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等差、等比数列基础知识对照表等差数列等比数列定n+1n =d a n 1=q(q ≠0)a -aa n表达式a1、a1 +d、a1+2d、⋯、a1+(n-1)d ⋯a1、a1q、a1q2、⋯、 a1q n-1⋯通公式a n=a1+(n-1)d=kn+b,a n=a m+(n-m)d a n=a1 q n-1 =C·q n,a n =a m·q n-m前n 和公式判定方法等差（比）中性nn (a 1 a n ) n (n 1) dS= 2 na 1 2=n(a k a n k 1 ) an 2 bn2(1)定法(2)通公式法(3)前 n 和公式法A=a b2(1)m+n=q+p a m+a n=a q +a p特： m+n=2p a m+a n=2a p(2)S m,S 2m-S m,S 3m-S2m成等差(3) a nS2n 1b n T2 n 1(4){an±b } 、{ a } 成等差n n(5)数偶数 2n 的等差数列 {a n}S 奇a nS偶 -S 奇 =nd,an 1S 偶(6)数奇数 (2n-1) 的等差数列{a n}na 1 (q 1)Sn=a1 (1 q n )1(q 1)qS n+1=a1+qS n定法G ba G(1)m+n=p+q a ·a =a ·aqm n p特： m+n=2p 2a · a =am np(2)S m,S 2m-S m,S 3m-S2m成等比· b } 、(3){an± b } 、 { a } 、 {ann n n{a n} 成等比b n(4)若数 n 偶数 2nP偶q nP奇(5)若数奇数 2n-1S2n-1 =(2n-1)a n(a n中 )S奇-S偶=a , S奇nnP奇P偶a nS 偶n 1数列求和的方法：公式法、分 法、并 法、 位相减法、倒序相加法、列 法。
例 1：(1) 数列 {a n } 的前 n 和 S n =3n-2n 2(n ∈N * ), 当 n ≥ 2 ，下列不等式中成立的是( )A ． S >na >naB ．S >na >naC ．na >S >naD ．na >S >nan1nnn11nnnn1(2) 已知数列 {a n } 的前 n 和 S n =a n -1(a ≠ 0), {a n } 是()A ．等比数列B ．等比数列C ．等差等比数列D．既不是等差也不是等比数列(3) 已知方程 (x 2-2x+m)(x 2-2x+m)=0 的四个根 成一个首1的等比数列，4|m-n|=( )A ． 1B ．3C ．1D ．3428例 2：已知 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 和(1)S 3、 S 9、S 6 成等差数列，求 ：a 2、a 8、 a 5 成等差数列；(2) 求 S 1+S 2+S 3+⋯+S n . 例 3：填空(1) 已知等差数列 {a n } 的公差 d ≠0, 且 a 1、 a 3、a 9 成等比数列，a 1 a 3 a 9 =________。
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的项数关系等差数列和等比数列是高中数学中重要的概念，它们在各种数学问题和实际应用中具有广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的项数关系进行总结。
一、等差数列的项数关系等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 + (n - 1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的前n项求和公式等差数列的前n项求和公式是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
2. 等差数列的项数关系对于等差数列，我们常常需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = (an - a1) / d + 1其中，an为第n项，a1为首项，d为公差。
根据等差数列的性质，我们可以通过已知的首项、公差和某一项的值，求解出项数n。
二、等比数列的项数关系等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 * r^(n - 1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的前n项求和公式等比数列的前n项求和公式也是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等比数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
2. 等比数列的项数关系对于等比数列，我们需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = log(an / a1) / log(r) + 1其中，an为第n项，a1为首项，r为公比。
根据等比数列的性质，我们可以通过已知的首项、公比和某一项的值，求解出项数n。
三、应用举例例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，我们需要求出第10项的值。
根据等差数列的项数关系公式，我们可以得知：n = (an - a1) / d + 1n = (a1 + (n - 1)d - a1) / d + 1n = (3 + (10 - 1)2 - 3) / 2 + 1n = 10因此，等差数列的第10项的值为 3 + (10 - 1)2 = 21。
等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。
等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。
—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。
≤d＜3 D.＜d≤36、。
在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。
等差数列、等比数列知识要点：1、数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列。
数列的项不能少于三项，所谓的按一定顺序排列并不是指一定具有某种可用解析式表示的规律。
项与项数不同，数列实质上是一个函数值列，项是函数值，项数是自变量值。
数列与集合有着本质的区别。
数列的项有顺序并且必须是数，各项的值也允许重复至少要有三项；集合中的元素之间无顺序，可以不是数，元素不允许重复并且可以少于三个元素直至没有元素。
数列实质上的就是定义域为N （或N 的形如{1，2，…，n }的有限子集）的函数值列。
应该注意N 的无限子集中除N 外均不能做为数列所对应的函数的定义域，有限子集也必须是规定的形式，比如：{1，3，5，…}、{2，3，4，…，10}等等就不可以。
数列的通项公式()a f n n =，前n 项和公式()S g n n =实质上就是函数解析式。
数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是数列中普遍存在的最基本的关系：S a a a a S a n n n n n n =++++=+≥--12112……()即a S n S S n n nn ==-≥⎧⎨⎩-1112()()。
任意数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间都存在上述关系公式。
很容易知道：a 0、S 0等在数列{a n }中没有意义，因其n 的取值不在定义域中。
此公式说明：知前n 项和S n 一定可求出通项a n 。
递推公式()a f a n n +=1是给出数列的一种方法，应该能根据递推公式写出数列的前几项。
根据需要对数列的项进行变形，对数列进行总体观察会数出项数，通过对比、分析、综合、抽象概括找出规律是数列中最基本的能力，函数与方程的思想在数列中有着广泛的应用。
2、等差数列： 定义中要求a a d n n +-=1（d 为同一个常数，n N ∈）或a a d n n -=-1（d 为同一个常数，n N ∈且n ≥2）。
由a ，A ，b 成等差数列可得出：A a b =+2的结论，其中A 叫a ，b 的等差中项；同时由A a b =+2也可以得出a ，A ，b 成等差数列且b ，A ，a 也成等差数列的结论。
等差数列与等比数列数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
它们分别具有一定的规律和性质，对于理解数学和解决实际问题都有着重要的作用。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
通常用字母a 表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差，n表示项数。
例如，我们可以考虑一个简单的等差数列：3, 6, 9, 12, 15...。
首项a 为3，公差d为3，项数n随着数列的增长而增加。
通过代入通项公式可以得到第n项的数值。
等差数列具有以下性质：1. 等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算，即Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。
2. 若等差数列首项为a，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为a + (k-1)d，其中k为项数。
3. 等差数列中，若两项之差相等，则这两项的中间项也一定属于该等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
通常用字母a表示首项，r表示公比。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
例如，我们可以考虑一个简单的等比数列：2, 4, 8, 16, 32...。
首项a为2，公比r为2，项数n随着数列的增长而增加。
通过代入通项公式可以得到第n项的数值。
等比数列具有以下性质：1. 等比数列的前n项和可以通过求和公式来计算，即Sn = a * (1 -r^n) / (1 - r)（当|r| < 1时）。
2. 若等比数列首项为a，公比为r，则数列中的任意一项可以表示为a * r^(k-1)，其中k为项数。
3. 等比数列中，若两项之比相等，则这两项的中间项也一定属于该等比数列。
综上所述，等差数列和等比数列在数学中都有着重要的地位和应用。
它们的性质和特点不仅仅局限于数学领域，还可以在各个实际问题中得到广泛的应用。
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。
教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。
作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。
等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。
三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。
通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。
教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质等差数列（Arithmetic Progression）和等比数列（Geometric Progression）是高中数学中常见的数列类型，它们在数学和实际问题的解决中起到了重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的求和性质进行总结和讨论。
一、等差数列的求和性质等差数列是指一个数列中每个相邻的两个数之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d等差数列的前n项和（即等差数列的求和）可以通过以下公式来计算：Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2其中，Sₙ表示前n项和。
例如，若我们有等差数列：2，4，6，8，10，则首项a₁为2，公差d为2。
若我们要计算前5项的和，则利用公式可以得到：S₅ = (2 + 10) × 5/2 = 12 × 5/2 = 30所以，该等差数列的前5项和为30。
二、等比数列的求和性质等比数列是指一个数列中每个相邻的两个数之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ × r^(n-1)等比数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ)/(1 - r)其中，Sₙ表示前n项和。
例如，若我们有等比数列：3，6，12，24，48，则首项a₁为3，公比r为2。
若我们要计算前4项的和，则利用公式可以得到：S₄ = 3 × (1 - 2⁴)/(1 - 2) = 3 × (1 - 16)/(-1) = 3 × (-15) = -45所以，该等比数列的前4项和为-45。
以上就是等差数列和等比数列的求和性质的总结。
这些性质在解决数学问题时非常有用，可以帮助我们计算数列的和，从而更好地理解和应用这些数列。
通过掌握这些概念和公式，我们能够更加高效地解决与等差数列和等比数列相关的问题。
高中数学：等差数列、等比数列知识点总结数列基础知识归纳等差数列定义与性质定义：an+1-an=d (d为常数)，an= a1+（n-1）d等差中项：x , A , y成等差数列: 2A=x+y前n项和:性质：{an}是等差数列（1）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ;（2）数列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍为等差数列，公差为n2d ;（3）若三个成等差数列，可设为a-d,a,a+d ;（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn,Tn,则（5）{an}为等差数列，则Sn=an2+bn（a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）,Sn的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界项，即：当a1>0,d<0,解不等式组:可得Sn达到最大值时的n值。
当a1<0,d>0,解不等式组:可得Sn达到最小值时的n值。
（6）项数为偶数2n的等差数列{an},有（7）项数为偶数2n-1的等差数列{an},有等比数列定义与性质性质：{an}是等比数列(1) 若m+n=p+q,则am•an=ap•aq(2) Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 等仍为等比数列，公比为qn注意：由Sn求an时应注意什么？n=1时，a1=S1 ;n≥2时，an=S1-Sn-1求数列通项公式的常用方法求差（商）法叠乘法等差型递推公式答案：等比型递推公式倒数法▍▍ ▍▍。
等差数列等比数列定义a n 1 a n d 〔 d 为常数,n 2〕咄 q 〔q 0,且为 ««,nA2〕 a n公式 a n a n i da n a n 1q通项 公式 a n a i 〔n 1〕d 或 a n a m 〔n m 〕dn 1,c 、一 — 一一n ma na 〔q 〔a 1,q 0〕或 a n a m q中项a, b, c 成等差数列的充要条件： 2b a ca,b,c 成等比数列的充要条件： b 2 ac刖 n项 和芯n a 1a n ① S n —2 小 cn n 1, d 2d② S na --------------- d — n a — n na 〔〔q 1〕 S n a…1qa. a q——0^〔q 1〕 1 q 1 q重 要性 质 ① a na m 〔n m 〕d*②等和性：右mn pq 〔m 、n 、p 、q 〕, 那么 a m a n a p a q*^\-U-*③右 2n p q 〔n 、p 、q〕,贝 U2a n a p a q.④S S s s Sgn m① a n a m q②等积性：右m n p q 〔m 、n 、p 、q〕,那么 a m a n a p a q*\* 2③右 2np q 〔 n 、p 、q〕,那么 a na pa q单 调 性： 设d 为等差数列 a n 的公差,那么d>0 a n 是递增数列；d<0 a n 是递减数列；d=0 a n 是常数数列.a 10,或a 1 0a n 递增数列；q 1 0 q 101M 或q 1 10 a n 递减数列；qq 1 q1q=1 a n 是常数数列； q<0 a n 是摆动数列证 明 方 法 证实一个数列为等差数列的方法：1 .定义法 a n 1 a n d (常数)2 .中项法 a n1a n 12a n (n 2) 3 .通项公式法：a n pn q ( p,q 为常数)4 .前n 项和公式法：sn An 2Bn (A,B 为常数)证实一个数列为等比数列的方法：1 .定义法 a 」q (常数)a n22 .中项法 a n 1 a n 1 a n (n 2)3 .通项公式法：a n A q n (A,q 为不为0的常数)4 .前 n 项和公式法：s nBq nB( q 0,q 1 B 0)设元 技巧 二数等差：a d,a,a d四数等差：a 3d,a d,a d,a 3d三数等比："aaaq 或a, aq,aq2q四数等比：a, aq, aq 2,aq 3、…….一6 (n 1)一、数列的项a n与前n 项和S n的关系：a nS n &i (n 2)注意：忘记对n 取值的讨论！最后,还应检验当n=1的情况是否符合当 n 2的关系式,从而决定 能否将其合并.。
等差数列与等比数列数列是数学中重要的概念之一，它是由一系列按照特定规律排列的数字所组成的序列。
等差数列和等比数列是常见的两种数列类型，它们在数学和实际问题中具有广泛应用。
本文将对等差数列和等比数列进行详细介绍，并探讨它们之间的区别与联系。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）等差数列是指一个数列中的每一项与它前面的一项之差都相等的数列。
这个公差（Common Difference）可以是正数、负数或零。
等差数列的通项公式为：An = A1 + (n-1)d其中，An表示第n项，A1表示第一项，d表示公差，n表示项数。
例如，1，4，7，10，13，...就是一个等差数列，公差d为3。
等差数列的特点是每一项与前一项之间的差值恒定，如果我们知道了等差数列的首项和公差，就可以轻松地计算出其任意一项的值。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(A1 + An)其中，Sn表示前n项和，n表示项数，A1表示第一项，An表示第n项。
二、等比数列（Geometric Sequence）等比数列是指一个数列中的每一项与它前面的一项之比都相等的数列。
这个公比（Common Ratio）可以是正数或负数，但不能为零。
等比数列的通项公式为：An = A1 * r^(n-1)其中，An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比，n表示项数。
例如，2，6，18，54，...就是一个等比数列，公比r为3。
等比数列的特点是每一项与前一项之间的比值恒定，如果我们知道了等比数列的首项和公比，就可以简单地计算出其任意一项的值。
等比数列的求和公式为：Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，A1表示第一项，r表示公比，n表示项数。
三、等差数列与等比数列的区别与联系1. 区别：等差数列中每一项与它前面的一项之差相等，而等比数列中每一项与它前面的一项之比相等。
2. 联系：等差数列和等比数列在数学和实际问题中都有广泛的应用。
