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基本不等式高三复习优质课件

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第四节基本不等式课件高三数学一轮复习

第四节基本不等式课件高三数学一轮复习

基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

高三数学一轮复习公开课课件基本不等式多维探究共14张PPT.ppt

高三数学一轮复习公开课课件基本不等式多维探究共14张PPT.ppt

xy x y
xy
即a2 26a 25 ，0 解得
，1 当a且仅25当 等号成立y 6x
经检验：当x
5
，y 1时5 ，
当a； 25,
2
x 1时y， 3 10 5
a 1
函数f (x, y) 4x y的最大值为25，最小值为1.
【评注】本题我们是通过构造“两个整体”，即 将所求函数作为一个整体，结合题设条件再得一 个整体,通过把两个整体相乘和换元，由基本不等 式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体 现了整体处理的思想与构造的方法.
函数
是题设条件等式左边中某两项和，可
以运用整体处理的思想即通过换元来处理.
解答：设 4x
a(26 a)
y 则a
(4x y)(
1
1 x9 )
9 y
， 26 a 13 y
x
36x
0, y
13
0
2
,所以 y 36x 25
xy
xy
xy
a(26 a) (4x y)(1 9) 13 y 36x 13 2 y 36x 25
3、椭圆中的最值：
4
2
3
1
四、小结与课后思考
（当且仅当a b时等号成立）
1、 本 节 课 主 要 内 容
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值. （2）两个正数和为定值，积有最大值.
3、基本不等式的适用条件：一正二定三相等
思考题:若直线 ax by 1 0 平分圆 C：
x2 y2 2x 4y 1 0 的 周 长 且
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2
＋
b
＝
＋ b ≥2
2


＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1

＝
，
2

��
2
＝，

即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则

的最大值为

1 .
⁠
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于

＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4

基本不等式(共43张)ppt课件

基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

解析：选B.任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
+
+
价为元/升，第一种方案的均价：
=
≥ ；第二种方案的




均价： =
≤ .所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故
+
+
��
选B.

2.设等差数列{ }的公差为,其前项和是 ,若 = =
+

− +
+
+
= + ，即 =
=

+
+

，

−
+
<<


，
+ − ≥ − = ，当
= 时，取等号，故 + 的最小值为2.
方法三：因为 + + = ，所以 + + = ，所以
+ 取得最小值

⑧_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.

1.



+ ≥ （,同号）.
+

2. ≤
+
3.

4.
≥
+

, ∈ .
+

≥
+

≥
, ∈ .
> , > .
1.函数 =

+

+ + ，
+ + − ≥ ，即
+ + + − ≥ ，解得 + ≥ ，

基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习

基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习

核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1

C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4

(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2

A．


+ ≥2

BC

[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]

D．
2
≤
+

4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，

2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，

2
+
的最小值为3＋2
−1
−1

高考数学复习-《基本不等式》

高考数学复习-《基本不等式》
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） a b 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
精选课件ppt
4
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
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5
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
精选课件ppt
7
例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
精选课件ppt
8
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
§3.4基本不等式: ab a b
2
精选课件ppt
1
ICM2002会标
精选课件ppt
赵爽：弦图
2
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
精选课件ppt
3
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
A、 yx5(xR,x0) 5x
C、 y3x3x(xR)
B、ylgx 1 (1x10) lgx

2025届高中数学一轮复习课件《基本不等式》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《基本不等式》ppt
(2)2a＋a＋3 b＋a－2 b＝(a＋b)＋(a－b)＋a＋3 b＋a－2 b，∵a>b>0，∴a＋b＋a＋3 b≥2 3，
当且仅当 a＋b＝ 3时等号成立，a－b＋a－2 b≥2 2，当且仅当 a－b＝ 2时等号成立，联
立aa－＋bb＝＝
3， 2，
a＝ 解得
b＝
3＋ 2
3－ 2
2， 2，
a＝ ∴当
高考一轮总复习•数学
第25页
维度 3 常数代换法求最值
典例 3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知 p，q 为正实数且 p＋q＝3，则p＋1 2＋q＋1 1的最
小值为( )
A．23
B．53
C．74
D．95
(2)(多选)(2024·山东菏泽模拟)已知 a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，则下列说法正确的是( )
高考一轮总复习•数学
第17页
(3)当 x≥2 时，易知 y＝4x－2＋4x－1 5单调递增， x≥2 时，函数的单调性怎么确定呢？转化为复合函数. 即：y＝t＋1t ＋3，t＝4x－5，这 里 t≥3. 由复合函数易知其单调递增． ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139.
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 基本不等式a＋2 b≥ ab 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 算术平均数 ， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ．
高考一轮总复习•数学
当且仅当1a＝1b，即 a＝b＝2 时，等号成立，故 A 错误；因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＝ (a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝2 时，

基本不等式高三复习优质精品PPT课件

基本不等式高三复习优质精品PPT课件

9 ，
2
.
设x，y
为正数,则
的最小值为 _____ .
x
y
1 x
4 y
继续探究
1.函数y x 1 ( x 0)的最小值为____. x
2.函数y x(4 x)(0 x 4)的最大值为 __ .
a+b 2 ab
ab (a+b )2 2
当积ab为定值M时,和a+b有最_小__值:_2__M_; 当和a+b为定值N时,积ab有最_大__值:__( N_2_)2.
过定点A,若点A在直线 x y 1(mn 0)上 mn
则m+n的最小值为3____2___2_.
例4.已知a
b
c,n
N
,
a
1
b
b
1
c
a
n
c
,
求n的最大值。
4
小结
与函数法相比，使用基本不等式 求最值往往快捷的多，特别是处理一 些多元问题，其缺点是较灵活，且限 制条件多，使用时大家要谨记： “一正，二定，三相等”的要诀。
问题 1 .回顾探索基本不等式
代数证法. 证法 1 : 比较法
ab a b 的 2
a b ab 1 a b 2 a b
2
1
a
2
b 2 0.
ab a b .
2
2
证法 2 : 分析法
只要证
要证
ab a b 2
a b 2 ab 0,
只要证
2
a b 0.
只要证 2 ab a b, ab a b .
的最大值为___2___2.
例2.已知x>0,y>0,且x+y=1，求 1 4 的最小值 xy

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
+


+
则

所以
<


+



<
−
−
< <
<

+

−
−

<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+

基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和


( − ) 的最大值


( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件

重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +

当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法


的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =

+


，求

复习课基本不等式ppt课件

复习课基本不等式ppt课件

答: (1)仓库表面积S的最大允许值为100米2；
(2)正面铁栅应设计为15米。
探究题二
甲、乙两电脑批发商一次在同一电脑耗材厂以 相同的价格购进电脑芯片。甲、乙两家分别购 芯片两次，每次的芯片价格不同，甲每次购买 10000片芯片，乙每次购10000元芯片。两次 购芯片，哪一家平均成本低？请给出相应的证 明。
1、掌握并熟练应用两个基本不等式是重点
在近几年的高考中,多次出现公式a2+b2≥2ab(a，b∈R)和 a b ab（a，b≥0） 2
及其变形的应用，特点是随着应用能力考查的加强，均值定理求最值、范围以及一些 实际应用性的考查已经成为高考编拟考题的热点。如前面的第3题，利用基本不等式解 题最为简捷。
基本不等式考点：
1、利用基本不等式求解有关范围、函数 最值问题；
2、利用均值不等式解决以生活为背景的 应用问题。
谢 谢 ！
高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方 米造价20元，试计算： （1）仓库表面积S的最大允许值为多少？ （2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么 正面铁栅应设计为多长？
解：设铁栅长为 x 米，一堵砖墙长为 y 米，则S=xy米．
例题选讲
例1、设x，y为正实数，且xy－（x+y）=1，则（ ）
A.x y 2( 2 1); B.x y 2( 2 1); C.x y ( 2 1)2; D.x y ( 2 1)2;
探究题一
求函数 y = x2+ 1 (x＜0)的最大值 2x
例题选讲
例２：某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），
ab 2
ab还可以得到以下常用结论

数学高考总复习重点精品基本不等式-63张市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

数学高考总复习重点精品基本不等式-63张市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

思想措施技巧
解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放 缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利 用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不 等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、 添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号 成立的条件．
答案：A
点评：关于不等式的解集，不等式的一些关系式，用特值 法有时会简捷获解．例如本题中可取甲、乙两地距离为 4，a ＝1，b＝2 检验.
利用基本不等式求最值
[例 2] (1)已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，求 xy 的最小值． (2)若 x、y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0.求 x＋y 的最小值． 分析：(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋y 用一个变量表示，再配凑出 能运用基本不等式的条件．
3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类常见 的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等 丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题的基本思路是 转化为求函数的最值或函数值域的问题．
考点典例讲练
利用基本不等式比较大小
[例 1] 已知 b>a>0，且 a＋b＝1，那么( )
走向高考·数学
人教B版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第七章 不 等 式
第七章
第二节 基本不等式
3 考点典例讲练 4 课堂巩固训练 5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握．
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b 2 2.a 0, b 0, a 1, 求a 1 b 的最大值. 2
2
2
1 a 9 3 .已知不等式 x y x y 对任意 正实数 x , y 恒成立,则正实数 a 的最小 值为______________ .
4
4 .已知 x, y, z R , x 2 y 3z 0.则 2 y 的最小值为 __________ . xz
1 1 n 例4.已知a b c , n N , , ab bc ac 求n的最大值。
4
小
结
与函数法相比，使用基本不等式 求最值往往快捷的多，特别是处理一 些多元问题，其缺点是较灵活，且限 制条件多，使用时大家要谨记： “一正，二定，三相等”的要诀。
思考：
4 9 1.在“ 1” 中的方框内分别填上一个自然数， 口 口 并使它们的和最小。
分析法
只要证


证法 3 : 对于正数 a , b , 有
综合法

a b

2
0.
证法回顾
a b 2 ab 0,
2 ab a b, ab ab . 2
1 . 比较法 2 . 分析法
3 . 综合法
小试牛刀
1 1 .已知 x, y R ,且 x 4 y 1 ,则 x y 的 最大值为 __________. 16
y sin 2 x sin x
2
1 (1) 求函数 y x ( x 0)的最大值; 2x
最小ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为?
体会：利用基本不等式求最值关键是： 考察“正”，构造“定”，检验“=”！
练习:1.若a+b=2,则2 2 的最小值为______. 4
a b
x+1 2.已知x (-1,+ ),函数y= 2 x 5x 6 的最大值为_______. 32 2
3.设a 0, b 0, 且a b 1, 则 2a 1 2b 1 的最大值为______. 2 2
1 4 例2.已知x>0,y>0,且x+y=1，求 的最小值 x y 并求指出相应的x,y的值.
1 2 当x , y 时,原式取得最小值9. 3 3 变式练习：
问题 1 .回顾探索基本不等式
代数证法. 证法 1 : 比较法
ab 的 ab 2
ab 1 ab a b 2 a b 2 2 ab 2 1 . a b 0. ab 2 2




证法 2 : 要证 只要证
2
a b a b 2 ab 0, ab 2 只要证 2 a b 0. ab ab a b, ab . 2
1 4 2 . 设x，y 为正数,则 x y x y
，
的最小值为 _____ .
9
1 究 继 1.函数y x ( x 0)的最小值为____. x 续 探 2.函数y x(4 x )(0 x 4)的最大值为 __ .
a+b 2 ab ( ) a+b 2 ab 2 小 值:____; 2 M 当积ab为定值M时,和a+b有最___ N 2 大 值:____. ( ) 当和a+b为定值N时,积ab有最___ 2
这是基本不等式的推广，即：积定和最小， 和定积最大。 适用范围是： “一正、二定、三相等”
例 1.利用基本不等式解决下列各题：
4 x( x 3)的最小值; 2 求函数y x3 3 求函数y x(a 2 x)( x 0,4a 2 x,
a 为常数 ) 的最大值 .
1 9 求 的最小值 2 2 cosθ sinθ
2 2
16
a b 0 x 1的最小值 求 x 1x
2 (|a|+|b|)
例3.函数y log a ( x 3) 1(a 0且a 1)的图像 x y 过定点A,若点A在直线 1( mn 0)上 m n 则m+n的最小值为3 ________. 2 2
*
3
基本不等式及其应用
a+b ab （a 0，b 0） 2
考纲要求：C级
知识回顾 :
1 若a , b∈R，那么 a b ( 当且仅当 a = b 时, 取 “ = ” 号 )
基 本 不 等 式
2+
2 ≥2ab
若a>0 b>0 a+ b 那么 ab 2
2
两个正数的算术平均数不小 于它的几何平均数 .