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等差数列和等比数列的类比(优质课件)

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等差数列与等比数列PPT课件

等差数列与等比数列PPT课件

例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解法1: 如图:a1,a2,a3,a4 等比 (a2)2=a1a3 已知: a1+a2+a3=19 等差2a3=a2+a4 已知: a2+ a3+ a4 =12 a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4 a1=9 a2=6 或 a3=4 a4 =2 a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18
分析: 根据数列{an}是等差数列,通项可写作: an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,
再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17, 于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17, 即得出新数列的公比:q=3 再由 ∴可解出kn,进而求出
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
故
又q=3,d=(1/2)a1
归 纳
1.本题是一个综合型的等差、等比 数列问题，在解题过程中，分清那 一步是用等差数列条件，那一步是 用等比数列条件是正确解题的前提。 2。仔细观察，找到两个数列序号 间的联系，是使问题得解的关键。
提示:
a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2
原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5 (an>0)
2.数列{an}是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110

等差等比数列的证明ppt课件

等差等比数列的证明ppt课件
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）

高中数学 数列与类比---等差数列与等比数列的区别与联系

高中数学 数列与类比---等差数列与等比数列的区别与联系

2
3
4
S奇 S偶

k 1；am k bm

S2m1 ; am
S' 2m1
bn
(2n 1)S2n1 (2m 1)S '2m1
n=2k,S奇-S偶=kd;
S奇 ak . S偶 ak 1
若{an}、{bn}是等比数列，则 { a
{pan·mbn},{c·an},{an-1},{ank},{|an|}{,
[解2] 运用类比推理，对于等差数列{an}和等比数列{bn}： 诸ai之和诸bi之积; 由an+0= an 与bn·1= bn ,有a10=0 b9=1,于是 2×10-1=19 2 ×9-1=17. 故应填 b1·b2·b3… ·bn= b1·b2·b3·… ·b17-n .
练习1.
Hale Waihona Puke ,mn, am+n=
nb n

ma m
,bn=b ,am+n=0; sm=sn,sm+n=0
,sn=msm+n= -(m+n)
am=a ,bn=b
S奇 S偶
q,或S偶
,m
qS奇
n, am+n=
(
bn am
1
）n m
性 质 推 广
n=2k+1,S奇-S偶=ak+1(中项）
在等差数列{an}中，若a20=0,则有等式a1+ a2+ a3+…+ an= a1+ a2+ a3+ …+ a39-n(n38, n N)成立。类比上述性质，相 应地在等比数列{bn}中，若b10=1,则有
等式

等差等比数列类比(共11张PPT)

等差等比数列类比(共11张PPT)

与
在等差数列{ }中，若 =0， a a 等比数列
的类比
n
则a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(0<n<19,n∈N*)，
a +a a + 则 +…+a = a +…+a (0<n<19,n∈N*)， 解：在等1差数列｛2an｝中，由a10＝0，n
1
10
2
19-n
得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
第十一页，共11页。
等差等比数列类比
第一页，共11页。
等差数列 与
等比数列 的类比
第二页，共11页。
例1 ： 题等b 比 n的数 首 b1 列 ,公 项比 q 是 , 为 求该 bn的 数n项 前 列的 Tn. 积
n(n1)
Tn b1n q 2
对比等差数 n项列 和 Sn的 n1a前 n(n21)d,从两个结 运算符号间的 能比 发较 现， 二你 者间 律的 吗变 ？化
则a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(0<n<19,n∈N*)，
类比上述性质，相应地在等比数列{b }中，若b =1， an=a1+(n-1)d
对于各项均正的等比数列 若m+n=p+q,则aman=apaq
n
9
等练则差习数 1有:已列知等等差式数列__，_等_比_数列__成立。
则有等式_______成立。
ab G=
(ab 0)
若m+n=p+q,则 aman=apaq

等差数列与等比数列PPT精品课件_1

等差数列与等比数列PPT精品课件_1
★ 剑竹大批枯死会引起大熊猫大量死亡；
★ 田野中害虫因为青蛙的大量繁殖而减少 …………
得出结论： 气候、食物、敌害等生活环境因素的变 化，对动物的寿命会有较大的影响。
动物还能在这里生活吗？ 这样的污染鱼还能活吗?
４、右图表示昆虫的变态发
育过程，据图回答：
Ａ
（１）图中Ｂ和Ｄ分别表示
__受_精__卵_期和__蛹____期。 Ｂ
成蛙
受精卵
幼蛙
胚胎
蛙的生活周期
蝌蚪
死亡
中年期 青春期
受精卵
儿童期
婴儿期
幼儿期
成蛙 幼蛙
受精卵 蝌蚪
成虫
蛹
受精卵 幼虫
死亡
成虫
受精卵
若虫
蝌蚪和成蛙的比较：
生活环境 运动器官 运动方式 呼吸器官
蝌蚪 水中
鳍
游泳
鳃
成蛙 陆上和水中
四肢
跳跃 肺和皮肤
像青蛙从幼体到成体的发育过程中， 在生活和形态结构上要发生很大的改变，
4.近年来，我国沿海局部海区藻类大量繁殖，出现
了“赤潮”，造成了大量鱼虾死亡的主要原因是C（
A.细菌感染
B.藻类与鱼虾争夺食物
C.水中溶解氧减少 D.藻类产生大量的有毒物质
5.下列各项中，描述了生物的一个完整生命周期的
是（ A ）
A.大豆从种子萌发到开花结果
B.人从婴儿期到成年期
C.受精的鸡蛋发育成能下蛋的母鸡
甲缸是由于自来水中的漂白粉释放的氯气使鱼死亡 乙缸是由于自来水中没有溶解氧使鱼死亡
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 点，在括号内适当的一个数是__3_1__.

等差数列和等比数列的应用教学课件

等差数列和等比数列的应用教学课件

数学建模
等差数列在数学建模中有着广泛的应用，如解决物 理学、工程学等领域的问题。
统计学
在统计学中，等差数列常被用于描述和分析数据， 如时间序列分析、人口统计等。
计算机科学
在计算机科学中，等差数列被用于实现各种算法和 数据结构，如二分查找、快速排序等。
03 等 比 数 列 的 应 用
等比数列在日常生活中的应用
02
等比数列在物理学中 的应用
等比数列在物理学中也有着重 要的应用，例如在研究波的传 播、电磁波的传播等方面。
03
等比数列在经济学中 的应用
等比数列在经济学中也有着广 泛的应用，例如在研究复利、 股票价格等方面。
04
等差数列和等比 数列的交叉应用
等差数列和等比数列的相互转化
01 等差数列与等比数列的定义
储蓄和贷款
等比数列在计算复利、计算贷款利息
等方面有广泛应用。 01
增长率计算
等比数列可以用于计算增长率，例如
预测未来销售额、人口增长等。
03
资产评估
等比数列可以用于计算资产的增长和
折旧，例如房屋、车ຫໍສະໝຸດ 等。 02等比数列在数学和其他学科中的应用
01
等比数列在数学中的 应用
等比数列在数学中有着广泛的 应用，例如在解决几何问题、 组合数学问题等方面。
的应用。
等差数列和等比数列的组合应用题解析
解题思路
掌握等差数列和等比数列的性质，灵活运 用公式，是解决这类问题的关键。
等差数列和等比数列组合
等差数列和等比数列组合在一起，可以形 成多种复杂的应用题。
实际应用
等差等比组合应用题在日常生活和工作中 有着广泛的应用，掌握这类题目的解法十

专题33 等差、等比数列的性质的综合应用(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习


则a4a5a6＝5 2.
3.在正项等比数列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝ 6，则a1a11的值是( A )
A.10 000 B.1 000
C.100
D.10
(2)设函数 f(x)＝12x，数列{bn}满足条件 b1＝2，f(bn ＋1)＝f（－31－bn），(n∈N*).
①求数列{bn}的通项公式； ②设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 和 Tn.
【解析】(1)因为a＝λb，所以12Sn＝2n－1，
Sn＝2n＋1－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2) ＝2n，
1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 an，an＋m，an＋ 2m，…(n，m∈N*)是公差为__m_d____的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
≤49，
∴ak(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列.
则所有ak(k∈M)的和211（11－－4445）＝2101－32
048 .
例4已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，向量 a＝(Sn，
1)，b＝2n－1，12，满足条件 a＝λb，λ ∈R 且 λ≠0. (1)求数列{an}的通项公式；
②cn＝bann＝3n2－n 1，
Tn＝221＋252＋283＋…＋32nn－－14＋3n2－n 1
①
12Tn＝222＋253＋284＋…＋3n2－n 4＋32nn－＋11

高三高考数学复习等差数列、等比数列(共29张PPT)


即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，
即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是
“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、
公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等． 精编优质课PPT江苏省2020届高三高考数学复习
等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
从而 a3×a5＝25×27＝212，所以 log2(a3a5)＝log2212＝12．
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等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，
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精编优质课PPT江苏省2020届高三高考 数学复 习
法二 同法一得a5＝3.
等差数列的等差中项
∴又da＝2a5a＋5－3a8a＝2＝d0⇒2，3anana21＋＝mamaa82＝－0d⇒＝2－a25＋. 2a5＝0a⇒n aa2＝m －(n3. m)d

等差数列与等比数列课件

等差数列与等比数列课件一、引言数学中的数列是一种特殊的数学对象，通过一定的规则和模式，将一系列的数字按照一定的顺序排列起来。

其中，等差数列和等比数列是最常见、最重要的两种数列。

本次课件将重点讲解等差数列和等比数列的定义、性质以及求解方法，帮助同学们更好地理解和掌握这两种数列。

二、等差数列1. 定义等差数列是指数列中的每一项与其前一项之差相等的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

其中，n表示数列的项数。

2. 性质（1）公差的性质：等差数列中，任意两项的差值都等于公差d。

（2）前n项和的计算公式：等差数列的前n项和Sn可通过公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。

（3）等差数列的乘法形式：如果等差数列的公差d=1，那么该等差数列可以转化成乘法形式的等差数列。

3. 求解方法（1）已知首项和公差：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可以直接计算出数列的任意项。

（2）已知首项和末项：根据等差数列的性质，可利用an=a1+(n-1)d和an=a1+(n-m)d的关系求解出公差，从而得到数列。

三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的每一项与其前一项的比相等的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为r，数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。

其中，n表示数列的项数。

2. 性质（1）公比的性质：等比数列中，任意两项的比值都等于公比r。

（2）前n项和的计算公式：等比数列的前n项和Sn可通过公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算。

（3）等比数列的加法形式：如果等比数列的公比r=1，那么该等比数列可以转化成加法形式的等比数列。

3. 求解方法（1）已知首项和公比：根据等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)，可以直接计算出数列的任意项。

（2）已知首项和末项：根据等比数列的性质，可利用an=a1*r^(n-1)和an=a1*r^(n-m)的关系求解出公比，从而得到数列。

等差数列与等比数列.ppt

∴最大值S13=169
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
例10.若a2，b2，c2成等差数列， 且(a+b)(b+c)(c+a)≠0.求证: 1 ， 1 ， 1 也成等差数列.
bc ca ab
分析:
an=a1qn-1
an+1=anq
Sn=na1 (q=1)
Sn=
a1(1 q n ) 1 q
(q≠1)
a1·an=a2·an-1=…
G2=a·b
例1.(1)求等差数列8, 5, 2, ……的第20项.
(2)-401是不是等差数列-5, -9, -13,....
的项?如果是,是第几项?
解:(1)由a1= 8,d=5-8=-3,n=20, a20=a1+(20-1)d=8+19·(-3)=-49
(1 5
S5 )2
1
3
S3
1 4
S4
2
3ad 5d 2
,整理得:
2a
5 2
d
2
解得:
a d
1 0
,
or
a d
4
12 5
,∴
an
1,或an
32 5
12 5
n.
例5.在等差数列{an}中，已知a3=12,S12>0， S13<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…S12，哪个值最大，并说 明理由。
解:(1)p+q=10(a1+an),∴Sn=
(a1 an )n ( p q)n
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我学到了什么？
课堂小结
知识小结
等差数列
+
升级运算
等比数列 乘方 开方 Nhomakorabea降级运算
本质小结


项
概念相通： (1)若an 为等差数列，则 c an (c 0, c 1)为等比数列。
(2)若bn 为正项等比数列，则logc bn (c 0, c 1)为等差数列。

什么类似的表达式？
Tn b1 bn
n 2
b1n q
n ( n 1) 2
倒序相加法 方法类比 等差数列
Sn a1 a2 a3 an
Sn an an1 an2 a1
倒序相乘法 正项等比数列
Tn b1 b2 b3 bn
探究一
问题1. 有一位同学发现：若数列an 为等差数列，则
an an+1 也是等差数列,
他猜想：若数列bn 为等比数列，则bn +bn1 ，
bn bn1 也是等比数列, 你认为呢？
bn1 bn 2 bn1 (q 1) 分析： q为常数 bn bn1 bn (q 1)
(2)若bn 为正项等比数列，则logc bn (c 0, c 1)为等差数列。

bn1 证明： log c q为常数 设bn 公比为q, logc bn1 logc bn logc bn
logc bn 是首项为logc b1 ,公差为logc q的等差数列
即logc bp(qr ) logc bq( r p) logc br ( pq ) =0 logc [bp( qr ) bq( r p) br ( pq) ]=0
bp(qr ) bq( r p) br ( pq ) =1成立
思考
a1 2a2 3a3 nan 1. 数列 an 为等差数列，若bn , 1 2 3 n 则数列 bn 也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比 数列 cn ,若d n _________, 则数列 d n 也为等比数列.
Tn bnb n1 bn2 b1
2Sn n(a1 an )
n( a1 an ) Sn 2 n( n 1) na1 d 2
Tn2 (b1 bn )n
Tn b1 bn
b1n q
运算类比
n 2
n ( n 1) 2
探究三：探究本质
bn bn1是公比为q的等比数列
bn bn1是公比为q2的等比数列
bn1 bn 2 q 2为常数 bn bn1
当q 1时不成立
探究二
问题2. 我们知道 : 等差数列an 的前n项和Sn a1 a2 an n( a1 an ) n( n 1) na1 d 则 Sn 2 2 请同学们研究正项等比数列bn 的前n项积Tn b1 b2 bn有
dn c1 c22 c33 cn
1 n 1 2 3 n

2. 已知数列an 为等差数列,设m, k为正整数, 且m k , kak mam 则am k ; km 类比：若数列bn 为正项等比数列,设m , k 为正整数, 且m k , k km a 则bm k ________ 。 k ; m am
问题3.证明： (1)若 an 为等差数列，则 c an (c 0, c 1)为等比数列。
an1 c a a a d 证明： 设an 公差为d , c 1 0, 且 an c n1 n c 为常数 c

c an 是首项为c a1 ,公比为c d的等比数列
李四光——大庆油田 • 李四光发现东北松辽平原的地 质构造与中亚细亚的地质构造 很相似。 • 中亚细亚有大量的石油蕴藏 • 于是，他推断松辽平原也可能 蕴藏大量石油，经过勘探，发 现了大庆油田。
性质复习
1. 等差数列 an 的前n项和为S n ,若a4 18 a5 , 72 则S8 ______
2
2. 等差数列an 中，a1和a9是方程x 10 x 7 0
的两根, 则a5 ______ 5 3. 等比数列an 中，a1和a9是方程x 2 10 x 7 0
7 的两根, 则a5 ______
1 4. 设 an 是首项a1 64,公比为 的等比数列,对于n N * , 2 6或 7 bn log 2 an ,数列bn 的前n项和Sn取得最大值时,n _____.
思想方法小结
运算 方法
类 比 猜 想 证 明 命 题
伟大的命题来自于美妙的猜想， 美妙的猜想有许多来自于类比。
类比是伟大的引路人。 ——波利亚
波利亚（1887-1985），美籍匈牙利数学家。
2016/12/1
•13
学以致用
问题4. 已知等差数列an 满足(q r )a p ( r p)aq ( p q )ar =0 (q, r , p N * ), 那么正项等比数列bn 有什么性质？
分析： (q r )a p (r p)aq ( p q)ar =0, 设an logc bn (c 0, c 1) 则(q r )logc bp (r p)logc bq ( p q)logc br =0