O 为ABC 的垂心，所以点C 在1MO 的延长线上．因为11cos 3PMO ∠=，所以1sin PMO ∠= 223，1tan 22PMO ∠=．又122PO =，所以3PM =，11MO =．又2O 为P AB 的重心，所以2113MO PM ==．设MC x =，在PMC 中，利用余弦定理，可得29212x x +-=，所以3MC x ==．再在2O MC 中，利用余弦定理，可得2219123183CO =+-⨯⨯⨯=，得22CO =故选：A ．【点睛】找二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二、填空题13．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X 为他投篮一次命中的个数，则X 的期望是________． 【答案】0.8【分析】求出投篮一次命中和未命中的概率，再求期望即可.【详解】因为(1)0.8P X ==，(0)0.2P X ==，所以()0.8100.8E X =⨯+= 故答案为：0.814．在等差数列{}n a 中，110a =，令n S 为{}n a 的前n 项和，若10110S S <，则使得0n a >成立的最大整数n 为__________. 【答案】5【分析】由图可得10110,0S S ><，进而可得6500a a <⎧⎨>⎩，即可得出结论. 【详解】1100a =>，10110S S <，则10110,0S S ><，因为110105610()5()02a a S a a +==+>，所以560a a +>，又11111611()1102a a Sa +==<，所以60a <，所以6500a a <⎧⎨>⎩，所以使得0n a >成立的最大整数n 为5. 故答案为：5.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，若其右焦点F 关于直线3y x =的对称点在双曲线C 的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为________． 【答案】2【分析】分析得出直线b y x a =的倾斜角为3π，可求得b a 的值，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线C 的离心率.【详解】如图，设焦点F 关于直线33y x =的对称点为P ，C 的左焦点为F '，PF 与直线33y x =的交点为Q ，则由Q 、O 分别为PF 、FF '的中点，可得//OQ PF ，所以2F PF OQF π'∠=∠=，则OP OF =，又3tan 3OQF ∠=，所以6QOF π∠=，则23POF QOF π∠=∠=，又因为P 在渐近线by x a =上，所以tan 33b a π== 所以22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭．故答案为：2.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 16．在锐角ABC 中，4cos 5A =，若点P 为ABC 的外心，且AP xAB y AC =+，则x ＋y 的最大值为________． 【答案】59【分析】设ABC 的外接圆半径为5，以BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，若ABC 为锐角三角形，过点P 作//B C BC ''，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ，根据向量共线的推论1x y ''+=，设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ''===，可得()x y k x y k ''+=+=，为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大即可.【详解】不妨设ABC 的外接圆半径为5．如图：取点(30)B ，，(30)C -，，(09)Q ，，并作BQC 的外接圆P ，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=， 所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧BC 上除B ，C 以外的点． 当ABC 为锐角三角形时，过点P 作//B C BC ''，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ． 设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=．设|||||| |||||| ABAC APkAB AC AR''===，则AP x AB y AC x k AB'''''=+=+y k AC xAB y AC'=+，所以x x k'=，y y k'=，()x y k x y k''+=+=，所以为使k取最大值，只需使||||APAR最大．过A作x轴的垂线交B C''，BC分别于点M，N，则||||=||||AP AMAR AN，又||||||||||AM AMAN AM MN=+1||1||MNAM=+，所以当||5AM r==时，max||154||915APAR==+．故答案为：59【点睛】关键点点睛：本题考查了向量共线推论的应用，解题的关键是建立坐标系，利用B'，P，C'共线，得出1x y''+=，考查了计算能力、转化为能力.三、解答题17．如图为函数()f x Asin xω=（0A>，0>ω）在一个周期内的图象，其中点M 是图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且OM MB⊥，点B为()4,0．（1）求函数()f x的表达式；（2）若将()y f x=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，得到函数()y g x=的图象，求函数()g x在R上的单调减区间．【答案】（1）()3sin2f x xπ=；（2）[]1858k k++，（k Z∈）．【分析】（1）由题设条件可知OMC为边长为2的等边三角形，进而可得点M的坐标，从而可求得A 的值，由点B 的坐标结合2Tπω=可得ω的值，从而得出函数的解析式；（2）先由函数图象平移规则得到函数()y g x =的解析式()44g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令3222442k x k ππππππ+≤+≤+（k Z ∈），解不等式即可得到函数的单调递减区间. 【详解】（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点， ∴22OB MC OC ===，又OM MC =，∴OMC 为边长为2的等边三角形，∴(1M ，A =又2242T πππω===，∴()2f x x π；（2）1()(1)2244g x x x πππ⎡⎤⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令3222442k x k ππππππ+≤+≤+（k Z ∈），得1858k x k +≤≤+（k Z ∈），∴()g x 在R 上的单调减区间为[]1858k k ++，（k Z ∈）．【点睛】方法点睛：确定()y Asin x b ωϕ=++ (0A >，0>ω)的步骤：①求A 和b ，确定函数的最大值为M ，最小值为m ，则2M mA，2M mb； ②求ω，通过2Tπω=确定； ③求ϕ.18．2021年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（COP 15）将在云南昆明举行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”．大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分布在湖北、四川、云南等地．某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了50只大绒鼠标本．（1）将五个采样地分别记作A ，B ，C ，D ，E ，各个采样地所含标本数量占总标本数量的百分比如图甲所示．若先从来自于A ，C ，D 的标本中随机选出两个进行研究，求这两个标本来源于不同采样地的概率；（2）为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图．由散点图可看出体长y 与纬度x 存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出y 与x 的线性回归方程，并以此估计纬度为30度时，大绒鼠的平均体长．xy x y ⋅2x51i ii x y =∑521ii x=∑27 36 972 729 5008.5 3600参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）5587；（2） 3.3125.1y x =-+；26.1厘米． 【分析】（1）可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10，再直接计算概率即可； （2）利用表中数据代入公式即可求解.【详解】解：（1）由题图甲可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10． 设P 为两个标本来源于不同采样地的概率，则1111115155101510230C C C C C C 5155101510553029C 872P ++⨯+⨯+⨯===⨯．（2）由表格数据可得，515222155008.5597229.73.3360052795i ii ii x yx y b xx==--⨯===-=--⨯-∑∑， ∴36 3.327125.1a y bx =-=+⨯=，∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+，∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米． 【点睛】关键点点睛：本题考查概率和回归方程的求解，解题的关键是正确分析数据，根据公式正确计算.19．已知曲线C 是顶点为坐标原点O ，且开口向右的抛物线，曲线C 上一点A （x 0，2）到准线的距离为52，且焦点到准线的距离小于4． （1）求抛物线C 的方程与点A 的坐标；（2）若MN ，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的C 的弦，求四边形MPNQ 的面积的最小值．【答案】（1）抛物线C 的方程为22y x =，(22)A ，；（2）12．【分析】（1）设抛物线标准方程，利用点A 在抛物线上，及其到准线的距离求解参数p 即得结果；（2）先设直线MN 的方程并与抛物线联立，利用韦达定理弦长MN ，再利用垂直关系设PQ 的方程并与抛物线联立，利用韦达定理弦长PQ ，计算面积1||||2S MN PQ =⋅，结合基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上，∴042px =，得02x p=， ∴点A 到准线的距离为025222p p x p +=+=，即2540p p -+=， 解得4p =或1p =，又焦点到准线的距离为p ，4p <，故1p =，022x p==， ∴抛物线C 的方程为22y x =，(22)A ，．（2）设MN ：1x my =+，代入抛物线的方程可得2220y my --=，设11()M x y ，，22()N x y ，，则121222y y m y y +=⎧⎨=-⎩，，∴MN = 又∵PQ MN ⊥，∴PQ ：11x y m=-+，同理，用1m -代换上式的m ，可得||PQ = ∴四边形MPNQ的面积1||||2S MN PQ =⋅===． ∵2212m m+≥，当且仅当21m =时，等号成立.23=，当且仅当21m =时，等号成立. ∴22312S ≥⨯⨯=，当且仅当21m =时，等号成立. ∴当1m =±时，四边形MPNQ 的面积取得最小值为12． 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中的弦长问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与圆锥曲线的方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.20．如图甲，三棱锥P ABD -，Q BCD -均为底面边长为棱锥，且四边形ABCD是边长为（点,P Q 在平面ABCD 的同侧），,AC BD 交于点O ．（1）证明：平面PQO ⊥平面ABCD ；（2）如图乙，设,AP CQ 的延长线交于点M ，求二面角A MB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）57-．【分析】（1）连接,,PO OQ PQ 根据题意可得PO DB ⊥， QO DB ⊥结合线面垂直判定定理可证BD ⊥平面POQ ，根据面面垂直判定定理得证；（2）法一：建立空间直角坐标系，根据条件求出其法向量，利用向量法求二面角问题步骤求解即可；法二：通过题意和图形证明AEC ∠为二面角A MB C --的平面角，在三角形中利用解三角形求出cos AEC ∠即为所求.【详解】（1）证明：如图，连接,,PO OQ PQ因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO DB ⊥．同理，QO DB ⊥，又PO OQ O =， ,PO OQ ⊂平面POQ ， 所以BD ⊥平面POQ ． 又BD ⊂平面ABCD ， 所以平面POQ ⊥平面ABCD ． （2）解： 法一：如图，分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ，则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为,AO OC 的三等分点，且12//PO QO ，12=PO QO ,112PO O O ⊥，所以四边形12PO O Q 为矩形， 所以//PQ AC ．且1212233PQ O O AO AO ==⨯=，所以33432322MA MC AP ==== 所以MO AC ⊥，由（1）得,,MO OB OC 两两垂直． 又3233AO ==， 所以223MO MA AO -如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OM 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,3,0)A -，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,0,3)M ，所以(3,3,0)AB =，(3,0,3)MB =-，(3,3,0)BC =-．设111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =分别为平面AMB 与平面MBC 的法向量，则1111330(3,1,3)330x y m x z ⎧+=⎪⇒=-⎨-=⎪⎩，， 2222330(3,1,3)330x y n x z ⎧-+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩，． 所以5cos 7m n m n m n⋅〈〉==⋅，，由图可得所以二面角A MB C --的平面角的余弦值为57-.法二：分别过,P Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为,AO OC 的三等分点， 且12//PO QO ，12=PO QO ，112PO O O ⊥， 所以四边形12PO O Q 为矩形， 所以//PQ AC ．且1212233PQ O O AO AO ==⨯=，所以33432322MA MC AP ==== 所以MA AB BC CM ===．取MB 的中点E ，则AE MB ⊥，CE MB ⊥，所以AEC ∠为二面角A MB C --的平面角．又3AO ==，所以MO又OB =MB =所以AE CE ===． 又26AC AO ==，222423652cos 42272AE EC AC AEC AE EC -+-∠===-.所以二面角A MB C --的平面角的余弦值为57-.【点睛】利用向量法求二面角问题步骤：（1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；（2）求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量1n 、2n ；（3）计算：求1n 与2n 所成锐角θ，1212cos n n n n θ⋅=⋅；（4）定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为πθ-. 21．已知()ln )f x x =-，g （x ）＝f （x ）＋ax -3，其中a ∈（0，＋∞）． （1）判断f （x ）的单调性并求其最值；（2）若g （x ）存在极大值，求a 的取值范围，并证明此时g （x ）的极大值小于0． 【答案】（1）当(01)x ∈，时，()f x 单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()f x 单调递减；最大值为2，无最小值；（2）10ea <<；证明见解析． 【分析】（1）求出()'f x ，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）()ln)3g x x ax =-+-，令t =2x t =，可得2()22ln 3t t t t at ϕ=-+-，求出导函数，且min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ⎛⎫''==+=+ ⎪⎝⎭，讨论1e a ≥或10e a <<，确定函数的单调性，可得函数的极大值，并求出极大值，即可求解. 【详解】解：（1）∵1()ln )2f x x x x-'=-=，∴当(01)x ∈，时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∴max ()(1)2f x f ==，且()f x 无最小值．（2）()ln )3g x x ax =-+-，令t =，则2x t =，ln )3x ax -+-=222ln 3t t t at -+-． 令2()22ln 3t t t t at ϕ=-+-，∵函数t =是(0)+∞，上的单调递增函数，∴由复合函数的单调性可知，()g x 存在极大值()t ϕ⇔存在极大值， 且()g x 取到极大值0()()g x t ϕ⇔取到极大值0()t ϕ，其中0t =00()()g x t ϕ=．∵()22ln 222ln 2t t at t at ϕ'=--+=-+， ∴222()2at t a t tϕ--+''=+=， ∴10t a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''<，()t ϕ'单调递减；1t a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''>，()t ϕ'单调递增， ∴min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ⎛⎫''==+=+ ⎪⎝⎭．①当1e a ≥时，10a ϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭≥，则()0t ϕ'≥在(0)+∞，上恒成立， ∴()t ϕ在(0)+∞，上单调递增，则()t ϕ无极值点； ②当10e a <<时，1e a >，取11a<，1e a <， 有(1)20a ϕ'=>，(e)22e 220a ϕ'=-+<-+=， ∴()t ϕ'在(1e)，上有唯一零点， 设为0t ，且0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'>，0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'<，∴当10ea <<时，()t ϕ在(0)+∞，上有唯一的极大值点0()t ϕ． ∵000()2ln 20t t at ϕ'=-+=，∴00ln t at =，∴20000000000()22ln 322ln ln 3t t t t at t t t t t ϕ=-+-=-+-=0002ln 3t t t --，令()2ln 3m t t t t =--， 则()2ln 1ln 1m t t t '=--=-+， ∴()m t 在(0e)，上单调递增． 又(e)2e e 3e 30m =--=-<， ∴0()0t ϕ<，即()t ϕ的极大值小于0， 综上，有10ea <<时，()g x 存在极大值，且此时()g x 的极大值小于0． 【点睛】关键点点睛：本题考查了；利用导数研究函数的单调性、最值、极值，解题的关键是利用换元法将函数化为2()22ln 3t t t t at ϕ=-+-，求导判断函数的单调性，考查了分类讨论的思想、数学运算.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．若以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin 14ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求出曲线C 的极坐标方程；（2）若射线1θθ=与曲线C 、直线l 分别交于A ，B 两点，当1,43θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求OA OB ⋅的取值范围．【答案】（1）2cos ρθ=；（2）||||OA OB ⎛∈ ⎝⎭． 【分析】（1）先写出曲线C 的普通方程，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程即可；（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得A OA ρ=，B OB ρ=代入即可.【详解】（1）由条件可得cos 1x α=+，sin y α=，又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=为曲线C 的普通方程， 将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得1||2cos A OA ρθ==，11||π2sin 4B OB ρθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴1||||2(sin OA OB == ．又1ππ43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴1tan (1θ∈，∴||||OA OB ⎛∈ ⎝⎭． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，难度不大，能够正确写出极径表达式是关键.23．已知a ＋b ＋c ＝3．（1）若c ＝1，且f （x ）＝|x -a |＋|x -2b |≥2恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：ab ＋bc ＋ca ≤3．【答案】（1）23a ≤或2a ≥；（2）证明见解析． 【分析】（1）若1c =，则2b a =-，()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，利用绝对值三角不等式可得()|43|f x a ≥-，根据题意可得|43|2a -≥，即可求得答案. （2）因为222a b ab +≥，222bc bc +≥，222c a ca +≥，所以可得222a b c ab bc ca ++≥++，所以2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++，利用基本不等式，即可得证.【详解】（1）若1c =，则2a b +=，2b a =-，∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a ---+=-≥，当且仅当()(42)0x a x a --+≤时等号成立，∴min ()|43|f x a =-，∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =-+-⇔-≥≥，∴432a -≥或432a --≤，解得23a ≤或2a ≥． （2）证明：∵222ab ab +≥，222bc bc +≥，222c a ca +≥，∴2222()2()a b c ab bc ca ++≥++，即222a b c ab bc ca ++≥++，∴2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++≥3()ab bc ca ++， ∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 当且仅当1a b c ===时等号成立．【点睛】解题的关键是熟练掌握基本不等式、绝对值的三角不等式，并灵活应用，在应用基本不等式时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，推理证明的能力，属中档题.。

云南省师范大学附属中学2017届高三高考适应性月考（五）理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合2{|0}{|2}A x x a B x x =-≤=<，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．(,4)-∞C ．[0,4]D ．(0,4)2.复数31i z i =-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 下列说法正确的是（ ）A ．“1x <”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件B ．命题“0x ∀>，21x >”的否定是“00021x x ∃≤≤，”C.命题“若a b ≤，则22ac bc ≤”的逆命题为真命题D ．命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题4.已知函数()|sin |cos f x x x =•，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线2x π=对称B ．()f x 的周期为πC.若12|()||()|f x f x =，则122()x x k k Z π=+∈D ．()f x 在区间3[,]44ππ上单调递减5. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的012,,,,n a a a a 分别为0,1,2,,n ，若5n =，根据该算法计算当2x =时多项式的值，则输出的结果为（ ）A ．248B ．258 C.268 D ．2786. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中任取一点M ，则满足90AMB ∠>°的概率为（ ）A ．24πB ．12πC.8πD ．6π 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ． C.．48. 已知实数,x y 满足2244x y +≤，则|24||3|x y x y +-+--的最大值为（ ）A ．6B ．12 C. 13 D ．149.三棱锥A BCD -O 中，4AB CD ==，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A.43 B.83 C.163 D.32310.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，||||PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．3-B ． 2 D 1-11.函数3|log |y x =的图象与直线1:l y m =从左至右分别交于点,A B ，与直线28:(0)21l y m m =>+从左至右分别交于点,C D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，则ba 的最小值为（ ）A ．B ． D ．12.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C.(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数3()x f x e x =+，若2()(32)f x f x <-，则实数x 的取值范围是 ．14.点P 是圆22(3)(1)2x y ++-=上的动点，点(2,2)Q ，O 为坐标原点，则OPQ ∆面积的最小值是 ．15.已知平面向量,,a b c 满足||112a a b b c a c ====，，•••，则||a b c ++的最小值是 ．16.已知数列{}n a 满足12a =，且*112(2)1n n n na a n n N a n --=≥∈+-，，则n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知223cos cos 2222B A a b c a b +==，．（1）证明：ABC ∆为钝角三角形；（2）若ABC ∆的面积为，求b 的值．18. （本小题满分12分）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.19. （本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=°，2PA AC ==，D 是PA 的中点，E 是CD 的中点，点F 在PB 上，3PF FB =.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）若60BAC ∠=°，求二面角B CD A --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知抛物线2:8E y x =，圆22:(2)4M x y -+=，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C .（1）求抛物线C 的方程；（2）点000(,)(5)Q x y x ≥是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.求QAB ∆面积的最小值.21. （本小题满分12分）已知函数2()x f x e x ax =--.（1）若曲线()y f x =在点0x =处的切线斜率为1，求函数()f x 在[0,1]上的最值；（2）令221()()()2g x f x x a =+-，若0x ≥时，()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =且0x >时，证明2()ln 1f x ex x x x x -≥--+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :1sin 2x t C y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线1C ；以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos()6πρθ-=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点(1,0)M ，直线l 的极坐标方程为3πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x x x =+--.（1）求()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积；（2）设24()x ax g x x-+=，若对(0,)s t ∀∈+∞，恒有()()g s f t ≥成立，求实数a 的取值范围.云南师大附中2017届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．当0a <时，集合A =∅，满足题意；当0a ≥时，[A =，若A B ⊆2<，∴0<4a ≤，所以(4)a ∈-∞，，故选B ．2．∵i 1i i 12z --+==-，其共轭复数为1i 2z --=，对应点为1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限，故选C ．3．选项A ：2log (1)101211x x x +<⇔<+<⇔-<<，所以“1x <”是其必要不充分条件；选项B ：命题“021x x ∀>>，”的否定是“00021x x ∃>，≤”；选项C ：命题“若a b ≤，则22ac bc ≤”的逆命题是“若22ac bc ≤，则a b ≤”，当c=0时，不成立；选项D ：其逆否命题为“若2a =且3b =，则5a b +=”为真命题，故原命题为真，故选D ．4．函数()f x 在区间[02π]，上的解+析式为1sin 20π2()1sin 2π2π2x x f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，，，，≤≤≤且()f x 是偶函数，画出图象可知，故选D ．5．该程序框图是计算多项式5432()5432f x x x x x x =++++当x=2时的值，故选B ．6．以AB 为直径作球，球在正方体内部的区域体积为14ππ433V =⨯=，正方体的体积为8，所以π24P =，故选A ． 7．由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为222383V =⨯⨯⨯=，故选A ．8．实数x，y满足的区域为椭圆221 4xy+=及其内部，椭圆的参数方程为2cossinxyθθ=⎧⎨=⎩，，（θ为参数），记目标函数|24||3|z x y x y=+-+--，易知240x y+-≤，30x y--≥，故423723z x y x y x y=--+--=--．设椭圆上的点(2cos sin)Pθθ，，则74cos3sin75sin()zθθθϕ=--=-+，其中4tan3ϕ=，所以z的最大值为12，故选B．9．如图，过CD作平面ECD，使AB⊥平面ECD，交AB于点E，设点E到CD的距离为EF，当球心在EF上时，EF最大，此时E，F分别为AB，CD的中点，且球心O为EF的中点，所以EF=2，所以max1116424323V=⨯⨯⨯⨯=，故选C．10．由已知，(01)(01)F Q-，，，，过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记PQMα∠=，则||||sin||||PF PMmPQ PQα===，当α最小时，m有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P．设204xP x⎛⎫⎪⎝⎭，，可得(21)P±，，所以||||2PQ PF==，则||||2PF PQ a+=，∴1a=+，1c=，∴1cea==-，故选D．11．在同一坐标系中作出y m=，8(0)21y mm=>+，3|log|y x=的图象，如图，设11()A x y，，22()B x y，，33()C x y，，44()D x y，，由3|log|x m=，得13mx-=，23mx=，由3|log|x=821m+，得82133mx-+=，82143mx+=．依照题意得821|33|mma-+-=-，821|33|mmb+=-，821821|33||33|mmmmba+-+--=-882121333mm m m+++==，∴minba⎛⎫=⎪⎝⎭B．12．设公切线与函数()lnf x x=切于点111(ln)(0)A x x x>，，则切线方程为1111ln()y x x xx-=-；设公切线与函数2()2g x x x a=++切于点22222(2)(0)B x x x a x++<，，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1)ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，．∵210x x <<，∴1102x <<．又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t <<=--，． 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--'=--=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2e h t h >=--=，∴1ln 2e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．因为2()e 30x f x x '=+>，所以函数f(x)为增函数，所以不等式2()(32)f x fx <-等价于232x x <-，即232012x x x -+<⇔<<，故(12)x∈，．14．因为||OQ =，直线OQ 的方程为y=x ，圆心(31)-，到直线OQ 的距离为d ==所以圆上的动点P 到直线OQ 的距离的最小值为-，所以OPQ △面积的最小值为122⨯=． 15．不妨设(10)()()a b m n c p q ===，，，，，，则m=1，p=2，211b c nq nq =+=⇒=-，1n q =-，∴11(2)b c q q ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，2222||222a b c a b c ab bc ac ++=+++++2222111142241414216q q q q=+++++++=+++=≥，∴||4a b c ++≥，当且仅当21q =，即1q =±时“=”成立．16．由1121n n n na a a n --=+-，得11122n n n n a a --=+，于是111112n n n n a a -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2)n n *∈N ≥，．又11112a -=-，∴数列1n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，12为公比的等比数列，故112n n n a -=-，∴221nn nn a =-()n *∈N ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理：1cos 1cos 3sin sin sin 222B A AB C +++=， ∴sin sin cos sin sin cos 3sin A A B B B A C +++=，∴sin sin sin()3sin A B A B C +++=．又∵sin()sin A B C +=，∴sin sin 2sin A B C +=，即a+b=2c ，a=2b ，所以32c b =，所以2222229414cos 032422b b b bc a A bc b b+-+-===-<，所以A 为钝角，故ABC △为钝角三角形． ………………（6分）（Ⅱ）因为1cos 4A =-，∴sin A =．又1sin 2S bc A =，∴12=24bc =．又32c b =，所以23242b =，∴4b =．………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可得：由列联表可得：2250(2012108)=3.46 3.84130202822K ⨯-⨯≈<⨯⨯⨯， 所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． ……………（6分）（Ⅱ）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为51204=， 所以年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X 的可能取值为0，1，2，11222332222555C C C C 1633(0)(1)(2)C 10C 105C 10P X P X P X ==========，，，所以分布列为X012 P数学期望为1336()012105105E X=⨯+⨯+⨯=．…………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM//PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．∵点E为CD的中点，∴EN//12 AD．又3PF FB=，∴MF 12AD，∴FM EN，所以四边形MFEN为平行四边形，∴//EF MN，∵EF⊄平面ABC，MN⊂平面ABC，∴//EF平面ABC．………………（6分）法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE//AC，GF//AB，因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，所以EF//平面ABC．………………（6分）（Ⅱ）解：作BO ⊥AC 于点O ，过点O 作OH//PA ，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OH 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则3100000122C B D ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，，，，，，，，∴33(021)02CD CB ⎛⎫=-=- ⎪⎪⎭，，，，，， 则平面CDA 的一个法向量为(100)m =，，．设平面CDB 的一个法向量为()n x y z =，，，则2003002y z n CD y n CB -+=⎧⎧=⎪⇒⎨-==⎪⎩，，， 可取(312)n =，，，所以6cos 4||||m n m n m n 〈〉==，， 所以二面角B?CD?A …………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设()P x y ，，则点(22)N x y ，在抛物线28y x =上，所以2416y x =，即24y x =，所以曲线C 的方程为：24y x =． ……………（4分）（Ⅱ）设切线方程为：00()y y k x x -=-，令y=0，解得00y x x k=-，所以切线与x 轴的交点为000y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，圆心(2，0)到切线的距离为2d ==， ∴2200(2)4(1)k y kx k +-=+，整理得：222000000(4)(42)40x x k y x y k y -+-+-=，设两条切线的斜率分别为12k k ，，则20000121222000024444x y y y k k k k x x x x --+==--，，∴2200012000012120112221QABy y x k k S x x y y k k k k x ⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△记01[4)t x =-∈+∞，，则1()2f t t t=++，∵22211()10t f t t t-'=-=>，∴()f t 在[4)+∞，上单增，∴125()4244f t ++=≥，∴2525242S ⨯=≥， ∴QAB △面积的最小值为252． ………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()e 2x f x x a '=--，∴(0)11f a '=-=，∴0a =，∴()e 2x f x x '=-，记()e 2x h x x =-，∴()e 2x h x '=-，令()0h x '=得ln 2x =．当(0ln 2)x ∈，时，()0()h x h x '<，单减；当(ln 21)x ∈，时，()0()h x h x '>，单增， ∴min ()(ln 2)22ln 20h x h ==->，故()0f x '>恒成立，所以()f x 在[01]，上单调递增， ∴min max ()(0)1()(1)e 1f x f f x f ====-，． ……………………（3分）（Ⅱ）∵21()e ()2x g x x a =-+，∴()e x g x x a '=--．令()e x m x x a =--，∴()e 1x m x '=-，当0x ≥时，()0m x '≥，∴()m x 在[0)+∞，上单增，∴min ()(0)1m x m a ==-．（i ）当10a -≥即1a ≤时，()0m x ≥恒成立，即()0g x '≥，∴()g x 在[0)+∞，上单增，∴2min()(0)102a g x g a ==-⇒≥，所以1a ≤．（ii ）当10a -<即1a >时，∵()m x 在[0)+∞，上单增，且(0)10m a =-<，当21e 2a <<-时，(ln(2))2ln(2)0m a a +=-+>，∴0(0ln(2))x a ∃∈+，，使0()0m x =，即00e x x a =+．当0(0)x x ∈，时，()0m x <，即()0()g x g x '<，单减；当0(ln(2))x x a ∈+，时，()0m x >，即()0()g x g x '>，单增．∴022min 0011()()e ()e e 22x x x g x g x x a ==-+=-01e 1e 02x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，∴00e 20ln 2x x ⇒<≤≤，由00e x x a =+，∴00e x a x =-，记()e (0ln 2]x t x x x =-∈，，，∴()e 10x t x '=->，∴()t x 在(0ln 2]，上单调递增，∴()(ln 2)2ln 2t x t =-≤，∴12ln 2a <-≤，综上，[2ln 2]a ∈-． ………………………………（8分）（Ⅲ）2()e ln 1f x x x x x x ---+≥等价于22e e ln 1x x x x x x x ----+≥，即e e ln 1x x x x x --+≥．∵0x >，∴等价于e 1ln e 10x x x x ---+≥．令e 1()ln e 1x h x x x x=---+，则2(1)(e 1)()x x h x x --'=．∵0x >，∴e 10x ->．当01x <<时，()0h x '<，()h x 单减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单增．∴()h x 在1x =处有极小值，即最小值，∴()(1)e 1e 10h x h =--+=≥，∴0a =且0x >时，不等式2()e ln 1f x x x x x x ---+≥成立． ………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由题意知，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t ⎨=+=⎧⎩，，(t 为参数)，∴曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，∴曲线1C 的极坐标方程为=2cos ρθ． ……………………………（4分）（Ⅱ）设点P ，Q 的极坐标分别为11()ρθ，，22()ρθ，，则由111π=3=2cos θρθ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得P 的极坐标为π13⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由222π=3π2cos 6θρθ⎧⎪⎪⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，可得Q 的极坐标为π33⎛⎫⎪⎝⎭，． ∵12θθ=，∴12||||2PQ ρρ=-=，又M 到直线l，∴1=2MPQ S △ ……………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】解：（Ⅰ）∵()|1|2|1|f x x x =+--，∴31()311131x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪-+>⎩，，，，，，≤≤ ∴()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为103A ⎛⎫⎪⎝⎭，，(30)B ，，(12)C ，，∴1882=233ABC S =⨯⨯△，∴()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积是83．……………………………（5分）（Ⅱ）∵(0)s ∀∈+∞，，244()4s as g s s a a a s s -+==+-=-≥，∴当且仅当2s =时，()g s 有最小值4a -．又由（Ⅰ）可知，对(0)t ∀∈+∞，，()(1)=2f t f ≤．(0)s t ∀∈+∞，，恒有()()g s f t ≥成立，等价于(0)s t ∀∈+∞，，，min max ()()g s f t ≥，等价于42a -≥，即2a ≤，∴实数a 的取值范围是(2]-∞，．……………………………（10分）。

2022届高考适应性月考数学专题训练（云南省师范大学附属中学）解答题平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（2）先根据题意得射线的极坐标方程为，再代入的极坐标方程得，根据，令得，最后根据求.试题解析：解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）曲线是圆心为半径为2的圆，∴射线的极坐标方程为代入，可得．又，∴，∴．解答题已知函数.（1）若有极值0，求实数，并确定该极值为极大值还是极小值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由极值定义得必有解，所以，且，根据导数可得函数先减后增，且最小值为，解得实数，最后根据导函数符号变化规律确定该极值为极大值还是极小值；（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：利用导数研究函数单调性（递增），再根据罗比特法则求最小值，即得实数的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）．①若，，在上单调递增，无极值，不符合题意；②若，令，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以，当时，取到极小值，，即．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，所以有唯一解．?（Ⅱ）据（Ⅰ），，当时，恒成立，即（）恒成立．令（），则，令（），则，，（当且仅当时取“=”）．①当时，，在单调递增，所以，即，即，所以在单调递增，所以，所以，所以，即恒成立．②当时，是增函数，，所以，故在单调递增，所以，即，所以在单调递增，所以，所以，即恒成立．③当时，是增函数，，当时，，，所以，则，使得，当时，，在递减，此时，即，，所以在递减，，不符合题意．综上所述，的取值范围是．解答题某地政府为了对房地产市场进行调控决策，统计部门对外来人口和当地人口进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表（不全）：已知样本中外来人口数与当地人口数之比为3:8.（1）补全上述列联表；（2）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计外来人口的某项收入指标，若一个买房人的指标记为3，一个犹豫人的指标记为2，一个不买房人的指标记为1，现在从这6人中再随机选取3人，用表示这3人指标之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据比例关系先确定外来人口数和当地人口数，求出犹豫人数，填入表格即可，（2）先确定随机变量的取法：，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求数学期望试题解析：解：（Ⅰ）设外来人口中和当地人口中的犹豫人数分别为人，人，则解得买房不买房犹豫总计外来人口（单位：人）5101530当地人口（单位：人）20105080总计252065110（Ⅱ）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取的人中，买房1人，不买房2人，犹豫3人，所以的所有可能取值为，，，，，?所以的分布列为X7654P所以的数学期望是．选择题执行下边的语句，结果为（）A. 2,3B. 2,2C. 2,1D. 1,2【答案】C【解析】第一步，，判断成立，，判断成立，，，判断成立，，，判断不成立，输出；第二步，判断成立，，判断成立，，，判断不成立，输出；第三步，判断不成立，结束．故选C．填空题从双曲线的左焦点引圆的切线为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】设双曲线的右焦点为，点是线段的中点，点O 为坐标原点，．若是靠近的三等分点，则，，．由双曲线的定义，，即，所以，得，所以．选择题已知正方形的边长是，依次连接正方形的各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形的各边中点又得到一个新的正方形，按此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示，现有一只小虫从点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段，则这10条线段的长度的和是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】小虫爬行的线段长度依次组成首项为，公比为的等比数列，所以，故选B．解答题如图，一个的矩形（），被截取一角（即），，，平面平面，.（1）证明：；（2）求二面角的大小的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）过作，由面面垂直性质定理得平面，即得，再在平面内，根据平几知识计算可得．最后根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解.试题解析：（Ⅰ）证明：因为，，所以，，所以截去的是等腰直角三角形．如图，过作，垂足为，连接，因为，所以，．，故是等腰直角三角形，所以，所以，即．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，而，所以平面，又平面，所以．（Ⅱ）解：如图4，以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则由得所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则由得所以平面的一个法向量为，所以，因为二面角为钝二面角，所以二面角的大小的余弦值为．选择题若偶函数在上单调递减，，，，则满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为函数为偶函数，所以，，因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，，所以，故选B．选择题已知，则是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,因此是“”的充分不必要条件,选A.解答题选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）对，，求证：.【答案】（1）．（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得原不等式解集，（2）先根据绝对值三角不等式得，再利用均值不等式证不等式.试题解析：解：（Ⅰ）令当时，由，得，当时，由，得，∴不等式的解集为．（Ⅱ），又∵，∴（当且仅当时取等），∴．填空题已知递增的等差数列中，，，则数列前10项的和为__________．【答案】100【解析】，．选择题如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球，内切球的半径即为底面直角三角形内切圆的半径，由等面积法易得，，且．由基本不等式，知，，即，当且仅当时，等号成立．令，则，是增函数，或，，所以在上是增函数，所以，所以内切球的体积的最大值为，故选D．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．已知向量与的夹角为，且，，若且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，又，所以，即，解得，故选C．选择题若二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（）A. -252B. -210C. 210D. 10【答案】C【解析】，，令，所以常数项为，故选C．若全集、集合、集合及其关系用韦恩图表示如图所示，则图中阴影表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】图中阴影中元素在集合A或B内,且不在内,所以图中阴影表示的集合为? ,选C.解答题已知圆经过变换后得曲线.（1）求的方程；（2）若为曲线上两点，为坐标原点，直线的斜率分别为且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.【答案】（1）（2）直线被圆：截得弦长的最大值为，此时，直线的方程为【解析】试题分析：（1）根据转移法求轨迹方程：将代入得，化简可得（2）先根据斜率公式表示为，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，由垂径定理得圆心到直线的距离最小时，弦长最大，而，因此当时，弦长最大，可得此时直线的方程.试题解析：解：（Ⅰ）将代入得，化简得，即为曲线的方程．?（Ⅱ）设，，直线与圆：的交点为．当直线轴时，，由得或此时可求得．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，联立消得，，，，所以，由得，，此时．圆：的圆心到直线的距离为，所以，得，所以当时，最大，最大值为，综上，直线被圆：截得弦长的最大值为，此时，直线的方程为．填空题已知函数，对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为在区间内单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则，得，整理得．令，则的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，所以在上是增函数，等价于，即，解得．所以的取值范围为．填空题下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及48000单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），混合物的成本最少为__________元．【答案】960【解析】混合食物成本的多少受到维生素A，B的含量以及混合物总量等因素的制约，各个条件综合考虑，得消去不等式中的变量得，目标函数为混合物成本函数．画出可行域如图所示，当直线过可行域内的点时，即千克，千克，千克时，成本元为最少．选择题定义在上的函数满足：①；②；③当时，，若分别以函数的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，则的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 2或3【答案】B【解析】当时，，，极大值为，；当时，，极大值为，；当时，，，极大值为，；当时，，，极大值为，；…当时，，，极大值为，．以函数的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上．根据题意，三点共线，由斜率相等解得或者．经检验，当时，直线方程为，由于是奇函数，故舍去；当时，直线方程为，符合，故选B．选择题两条抛物线，，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线，及其根轴交于三点，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】抛物线，的根轴为，所以，故选A．选择题中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖?提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖?原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖?利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的边长为，因为，，所以，故选B．。