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文科数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合305x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}46B x x =<<，则A B =（ ）A. ()3,6B. [)3,6C. [)4,5D. ()4,5【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ,再求交集. 【详解】由题意知()303,55x A x x ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭，()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=， 故选:D.【点睛】本题考查求分式不等式和集合求交集，属于基础题.2. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位），根据此公式可知，若10i e θ+=，则θ的一个可能值为（ ） A. 0 B. 2πC. πD.32π 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件由cos sin i e i θθθ=+可得1cos sin 10i e i θθθ+=++=，即cos 10θ+=且sin 0θ=，可得答案.【详解】根据条件由cos sin i e i θθθ=+则1cos sin 10i e i θθθ+=++=，所以cos 10θ+=且sin 0θ= 所以2,k k Z θππ=+∈ 故选:C.【点睛】本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题. 3. cos45cos15sin 45sin15︒︒+︒︒=（ ）．A.12B. 12-C.D. 【答案】C 【解析】 由两角差的余弦函数，可得cos 45cos15sin 45sin15cos(4515)30cos ︒︒+︒︒=︒-︒=︒=， 故选C ．4. 已知双曲线的方程为22143x y -=，双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意知，双曲线的右焦点为)F，双曲线的渐近线方程为2y x =±，即20y -=，所以点)F 到渐近线的距离d ==故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （ ） A. 38 B. 35C. 32D. 29【答案】B 【解析】 【分析】由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果.【详解】由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列， 所以()198932072a ⨯+⨯-=，解得135a =， 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前n 项和公式的基本量运算，属于基础题型.6. 为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲､乙两个年级进行评比，从甲､乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲､乙两个年级成绩的平均数及方差大小（ ）A. x x <甲乙，22s s <甲乙B. x x >甲乙，22s s <甲乙C. x x <甲乙，22s s >甲乙 D. x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】A 【解析】 【分析】根据茎叶图，进行数据的分析判断，即可得解. 【详解】由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中， 而乙主要集中在80分以上，但是比较分散， 所以乙的平均数和方差较大， 故选:A.【点睛】本题考查茎叶图，考查了对数据的分析判断，属于基础题.7. 若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且2OC =.则CA CB ⋅=（ ） A. 3 B. 3-C. 0D. 不确定，随着直径AB的变化而变化【答案】A 【解析】 【分析】将CA CB ⋅通过向量加法的三角形法则用,CO OA 表示出来即可. 【详解】如图，()()()()223CA CB CO OA CO OB CO OA CO OA CO OA ⋅=+⋅+=+⋅-=-=，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是将CA CB ⋅用知道模的向量来表示，是基础题.8. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 30B. 40C. 60D. 80【答案】B 【解析】 【分析】由题可知点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，求出后即可求出四边形面积.【详解】圆M 的标准方程为()()223425x y -+-=，即圆是以()3,4M 为圆心，5为半径的圆，且由()()220344925-+-=<，即点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以8AC =，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，所以10BD =， 且AC BD ⊥，故而1402ABCD S AC BD =⋅⋅=. 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题.9. 正四面体ABCD 的俯视图为边长为1的正方形，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）B.32π C. 3π D. 12π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ，则正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，从而可求出球的半径，得出球的表面积.【详解】如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ， 所以正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，所以外接球的半径为22211132r ++==， 则该外接球的表面积为2343S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的表面积，属于常考题型. 10. 已知()2sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A. ()f x 即是奇函数也是周期函数B. ()f x 3C. ()f x 的图象关于直线2x π=对称D. ()f x 的图象关于点(),0π中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A 是正确的；根据函数的对称性，可判定C 、D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+，令sin ,[1,1]t x t =∈-，利用求导方法求函数3(),[1,1]g t t t t =-+∈-的最值，即可判定B 选项错误. 【详解】由题意，函数()2sin cos f x x x =的定义域为R 关于原点对称，又由()()()()22sin cossin cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数；且()()()()222sin 2cos2sin cos f x x x x x f x πππ+=++==，所以()f x 又是周期函数，所以A 是正确的； 由()()()()22sin cos sin cos fx x x x x f x πππ-=--==，即()()f x f x π-=，所以()f x 关于直线2x π=对称，所以C 是正确的；由()()()()222sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ-=--=-=-，所以()f x 关于点(),0π对称，所以D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+，令sin ,[1,1]t x t =∈-，32(),()31g t t t g t t =-+'=-+，令1()0,(1,(,1),()03g t t x g t '==∈-'<，(()0t g t ∈'<，()g t 的单调递减区间是(1,-，()g t 的单调递增区间是(，()g t 的极大值为(1)0g g ==-=，所以()g t即函数()f x B 选项错误.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11. 已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下面陈述不正确的为（ ）A. 2121234x x y y p +=-B. 22sin pAB α=C.112AF BF p+= D. 记原点为O ，则2sin AOBp S α=△ 【答案】D 【解析】 【分析】先联立方程，消去x 得到12y y +，12y y ，再求12x x ，最后求出2121234x x y y p +=-，判断A 正确；直接求得AB 221221tan sin p p αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，再检验22sin p AB α=亦成立，判断B 确；直接求得112AF BF p +=，判断C 正确；直接求得22sin AOB p S α=△，判断D 错误. 【详解】解：由题意知，令直线2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线2:2C y px =联立方程，消去x 得2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，212y y p =-，所以21212224p p p x x my my ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则2121234x x y y p +=-，故A 正确；由1πtan 2m αα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以12AB AF BF x x p=+=++()212222m y y p pm p =++=+=()222122121tan sin p p m p αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，当π2α=时，经检验22sin p AB α=亦成立，故B 确；12121211112222x x p p p p p AF BF x x x x +++=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()122121224x x pp p x x x x ++==+++()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++==+++++，故C 正确；如图，作OE 垂直AB 于E ，则22112sin 22sin 22sin AOBp p p S AB OE ααα=⋅=⋅⋅=△，当π2α=时，经检验22sin AOB p S α=△亦成立，故D 错误，故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定值问题，是中档题 12. 下列四个命题：①1ln 22>，②2ln 2e>，③220.20.2log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4+=⋅，④1331log 7log 13<，其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】由2ln 2ln 4lne 1=>=，判断①正确；根据ln xy x =的单调性得到ln 2ln e 2e<，判断②错误；令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，化简整理得a b ab +=，判断③正确；先判断得到133log 74>，再判断得到313log 134<，最后判断④错误. 【详解】解：由2ln 2ln 4lne 1=>=，故①正确； 由2ln 2ln e ln 2e 2e>⇔>，考察函数ln x y x =，21ln x y x -'=，所以当()0,e x ∈时，0y '>， 即y 在()0,e 上单调递增，当()e,x ∈+∞时，0y '<，即y 在()e,+∞上单调递减，所以x e =时，y 取到最大值1e ，所以ln 2ln e 2e<，故②错误；令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==， 所以a b ab +=，即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4glog 0.4+=，故③正确； 由4372401219713=>=，所以133log 74>，由4313285612979131=<=， 所以313log 134<，故④错误， 真命题的个数为2个 故选：B.【点睛】本题考查判断命题的真假、利用单调性判断对数的大小、利用导数判断对数的大小、利用对数运算判断等式是否成立，是中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若x ，y 满足约束条件101024x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则32x y +的最大值为______【答案】13 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，32z x y =+表示直线在y 轴上截距，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】约束条件所表示的线性区域，如图所示， 又由题意知：32z x y =+表示直线在y 轴上截距2410x y x y -=⎧⎨--=⎩ 得()3,2A ，1024x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 得52,33C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32z x y =+在点()3,2A 处取得最大值，所以32x y +的最大值为13.故答案为：13【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2sin A C =，且三条边a 、b 、c 成等比数列，则cos A 的值为________.【答案】24- 【解析】 【分析】本题首先可根据sin 2sin A C =得出2a c =，然后根据三条边a 、b 、c 成等比数列得出2b c =，最后根据222cos 2b c a A bc+-=即可得出结果. 【详解】因为sin 2sin A C =，所有根据正弦定理边角互换可知，2a c =， 因为三条边a 、b 、c 成等比数列，所以2b ac =，2b c =，则()222222222cos 2422c c c b c aA bcc c+-+-===-⨯⨯，故答案为：2【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查正弦定理边角互换，考查等比中项的应用，考查计算能力，是简单题.15. 已知函数()ln 2f x x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围为______ 【答案】10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】函数()ln 2f x x ax =-有三个零点，可转化为ln y x =与直线2y ax =有三个交点，对a 分类讨论，当0a ≤时不满足条件，当0a >时求出过原点与函数ln y x =在1x >上的切线，数形结合即可求解.【详解】如图，函数()f x 恰有三个零点，等价于方程ln 2x ax =，有三个解， 即函数ln y x =与函数2y ax =的图象有三个交点，又有2y ax=为过原点的直线由图可知，当0a ≤时，函数ln y x =的图象与函数2y ax =的图象没有有三个交点，不满足条件.当0a >时, 当且仅当2y ax =为ln y x =的切线的时候，方程ln 2x ax =恰有两个解， 故而，令2y ax =为ln y x =的切线，设切点为()00,ln A x x ， 则切线的方程为()0001ln y x x x x -=-， 由于切线过原点，所以0ln 1x =，即0x e =，此时直线的斜率为1e， 由题意知，102a e<<即10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数切线的求法，函数的零点个数的判定，数形结合的思想，属于中档题.16. 边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-，点P 为面对角线CD '上一点，则AP BP +的最小值为______【答案】36+【解析】【分析】将对角面DA BC''与平面ACD'放到同一个平面，化曲为直，连接1A B，取A B'的中点I，在1A BI利用勾股定理即得．【详解】如图甲，将等边ACD'△沿CD'向后旋转到与面DA BC''共面，得到等边1A CD'△，则AP BP+的最小值即为图乙中线段1A B的长，取A B'的中点I，由题意知：等边ACD'△的边长为2，四边形DA BC''是以1BC=，2A B'=的矩形，所以2222112613622A B BI A I⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查空间距离的最小问题，考查转化思想，计算能力，空间想象能力，属于基础题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 记n S为正项数列{}n a的前n项和，且满足()241n nS a=+.（1）求数列{}n a的通项；（2）求证：1223111112n na a a a a a++++<【答案】（1）21na n=-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（1）先求11a =，再当2n ≥时，由1n n n aS S -=-求得12n n a a --=，判断数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，最后求数列{}n a 的通项公式；.（2）由()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，用裂项相消法求和可证明. 【详解】（1）解：当1n =时，由11S a =， 所以()21141a a =+，解得11a =， 当2n ≥时，由()241n n S a =+①， 则()21141n n S a --=+②，由①式减去②式得()()221411n n n a a a -=+-+， 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，由题意知，10n n a a ->+，所以12n n a a --=，则数列{}n a 为11a =，公差为2的等差数列，所以21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以122311111111111213352121n n a a a a a a n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， 【点睛】本题考查由n S 求n a ，利用放缩法和裂项相消法证明不等式，是中档题.18. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且⊥AP BC .（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ；（2）求点C 到平面APB 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得AC BC ⊥和BC AP ⊥，结合线面垂直的判定定理，得出BC ⊥平面APC ，进而证得平面APC ⊥平面ABC ；（2）设点C 到平面APB 的距离为h ，利用P ACB C ABP V V --=，即可求解.【详解】（1）由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===，可得60ABC ∠=︒， 又由2AB BC =，所以AC BC ⊥, 又因为BC AP ⊥，且ACAP A =，所以BC ⊥平面APC ，又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC .（2）如图①所示，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ， 则AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒，则AC DE ⊥， 记垂足为O ，则12DO =，AC = 由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ，如图②所示， 又DO AC ⊥，所以DO ⊥平面ABC ， 由（1）知，BC ⊥平面APC ，即BC CP ⊥， 又1BC CP ==，所以BP =1CB 22ACB S AC =⋅=△， 在ABP △中，由2AB =，1AP =，BP =所以2223cos 2?4PA AB PB PAB AB AP +-∠==，所以sin 4PAB ∠=，则1sin 24PAB S AP AB PAB =∠=△， 设点C 到平面APB 的距离为h ， 由P ACB C ABP V V --=，得11··33ACBABP PO Sh S =，即·ACB ABP PO S h S ==.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及点到平面的距离的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及利用“等体积法”求解点到平面距离是解答的关键，着重考查推理与计算能力.19. 为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调在问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查，问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25；女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15.根据调查结果制作了如下22⨯列联表.更擅长理科 其他 合计 男生 女生 合计（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关； （2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.050 0.025 0.010 0.0010k3.841 5.0246.635 10.828【答案】（1）答案见解析，有；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据比例补全列联表，再计算2K ，即可作出判断；（2）利用列举法列举出所有情况，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】解：（1）补充22⨯的列联表如下：所以()22100223693310033 4.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科 用1A ，2A 表示更擅长理科的两人，用1B ，2B ，3B 表示其他三人则从这5人中，任取2人共有以下10种情况：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ， 共6种情况，所以所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率为35. 【点睛】本题主要考查了补全列联表，独立性检验的实际应用以及利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.20. 已知点()2,0M -，()2,0N ，点P 满足：直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，且1234k k ⋅=-（1）求点(),P x y 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在点Q ，使得QA QB ⋅为定值?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）存在11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由点(),P x y ，运用直线的斜率公式，结合1234k k ⋅=-，化简可得轨迹C 的方程； （2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ，使得QA QB ⋅为定值，当直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，令()11,A x y ，()22,B x y ，表示出QA QB ⋅，代入韦达定理计算可得定值，并检验斜率不存在时也成立． 【详解】（1）由题意知：()122y k x x =≠-+，()222yk x x =≠-， 由1234k k ⋅=-，即()32224y y x x x ⋅=-≠±+-， 整理得点(),P x y 的轨迹C 的方程为：()221243x y x +=≠±.（2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ，使得QA QB ⋅为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立方程()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=， 令()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+， 由()101,QA x x y =-，()202,QB x x y =-，所以()()()()()()210201210201211QA QB x x x x y y x x x x kx x ⋅=--+=--+--()()()22221201201k x x x k x x k x =+-++++()20202581234x k x k-+-=++，将0x 看成常数，要使得上式为定值，需满足05816x +=，即0118x =， 此时13564QA QB ⋅=-； 当直线l 的斜率不存在时，可得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以33,82QA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，33,82QB ⎛⎫=--⎪⎝⎭，13564QA QB ⋅=-， 综上所述，存在11,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题的应用，考查数量积的坐标表示，属于中档题．21. 已知()22ln f x ax x x =-+（1）若12a =-，求()f x 的最大值； （2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，证明:()()()121214ln 543f x f x x x +++<-. 【答案】（1）32-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）当12a =-时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值； （2）对函数求导，则1x ，2x 即为方程2220ax x -+=的两个不同的正根，表示出()()()121213f x f x x x +++，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立． 【详解】（1）当12a =-时，()212ln 2f x x x x =--+，所以()21f x x x'=--+，则()f x '在()0,∞+上是单调递减函数，且有()10f '=， 当()0,1x ∈时，()0f x '>，即()f x 为()0,1上的增函数， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，即()f x 为()1,+∞上的减函数， 所以()()max 312f x f ==-. （2）证明：由题意知：由()222ax x f x x-+'=，则1x ，2x 即为方程2220ax x -+=的两个不同的正根，故而需满足：1212116010210a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得116a >， 所以()()()()22121211122212112ln 2ln 33f x f x x x ax x x ax x x x x +++=-++-+++ ()()21212121221122ln 2ln 23121a x x x x x x x x a a ⎛⎫⎡⎤=+-+-+=-⨯+- ⎪⎣⎦⎝⎭令116t a =>，()()()1212112ln 2312f x f x x x t t +++=-+-， 令()12ln 212g t t t =-+-，所以()1212g t t'=-+； 则()g t '为()16,+∞上的减函数，且()240g '=，所以当()16,24t ∈时，()0g t '>，即()g t 为()16,24上的增函数； 当()24,t ∈+∞时，()0g t '<，即()g t 为()24,+∞上的减函数， 所以()()max 242ln 244g t g ==-， 所以()()()121212ln 2442ln 2544ln 543f x f x x x +++≤-<-=-，证毕.【点睛】本题考查导数证明不等式问题，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2ρ=，直线l的参数方程为2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数). （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB +的值.【答案】（1）C ：224x y +=，l0y +=；（2）1127. 【解析】【分析】（1）由222x y ρ=+，可得曲线C 的直角坐标方程；消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程； （2）写出过点(P -的直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理结合1t ，2t 的几何意义可求得答案．【详解】（1）由222x y ρ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得直线l0y +=.（2）由题意知，过点(P -的直线l的参数方程为222t x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=，又121108130∆=-=>，所以方程有两个不同的解1t ，2t ，又12110t t +=-<，12270t t ⋅=>，所以10t <，20t <，由1t ，2t 的几何意义可知，121212121111111127t t PA PB t t t t t t ⎛⎫++=+=-+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．.23. 已知函数()123f x x x =-+-.（1）求函数()f x 的最小值M ；（2）若0a >，0b >，且a b M +=，证明：22111a b a b +≥++. 【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式，即可求解()f x 的最小值.（2）由（1）知，得出()()114a b +++=，化简()()222211111111a b a b a b a b +-+=-++++++()()11121211a b a b =+-+++-+++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由绝对值三角不等式，可得()12313132f x x x x x x x =-+-≥-+-≥-+-=， 当且仅当3x =时，两个不等式同时取等号， 所以()f x 的最小值2M =. （2）由（1）知，2a b +=，则()()114a b +++=， 所以()()()()2211111112121111a b a b a b a b +-+-+=+-+++-+++++()11111111(2)411411b a a b a b a b ++⎛⎫=++++=++ ⎪++++⎝⎭1(214≥+=， 当且仅当1a b ==，不等式取等号，所以22111a b a b +≥++. 【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式的应用，以及不等式的证明，其中解答中熟记绝对值的三角不等式，以及合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.。
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（三）数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,5,6U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．{}2,5,6B ．{}2,4,5,6C ．φD ．{}1,2,3,6【答案】A【分析】根据补集定义计算．【详解】因为全集{12356}U =，，，，，{13}A =，，所以根据补集的定义得{}256UA =，，，故选：A.2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【分析】根据复数的四则运算求出z ，根据共轭复数的概念求出z 即可. 【详解】∵(1)2i z i +=∴()()()222122222111112i i i i i i z i i i i i --+=====+++-- ∴1z i =- 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题. 3．设两组数据分别为129,,,x x x 和238,,,x x x ，且123489x x x x x x <<<<<，则这两组数据相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．极差C ．方差D ．平均数【答案】A【分析】根据统计中的数字特征中位数，极差，方差，平均数进行判断，【详解】原始中位数为5x ，去掉1x ，9x 后剩余2348x x x x <<<<…，中位数仍为5x ，A 正确； 原始平均数1234891()9x x x x x x x =++++++…，后来平均数23481()7x x x x x '=++++…，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，D 不正确；22222911[()()()]9s x x x x x x =-+-++- (22222381)[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'…，由②易知，C 不正确；原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，B 不正确， 故选：A.4．设函数()()311log 2,13,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，求()()325log 15f f -+=（ ）A ．16B ．8C ．15D ．9【答案】D【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果 【详解】33(25)1log [2(25)]1log 27134f -=+--=+=+=；33log 151log 53(log 15)335f -===3(25)(log 15)459f f ∴-+=+=，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若F 到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A ．22184x y -=B ．22144x y -=C ．22188x y -=D ．22148x y -=【答案】B【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得b ，再根据离心率e =可解得a ，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得(),0F c -，设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点2b ==，又2c e ====2a =，所以双曲线的方程为：22144x y -=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6．垂直于直线2y x =-且与圆221x y +=相切于第三象限的直线方程是（ ）A ．10x y +-=B ．0x y +=C ．0x y +-=D ．10x y ++=【答案】B【分析】由垂直设所求方程为(0)y x m m =-+<，0m <保证直线过第三象限，然后由圆心到切线的距离等于半径求出参数m ．【详解】设所求方程为(0)y x m m =-+<，圆心到直线的距离为1r ==，∵0m <，∴m = 故选：B ．7．已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A ．3 B ．12C ．13D ．23【答案】B【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=- ，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→=- ，则4a b b →→→=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→+= ，即240b b λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=. 故选： B.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8．在ABC 中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，则tan A =（） A B ．12C ．13D 【答案】A【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒，tan A =故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．32252++B ．13C ．2512++D ．12252++【答案】D【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥P ABCD -，四棱锥P ABCD -的高为1，四边形ABCD 是边长为1的正方形， 则111122PCD S =⨯⨯=△，151522PBCS =⨯⨯=， 121222PAB S ⨯==△，121222PAD S ⨯==△， 则四棱锥P ABCD -1225++故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题.10．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos 5αβ+=-，则tan αβ（ ）A ．247-B．C ．211-D ．-2【答案】C【分析】根据同角三角函数关系可求得tan()αβ+和tan2α，变形2()αβααβ-=-+，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】因为α，β为锐角，所以(0)παβ+∈，.又因为cos()5αβ+=-， 所以sin()αβ+==tan()2αβ+=-.因为4tan 3α=，所以22tan tan 21tan ααα==- 247-，因此，tan 2tan()2tan tan 21tan 2tan()11()[()]ααβαβααβααβ-+-=-+==-++，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.11．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ △的面积为1S ，MON △的面积为2S （O 为坐标原点），则2212S S +的最小值为（ ）A ．10B ．16C ．14D ．12【答案】B【分析】设1l ：1y kx =+与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以k 表示出21S 和22S ，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消y 得2440x kx --=，因为216160k ∆=+>，所以124x x k +=，124x x =-，所以2||4(1)PQ k ==+， 又原点O 到直线1l 的距离为d =，所以21S = 24(1)k +，同理222141S k ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以22212218416S S k k ⎛⎫+=++⎪⎝⎭≥，当且仅当“1k =±”时取等号， 故2212S S +的最小值为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题. 12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω），2πϕ≤，下述五个结论：①若5πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点； ②若4πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点； ③若5πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； ④若4πϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭； ⑤若()f x 的图象关于4x π=对称，4πx =-为它的一个零点，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为11.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②③④ B ．①③⑤C ．②④⑤D ．①③④【答案】D【分析】结合正弦函数sin y x =的性质进行判断．作出sin()y x ωϕ=+的大致图象，由[0,2]π上的零点个数判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式．再由单调性得周期的范围，然后从最大的ω验证，判断⑤．【详解】①若π5ϕ=，()f x 在[02]π，上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点，故①正确；②若π4ϕ=，且()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误； ③若π5ϕ=，由()f x 在[02]π，上有5个零点，得2429255πππ<ωω≤，即<1229510ω≤，当010x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，所以()f x 在010π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确； ④若π4ϕ=，因为02x π≤≤，∴02x πωω≤≤， ∴2444πππx πωω++≤≤，因为()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，所以4254ππππω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则224πkT T =+(k Z ∈，T 为周期)，得2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤，又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调；当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确， 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，关键是掌握正弦函数与性质，掌握五点法作图，利用数形结合思想归纳出结论，解题时可由零点、对称性得周期，由单调性确定周期的范围，由点的坐标确定相位是常用方法．二、填空题13．已知实数x ，y 满足条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值是________.【答案】2-【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如下，因为2z y x =-可化为2y x z =+， 则z 表示直线2y x z =+在y 轴上的截距，由图像可得，当直线2y x z =+过点1,0A 时，在y 轴上的截距最小，即z 最小； 所以min 022=-=-z当目标函数2y x z =+经过点(10)，时，z 取得最小值2-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14．已知直线1l ：210x ay +-=，2l ：()10a x ay +-=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______. 【答案】12-或1 【分析】由12l l ⊥，可建立等式关系，计算即可.【详解】因为直线1l ：210x ay +-=，2l ：()10a x ay +-=，且12l l ⊥，所以()()1120a a a +⨯+-=，解得12a =-或1. 故答案为：12-或1. 15．已知函数()()()2112cos 11x x x x a f ee x x --+=-+++--有唯一零点，则a =______.【答案】12【分析】函数式变形后引入2()()cos 2xxg x x a e e x -==++-，此函数是偶函数，也有唯一零点只能是0x =，从而可求得a ． 【详解】因为21(1)()(1)(ee )cos(1)2x xf x x a x ---=-+++--，且2()(e e )cos 2xxg x x a x -=+++-为偶函数，也有唯一零点0x =， 所以(0)0g =，解得12a =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查函数的零点问题，在函数式比较复杂又要确定零点时，可考虑函数的奇偶性，具有奇偶性的函数如果零点唯一，则零点只能是0．那么如果函数本身不具有奇偶性，可考虑能否通过图象变换把它变成具有奇偶性的函数．从而也可确定唯一零点． 16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，π3BAC ∠=，其外接球表面积为16π，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为________. 【答案】83【分析】设ABC 的外心为点O '，外接球的球心为O ，过点O 作OD PA ⊥于点D ，令AB a ，PD DA OO h '===，由222DO DP PO +=得22143a h +=，所以3(4)2P ABC V h h -=-，利用导数求解体积的最大值. 【详解】如图所示，令AB a ，PD DA OO h '===，则BO AO ''==33DO a =，外接球表面积为16π， 所以半径2r，在Rt PDO △中，222DO DP PO +=，即2234h ⎫+=⎪⎪⎝⎭，即22143a h +=， 得223(4)a h =-，所以体积21132334P ABC ABC V S PA a h -==△ 2333(4)62a h h h ==-，令33())2f h h h =-(0)h >，23()(43)2f h h '=-，()f h 在230⎛ ⎝⎭，上单调递增，在23⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 所以23h =P ABC V -的最大值为2383f =⎝⎭. 故答案为：83【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a S +=+，*n N ∈，在公差不为0的等差数列{}n b 中，24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =-，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a -=，2n b n =；（2）1(31)(1)2nn n --+. 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥证明{}n a 是等比数列，得到通项公式n a ，利用等比数列的性质求得等差数列{}n b 的公差d ，得通项n b ； （2）分组求和法计算n T ．【详解】（1）∵121n n a S +=+，∴121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得13(2)n n a a n +=≥，又因为23a =，∴213a a =，∴13()N n n a a n +=∈+13n n a -=，.设等差数列{}n b 的公差为d ，∵1b ，2b ，4b 成等比数列，221422()(2)2b b b b d b d d ==-+⇒=，∴2n b n =. （2）由（1）知，132n n n n c a b n -=-=-，所以2113332(12)n n T n -=++++-+++ (131)(1)(31)(1)132n n n n n n -=-+=--+-.【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，分组求得法求和．数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．注意对应的数列特征．18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑，()()()121niii nii x x y y b x x ==-⋅-=-∑∑，a y bx =-. 1.414≈.【答案】（1）可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系，其关系为负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+，预测 6.2y =. 【分析】（1）根据表格中的数据，分别求得,x y ，结合公式，求得r 的值，即可得到结论；（2）由（1）知，根据公式求得ˆ0.56b=-，进而求得ˆa ，得出回归直线的方程，代入12x =，即可得到预测值.【详解】（1）由题意，可得51135755i i x x ====∑，51145955i i y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16i i y y =-=∑，因而相关系数1()()0.99(nii ii x x y y r y y =--===≈--∑∑.由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系. 由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑， 则ˆˆ9(0.56)712.92ay bx =-=-⨯-=， 则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+， 当12x =时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. 【点睛】求解回归直线方程的基本步骤：（1）依据一般数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系； （2）计算211,,()(),()nnii i i i x y x x y y x x ==---∑∑的值；（3）计算回归系数ˆˆ,ab ；（4）写出回归直线方程ˆˆˆybx a =+. 19．如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 为棱BC 的中点，求点C 到平面PAM 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）49331. 【分析】（1）由正三角形性质得PO AC ⊥，由勾股定理逆定理证PO OB ⊥，从而得线面垂直；（2）利用体积法P AMC C PAM V V --=可求得点C 到平面PAM 的距离．【详解】（1）证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =.如图，连接OB ，因为22AB BC AC ==，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==， 由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥，由OP OB ⊥，OP AC ⊥，知PO ⊥平面ABC .（2）如图所示，因为点M 为棱BC 的中点，所以在ABM 中，AM =，又PO ⊥平面ABC ，在POM 中，OM =PM =PAM △中，由余弦定理得，cosPMA ∠=，则sinPMA ∠=，所以12PAM S ==△设点C 到平面P AM 的距离为d ，由P AMC C PAM V V --=，得11141323d ⨯⨯⨯⨯=，所以31d =，所以点C 到平面P AM 【点睛】本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离．立体几何中求点到平面距离的方法：（1）作出点到平面的垂线，求出垂线段的长； （2）在三棱锥中用体积法计算；（3）建立空间直角坐标系，用向量法求解．P 到平面ABC 的距离，设n 是平面ABC的一个法向量，则P 到平面ABC 的距离等于PA n n⋅（A 点可以是平面ABC 内的任意一点）．20．已知函数()()22ln f x x ax a x =-+-，其中a R ∈.（1）当0a =时，求()y f x =函数图象在点()()22f ,处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值为2a -，求a 的值.【答案】（1）322ln 2y x =--；（2）223e a e -=-. 【分析】（1）求出导数计算出切线斜率后可得切线方程；（2）求出导函数()'f x ，根据()0f x '=的两根的大小分类讨论确定()'f x 正负，得()f x 的单调性，从而得最大值，由最大值等于2a -可得结论． 【详解】（1）当0a =时，22ln ()(0)f x x x x =->，2()2f x x x'=-，(2)413f '=-=，()422ln 2f =-，切线方程为322ln 2y x =--.（2）22(1)1222(2)()2a x x a x ax a f x x a x x x⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥--+-⎝⎭⎣⎦'=-+==， ①当112a-≤，即4a ≤时，若1≥x ，()0f x '≥恒成立，∴()f x 在[1]e ，上递增， ∴2max()()22f x f e e ae a a ==-+-=-22(4]3e a e -⇒=∈-∞-，合题意；②当112a e <-<，即422a e <<+时，当112a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，()0f x '≤，()f x 单调递减， 当12a x e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，()0f x '≥，()f x 单调递增，max ()f x 在(1)f 处或(e)f 处取到，又(1)12f a a =-=-时，1(422)a e =-∉+，且2()22f e e ae a a =-+-=-22(422)3e a e e -⇒=∉+-，；③当12ae -≥，即22a e +≥时，当[1]x e ∈，，()0f x '≤，()f x 单调递减， max ()(1)f x f =，又(1)12f a a =-=-时，1(22)a e =-∉++∞，. ∴综上，223e a e -=-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求切线方程比较方便：只要求得导数后代入点的横坐标求得切线斜率，由点斜式写出切线方程化简即可．用导数求最值，需求出导数，利用导数的正负确定的单调性，得函数的极值、最值．这里需要按()0f x '=的大小讨论．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且抛物线24y x =的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）与圆222x y +=相切的直线:l y kx t =+交椭圆C 于,M N 两点，若椭圆上存在点P 满足()()0OP OM ON μμ=+>，O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎣. 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得,,a b c ，进而得到椭圆方程； （2）根据直线与圆相切可求得2t 的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用2MON S S μ=△，可将所求面积整理为关于k 的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 离心率为12，∴12c a =，又点()1,0是抛物线和椭圆的焦点， ∴1c =，24a =，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）∵直线:l y kx t =+与圆222x y +=相切，∴原点到直线l的距离为d r ===()2221t k =+，∴22t ≥.设()11M x y ，，()22N x y ，，()00P x y ，，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得：()2224384120k x ktx t +++-=，∴122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+，∴()121226243ty y k x x t k +=++=+， ∵()OP OM ON μ=+，∴0202843643kt x k t y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又P 在椭圆C 上，∴2222864343143kt t k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴μ=设MN 的中点为E ，则()2OP OM ON OE μμ=+=， ∴四边形OMPN的面积1222MON S S MN d MN μμ==⋅⋅=△=====令()2222111143243k f k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵2433k +≥，∴()1132f k ≤<，∴2S ≤<， ∴四边形OMPN 面积的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<），在以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为()1,2，求直线l 的极坐标方程. 【答案】（1）l 的普通方程为1x =或2tan (1)y x α-=-；C 的直角坐标方程为221416x y +=；（2）2cos sin 40ρθρθ+-= 【分析】（1）分π2α=和π2α≠两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入221416x y +=，根据弦中点坐标，求出tan 2α，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程. 【详解】（1）当π2α=时，l 的普通方程为1x =； 当π2α≠时，l 的普通方程为2tan (1)y x α-=-，即(tan )2tan 0x y αα-+-=.由ρ=2222223cos 316x y x ρρθ+=++=，即221416x y +=.（2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，代入221416x y +=中，整理得22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，依题意得120t t +=，即28cos 4sin 013cos ααα+-=+，即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α，所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=， 则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.23．设函数()213f x x x =++-的最小值为m ，且()f t m =. （1）求m 及t 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足1a b c m +++=.≤.【答案】（1）1,4t m =-=；（2）证明见解析.【分析】（1）等价变形为分段函数，得函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，求得在1t =-时取得最小值得解. （2）由柯西不等式得证.【详解】（1）解：由31(1)()5(13)31(3)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，，，则函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，所以在1t =-时取得最小值，()14f m -==.（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，14a b c +++=，由柯西不等式，=≤1a b c ===时，取等号.【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.。
2021届高三适应性月考卷〔三〕数学〔理〕试题第一卷〔选择题，共60分〕 本卷须知：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号．2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．设集合{}{}|31,,|5,,A x x k k N B x x x Q ==+∈=≤∈那么A B 等于〔 〕 A ． {1,2,5} B ．{l, 2，4, 5} C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】当k =0时，x =1；当k =1时，x =2；当k =5时，x =4；当k =8时，x =5，应选B. 2．在复平面内，复数311i i+-对应的点位于 〔 〕A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 【答案】A 【解析】1i 22z =-对应的点是1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，应选A.3．一个几何体的三视图如图l 所示，其中正视图是一个正三角形，那么该几何体的体积为〔 〕A．1 B．33C．3D．233【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为PAC△，是边长为2的正三角形，PD ABC⊥平面，且3PD=，底面ABC△为等腰直角三角形，2AB BC==，所以体积为11332232V=⨯⨯⨯⨯=，应选B.4．以下函数中既不是奇函数也不是偶函数的是〔〕A．||2xy=B．21(1)y g x x=++C．22x xy-=+D．111y gx=+【答案】D【解析】根据奇偶性定义知，A、C为偶函数，B为奇函数，D定义域为{|1}x x>-不关于原点对称，应选D.5.执行如图2所示的程序框图，那么输出的x值是〔〕图1A ．8B ．6C ．4D ．3【答案】A【解析】1211134242322k S k S ==+⨯===+⨯=当时，；当时，； 332233103428k S k x k ==+⨯====当时，；当时，输出.应选A.6.条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 假设p 是q 的充分不必要条件，那么m 的取值范围是〔 〕A ．[]1,1-B ．[]4,4-C ．(][),44,-∞-+∞ D ．(][),11,-∞-+∞【答案】C【解析】14p x -：≤≤，记33(0)33(0)q m x m m m x m m -++-：≤≤＞或≤≤＜，依题意，03134m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩＞， ≤，≥或03134m m m ⎧⎪+-⎨⎪-⎩＜， ≤，≥，解得44m m -≤或≥.选C.7．如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影局部的面积是〔 〕A ．353B ．22C ．23D ．323【答案】D【解析】12332(32)d 3S x x x -=--=⎰，应选D. 8．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，以下说法正确的选项是〔 〕A ．该函数的值域是[]1,1-B ．当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >C ．当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取最大值1D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数【答案】B【解析】sin sin cos ()cos sin cos x x x f x x x x ⎧=⎨⎩，＜，，≥，由图象知，函数值域为1⎡-⎢⎣⎦，A 错；当且仅当π2π()4x k k =+∈Z， C 错；最小正周期为2π，D 错. 9．实数对〔x ，y 〕满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩那么目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，y=1时取最大值，那么k 的取值范围是〔 〕A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,|2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1.12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(],1-∞-【答案】C【解析】不等式组所表示的区域如图2所示，直线z kx y y kx z =-⇒=-过(31)，时z 取最大值，即直线y kx z =-在y 轴上的截距z -最小，由图可得直线y kx z =-的斜率112k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，应选C.10．函数21,0,()1,0,x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩那么满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为〔 〕A ．[)3,0-B ．〔－3，0〕C ．〔－3，1〕D ．〔－3，－3〕【答案】B【解析】由函数图象可知，不等式的解为23220x x x -><⎧⎨⎩，，即(30)x ∈-，，应选B.11．假设在曲线f 〔x ，y 〕=0上两个不同点处的切线重合，那么称这条切线为曲线f 〔x ，y 〕=0的“自公切线〞。
2021届云师大附中高三高考适应性月考数学（文）试题一、单选题1.己知集合A={（x,），）|y=x2},3={（号，）|/+）,2=1},则集合a q b中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】作出函数,y=x2和圆尸+丁=］的图象，观察两曲线的交点个数,可得出集合AC\B的元素个数.【详解】如下图所示，由函数y=x2与圆a2+y2=1的图象有两个交点，因此，集合AQB含有两个元素,故选：C.本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：e u=cosA：+/sinA-,根据三角方程，计算广+1的值为（）A.-1B.0C.ID.i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数c”•表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.【详解】由/=cosx+isinx,则广+1=cos;r+isin/r+l=—1+1=0，故选B.【点睛】本题考查机数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题. 3.移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明七某中学为了解本校学生中新“四大发明"的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有6（）位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】C【解析】作出韦恩图.根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数’将人数除以100可 得出所求结果.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如卜图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值—=0.7.故选：C.1VJyJ【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.fx>04.已知L）'满足的约束条件'x+2y-3>0,则Jj+.k的最小值为（）ly>oA.半B.略C.y/3D.够【答案】A【解析】作出不等式组作表示的可行域，根据代数式的几何意义为可行域内的点到原点的距离.结合图形知，JTk*的最小值为原点到直线x+2y-3=。
2020-2021学年云南师大附中高三(上)适应性数学试卷(文科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={0,1，2}，N ={x ∈N|x −1≥0}，则M ∩N =( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}2. 已知i 为虚数单位，设z =1+2+i i，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数f(x)=e x +x −2的零点所在的区间是( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)4. 若tanα=3，则sin2α=( )A. −35B. 35C. −45D. 455. 在区域{0≤x ≤10≤y ≤1内任意取一点P(x,y)，则x 2+y 2>1的概率是( )A.2π−44B.π−24C. π4D.4−π46. 双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (3,0)，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. 3√24C. 2√33D. 2√37. 已知点D 是△ABC 的BC 边的中点，点E 是AD 的三等分点，且满足AE =2ED ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 在正项等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 5=12，则a 1+a 7的最小值为( )A. 4√2B. 2√3C. 2√2D. 4√39. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是( )A. 323 B. 643 C. 16 D. 1310. 直线x =a (a >0)分别与曲线y =2x +1，y =x +lnx 相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为( )A. 1B. 2C. √2D. √311. 过抛物线x 2=4y 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=( )A. 3B. 72C. 4D. 9212. 已知函数f(x)的定义域为R.当x <0时，f(x)=x 3−1；当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)；当x >12时，f(x +12)=f(x −12).则f(6)=( )A. −2B. −1C. 0D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足条件{|x|≤1,|y|≤1,则z =2x +y 的最小值是________．14. 过原点与曲线y =lnx 相切的切线方程为________．15. 已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA ，PB 是圆x 2+y 2−2x −2y +1=0的切线，A ，B是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________。
理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合(){}22,|2,,A x y xy x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为（ ）A. 4B. 9C. 8D. 6【答案】A 【分析】根据题中条件，分别讨论0x =和1x =两种情况，即可得出结果. 【详解】∵222x y +≤，x N ∈，y ∈N ， 当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素， 故选：A.【点睛】本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型. 2. 若()12z i i +=，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. 1i + B. i -C. －1D. 1i -【答案】C 【分析】 由题意得21iz i=+，然后根据复数的运算法则化简计算，然后确定其共轭复数虚部. 【详解】因为()12z i i +=，所以()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，1z i =-，虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的相关概念及化简计算，属于基础题.3. 已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==-=，若21211p p <<<，则（ ）A. ()()12E X E X < ， ()()12D X D X <B. ()()12E X E X > ， ()()12D X D X <C. ()()12E X E X < ， ()()12D X D X >D. ()()12E X E X > ， ()()12D X D X > 【答案】C 【分析】根据题目已知条件写出12,X X 的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.【详解】依题意可知：由于21211p p <<<，不妨设1223,34p p ==.故121223,,34EX EX EX EX ==<,121223,,916DX DX DX DX ==>，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4. 设函数()()311log 2,13,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，求()()325log 15f f -+=（ ）A. 16B. 8C. 15D. 9【答案】D 【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果 【详解】33(25)1log [2(25)]1log 27134f -=+--=+=+=；33log 151log 53(log 15)335f -===3(25)(log 15)459f f ∴-+=+=，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若F 到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A. 22184x y -=B. 22144x y -=C. 22188x y -=D.22148x y -= 【答案】B 【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得b ，再根据离心率e =可解得a ，则可得出双曲线的方程.【详解】由题意得(),0F c -，设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点到线距2b ==，又2c e ====2a =， 所以双曲线的方程为：22144x y -=.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.6.已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A. 3 B.12C.13D.23【答案】B 【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=- ，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→=- ，则4a b b →→→=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→+= ，即240b b λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7. 在ABC 中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，则tan A =（） A.B.12C.13D.【答案】A【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.【详解】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒，tan 3A =. 故选：A.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A.3252+B.13C.2512D.12252+【答案】D 【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥P ABCD -，四棱锥P ABCD -的高为1，四边形ABCD 是边长为1的正方形， 则111122PCD S =⨯⨯=△，151522PBCS =⨯⨯=， 121222PAB S ⨯==△，121222PAD S ⨯==△， 则四棱锥P ABCD -1225++故选：D.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题. 9. 已知α，β为锐角，4tan 3α=，()5cos 5αβ+=-，则tan αβ（ ）A 247-B. 55-C. 211-D. -2【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系可求得tan()αβ+和tan2α，变形2()αβααβ-=-+，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】因为α，β为锐角，所以(0)παβ+∈，.又因为5cos()αβ+=，所以sin()αβ+= =，因此tan()2αβ+=-.因为4tan 3α=，所以22tan tan 21tan ααα==- 247-，因此，tan 2tan()2tan tan 21tan 2tan()11()[()]ααβαβααβααβ-+-=-+==-++，故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.10. 已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则a =（ ） A. 1 B. 13-C.13D.12【答案】D 【分析】把函数等价转化为偶函数2()(e e )cos 2ttg t t a t -=+++-，利用偶函数性质，()g t 有唯一零点，由(0)0g =得解.【详解】因为21(1)()(1)(ee )cos(1)2x xf x x a x ---=-+++--，令1x t -= 则2()(e e )cos 2ttg t t a t -=+++-， 因为函数()2112(1(s ))co 1x x x x a ee f x x --+=-+++--有唯一零点，所以()g t 也有唯一零点，且()g t 为偶函数，图象关于y 轴对称，由偶函数对称性得(0)0g =，所以2120a +-=，解得12a =， 故选：D.【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.11. 已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ △的面积为1S ，MON △的面积为2S （O 为坐标原点），则2212S S +的最小值为（ ）A. 10B. 16C. 14D. 12【答案】B 【分析】设1l ：1y kx =+与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以k 表示出21S 和22S ，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消y 得2440x kx --=，因为216160k ∆=+>，所以124x x k +=，124x x =-，所以2||4(1)PQ k ==+， 又原点O 到直线1l的距离为d =，所以21S = 24(1)k +，同理222141S k ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以22212218416S S k k ⎛⎫+=++⎪⎝⎭≥，当且仅当“1k =±”时取等号， 故2212S S +的最小值为16，故选：B【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题.12. 已知3log 4a =，2log 3b =，0.2log 0.09c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. b a c << B. a b c <<C. a c b <<D. c a b <<【答案】C 分析】根据题中条件，由对数函数的性质，确定a ，b ，c 的大致范围，即可得出结果.【详解】因为33log 42log 2a ==，24log 32log 3b ==，0.20.2log 0.092log 0.3c ==，3333320log 2log 8log 93<=<=，422113log 3log 3log 22224=>=， 23340.20.20.223log 0.2log 0.3log 0.234=<<=， 即334log 42log 20,3a ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，432log 32b =>，0.20.243log 0.092log 0.3,32c ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭， 综上，a c b <<. 故选：C.【点睛】本题主要考查比较对数的大小，熟记对数函数的性质即可，属于基础题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数x ，y 满足条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值是________.【答案】2- 【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.【详解】画出约束条件11y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如下，因为2z y x =-可化为2y x z =+，则z 表示直线2y x z =+在y 轴上的截距，由图像可得，当直线2y x z =+过点1,0A 时，在y 轴上的截距最小，即z 最小； 所以min 022=-=-z当目标函数2y x z =+经过点(10)，时，z 取得最小值2-. 故答案为：2-.【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14. 在522y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3xy 的系数是________.【答案】80- 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】在522y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为10315(2)r r r rr T C x y -+=-， 令3r =，可得3xy 的系数为80-. 故答案为：80-【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.15. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，π3BAC ∠=，其外接球表面积为16π，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为________.【答案】83【分析】设ABC 的外心为点O '，外接球的球心为O ，过点O 作OD PA ⊥于点D ，令AB a ，PD DA OO h '===，由222DO DP PO +=得22143a h +=，所以3(4)2P ABC V h h -=-，利用导数求解体积的最大值.【详解】如图所示，令AB a ，PD DA OO h '===，则BO AO ''==3DO =，外接球表面积为16π， 所以半径2r，在Rt PDO △中，222DO DP PO +=，即2234h ⎫+=⎪⎪⎝⎭，即22143a h +=， 得223(4)a h =-，所以体积2113233P ABC ABC V S PA a h -==△ 2333)h h h ==-，令33())f h h h =-(0)h >，23()3)f h h '=-，()f h 在303⎛ ⎝⎭，上单调递增，在233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以233h =P ABC V -的最大值为2383f =⎝⎭. 故答案为：83【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.16. 已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，π2ϕ≤，下述五个结论：①若π5ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点；②若π4ϕ=，且()f x在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点；③若π5ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④若π4ϕ=，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的一个零点，且在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为11.其中所有正确结论的编号是________. 【答案】①③④ 【分析】 画出()f x 的大致图象，即可判断①②；对于③，由题可得<1229510ω≤，当100πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，故判断③；对于④，由4254ππππω+<≤得ω范围，故可判断④；对于⑤，由题知2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤，将5k =，4k =代入验证即可. 【详解】①若π5ϕ=，()f x 在[02]π，上有5个零点，可画出大致图象，由图3可知，()f x 在(02)π，有且仅有3个极大值点，故①正确； ②若π4ϕ=，且()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误； ③若π5ϕ=，由()f x 在[02]π，上有5个零点，得2429255πππ<ωω≤，即<1229510ω≤，当100πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，55105ππππx ωω<+<+，所以491051002ππππω+<<，所以()f x 在001π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确； ④若π4ϕ=，因为02x π≤≤，∴02x πωω≤≤，∴2444πππx πωω++≤≤，因为()f x 在[02]π，有且仅有4个零点，所以4254ππππω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确； ⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则224πkT T =+(k Z ∈，T 为周期)， 得2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，所以6πT ≥，112k ≤， 又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调； 当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确. 故答案：①③④【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与极值相关概念，考查了数形结合的思想，考查学生的逻辑推理与运算求解能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=，在公差不为0的等差数列{}n b ，中，24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记1122n n n T a b a b a b =+++，求n T .【答案】（1）13-=n n a ，2n b n =；（2）(21)312n n n T -+=. 【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，结合条件求出1a 和q ，根据等比数列的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式；设等差数列{}n b 的公差为d ，结合条件，根据等比中项的性质即可求出1b 和d ，最后根据等差数列的通项公式，即可求出数列{}n b 的通项公式； （2）由于1122n n n T a b a b a b =+++，利用错位相减法进行求和，即可得出结果.【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，124a a +=，318a a -=，则1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，，得11a =，3q =，所以13-=n n a ， 设等差数列{}n b 的公差为d ，∵24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，221422()(2)b b b b d b d ∴==-+，2d ∴=，12b =，∴2n b n =.（2）1122n n n T a b a b a b =+++，12112343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n ---∴=⨯+⨯++++-+……，① 21332343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n -=⨯+⨯++++-+……，②②−①得212122323233(2)n nn T n -=-⨯-⨯-⨯--⨯+…， 即2(21)31nn T n =-+，∴(21)312n n n T -+=. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等比中项的性质和利用错位相减法求和，考查化简运算能力.18. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值； （3）设特征量x 满足()2~,X N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求()3.813.4P X <<.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑，()()()121niii nii x x y y b xx ==-⋅-=-∑∑，a ybx =-.1.414≈ 3.2= 1.8≈，若()2~,X Nμσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+；12x =时，ˆ 6.2y =；（3）0.8185.【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根据最小二乘法，求出ˆb，ˆa ，即可得出线性回归方程，从而可得预测值； （3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意得51135755i i x x ====∑，51145955i i y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16ii y y =-=∑，因而相关系数21()()0.99(niiii x x y y r y y =--===≈--∑∑ .由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴ˆˆ9(0.56)712.92a y bx =-=-⨯-=，则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+. 当特征量x 为12时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. （3）由（1）知，7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=，得 3.2σ≈，从而11(3.813.4)()(22)0.818522P X P X P X μσμσμσμσ<<=-<<++-<<+=. 【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.19. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30°，求三棱锥A PMC -的体积. 【答案】（1）证明见详解；（2163. 【分析】（1）连接OB ，先证明OP AC ⊥，再证明OP OB ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明PO ⊥平面ABC ；（2）以O 为坐标原点，以OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设(,2,0)(02)M a a a -<≤，利用空间向量分别计算平面MPA 的法向量n ，取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =，利用法向量夹角的余弦值为3求解a 的值，得出点M 的位置，然后计算三棱锥A PMC -的体积.【详解】（1）证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =. 如图，连接OB ，因为2AB BC AC ==，所以ABC 为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122OB AC ==. 则222OP OB PB +=，所以PO OB ⊥，由OP OB ⊥，OP AC ⊥，AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，且AC OB O =,所以PO ⊥平面ABC .（2）如图所示，以O 为坐标原点，以OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得(0,0,0)O ，(2,0,0)B ，(0,2,0)A -，(0,2,0)C ，(0,0,3)P ，(0,2,23)AP =， 取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =，设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-， 设平面P AM 的法向量为(,,)n x y z =，由0AP n ⋅= ，0AM n ⋅= ，得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，可取(3(4)n a =-3)a a -，，所以22223(4)cos ,23(4)3a OB n a a a -〈〉=-++.由已知可得3|cos ,|2OB 〈〉=n ，所以22223|4|3=23(4)3a a a a --++，解得4a =-(舍去)，43a =， 则1141634233239A PMC P AMC V V --==⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥A PMC -的体积为1639.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查利用空间向量方法解决二面角问题，考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大. 解决夹角问题时，平面法向量的计算是关键. 20. 已知函数()()2xf x e ax x R -=-∈，()()ln 11g x x =+-.（1）当12a =-时，求函数()f x 的最小值； （2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）[1,)-+∞. 【分析】 （1）将12a =-代入，然后求导，利用导数分析函数()f x 的单调性并确定其最小值； （2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，则2ln(1)10xe ax x +++-≥，令()2ln(1)1x h x e ax x =+++-，当1a ≥-时，可证()0h x '≥恒成立，则函数()h x 在区间[0)+∞，上单调递增，则()(0)0h x h ≥=成立；当1a <-时，令1()21x x e a x ϕ=+++， 求导可分析得到()0x ϕ'≥，则()()h x x ϕ'=在区间[0)+∞，上单调递增，由于(0)220a ϕ=+<，则()()0h x x ϕ'==在[0)+∞，上存在零点，设0()0h x '=，则可得函数()h x 在区间0(0,)x 上单调递减，所以0()(0)0h x h <=（舍）.综上可得出a 的取值范围.【详解】（1）当12a =-时，函数的解+析式为()x f x e x -=+，则()1xf x e -'=-+， 由()10xf ex -'=-+=，得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以函数在区间(0)+∞，上单调递增，在区间(0)-∞，上单调递减， 函数的最小值为0(0)01f e =+=.（2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，即2ln(1)10xe ax x +++-≥(*)，令()2ln(1)1xh x e ax x =+++-，则1()21xh x e a x '=+++. ①若1a ≥-，由（1）知1x e x -+≥，即e 1x x -≥-，故e 1x x ≥+，11()2(1)2222011x h x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++， ∴函数()h x 在区间[0)+∞，上单调递增，∴()(0)0h x h ≥=，∴（*）式成立； ②若1a <-，令1()21xx e a x ϕ=+++，则2221(1)1()0(1)(1)x xx e x e x x ϕ+-'=-=++≥， ∴函数()ϕx 在区间[0)+∞，上单调递增，由于(0)220a ϕ=+<， 2111(2)212210121212a a e a a a a a aϕ--=++-++=+>---≥，故0(02)x a ∃∈-，，使得0()0x ϕ=，则当00x x <<时，0()()0x x ϕϕ<=，即()0h x '<，∴函数()h x 在区间0(0)x ，上单调递减， ∴0()(0)0h x h <=，即（*）式不恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,)-+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查根据不等式恒成立问题求解参数的取值范围,难度较大.解答时，分类讨论得出原函数的单调性是解题的核心.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且抛物线24y x =的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）与圆222x y +=相切的直线:l y kx t =+交椭圆C 于,M N 两点，若椭圆上存在点P 满足()()0OP OM ONμμ=+>，O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）⎡⎣. 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切可求得2t 的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用2MON S S μ=△，可将所求面积整理为关于k 的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 离心率为12，∴12c a =，又点()1,0是抛物线和椭圆的焦点， ∴1c =，24a =，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）∵直线:l y kx t =+与圆222x y +=相切， ∴原点到直线l的距离为d r ===()2221t k =+，∴22t ≥.设()11M x y ，，()22N x y ，，()00P x y ，，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得：()2224384120k x ktx t +++-=，∴122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+， ∴()121226243t y y k x x t k +=++=+， ∵()OP OM ON μ=+，∴020*******kt x k t y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 又P 在椭圆C 上，∴2222864343143kt t k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴μ=设MN 的中点为E ，则()2OP OM ON OE μμ=+=，∴四边形OMPN的面积1222MON S S MN d MN μμ==⋅⋅=△===== 令()2222111143243k f k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵2433k +≥，∴()1132f k ≤<，∴2S ≤<， ∴四边形OMPN 面积的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选題目的題号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的題号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如釆多做，则按所攽的第一題计分.22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα≤<），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为()1,2，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）l 的普通方程为1x =或2tan (1)y x α-=-；C 的直角坐标方程为221416x y +=；（2）2cos sin 40ρθρθ+-=【分析】（1）分π2α=和π2α≠两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入221416x y +=，根据弦中点坐标，求出tan 2α，即可得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程.【详解】（1）当π2α=时，l 的普通方程为1x =； 当π2α≠时，l 的普通方程为2tan (1)y x α-=-，即(tan )2tan 0x y αα-+-=.由ρ=2222223cos 316x y x ρρθ+=++=， 即221416x y +=. （2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，代入221416x y +=中，整理得22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，依题意得120t t +=，即28cos 4sin 013cos ααα+-=+，即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α， 所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=，则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=.【点睛】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查参数下的弦中点问题，属于常考题.23. 设函数()213f x x x =++-的最小值为m ，且()f t m =.（1）求m 及t 的值；（2）若正实数a ，b ，c 满足1a b c m +++=.证明：3≤. 【答案】（1）1,4t m =-=；（2）证明见解+析.【分析】（1）等价变形为分段函数，得函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，求得在1t =-时取得最小值得解.（2）由柯西不等式得证. 【详解】（1）解：由31(1)()5(13)31(3)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，，，则函数在(,1)-∞-上单减，(1,3),(3,)-+∞上单增，且是连续函数，所以在1t =-时取得最小值，()14f m -==.（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，14a b c +++=，由柯西不等式，=≤1a b c ===时，取等号. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值求参数及运用柯西不等式证明不等式成立，属于基础题.。
文科数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合305x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}46B x x =<<，则A B =（ ）A. ()3,6B. [)3,6C. [)4,5D. ()4,5【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ,再求交集. 【详解】由题意知()303,55x A x x ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭，()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=， 故选:D.【点睛】本题考查求分式不等式和集合求交集，属于基础题.2. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位），根据此公式可知，若10i e θ+=，则θ的一个可能值为（ ） A. 0 B. 2πC. πD.32π 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件由cos sin i e i θθθ=+可得1cos sin 10i e i θθθ+=++=，即cos 10θ+=且sin 0θ=，可得答案.【详解】根据条件由cos sin i e i θθθ=+则1cos sin 10i e i θθθ+=++=，所以cos 10θ+=且sin 0θ= 所以2,k k Z θππ=+∈ 故选:C.【点睛】本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题. 3. cos45cos15sin 45sin15︒︒+︒︒=（ ）． A.12B. 12-C.3 D. 3 【答案】C 【解析】 由两角差的余弦函数，可得3cos 45cos15sin 45sin15cos(4515)30cos ︒︒+︒︒=︒-︒=︒=， 故选C ．4. 已知双曲线的方程为22143x y -=，双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为（ ）A. 1B.2C.3 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的右焦点为)7,0F，双曲线的渐近线方程为32y x =±，即320x y -=，所以点)7,0F 到渐近线的距离370334d ±⨯-==+故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （ ） A. 38 B. 35C. 32D. 29【答案】B 【解析】 【分析】由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果.【详解】由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列， 所以()198932072a ⨯+⨯-=，解得135a =， 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前n 项和公式的基本量运算，属于基础题型.6. 为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲､乙两个年级进行评比，从甲､乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲､乙两个年级成绩的平均数及方差大小（ ）A. x x <甲乙，22s s <甲乙B. x x >甲乙，22s s <甲乙C. x x <甲乙，22s s >甲乙 D. x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】A 【解析】 【分析】根据茎叶图，进行数据的分析判断，即可得解. 【详解】由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中， 而乙主要集中在80分以上，但是比较分散， 所以乙的平均数和方差较大， 故选:A.【点睛】本题考查茎叶图，考查了对数据的分析判断，属于基础题.7. 若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且2OC =.则CA CB ⋅=（ ） A. 3 B. 3-C. 0D. 不确定，随着直径AB的变化而变化【答案】A 【解析】 【分析】将CA CB ⋅通过向量加法的三角形法则用,CO OA 表示出来即可. 【详解】如图，()()()()223CA CB CO OA CO OB CO OA CO OA CO OA ⋅=+⋅+=+⋅-=-=，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是将CA CB ⋅用知道模的向量来表示，是基础题.8. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 80【答案】B 【解析】 【分析】由题可知点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，求出后即可求出四边形面积.【详解】圆M 的标准方程为()()223425x y -+-=，即圆是以()3,4M 为圆心，5为半径的圆，且由()()220344925-+-=<，即点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以8AC =，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，所以10BD =， 且AC BD ⊥，故而1402ABCD S AC BD =⋅⋅=. 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题.9. 正四面体ABCD 的俯视图为边长为1的正方形，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） 3π B.32π C. 3π D. 12π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ，则正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，从而可求出球的半径，得出球的表面积.【详解】如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ， 所以正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，所以外接球的半径为2221113r ++==， 则该外接球的表面积为2343S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的表面积，属于常考题型. 10. 已知()2sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A. ()f x 即是奇函数也是周期函数B. ()f x 3C. ()f x 的图象关于直线2x π=对称D. ()f x 的图象关于点(),0π中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A 是正确的；根据函数的对称性，可判定C 、D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+，令sin ,[1,1]t x t =∈-，利用求导方法求函数3(),[1,1]g t t t t =-+∈-的最值，即可判定B 选项错误. 【详解】由题意，函数()2sin cos f x x x =的定义域为R 关于原点对称，又由()()()()22sin cossin cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数；且()()()()222sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=++==，所以()f x 又是周期函数，所以A 是正确的； 由()()()()22sin cos sin cos fx x x x x f x πππ-=--==，即()()f x f x π-=，所以()f x 关于直线2x π=对称，所以C 是正确的；由()()()()222sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ-=--=-=-，所以()f x 关于点(),0π对称，所以D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+，令sin ,[1,1]t x t =∈-，32(),()31g t t t g t t =-+'=-+，令111()0,,(1,)(,1),()0333g t t x g t '==∈-'<， 11(,),()033t g t ∈'<， ()g t 的单调递减区间是11(1,),(,1)33-， ()g t 的单调递增区间是11(,33， ()g t 的极大值为11113)(1)033339g g ==-=， 所以()g t 23即函数()f x 23B 选项错误.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11. 已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下面陈述不正确的为（ ） A. 2121234x x y y p +=-B. 22sin pAB α=C. 112AF BF p+= D. 记原点为O ，则2sin AOBp S α=△ 【答案】D 【解析】 【分析】先联立方程，消去x 得到12y y +，12y y ，再求12x x ，最后求出2121234x x y y p +=-，判断A 正确；直接求得AB 221221tan sin p p αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，再检验22sin p AB α=亦成立，判断B 确；直接求得112AF BF p +=，判断C 正确；直接求得22sin AOB p S α=△，判断D 错误. 【详解】解：由题意知，令直线2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线2:2C y px =联立方程，消去x 得2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，212y y p =-，所以21212224p p p x x my my ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则2121234x x y y p +=-，故A 正确；由1πtan 2m αα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以12AB AF BF x x p=+=++()212222m y y p pm p =++=+=()222122121tan sin p p m p αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，当π2α=时，经检验22sin p AB α=亦成立，故B 确；12121211112222x x p p p p p AF BF x x x x +++=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()122121224x x pp p x x x x ++==+++()()121222121222424x x p x x ppp p p px x px x++++==+++++，故C正确；如图，作OE垂直AB于E，则22112sin22sin22sinAOBp p pS AB OEααα=⋅=⋅⋅=△，当π2α=时，经检验22sinAOBpSα=△亦成立，故D错误，故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定值问题，是中档题12. 下列四个命题：①1ln22>，②2ln2e>，③220.20.2log0.4log0.4log0.4log0.4+=⋅，④1331log7log13<，其中真命题的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】由2ln2ln4lne1=>=，判断①正确；根据ln xyx=的单调性得到ln2ln e2e<，判断②错误；令0.2log0.4a=，2log0.4b=，化简整理得a b ab+=，判断③正确；先判断得到133log74>，再判断得到313log134<，最后判断④错误.【详解】解：由2ln 2ln 4lne 1=>=，故①正确； 由2ln 2ln e ln 2e 2e>⇔>，考察函数ln x y x =，21ln x y x -'=，所以当()0,e x ∈时，0y '>， 即y 在()0,e 上单调递增，当()e,x ∈+∞时，0y '<，即y 在()e,+∞上单调递减，所以x e =时，y 取到最大值1e ，所以ln 2ln e 2e<，故②错误；令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==， 所以a b ab +=，即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4glog 0.4+=，故③正确； 由4372401219713=>=，所以133log 74>，由4313285612979131=<=， 所以313log 134<，故④错误， 真命题的个数为2个 故选：B.【点睛】本题考查判断命题的真假、利用单调性判断对数的大小、利用导数判断对数的大小、利用对数运算判断等式是否成立，是中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若x ，y 满足约束条件101024x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则32x y +的最大值为______【答案】13 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，32z x y =+表示直线在y 轴上截距，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】约束条件所表示的线性区域，如图所示， 又由题意知：32z x y =+表示直线在y 轴上截距2410x y x y -=⎧⎨--=⎩ 得()3,2A ，1024x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 得52,33C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32z x y=+在点()3,2A处取得最大值，所以32x y+的最大值为13.故答案为：13【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.14. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2sinA C=，且三条边a、b、c成等比数列，则cos A的值为________.【答案】24-【解析】【分析】本题首先可根据sin2sinA C=得出2a c=，然后根据三条边a、b、c成等比数列得出2b c=，最后根据222cos2b c aAbc+-=即可得出结果.【详解】因为sin2sinA C=，所有根据正弦定理边角互换可知，2a c=，因为三条边a、b、c成等比数列，所以2b ac=，2b c=，则()222222222cos2422c c cb c aAbc c c+-+-===-⨯⨯，故答案为：2【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查正弦定理边角互换，考查等比中项的应用，考查计算能力，是简单题.15. 已知函数()ln2f x x ax=-恰有三个零点，则实数a的取值范围为______【答案】10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】函数()ln 2f x x ax =-有三个零点，可转化为ln y x =与直线2y ax =有三个交点，对a 分类讨论，当0a ≤时不满足条件，当0a >时求出过原点与函数ln y x =在1x >上的切线，数形结合即可求解.【详解】如图，函数()f x 恰有三个零点，等价于方程ln 2x ax =，有三个解， 即函数ln y x =与函数2y ax =的图象有三个交点，又有2y ax=为过原点的直线由图可知，当0a ≤时，函数ln y x =的图象与函数2y ax =的图象没有有三个交点，不满足条件.当0a >时, 当且仅当2y ax =为ln y x =的切线的时候，方程ln 2x ax =恰有两个解， 故而，令2y ax =为ln y x =的切线，设切点为()00,ln A x x ， 则切线的方程为()0001ln y x x x x -=-， 由于切线过原点，所以0ln 1x =，即0x e =，此时直线的斜率为1e， 由题意知，102a e<<即10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数切线的求法，函数的零点个数的判定，数形结合的思想，属于中档题.16. 边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-，点P 为面对角线CD '上一点，则AP BP +的最小值为______ 【答案】36+ 【解析】 【分析】将对角面D A BC ''与平面ACD '放到同一个平面，化曲为直，连接1A B ，取A B '的中点I ，在1A BI 利用勾股定理即得．【详解】如图甲，将等边ACD '△沿CD '向后旋转到与面D A BC ''共面，得到等边1A CD '△，则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长，取A B '的中点I ，由题意知：等边ACD '△的边长为2，四边形D A BC ''是以1BC =，2A B '=的矩形，所以2222112613622A B BI A I ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查空间距离的最小问题，考查转化思想，计算能力，空间想象能力，属于基础题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足()241n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项；（2）求证：1223111112n n a a a a a a ++++< 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）（1）先求11a =，再当2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得12n n a a --=，判断数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，最后求数列{}n a 的通项公式；.（2）由()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，用裂项相消法求和可证明. 【详解】（1）解：当1n =时，由11S a =， 所以()21141a a =+，解得11a =， 当2n ≥时，由()241n n S a =+①， 则()21141n n S a --=+②，由①式减去②式得()()221411n n n a a a -=+-+， 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，由题意知，10n n a a ->+，所以12n n a a --=，则数列{}n a 为11a =，公差为2的等差数列，所以21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以122311111111111213352121n n a a a a a a n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， 【点睛】本题考查由n S 求n a ，利用放缩法和裂项相消法证明不等式，是中档题.18. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且⊥AP BC .（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ； （2）求点C 到平面APB 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（221. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得AC BC ⊥和BC AP ⊥，结合线面垂直的判定定理，得出BC ⊥平面APC ，进而证得平面APC ⊥平面ABC ；（2）设点C 到平面APB 的距离为h ，利用P ACB C ABP V V --=，即可求解.【详解】（1）由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===，可得60ABC ∠=︒， 又由2AB BC =，所以AC BC ⊥, 又因为BC AP ⊥，且ACAP A =，所以BC ⊥平面APC ，又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC .（2）如图①所示，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ， 则AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒，则AC DE ⊥， 记垂足为O ，则12DO =，3AC = 由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ，如图②所示， 又DO AC ⊥，所以DO ⊥平面ABC ， 由（1）知，BC ⊥平面APC ，即BC CP ⊥， 又1BC CP ==，所以2BP =13CB 2ACB S AC =⋅=△， 在ABP △中，由2AB =，1AP =，2BP =所以2223cos 2?4PA AB PB PAB AB AP +-∠==，所以7sin PAB ∠=，则17sin2PABS AP AB PAB=∠=△，设点C到平面APB的距离为h，由P ACB C ABPV V--=，得11··33ACB ABPPO S h S=，即·217ACBABPPO ShS==.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及点到平面的距离的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及利用“等体积法”求解点到平面距离是解答的关键，着重考查推理与计算能力.19. 为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调在问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查，问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25；女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15.根据调查结果制作了如下22⨯列联表.更擅长理科其他合计男生女生合计（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.050 0.025 0.010 0.001 0k3.8415.0246.63510.828【答案】（1）答案见解析，有；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据比例补全列联表，再计算2K ，即可作出判断；（2）利用列举法列举出所有情况，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】解：（1）补充22⨯的列联表如下： 更擅长理科 其他 合计 男生 22 33 55 女生 9 36 45 合计3169100所以()22100223693310033 4.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科 用1A ，2A 表示更擅长理科的两人，用1B ，2B ，3B 表示其他三人则从这5人中，任取2人共有以下10种情况：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ， 共6种情况，所以所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率为35.【点睛】本题主要考查了补全列联表，独立性检验的实际应用以及利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.20. 已知点()2,0M -，()2,0N ，点P 满足：直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，且1234k k ⋅=-（1）求点(),P x y 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在点Q ，使得QA QB ⋅为定值?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）存在11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由点(),P x y ，运用直线的斜率公式，结合1234k k ⋅=-，化简可得轨迹C 的方程； （2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ，使得QA QB ⋅为定值，当直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，令()11,A x y ，()22,B x y ，表示出QA QB ⋅，代入韦达定理计算可得定值，并检验斜率不存在时也成立． 【详解】（1）由题意知：()122y k x x =≠-+，()222yk x x =≠-， 由1234k k ⋅=-，即()32224y y x x x ⋅=-≠±+-， 整理得点(),P x y 的轨迹C 的方程为：()221243x y x +=≠±.（2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ，使得QA QB ⋅为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立方程()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=， 令()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，由()101,QA x x y =-，()202,QB x x y =-，所以()()()()()()210201210201211QA QB x x x x y y x x x x kx x ⋅=--+=--+--()()()22221201201k x x x k x x k x =+-++++()20202581234x k x k-+-=++， 将0x 看成常数，要使得上式为定值，需满足05816x +=，即0118x =， 此时13564QA QB ⋅=-； 当直线l 的斜率不存在时，可得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以33,82QA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，33,82QB ⎛⎫=--⎪⎝⎭，13564QA QB ⋅=-， 综上所述，存在11,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题的应用，考查数量积的坐标表示，属于中档题．21. 已知()22ln f x ax x x =-+（1）若12a =-，求()f x 的最大值； （2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，证明:()()()121214ln 543f x f x x x +++<-. 【答案】（1）32-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）当12a =-时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值； （2）对函数求导，则1x ，2x 即为方程2220ax x -+=的两个不同的正根，表示出()()()121213f x f x x x +++，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立． 【详解】（1）当12a =-时，()212ln 2f x x x x =--+， 所以()21f x x x'=--+，则()f x '在()0,∞+上是单调递减函数，且有()10f '=， 当()0,1x ∈时，()0f x '>，即()f x 为()0,1上的增函数， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，即()f x 为()1,+∞上的减函数， 所以()()max 312f x f ==-. （2）证明：由题意知：由()222ax x f x x-+'=，则1x ，2x 即为方程2220ax x -+=的两个不同的正根，故而需满足：1212116010210a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得116a >， 所以()()()()22121211122212112ln 2ln 33f x f x x x ax x x ax x x x x +++=-++-+++ ()()21212121221122ln 2ln 23121a x x x x x x x x a a ⎛⎫⎡⎤=+-+-+=-⨯+- ⎪⎣⎦⎝⎭令116t a =>，()()()1212112ln 2312f x f x x x t t +++=-+-， 令()12ln 212g t t t =-+-，所以()1212g t t'=-+； 则()g t '为()16,+∞上的减函数，且()240g '=，所以当()16,24t ∈时，()0g t '>，即()g t 为()16,24上的增函数；当()24,t ∈+∞时，()0g t '<，即()g t 为()24,+∞上的减函数，所以()()max 242ln 244g t g ==-，所以()()()121212ln 2442ln 2544ln 543f x f x x x +++≤-<-=-，证毕. 【点睛】本题考查导数证明不等式问题，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2ρ=，直线l 的参数方程为2333x t y t=--⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数). （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(2,33P -，直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB +的值.【答案】（1）C ：224x y +=，l 330x y +=；（2）1127. 【解析】【分析】（1）由222x y ρ=+，可得曲线C 的直角坐标方程；消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程； （2）写出过点(2,33P -的直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理结合1t ，2t 的几何意义可求得答案． 【详解】（1）由222x y ρ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=， 由2333x t y t=--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得直线l 330x y +=.（2）由题意知，过点(2,33P -的直线l 的参数方程为22333t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=， 又121108130∆=-=>，所以方程有两个不同的解1t ，2t ，又12110t t +=-<，12270t t ⋅=>，所以10t <，20t <，由1t ，2t 的几何意义可知，121212121111111127t t PA PB t t t t t t ⎛⎫++=+=-+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．.23. 已知函数()123f x x x =-+-.（1）求函数()f x 的最小值M ；（2）若0a >，0b >，且a b M +=，证明：22111a b a b +≥++. 【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】 （1）由绝对值三角不等式，即可求解()f x 的最小值.（2）由（1）知，得出()()114a b +++=，化简()()222211111111a b a b a b a b +-+=-++++++()()11121211a b a b =+-+++-+++，再结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由绝对值三角不等式，可得()12313132f x x x x x x x =-+-≥-+-≥-+-=，当且仅当3x =时，两个不等式同时取等号，所以()f x 的最小值2M =.（2）由（1）知，2a b +=，则()()114a b +++=，所以()()()()2211111112121111a b a b a b a b +-+-+=+-+++-+++++ ()11111111(2)411411b a a b a b a b ++⎛⎫=++++=++ ⎪++++⎝⎭ 111(2)1411b a a b ++≥+⋅=++， 当且仅当1a b ==，不等式取等号，所以22111a b a b +≥++. 【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式的应用，以及不等式的证明，其中解答中熟记绝对值的三角不等式，以及合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.。
