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高二数学基本不等式求最值PPT优秀课件

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高考数学基本不等式求最值课件 新人教版

高考数学基本不等式求最值课件 新人教版

(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值: 二不定,需变形
例二. 函数y=x 1 (x ≥ 0)的最小值为___1___,此时x=__0____. x 1
解: x0, 1 0
x1
y x 1 x1
x
1
x
1 1
1≥2-1=1
当且仅当 x1 1 即x0 时取“=”号
例三.求函数 y x 2 5
错解:
x2 4
的最小值.
y x25 x241 x2 4
x24
x24
当且仅当 x2 4 1 时取等号 x2 4
1 2
x2 4
h
7
2.应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
x1
练习 :1.求函数 f(x)(x1)24(x1) 的最小值. x1
练习 :2.求函数 f(x)x23x1(x1) 的最小值.
x1
练习 :3.求函数 f(x)x 4 (x4) 的最小值. x1
h
6
2.应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
(1)利用均值不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
一正,二定,三相等
h
2
二、应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
练习1)若x>0,f(x)= 12 3 x 的最小值为__1__2___;此时x=__2_____

基本不等式与最值课件教学课件

基本不等式与最值课件教学课件

排序不等式的证明
可以通过数学归纳法和排序性质证明 。
排序不等式的应用
在优化理论和线性规划中，排序不等 式常常被用来解决一些线性规划问题 。
04
基本不等式的实际应用
投资组合问题中的基本不等式应用
总结词
在投资组合问题中，基本不等式可以用于确定最优投资策略，即如何在给定风险水平下最大化预期收益，或在 给定预期收益水平下最小化风险。
物理定义
对于两个电阻$R_1$和$R_2$，并联电阻$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \leq \frac{R_1 + R_2}{2}$，当且仅当$R_1 = R_2$时等号成立。
基本不等式的性质
非负性
基本不等式的左边是一个平方和，右边是一个平方根，所以左边总是大于或 等于右边。
利用基本不等式求最值
在极值的基础上，通过比较不同情况下的结果，找到最大或最小值。
掌握基本不等式的证明方法
利用导数证明基本不等式
通过求导数，找到函数的极值点，并证明在极值点处函数取得最小值。
利用定义证明基本不等式
通过比较两个数的差的符号，证明两个数之间的关系。
06
基本不等式的实际案例分析
案例一
总结词
案例三：资源分配问题中的基本不等式应用
总结词
在资源分配问题中，基本不等式被用来确定各部门的资源分 配比例，以实现资源利用效率的最大化。
详细描述
基本不等式在资源分配问题中的应用主要体现在对各部门资 源需求的权衡。通过使用基本不等式，我们可以找到一种最 优的资源分配方案，使得在满足各部门资源需求的前提下， 实现资源利用效率的最大化。
如果$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数

基本不等式与最值课件

基本不等式与最值课件
基本不等式可以用于确定几何形状（如矩形、圆、椭圆等）的最 大或最小面积或体积。
几何图形的性质
基本不等式可以用于证明或推导几何图形的性质，例如三角形的不 等式定理。
几何优化问题
基本不等式可以用于解决几何优化问题，例如在给定周长的条件下 ，求矩形面积的最大值。
在代数中的应用
01
02
03
代数表达式的简化
举例
算术平均数-几何平均数不等式（
AM-GM不等式）是基本不等式
之一，它表明对于任意非负实数x
和y，有$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
基本不等式的性质
传递性
01
如果a>b且b>c，则a>c。
加法性质
02
如果a>b，则对于任意正实数m，有a+m>b+m；对于任意负
实数m，有a+m<b+m。
总结词
利用基本不等式求最大利润
详细描述
在最大利润问题中，常常需要通过建立数学模型，利用基本不等式来求解最大 利润。例如，在生产成本和销售价格一定的情况下，可以通过不等式求出最大 利润。
பைடு நூலகம்小成本问题
总结词
利用基本不等式求最小成本
详细描述
在最小成本问题中，可以利用基本不等式来求解最小成本。例如，在运输问题中 ，可以通过建立数学模型和利用基本不等式来求出最小运输成本。
基本不等式与最值课件
汇报人： 2023-12-27
目录
• 基本不等式的概念与性质 • 基本不等式的证明方法 • 基本不等式的应用 • 最值的求解方法 • 最值在实际问题中的应用
01
基本不等式的概念与性质

基本不等式求最值课件

基本不等式求最值课件
证明方法一
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。

高中数学《利用基本不等式求最值》公开课精品PPT课件

高中数学《利用基本不等式求最值》公开课精品PPT课件

(2) 过一个点有__无__数__条__条直线.
y
.
.
y
.
o
x
ox
确定直线位置的要素除了点之外,还有
直线的方向,也就是直线的倾斜程度.
5
1.直线倾斜角的定义：
当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正
向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
y
注意:(1)直线向上方向
a
O
x
(2)x轴的正方向
1、日常生活中，还有没有 表示倾斜程度的量？
坡度（比）
升高量 前进量
斜坡
平面直角坐标 系中的直线
坡角
直线的倾斜角
坡度
直线的斜率
2.定义：直线倾斜角的正切叫做这 几何画板
C
条直线斜率。斜率通常用k表示，
即：
k tan
直线的倾
a
[0,

)

(
,
)
2
2
斜角和斜
升
3.直线的倾斜角与斜率的关系：

2 4

1; 2
直线CA的斜率
kCA

1 2 03


3 3

1;
由
k AB
0
及
kCA

0
知，直线AB 与CA的倾斜角
பைடு நூலகம்
均为锐角,由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别
为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x

基本不等式与最值PPT精品课件

基本不等式与最值PPT精品课件
2
和 y x(3 2x) 的最大值;
利用上述命题求最大值或最小 值时,应注意:
1. x, y一定要是正数; 2. 求积 x, y 最大值时, 应看和 x y 是否为定值;求 x y 最小值时, 看积 xy 是否为定值;
3.等号是否成立.
例2 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间. 一面可利用原有的墙, 其它各面利用钢筋网围成.
谷类
常见食物 米饭
豆类及其制品 蔬菜、水果类
直接来源
常见食物 牛肉
肉类
直接来源 牛
间接来源 牛所食用的草
奶类、 蛋类
讨论：
• 1 人类的食物与绿色植物有什么关系？ • 2 如果地球上没有了绿色植物，人类
还能生存吗？
想一想
• 许多植物的根、茎、叶、花、果实和 种子可以直接被我们食用，你能各举 一例吗？
的命题成立：(1)若 x 源自y s (和为定值), 则当 x y 时, 积 xy 取得最大值 S 2 ;
4
(2)若 xy p(和为定值), 则当
x y 时, 和 x y 取得最小值 2 p .
例题1
(1)求函数 y 3x 3x 的最小值; (2)已知 0 x 3 ，求函数 y 2x(3 2x)
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的
长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大 ?
（2）若使每间虎笼面积为 24 ㎡，则每间虎 笼的长、宽各设计为多少时, 可使围成四间虎笼
的钢筋网总长最小 ？
练习1 某种变压器的截面是正十字形, 为了保证 有一定的磁通量, 需要确定面积, 如果十 字形芯片的截面积为4 5 , 应如何设计十
字形的长 x 及宽 y , 才能使十字形外接圆
的周长最短.

《基本不等式》公开课教学PPT课件【高中数学】

《基本不等式》公开课教学PPT课件【高中数学】
是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂
A
直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
a O C b B
ab
①如何用a, b表示OD? OD=______
2
E
②如何用a, b表示CD?
CD=______ab
③OD与CD的大小关系怎样?
ab
≥ ab
2
≥
OD_____CD
＞
几何意义：半径不小于弦长的一半
都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重
2 + 2
要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
，
2
+ 2
ab≤（ ） .
2
课程讲解
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函
数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的
一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数
课程讲解
填表比较：
2
a b ≥ 2 ab
ab
≥ ab
2适用范围
文字叙述
“=”成立条
件
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不
小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
注意:从不同角度认识基本不等式
a=b
课程讲解
例1
1
已知x>0，求x＋ 的最小值.

1
1
1
分析：求x＋ 的最小值，就是要求一个y0（=x0＋ ），使∀x>0，都有x＋ ≥y.观
可得到什么结论？
课程讲解
问题一
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a , b,

利用基本不等式求函数的最值PPT课件

利用基本不等式求函数的最值PPT课件
即x=y时，和取得最小值________
热身练习
问题探究
解：0 x 1 3
1 3x 0
y
x(1 3x)
1 3x (1 3x) 3
1 3
3x
(1 3x) 2 2
1 12
,
当且仅当3x 1 3x,即x 1 时取等号 6
x 1 时，函数取得最大值 1
6
12
变式：
巩固练习
设0 x 2,求函数f (x) 3x(8 3x)的最大值， 并求出相应的x的值。
利用基本不等式 求函数的最值
学习目标
1、掌握利用基本Hale Waihona Puke 等式求一 些函数的最值知识链接
1、定理1：________ 2、定理2：________ 3、已知x,y都是正数 ① 若x+y=s(和为定值)，则xy≤________，
即x=y时，积取得最大值________ ② 若xy=p(积为定值)，则x+y≥______,
This class is over, but the study is not over. I hope you can enjoy learning in your life and learn more and more
3已知xy都是正数若xyp积为定值则xy即xy时和取得最小值绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件12时函数取得最大值时取等号绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件巩固练习并求出相应的的最大值求函数绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件利用基本不等式求函数的最值的步骤

陕西省高二数学《基本不等式与最值》课件 沪教版

陕西省高二数学《基本不等式与最值》课件 沪教版

12 12 f (x) 3x 2 3x 12 二定 x x
5 5 f (x) 2 log 2 x 2 2 log 2 x 2 2 5 log 2 x log 2 x 注意:各项必须为正数 一不正, a 0, b 0时常用a b 2 ab 正解: 5 0 x 1 log2 x 0 f (x) 2 log 2 x 2 2 5 log 2 x 5 5 当且仅当log 2 x ,即x 2 时, f (x) 2 2 5 max log 2 x
注意:各项必须为正数
一不正, a 0, b 0时常用a b 2 ab
5 0 x 1 log2 x 0 f (x) 2 log 2 x 2 2 5 log 2 x 5 5 当且仅当log 2 x ,即x 2 时, f (x) 2 2 5 max log 2 x
解:
教师讲解
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用基本不等式求函数最值: 二不定, 需变形
1 1 此时x=______. 0 例一. 函数y=x (x ≥ 0)的最小值为______, x 1
解:
1 x 0, 0 x1 1 1 x 1 1≥2-1=1 y x x1 x1 1 x 1 即x 0 时取“=”号 当且仅当 x1
二不定, 需变形 三不等, 常用单调性
1 1 例三.已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
解：1 2x y 2 2xy
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
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2021/02/25
13
已a， 知 b R ，a 且 2b1 ，1求 1的最 . 小 ab
解 法 a,b 一 R , ： a12 ， 2 b122
a
b
11
11
(a2 b)( )222, 221
ab
ab
解 法a 二 2 b1 及 ： a 、 b 由 R ,11(a2 b)1 (1)
ab
ab
22 ab 21, 11的最4小 2. 值为 aba b
的最小值.
错解:
2 yx25x241 x2 4 1
x24 x24
x2 4
当且仅当
x2 4 1 时取等号 x2 4
小结：利用均值不等式求函数最值应注意: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
一正,二定,三相等
3.求函数
y x2 5的最小值. x2 4
2(xy)（从而 xy ）最小。
小结：
对于两个正实数 x, y ，
如果它们的和S是定值，则当且仅当 xy时， 它们的积P取得最大值。
（定和求大积）
如果它们的积P是定值，则当且仅当 xy时，
它们的和S取得最小值。
（定积求小和）
练习：
1)若x>0,f(x)= 12 3x 的最小值为___1_2___; 此时x=___2____. x
解法 三 11： 2 1，当且 ab 仅 时 "当 "成,立 a b ab
又 a2b1,ab1,112 3 ab
1 1
6.
9
正确解法一 “1”代换法
正确解法二 三角代换法
还有其它方法 吗？
例3：已知 x,yR, 且 1 9 1, 求：x+y的最
小值?
xy
解 1 ： 1 9 1 y9 x 0 x 1 0
xy
x 1
xyx9x x 9 (x 1 ) 9 (x 1 )9 10
x1
x 1
x 1
2 91016
解 2:xy(xy)1 (9) 191y9x102916
xy
xy
还有其他方法 吗？
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
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依据: 利用函数 y t 1 (t>0)的单调性.
t
t(0,1] 单调递减
三 不 等 ,常 用 单 调 性
t[1,) 单调递增
正解: x25 x241
y
x2 4
x24 x24
令t x2 4
则yt1 (t2) t
当 t2 ,即 :x0 时 ,ym in5 2
1ห้องสมุดไป่ตู้x2 4
例2：
阅读下题的各种解法，指出有错误的地方
课前练习：
(1)设 a, b R , 且 a b, 求证：a b 2;
ba
(2)设a,b,c是不全相等的正数， 证求 ： (ab)(bc)(ca) 8abc
典型例题：
例1：求证： （1）在所有周长相同的矩形中，
正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，
正方形的周长最短。
分析：设矩形的长为 x，宽为 y，那么该矩形的周长 为2(xy)，面积为 xy ，这样问题就转化为： （1）如果2(xy)（从而 xy ）为定值，那么 正数 x,y 有什么关系时，xy 最大。 （2）如果 xy为定值，那么正数x,y 有什么关系时，
若x<0,f(x)= 12 3x 的最大值为__-_1_2___; x
此时x=__-_2____.
2. 函数y=
x
1 x 1(x
≥
0)的最小值为___1___,此时x=__0____.
解:
y x 1 x1
x1x1 11≥2-1=1
当且仅当 x1 1 即 x0 时取“=”号
x1
3.求函数
y x2 5 x2 4