等差数列与等比数列十大例题
例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
11
n a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
27
21026a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（
；n S =n(n-1)
3n+22
⨯=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111
(-)4n n+1
⋅，
所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11
(1-)=
4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*
n N ∈，其中k 是常数．
（I ） 求1a 及n a ；
（II ）若对于任意的*
m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，
12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）
经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42
2.=∴，
即)18)(12()14(2
+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或
例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列
（1）求{n a }的公比q ；
（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有
)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++
由于 01≠a ，故 022
=+q q
又0≠q ，从而2
1
－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得32
12
11=--）（a a 故41=a
从而）
）（（）
（）
）（（n n
n 211382
112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.
()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。 （1）证1211,b a a =-= 当2n ≥时，1111,11
()222
n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项，1
2
-
为公比的等比数列。 （2）解由（1）知1
11(),2
n n n n b a a -+=-=-
当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-21
1
11()()22
n -=++-+
+-
1
11()2111()2
n ---=+
--2211[1()]32n -=+--1521(),332n -=-- 当1n =时，11
1521()1332
a ---==。
所以1
*521()()332
n n a n N -=--∈。
例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n
n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}
12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式
解 由题意知12a =，且()21n
n n ba b S -=-
()11121n n n ba b S +++-=-
两式相减得()()1121n
n n n b a a b a ++--=-
即12n
n n a ba +=+ ①
（Ⅰ）当2b =时，由①知122n
n n a a +=+
于是()()1122212n
n
n
n n a n a n +-+⋅=+-+⋅
()
122n n a n -=-⋅
又1
112
10n a --⋅=≠，所以{}
12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知11
22n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+
当2b ≠时，由由①得
1111122222n n n n n a ba b b
+++-
⋅=+-⋅-- 22n n b
ba b
=-⋅-
122n n b a b ⎛⎫
=-⋅ ⎪-⎝⎭
因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫
-
⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭
()212n
b b b
-=
⋅-
