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§3.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.学习过程一、课前准备（预习教材P 93~ P 96，找出疑惑之处）复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件.※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值；(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0 (4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.※ 动手试试练1. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升※ 学习小结1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.※ 知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+-3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为课后作业1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？（2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？2. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.。
5.3.2函数的极值与最大（小）值一、内容和内容解析 1.内容函数极值的概念和极值的求法，以及求极值与导数的关系. 2.内容解析本节课要学的内容首先是函数极值的概念和极值的求法，以及求极值与导数的关系，其关键是函数极值的判断方法和求函数极值的步骤,理解它关键就是要掌握函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.学生已经掌握了导数的基本概念和利用函数图像观察分析函数的性质，本节课是先用导数的方法来研究极值和导数的关系，再用极值来研究函数的性质是对函数研究的深化与提升.本节课的内容函数的极值与导数就是在此基础上的延伸.解决重点的关键是理解函数的导数的概念和了解函数图象的基本性质.结合以上分析，确定本节课的教学重点：利用导数求函数的极值与最值. 二、目标和目标解析 1.目标（1）理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； （2）掌握求可导函数的极值的步骤. 2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；（2）掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法，利用导数求函数的极值和最值；了解可导函数极值点0x 与0)(0='x f =0的逻辑关系；（4）学生会运用导数的基本思想去分析和解决问题的能力． 三、教学问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对极值的理解和求极值的方法，产生这一问题的原因是极值概念比较抽象，会跟最值有混淆。
要解决这一问题，就要采用数形结合的方法重点研究出极值的概念和求极值的方法，需要认真细致的分析出概念，从而总结出求极值的方法，其中关键是对极值概念的理解.要解决这一问题，结合学生的知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法，通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养.本节课的教学难点是0x 为极值点的充要条件为0)(0='x f 且该点两侧的导数值异号. 四、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题问题1：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？问题2：观察图，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大附近函数的图像，如图，可以看出0=；在附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．设计意图：创设问题情景，为引出函数的极值做铺垫． （二）学习概念，深化理解问题3：对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？问题4：如图，函数()y f x =在,,,,x a b c d e =等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的正负性有什么规律？t a =()h t t a =()h t ()h a 't a =t a <()h t ()0h t '>t a >()h t ()0h t '<t a =t a <()0h t '>t a >()0h t '<t a a ()h t '()h t '()0h a '=以,x a b =两点为例，可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()=0f a '；而且在点x a =附近的左侧()f x '<0,右侧()f x '>0.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近的其他点的函数值都大，()=0f b '；而且在点x b =附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0.我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.设计意图：进一步理解函数的极值. 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.（三）应用巩固，内化迁移问题5：求函数的极值. 解： 因为，所以 .令.当x 变化时， ，的变化情况如下表：()31443f x x x =-+()31443f x x x =-+()'24(2)(2)f x x x x =-=-+()'0,2,2fx x x ===-()'f x ()f x因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为.函数的图像如图所示.设计意图：进一步巩固所学知识，又助于保持学生学习的热情和信心. 问题6：极大值一定比极小值大吗？极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.问题7：下图是函数()y f x =，[],x a b ∈的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？图中)(1x f ,3()f x ,5()f x 是极小值，2()f x ,4()f x ,6()f x 是极大值． 问题8：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 导数值为0的点不一定是函数的极值点.2x =-()f x 28(2)3f -=2x =()f x 4(2)3f =-()31443f x x x =-+例如，对于函数()3=f x x ，我们有()2=3f x x '.虽然()0=0f '，但由于无论x >0,还是x <0，恒有()f x '>0，即函数()3=f x x 是增函数，所以0不是函数()3=f x x 的极值点.结论：一般地，函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要条件，而非充分条件.设计意图：进一步深入理解函数的极值. 问题9：如何求一个函数的极值？ (1)确定函数的定义区间，求导数()f x ' ； (2)求方程()=0f x '的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()y f x =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()y f x =在这个根处取得极小值.设计意图：归纳求函数极值的步骤. （四）归纳总结，布置作业作业：教科书P 98 4,5,6 五、目标检测设计1.函数在 x=1 时有极值10，则a ，b 的值为（C ） A 、或 B 、或 11,4=-=b a C 、D 、 以上都不对函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值223)(a bx ax x x f +--=1,4=-=b a 11,4=-=b a 3,3-==b a 11,4=-=b a解:由题设条件得：解之得通过验证，都合要求，故应选择A上述解法错误，正确答案选C ，注意代入检验 注意：()=0f x '是函数取得极值的必要不充分条件. 设计意图：巩固新知，对教学重点，难点的强化。
§3.3.2函数的极值与导数一、教学目标知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、教学过程：函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．四、学情分析我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。
需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
1、有关概念(1).极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点(3).极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
《利用导数研究函数的极值》导学案一、学习目标1、理解函数极值的概念，能够区分极值与最值。
2、掌握利用导数求函数极值的方法和步骤。
3、能够运用导数解决与函数极值相关的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）函数极值的概念。
（2）利用导数求函数极值的方法。
2、难点（1）导数为零的点与极值点的关系。
（2）如何根据导数的符号变化确定函数的极值。
三、知识回顾1、导数的定义：函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）等于＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x} ＼）。
2、导数的几何意义：函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（（x_0, f(x_0)）＼）处的切线斜率。
3、基本初等函数的导数公式：（1）＼（（C)＇＝ 0\）（＼（C\）为常数）（2）＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）（＼（n ＼in Q\））（3）＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）（4）＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）（5）＼（（e^x)＇＝ e^x\）（6）＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）（7）＼（（＼log_a x)＇＝＼frac{1}｛x\ln a}＼）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\））四、新课导入在我们的日常生活和实际问题中，经常需要研究函数的最大值和最小值。
例如，在生产中，为了降低成本，提高效益，需要找到生产函数的最优产量；在销售中，为了获得最大利润，需要确定最佳的销售价格和销售量。
而函数的极值是研究函数最值的重要工具。
那么，如何利用导数来研究函数的极值呢？五、知识讲解1、函数极值的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）附近有定义，如果对＼（x_0\）附近的所有点＼（x\），都有＼（f(x) ＜ f(x_0)＼），则称＼（f(x_0)＼）是函数＼（f(x)＼）的一个极大值；如果对＼（x_0\）附近的所有点＼（x\），都有＼（f(x) ＞ f(x_0)＼），则称＼（f(x_0)＼）是函数＼（f(x)＼）的一个极小值。
函数的极值与导数教学设计教材分析：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。
本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
学生情况分析：学生已经初步学习了运用单调性研究导数，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。
教法选择：情境创设、探索发现、总结归纳学法引导：以学生发现探究，自主合作交流为主，教师点拨疏导为辅。
课堂组织形式：创设情景—发现问题—自主探索—协作探究—交流评价。
一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数极值的逆用三、教学基本流程组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程、创设情景，导入新课通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）、探索研讨引导学生自主学习，从而发现问题。
引导学生通过合作总结函数极值的定义从而我们得出结论: 若0满足f/=0,且在0的两侧的导数异号,则0是f的极值点,f0是极值,并且如果f/ 在0两侧满足“左正右负”,则0是f的极大值点,f0是极大值;如果f/ 在0两侧满足“左负右正”,则0是f的极小值点,f0是极小值极大值与极小值统称为极值让学生进一步理解极值的定义。
、讲解例题x规律总结掌握利用导数求极值的方法及极值的简单应用。
让学生独立总结，同学之间相互补充。
3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 1．核心素养通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题． 2．学习目标（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。
（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（3）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
3．学习重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 4．学习难点函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1结合函数2)(x x f =在]2,1[-上的图像，想一想：函数2)(x x f =在]2,1[-上的极小值是多少？函数2)(x x f =在]2,1[-上的最大值、最小值分别是多少？ 任务2预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．2．函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值是M ，最小值是m ，若M=m ，则)(x f '( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0． 3．函数x xe y -=在]4,2[∈x 上的最小值为 ．解：44e xx x x e x e xe e y -=-='1)(2，当]4,2[∈x 时，0<'y ，即函数xxe y -=在]4,2[∈x 上单调递减，故当4=x 时，函数有最小值为44e． 4．设b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，且0>a ，求a ，b 的值 ． 解：2=a)4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f ，令0)(='x f ，得0=x 或4=x ，则函数)(x f 在]2,1[-上的单调性及极值情况如下表所示： ∴3)0(==b f ，又∵3736)1(+-=+--=-a a a f ，3163248)2(+-=+-=a a a f)1(-<f ，∴29316)2(-=+-=a f ，∴2=a ．（二）课堂设计 1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵求函数极值的方法和求解步骤. 2．问题探究问题探究一 函数最大（小）值与导数 ●活动一观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值、最小值吗？一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． ●活动二想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．问题探究二 函数的最大值与最小值的求解●活动一阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤．利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．●活动二 初步运用 求函数的最值例 1 已知函数4431)(3+-=x x x f ，⑴求曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程；⑵若]3,3[-∈x ，求函数)(x f 的最大值与最小值．【知识点：导数的几何意义、函数的最值；数学思想：数形结合】详解：⑴4)(2-='x x f ，所以曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线的斜率4)0(-='=f k ，故曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程为44+-=x y ．⑵令0)(='x f 得2=x 或2-，列表如下：3)2()(=-=f x f 极大值，3)2()(-==f x f 极小值，又7)3(=-f ，1)3(=f ，∴)(x f 在]3,3[-的最大值是328，最小值是34-．点拨：⑴求函数最值时，若函数)(x f 的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值．⑵若)(x f 的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点． ⑶若)(x f 为单调函数，则端点就是最值点． ●活动三 对比提升 由函数的最值求参数例2 已知函数()ln f x ax x =-，当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．【知识点：根据函数最值求参数值；数学思想：分类讨论】详解：由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-,因为(]0,e x ∈，所以当1ea ≤时，()f x 在(]0,e x ∈是减函数，最小值为()e e 10f a =-≤，不满足题意；当1a e >时， ()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数，1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，所以最小值为211ln 3e f a a a ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，∴实数a 的值为2e .问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． ●活动一 初步运用例 3 已知函数x x x f ln )(=．⑴ 求()f x 的最小值；⑵若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．【知识点：求函数的最小值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】详解：⑴)(x f 的定义域为),0(+∞，x x f ln 1)(+='，令0)(>'x f ，解得ex 1>；令0)(<'x f ，解得e x 10<<，从而)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，∴当e x 1=时，)(x f 取得最小值e1-．⑵依题意，得1)(-≥ax x f 在),1[+∞上恒成立，即不等式xx a 1ln +≤对于),1[+∞∈x 恒成立．令x x x g 1ln )(+=，则)11(111)(2xx x x x g -=-='，当1>x 时，0)(>'x g ，故)(x g 在),1(+∞上是增函数，∴1)1()(min ==g x g ，∴实数a 的取值范围是]1,(-∞． ●活动二 对比提升例4 已知函数()()()()21ln ,22f x a x x g x f x ax a R ⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立，求a 的取值范围．【知识点：求函数最值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归、分类讨论】详解：（1）函数21()()ln 2f x a x x =-+的定义域为(0,)+∞，当0=a 时，21()ln 2f x x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-+-'=-+==；当11<<x e时，有()0f x '>；当e x <<1时，有()0f x '<，∴()f x 在区间[1e ，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又211()12f e e=--，2()12e f e =-，1(1),2f =- ∴2min ()()12e f x f e ==-，max 1()(1)2f x f ==-.（2）21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞.21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x --+---'=--+==. ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在)1,0(上有0)(>'x g ，在),1(2x 上有0)(<'x g ，在),(2+∞x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有),),(()(2+∞∈x g x g 不合题意；当112=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),1(+∞上，有()((1),),g x g ∈+∞也不合题意；②若12a ≤，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),1(+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足1(1)02g a =--≤12a ⇒≥-，由此求得a 的范围是11[,]22-.综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立.点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x 的表达式. 3．课堂总结 【知识梳理】 数学知识：⑴最值的存在性定理． ⑵最值的求解步骤．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． ⑶恒成立问题． 常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． 数学思想：分类讨论、化归与转化等思想． 【重难点突破】 求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间[]b a ,上图像连续不断，在开区间),(b a 上可导的函数．在闭区间[]b a ,上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间),(b a 上可导，才能用导数求解．（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值．因此，函数的极大值和极小值的判定是关键．（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数)(x f 在),(b a 内的全部极值，只能在)(x f 的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数)(x f 在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值．（4）当图像连续不断的函数)(x f 在),(b a 内只有一个可疑点时，若在这一点处函数)(x f 有极大（小）值，则可以判定函数)(x f 在该点处取到最大（小）值，这里),(b a 也可以是无穷区间． （5）当图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得． 4．随堂检测1．函数)(x f y =在],[b a 上（ ）A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值 【知识点：极值与最值的关系】 解：D2．函数x x x f cos 2)(-=在),(+∞-∞上（ ）A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值【知识点：单调函数的最值】 解：A3．函数343)(x x x f -=在]1,0[上的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．0D ．1- 【知识点：函数的最大值】解：A4．函数x x y -=sin 在区间]2,0[π上的最小值为（ ） A ．π- B ．21π-C ．0D ．π2- 【知识点：函数的最小值】 解：D5．设5221)(23+--=x x x x f ，当]2,1[-∈x 时，m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【知识点：不等式恒成立问题】 解：),7(+∞ （三）课后作业 基础型 自主突破1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．1(0,)2【知识点：函数最值与极值的关系；数学思想：转化与化归】解：B ∵f '(x )＝3x 2－3a ，令f '(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B ． 2．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1-e B ．e C ．e 2 D ．103【知识点：函数最大值】 解：A 令22(ln )'ln '1ln 'x x x x xy x x ⋅-⋅-==＝0(x ＞0)．解得x ＝e ．当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e时，y ′>0．y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e．3．函数241xy x =+在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 令2222224(1)4244'(1)(1)x x x x y x x +-⋅-+==++＝0，得x ＝±1．2． 4．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 【知识点：函数最值与零点关系；数学思想：转化与化归】 解：(－∞，2ln2－2]函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g '(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0,]2π上的最大值是________．【知识点：函数最大值】解：6π+y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝6π，比较0，6π，2π处的函数值，得y max ＝6π+6．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】 解：a ＝3；f (x )的最大值为3．f '(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f '(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f '(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为3． 能力型 师生共研7. 若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A．( B．[ C ．[2,1)- D．(2]- 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 由于函数()f x 在开区间2(,6)a a -有最小值，则函数()f x 的极小值点在2(,6)a a -内，且在2(,6)a a -内的单调性是先减再增. 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-,当11x -<<时，'()0f x <，当1x >，'()0f x >，所以()f x 得最小值为(1)f . ∴只需{216()(1)a a f a f <<-≥，得到21a -≤<，故选C.8. 设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的[]12,1,x x e ∈，都有12()()f xg x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：]1,2[-e 22222()1a x a f x x x-'=-=，当01a <≤，且[]1,x e ∈时，()0f x '≥，∴()f x 在[]1,e 上是增函数，21min ()(1)1f x f a ==+，又1()1(0)g x x x'=->，∴()g x 在[]1,e 上是增函数，2max ()()1g x g e e ==-．由条件知只需1min 2max ()()f x g x ≥．即211a e +≥-．∴22a e ≥-．即1a ≤≤．9. 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[－1,0]上的最大值． 【知识点：函数的最大值；数学思想：分类讨论】解：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥解析：令f '(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当2323a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在2[1,]3a -上单调递增；在2[,0]3a 上单调递减，则f (x )max ＝324()327f a a =-．综上所述：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥10. 设函数12)(22-++=t x t tx x f (x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归、数形结合】 解：(1) h (t ) ＝－3t ＋t －1；(2) (1，＋∞) ．解析：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－3t ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－3t ＋t －1．(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－3t ＋3t －1－m ，由g '(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g '(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝1时，g (t )max 恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞) ． 探究型 多维突破 11. 已知函数()()2ln 2=-∈a f x x x x a R . (Ⅰ)若不等式()0>f x 有解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.【知识点：不等式有解与函数的最值的关系、函数的极值；数学思想：转化与化归、分类讨论】 解：（Ⅰ）2<a e；(Ⅱ)()1,∈+∞a 时，有0个极值点；1a =时，有0个极值点；()0,1a ∈时，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，有一个极值点解析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <x a x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，设()2ln =xg x x ，则()()22ln 1'-=x g x x ，当()0,∈x e 时，()'0>g x ；当(),∈+∞x e 时，()'0<g x ，所以当x e =时，()max 2=g x e ，即2<a e. (2)令()'0=f x 得到ln 10x ax +-=，得到ln 1x a x +=，()()2ln 1ln ,'+-==x xh x h x x x,当()0,1x ∈时，()'0>h x ；当()1,∈+∞x 时，()'0<h x ，又()()0,,,0→→-∞→+∞→x h x x h x ，所以()1,∈+∞a 时，ln 1+=x a x无解，有0个极值点； 1a =时，ln 1+=x a x有一解，但不是极值点；()0,1∈a 时，ln 1+=x a x 有二解，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，ln 1+=x a x有一解，有一个极值点.12. 已知函数()ln 2x m f x e x -=-. （1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.【知识点：函数的极值、不等式的证明、函数的最值；数学思想：转化与化归】 解：（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e -=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-，观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-．证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-， 令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x e x -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增， 所以02min 00()()ln 2x g x g x e x -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=，所以02000001ln ln2ln 2ln x e x x x x x -=⇒-=-⇒-=，所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x e x e x --==-=--001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>． （四）自助餐1. 函数()ln f x x x =-在区间(0,e]（e 为自然对数的底）上的最大值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.1e - 【知识点：函数的最大值】解：A ()()''1110x f x f x x x-=-=∴>得1x <，所以增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，所以函数最大值为()11f =-． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值【知识点：函数的最值】解：D )(x f '＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，)(x f '<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D ． 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 【知识点：函数的最大值】解：C 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C ．4．已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若]1,1[,-∈n m ，则)()(n f m f '+的最小值是（ ）A ．13-B ．15-C ．10D ．15 【知识点：函数的极值、最小值】解：A 求导得ax x x f 23)(2+-='，由函数)(x f 在2=x 处取得极值知0)2(='f ，即02243=⨯+⨯-a ，∴3=a ．由此可得43)(23-+-=x x x f ，x x x f 63)(2+-='，已知)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴当]1,1[-∈m 时，4)0()(min -==f m f ．又x x x f 63)(2+-='的图像开口向下，且对称轴为1=x ，∴当]1,1[-∈n 时，9)1()(min -=-'='f n f ，故)()(n f m f '+的最小值是13-．故选A ．5． 已知函数)(x f ，)(x g 均为],[b a 上连续且)()(x g x f '<'，则)()(x g x f -的最大值为（ ） A ．)()(a g a f - B ．)()(b g b f - C ．)()(b g a f - D ．)()(a g b f - 【知识点：单调函数的最大值】解：A ='-])()([x g x f 0)()(<'-'x g x f ，∴函数)()(x g x f -在],[b a 上单调递减，∴)()(x g x f -的最大值为)()(a g a f -．6．当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,5[--B ．]89,6[-- C ．]2,6[-- D ．]3,4[--【知识点：不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：C 当]1,0(∈x 时，得x x x a 1)1(4)1(323+--≥，令xt 1=，则),1[+∞∈t ，令t t t t g +--=2343)(，),1[+∞∈t ，则)19)(1(189)(2-+-=+--='t t t t t g ，显然在),1[+∞∈t 上，0)(<'t g ，)(t g 单调递减，∴6)1()(max -==g t g ，因此6-≥a ；同理，当)0,2[-∈x 时，的2-≤a ，当0=x 时对任意实数a 不等式也成立，故实数a 的取值范围是26-≤≤-a ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xax y +=22（a 为常数）过点1(-P ，)30-，则函数xax y +=22在区间]4,1[的最大值与最小值的和为________． 【知识点：函数的最值】解：64 曲线过点1(-P ，)30-，∴a -=-230，∴32=a ，∴xx y 3222+=，232324324xx x x y -=-='，令0='y 得2=x ，当1=x 时，34322=+=y ；当2=x 时，24168=+=y ；当4=x 时，40832=+=y ，∴最大值与最小值的和为64．8．函数x x x f cos sin )(+=在]2,2[ππ-∈x 时的最大、最小值分别是 ． 【知识点：函数的最值】解：2，1-． 0sin cos )(=-='x x x f ，即1tan =x ，)(4Z k k x ∈+=ππ．而]2,2[ππ-∈x ，当2π-＜x ＜4π时，0)(>'x f ，当4π＜x ＜2π时，)(x f '，∴)4(πf 是极小值．又)4(πf=，1)2(-=-πf ，∴1)2(=πf ．∴函数的最大值为2，最小值为1-．9．函数x exy =在[0，2]上的最大值为 ．【知识点：函数的最值】解：e 1． 函数x f y ==)(函数)(x f 单调递增；当x ∈（1，2]时，)(x f '＜0，此时函数)(x f 单调递减．∴当x =1时，函数)(x f 取得最大值，f )1(=10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 【知识点：函数的极值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：(1)39a b =⎧⎨=-⎩；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)f '(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴2133133a b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，∴39a b =⎧⎨=-⎩．(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f '(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f '(x )，f (x )随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18． ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．11．已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=，(1)若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处切线的斜率；(2)求)(x f 的单调区间；(3)设22)(2+-=x x x g ，若对任意∈1x (0，+∞)，均存在∈2x [0，1]，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．【知识点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式有解与最值的关系；数学思想：转化与化归、分类讨论】解：(1) 3；(2)当0≥a 时，)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递为3；的单调递增区间为(0，+∞)；(3)由题意知，转化为max max )()(x g x f < (其中∈1x (0，+∞)，∈2x [0，1])，由(2)知，当0≥a 时，12．已知函数()xf x e=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()h x 的最大值；（3）设()'()g x xf x =，其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1g x e -<+. 【知识点：导数的几何意义、函数的最值、不等式证明；数学思想：转化与化归】解：（1）1y e=；（2）()h x 的最大值为22()1h e e --=+；（3）证明见解析．解析：（1）由ln 1()x x f x e +=，得1(1)f e =，1ln '()xx x xf x xe --=，所以'(1)0k f ==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y e=.（2）()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2h x x =--.令'()0h x =得，2x e -=.因此当2(0,)x e -∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减.所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为22()1h e e --=+. （3）证明：因为()'()g x xf x =，所以1ln ()xx x xg x e--=,0x >，2()1g x e -<+等价于21ln (1)x x x x e e ---<+.由（2）知()h x 的最大值为22()1h e e --=+，故21ln 1.x x x e ---≤+只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.所以221ln 1(1)x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，2()1g x e -<+.。
3.3 利用导数研究函数的极值 - 人教B版选修1-1教案
1.教学目标
1.了解导数的概念，可以应用导数研究函数的特定点性质，如极值、单调区间、凸凹性及特殊点等。
2.通过小组讨论和思维拓展，培养学生自主探究的能力。
3.通过实例的讲解和计算练习的跟踪，巩固学生在极值问题上的解题能力。
2.教学重点难点
本课的教学重点是：
1.导数的计算和它的物理意义。
2.函数的极值。
本课的教学难点是：
函数的极大值和极小值的求解方法，包括二阶导数测试法和边界测试法。
3.课前准备
准备合理的教学设计，制定出细致完整的教案，为学生提供清晰明了的学习目标和学习路线。
4.教学过程
4.1 导入
老师利用引言或精心制作的演示文稿，直观展示导数和函数的关系。
4.2 讲解
4.2.1 导数的定义 - 导数的物理意义
4.2.2 导数的计算 - 导数的计算规则和方法
4.2.3 极值的定义和类型 - 极大值和极小值的定义 - 极大值和极小值的解法 - 极
值问题中的特殊点
4.3 练习
4.3.1 个别计算 4.3.2 小组讨论
5.活动设计
5.1 PPT演示 - 基本概念 - 计算方法 - 示例演示
5.2 小组讨论 - 案例分析 - 自主思考和解题
5.3 课堂辅导 - 一对一边教边学 - 作业讲解
6.反思总结
学生在掌握了导数和函数的极值后，可以熟练地应用到不同的实际问题中。
值得提醒的是，教师在讲解过程中要注意到思维拓展和思维引导，为学生提供多方面的思考和解决问题的视角和方法。
利用导数研究函数的极值教学设计辽宁省兴城市第二高级中学武丹一、教材分析：《利用导数研究函数的极值》是在学生学习了《利用导数研究函数的单调性》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
二、学情分析：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。
三、教学目标（一）知识与技能：了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
（二）过程与方法：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（三）情感态度与价值观：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；四、教学重点和教学难点：教学重点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
教学用具：利用多媒体辅助教学电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察。
幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率。
学法分析通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。
通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。
教学设计教学过程 教学内容设计意图一、情境设计将庐山的图片展示给学生，连绵起伏的群山和一位古人，使学生联想起以前学过的诗句：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”激发学生的学生的学生兴趣，让学生们意识到学科之间的相互联系。
二、新课引入：把表示山峰高低起伏的曲线放在直角坐标系中，观察图像，函数=f （）在1，2，3，4点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？让学生来说出观察的结果，，提高学生语言表达的能力，增强学生学习的自信心。
三、新课讲授归纳总结定义：000000,,,.f x x x f f x f x y f x x f x x x x 极大值设函数在附近有定义如果对附近的都有则称函数在点处取所有点极大值，记作，称为函数的一个极大值点 00000,,.f x x f x x x f x f x y f x x 极小值如果对附近的都有则称函数在点处取所有点极小值，记作，称为函数的一个极小值点,函数的极大值和极小值统称为极大值点与极小值点称为极值极值点.小组探究培养小组间的合作精神，培养学生的学习兴趣四、教师点拨：思考小组探究1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小变化情况;2、极大值和极小值之间没有必然的大小联系3、函数的极值与导数的关系。
个性化教课指导教课设计学生姓名上课时间2017 年月日年级高二学科教师姓名数学课题利用导数研究函数的极值和最值1、认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，掌握函数极教课目的值的判断及求法．并掌握函数在某一点获得极值的条件．2、理解函数最值的观点，认识其与函数极值的差别与联系，会求某闭区间上函数的最值．教课过程教师活动学生活动1.已知函数 f(x)＝x3＋ x－ 16，直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．2．设 f(x) ＝x3＋ax2＋ bx＋ 1 的导数 f′ (x)知足 f′ (1) ＝ 2a，f′ (2) ＝－ b，此中常数a， b∈R.求曲线 y＝ f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程．3.已知函数f(x)＝ (ax2＋ bx＋ c)e x在 [0,1]上单一递减且知足f(0)＝ 1，f(1)＝ 0，求 a 的取值范围．[问题 1]求以下函数的极值：(1) f(x)＝1 x3－ x2－ 3x＋3； (2)f(x)＝ln x.3 x[问题 2] 已知函数f(x)＝ x3－ 3ax2＋ 2bx 在点 x＝ 1 处的极小值为－1，试确立 a，b 的值，并求 f(x)的单一区间．[ 问题 3]已知 a 为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求函数 f(x) 的极值，并画出其图象 (草图 )；(2)当 a 为什么值时，方程 f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？[ 问题 4]求以下各函数的最值：(1) f(x)＝－ x3＋ 3x， x∈[ －3，3] ；(2) f(x)＝ x2－54x(x＜ 0＝．[ 问题 5]已知函数f(x)＝ 2x3－ 6x2＋ a 在[－ 2,2]上有最小值－ 37，求 a 的值，并求f(x)在[－ 2,2] 上的最大值．[ 问题 6]设函数 f(x) ＝tx2＋ 2t2x＋ t－ 1(x∈ R，t>0) ．(1) 求 f(x)的最小值 h(t)；(2) 若 h( t)<－ 2t＋ m 对 t∈ (0,2) 恒建立，务实数m 的取值范围．知识点一．函数极值的观点函数y＝ f (x)的图象如下图．思虑 1函数在x＝a点的函数值与这点邻近的函数值有什么大小关系？【分析】函数在点x＝ a 的函数值比它在点x＝ a 邻近的其余点的函数值都小．思虑 2为多少？在点x＝ a 邻近，函数的导数的符号有什么规律？【分析】＝ 0，在点 x＝a 邻近的左边 <0，右边 >0．思虑 3函数在x＝b点处的状况呢？【分析】函数在点x＝b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0，且在点 x＝b 邻近的左边 >0 ，右边<0．概括总结：（ 1）极小值点与极小值函数 y＝ f (x)在点 x＝ a 的函数值 f (a)比它在点x＝ a 邻近其余点的函数值都小，＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 <0，右边 >0．则把点 a 叫做函数y＝ f (x)的极小值点， f (a)叫做函数y＝ f (x)的极小值．（ 2）极大值点与极大值函数 y＝ f (x)在点 x＝ b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0；并且在点 x＝ b 邻近的左边 >0，右边 <0．则把点 b 叫做函数y＝ f (x)的极大值点， f (b)叫做函数y ＝ f (x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二求函数 y＝ f (x)极值的方法解方程＝ 0，当＝ 0 时，（ 1）假如在 x0邻近的左边> 0，右边< 0，那么 f (x0)是极大值．（ 2）假如在 x0邻近的左边< 0，右边> 0，那么 f ( x0)是极小值．知识点三函数的最值思虑 1如图，察看区间[a，b]上函数 f ( x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？【分析】 f (x1)、 f (x3 )、 f (x5)是极小值， f (x2)， f (x4)是极大值．思虑 2 在上图中，你能找出 f (x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值吗？【分析】函数 f (x)在 [ ，]上的最小值是 f (xa b3)，最大值是f (b)．概括总结：假如在区间 [a， b] 上函数 y＝ f (x)的图象是一条连续不停的曲线，则该函数在[a，b]上必定能够获得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或__区间端点__获得．知识点四“最值”与“极值”的差别和联系（1）“最值”是整体观点，是比较整个定义域内的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较极值点邻近函数值得出的，拥有相对性．（2）从个数上看，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，也可能一个都没有．（3）极值只好在定义域内部获得，而最值能够在区间的端点处获得，有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，特别数函数的连续函数的最值只需不在端点处获得必然是极值．知识点五求函数 y＝ f (x)在 [a， b]上的最值的步骤:（ 1）求函数 y＝ f (x)在 (a， b)内的极值．（2）将函数 y＝ f (x) 的各极值与 __端点处 ___的函数值 f (a) ，f ( b)进行比较，此中最大的一个是 ___最大值 ___，最小的一个是 ___最小值 __．【典例分析】【例 1】求以下函数的极值：(1) f(x)＝－ x3＋ 12x＋ 6；2x－2.(2) f(x)＝x2＋1【例 2】已知函数 f(x) ＝ x3＋ax2＋bx＋ c，且当 x＝－ 1 时获得极大值 7，当 x＝ 3 时获得极小值，试求函数 f( x)的极小值，并求 a， b， c 的值．【例 3】 a 为什么值时，方程 x3－ 3x2－ a＝ 0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？1【例 4】求函数f(x)＝3x3－ 4x＋4 在 [0,3] 上的极值及最大值与最小值．【例 5】若 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b， x∈ [ － 1,2] 的最大值是3，最小值是－ 29，求 a， b 的值．【例 6】设函数f(x)＝ 2x3＋ 3ax2＋3bx＋ 8c 在 x＝ 1 及 x＝2 时获得极值．(1)求 a， b 的值；(2)若对于随意的 x∈ [0,3] ，都有 f(x)＜ c2建立，求 c 的取值范围．1．以下四个函数中，能在x＝ 0 处获得极值的是()①y＝ x3；② y＝x2＋1；③ y＝cos x－ 1；④ y＝ 2xA ．①②B ．②③C．③④ D ．①③2．已知函数f(x)的定义域为 (a， b)，导函数f′ (x)在 (a， b)上的图象如下图，则函数f( x) 在 (a， b)上的极大值点的个数为()A ．1 B．2 C．3 D ．43．函数 y＝ 3x3－ 9x＋ 5 的极大值为 ________．4．已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ 3x－9，若 f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，则a＝ ________.5．求以下函数的极值：(1) f(x)＝ x3－ 12x；1(2) f(x)＝ sin x＋2x， x∈ (0,2 π)．6．函数 f( x)＝ x3－3x(|x|＜1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值π7．函数 y＝ x－ sin x， x∈2，π的最大值是 ()πA ．π－ 1 B.2－1C．π D ．π＋ 18．函数 y＝e xx在 [0,2] 上的最大值为________．9．已知函数y＝－ x2－ 2x＋3 在区间 [a,2]上的最大值为154，则 a＝________.10．已知 a 为实数， f(x) ＝(x2－ 4)(x－ a)．(1)求导数 f′ (x) ；(2)若 f′ (－ 1)＝0，求 f(x)在 [ －2,2] 上的最大值和最小值．知识点一求函数极值的步骤：①求方程f′ (x)＝ 0 在函数定义域内的全部根；②用 f′ (x)＝ 0 的根将定义域分红若干小区间，列表；③由 f′ (x)在各个小区间内的符号，判断f′ (x)＝0 的根处的极值状况．(2)表格给出了当 x 变化时 y′，y 的变化状况，表格直观清楚，简单看出详细的变化状况，并且能判断出是极大值仍是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．知识点二已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，经过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，联合已知求出参数，从而使问题得以解决．知识点三相关恒建立问题，一般是转变为求函数的最值问题．求解时第一要确立函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确立函数．一般地，若不等式 a≥ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是a≥ f(x) max；若不等式a≤ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是 a≤ f(x)min.【典例 1】若 a≠ 0，试求函数f(x) ＝－2ax3－ x2＋ a2x2＋ 2ax 的单一区间与极值．3[变式 1] 设函数 f(x)＝－13x3＋x2＋( m2－1)x(x∈R)，此中m>0，求函数的单一区间与极值．[典例 2] 已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0)在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对随意x>0 ，不等式f(x)≥－ 2c2恒建立，求 c 的取值范围．[变式 2]已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0) 在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对 x>0，方程 f(x) ＝－ 2c2有解，求 c 的取值范围．1．函数 f( x)＝ 2－ x2－ x3的极值状况是()A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值2．函数f( x)＝ ax3＋bx 在x＝ 1 处有极值－2，则a， b 的值分别为( )A 1 3B 1,3C．－ 1,3 D．－ 1，－ 33．设函数f(x) ＝xe x，则 ()A ． x＝ 1 为 f(x) 的极大值点B ． x＝ 1 为 f(x) 的极小值点C． x＝－ 1 为 f(x) 的极大值点D ． x＝－ 1 为 f(x)的极小值点4．已知 f( x)＝ x3＋ax2＋( a＋ 6)x＋ 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ()A ． (－ 1,2)B ． (－ 3,6)C． (－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )D ． (－∞，－ 3)∪ (6，＋∞ )5．对于函数 f(x)＝ x3－ 3x2，给出命题：①f( x)是增函数，无极值；② f( x)是减函数，无极值；③ f( x)的单一递加区间为 (－∞， 0) ，(2，＋∞ )，单一递减区间为 (0,2)；④f(0) ＝ 0 是极大值， f(2)＝－ 4 是极小值．此中正确的命题有( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个6．已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ c，其导数 f′ (x)的图象如下图，则函数的极小值是________．a＋ ln x7．函数 f( x)＝(a∈ R)的极大值为 ________．x8．已知函数f(x)＝ x4＋ 9x＋ 5，则 f(x)的图象在 (－ 1,3)内与 x 轴的交点的个数为________．9．以下说法正确的选项是()A．函数在其定义域内如有最值与极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B．闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之，如有极值，则必定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但如有极值，则可有多个极值10．函数 f(x)＝ 2x－A ．无最值cos x 在 (－∞，＋∞ )上( B．有极值)C．有最大值 D ．有最小值11．函数1f(x)＝ 2 x＋ x，x∈(0,5] 的最小值为( )A ．2B ．317C. 41 D．2 2＋212．函数 f(x)＝ x3－x2－x＋ a 在区间 [0,2] 上的最大值是3，则 a 的值为 ()A ．3B ．1C． 2 D．－113．已知函数f( x)， g(x)均为 [a， b] 上的可导函数，在[a， b]上连续且f′ (x)<g′ (x)，则 f(x) － g(x)的最大值为( )A ． f(a)－ g(a) C． f(a)－ g(b)B ．f(b)－D ．f(b)－g( b)g( a)a1．已知函数 f(x)＝x2＋ 2ln x，若当 a＞0 时，f(x)≥ 2 恒建立，则实数 a 的取值范围是________．2．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋ 2，且 f(x)的导函数f′ (x)的图象对于直线x＝ 1 对称．(1)求导函数 f′ (x)及实数 a 的值；(2)求函数 y＝ f(x)在[ － 1,2]上的最大值和最小值．3．设 f(x)＝ ln x， g(x)＝ f(x)＋ f′ (x)．(1)求 g( x)的单一区间和最小值；1(2) 求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)＜a对随意 x＞ 0 恒建立．4．已知函数f(x)＝ x3－ 3ax－ 1， a≠ 0.(1)求 f(x)的单一区间；(2) 若 f(x)在 x＝－ 1 处获得极值，直线y＝ m 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，求m 的取值范围．5．已知函数f(x)＝ e x(ax＋ b) －x2－ 4x，曲线 y＝ f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程为y＝4x＋ 4.(1)求 a， b 的值；(2)议论 f(x)的单一性，并求 f(x)的极大值．。
