2021届云南师大附中高三高考适应性月考数学(文)试题Word版含解析

2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（六）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}22log (1)1,20A xx B x x x =-<=-->∣∣，则A B =（ ） A ．{23}x x <<∣ B ．{12}xx -<<∣ C ．{1xx <-∣或23}x << D ．{13}xx <<∣ 答案：A 解对数不等式以及一元二次不等式，再求交集.解：222log (1)1log (1)20log 1213x x x x ⇒<-<⇒-<-<⇒<<，220x x -->⇒2x >或1x <-，{13},{2A x x B x x =<<=>∣∣或1},{23}x A B x x <-∴⋂=<<∣.故选：A ．2．在复平面内，O 为坐标原点，点(3,4)Z -，点Z 关于原点的对称点为Z '，向量OZ '所对应的复数为z ，则||z =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C先求得点(3,4)Z -关于原点的对称点，再利用复数的几何意义，得到向量OZ '，进而得到复数z ，再利用求模公式求解.解：因为点(3,4)Z -关于原点的对称点为(3,4)Z '-，所以向量(3,4)OZ '=-，复数34z i =-+，则||5z ==.故选：C ．【点睛】本题主要考查复数的几何意义和模的运算，还考查了数形结合的方法，属于基础题. 3．下列四个数中数值最大的是（ ）A ．(3)221B ．(4)130C ．(2)11011D ．26答案：B将A ，B ，C 中数转换为十进制数，然后再比较可得最大数解：对于A ，210(3)22123231325=⨯+⨯+⨯=；对于B ，210(4)130********=⨯+⨯+⨯=，对于C ，43210(2)11011121202121227=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；∴四个数中最大的是28，即(4)130，故选：B ．4．执行如图所示的程序框图，若输出的44S =，则判断框内应填入的条件为（ ）A ．2025?k >B ．2025?kC ．2025?k <D ．2025?k 答案：C 由程序框图可得4421321S k k =++=++++，裂项化简后可求出2024k =，从而可得答案解：由题意得，(21)(32)(1)114421321S k k k k k =+=-+-+++-=+-=++++，解得2024k =，即当2024k =时，满足判断框内的条件，2025k =时，不满足判断框内的条件，结束运行，所以判断框内应填入的条件是“2025k <？”，故选：C ．5．刘徽是我国古代伟大的数学家，他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝，他创立的“割圆术”理论上能把π的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，如图，从正六边形开始，依次将边数增倍，使误差逐渐减小，当圆内接正三百六十边形时，由“割圆术”可得圆周率π的近似值为（ ）A ．360cos1︒B ．180cos1︒C ．360sin1︒D ．180sin1︒答案：D 圆内接正三百六十边形可以看成由360个顶角为1︒的等腰三角形构成，腰长与圆的半径相等，利用圆内接正三百六十边形的面积与圆的面积近似相等，计算π的近似值.解：设圆的半径为1，当圆内接正三百六十边形时，每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1，顶角为1︒的等腰三角形， 则圆内接正多边形的面积为111sin1360180sin12S =⨯⨯⨯︒⨯=︒， 圆的面积为π，用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，即有180sin1π︒=.故选：D.【点睛】本题利用“割圆术”计算圆周率π的近似值，需要仔细阅读题干，理解“割圆术”的概念，考查学生的理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.6．已知直线l 与抛物线2:8C x y =相交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,2)，则直线l 的方程为（ ）A ．470x y -+=B ．430x y +-=C ．470x y -+=D ．430x y +-=答案：C 设()()1122,,,A x y B x y ，则21122288x y x y ⎧=⎨=⎩，两式作差算出直线l 的斜率即可.解：设()()1122,,,A x y B x y ，则2112228,8,x y x y ⎧=⎨=⎩ 两式相减得()2212121212122118,,8844AB y y x x x x y y k x x -+-=-∴===∴=-， ∴直线l 的方程为12(1)4y x -=-，即470x y -+=， 故选：C 7．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的图象大致是A ．B ．C ．D ．答案：C 解：11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-=-=-∴-- 去掉A,B ；π(0,)()02x f x ∈>时 所以选C. 8．若向量,a b 满足||1,||2,(),a b a a b c a b ==⊥-=+，则向量a 在向量c 方向上的投影为（ ）A ．35B ．25C 35D 25 答案：D 由数量积的运算律求得2cos ,2a b 〈〉=，然后计算出a c ⋅及c ，从而可得投影． 解：由题意知，2()0||||||cos ,0a a b a a b a b ⋅-=⇒-⋅⋅〈〉=， 即2cos ,0112a b 〈-〉=，所以2cos ,2a b 〈〉=， 22()||||||cos ,1222a c a a b a a b a b ⋅=⋅+=+⋅⋅〈〉=+⨯=， 222||||||2||||cos ,122252c a b a b a b =++⋅⋅〈〉=++⨯=所以向量a 在向量c 上的投影为25||5a c c ⋅== 故选：D ．9．如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．3682+B ．3282+C ．3242+D ．3642+答案：A 首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出求出几何体的表面积.解：如图，该几何体可看成由长方体1111ABCD A B C D -和四棱锥S ABCD -组合而成，该几何体的表面积为四棱锥的侧面积、长方体的侧面积和一个底面面积之和，其中12BB BC ==，4AB =，22SA SB ==SAB ⊥平面ABCD ，BC CD ⊥，则可得BC SB ⊥，AD SA ⊥， 故23SC SD ==1222222SBC SAD S S ==⨯⨯=． 又等腰SCD 22(23)222-= 故1422422SCD S =⨯⨯=△，14242SAB S ∴=⨯⨯=△， 则该几何体的表面积为：222424222242243682S =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+.故选：A ．【点睛】（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系；（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理；（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10．函数()sin 2cos 20,02f x x x πϕωϕωϕω⎛⎫=⋅+⋅<<> ⎪⎝⎭的一条对称轴为23x π=，最小正周期T π=，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 在区间5,244ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）A ．1B C ．2- D ．1- 答案：A先整理函数为())f x x ωϕ+，根据周期求得ω，利用对称轴和范围求得ϕ，得到()f x 解析式，再进行平移变换得到()g x 解析式，结合正弦函数图象性质求其最值即可.解：()sin 2cos 2)f x x x x ϕωϕωωϕ=⋅⋅=+．因为T π=，∴22T πω=，即1ω=，())f x x ϕ=+， 因为对称轴为23x π=，所以22()32k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，故5()6k k πϕπ=-∈Z ， 因为02πϕ<<，所以1k =时，6π=ϕ满足题意，所以()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ()f x 的图象向右平移2π个单位后得5()22266g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 5,244x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，552,643x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以当55264x ππ-=-时，()g x 5124π⎛⎫-== ⎪⎝⎭. 故选：A ．【点睛】思路点睛：解决三角型函数的图象性质，通常先借用两角和与差的公式等化简整理成标准形式()sin y A ωx φ=+，再利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者代入验证.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线上一点，12PF F △是以1F P 为底边的等腰三角形，且2160120PF F ︒︒<∠<，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭答案：B在12PF F △中，由余弦定理可得1PF =，再结合双曲线的定义、与余弦函数的图形与性质，以及不等式的性质，可推出022)a c <<，从而有离心率1=2c e a >，得解.解：由题意可得： 22222112212221212cos 44222cos PF F F PF F F PF PF F c c c c PF F =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅∠()22181cos c PF F =-∠，即1PF =，122||||2a PF PF c ∴=-=‖，2160120PF F ︒︒<∠<，2111cos 22PF F ∴-<∠<，21131cos 22PF F <-∠<，2<<，022)c c ∴<<，022)a c ∴<<，12c a ∴>，e ⎫∴∈+∞⎪⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、12||2PF PF a-＝，得到a ，c 的关系．12．已知函数2ln ,0,()41,0,x x f x x x x ⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-=有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[2,4]B ．[2,4)C ．(2,4)D ．(2,4]答案：B设()f x t =，将方程22()2()10f x af x a -+-=有8个不相等的实数根，转化为t 的方程22210t at a -+-=有两个不等实根1215t t <<，设22()21g t t at a =-+-，根据二次函数图像的性质，得出()22(1)0,(5)0,15,(2)410,g g a a a ⎧⎪>⎪⎨<<⎪⎪∆=--->⎩，即可求出实数a 的取值范围. 解：解：由于关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-=有8个不相等的实数根， 设()f x t =，则22210t at a -+-=，作出()f x 的图像，由图1知，关于t 的方程22210t at a -+-=有两个不等实根1215t t <<，设22()21g t t at a =-+-，则由图2知()22(1)0,(5)0,15,(2)410,g g a a a ⎧⎪>⎪⎨<<⎪⎪∆=--->⎩， 所以221210,251010,15,40,a a a a a ⎧-+-⎪-+->⎪⎨<<⎪⎪>⎩，所以20,64,15,40,a a a a a ≤⎧⎪><⎪⎨<<⎪⎪>⎩或或， 解得：24a ≤<，即：实数a 的取值范围为[2,4).故选：B ．图1 图2【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，通过方程的零点个数求参数范围，考查转化思想和数形结合思想.二、填空题13．已知()f x 是偶函数，当0x 时，2()2f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为___________．答案：410x y ++=先利用()f x 是偶函数，当0x 时，2()2f x x x =+，求得0x <时的解析式，再利用导数的几何意义求函数切线方程.解：设0x <，则0x ->，因为22()()()2()2(0)f x f x x x x x x =-=-+-=-<， ()22f x x '=-，所以(1)2(1)24k f '=-=⨯--=-，又2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以切线方程为34(1)y x -=-+，即410x y ++=．故答案为：410x y ++=【点睛】本题主要考查奇偶性的应用和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．实数,x y 满足不等式组210,230,30,x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪++⎩则22z x y =+的最小值为__________． 答案：15作出可行域，22z x y =+表示可行域内点到原点距离的平方，求出原点到直线210x y -+=的距离的最小值，即可得所求最小值．解：作出可行域如图中的阴影部分所示，22z x y =+的几何含义为原点到阴影区域内的点距离的最小值的平方，易知原点到直线210x y -+=的距离d ==，即原点到阴影区域的最小值，而215d =，则22z x y =+的最小值为15． 故答案为：15．15．下列四个命题：①“1x =”是方程“2320x x -+=”的充分不必要条件；②若实数,x y 满足221x y +，则使得||||1x y +成立的概率为2π； ③已知命题:P “,x m ∀∈∃∈R R 使得方程4210x x m ++-=”，若命题P 是假命题，则实数m 的取值范围为(,1)m ∈-∞；④设数()cos |||cos |f x x x =+，则其最小正周期2T π=．其中真命题的序号是____________．答案：①②④①根据充分、必要条件的知识进行判断；②根据几何概型来判断；③利用换元法，结合一元二次方程的知识来判断；④根据函数的奇偶性和周期性来判断.解：①：23201x x x -+=⇒=或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，①正确；②：易知221x y +表示圆221x y +=上及其内部的点，而||||1x y +表示如下图的阴影部分区域，则概率2S P S π==阴影圆，②正确；③：令2(0)x t t =>，故③中方程等价于210t t m ++-=，而命题P 是假命题，则210(0)t t m t ++-=>无解，由于对称轴102t =-<， 只需101m m -⇒即可，③不正确；④：因为()cos g x x =为偶函数，所以()cos cos ||g x x x ==，所以()cos |cos |f x x x =+，cos y x =的最小正周期为π，()()()()cos cos cos cos f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠.且(2)cos(2)|cos(2)|()f x x x f x πππ+=+++=，所以()f x 的最小正周期为2T π=， 所以④正确. 故答案为：①②④【点睛】有关指数函数和二次函数结合的问题，可利用换元法来求解. 16．已知函数321()2xf x e x x =--与31()(0)2g x x ax x =-+<的图像上存在关于原点的对称点，则实数a 的取值范围是__________． 答案：[21,)e -+∞先求得与()y g x =的图象关于原点对称的函数31()(0)2h x x ax x =-+>，再根据函数()y f x =与()y g x =的图象上存在关于原点的对称点，转化为()y f x =与()y h x =的图象有交点，即211,022x e a x x x x =+->有解．再令21()2x e f x x x x =+-，求其值域即可.解：设()y h x =的图象与()y g x =的图象关于原点对称，由31()(0)2g x x ax x =-+<，得31()(0)2h x x ax x =-+>，因为函数()y f x =与()y g x =的图象上存在关于原点的对称点， 即()y f x =与()y h x =的图象有交点， 即32311,022xe x x x ax x --=-+>有解， 即211,022x e a x x x x =+->有解． 令21()2x e f x x x x =+-，则22()1(1)1x x x e x e e f x x x x x ⎛⎫⋅-'=+-=-+ ⎪⎝⎭， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 有最小值1(1)2f e =-，所以1122a e -， 即21a e -．故a 的取值范围为[21,)e -+∞． 故答案为：[21,)e -+∞【点睛】本题主要考查函数的对称性和导数与函数有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．若数列{}n a 满足：12311112231n n a a a na n ++++=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：2n S <． 答案：（1）()*12n n a n +=∈N ；（2）证明见解析. （1）与已知数列前n 项和n S 求通项公式n a 相似的方法求得通项公式，同样注意1a 的值； （2）用裂项相消法求得n S 后可证不等式成立． 解：（1）解：由12311112231n n a a a na n ++++=+，①当1n =时，11a =； 当2n 时，123111112(1)23(1)n n a a a n a n--++++=-，②-①②，得122(1)21(1)n n n na n n n n -=-=++， 12n n a +∴=， 12n n a +∴=对1n =也适合． 综上，()*12n n a n +=∈N ． （2）证明：114114(1)(2)12n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 11111111114422334451222n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】方法点睛：本题考查裂项相消法求和，常见的裂项技巧：()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭，()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭（*k ∈N ），()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，111n n n n =+-++．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E ，F 分别是线段AB ，1AC ，11A C 的中点，三棱锥A DEF -的体积为112．（1）证明：//DE 平面1AB F ；（2）求三棱柱111ABC A B C -的体积． 答案：（1）证明见解析；（2）2.（1）设1AB 的中点为G ，连接DG ，GF ，EF ，证明四边形DGFE 为平行四边形，即证//DE GF ，再利用线面平行的判定定理即证结论； （2）利用11111111248A DEF D AEF D AC F D C A A B C A A V V V V V -----====求解11283B C A A A DEF V V --==，再利用111113ABC A B C B C A A V V --=转化求解，即得结果.解：（1）证明：如图，设1AB 的中点为G ，连接DG ，GF ，EF ，因为点D ，E ，F 分别是线段AB ，1AC ，11A C 的中点， 所以1//DG BB 且112DG BB =，1//EF AA ，且112EF AA = 因为11//BB AA ，所以//DG EF 且DG EF =， 所以四边形DGFE 为平行四边形，所以//DE GF ，因为GF ⊂平面1AB F ，DE ⊄平面1AB F 所以//DE 平面1AB F ；（2）解：因为E 为中点，故112A DEF D AEF D AC F V V V ---==， 因为F 为中点，故11112D AC F D C A A V V --=，因为D 为中点，故111112D C A A B C A A V V --=， 故11111111248A DEF D AEF D AC F D C A ABC A A V V V V V -----====，故111288123B C A A A DEF V V --==⨯=， 而三棱柱可分割成三个三棱锥: 三棱锥111B A B C -，三棱锥11B C A A -，三棱锥1B C CA -，由1111111111B A B C C A B B C A BA B C A A V V V V ----===，知前两个三棱锥的体积相等，由111B C A A B C CA V V --=，知后两个三棱锥的体积相等，故1111113B C A A ABC A B C V V --=， 所以1111123323ABC A B C B C A A V V --==⨯=. 【点睛】方法点睛：本题中三棱柱可以看作三个等体积的三棱锥的和.对三棱锥的体积，通常利用等积转换法，利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为底面，（1）求体积时，可以选择“容易计算”的方式来计算；（2）利用线面平行，在底面确定的情况下，把顶点转化为易于计算的其他点为顶点的三棱锥； （3）利用“等积性”可求“点到平面的距离”，关键是在已知面中选取三个点与已知点构成三棱锥． 19．近年来，中国电影市场蓬勃发展，连创票房奇迹，各地陆续新增了许多影院．某市新开业的一家影院借助舒适的环境和较好的观影体验吸引越来越多的人前来观影，该影院的相关负责人统计了刚开业7天内每一天前来观影的人次，用x 表示影院开业的天数，y 表示每天前来观影的人次（单位：人次）．（1）该影院的相关负责人分别用两种模型①y a bx =+，②xy c d =⋅（c ，d 为大于零的常数）进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图．根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果求y 关于x 的回归方程，并预测该影院开业第8天前来观影的人次； 参考数据：xy71i ii x y =∑721ii x=∑4135 4704 140（3）根据（1）选择的模型按照某项指标测定，当差11ˆ,22e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，则称当天为观影正常日，反之则称为“非观影正常日”，若从该影院开业的这7天中任选3天进行进一步的数据分析，求这3天中含非观影正常日”的概率．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 答案：（1）应该选择模型①；（2）该影院开业第8天前来观影的人次为267；（3）57． (1)观察残差图，结合残差的意义即可得解；(2)根据数据表利用最小二乘法可得回归直线方程，并作出预测；(3)用列举法列出从7天中任取3天的所有不同结果，并数出“非观影正常日”的不同结果数即可得解. 解：（1）应该选择模型①（2）因为ˆˆˆybx a =+，714704i ii x y==∑，4x =，721140i i x ==∑，216x =，所以7172217470474135ˆ331407167i ii i i x y x ybx x==--⋅⋅===-⋅-∑∑，ˆ1353343a=-⋅=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ333y x =+， 把8x =代入上式得：333826ˆ7y=+⨯=，即故该影院开业第8天前来观影的人次为267． （3）从残差图易知，7天中有5天为“观影正常日”，记这5天为1，2，3，4，5， 2天“非观影正常日”为a ，b 所以从7天中选出3天的种数为：①(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)，共10种； ②(1,2,),(1,2,),(1,3,),(1,3,),(1,4,),(1,4,),(1,5,),(1,5,),(2,3,),(2,3,)a b a b a b a b a b ,(2,4,),(2,4,),(2,5,),(2,5,),(3,4,),(3,4,),(3,5,),(3,5,),(4,5,),(4,5,)a b a b a b a b a b ，共20种；③(,,1),(,,2),(,,3),(,,4),(,,5)a b a b a b a b a b ，共5种， 故总种数为35种，含“非观影正常日”的种数为25种， 所以这3天中含“非观影正常日”的概率255357P ==． 20．已知定圆()221:11F x y ++=，圆()222:125F x y -+=，动圆M 与定圆1F 外切，与定圆2F 内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）直线l 的方向向量()1,2a =-，直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，若AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 纵截距m 的取值范围．答案：（1）22198x y ；（2）61706170211,,211⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝．（1）设动圆M 的半径为r ，分析得出1262MF MF +=>，利用椭圆的定义可知点M 的轨迹为椭圆，确定该椭圆的焦点，求出a 、b 、c 的值，即可得出轨迹E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出0OA OB ⋅>，结合0∆>可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.解：（1）设动圆M 的半径为r ，由图可知，圆1F 内含于圆2F ，圆1F 的半径为1，圆2F 的半径为5.动圆M 与定圆1F 外切，则11MF r =+，动圆M 与定圆2F 内切，则25MF r =-，由题意知：()()121562MF MF r r +=++-=>，根据椭圆定义，圆心M 的轨迹是以原点为中心，1F 、2F 为焦点，长半轴长3a =，半焦距1c =的椭圆，2228b a c ∴=-=，E ∴的方程为22198x y ；（2）直线l 的方向向量为()1,2a =-，所以直线l 的斜率为2-． 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，由222198y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2244369720x mx m -+-=．直线l 与椭圆E 有两个交点，所以，()()22223644498288440m m m∆=-⨯⨯-=->，解得m -<<，由韦达定理可得12911m x x +=，21297244m x x -=，AOB ∠为锐角，()()1212121222OA OB x x y y x x x m x m ∴⋅=+=+-+-+ ()()22212122597223652401444736044m m m x x m x x m m m -==-⨯⋅-++-+=>，17m ∴>或17m <-， 综上，直线l 的纵截距m的取值范围为⎛-⋃ ⎝⎭⎝．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解． 21．已知函数21()()ln 22f x x a b x =+++，a 、b ∈R ． （1）当0a =，1b =时，求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()2152f x x >． 答案：（1）52．（2）见解析 （1）当0a =，1b =时，函数21()ln 2,(0)2f x x x x =++>，求导1()0f x x x '=+>，得到()f x 在[1,2]上单调递增求解．（2）当1b =时，211()x ax f x x a x x='++=++，根据函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，有12x x a +=-，121=x x ，根据12x x <，且1>0x ，20x >，得到21>x ，221a x x =--，代入()()2222111ln 22x a x f x x x +++=，得到()21f x x 22221ln 22x x x x =++，再令1()ln 2(1)2g x x x x x=++>，用导数法求其最小值即可.解：（1）当0a =时，1b =时，函数21()ln 2,(0)2f x x x x =++>，则1()0f x x x '=+>．()f x 在[1,2]上单调递增，所以min 5()(1)2f x f ==． （2）当1b =时，211()x ax f x x a x x='++=++，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根， 所以12x x a +=-，121=x x ， 因为12x x <，且1>0x ，20x >，所以21>x ，221a x x =--，()()22222221221ln 212ln 212x a x f x x x x x x x +++==++令1()ln 2(1)2g x x x x x x =++>，则21()ln 302g x x x'=-++>， 所以()g x 在(1,)+∞单调递增， 所以5()(1)2g x g >=， 即()2152f x x >． 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，极值和最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为_23121t x t y t -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数)，以原点О为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求1C 的普通方程和2C 的极坐标方程； （2）求曲线2C 上的点到曲线1C 距离的最小值. 答案：（1）240()2x y x +-=≠，2221sin ρθ=+；（2. （1）消去参数t ，得到曲线1C 的普通方程，根据解析式，求函数的定义域，先求曲线2C 的普通方程，再代入cos ,sin x y ρθρθ==，求曲线2C 的极坐标方程；（2）曲线2C上任意一点的坐标为),sin αα，代入点到直线的距离，利用三角函数求最值.解：（1）由23121t x t y t -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以()2112312111t t x t t t ---===----， 得2,x ≠消去参数t 得1C 的普通方程为240()2x y x +-=≠；由sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2222cos sin 1y αα+=+=， 整理得曲线2C 的普通方程为2212x y +=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为2221sin ρθ=+ （2）设曲线2C上任意一点的坐标为),sin αα， 则曲线2C 上的点到曲线1C的距离d==其中tan ϕ=当sin()1αϕ+=时，min d =23．已知函数()|33||1|f x x x =--+．（1）求函数()f x 的最值；（2）x ∀∈R ，不等式()|22|f x m x >++恒成立，求实数m 的取值范围．答案：（1）最小值2-，无最大值；（2）(,6)-∞-．（1）根据绝对值定义分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数形式，得出函数的单调性，得最小值；（2）不等式变形为可转化为求函数3|1|3|1|y x x =--+的最小值，从而可得结论．解：解：（1）24,1,()42,11,24,1,x x f x x x x x -+-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩易知当(,1)x ∈-∞时，()f x 单调递减，当[1,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()(1)2f x f =-，即()f x 有最小值2-，无最大值．（2）x ∀∈R ，不等式()|22|f x m x >++恒成立，即|33||1||22|x x m x --+>++， 整理得，3|1|3|1|x x m --+>．设3|1|3|1|y x x =--+，则6,16,116x y x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪-⎩，所以函数3|1|3|1|y x x =--+的最小值是6-，所以6m <-，即实数m 的取值范围是(,6)-∞-．【点睛】方法点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值，与绝对值不等式有关的不等式恒成立问题．解题的基本方法是根据绝对值的定义去掉绝对值符号，化函数为分段函数形式，得出函数单调性，最值．。

2021届云师大附中高三高考适应性月考数学（文）试题一、单选题1.己知集合A={（x,），）|y=x2},3={（号，）|/+）,2=1},则集合a q b中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】作出函数,y=x2和圆尸+丁=］的图象，观察两曲线的交点个数,可得出集合AC\B的元素个数.【详解】如下图所示，由函数y=x2与圆a2+y2=1的图象有两个交点，因此，集合AQB含有两个元素,故选：C.本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：e u=cosA：+/sinA-,根据三角方程，计算广+1的值为（）A.-1B.0C.ID.i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数c”•表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.【详解】由/=cosx+isinx,则广+1=cos;r+isin/r+l=—1+1=0，故选B.【点睛】本题考查机数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题. 3.移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明七某中学为了解本校学生中新“四大发明"的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有6（）位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】C【解析】作出韦恩图.根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数’将人数除以100可 得出所求结果.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如卜图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值—=0.7.故选：C.1VJyJ【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.fx>04.已知L）'满足的约束条件'x+2y-3>0,则Jj+.k的最小值为（）ly>oA.半B.略C.y/3D.够【答案】A【解析】作出不等式组作表示的可行域，根据代数式的几何意义为可行域内的点到原点的距离.结合图形知，JTk*的最小值为原点到直线x+2y-3=。

文科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他★答案★标号，在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题1. 已知集合{}21M x y x ==+，{}2(,)1N x y y x ==-+，则MN =（ ）A. {}1B. ()0,1C. ∅D. {}(0,1)【★答案★】C 【解析】 【分析】根据集合中元素的特征，直接得出结果.【详解】因为集合{}21M x y x ==+为数集，{}2(,)1N x y y x ==-+为点集，所以两集合没有共同元素，则M N ⋂=∅. 故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型. 2. 在复平面内，复数21ii-+(i 为复数单位)对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限. D. 第四象限【★答案★】D 【解析】 【分析】先根据复数除法运算化简出21ii-+，即可得出对应点象限. 【详解】()()()()22122313111222i i i i i i i i i ----+===-++-,∴对应的点13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 3. 函数()e 27xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【★答案★】B 【解析】 【分析】函数()f x 单调递增，直接计算()1f 和()2f ，由零点存在定理判断即可. 【详解】解：函数()f x 单调递增，由零点存在定理()1e 50f =-<，()22e 30f =->，故选：B ．【点睛】考查零点存在定理的应用，基础题. 4. 已知tan 2α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.35B.45 C.35D. 45-【★答案★】C 【解析】 分析】根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化为221tan 1ta sin n 22πααα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即可得出结果.【详解】因为tan 2α=，所以222222cos sin 1t sin 22an 3cos 2sin cos 1tan 5αααααααπα⎛⎫--===-+= ⎪⎝++⎭， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系以及诱导公式即可，涉及二倍角的余弦公式，属于基础题型.5. 电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21， 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo (如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A.731092πB.891092πC.1621092πD.161092π【★答案★】A 【解析】 【分析】根据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率. 【详解】由题意，阴影部分包括半径为8和半径为3的两个圆，面积分别为64π和9π， 而整个长方形的宽为161026+=，长为261642+=， 所以该点落在阴影部分的概率是64973π42261092P ππ+==⨯.故选：A ．【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.6. 双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()3,0F ，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.324C.233D. 23【★答案★】B 【解析】 【分析】先由题意，得到3c =，渐近线方程为0bx ay ±=，根据点到直线距离公式，求出1b =，得出a ，即可求出离心率.【详解】因为双曲线的右焦点为()3,0F ，即3c =，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=；又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1， 所以2231b b a =+，即31bc=，所以1b =，则2222a c b =-=， 因此324c e a ==. 故选：B ．【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.7. 如图，在ABC 中，3AC =，2AB =，60CAB ∠=︒，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =（ ）A.373B.979C.439D.433【★答案★】A 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，由题意，得到2133AD AB AC =+，再由向量模的计算公式，即可求出结果.【详解】由题意，1121()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+． 所以222221414164137123339999929AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅=++⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，373AD =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查求平面向量的模，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型. 8. 在正项等比数列{}n a 中，11a =，前三项的和为7，若存在m ，*n ∈N 使得14m n a a a =，则11m n +的最小值为（ ） A. 23 B. 43C.83D.113【★答案★】A 【解析】 【分析】先求出数列{}n a 的公比，再由14m n a a a =可得6m n +=，再利用基本不等式可求解.【详解】解：由1237a a a ++=，260q q +-=，解得2q或3q =-（舍去），由14m n a a a =，即114222m n --⋅=，得6m n +=，所以()()111111122226663n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=⋅++≥⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3m n ==时，等号成立， 故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的综合应用，属于基础题. 9. 如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A.56B.83C. 1D.163【★答案★】D 【解析】 【分析】先由三视图还原几何体，得到该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，进而可求出结果.【详解】由题意三视图对应的几何体如图所示，所以该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积， 即3111622222323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征即可，属于基础题型. 10. 设动直线x =t 与曲线x y e =以及曲线ln y x =分别交于P ，Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值，则下列描述正确的是（ ）A. min 2PQ =B.min 32522PQ << C. min 3222PQ << D. min 3PQ >【★答案★】B 【解析】 【分析】根据条件将PQ 表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析min PQ 的取值范围.【详解】根据条件可知()(),,,ln tP t e Q t t ，所以ln tPQ e t =-，不妨令()()e ln 0x F x x x =->，则1()e xF x x'=-， 又因为2212320,20222F e F e e ⎛⎫⎛⎫''=-<=->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在01222x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，使得001()e 0x F x x '=-=， 所以()F x 在()00,x 上递减，在()0+x ∞，上递增， 所以()F x 在0x 处取得最小值，且000001()e ln x F x x x x =-=+， 根据对勾函数的单调性可知：1y x x =+在1222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减， 所以00321522x x <+<，所以有min 325||22PQ <<， 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.11. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A ，B 两点，分别过A ，B两点作抛物线的切线1l ，2l 相交于点P ，PAB △又常被称作阿基米德三角形．PAB △的面积S 的最小值为（ ）A. 23pB. 22pC. 2pD. 22p【★答案★】C 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点P 的坐标，利用三角形的面积公式可得()322221PABSp mp =+≥△.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得直线AB 的斜率不为0, 因为直线AB 过焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以设直线AB 的方程2p x my =+；联立242y xp x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y mpy p --=，所以212122,y y mp y y p +==-，()()22212121421AB m y y y y p m =++-=+由抛物线的性质可得过点()11,A x y ，()22,B x y 的抛物线的切线方程为：()()1122,yy p x x yy p x x =+=+，联立()()1122yy p x x yy p x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得1222x p y y p ==-，122y y y mp +==，即,2p P mp ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点P 到直线的距离()2211p m d m+=+，()32222112PABS AB d p m p ==+≥△ 当且仅当0m =时取到最小值. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养.12. 已知函数()22cos 2cos 2x x x x e x e f x x -+-+=+，则122019201920181202020202020202020202020f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…（ ） A. 2019B. 2020C. 4038D. 4040【★答案★】C 【解析】 【分析】先判断出()f x 关于()0,1成中心对称，由此求得所求表达式的值.【详解】()()222e e cos e e 21+cos 2cos 2x x x x x x x x f x x x ---+-+==++， 令()()2e e cos 2x x x h x x --=+，()()()()()22cos 2cos 2x x x x x e e x e e h x h x x x -----===--++，则()h x 为奇函数，所以()h x 关于坐标原点对称，则()f x 关于()0,1成中心对称，则有()()2f x f x +-=，所以122019201920181202020202020202020202020f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…201924038=⨯=.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性，属于中档题.二、填空题13. 设实数x ，y 满足0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的最小值为_________【★答案★】23【解析】 【分析】画出不等式所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】画出210210x yy xx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域如下，由z x y=+得y x z=-+，则z表示直线y x z=-+在y轴上的截距；由图像可得，当直线y x z=-+过点M时，在y轴上的截距最小；由210x yy x+-=⎧⎨=⎩得11,33M⎛⎫⎪⎝⎭，因此min23z=.故★答案★为：23.【点睛】本题主要考查求线性规划的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.14. 过原点与曲线lny x=相切的切线方程为______．【★答案★】xye=【解析】【分析】设切点坐标为()00,x y，求得1|x xyx='=，列出方程0001yx x=，求得x e=，得到1ke=，即可求得切线的方程.【详解】设切点坐标为()00,x y，切线方程为y kx=，由lny x=，则1yx'=，则1|x xyx='=，则0001yx x=，即000ln1xx x=，即ln1x=，解得x e=，所以1|x xk ye='==，所以原点与曲线ln y x =相切的切线方程为x y e=． 故★答案★为：x y e=【点睛】本题主要考查了过点出的切线方程的求解，其中解答中熟记到导数点几何意义，以及过点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15. 已知P 是直线l : 260x y ++=上一动点，过点P 作圆C :22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B .则四边形PACB 面积的最小值为___________. 【★答案★】2 【解析】 【分析】由圆的方程为求得圆心(1,0)C -、半径r 为2，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【详解】由题意得：圆的方程为：22(1)4x y ++=∴圆心为(10)-，，半径r 为2， 又∵四边形PACB 的面积S PA AC ==22224PC AC AC PC -=-，所以当PC 最小时，四边形PACB 面积最小．将(10)-，代入点到直线的距离公式，min 22|16|||521PC -+==+，22||||521PA PB ∴==-=||222PACB PA rS ⋅=⋅= 故四边形PACB 面积的最小值为2． 故★答案★为：2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．16. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，23PA =，2BC =，球O 与四棱锥P ABCD -的每个面都相切，则球O 的半径为______． 【★答案★】31- 【解析】 【分析】计算出四棱锥P ABCD -的表面积，利用等体积法计算出球的半径. 【详解】依题意底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以,,,,,PA AB PA AD PA BC PA CD AB AC AD CD ⊥⊥⊥⊥⊥⊥， 由于,PA AB A PA AD A ⋂=⋂=， 所以BC ⊥平面PAB ，CD ⊥平面PAD ， 所以,BC PB CD PD ⊥⊥， 设内切球的半径为R ，()222324PB PD ==+=，四棱锥P ABCD -的表面积11222322422124322S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，则有()11222333P ABCD V S R -=⋅⋅=⨯⨯⨯，解得31R =-．故★答案★为：31-【点睛】本小题主要考查几何体内切球的有关计算，属于基础题.三、解答题17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=-（1）求角C ； （2）若5c =， 且sin sin(2)sin 2C C A A ++=，求△ABC 的面积.【★答案★】（1）π3C =；（2）536或534.【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再根据余弦定理可求出1cos 2C =，继而得出角C ； （2）根据条件可得sin cos sin cos B A A A =，分cos 0A =和cos 0A ≠两种情况讨论可求出面积. 【详解】（1）已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=-， 由正弦定理，()()()a c a c a b b +-=-， 整理得222ab a b c =+-， 由余弦定理：1cos 2C =，又0πC <<， 所以π3C =． （2）已知sin sin(2)sin 2C C A A ++=， 整理得sin()sin(π)sin 2A B B A A ++-+=，sin()sin()sin 2A B B A A ++-=，即2sin cos 2sin cos B A A A =．①当cos 0A =时，ABC 为直角三角形，155,,3tan 3c c C b C π====, 115535236ABC S =⨯⨯=△； ②当cos 0A ≠时，sin sin B A =， 所以a b =，ABC 为等边三角形，534ABC S =△, ABC ∴的面积为536或534．【点睛】本题考查正余弦定理的应用以及三角恒等变换解三角形，考查三角形面积的求解，属于中档题.18. 某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图（1）求x 的值和数学成绩在90分以上的人数；（2）用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有的中学生(人数很多)中随机选取4人，用ξ表示所选4人中成绩在110以上的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望 【★答案★】（1）0.02；12；（2）分布列见解析，0.8. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，由频率分布直方图列出方程，即可求出x ，进而可求出数学成绩在90分以上的人数；（2）先得出从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.2P =，由题意，可得(40.2)B ξ，，进而可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，x 的值为10.050.10.150.30.0220x ----==，数学成绩在90分以上的人数：20(0.40.150.05)12⨯++=．（2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.150.050.2P =+=，所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取4人， 所选4人中成绩在110以上的人数(40.2)B ξ，，随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，4(0)0.80.4096P ξ===，134(1)C 0.20.80.4096P ξ==⨯⨯=，2224(2)C 0.20.80.1536P ξ==⨯⨯=，334(3)C 0.20.80.0256P ξ==⨯⨯=，4(4)0.20.0016P ξ===， 随机变量ξ的分布列ξ0 1 2 3 4 P0.40960.40960.15360.02560.0016随机变量ξ数学期望()40.20.8E ξ=⨯=．【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求参数，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =．（1）证明：平面1AA B ⊥平面11AAC C ； （2）求三棱锥111B A BC -的体积． 【★答案★】（1）证明见解析；（2）36.【解析】 【分析】(1)面面垂直转化为线面垂直，只需证明AC ⊥平面1A AB 即可； （2）111B A BC V -转化为111B A B C V -即可解得.【详解】（1）证明：∵1A B ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1A B AC ⊥．又∵AB AC ⊥，∵1AB A B B ⋂=， ∴AC ⊥平面1A AB ．又∵AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1AA B ⊥平面11AAC C ． （2）111111111111131133326B A BC B A B C A B C V V S A B --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了面面垂直的判断和棱锥体积的求解，属于中档题目，解题中首先注意利用面面垂直判断定理证明面面垂直的书写要规范，其次在计算三棱锥的体积时一般要注意转化，选择合适的顶点和底面.20. 已知函数2()(12)ln f x x a x a x =+--(R a ∈且0)a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当2a >时，若函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明:0()0f x '>.【★答案★】（1）★答案★见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到(21)()()x x a f x x+-'=，分别讨论0a <和0a >两种情况，进而可得出函数单调性；（2）先由（1）得到()2(12)a f x x a x'=+--，()0,x ∈+∞，对其求导，判定2a >时，()'f x 单调递增；将0()0f x '>转化为0x a >，设()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<， 将问题转化为证明122x x a +>；根据题意，得到()212121ln ln 21a x x x x a x x -+=-+-，证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+，令211x t x =>，()4ln 21t h t t =+-+，根据导数的方法判定其单调性，即可得出()21ln 1t t t ->+，进而可得结论成立.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，22(12)(21)()()0x a x a x x a f x x x +--+-'===，解得112x =-(舍去)，2x a =．当0a <时，()0f x '>在(0+)∞，上恒成立，所以函数()f x 单调递增；当0a >时，在(0)a ，上()0f x '<，函数()f x 单调递减，在()a +∞，上()0f x '>，函数()f x 单调递增．综上，0a <时，函数()f x 单调递增；0a >时，()f x 在(0)a ，上单调递减；在()a +∞，上单调递增； （2）由（1）知，()2(12)af x x a x'=+--，()0,x ∈+∞， 令()2(12)ag x x a x=+--，()0,x ∈+∞， 则2()2a g x x '=+，当2a >时，2()20ag x x '=+>恒成立，所以()g x 单调递增， 即()'f x 单调递增；又()0f a '=，故要证0()0()f x f a ''>=，即证0x a >；设()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<，由题设条件知，1202x x x +=，因此只需证122x x a +>；由题意，21112222(12)ln 0(12)ln 0x a x a x x a x a x ⎧+--=⎨+--=⎩，两式作差可得，()()()2221212112ln ln 0x x a x x a x x -+----=，即()()()2221212121ln ln x x a x x a x x -=--+-，即()212121ln ln 21a x x x x a x x -+=-+-，下面先证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即证21221212112122ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令211x t x =>，()()()212144ln ln ln 2111t t h t t t t t t t -+-=-=-=+-+++， 则()()()()()()22222141140111t t t h t t t t t t t +--'=-==>+++显然成立， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，所以()21ln 1t t t ->+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 所以212121ln ln 2x x x x x x ->-+，因此()21212121ln ln 22121a x x ax x a a x x x x -+=-+>-+-+，即()21212122a x x x x a x x -++->+，()()212121220x x a x x a x x +-+-+>+，即()21211210x x a x x ⎛⎫+-+> ⎪+⎝⎭因此122x x a +>， 所以原命题得证【点睛】本题主要考查判定函数的单调性，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型.21. 已知点P 3(1,)2-是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【★答案★】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)-，．证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,)2-即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点. 【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =， 又312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b +=，解得3b =， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y -，， 11121332211y y k k x ---+==+，解得14x =-，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++-=， 122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，22430k m ∆=-+>． 由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫-++-++-= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k ---=．当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；当4m k =时， 22430k m ∆=-+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)-，． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程:1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线C 2的普通方程:y 2=8x ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系 （1）分别求曲线C 1、曲线C 2的极坐标方程; （2）射线=3πθ与曲线C 1、曲线C 2的交点分别为P ，Q (均异于O 点)，C ，(1，0)，求∆PQC 的面积【★答案★】（1）22(1)1x y -+=，2sin 8cos ρθθ=；（2）13312. 【解析】 【分析】（1）按照公式转化即可.（2）求出PQ 的长度按照三角形面积公式计算即可. 【详解】解：（1）由曲线1C 的参数方程1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，消参得曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． 曲线2C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ= （2）1228cos 13||||2cos sin 3PQ θρρθθ=-=-=， 点1C 到直线||PQ 的距离32d =， 所以11133||212PQC S PQ d ==△． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的综合问题.选修4-5：不等式选讲23. （1）求函数()2123f x x x =--+的最大值m ; （2）若a >1，b >1，c >1，a +b +c =m ，求111111a b c ++---的最小值. 【★答案★】（1）4；（2）9. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式即可求出最大值； （2）利用柯西不等式可以求出.【详解】（1）由绝对值不等式()|21||23||2123|4f x x x x x =--+---=≤， 所以4m =．（2）由（1）知：4m =，即4a b c ++=，所以1111a b c -+-+-=， 由柯西不等式：2111111(111)(111)9111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++-+-+-++= ⎪------⎝⎭≥， 当且仅当43a b c ===，等号成立，111111a b c ++---的最小值为9． 【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用，属于基础题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（三）数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,5,6U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．{}2,5,6B ．{}2,4,5,6C ．φD ．{}1,2,3,6【答案】A【分析】根据补集定义计算．【详解】因为全集{12356}U =，，，，，{13}A =，，所以根据补集的定义得{}256UA =，，，故选：A.2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【分析】根据复数的四则运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z 即可. 【详解】∵(1)2i z i +=∴()()()222122222111112i i i i i i z i i i i i --+=====+++-- ∴1z i =- 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题. 3．设两组数据分别为129,,,x x x 和238,,,x x x ，且123489x x x x x x <<<<<，则这两组数据相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．极差C ．方差D ．平均数【答案】A【分析】根据统计中的数字特征中位数，极差，方差，平均数进行判断，【详解】原始中位数为5x ，去掉1x ，9x 后剩余2348x x x x <<<<…，中位数仍为5x ，A 正确； 原始平均数1234891()9x x x x x x x =++++++…，后来平均数23481()7x x x x x '=++++…，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，D 不正确；22222911[()()()]9s x x x x x x =-+-++- (22222381)[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'…，由②易知，C 不正确；原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，B 不正确， 故选：A.4．设函数()()311log 2,13,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，求()()325log 15f f -+=（ ）A ．16B ．8C ．15D ．9【答案】D【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果 【详解】33(25)1log [2(25)]1log 27134f -=+--=+=+=；33log 151log 53(log 15)335f -===3(25)(log 15)459f f ∴-+=+=，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若F 到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A ．22184x y -=B ．22144x y -=C ．22188x y -=D ．22148x y -=【答案】B【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得b ，再根据离心率e =可解得a ，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得(),0F c -，设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点2b ==，又2c e ====2a =，所以双曲线的方程为：22144x y -=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6．垂直于直线2y x =-且与圆221x y +=相切于第三象限的直线方程是（ ）A ．10x y +-=B ．0x y +=C ．0x y +-=D ．10x y ++=【答案】B【分析】由垂直设所求方程为(0)y x m m =-+<，0m <保证直线过第三象限，然后由圆心到切线的距离等于半径求出参数m ．【详解】设所求方程为(0)y x m m =-+<，圆心到直线的距离为1r ==，∵0m <，∴m = 故选：B ．7．已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A ．3 B ．12C ．13D ．23【答案】B【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=- ，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→=- ，则4a b b →→→=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→+= ，即240b b λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=. 故选： B.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8．在ABC 中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，则tan A =（） A B ．12C ．13D 【答案】A【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒，tan A =故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．32252++B ．13C ．2512++D ．12252++【答案】D【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥P ABCD -，四棱锥P ABCD -的高为1，四边形ABCD 是边长为1的正方形， 则111122PCD S =⨯⨯=△，151522PBCS =⨯⨯=， 121222PAB S ⨯==△，121222PAD S ⨯==△， 则四棱锥P ABCD -1225++故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.10．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos 5αβ+=-，则tan αβ（ ）A ．247-B．C ．211-D ．-2【答案】C【分析】根据同角三角函数关系可求得tan()αβ+和tan2α，变形2()αβααβ-=-+，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】因为α，β为锐角，所以(0)παβ+∈，.又因为cos()5αβ+=-， 所以sin()αβ+==tan()2αβ+=-.因为4tan 3α=，所以22tan tan 21tan ααα==- 247-，因此，tan 2tan()2tan tan 21tan 2tan()11()[()]ααβαβααβααβ-+-=-+==-++，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.11．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ △的面积为1S ，MON △的面积为2S （O 为坐标原点），则2212S S +的最小值为（ ）A ．10B ．16C ．14D ．12【答案】B【分析】设1l ：1y kx =+与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以k 表示出21S 和22S ，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消y 得2440x kx --=，因为216160k ∆=+>，所以124x x k +=，124x x =-，所以2||4(1)PQ k ==+， 又原点O 到直线1l 的距离为d =，所以21S = 24(1)k +，同理222141S k ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以22212218416S S k k ⎛⎫+=++⎪⎝⎭≥，当且仅当“1k =±”时取等号， 故2212S S +的最小值为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题. 12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω），2πϕ≤，下述五个结论：①若5πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点； ②若4πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点； ③若5πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； ④若4πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭； ⑤若()f x 的图象关于4x π=对称，4πx =-为它的一个零点，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为11.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②③④ B ．①③⑤C ．②④⑤D ．①③④【答案】D【分析】结合正弦函数sin y x =的性质进行判断．作出sin()y x ωϕ=+的大致图象，由[0,2]π上的零点个数判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式．再由单调性得周期的范围，然后从最大的ω验证，判断⑤．【详解】①若π5ϕ=，()f x 在[02]π，上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点，故①正确；②若π4ϕ=，且()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误； ③若π5ϕ=，由()f x 在[02]π，上有5个零点，得2429255πππ<ωω≤，即<1229510ω≤，当010x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，所以()f x 在010π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确； ④若π4ϕ=，因为02x π≤≤，∴02x πωω≤≤， ∴2444πππx πωω++≤≤，因为()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，所以4254ππππω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则224πkT T =+(k Z ∈，T 为周期)，得2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤，又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调；当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，关键是掌握正弦函数与性质，掌握五点法作图，利用数形结合思想归纳出结论，解题时可由零点、对称性得周期，由单调性确定周期的范围，由点的坐标确定相位是常用方法．二、填空题13．已知实数x ，y 满足条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值是________.【答案】2-【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如下，因为2z y x =-可化为2y x z =+， 则z 表示直线2y x z =+在y 轴上的截距，由图像可得，当直线2y x z =+过点1,0A 时，在y 轴上的截距最小，即z 最小； 所以min 022=-=-z当目标函数2y x z =+经过点(10)，时，z 取得最小值2-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14．已知直线1l ：210x ay +-=，2l ：()10a x ay +-=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______. 【答案】12-或1 【分析】由12l l ⊥，可建立等式关系，计算即可.【详解】因为直线1l ：210x ay +-=，2l ：()10a x ay +-=，且12l l ⊥，所以()()1120a a a +⨯+-=，解得12a =-或1. 故答案为：12-或1. 15．已知函数()()()2112cos 11x x x x a f ee x x --+=-+++--有唯一零点，则a =______.【答案】12【分析】函数式变形后引入2()()cos 2xxg x x a e e x -==++-，此函数是偶函数，也有唯一零点只能是0x =，从而可求得a ． 【详解】因为21(1)()(1)(ee )cos(1)2x xf x x a x ---=-+++--，且2()(e e )cos 2xxg x x a x -=+++-为偶函数，也有唯一零点0x =， 所以(0)0g =，解得12a =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查函数的零点问题，在函数式比较复杂又要确定零点时，可考虑函数的奇偶性，具有奇偶性的函数如果零点唯一，则零点只能是0．那么如果函数本身不具有奇偶性，可考虑能否通过图象变换把它变成具有奇偶性的函数．从而也可确定唯一零点． 16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，π3BAC ∠=，其外接球表面积为16π，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为________. 【答案】83【分析】设ABC 的外心为点O '，外接球的球心为O ，过点O 作OD PA ⊥于点D ，令AB a ，PD DA OO h '===，由222DO DP PO +=得22143a h +=，所以3(4)2P ABC V h h -=-，利用导数求解体积的最大值. 【详解】如图所示，令AB a ，PD DA OO h '===，则BO AO ''==33DO a =，外接球表面积为16π， 所以半径2r，在Rt PDO △中，222DO DP PO +=，即2234h ⎫+=⎪⎪⎝⎭，即22143a h +=， 得223(4)a h =-，所以体积21132334P ABC ABC V S PA a h -==△ 2333(4)62a h h h ==-，令33())2f h h h =-(0)h >，23()(43)2f h h '=-，()f h 在230⎛ ⎝⎭，上单调递增，在23⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 所以23h =P ABC V -的最大值为2383f =⎝⎭. 故答案为：83【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a S +=+，*n N ∈，在公差不为0的等差数列{}n b 中，24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =-，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a -=，2n b n =；（2）1(31)(1)2nn n --+. 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥证明{}n a 是等比数列，得到通项公式n a ，利用等比数列的性质求得等差数列{}n b 的公差d ，得通项n b ； （2）分组求和法计算n T ．【详解】（1）∵121n n a S +=+，∴121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得13(2)n n a a n +=≥，又因为23a =，∴213a a =，∴13()N n n a a n +=∈+13n n a -=，.设等差数列{}n b 的公差为d ，∵1b ，2b ，4b 成等比数列，221422()(2)2b b b b d b d d ==-+⇒=，∴2n b n =. （2）由（1）知，132n n n n c a b n -=-=-，所以2113332(12)n n T n -=++++-+++ (131)(1)(31)(1)132n n n n n n -=-+=--+-.【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，分组求得法求和．数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．注意对应的数列特征．18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑，()()()121niii nii x x y y b x x ==-⋅-=-∑∑，a y bx =-. 1.414≈.【答案】（1）可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系，其关系为负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+，预测 6.2y =. 【分析】（1）根据表格中的数据，分别求得,x y ，结合公式，求得r 的值，即可得到结论；（2）由（1）知，根据公式求得ˆ0.56b=-，进而求得ˆa ，得出回归直线的方程，代入12x =，即可得到预测值.【详解】（1）由题意，可得51135755i i x x ====∑，51145955i i y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16i i y y =-=∑，因而相关系数1()()0.99(nii ii x x y y r y y =--===≈--∑∑.由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系. 由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑， 则ˆˆ9(0.56)712.92ay bx =-=-⨯-=， 则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+， 当12x =时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. 【点睛】求解回归直线方程的基本步骤：（1）依据一般数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系； （2）计算211,,()(),()nnii i i i x y x x y y x x ==---∑∑的值；（3）计算回归系数ˆˆ,ab ；（4）写出回归直线方程ˆˆˆybx a =+. 19．如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 为棱BC 的中点，求点C 到平面PAM 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）49331. 【分析】（1）由正三角形性质得PO AC ⊥，由勾股定理逆定理证PO OB ⊥，从而得线面垂直；（2）利用体积法P AMC C PAM V V --=可求得点C 到平面PAM 的距离．【详解】（1）证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =.如图，连接OB ，因为22AB BC AC ==，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==， 由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥，由OP OB ⊥，OP AC ⊥，知PO ⊥平面ABC .（2）如图所示，因为点M 为棱BC 的中点，所以在ABM 中，AM =，又PO ⊥平面ABC ，在POM 中，OM =PM =PAM △中，由余弦定理得，cosPMA ∠=，则sinPMA ∠=，所以12PAM S ==△设点C 到平面P AM 的距离为d ，由P AMC C PAM V V --=，得11141323d ⨯⨯⨯⨯=，所以31d =，所以点C 到平面P AM 【点睛】本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离．立体几何中求点到平面距离的方法：（1）作出点到平面的垂线，求出垂线段的长； （2）在三棱锥中用体积法计算；（3）建立空间直角坐标系，用向量法求解．P 到平面ABC 的距离，设n 是平面ABC的一个法向量，则P 到平面ABC 的距离等于PA n n⋅（A 点可以是平面ABC 内的任意一点）．20．已知函数()()22ln f x x ax a x =-+-，其中a R ∈.（1）当0a =时，求()y f x =函数图象在点()()22f ,处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值为2a -，求a 的值.【答案】（1）322ln 2y x =--；（2）223e a e -=-. 【分析】（1）求出导数计算出切线斜率后可得切线方程；（2）求出导函数()'f x ，根据()0f x '=的两根的大小分类讨论确定()'f x 正负，得()f x 的单调性，从而得最大值，由最大值等于2a -可得结论． 【详解】（1）当0a =时，22ln ()(0)f x x x x =->，2()2f x x x'=-，(2)413f '=-=，()422ln 2f =-，切线方程为322ln 2y x =--.（2）22(1)1222(2)()2a x x a x ax a f x x a x x x⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥--+-⎝⎭⎣⎦'=-+==， ①当112a-≤，即4a ≤时，若1≥x ，()0f x '≥恒成立，∴()f x 在[1]e ，上递增， ∴2max()()22f x f e e ae a a ==-+-=-22(4]3e a e -⇒=∈-∞-，合题意；②当112a e <-<，即422a e <<+时，当112a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，()0f x '≤，()f x 单调递减， 当12a x e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，()0f x '≥，()f x 单调递增，max ()f x 在(1)f 处或(e)f 处取到，又(1)12f a a =-=-时，1(422)a e =-∉+，且2()22f e e ae a a =-+-=-22(422)3e a e e -⇒=∉+-，；③当12ae -≥，即22a e +≥时，当[1]x e ∈，，()0f x '≤，()f x 单调递减， max ()(1)f x f =，又(1)12f a a =-=-时，1(22)a e =-∉++∞，. ∴综上，223e a e -=-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求切线方程比较方便：只要求得导数后代入点的横坐标求得切线斜率，由点斜式写出切线方程化简即可．用导数求最值，需求出导数，利用导数的正负确定的单调性，得函数的极值、最值．这里需要按()0f x '=的大小讨论．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且抛物线24y x =的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）与圆222x y +=相切的直线:l y kx t =+交椭圆C 于,M N 两点，若椭圆上存在点P 满足()()0OP OM ON μμ=+>，O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎣. 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得,,a b c ，进而得到椭圆方程； （2）根据直线与圆相切可求得2t 的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用2MON S S μ=△，可将所求面积整理为关于k 的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 离心率为12，∴12c a =，又点()1,0是抛物线和椭圆的焦点， ∴1c =，24a =，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）∵直线:l y kx t =+与圆222x y +=相切，∴原点到直线l的距离为d r ===()2221t k =+，∴22t ≥.设()11M x y ，，()22N x y ，，()00P x y ，，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得：()2224384120k x ktx t +++-=，∴122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+，∴()121226243ty y k x x t k +=++=+， ∵()OP OM ON μ=+，∴0202843643kt x k t y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又P 在椭圆C 上，∴2222864343143kt t k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴μ=设MN 的中点为E ，则()2OP OM ON OE μμ=+=， ∴四边形OMPN的面积1222MON S S MN d MN μμ==⋅⋅=△=====令()2222111143243k f k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵2433k +≥，∴()1132f k ≤<，∴2S ≤<， ∴四边形OMPN 面积的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<），在以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为()1,2，求直线l 的极坐标方程. 【答案】（1）l 的普通方程为1x =或2tan (1)y x α-=-；C 的直角坐标方程为221416x y +=；（2）2cos sin 40ρθρθ+-= 【分析】（1）分π2α=和π2α≠两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入221416x y +=，根据弦中点坐标，求出tan 2α，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程. 【详解】（1）当π2α=时，l 的普通方程为1x =； 当π2α≠时，l 的普通方程为2tan (1)y x α-=-，即(tan )2tan 0x y αα-+-=.由ρ=2222223cos 316x y x ρρθ+=++=，即221416x y +=.（2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，代入221416x y +=中，整理得22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，依题意得120t t +=，即28cos 4sin 013cos ααα+-=+，即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α，所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=， 则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.23．设函数()213f x x x =++-的最小值为m ，且()f t m =. （1）求m 及t 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足1a b c m +++=.≤.【答案】（1）1,4t m =-=；（2）证明见解析.【分析】（1）等价变形为分段函数，得函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，求得在1t =-时取得最小值得解. （2）由柯西不等式得证.【详解】（1）解：由31(1)()5(13)31(3)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，，，则函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，所以在1t =-时取得最小值，()14f m -==.（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，14a b c +++=，由柯西不等式，=≤1a b c ===时，取等号.【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.。