黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)答案

命题角度：直线与椭圆位置关系(1) 1.椭圆的两个焦点为，，且经过点.求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆的斜率的取值范围.交于两点(点位于轴上方)，假设，且，求直线【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，那么椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.2.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e2．以两个焦点和短轴的两个端点2为顶点的四边形的周长为8，面积为23．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设点Px0,y0为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x4y0y 120，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．【来源】【全国市级联考】广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2021届高三5月联合模拟理科数学试题 【答案】〔I 〕x 2y 21；〔II 〕详见解析. 4 3 【解析】试题分析：(1) 利用题意求得b3，c1，椭圆C 的方程为x 2y 2 1．43(2) 首先讨论当y 00的情况，否那么联立直线与椭圆的方程， 结合直线的特点整理可得直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．x 0 2 y 021，可得x 02，〔Ⅱ〕当y 00时，由34当x 0 2，y 0 0时，直线l 的方程为x 2 ，直线l 与曲线C 有且只有一个交点 2,0．当x 02，y 00时，直线l 的方程为x2，直线l 与曲线C 有且只有一个交点2,0．3x 0xy123x 0x,当y 0124y 00时，直线l 的方程为y4y 0，联立方程组{y 2x 21.43消去y ，得4y 02 3x 02x 2 24x 0x4816y 020．①由点Px 0,y 0为曲线C 上一点，得x 0 2 y 0 2 1 ，可得4y 0 2 3x 0 2 12．4 3于是方程①可以化简为x 22x 0x x 0 2 0，解得xx 0，-2-将x x0代入方程y123xx可得y y0，故直线l与曲线C有且有一个交点Px0,y0，4y0综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为Px0,y0．3.椭圆x2y21〔ab0F11,0，F21,0，点C:22〕的左、右焦点分别为a bA2,3在椭圆C上.21〕求椭圆C的标准方程；〔2〕是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时，能在直线y 5P，在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ？假设存在，求出直线l的方上找到一点3程；假设不存在，说明理由.【来源】山西省太原市第五中学2021届高三第二次模拟考试〔5月〕数学〔理〕试题【答案】〔1〕x2y21；〔2〕不存在，理由见解析.2【解析】试题分析：〔1〕由焦点坐标可得c1，再根据a2b2c2及点A2,3在椭圆22C上，可得a22,b21，进而可得椭圆的方程；〔2〕设直线l的方程为y2x t，与椭圆方程联立可得9x28tx2t220，与判别式为正可得3t3，再根据平行四边形性质Q的纵坐标范围是71，可判定点Q不在椭圆上，所以这样的直及韦达定理可得点y4线l不存在．3试题解析：〔1〕设椭圆C的焦距为2c，那么c1，因此椭圆方程为x2y21(a21) a2a21A 23在椭圆上，1312解得a22 2,22a24a21(a1)故椭圆C的方程为x2y21．2-3-所以x 1 x 28t ，且8t362t 220，那么3t3，29y 1y 22x 1x 22t2t y 0y 1 y 2t9 29由PM NQ 知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也是线段PQ 的中点，5 y 4t2t15所以y 03，2，可得y 499又3t3 ，所以7 y 41，3因此点Q 不在椭圆上．所以这样的直线 l 不存在【方法点晴】此题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，假设结论正确那么存在，假设结论不正确那么不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.4.椭圆C:x 2 y 21(ab0)的右焦点3,0 ，且经过点1, 3，点M 是x 轴a 2b 22上的一点，过点 M 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点〔点A 在x 轴的上方〕〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设AM2MB ，且直线l 与圆O:x 2y 2 4相切于点N ，求MN 的长.7-4-【来源】【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期期初考试数学〔理〕试题【答案】〔1〕x2y21〔2〕421421a2b2c23a，b，c的方程组，32【解析】试题分析：〔1〕根据条件列出关于{2，解2114b2方程组得a24,b21，〔2〕设直线l:x tym，那么根据圆心到切线距离等于半径得m 4，由由AM2MB，有y12y2，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定1t272tm m24，，三者消y1，y2得m24,2tm2理得y1y2t,y1y22，最后关24t24t24t24于m,t的解方程组得m24，t24，根据切线长公式可得MN的长.33a2b2c232试题解析：〔1〕由题意知{23，即a44a230，2114b2又a23b23，故a24,b21，椭圆C的方程为x2y21. 4〔2〕设M m,0，直线l:x ty m,Ax1,y1,Bx2,y2，由AM2MB，有y12y2，x2y 21t2y2m2由{442my40，x yy m-5-由韦达定理得y 1y 22tm,y 1y 2m 2 4，t 2 4 t 2 4由y 1y 2 2y 22,y 1y 2 2y 2y 2y 2，那么y 1y 22y 1 y 22y 12y 2，m 2 4,2tm 22 t ，化简得m 2 4t 2 48t 2m 2，原点O 到直线的距离t 2 4 2 4dm，1 t 2又直线l 与圆O:x2y24 相切，所以m 4，即t 27 m21，1t 2774m 2 4 t 2 48t 2m 221m 416m 20，即3m 247m 2{t27m 2 116 4 0，4解得m24，此时t24，满足0，此时M23,0，333在RtOMN 中，MN4 4 4 21，所以MN 的长为421.3 721215.椭圆x 2y 2 1(ab0)的离心率e3 ，左右焦点分别为 F 1F 2,A 是椭圆在第a 2b 22 一象限上的一个动点，圆C 与F 1A的延长线，F 1F 2的延长线以及线段AF 2 都相切，M 2,0为一个切点.〔1〕求椭圆方程；〔2〕设N3,0，过F 2且不垂直于坐标轴的动点直线l 交椭圆于P,Q两点，假设以2NP,NQ 为邻边的平行四边形是菱形，求直线l 的方程.【来源】【全国百强校】河北省石家庄二中 2021届高三下学期第三次模拟考试数学〔理〕试题【答案】〔1〕x 2y21〔2〕y2x342【解析】试题分析：〔1〕圆C 为三角形 AF 1F 2内切圆，由内切圆性质及椭圆定义得-6-2c2c2a，即a3，可知c3,b1〔2〕以NP,NQ为邻2，再由c2边的平行四边形是菱形，所以NPNQ·PQ0,设Px1,y1,Qx2,y2，l方程为ykx3,那么可得坐标之间关系，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入坐标关系化简可得k22〔2〕设l方程为y kx3,k0，代入椭圆方程可得14k2x283k2x12k240，设P1,x1,y Q2,，那么x2yx1x83k2y1k x2x23123k，以NP,NQ24k2,y122为邻边的平行四边形14k是菱形，NPNQ·PQ0,NPNQ x13,y1x23,y2 22x1x23,y1y283k23,23k，PQ的方向向量为1,k，14k214k283k23123k0,k2，l方程为y2x3.14k24k2226.设点A,B的坐标分别为5,0,5,0，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积b2b5.25（1〕求点M2〕在点M的轨迹方程；的轨迹上有一点P且点P在x轴的上方，APB 120，求b的范围.-7-【来源】【全国校级联考】山西实验中学、南海桂城中学2021届高三上学期联考理数试题x2y21x5；〔2〕0b 53【答案】〔1〕b2.253【解析】试题分析：〔1〕设点M的坐标为x,y，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于b2〔2〕点P的坐标为x0,y0，利用斜率0b5建立方程，化简即可求出轨迹方程；25公式及夹角公式，可得x0,y0的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出b的范围.方法一：设点P 的坐标为x0,y0，过点P作PH垂直于x轴，垂足为H，tanAPH5x0,tanBPH5x0 y0y05x0+5x010tan120y0y0y05x05x025x02 11y0y0y02因为点P的坐标为x02y02 x0,y0在点M的轨迹上，所以b21x52525x0225y02b2-8-103y0，y010b2 25325b2 1b2因为0y0b，010b2b，325b2b210b250.3所以解得0b 53 3.方法二：设点P的坐标为x0,y0，点A,B的坐标分别为5,0,5,0直线AP的斜率k APy0x05，直线BP的斜率k BPy0x05 x0x055y0y0由APBx05x05 120得tan120y0y01x05x05所以x02y022510y0〔1〕3又由于点P的坐标为为x0x02y021x5 ,y0在点M的轨迹上，所以b225得x022525y02，代入〔1〕得125y0210y0b223by010b2. 325b2因为0y0b，010b2b，325b2b210b250.3所以解得0b 533.-9-又由于点P 的坐标为为x 0,y 0x 0 2 y 025在点M 的轨迹上，所以b 2 1x25{x5cos,y 0bsin.代入〔1〕得25cos 2b 2sin 22510bsin ，b 2sin 225sin 210bsin ，33b 2 2510b ， 0 sin 1,11 ，3sinsin25 b 210b ,b 2 10b 25 0.3 3所以解得 0 5 3b.3方法四：设点 P 的坐标为x 0,y 0 ，点A,B 的坐标分别为5,0 ,5,0直线AP 的斜率k APy 0 x5，直线BP 的斜率k BPy 0x 5x 0x 055y 0y 0由APB120得tan120x 0 5 x 0 5y 0 y 01x 05x 05-10-10y 0所以3x 0 2 25 〔1〕1 25b 210b 2将x 0225252 y 02代入〔1〕得 3 25y 02，3 25 b 210b 2 ，y 010b 2 .b 1 by 0325 b 225因为0y 0 b ， 010b 2b，3 25 b2b 210b 25 0.3所以解得0b5 3 .3方法五设点P 的坐标为x 0,y 0 ，点A,B 的坐标分别为5,0 ,5,0直线AP 的斜率k APy 0 x5，直线BP 的斜率k BPy 0 x5x 0 x 055由APB120 得3k BM k AM1 k BM k AM3kBMkAM31b2kAMkBM1 b 22525kAM0,k BM 0,kBM31b2kAMkBMkAMkBM31 b 22b 225252531b 22bb 2 10b 25 0 .2553所以解得0b5 3 .3点睛：此题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立a,b,c 的方程，求出a 2,b 2即可，注意-11-a2b2c2,e c的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条a件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，防止不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出x1x2,x1x2，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．7.椭圆C：x2y21(a b0)的离心率为3，且椭圆C过点1,3，记椭圆a2b222C的左、右顶点分别为A,B，点P是椭圆C上异于A,B的点，直线l1:x a2与直线AP,BP 分别交于点M,N.〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过点P作椭圆C的切线l2，记l2MN Q，且MQ QN，求的值.【来源】河南省林州市第一中学2021届高三8月调研考试理科数学试题【答案】〔1〕椭圆C的方程为x2y21〔2〕1 4【解析】试题分析：(1)由题意求得a2，b1，c3，故椭圆C的方程为x2y21. 4很明显直线的斜率存在，设出切线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数的不等式组，结合不等式组的性质和题意讨论可得1.试题解析：c3〔1〕依题意，{a2，解得a2，b1，c3，131a24b2故椭圆C的方程为x2y21.4〔2〕依题意，A2,0，B2,0，直线l1:x4，设Px0,y0x02，那么x2y021. 4直线AP的方程为yy0x2，令x4，得点M的纵坐标为6y0；x0y M2x02-12-直线BP 的方程为yy 0 x 2 ，令x4，得点N 的纵坐标为y N2y 0 ；x 02x 0 2由题知，椭圆在点 P 处切线斜率存在，可设切线方程为y y 0 k x x 0 ，y k x x 0y 0，得14k2 x 28ky 0kx 0x4y 0 kx 0 240，由{x 2 4y 2 40，得64k 2y 0kx 0 21614k 2y 0210，由kx 0整理得：y 02 2kx 0y 0k 2x 02 14k 2，x 02x 0 2x 0212412代入上式并整理得2y 0k0，解得k，将y 04 ，x 0y 024y 0所以点P 处的切线方程为yy 0x 0 xx 0.4y 0令x4得，点Q 的纵坐标为y Qy 0x 04x 0 4y 2 4xx 241x 01x0，4y 04y 0y 04y 0设MQ QN ，所以y Q y My N y Q ，所以1x6y 0 2y 0 1x 0，y 0x 0 2 x 0 2 y 0所以1x 0 x 0 26y 022y 02 1x 0x 0 2，y 0 x 0 2y 0x 0 2将y 02 1 x 02 代入上式，2 x 02x 0，因为2x 0 2，所以1 .4228.椭圆C ：x 2y 2 1〔ab 1〕的左焦点F 与抛物线y 24x 的焦点重合，直a 2b 2线x y2 0 与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切．2〔Ⅰ〕求该椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x轴和y 轴分别交于D ，E 两点．记GFD 的面积为S 1， OED 的面积为S 2．问：是否存在直线AB ，使得S 1S 2，假设存在，求直线 AB 的方程，假设不存在，说明理由．-13-【来源】【全国市级联考】辽宁省锦州市 2021届高三质量检测〔二〕数学〔理〕试题【答案】〔Ⅰ〕x 2y 2 1；〔Ⅱ〕见解析.43试题解析：0 0 221，即c1，∴a〔Ⅰ〕由题意，得c1，e2，b122a 2∴所求椭圆C 的方程为x 2y 21．43〔Ⅱ〕假设存在直线AB 使S 1 S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．∴直线AB 的斜率存在，设其方程为y k x1 〔k 0 〕，将其代入x 2 y 21整理得4k23x 28k 2 x4k 2120，43设Ax 1,y 1，Bx 2,y 2，x 1 x 28k 2，y 1y 2 kx 11kx 26k4k 2312 ，4k 34k 23k，∴G2 ,4k 2 34k 33k∵DGAB ，∴4k 23 k 1，4k 2x D4k 23解得x Dk 2k 2,04k 2 ，即D4k 2，33-14-∵GFDGFDGGF DG DGOED ，∴，∴OEODODOEOD即S1DG 2，又∵S 1S 2，∴GDOD ，ODS 2k24k 223k 2k 2∴23 4k 234k 234k 2 ，4k 3整理得8k 29 0因为此方程无解，故不存在直线 AB 满足S 19.椭圆C:x 2y 2 1(ab 0)，O 是坐标原点，a 2b 2F 1F 22 3, M 是椭圆上一点，2F 1MF 2的最大值为〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程;3〔Ⅱ〕假设直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点，且OPOQ〔i 〕求证：112为定值;2OQOP〔ii 〕求OPQ 面积的取值范围.【答案】1．〔1〕x 2y21〔2〕见解析42， S 2．F 1,F 2分别为其左右焦点，-15-2 试题解析：〔1〕由题意得 a 2,b 1，得椭圆方程为：xy 2 142〕i)当OP,OQ 斜率都存在且不为0时，设l OP :ykx ，Px 1,y 1 ,Qx 2,y 2y kx44k 2由{ x 22消y 得x 22，y 12k 2x 1 22y 114k1 4k4124k 22124同理得x 24k 2， y 2 k 2 x 2 k24故11115OP 2OQ 2x 12 y 12 x 22y 224当OP,OQ 斜率一个为 0，一个不存在时，得1 11 1 5 OP224 14OQ综上得115OP22，得证。

九 年 · 物 理 ( 省 命 题 ) ( 六 十 ) 九年 ·物理(省命题) (六十)学 校姓 名班 级考 号名校调研系列卷 ·九年级期中测试物理(人教版) 题 号 二三四五 总 分得 分一、单项选择题(每题2分，共12分)1.一般情况下，下列物体中容易导电的是 ( )A.玻璃杯B.塑料尺C.铅笔芯D.橡胶轮胎2.植物油燃料是一种新型燃料，可用来替代传统燃料。

它不易燃、不易爆、无烟无异味，在节能方面比传统燃料更胜一筹，进行同样的工作消耗的燃料更少，这是因为该燃料具有 较大的 ( ) A. 热值 B.比热容 C.内能 D. 质量3.下列用电器正常工作时，所需电压最小的是 ( ) A.电饭锅 B.电子计算器 C. 电冰箱 D.电熨斗4.如图是一款热销的仿真猫咪玩具，其工作原理为：闭合开关S, 电源指示灯 亮，当触摸玩具猫咪头部时，开关S ₂ 闭合，玩具猫咪就会吐舌头(电动机工 作)开启撤娇卖萌模式；当断开开关S ₁ 时，电源指示灯不亮，无论是否触摸 其头部，玩具猫咪都不会吐舌头。

下列电路设计符合上述要求的是( )A B C D5.两只定值电阻，甲标有“1000.8A”字样，乙标有“1500.4A”字样，把它们串联起来， 两端允许加的最大电压是 ( ) A.14V B.10V C.8V D.6V6.小晨同学准备用如图所示的电路测量两个电阻的阻值，但当开关S 闭合时，他发现电流表有示数，电压表V ₁ 、V ₁ 有 示 数 且 示 数 相 同 ， 则电路故障的原因可能是 ( ) A.R ₁ 短路 B.R ₁ 断 路 C.R ₂ 短路 D.R ₁ 断路二、填空题(每空1分，共18分)7.在暗朗无风的天气，小明的爸爸给爷爷家的院门刷油漆时，在院子里玩的小明闻到了油漆 的气味儿，这是 现象；油漆能附着在院门上，这利用了分子间的 8.腊月，东北农村有蒸粘豆包的习俗。

将蒸熟的粘豆包放在寒冷的室外晾凉，这是通过的方式来 粘豆包的内能。

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A2021级高三上学期期中校际联合考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}31A x x =-<<，{}24B x x =-<≤，则7A B = （）A.{}32x x -<<-B.{}21x x -<<C.{}14x x << D.{}34x x -<≤2.已知复数z 满足()()2i 2i 5z +-=，则z 的共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.2i-+ D.2i--3.以点(),02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan y x= D.tan y x=4.在ABC △中，点M 是边AC 上靠近点A 的三等分点，点N 是BC 的中点，若MN xAB y AC =+，则x y +=（）A.1B.23C.23-D.-15.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a 的最小值为（）A.-64B.-16C.164D.1167.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 为40米，宽AB 为20米，球门长PQ 为4米且AQ BP =.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得命中率最高，则BM 大约为（）A.8米B.9米C.10米D.11米8.已知正方体每条棱所在直线与平面α所成角相等，平面α截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为S ，周长为l ，则（）A.S 不为定值，l 为定值B.S 为定值，l 不为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

大庆实验中学2010－2011学年度上学期期中考试高三数学试题（文科）出题人：侯典峰说明：（1）试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟；（2）答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应的位置.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|51}A x x =-≤<，{|2}B x x =≤，则A B 等于(A){|12}x x ≤≤ (B){52}x -≤≤ (C){|1}x x < (D){|2}x x ≤ （2）已知等差数列79412{},16,1,n a a a a a +==中则的值是(A)15(B)30(C)31(D)64（3）命题x x q x p >>2:,1:，p 是q 的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（4）若2313log 3,log 2,log 2,,,a b c a b c === 则的大小关系是(A)a b c << (B)b c a << (C) c a b << (D) c b a <<（5）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin(2)6y x π=+的图象(A)向左平移4π个单位 (B)向左平移2π个单位 (C)向右平移4π个单位 (D)向右平移2π个单位（6）函数f(x)＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )(A) (18，14) (B) (14，12) (C) (12，1) (D) (1,2)（7）若2,a b == 且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角为(A)4π (B)3π(C)32π (D)65π（8） 函数sin()(0,||,)4y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数为(A) 4sin()84y x ππ=-(B) 4sin()84y x ππ=-+(C)4sin()84y x ππ=--(D)4sin()84y x ππ=+（9） 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32,S a S a q =-=-=则公比(A)3(B)4(C)5(D)6（10）设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 (A)2716-(B)1516(C)89(D)18（11）已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0上单调递增，则满足()⎪⎭⎫ ⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31 (B) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31 (C)⎪⎭⎫⎝⎛32,21 (D)⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,21 （12）函数：①sin y x x =⋅②cos y x x =⋅③|cos |y x x =⋅④2x y x =⋅的图象（部）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是(A)④①②③ (B)①④③② (C)①④②③(D)③④②①第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.（13）设函数()()5142++-=x a x x f 在[)+∞-,1上是增函数，在(]1,-∞-上是减函数，则()=-1f .（14）已知向量),(),1,1(),4,2(λ+⊥==若则实数λ= （15）在等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33m a =，则m 为＿＿＿＿＿.（16）设函数()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，有下列结论： ①函数()f x 的最小正周期是π； ②直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；③点5(,0)12π-是函数()f x 图象的一个对称中心；④将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后所得的函数是偶函数. 其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（Ⅰ）求{}n a 的公比q ；（Ⅱ）已知133a a -=，求n S ．(18) （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（19）（本小题满分12分）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1； （Ⅱ）求d 的取值范围.（20）（本小题满分12分）已知：2()sin 21().f x x x x R =+∈求： （Ⅰ）()f x 的最小正周期；（Ⅱ）()f x 的单调增区间；（Ⅲ）若[,]44x ππ∈-时，求()f x 的值域.(21) （本小题满分12分）已知函数),()1(31)(223R b a b x a ax x x f ∈+-+-=．（Ⅰ）若1=x 为)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f y =的图象在点（)1(,1f ）处的切线方程为03=-+y x ，求)(x f 在区间]4,2[-上的最大值；（Ⅲ）当0≠a 时，若)(x f 在区间)1,1(-上不单调，求a 的取值范围．(22) （本小题满分12分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； （Ⅱ）求证:n m >；（Ⅲ）求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.大庆实验中学2010－2011学年度上学期期中考试 高三数学试题（文科）D A A D C C A B B B A C 1 -3 50 ①②④ （17）（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故022=+q q 又0≠q ，从而21－=q ……………………5分（Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a 从而141281113212n nn S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭……10分（18）解：（Ⅰ）由已知3C π=，5b =，1sin 2ABC S ab C ∆=知15sin 23a π=⋅⋅得8a =由余弦定理可得2642580cos 493c π=+-=，从而可知7c = ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知4925641cos 707A +-==，由于A是三角形的内角，故sin A ==所以1113sin sin cos cos sin 6667214A A A πππ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭ ………………12分(19)解：（Ⅰ）由题意知31556-=-=S S 8566-=-=∴S S a ⎩⎨⎧-=+=+∴85510511d a d a 解得：71=a 所以7,316=-=a S ……………………6分（Ⅱ）01565=+S S 即0110922121=+++d da a 故8)94(221-=+d d a （或0)110(88122≥+-=∆d d ）所以82≥d 所以2222≥-≤d d 或 即d 的取值范围是2222≥-≤d d 或 ……………………12分 20．解：2()sin 21)1f x x x =-+=sin 212sin(2)13x x x π++=++……………………4分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为22T ππ==……………………6分 （Ⅱ）由222232k x k πππππ-≤+≤+，得522266k x k ππππ-≤≤+ 5,()1212k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为5,,().1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦………9分 （Ⅲ）因为5,,2,,44366x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦[]()0,3.f x ∴∈………12分 21解：（Ⅰ）)1(2)(22-+-='a ax x x f ,,02,0)1(,)(12=-='∴=a a f x f x 即的极值点为.20或=∴a ,经检验. 2 0 或 = a 是所求的值……３分 （Ⅱ）由题意可知()12f =，()'11f =-，解之得81,3a b ==，即()321833f x x x =-+，∴x x x f 2)('2-=，令()'0fx =，得0=x 和2=x当x 变化时，()'fx ，()f x 的变化情况如下表所以当4x =时，函数()f x 有最大值为8 …………９分（Ⅲ）因为函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，所以函数)(x f '在)1,1(-上存在零点． 又()()()'11f x x a x a =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，0)('=x f 的两根为1,1+-a a ，且在区间)1,1(-上不可能有2个零点．所以0)1()1(<'-'f f 即：0)2)(2(2<-+a a a 解之得20a -<<或02a <<即所求a 的取值范围是()()2,00,2- ． ……1２分(22)(Ⅰ)解:因为2()(33)(23)(1)x x x f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅由()0f x '>得10x x ><或；由()0f x '<得01x <<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,故若)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤…………………3分(Ⅱ)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e ， 又213(2)f e e-=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f -从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <………………6分)(Ⅲ)证:因为0'2000()x f x x x e=-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+- (7)分)所以 ①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解 ……(8分) ②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解 ………………(9分)③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； (10)当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解…(11分)综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意…(12分)。

名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,4,3,6,{3}A B x x x =--=-<∣，则A B = （）A.{}3,6 B.{}4,3- C.{}6- D.{}6【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{}36,4,3,6,{3}2A B xx x x x ⎧⎫=--=-<=>⎨⎩⎭∣，所以{}3,6A B ⋂=.故选：A.2.已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2z =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则222i,(2i)34i 5z z =-=-=-=.故选：D.3.已知等差数列中，23a =，前5项和510S =，则数列的公差为（）A.−2B.52-C.1-D.4-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可求得32a =，进而根据等差数列定义求公差d .【详解】设等差数列的公差为53,510d S a == ，322a a d ∴=+=，又23,1a d =∴=- .故选C.4.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.1176π平方英寸B.294π平方英寸C.245π平方英寸D.196π平方英寸【答案】B 【解析】【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积.【详解】由题意可知球的半径7r =，则两个半球的表面积之和为224π2π294πr r +=平方英寸.故选：B.5.已知向量()()1,2,1,1a b ==-，若(),c x y = 满足()c a + ∥b ，则x y +=（）A.-3B.2C.-5D.4【答案】A 【解析】【分析】根据向量运算，即可求得正确答案.【详解】设向量(),c x y = ，则()1,2c a x y +=++，因为()c a +∥b ，所以12x y +=--，故3x y +=-.故选：A .6.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-【答案】D 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，再求出()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的a 值范围.【详解】函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+，求导得226(1)2()61x a x f x x a x x+--'=-+-=，由2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，得()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令()()()2612,020h x x a x h =+--=-<，则()h x 在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此2Δ(1)4620(1)6120(2)642(1)20a h a h a ⎧=-+⨯⨯>⎪=+--<⎨⎪=⨯+-->⎩，解得103a -<<-，所以实数a 的取值范围是103a -<<-.故选：D7.已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，Q 为双曲线C左支上一点，11π,23OF Q QF ∠==，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.D.13+【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得.【详解】设2F 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得2222222121121π111132cos42234224QF F F QF F F QF c c c c c =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以22QF c =，由双曲线的定义可得212QF QF a -=，即1222c c a -=，故双曲线C 的离心率132c e a +===.故选：D.8.若5π,,2π,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos sin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（）A.12±B.12C.32±D.2-【答案】D 【解析】【分析】观察可知22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+，因此运用角的变换及两角和的正弦、余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到()1cos 2αβ-=，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围.【详解】因为22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+所以sin sin sin cos cos sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭①，sin sin sin cos cos sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即sin sincos cos sin 2222γββγγββγγ+-+-=-②，①-②得2cos sin sin sin 22βγβγβγ+-=-，所以sin 2cos sin sin sin sin 022βγβγααβγ+--=-+=，同理cos cos cos cos sin sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=-⎪⎝⎭③，cos cos cos cos sin sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即cos cos cos cos sin sin 222222γββγγββγγββγγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭④，③+④得2coscos cos cos 22γββγβγ+-=+所以cos 2cos cos cos cos cos 022βγβγααβγ+--=--=，所以sin sin sin ,cos cos cos αβγαβγ-=--=，两式平方相加得()22cos 1αβ--=，所以()1cos 2αβ-=，因为sin sin sin 0αβγ-=-<，且sin y x =在5π2π,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以5ππ2π,022αβαβ<<<-<-<，所以()sin 2αβ-=-.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年—2023年中国茶叶产量的极差是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于310【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，计算出增长率或极差后可求判断AB 的正误，对于C ，计算出60%分位数后可判断其正误，对于D ，计算出平均数后可判断其正误.【详解】对于A ，2015年中国茶叶产量年增长率为227.7204.922.811.1%10%204.9204.9-=≈>，故A 正确；对于B ，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是355.0204.9150.1-=，B 正确；对于C ,1060%6⨯=，所以60%分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即277.7293.2285.452+=，C 错误；对于D ，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为：277.7293.2318.0335.0355.0315.783105++++=>，D 正确.故选：ABD.10.已知2m n >，且222log ,log 1,2log 2m x m y n z n ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，则（）A.若x y =，则12n >B.若x y =，则m n +C.若x y z ==，则422410m m m +-+=D.若x y z ==，则23204n n -+>【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，根据条件得到()22log log 2m n =，利用2log y x =的性质，即可求解；选项B ，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C ，根据条件，得到2log 02m n ⎛⎫+>⎪⎝⎭，从而有22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解；选项D ，利用y z =，得22221322424m m n n n n ⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】对于选项A ，由x y =得，()222log log 1log 2m n n =+=，又2m n <，可得21m n ⋅=，所以12n m =，又01m <<，所以12n >，故选项A 正确；对于选项B ，易知，0,0m n >>，所以m n +≥=2m n ==时取等号，所以选项B 错误；对于选项C ，由选项A 知1122n m =>，所以11222m m n m +=+>，得到2log 02m n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得422410m m m +-+=，所以选项C 正确；对于选项D ，由y z =得到，22221322424m m n n n n⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，得23204n n -+>，所以选项D 正确.故选：ACD.11.已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130n n S S +-=，设数列{}n n S a -的前n 项和为n T ，则（）A.{}n S 为等比数列B.19n n a -=C.1819n n T -+= D.()182n n a S n -= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案.【详解】由题意可得130n n S S +-=，即0===，0==，则1n n S S +=，则10n a +=，这与0n a >矛盾，所以不成立；=，则1119,1n n S S S a +===，所以数列{}n S 是首项为1，公比为9的等比数列，即19n n S -=，故A 正确；由19n n S S +=，可得()192n n S S n -=≥，两式相减得，19n n a a +=，且1n =时，219S S =，即1219a a a +=，得28a =，那么2189a a =≠，故21,1,89,2,n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故B 错误；当1n =时，110S a -=，当2n ≥时，()()()()()11221212n n n n n T S a S a S a S S S a a a =-+-++-=+++-+++ ()118191991119198n n n --⎡⎤⨯---⎢⎥=-+=--⎢⎥⎣⎦，当1n =时，10T =符合上式，故1918n n T --=，即1819n n T -+=，故C 正确；易得2n ≥时，18n n a S -=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7()x y -的展开式中52x y 的系数为__________.【答案】21【解析】【分析】根据二项式7()x y -的展开式的通项717C (1)r r rr r T x y -+=-，求解问题.【详解】二项式7()x y -的展开式的通项77177C ()C (1),0,1,2,,7rrr rr r r r T xy x y r --+=⋅⋅-=-= ，所以7()x y -的展开式中52x y 项的系数为227C (1)21⨯-=.故答案为：21.13.设抛物线212y x =的焦点为F ，经过点()4,1P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF +=__________.【答案】14【解析】【分析】设1,1,2,2，根据抛物线的定义，得123,3AF x BF x =+=+，又根据中点坐标公式，可得128x x +=，代入即可得到()126AF BF x x +=++的值．【详解】由题意可得()3,0F ，设1,1,2,2，抛物线的准线：3x =-，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，根据抛物线的定义，得123,3AF AC x BF BD x ==+==+，故()126AF BF x x +=++，因为AB 的中点为()4,1P ，所以()12142x x +=，可得128x x +=，所以()12614AF BF x x +=++=.故答案为：14.14.在三棱锥P ABC -中，2,AB BC CA PA PB ====，二面角P AB C --的大小为π3，则222PA PB PC ++最小时，三棱锥P ABC -的体积为__________.【答案】12【解析】【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元二次函数的最小值，进而求得三棱锥P ABC -的体积.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD ，设PD a =，则2221PA PB a ==+，CD =PDC ∠是二面角P AB C --的平面角，所以π3PDC ∠=，在PDC △中，由余弦定理可得223PC a =+-，所以2222231919353644PA PB PC a a ⎛++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当36a =时取等号，此时三棱锥P ABC -的体积1π1sin 3336212ABC V PD S =⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：12.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()::5:7:6a b b c c a +++=.（1）求cos A ；（2）若点D 为AB 的中点，且CD =ABC V 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据比例，设出5(0)a b t t +=>，联立解得,,a b c 关于t 的表达式，再利用余弦定理求值即可；（2）结合已知条件与（1）中结论，在ACD 中利用余弦定理可得t 的值以及sin A 的值，进而可知ABC V 中边,b c 的值，再由三角形面积公式求值即可.【小问1详解】因为()()()::5:7:6a b b c c a +++=，设5(0)a b t t +=>，则7b c t +=，6c a t +=，联立解得2a t =，3b t =，4c t =，所以由余弦定理得222222291647cos 2248b c a t t t A bc t +-+-===.【小问2详解】在ACD 中，7cos 8A =，CD =，3AC b t ==，122AD c t ==，由余弦定理得22710942328t t t t =+-⨯⋅⋅，解得2t =（负值舍去），所以36b t ==，48c t ==，因为0πA <<，所以sin 8A ==，所以11sin 68228ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()2P k χ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.841 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286χ⨯-⨯=⨯=⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X 的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5X B 3213283236(0),(1)C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23233254327(2)C ,(3)551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为X 0123P 812536125541252712539()355E X =⨯=.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且C 的离心率为2.（1）求C 的标准方程；（2）若()30A -,，直线:1(0)l x ty t =+>交椭圆C 于,E F 两点，且AEF △，求t 的值.【答案】（1）22142x y +=（2）t=【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由题意得：22cc ea===，即2c a==，则2222b a c=-=，所以C的标准方程为：22142x y+=.【小问2详解】由题意设()()1122,,,E x yF x y，联立221142x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得：()222230t y ty++-=，则()222Δ412216240t t t=++=+>，则12122223,22ty y y yt t+=-=-++，可得1222y yt-=+，设直线l与x轴的交点为()1,0D，且()3,0A-，则()134AD=--=，故1221246222AEFS AD y yt=⋅-=⨯=+t=.18.已知正四棱柱1111ABCD A B C D-底面ABCD为边长为3的正方形，16AA=，点,,E F G分别在线段11111,,A D AAB C上，且1122A F A E==，132C G=，点H在线段1BB上且EF GH∥.（1）求锐二面角1A FH E --的余弦值；（2）求平面EFHG 将四棱柱分割成两个多面体的体积比.【答案】（1）34623（2）111119719D EFAD C GHBCA EFB GHV V --=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用EF GH ∥可求得点()3,3,3H ，再求出平面11A B HF 与平面EFHG 的法向量，利用向量夹角的坐标表示求出二面角1A FH E --的余弦值；（2）利用1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，可求得11A EF B GH V -的体积，再利用正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积可求得剩余部分的体积，作比即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意可得，()13,0,6A ，()13,3,6B ，()3,0,4F ，()2,0,6E ，3,3,62G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()3,3,H a ，则()1,0,2EF =- ，3,0,62GH a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，EF GH ∥，∴EF GH ∥，∴36212a -=-，解得3a =，即()3,3,3H ，易知平面11A B HF 的一个法向量()11,0,0n = ，且()0,3,1FH =- ，设平面EFHG 的一个法向量2 =s s ，由2200n FH n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得3020b c a c -=⎧⎨-=⎩，令1b =，可得6a =，3c =，则()26,1,3n = ，∴121212cos ,23n n n n n n ⋅== ，故锐二面角1A FH E --的余弦值为34623.【小问2详解】易知1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，则()1111111113A EF B GH K B GH K A EF B GH A EF V V V S B K S A K ---=-=⋅-⋅ ，111123A A K K EB B G == ，16A K ∴=，19B K =，∴111131193912632224A EFB GH V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，111111111919733644ABCD A BCD A EF B G D EFA H D C GHBC V V V ---=-=⨯⨯-=，体积比111119719D EFAD C GHB A EF B CGH V V --==.19.若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，使得对任意x ∈R ，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，则称()f x 是类周期为T 的“类周期函数”.（1）若函数()f x 是类周期为1的“类周期函数”，证明：()f x 是周期函数；（2）已知()2sin (0)f x x x ωω=->是“类周期函数”，求ω的值及()f x 的类周期；（3）若奇函数()f x 是类周期为(0)T T >的“类周期函数”，且()()31f T f T =，求T 的值，并给出符合条件的一个()f x .【答案】（1）证明见解析（2）()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2（3）T =()2πsin 8=f x x 【解析】【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件()()2sin 0f x x x ωω=->是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出()()3,f T f T 的关系，进而求出T 的值，进行作答.【小问1详解】证明：因为()f x 是类周期为1的“类周期函数”，所以()()()11f x f x f x -++=，①用1x +代换x 得()()()21f x f x f x ++=+，②①+②得()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为6的周期函数.【小问2详解】因为()f x 是“类周期函数”，所以存在非零常数T ，使得对任意x R ∈，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，即()()()()2sin 2sin 2sin x T x T x T x T Tx T x ωωωωω---++-+=-，整理得42sin cos 2sin x x T Tx T x ωωω-=-，所以42,2cos T T Tω=⎧⎨=⎩所以2,cos21T ω==，所以()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2.【小问3详解】因为奇函数()f x 是类周期为T 的“类周期函数”，所以()00f =，且()()()f x T f x T Tf x -++=，取x T =，得()()()02f f T Tf T +=，所以()()2f T Tf T =，取2x T =，得()()()()232f T f T Tf T T f T +==，所以()()()231f T T f T =-，因为()()()31,0f T f T f T =≠，所以211,T T -==，所以((()f x f x x -++=，设()sin f x ax =，则()()sin sin ax ax ax ++=，整理得2sin ax ax =，所以2=，取(),sin 88a f x x ==.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.。

2021届高二新题速递数学07,常用逻辑用语（选择题、填空题）（文9月第01期解析版）题专题07常用逻辑用语（选择题、填空题）一、单选题1．（广西桂林十八中2019-2020学年高二（下）入学数学试题）已知命题p：xR，cosx＞1，则p是（）A．xR，cosx＜1B．xR，cosx＜1C．xR，cosx1D．xR，cosx1【答案】D【解析】命题:p,cos1xRx，故选D.2．（河南省鹤壁市高级中学2020-2021学年高二上学期阶段性检测（二）数学试题）命题垂直于同一个平面的两条直线平行的逆否命题是（）A．两条平行直线垂直于同一个平面B．不垂直于同一个平面的两条直线不平行C．不平行的两条直线不垂直于同一个平面D．不平行的两条直线垂直于同一个平面【答案】C【分析】根据命题的逆否命题的定义进行求解即可.【解析】命题若p则q的逆否命题是若q则p.因此命题垂直于同一个平面的两条直线平行的逆否命题是不平行的两条直线不垂直于同一个平面.故选C.3．（四川省成都石室中学2020届高三高考适应性考试（二）数学试题（文科））命题若ab，则acbc的否命题是（）A．若ab，则acbc B．若ab，在acbc C．若ab，则acbc D．若ab，在acbc【答案】D【分析】利用否命题的概念判断即可.【解析】原命题与其逆命题的关系为：原命题为若p，则q，则否命题为若p，则q，所以命题若ab，则acbc的否命题为：若ab，在acbc.故选D.4．（吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）命题p：0x，10xx2﹣2；命题q：0x0，200210xx，下列选项真命题的是()A．pq￢B．pq C．pq￢D．pq￢￢【答案】A【分析】根据2110xxx22-，所以可知p假q真，然后根据真值表，逐一验证，可得结果.【解析】命题20210pxxx：＞，＞；是假命题，因为1x＝时不成立；命题2000:0,210qxxx，当01x＝时，命题成立，所以是真命题．pq￢，是真命题；A正确，pq是假命题；B错，pq￢是假命题；C错，pq￢￢是假命题；D错，故选A．5．（河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）数学（文）试题）下列命题为真命题的是()A．0x R，使200x B．x R，有20x C．x R，有20x D．x R，有20x【答案】B【分析】根据xR，都有20x可依次判断出各个选项的正误.【解析】A 中，xR，都有20x，则A错误；B正确；D错误；C中，当0x 时，20x，则C错误.故选B.6．（2020年普通高校招生全国统一考试猜题密卷A卷理科数学试题）已知命题p：函数22xxfx在R上单调递增，命题q：函数sin24gxx为奇函数，则下列命题中是真命题的为（）A．pq B．pq C．pq D．pq【答案】B【分析】根据指数函数的单调性判断命题p的真假，根据余弦函数的奇偶性判断命题q的真假，然后利用复合命题的性质求解.【解析】易知函数22xxfx在R上单调递增，故命题p为真命题.函数sin2cos24gxxx为偶函数，故命题q为假命题.所以pq为假命题，pq为真命题，pq为假命题，pq为假命题.故选B.7．（2020年高考全国卷考前冲刺演练文科数学（二）试题）某镇甲、乙、丙三个贫困村近几年积极落实各种脱贫措施，取得了可喜的成绩．现在县扶贫办前来量化验收，评判这三个村是否达到脱贫的标准．验收前甲、乙、丙村的村长分别作出预测．甲村的村长说：若甲村不能通过验收，则乙、丙村一定会通过验收；乙村的村长说：乙与丙村中至少有一个村不能通过验收；丙村的村长说：甲村不能通过验收或乙村通过验收．若这三名村长的预测都是真的，则能通过脱贫验收的是（）A．甲村，乙村B．乙村，丙村C．甲村，丙村D．甲村，乙村，丙村【答案】A【分析】设推断p：甲村能通过验收；推断q：乙村能通过验收；推断r：丙村能通过验收，根据三名村长的预测都是真的，利用四种命题的关系求解.【解析】设推断p：甲村能通过验收；推断q：乙村能通过验收；推断r：丙村能通过验收．甲村村长的预测：①pqr为真；乙村的村长的预测：②qr为真；丙村村长的预测：③pq为真；①的逆否命题为qrp，结合②知，甲村能通过验收，再结合③知，乙村能通过验收；进而再结合②知，丙村不能通过验收．综上甲村，乙村能通过验收.故选A．8．（西藏山南二中2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题）下列命题中，真命题是（）A．00,0xxRe B．2,2xxRxC．0ab的充要条件是1ab D．1,1ab是1ab的充分条件【答案】D【分析】xye的值域为(0,),据此可判断A错误;若1x,则2121,则B错误;1ab是0ab的充分不必要条件,则C错误;若1a,1b,则1ab,因此D正确.【解析】对于A,xye的值域为(0,),故不存在0xR,使得00xe,故A错误;对于B,若1x,则2121,故B错误;对于C,0ab时，当0ab==，1ab不成立，故1ab是0ab的充分不必要条件,故C错误;对于D,若1a,1b,则1ab,即1a,1b是1ab的充分条件,故D正确;故选D.9．（辽宁省营口市第二高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）已知:p关于x的不等式220xaxa的解集是R，:10qa，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分有非必要条件【答案】C【分析】先根据关于x的不等式220xaxa的解集是R，由2240aa，化简p，再利用集合法判断.【解析】因为关于x的不等式220xaxa的解集是R，所以2240aa解得10a，所以:p10a，又:10qa，所以p是q的充分必要条件，故选C.10．（辽宁省营口市第二高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）已知命题002:,log310xPxR，则（）A．P是假命题；2:,log310xPxR B．P是假命题；2:,log310xPxR C．P是真命题；2:,log310xPxRD．P是真命题；2:,log310xPxR【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质可以判断命题P的真假，再根据特称命题的否定为全称命题判断可得；【解析】因为30x，所以311x，则2log310x，所以P是假命题，2:,log310xPxR，故选B.11．（黑龙江省大庆实验中学2021届高三8月开学考文科数学试卷）已知命题:11px，命题:1lnqx，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．【解析】由11x可得，0x或2x﹔由ln1x可得，xe.所以p是q成立的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握绝对值不等式，对数不等式的解法是解题关键．命题p对应集合A，命题q 对应集合B，p是q的充分条件AB，p是q的必要条件AB，p是q的充要条件AB．12．（2020年普通高等学校招生全国统一考试（6月全国1卷）高仿密卷数学（理）试题）已知向量a，b，则ab rr是22abba的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由22abba两边平方后进行化简，得到ab rr，由此判断出ab rr 是22abba的充要条件【解析】由22abba，则2222aabb，所以222244abba，有ab rr，故ab rr是22abba的充要条件．故选C13．（吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）0mn是11mn成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】当0mn时，11mn成立，当0,0mn时，满足11mn，但m＜n＜0不成立，即0mn是11mn 成立的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义（福建省八县（市）一中2019-2020是解决本题的关键，属于基础题．14．学年高二下学期期末考试数学试题）设a，b都是不等于1的正数，则5a5b是log5log5ab的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求解指数不等式以及对数不等式，等价求得,ab范围，即可从充分性和必要性判断选择.【解析】因为,ab都是不等于1的正数，由5a5b，故可得1ab或10ab或10ab；由log5log5ab，故可得01ba或01ab或1ab显然充分性和必要性均不成立.故选D.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，涉及指数函数和对数函数的性质，属综合基础题.15．（湖南省岳阳市岳阳县一中2020届高三（下）第一次段考数学试题）下列说法中，正确的是（）A．命题若22ambm，则ab的逆命题是真命题B．命题存在2,0xRxx的否定是：任意2,0xRxx C．命题p或q为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知xR，则1x是2x的充分不必要条件【答案】B【分析】A．原命题的逆命题是若a＜b，则am2＜bm2是假命题，由于m=0时不成立；B．利用全称命题的否定是特称命题即可判断出正误；C．由p或q为真命题，可知：命题p和命题q至少有一个为真命题，即可判断出正误；D．xR，则x＞1是x＞2的必要不充分条件，即可判断出正误．【解析】A．命题若am2＜bm2，则a＜b的逆命题是若a＜b，则am2＜bm2是假命题，m=0时不成立；B．命题存在xR，x2﹣x＞0的否定是：任意xR，x2﹣x0，正确；C．p或q为真命题，则命题p 和命题q至少有一个为真命题，因此不正确；D．xR，则x＞1是x＞2的必要不充分条件，因此不正确．故选B．16．（浙江省衢州二中2020届高三（下）适应性数学试卷题）已知,aRbR，则直线210axy与直线(1)210axay垂直是3a的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由两直线垂直求得则0a或3a，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【解析】由题意，直线210axy与直线(1)210axay垂直则(1)2(2)0aaa，解得0a或3a，所以直线210axy与直线(1)210axay垂直是3a的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.17．（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（三））已知直线1:21230lxaya，22:340laxya，则32a是12ll//的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线12ll//求出a的值,再判断充要关系即可.【解析】若12ll//,则213aa,解得32a或1a.当1a时,直线1l的方程为350xy,直线2l 的方程为350xy,两直线重合,所以32a,所以32a是12ll//的充要条件.易错警示:很多考生根据12ll//求出32a或1a后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A.故选C.【点睛】本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.18．（2020年普通高等学校招生全国统考试伯乐马模拟考试（八）文科数学试题）下列命题正确的是（）A．1sin2是2的必要不充分条件B．mn是lnlnmn 的充分不必要条件C．ABC中，AB是sinsinAB的充要条件D．命题0xR，020190x的否定是0xR，020190x【答案】C 【分析】对于选项A，1sin2是2的非充分非必要条件，所以该选项错误；对于选项B，mn是lnlnmn的必要非充分条件，所以该选项错误；对于选项C，ABC中，AB是sinsinAB的充要条件，所以该选项正确；对于选项D，命题0xR，020190x的否定是0xR，020190x，所以该选项错误.【解析】对于选项A，1sin2时，2不成立；2成立时，1sin2不成立，所以1sin2是2的非充分非必要条件，所以该选项错误；对于选项B，mn 时，lnlnmn不一定成立；lnlnmn成立时，mn一定成立，所以mn是lnlnmn的必要非充分条件，所以该选项错误；对于选项C，AB成立时，ab，sinsinAB成立；sinsinAB时，ab，AB成立，所以ABC中，AB是sinsinAB的充要条件，所以该选项正确；对于选项D，命题0xR，020190x的否定是0xR，020190x，所以该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（安徽省合肥一中2019-2020学年高二（下）开学数学试题）若实数a，b满足a0，b0，且ab=0，则称a与b互补，记（a，b）=﹣a﹣b那么（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由（a，b）＝0得22ab－a－b＝０且0,0ab；所以（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：0,0ab，且ab＝0；从而有，所以（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．20．（上海市闵行区七宝中学2020届高三（4月份）高考数学模拟试题）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则coscosaAbB是ABC是以A、B为底角的等腰三角形的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】利用余弦定理化简等式coscosaAbB，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.【解析】coscosaAbB，22222222abcabacbbcac，即2222440acbcab，整理得222220abcab，ab或222abc，则ABC是以A、B为底角的等腰三角形或以C 为直角的直角三角形.因此，coscosaAbB是ABC是以A、B为底角的等腰三角形的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了余弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、多选题21．（山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（二））下列若p，则q 形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两直线的斜率相等，则两直线平行B．若5x，则10x C．若acbc，则ab D．若sinsin，则【答案】BCD【分析】根据必要条件的定义即可判断.【解析】A中p是q的充分条件，B，C，D中p是q的必要条件.故选BCD.故选:BCD【点睛】本题主要考查必要条件，属于基础题.22．（河北省迁西县第一中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题）下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（）A．21,04xRxx B．所有正方形都是矩形C．2,220xRxx D．至少有一个实数x，使310x【答案】AC【分析】通过原命题的否定为全称命题且为真命题，则原命题是特称命题且为假命题，根据此结论对选项进行逐项分析.【解析】由题意可知：原命题为特称命题且为假命题.选项A.原命题为特称命题,2211042xxx,所以原命题为假命题，所以选项A满足条件.选项B.原命题是全称命题，所以选项B不满足条件.选项C.原命题为特称命题,在方程2220xx中4420，所以方程无实数根，所以原命题为假命题，所以选项C满足条件.选项D.当1x时，命题成立.所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件.故选AC【点睛】本题考查了命题的否定,关键是记住特称量词命题的否定是全称量词命题和P命题与非P命题的真假相反,属基础题.23．（2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（新教材））下面命题正确的是（）A．1a是11a的充分不必要条件B．命题若1x,则21x的否定是存在1x,则21x.C．设,xyR,则2x且2y是224xy的必要而不充分条件D．设,ab R,则0a是0ab的必要不充分条件【答案】ABD【分析】选项A:先判断由1a,能不能推出11a,再判断由11a,能不能推出1a,最后判断本选项是否正确；选项B:根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由2x且2y能不能推出224xy,然后再判断由224xy能不能推出2x且2y,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由0a能不能推出0ab,再判断由0ab能不能推出0a,最后判断本选项是否正确.【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a,能推出11a,但是由11a,不能推出1a,例如当0a 时,符合11a,但是不符合1a,所以本选项是正确的；选项B:根据命题的否定的定义可知：命题若1x,则21x的否定是存在1x,则21x.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x且2y能推出224xy,本选项是不正确的；选项D:因为b可以等于零,所以由0a不能推出0ab,再判断由0ab能不能推出0a,最后判断本选项是否正确.故选ABD24．（山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题）下列说法正确的有（）A．不等式21131xx的解集是1(2,)3B．1a，1b是1ab成立的充分条件C．命题:px R，20x，则:px R，20x D．5a是3a的必要条件【答案】ABD【分析】解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C．【解析】由21131xx得2031xx，(2)(31)0xx，123x，A正确；1,1ab时一定有1ab，但1ab时不一定有1,1ab成立，如16,2ab，满足1ab，但1b，因此1a，1b是1ab成立的充分条件，B正确；命题:px R，20x，则:px R，20x，C错误；5a不能推出3a，但3a时一定有5a成立，5a是3a的必要条件，D正确．故选ABD．【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需根据选项涉及的知识点对选项进行判断，如本题需要掌握解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，本题属于中档题．25．（山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷（三））下列命题错误的是（）A．(0,)x，1123xx B．(0,1)x，1123loglogxx C．(0,)x，121log2xx D．10,3x，131log2xx【答案】AC【分析】根据指数函数和对数函数性质对各个选项进行判断．【解析】由指数函数的性质可知，当(0,)x时，1321213xxx，1123xx恒成立，A错误；由对数函数的性质可知，当(0,1)x时，13log0x，13113221131333log1loglog211log311logloglog2log2xxxx，1123loglogxx恒成立，B正确；对于C，当12x时，1222x，12log1x，则121log2xx，C错误；对于D，当13x时，13log1x，由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x时，1311log2xx恒成立，D正确．故选AC．26．（山东省临沂市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次阶段测试数学试题）下列命题中，是真命题的是（）A．已知非零向量,ab，若,abab则ab B．若:0,,1ln,pxxx则000:0,,1lnpxxx C．在ABC中，sincossincosAABB是AB的充要条件D．若定义在R上的函数yfx是奇函数，则yffx也是奇函数【答案】ABD【分析】对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，sincosAA sincosBB两边平方可推得2AB或AB；对D，由奇函数的定义可得yffx也为奇函数.【解析】对A，222222220ababababababab，所以ab，故A正确；对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；对C，sincossincos2sincos2sincossin2sin2AABBAABBAB，所以2AB或AB，显然不是充要条件，故C错误；对D，设函数()Fxffx，其定义域为R关于原点对称，且()()FxffxffxffxFx，所以()Fx为奇函数，故D正确；故选ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中sin2sin2AB得到的是,AB的两种情况.27．（山东省枣庄三中2019-2020学年高一10月学情调查数学试题）下列命题正确的是（）A．2,,2(1)0abRabB．aRxR，，使得2axC．0ab是220ab的充要条件D．1ab，则11abab【答案】AD【分析】对A．当2,1ab时，可判断真假，对B.当0a时，0=02x，可判断真假，对C.当0,0ab时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.【解析】A．当2,1ab时，不等式成立，所以A正确.B.当0a时，0=02x，不等式不成立，所以B不正确.C.当0,0ab时，220ab成立，此时=0ab，推不出0ab.所以C不正确.D.由(1)(1)11(1)(1)(1)(1)ababbaabababab，因为1ab，则11abab,所以D正确.故选AD.28．（安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二下学期第三次月考数学（理）试题）下列命题为真命题的是（）A．2ln3ln23B．55ln2ln42C．2ln2e D．525【答案】ABC【分析】构造函数()lnxfxx，求得导数，以及单调性和最值，作出图象，对照选项一一判断即可得到所求答案．【解析】构造函数()lnxfxx，导数为21()lnxfxx，当0xe时，()0fx，()fx递增，xe时，()0fx，()fx递减，可得xe处()fx取得最大值1e，因为2332，因为lnyx在定义域上单调递增，所以23ln3ln2，所以2ln33ln2，所以2ln3ln23，故A正确；522e，522ff，5lnln22522，55lnln224，故B正确；12ffee，ln212e，即2ln2e，故C正确；52e，52ff，ln5ln225，2ln55ln2，25ln5ln2，552，故D错误；故选ABC．【点睛】本题考查数的大小比较，注意运用构造函数，以及导数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．三、填空题29．（安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期中数学（文）试题）命题,xR sin1x的否定是．【答案】x R，sin1x【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题,xR sin1x的否定是x R，sin1x30．（安徽省蚌埠市2020届高三下学期第四次教学质量检查数学（文）试题）已知命题:0,,sin02pxxx，则p为________.【答案】0000,,sin02xxx【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接可得结果.【解析】由题可知：命题:0,,sin02pxxx根据全称命题的否定是特称命题所以p：0000,,sin02xxx故答案为：0000,,sin02xxx31．（2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用））若3x是xa的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____.【答案】3a【分析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.【解析】因为3x是xa的充分不必要条件，3a．故答案为：3a．【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．32．（江苏省扬州中学2020届高三（5月份）高考数学模拟试题）ab是33ab的_____条件．【答案】充要【分析】利用指数函数3xy的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.【解析】充分性：由于指数函数3xy为R上的增函数，由ab，可得33ab，充分性成立；必要性：由于指数函数3xy为R上的增函数，由33ab，可得ab，必要性成立.综上所述，ab是33ab的充要条件.故答案为：充要.33．（甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（理）试题）已知下列命题：①命题2,35xRxx的否定是2,35xRxx；②已知,pq为两个命题，若pq为假命题，则()()pq为真命题；③在ABC 中，AB是sinsinAB的既不充分也不必要条件；④若xy=0，则x=0且y=0的逆否命题为真命题.其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【分析】根据全称命题的否定的求解，或且非命题真假的判断，正弦定理以及逆否命题的求解，对选项进行逐一分析，则问题得解.【解析】对①：2,35xRxx的否定是2,35xRxx，故①是假命题；对②：若pq为假命题，则,pq均为假命题，故()()pq为真命题；对③：在ABC中，AB等价于ab，由正弦定理，其又等价于sinAsinB，故AB是sinsinAB的充要条件，故③是假命题；对④：若xy=0，则x=0且y=0是假命题，故其逆否命题也是假命题，故④错误；综上所述，真命题的序号是②.故答案为：②.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的否定的求解，复合命题真假的判断，充要条件的求解，属综合基础题.34．（山东省枣庄十六中2019-2020学年高一10月学情检测数学试题）已知不等式11axa成立的充分不必要条件是1322x，则实数a的取值范围是________.【答案】13,22【分析】首先根据题意得到13,1,122aa，从而得到112312aa，再解不等式组即可得到答案.【解析】因为不等式11axa成立的充分不必要条件是1322x，所以13,1,122aa.所以112312aa，解得1322a.故答案为：13,2235．（吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）己知命题p：1,1m，2532aam，且p是假命题，则实数a的取值范围是__________．【答案】,16,【分析】命题p是假命题,则利用其否定为真命题,再参变分离进行求解即可．【解析】∵命题p：1,1m,2532aam是假命题,则1,1m,2532aam恒成立,2533aa,2560aa1a或6a,故答案为,16,．36．（湖南省岳阳市岳阳县一中2020届高三（下）第一次段考数学试题）已知命题p：2|01xAxx，q：B＝{x|x﹣a＜0}，若命题p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_____.【答案】,1【分析】解不等式可求得集合A，命题p是q的必要不充分条件，则BA，可得关于a的不等式，从而可得a的范围.【解析】由201xx＜可得21010xxx，即1x或2x，A{1x或2x}，B＝{x|x＜a}命题p是q的必要不充分条件，则BA，1a，故答案为：,1【点睛】本题考查根据条件判断集合的关系并求参数取值范围，属于基础题.37．（黑龙江省牡丹江一中2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题）现给出五个命题：①a R，212aa；②223,,2()2abRabab；③103147；④4()cos,0,cos2fxxxx的最小值等于4；⑤若不等式2210kxxk对1,1k都成立，则x的取值范围是312x.所有正确命题的序号为______.【答案】②③⑤【分析】①1a时不成立；②作差后再配方可得答案；③利用分析法证明；④不满足基本不等式的条件；⑤构造关于k的一次函数，再利用一次函数的单调性可求出x的取值范围【解析】①当1a时，212aa，所以①不正确；②因为222222232()23(1)()1210aabababbab，所以223,,2()2abRabab成立；③要103147成立，只要证304711，只要证270242，此式显然成立，所以③正确；④由于0,2x，所以cos0,1x，因为4()cos244cosfxxx，而此时要cos20,1x，所以取不到等号，所以4()cos,0,cos2fxxxx的最小值不等于4，所以④不正确；⑤令22()21(1)21fkkxxkxkx，因为不等式2210kxxk对1,1k都成立，所以(1)0(1)0ff，即2212101210xxxx，解得312x，所以⑤正确故答案为：②③⑤38．（2020届高三6月质量检测巩固卷数学（理科）试题）设p：|x﹣1|1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．【答案】[0，1]【分析】分别求出,pq的范围，再根据p是q的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组【解析】由11x得111x，得02x.由2(21)(1)(2)0xmxmm，得[(1)][(2)]0xmxm，得12mxm，若p是q的充分不必要条件，则1022mm，得10mm，得01m，即实数m的取值范围是[0,1].故答案为：[0,1]【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.四、双空题39．（高三年级新高考辅导与训练）关于x的函数()sin()fxx有以下命题：（1）对任意的,()fx都是非奇非偶函数；（2）不存在，使()fx 既是奇函数，又是偶函数；（3）存在，使()fx是奇函数；（4）对任意的,()fx都不是偶函数，其中一个假命题的序号是_____，因为当_____时，该命题的结论不成立.【答案】（1）,2kk Z （答案不唯一，见解析）【分析】由题意确定的值，使得函数是奇函数，或者是偶函数，然后判断选项的真假，得到答案即可.【解析】当2,kkZ时，()sinfxx是奇函数，当2(1),kkZ时，()sinfxx是奇函数当2,2kk Z时，()cosfxx，或当2,2kkZ时，()cosfxx，()fx都是偶函数，因为无论为何值都不能使()fx恒等于零，所以()fx不能既是奇函数又是偶函数.所以（2）和（3）都是正确的，（1）和（4）都是假命题.故答案为：（1）；,2Zkk或者（1）；k,k Z或者（4）；,2Zkk（任何一组答案都可以）【点睛】本题主要考查了正弦、余弦函数的奇偶性，诱导公式，命题的真假判断，掌握三角函数的基本性质，是解好本题的关键，属于中档题.40．（浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高一（1班）下学期期中数学试题）已知命题:pmR，且10m，命题:qxR，210xmx恒成立，若命题q为真命题则m的取值范围是：____，pq为假命题，则m的取值范围是_____.【答案】(2,2)(,2](1,)【分析】首先由得到命题q为真时参数的取值范围，由Pq为假命题可知，p为假，或者q为假，或者p和q同时为假，分类讨论三种情况后即可得出答案．【解析】当q为真时，由210xmx恒成立，则240m，解得22m，当命题:pmR，10m，为真命题时，1m，由Pq为假命题可知，p为假，或者q为假，或者p和q同时为假，所以当p，q同时为真时有1m且22m，即21m．又pq为假命题，所以1m或2m．故答案为：(2,2)；,21,【点睛】本题考查全称命题为真时求参数的取值范围，根据复合命题的真假确定参数的范围，本题可能会有同学遗漏p与q同时为假的情况，在做题过程中要考虑全面，属于中档题．21。

2021届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）25B.45C.2545【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x =±.双曲线221 4xy-=的顶点到渐近线的距离等于255114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象最新直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,2,3，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有222(14)x y r r +=， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C. (,)2e-∞ D. (,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x-=， 当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 32sin a c A =，7c =ABC ∆33，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由32sin a c A=，结合正弦定理可得332sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1333sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =SC 与AB 所成角的余弦值为__________．17【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()()130,17,0,0,0,23,2,,01717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,,231717SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝,()0,17,0AB =.于是,所求夹角的余弦值为1717SC AB SC AB⋅=. 故答案为：1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n -1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ； （2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ， ∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由1010PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =.由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角， 则3cos 3AP m AP mθ⋅==，∴sin θ=【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y 2222(22)(22)6x y x y -+++=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D ，直线l ：22y kx k =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）7k >7k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M 点的轨迹是以()22,0，()22,0-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由2y kx k =-得22y kx k+=代入2219x y +=整理()22219420k yky k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立， 由根与系数的关系得1224219ky y k+=-+……③12219y y k =-+……④ 由①③得()142119k y k λλ=-+，()242119ky k λ=-+()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k 的取值范围是7k >7k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022ef e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-..所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=--2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ； （2）已知+∈Rc b a ,,，且1abc111a b c a b c≤++.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可； （2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为精品 Word 可修改 欢迎下载 111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 又因为1abc ，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111c b a a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（ ）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（ ） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（ ）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（ ）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（ ） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（ ） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（ ） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（ ）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（ ）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合M={x|x―1x+2≤0},Q={x∈N||x|≤2}，则M∩Q=（）A．{―1,0,1}B．[0,1]C．(―2,1]D．{0,1}2．已知复数z=1―i2+i，则z表示的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x∈R，ax2―ax+1>0；q：∃x∈R，x2―x+a=0.均为真命题，则a的取值范围是（）A．(―∞,4)B．[0,4)C．(0,14]D．[0,14]4．已知|a|=1,|b|=2，且a―b与a垂直，则a与b的夹角为（）A．60°B．30°C．135°D．45°5．椭圆x29+y25=1，若椭圆上存在不同的两点M,N关于直线y=3x+m对称，则实数m的取值范围（）A．(―263,223)B．(―263,263)C．(―63,263)D．(―233,233) 6．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）A．625B．47C．27D．257．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的716，则沙子堆积成的圆台的高（）A ．1B ．32C ．3D ．438．已知函数f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58在(0,π4]上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(43,83]B ．[43,83)C ．(83,163]D ．[83,163)二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于―1，到点F (1,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为1，则（ ）A ．a =―1B ．点(2,0)在C 上C ．C 在第一象限点的纵坐标的可以为12D ．当点(x 0,y 0)在C上时，y 20>1(x 0+1)210．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM =BN =a (0<a <2)，则下列结论中正确的有（ ）A．∃a∈(0,2)，使MN=12CEB．线段MN存在最小值，最小值为23C．直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D．∀a∈(0,2)，都存在过MN且与平面BEC平行的平面11．设正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项正确的是（）A．S9=S4+q4S5B．若T2025=T2020，则a2023=1C．若a1a9=4，则当a24+a26取得最小值时，a1=2D．若(a n+1)n>T2n，则a1<1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知2a+b=1(a>0,b>0)，则3a+1+1b+1的最小值为．13．已知某三棱台的高为25，上、下底面分别为边长为43和63的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．14．已知f(x)={|ln x|,0<x≤e2―ln x,x>e，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+e2c的范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列{a n}和等比数列{b n}，a n=1+1，若{a n}的最大项和2n―9最小项分别是{b n}中的b2―1和b3―9的值．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=1⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．a n―116．（15分）如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB ⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AM的值；若不存在，AP请说明理由.17．（15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为45；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为13，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.参考公式：χ2=n (ad ―bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．（17分）如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为42，斜率为―13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)若MN=10，求MN的方程；(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明:k1k2为定值.19．（17分）已知函数f(x)=x3―3mx+m2.(1)当m=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，且f(x)在点(x i,f(x i))处切线的斜率为k i(i=1,2,3)，求m的取值范围及1k1+1k2+1k3的值.数 学（答案）1．【答案】D【解析】由x ―1x +2≤0，可得{(x ―1)(x +2)≤0x +2≠0，解得―2<x ≤1，∴M ={x|―2<x ≤1}，又Q ={0,1,2}，所以M ∩Q ={0,1}，故选：D ．2．【答案】A【解析】z =1―i2+i=(1―i )(2―i )(2+i )(2―i )=2―i ―2i ―15=15―35i ，所以z =15+35i ，所以z 表示的点所在象限是第一象限，故选：A 3．【答案】D【解析】ax 2―ax +1>0恒成立，当a =0时，1>0，满足要求，当a ≠0时，需满足{a >0Δ=a 2―4a <0，解得0<a <4，故p 为真命题，需满足0≤a <4，∃x ∈R ，x 2―x +a =0，则Δ=1―4a ≥0，解得a ≤14，故q 为真命题，需满足a ≤14，综上，a 的取值范围为[0,4)∩(―∞,14]=[0,14]故选：D 4．【答案】D【解析】由题设(a ―b )⋅a =a 2―a ⋅b =0⇒a ⋅b =a 2=1，所以cos ⟨a ,b ⟩=a b=22，而0°≤⟨a ,b ⟩≤180°，所以⟨a ,b ⟩=45°.故选：D 5．【答案】B【解析】椭圆x 29+y 25=1，即：5x 2+9y 2―45=0，设椭圆上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =3x +m 对称，AB 中点为M (x 0,y 0)，则5x 21+9y 21―45=0，5x 22+9y 22―45=0，所以5(x 1+x 2)(x 1―x 2)+9(y 1+y 2)(y 1―y 2)=0，所以y 1―y 2x 1―x 2=―59⋅x 0y 0=―13，所以y 0=53x 0，代入直线方程y =3x +m 得x 0=―3m 4，y 0=―5m 4，即M (―3m 4,―5m 4)，因为(x 0,y 0)在椭圆内部，所以5×9m 216+9×25m 216<45，解得―263＜m ＜263，即m 的取值范围是(―263,263)．故选：B ．6．【答案】B【解析】设样本空间为Ω，则n (Ω)=C 49=126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A ，则n (A )=C 24C 13C 12+C 14C 23C 12+C 14C 13C 22=72，所以P (A )=n (A )n (Ω)=72126=47.故选：B.7．【答案】B【解析】设沙漏下半部分的圆锥的容积为V ，沙子堆成的圆台体积为V 1，该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为V 2=V ―V 1．由题意可知V 12V =716，即V 1V =78，则V 2V =18，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为32．故选：B 8．【答案】B【解析】因为f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58=(sin 2ωx +cos 2ωx)2―2sin 2ωx cos 2ωx ―58=―12sin 22ωx +38=―12×1―cos 4ωx2+38=14cos4ωx +18，令4ωx =t ,t ∈(0,ωπ]，则y =14cos t +18，令14cos t +18=0，得到cos t =―12，所以t =2π3+2k π,k ∈Z 或t =4π3+2k π,k ∈Z ，令k =0，得到t =2π3或t =4π3，令k =1，得到t =8π3或t =10π3，又f (x )在(0,π4]上有且仅有两个零点，所以y =14cos t +18在(0,ωπ]上有且仅有两个零点，所以4π3≤ωπ<8π3，得到ω∈[43,83)，故选：B.9．【答案】ABC【解析】对于A ，因为O 在曲线上，所以O 到x =a 的距离为―a ，而|OF |=1，所以有―a ⋅1=1，故a =―1，故A 正确，对于B ，因为曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，代入(2,0)知满足方程；故B 正确，对于C ，由(x +1)(x ―1)2+y 2=1，将(1,12)代入方程满足，故(1,12)在曲线上，故C 正确，对于D ，曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，可化为(x ―1)2+y 2=(1x +1)2，即y 2=(1x +1)2―(x ―1)2，因为y 20=(1x 0+1)2―(x 0―1)2≤(1x 0+1)2，故D 错误，故选：ABC ．10．【答案】AD【解析】因为四边形ABCD 正方形，故CB ⊥AB ，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB ⊥BE .设MC =λAC ，则BN =λBF ，其中λ=a 2∈(0,1)，由题设可得MN =MC +CB +BN =λAC +CB +λBF ，=λ(BC ―BA )+CB +λ(BA +BE )=(λ―1)BC +λBE ，对于A ，当λ=12即a =22时，→MN =―12⃗BC +12⃗BE =12⃗CE ，故A 正确；对于B ， MN 2=(λ―1)2+λ2=2λ2―2λ+1=2(λ―12)2+12，故|MN |≥22，当且仅当λ=12即a =22时等号成立，故|MN |min=22，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，而平面ABEF 的法向量为BC 且MN ⋅BC =(λ―1)BC 2=λ―1，故cos ⟨MN ,BC ⟩=λ―12λ2―2λ+1，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，故MN ,BC ,BE 为共面向量，而MN⊄平面BCE ，故MN //平面BCE ，故D 正确；故选：AD 11．【答案】AB【解析】因为数列{a n }为正项等比数列，则a 1>0,q >0,T n >0，对于选项A ：因为S 9=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)=S 4+q 4S 5，所以S 9=S 4+q 4S 5，故A 正确；对于选项B ：若T 2025=T 2020，则T 2025T 2020=a 2021⋅a 2022⋅a 2023⋅a 2024⋅a 2025=a 52023=1，所以a 2023=1，故B 正确；对于选项C ：因为a 1a 9=a 4a 6=4，则a 24+a 26≥2a 4a 6=8，当且仅当a 4=a 6=2时，等号成立，若a 24+a 26取得最小值，则a 4=a 6=2，即{a 4=a 1q 3=2a 6=a 1q 5=2，解得{a 1=2q =1，故C 错误；对于选项D ：例如a 1=1,q =2，则a n =2n―1，Tn=a 1a 2⋅⋅⋅a n =20×21×⋅⋅⋅×2n―1=21+2+⋅⋅⋅+n―1=2n (n―1)2，可得(a n +1)n=(2n )n=2n 2,T 2n=(2n (n―1)2)2=2n 2―n ，因为n ∈N *，则n 2>n 2―n ，可得2n 2>2n2―n，即(a n +1)n >T 2n ，符合题意，但a 1=1，故D 错误；故选：AB.12．【答案】7+264【解析】3a +1+1b +1=14(62a +2+1b +1)(2a +2+b +1)=14[7+6(b +1)2a +2+2a +2b +1]≥7+264，当且仅当6(b +1)2a +2=2a +2b +1，即6(b +1)2=(2a +2)2，即当a =7―265,b =46―95时等号成立.故答案为：7+26413．【答案】144π【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台ABC ―A 1B 1C 1，如图，上底面正△A 1B 1C 1外接圆的半径是O 1A 1=23×32×43=4，O 1为正△A 1B 1C 1外接圆圆心，下底面正△ABC 外接圆的半径是O 2A =23×32×63=6，O 2为正△ABC 外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心O 在直线O 1O 2上，令该球半径为R ，R 2―42+R 2―62=25，或R 2―42―R 2―62=25，解得R 2=36，所以球O 的表面积是S =4πR 2=4π×36=144π．故答案为：144π14．【答案】(3,2e +1e)【解析】函数f (x )={―ln x,0<x ≤1ln x,1<x ≤e 2―ln x,x >e在(0,1]，(e,+∞)上单调递减，在(1,e ]上单调递增，f (e 2)=0，f (1)=0，画出f (x )={|ln x |,0<x ≤e2―ln x,x >e的图象，如图，令a <b <c ，由f (a )=f (b )=f (c )，得1e <a <1，1<b <e ，e <c <e 2，由|ln a |=|ln b |，得ln a +ln b =0，即ab =1，由ln b =2―ln c ，得bc =e 2，于是a +b +e 2c =1b +b +bc c =1b +2b ，由对勾函数性质知，y =1b +2b 在(1,e )上递增，则3<1b +2b <2e +1e，所以a +b +e 2c的范围是(3,2e +1e )．故答案为：(3,2e +1e)15．【解析】（1）由题意，a n =1+12n ―9(n ∈N ∗)，结合函数f (x )=1+12x ―9的单调性，可知a 5>a 6>a 7>⋯>a n >1>a 1>a 2>a 3>a 4(n ∈N ∗)，所以数列{a n }中的最大项为a 5=2，最小项为a 4=0，所以b 2―1=2,b 3―9=0，即b 2=3,b 3=9，所以等比数列{b n }的公比q =b 3b 2=3，所以b n =b 2⋅q n―2=3n―1（2）c n =1a n ―1⋅b n =(2n ―9)⋅3n―1，S n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =(―7)×30+(―5)×31+⋯+(2n ―11)×3n―2+(2n ―9)×3n―1，3S n =(―7)×31+(―5)×32+⋯+(2n ―11)×3n―1+(2n ―9)×3n ，两式相减得：―2S n =―7+2×(31+32+33+⋯+3n―1)―(2n ―9)×3n =―7+2×3(1―3n―1)1―3―(2n ―9)×3n =―10+3n (10―2n )，故S n =5+3n (n ―5).16．【解析】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，且AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PD ⊥PA ，且PA ∩AB =A ，PA ,AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点为O ，连接CO ,PO ，又∵PA =PD ，∴PO ⊥AD ．则AO =PO =1，∵CD =AC =5，∴CO ⊥AD ，则CO =AC 2―OA 2=5―1=2，以O 为坐标原点，分别以OC ,OA ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O ―xyz ，则P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0,―1,0)，C (2,0,0)，则PB =(1,1,―1)，PD =(0,―1,―1)，PC =(2,0,―1)，CD =(―2,―1,0)，设n =(x,y,z )为平面PCD 的一个法向量，则由{n ⋅PD =0n ⋅PC =0，得{―y ―z =02x ―z =0，令z =1，则n =(12,―1,1)．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin θ=|cos ⟨n ,PB ⟩|=n PB =|12―1―114+1+1×3|=33；（3）假设在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD . 设AM =λAP ，λ∈[0,1]，由（2）知，A (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则AP =(0,―1,1)，BA =(―1,0,0)，BM =BA +AM =BA +λAP =(―1,0,0)+(0,―λ,λ)=(―1,―λ,λ)，由（2）知平面PCD 的一个法向量n =(12,―1,1)．若BM //平面PCD ，则BM ⋅n =―12+λ+λ=2λ―12=0，解得λ=14，又BM⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD ，此时AMAP =14.17．【解析】（1）喜欢食堂就餐的人数为100+202=60，则不喜欢的人数为60―20=40人，则不喜欢食堂就餐的女生为40―10=30人，因为男女生人数比为1∶1，则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为50―30=20人，喜欢堂食就餐的男生为50―10=40人，则列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设H 0:假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得H 0:χ2=100(40×30―10×20)250×50×60×40≈16.667>10.828，根据小概率α=0.001的独立性检验推断H 0不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.（2）记事件A ：小林同学星期二选择了①号套餐，事件B ：小林同学星期四选择了②号套餐,P (A )=P (A )=12,P (B∣A )=1―45=15,P (B ∣A )=1―13=23,由全概率公式可得P (B )=P (A )⋅P (B |A )+P (A )⋅P (B |A )=12×15+12×23=133018．【解析】（1）由题意得{9a 2+1b2=12c =42a 2=b 2+c 2解得{a =23b =2c =22，故椭圆C 的方程为x 212+y 24=1.（2）设直线l 的方程为y =―13x +m ，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)由{y =―13x +mx 212+y 24=1得4x 2―6mx +9m 2―36=0，由Δ=(6m)2―144(m 2―4)>0，得―433<m <433，则x 1+x 2=3m 2,x 1x 2=9m 2―364.|MN |=1+19⋅(x 1+x 2)2―4x 1x 2=102⋅16―3m 2=10，解得m =2或m =―2当m =2时，直线l :y =―13x +2经过点P (3,1)，不符合题意，舍去；当m =―2时，直线l 的方程为y =―13x ―2.（3）直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以x 1≠3,x 2≠3，则m ≠0且m ≠2，所以k 1k 2=y 1―1x 1―3⋅y 2―1x 2―3=(―13x 1+m ―1)(―13x 2+m ―1)(x 1―3)(x 2―3)=19x 1x 2―13(m ―1)(x 1+x 2)+(m ―1)2x 1x 2―3(x 1+x 2)+9=19⋅9m2―364―13(m ―1)⋅3m2+(m ―1)29m 2―364―3⋅3m2+9=3m 2―6m 9m 2―18m=13为定值.19．【解析】（1）当m =1时，f (x )=x 3―3x +1，f ′(x )=3x 2―3，切点为(0,1)，切线斜率f ′(0)=―3，故切线方程为y ―1=―3(x ―0)，即切线方程为y=―3x+1.（2）f′(x)=3x2―3m,x∈R，当m≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(―∞,+∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)=0，得x=±m，令f′(x)<0，得―m<x<m，令f′(x)>0，得x<―m或x>m，所以f(x)在(―m,m)上单调递减，在(―∞,―m)，(m,+∞)上单调递增.（3）由（2）知，f(x)有三个零点，则m>0，且{f(―m)>0f(m)<0，即{m2+2m m>0m2―2m m<0，解得0<m<4，当0<m<4时，3m>m，且f(3m)=m2>0，所以f(x)在(m,3m)上有唯一一个零点，同理―2m―1<―m，f(―2m―1)=―8m3―5m2―3m―1<0，所以f(x)在(―2m―1,―m)上有唯一一个零点，又f(x)在(―m,m)上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点，综上可知m的取值范围为(0,4)，由f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，不妨设f(x)=a(x―x1)(x―x2)(x―x3)，其中a≠0，则f′(x)=a[(x―x2)(x―x3)+(x―x1)(x―x3)+(x―x1)(x―x2)]，则1k1+1k2+1k3=1a[1(x1―x2)(x1―x3)+1(x2―x1)(x2―x3)+1(x3―x1)(x3―x2)]∴1k1+1k2+1k3=x2―x3+x3―x1+x1―x2a(x1―x2)(x1―x3)(x2―x3)=0.。

专题4-2 三角函数图像与性质归类目录一、热点题型归纳【题型一】平移1：正弦←→余弦 (1)【题型二】平移2：识图平移 (3)【题型三】平移3：恒等变形平移 (4)【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质 (5)【题型五】平移5：最小平移 (6)【题型六】平移6：求w 最值 (7)【题型七】正余弦函数对称轴 (8)【题型八】正余弦对称中心 (9)【题型九】三角函数周期 (9)【题型十】单调性与最值 (11)【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值 (11)【题型十二】三角函数零点 (12)【题型十三】图像与性质：x1与x2型 (13)【题型十四】三角函数最值 (14)【题型十五】万能代换与换元 (15)【题型十六】图像和性质综合 (15)二、真题再现 (16)三、模拟检测 (178)【题型一】平移1：正弦←→余弦【典例分析】（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则（ ）A ．6π=ϕB ．π4ϕ= C ．π3ϕ= D ．2π5ϕ=1（2023·全国·高三专题练习）已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移24π个单位长度B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度2.（2022·全国·高三专题练习）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移712π个单位长度B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度D ．向右平移724π个单位长度3.（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位D ．向左平移7π24个单位【题型二】平移2：识图平移【典例分析】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫⎪⎝⎭两点，为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像，应将()f x 的图像（ ）A ．向右平移7π6个单位长度 B ．向左平移7π6个单位长度 C ．向右平移5π2个单位长度D ．向左平移5π2个单位长度()++(0)0Asin x b A ，的步骤和方法：确定函数的最大值M 和最小值2M mA ，2M mb； ：确定函数的周期T ，则可2T得＝； ：常用的方法有代入法和五点法． 把图象上的一个已知点代入(此时A b ，，已知)或代入图象与直线y b ＝的交点求解注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．五点法”中的某一个点为突破口．【变式演练】1.（2022·河南·高三阶段练习（理））函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω且0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1C ．－1D ．2.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12-C D ．【题型三】平移3：恒等变形平移【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象（ ） A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（ ）A ．65B ．115C ．15 D ．852.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设()cos 22f x x x =，把()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数()cos 22g x x x =-的图象，则ϕ的值可以为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．0D ．12)+)00((Asin x A ，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。