15、第十五讲 连续数问题

第十五讲规律与归纳无论是在奥数的学习中，还是在日常生活中，我们都会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的认识问题.特别是在奥数学习中，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的变化、庞大数字的计算等等都有一定的规律.只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案. 同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多.〖经典例题〗例1、流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第1993个小球该涂什么颜色？在前1993个小球中，涂黑色的小球有多少个？分析:根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次.这里，给小木球涂色的周期是：5＋4＋3＋2＋1=15.1993÷15=132……13，第1993个小球出现在上面所列一个周期中第13个，所以第1993个小球是涂黑色。

每个周期黑球共有2个，则一共有2×132＋1=265(个).例2、右图的图案表示一个花圃的设计方案，汉字表示每盆花的颜色，请问第7行第5盆花的颜色？第20行第5盆花的颜色？ (从左往右计数)分析：从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄；第7行第5盆花的颜色：1+2+3+4+5+6+5=26(盆)，26÷4=6……2，所以是蓝色；第20行第5盆花的颜色：1+2+……+19+5=195，195÷4=48……3，所以是白色的.例3、在下图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为(共社)，第二组为(产会)．那么，第340组是什么？分析：因为“共产党好”有4个字，“社会主义好”有5个字，4与5的最小的公共倍数是20，所以再连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之和，将重头写起，出现周期循环，而且每个周期是20组数．而340÷20＝17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是(好，好)．〖巩固练习〗练习1：1991年1月1日是星期二，(1)该月的22日是星期几？该月28日是星期几？(2)1994年1月1日是星期几？分析：(1)一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。

高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一第十五讲数论综合提高本讲知识点汇总：一. 整除1. 整除的定义如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a .如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b 不整除a.2. 整除判定(1)尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.(2)截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征.(3)截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.(4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性.3. 常用整除性质(1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c)(2)已知ab |ac，则b |c .(3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ?(4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .4. 整除的一些基本方法：(1)分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.(2)数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.(3)试除法：①除数比较大；②被除数的首位已知(4) 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性?二、质数与合数1. 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数.2. 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ?典型题型一.整除1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；(1)9的考点：乱切法；(2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和.2. 整除性质的使用；3. 整除与位值原理；4. 整除方法在数字谜中的应用.二.质数合数1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性;2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；3. 末尾0的个数问题：层除法.例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?(2)如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？(3)末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？「分析」（1）75可以分解为3和25; （2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答.练习1、（1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374□□口能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例 2.将自然数1, 2, 3,…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键.练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3.已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字.请问：三位数abc 是多少？「分析」分解495=5 X 9X 11,可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可, 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:位数abc是多少?例4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位,然后根据9的整除特性确定其余数字.练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除,去掉末两位之后形成的两位数可以被29 整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5. 72 乘以一个三位数后,正好得到一个立方数? 这个三位数最大是多少？「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数,分解72可以确定质因数的种类, 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数.例6.在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n 1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？「分析」末尾0 的个数决定于2和5的对数,有一对2、5就可以确定一个0,而题目数列中2的个数一定多于5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可.数学王国里的一颗明珠一一梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P 1是素数，则（2p- 1）2（P1）是完美数（Perfect number）.1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论了形如2P1的数（其中p为素数）.梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127, 257时，2p1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1是合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13, 17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31, 67, 127和257）属于被猜测的部分. 不过，人们对其断言仍深信不疑.虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp 2p1 .如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）.2300多年来，人类仅发现47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.作业1.五位数3口0口5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少?2. (1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?3. 201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的0?4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，颗颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲数论综合提高一例7.答案：(1) 30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999详解：(1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7,填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625,填7时，满足条件是30675或39675,所以答案是30675、38625、39675.(2)将六位数补成387999 , 387999除以624余495，所以387999减去495的差387504 一定是624的倍数，所以答案是504.(3)改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931 等于26999.例&答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+ N是9的倍数，即N N 1是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以2满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36.例9.答案：865详解：495 5 9 11，即只要满足是5、9、11的倍数即可?对肓，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的三位数是865.例10 . 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806 ;最大且数字不同，则前三位只能是943,再根据9的整除特性，所以最大是94365. 例11 . 答案：648例12 . 答案：83详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时n为83.练习：练习1、答案：(1) 105372; (2) 220、544 或868; (3) 20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知^0b与3c5分别要被(4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.练习4、答案：最小值是2907;最大是8793作业6. 答案：38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025.7. 答案：(1) 260172 ； (2) 197496简答：(1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a 1 b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a 6, b 7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496.8. 答案：75简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.9. 答案：34简答：易知3421190 352,所以可估算出所求的数为34.10. 答案：900简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5,于是当n 235 30时，n2900为所求答案.。

人教版数学三年级春季第十五讲《搭配二》知识点1、简单排列思考：萱萱买了一本密码笔记本，但是她忘记了密码是多少，只记得是用2，3，4各一个组成的三位密码，那么她最多要试多少次才能打开笔记本?2 3 4步骤：按照从小到大的顺序枚举出所有可能的密码百位是2: 234 243百位是3:324 342百位是4: 423 432一共有_6_种可能的密码萱萱最多要试遍每一种可能的密码那么她最多试_6次。

思考用0，2，3，4组成没有重复数字的两位数，能组成多少个不同的两位数?0 2 3 4步骤：按照从小到大的顺序枚举，从十位是2 开始.十位是2: 20 23 24十位是3: 30 32 34十位是4: 40 42 43一共能组成9个不同的两位数注意;0不能做多位数的首位。

思考:用3，4，8，9组成没有重复数字的两位数，能组成多少十位是奇数的两位数?步骤十位是奇数，那么十位上的数只有可能是3 或9按从小到大的顺序枚举出所有可能的数十位是3: 34 38 39十位是9: 93 94 98一共能组成_6_个十位是奇数的两位数。

小练习用5，6，7组成没有重复数字的两位数，能组成多少个不同的两位数?答案按从小到大的顺序枚举首位是5: 56 57首位是6:65 67首位是7:75 76能组成6个不同的两位数。

练习用0，1，2组成没有重复数字的三位数，能组成多少个不同的三位数?答案：按从小到大的顺序枚举，因为0不能作首位，所以从百位是1开始:首位是1:102 120首位是2: 201 210能组成4个不同的三位数。

小练习用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，能组成多少个位是偶数的两位数?1234答案个位是偶数，那么个位上的数只能是2或者4，分别对个位是2和4的情况进行枚举个位是2:12 32 42个位是4:14 24 34能组成6个个位是偶数的两位数。

笔记部分简单的排列枚举法:先按要求分类，然后按顺序枚举，不重不漏.例题1、用1、2、 3组成没有重复数字的三位数，能组成多少个不同的三位数?【答案】6个123、132、213、231、312、321, 一共6个三位数练习1用0、3、5可以组成6个没有重复数字的三位数，这句话对吗?请说明理由【答案】不对，只能组成4个不同的三位数。

四年级数学班辅导题姓名：连续数问题〈精讲〉一．解题指导：若干个自然数依次差1，这些自然数叫做连续自然数．依次差2的奇数，叫做连续奇数．依次差2的偶数，叫做连续偶数．已知若干个整数按某一规律排成一列为内容的问题，称连续数问题．连续数问题的特点是已知几个连续数的和，而求各数．二．典型例题例1 3个连续整数的和是180，求这三个数分别是多少？例2 4个连续整奇数的和是64，求这四个数．例3 五个连续偶数的和是280，求五个连续偶数中最小的一个？例4 三个连续奇数的和比其中最小的数多16，这三个数中最大的数是多少？例5 在七个连续偶数中，第二个数与第六个数的和是36，求这七个连续偶数各是多少？例6 五个排成一列的整数的和是121，每个数是前一个数的3倍，求这五个数．连续数问题〈精练〉1．七个连续自然数的和是343，求中间数是多少？2．三个连续奇数的和比其中最大的数多72，这三个数分别是多少？3．在六个连续偶数中，第一个数与最后一个数的和是94，求这六个连续偶数各是多少？4．五个连续偶数的和是250，求最小一个偶数．5．六个连续奇数的和是108，求这六个奇数．6．某些自然数的和等于30，那么这样的连续自然数有几组？学校姓名成绩连续数问题〈作业〉1．八个连续奇数的和是736，求最大一个奇数．2．五个连续整数的和是130，求这五个整数．3．四个连续整数的和是242，求这四个整数．4．三个连续自然数的乘积是210，这三个连续自然数各是多少？5．有七个相邻两数之差都是3的连续整数，且这七个数的和是147．这七个连续数中的最大数与最小数各是多少？连续数问题〈附加参考题〉1．十个连续自然数的和是95，第一个数是多少？2．三⑴班56个学生站4行照相，每一行都要比前一行多2人，每行各站多少人？3．某些自然数的和等于18，那么这样的连续自然数有几组？请写出来．4．3＝1＋2，1，2是连续的自然数，10以内的9个数，能用几个连续自然数的和表示出来的数有哪几个？请将它们连同表示式都写出来．35能不能用几个连续自然数的和表示出来？如果能，你能写出几种表示形式，请写出来．参考答案：<精讲>例⒈中间数180÷3=6059，60，61例⒉13，15，17，19例⒊中间数280÷5=56∴最小的为52例⒋16÷2=8∴三个连续奇数为5，7，9；最大数为9例⒌中间数36÷2=1812，14，16，18，20，22，24例⒍1+3+3×3+3×3×3+3×3×3×3=121，121÷121＝1 ∴这五个数为1，3，9，27，81<精练>⒈343÷7=49⒉∵72÷2=36 ∴这三个数分别是35，37，39⒊94÷2=47 ∴这六个连续偶数为42，44，46，48，50，52⒋250÷5=50 ∴最小的一个偶数为46⒌108÷6=18 ∴这六个奇数为13，15，17，19，21，23⒍解：有三组30÷2=15→6，7，8，930÷3=10→9，10，1130÷5=6→4，5，6，7，8<作业>⒈ 736÷8=92∴这8个连续奇数为 85，87，89，91，93，95，97，99∴最大一个奇数为99⒉ 130÷5=26 ∴这5个整数为24，25，26，27，28⒊ 242÷4=60.5 ∴这四个整数为 59，60，61，62⒋ 210=2×3×5×7=5×6×7∴这三个连续的自然数为5，6，7⒌ 147÷7=21 这七个数为12，15，18，21，24，27，30；最大数为30，最小数为12<附加参考题>⒈ 95÷10=9.55，6，7，8，9，10，11，12，13，14⒉ 56÷4=14 ∴每行各占人数为 11，13，15，17⒊ 两组18÷2=9→3，4，5，618÷3=6→5，6，7⒋ 3，5，6，7，9⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+=+=++=+=+=4325494373216325213 35=17+18=5+6+7+8+9=2+3+4+5+6+7+8。

简单的连续数问题
整数按照是否能被2整除，可以划分为两类：是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。

若干个自然数依次差1，这些自然数叫做连续自然数。

依次差2的奇数，叫做连续奇数。

依次差2的偶数，叫做连续偶数。

连续数问题就是研究若干个整数按某规律排成一列为内容的问题，其基本题型就是已知几个连续整数的和，然后求这些数。

1、五个连续整数的和是130，求这五个整数？
2、四个连续整数的和是242，求这四个整数？
3、3个连续偶数的和是180，求这三个数分别是多少？
4、五个连续偶数的和是250，求最小一个偶数?
5、4个连续奇数的和是64，求这四个数？
6、五个连续偶数的和是280，求五个连续偶数中最小的一个？
7、八个连续奇数的和是736，求最大一个奇数？
8、七个连续自然数的和是343，求中间数是多少？
9、十个连续自然数的和是95，第一个数是多少？
10、三个连续奇数的和比其中最小的数多16，这三个数中最大的数是多少？
11、三个连续奇数的和比其中最大的数多72，求这三个数分别是多少？。

数的连续数知识点数的连续数是数学中的一个重要概念，它在算术和代数中都有广泛的应用。

在本文中，我将介绍数的连续数的概念、特性和应用，并提供一些解决与连续数相关问题的方法。

1. 连续数的定义在数学中，连续数是指按照一定的顺序，相邻两个数之间差值相等的一组数。

这个差值通常被称为“公差”。

例如，1、2、3、4 就是一个连续数，公差为 1；5、8、11、14 也是一个连续数，公差为 3。

2. 连续数的特性连续数有一些特性和规律，我们可以通过这些特性来解决具体的问题。

a. 连续数的个数：对于一组连续数来说，我们可以通过给定的首项、末项和公差来确定其个数。

一个常用的公式是：“连续数个数 = (末项 - 首项) / 公差+ 1”。

例如，从 1 到 10 的连续数，首项为 1，末项为10，公差为 1，因此连续数个数为 (10 - 1) / 1 + 1 = 10。

b. 连续数的和：我们可以通过求连续数的和来解决一些与连续数相关的问题。

对于一组连续数来说，其和可以通过首项、末项和个数进行求解。

一个常用的公式是：“连续数的和 = (首项 + 末项) * 个数 / 2”。

例如，从 1 到 10 的连续数，首项为 1，末项为 10，个数为 10，因此连续数的和为 (1 + 10) * 10 / 2 = 55。

c. 连续数的平均数：连续数的平均数可以通过首项和末项的平均值来求解。

例如，从 1 到 10 的连续数，首项为 1，末项为 10，因此连续数的平均数为 (1 + 10) / 2 = 5.5。

3. 连续数的应用连续数在数学中有广泛的应用，特别是在代数和数列中。

以下是一些与连续数相关的典型问题的解决方法：a. 求解连续数：给定首项、末项和个数，可以使用前述的公式求解连续数。

b. 求解连续数的和：给定首项、末项和个数，可以使用前述的求和公式求解连续数的和。

c. 求解缺失项：如果已知一组连续数中有一个或多个缺失项，可以通过已知项和缺失项的个数来计算缺失项的值。

连续数的整除问题连续数的整除问题文/黄占松来源：小学数学教师解答连续数的整除问题，一般要借助一个数的整除知识和解题技巧，尽可能地把求几个数的问题转化成求一个数的问题。

我们首先来看一道具体问题：例1 三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。

（1994年小学数学奥林匹克竞赛总决赛二试A卷）解15，17和19这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和19所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数。

15，17和19的最小公倍数是15×17×19=4845,4845+15=4860能被15整除，4845+17=4862能被17整除，4845+19=4864能被19整除，所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到2430，2431，2432，它们也一定能分别被15，17，19整除。

解答完了这道竞赛题，我们再来考虑它的一般情况，即：求出三个连续自然数，使得这三个数依次分别能被a,b,c整除（a,b,c均是不为0的自然数）。

一、这样的一组自然数一定存在吗？我们知道，在三个连续自然数中，相邻的两个数相差1，不相邻的两个数相差2，所以相邻的两个数一定互质，不相邻的两个数至多只能有公有质因数2。

这样我们就可以得到结论：如果任意两个除数有大于2的公因数，或相邻的两个除数有公因数2，则一定不会存在符合要求的三个连续自然数。

请思考是否存在符合要求的从小到大的三个连续自然数，使它们依次能被下列三个数整除。

（1） 2，4，8 （2） 7，10，13（3） 4，6，9 （4） 6，11，17（5） 5，10，13 （6） 4，9，25（第（1）、（3）、（5）不存在符合要求的三个连续自然数，第（2）、（4）、（6）存在符合要求的三个连续自然数。