函数的极值与导数优秀教学设计

函数的极值与导数资料教学设计一等奖教学设计：函数的极值与导数一、教学目标：1.理解函数的极值的概念和求解方法。

2.掌握函数求导的方法和运用。

3.能够通过导数求解函数的极值问题。

二、教学准备：1.教师准备PPT课件、白板和黑板笔、教材和练习题等。

2.学生准备课本、笔记本和作业本等。

三、教学过程：Step 1：导入与激发1.进行一次小组讨论，向学生提出如下问题：-你们对函数的极值有怎样的理解？-如何用导数的概念来解释函数的极值？2.引入函数求极值的概念：通过引入一个实际生活中的例子，比如讨论在段时间内一些班级的学生人数随时间变化的函数，了解函数曲线的极点和极值的概念。

Step 2：函数的极值概念的引入1.定义函数的极大值和极小值：介绍函数的局部极大值和局部极小值的概念，并举例说明。

2.引入达到极值的必要条件：导数等于零的点是函数的极值点的必要条件，让学生思考为什么这是成立的。

Step 3：求解函数的极值1.引入函数求极值的方法：通过求解函数的导数为零的方程来求解函数的极值点，给出求解的步骤。

2.给出一些函数求极值的例题，进行操练。

Step 4：函数的极值应用1.引入函数的应用：通过提供一些实际问题和函数的表达式，让学生分析问题，求解函数的极值问题。

2.教师示范解题，然后学生自主解题，并与同伴交流讨论。

Step 5：总结与拓展1.总结函数的极值求解方法以及极值的概念。

2.引导学生思考函数的极值问题在实际问题中的应用，并给出一些拓展问题进行讨论。

四、作业布置：1.针对不同层次的学生，布置不同的作业。

2.作业内容可以是课后习题，也可以是相关实际问题的解答。

五、教学反思：本教学设计通过引入实际问题的例子，结合理论知识进行讲解，加深学生对函数极值和导数的理解。

通过练习题和实际问题的解答，锻炼学生求解函数极值问题的能力和运用能力。

引导学生思考函数极值问题的实际应用，提高学生的综合素养和数学建模能力。

同时，通过让学生分组讨论和同伴交流，培养学生的合作学习能力和解决问题的能力。

《函数的极值与导数》教案§1.3.2函数的极值与导数（1）【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】一、复习引入：1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课：1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ． (2)求方程f ′(x )=0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值三、讲解范例：例1求y =31x 3－4x +4的极值． 解：y ′=(31x 3－4x +4)′=x 2－4=(x +2)(x －2) ．令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2． 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=328．当x =2时，y 有极小值且y 极小值=3例2求y =(x 2－1)3+1的极值．解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =0时，有极小值且极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数f ′(x )．第二，令f ′(x )=0求方程的根，第三，列表，检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点． 四、课堂练习：1．求下列函数的极值．(1)y =x 2－7x +6 (2)y =x 3－27x(1)解：y ′=(x 2－7x +6)′=2x －7令y ′=0，解得x =27．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=－425． (2)解：y ′=(x 3－27x )′=3x 2－27=3(x +3)(x －3)令y ′=0，解得x 1=－3，x 2=3．当x∴当x =－3时，y 有极大值，且y 极大值=54． 当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=－54． 五、小结 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法．求可导函数f (x )的极值的三个步骤．还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点． 六、课后作业：§1.3.2函数的极值与导数（2）【课 题】函数的极值（2）【教学目标】熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用．【教学重点】极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握． 【教学难点】求可导函数的极值． 【教学过程】1．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．2．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．3．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．4．极大值与极小值统称为极值，注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．5． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 6． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ； (2)求方程f ′(x )=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值． 二、讲解范例：例1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C ． 充要条件．由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件． 由极大值点的定义，任意x ＜x 0，f (x )＜f (x 0)．所以左侧是增函数，所以f ′(x )＞0，任意x ＞x 0，f (x )＜f (x 0)． 所以右侧是减函数，所以f ′(x )＜0，所以x 0两侧的导数异号． 当x 0是极小值时，同样可以证明．例2下列函数中，x =0是极值点的函数是(B)A ．y =－x 3B ．y =cos 2xC ．y =tanx －xD ．y =x1 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x =0是否是极值点，只要看x =0点两侧的导数是否异号就可以了．解：A ． y =－x 3，∵y ′=(－x 3)′=－3x 2，当x ＜0或x ＞0时，y ′＜0，∴x =0不是极值点．B ． y =cos 2x ． ∵y ′=(cos 2x )′=2cosx (－sinx )=－sin 2x ． 当x ＜0时，－sin 2x ＞0，y ′＞0． 当x ＞0时，－sin 2x ＜0，y ′＜0．∴x =0是y =cos 2x 的极大值点．C ．y =tanx －x ，y ′=(tanx －x )′=x2cos 1－1,当x ＜0或x ＞0时，0＜cos 2x ＜1，y ′＞0．∴x =0不是极值点．D ． y =x 1． y ′=(x 1)′=－21x, 当x ＜0或x ＞0时y ′＜0，∴x =0不是极值点，故选B ．例3 下列说法正确的是(C)A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大．B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值．C ．对于f (x )=x 3+px 2+2x +1，若｜p ｜＜6，则f (x )无极值．D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值．答案：C ．∵f (x )=x 3+px 2+2x +1．∴f ′(x )=3x 2+2px +2．∵Δ=4p 2－4×3×2=4(p 2－6)． 若｜p ｜＜6．则Δ＜0，∴f ′(x )=0无实根，即f ′(x )＞0， ∴f (x )无极值．选项A 、B 、D 可以通过举出反例说明是假命题． 例4 函数f (x )=asinx +31sin 3x 在x =3π处具有极值，求a 的值． 分析：f (x )在x =3π处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f ′(3π)=0可求出a的值．解：f ′(x )=(asinx +31sin 3x )′=acosx +cos 3x ∵f ′(3π)=0，∴a ·cos3π+cos 3×3π=0，21a －1=0，∴a =2． 例5 y =alnx +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值，求a 、b 的值． 解：y ′=(alnx +bx 2+x )′=xa+2bx +1．∵y ′｜x =1=0，y ′｜x =2=0． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++61320142012b a b a b a ． 例6 确定函数y =12+x x的单调区间，并求函数的极大、极小值． 解：y ′=222222222)1()1)(1()1(1)1(21)1(+-+=+-=+⋅-+='+x x x x x x x x x x x 令22)1()1)(1(+-+x x x ＞0，解得－1＜x ＜1．∴y =12+x x的单调增区间为(－1，1)．令22)1()1)(1(+-+x x x ＜0，得x ＜－1或x ＞1，∴y =12+x x减区间为(－∞，－1)与(1，+∞)．令y ′=22)1()1)(1(+-+x x x =0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x 变化时，′，的变化情况如下表：∴当x =－1时，y 有极小值，且y 极小值=－21，当x =1时，y 有极大值，且y 极大值=21． 例7 求函数y =25431xx ++的极值与极值点．解：y ′=(25431xx ++)′232222)54(5125454210)31(543x x x x xx x +-=+++-+=，令y ′=0，解得x =512． x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：∴当x =512时，y 有极大值，且y 极大值=10．例8 求函数y =x 2lnx 的极值．解：定义域为(0，+∞)，y ′=(x 2lnx )′=2xlnx +x 2·x1=2xlnx +x =x (2lnx +1)． 令y ′=0，得x =21-e．当x∴当x =21-e时，y 有极小值，且y 极小值=－e21． 三、课堂练习：求下列函数的极值．1．y =2x 2+5x ．解：y ′=(2x 2+5x )′=4x +5． 令y ′=0，解得x =－45． 当x 变化时，当x =－45时，y 有极小值，且y 极小值=－825．2．y =3x －x 3．解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=3(1+x )·(1－x )．令y ′=0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x当x =极小值极大值四、小结 ：这节课主要复习巩固了求可导函数的极值的方法，以及有关极值问题的题目，注意极大、极小值与最大、最小值的区别 极值点的充分条件、必要条件． 五、课后作业：风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。

函数的极值与导数(教案)第一章：极值的概念教学目标：1. 理解极值的概念；2. 能够找出函数的极值点；3. 能够判断函数的极值类型。

教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例讲解如何找出函数的极值点；4. 讲解极大值和极小值的概念；5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。

教学活动：1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。

作业布置：1. 练习找出给定函数的极值点；2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。

第二章：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的概念；2. 能够计算常见函数的导数；3. 能够利用导数判断函数的单调性。

教学内容：1. 引入导数的概念；2. 讲解导数的计算方法；3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；4. 讲解导数的应用。

教学活动：1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。

作业布置：1. 练习计算给定函数的导数；2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。

第三章：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 能够利用导数判断函数的单调性；3. 能够找出函数的单调区间。

教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；4. 讲解函数单调性的应用。

教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；2. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生动手尝试；3. 讲解如何找出函数的单调区间，引导学生理解单调区间的概念；4. 通过示例讲解如何找出给定函数的单调区间，引导学生进行判断。

函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。

2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。

3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。

七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。

通过图形和实例直观展示极值的存在。

1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。

分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。

1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。

证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。

第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。

2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。

通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。

2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。

分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。

第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。

讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。

3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。

3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。

举例说明如何利用极值点解决实际问题。

第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。

讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。

4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。

4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。

举例说明如何利用拐点解决实际问题。

第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。

函数的极值与导数教学设计教学设计：函数的极值与导数一、教学目标：1.理解函数的极值的概念，掌握求解函数极值的方法；2.掌握求解函数极值需要用到的导数的概念及求法；3.运用所学知识解决实际问题。

二、教学准备：1.教学资源：多媒体课件、教科书、白板、笔等；2.学生资源：学生教材、笔、纸等。

三、教学步骤：1.导入（5分钟）导入函数的概念和图像，激发学生对函数的兴趣，并复习函数的定义、函数的性质等相关知识点。

2.概念讲解（15分钟）（1）引入极值的概念：给出一个函数的图像，通过分析函数图像上的极大值点和极小值点，引导学生理解极值的概念，并解释极大值和极小值的含义。

（2）极值点的判断：引导学生探究如何判断一个函数的极值点，给出判断极值点的方法（一阶导数法），并解释其原理。

3.求解极值方法介绍（15分钟）（1）一阶导数法：在介绍一阶导数法之前，先复习函数的导数定义，然后解释如何利用导数找到极值点。

给出极值点的求解步骤，并通过具体例子演示求解过程。

（2）二阶导数法：当一阶导数法不适用或求解比较复杂时，引入二阶导数法。

简要介绍二阶导数的定义，并列出利用二阶导数判断极值的步骤。

4.案例分析（20分钟）（1）通过案例分析，让学生应用所学方法求解函数的极值点。

（2）提供一些经典的实际问题，让学生分析问题并运用导数的知识解答，帮助学生将所学知识与实际问题结合起来。

5.课堂练习（15分钟）（1）提供一些练习题，让学生在课堂上完成并相互讨论互动。

（2）鼓励学生使用一阶导数法和二阶导数法求解问题，巩固所学知识。

6.总结与拓展（10分钟）（1）总结函数的极值与导数的关系，强调通过导数可以判断函数的极值点。

（2）提出导数在其他领域中的应用，如速度和加速度等，并引导学生思考导数的深层次应用。

7.课后作业（5分钟）布置一些相关题目作为课后作业，巩固学生对课堂所学内容的理解与应用。

四、教学评价与反思：教学评价：教师根据学生的课堂参与情况、课后作业完成度等评价学生的学习情况。

函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。

2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。

3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。

2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。

3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。

5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。

2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。

五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。

2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。

3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。

4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。

七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。

函数的极值与导数教学设计一、引言函数的极值与导数是高中数学中的重要概念和内容，对于学生的数学思维能力和问题解决能力的培养具有重要意义。

本文旨在探讨如何设计一节高中数学课，以帮助学生深入理解函数的极值与导数的概念和应用。

二、教学目标1. 理解函数的极值的概念和判定条件；2. 掌握函数极值的求解方法；3. 理解导数的定义和几何意义；4. 掌握导数的计算方法；5. 运用导数求函数的极值。

三、教学内容和步骤1. 导入部分通过一道具体的生活实例引入函数的极值的概念，激发学生的兴趣，如：某个产品的销量随时间的变化情况。

对于某个时刻，销量的最大值和最小值分别代表了什么意义？2. 函数的极值概念的引入以简单的实例引导学生理解函数的极值概念，解释局部最大值和最小值的定义，通过图像和实例帮助学生形象化、感性地理解。

3. 函数极值的判定条件与求解方法通过数学推导和例题演示，向学生介绍函数极值的判定条件，特别是一阶导数的符号表。

并带领学生探索求解函数极值的具体方法。

4. 导数的定义与几何意义通过导数的定义和几何意义的解释，帮助学生理解导数与函数斜率的关系，并通过几何图像加深学生对导数的理解。

5. 导数的计算方法详细介绍函数导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、三角函数等的求导规则，并通过例题演示梳理具体的计算步骤。

6. 运用导数求函数的极值通过具体的实例和问题，引导学生运用导数求解函数极值的方法，包括求最大值、最小值、临界点等。

通过练习巩固学生的求解能力。

7. 拓展与应用引导学生思考函数极值与实际问题的应用关系，如最优化问题、经济学中的边际效用等；并通过拓展的问题启发学生的创新思维和问题解决能力，培养学生对数学的兴趣。

四、教学方法与手段1. 案例分析法：通过具体的案例分析，引导学生理解函数的极值与导数的概念和应用。

2. 图像演示法：使用PPT或板书等方式，以图像的形式展示函数的极值和导数概念，帮助学生形象化理解。

3. 实例演练法：通过一步步的例题演示，让学生跟随操作，掌握函数极值和导数的具体求解方法。

函数的极值与导数优秀教学设计【导言】函数的极值与导数是高中数学中的重要概念，也是数学分析的基础。

学生通过学习和理解这些概念，可以更好地掌握函数图像的变化规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方式。

本文以高中数学教学为背景，设计了一节关于函数的极值与导数的教学内容，通过引导学生通过图像、公式和实际问题等不同角度来理解和应用这些概念，提高学生的学习兴趣和能力。

【教学目标】1.理解函数的极值的概念和判定条件。

2.掌握求函数极值的方法，并能正确应用于实际问题。

3.了解导数的概念和计算方法，并能应用于函数极值的求解。

4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力，提高学生的数学建模能力。

【教学准备】1.教师准备：教案、教具、多媒体课件。

2.学生准备：教材、笔记、作业本。

【教学过程】一、导入（15分钟）1.引导学生思考：函数的极值在生活中有哪些应用场景？通过简单的例子提醒学生函数极值的概念和重要性。

2.结合图像：找到一些函数的图像，让学生观察函数的极值点在图像上的特点和位置，并提出一些问题，如：极值点处的斜率是多少？导线处函数有何性质等。

二、函数极值的概念与判定（20分钟）1.引入函数的极值：给出函数极值的定义，并以图像为例说明函数极大值、极小值和极值点的关系。

2.极值的判定条件：介绍函数极值的判定定理，即在光滑区间内，若函数的导数在一点处取得正值，则在该点处有极小值；若函数的导数在一点处取得负值，则在该点处有极大值；若函数的导数在一点处取得零值，则在该点处可能有极值。

3.数学归纳法：通过几个例子引导学生使用极值判定定理来解决函数的极值问题，让学生理解并掌握判定极值的方法。

三、函数极值的求解（30分钟）1.极值问题的转化：将一些实际问题转化为数学问题，如：商家销售产品的成本和销售量的关系函数，如何确定最大利润等问题。

2.极值的求解方法：介绍辅助图像法、导数法和二次函数的极值法等求解极值的方法，并在黑板上演示具体的求解过程。

函数的极值与导数教学设计导数是微积分中的重要概念，它可以帮助我们研究函数的变化趋势、极值点等问题。

在教学设计中，我们可以通过引入实际问题、图像分析等方法，帮助学生理解导数和函数的极值。

一、引入部分1.导入问题：引入一个实际问题，例如一个物体在其中一时刻的速度是多少？如何求解这个问题？通过让学生思考这个问题，引导他们认识到速度是距离对时间的导数。

进一步，引入导数的概念。

2.函数的变化趋势：给出几个函数图像，让学生观察函数的变化趋势，如何通过观察图像判断函数的上升和下降区间。

二、导数的定义与计算1.定义导数：引入导数的定义，即函数在其中一点的切线斜率。

通过几个具体的例子，让学生感受导数的概念。

2.导数的计算：介绍导数的计算方法，包括求导法则和常见函数的导数公式。

通过具体的例子，引导学生进行导数的计算。

三、函数的极值1.极值的定义：引入函数的极值的概念，分为极大值和极小值。

通过具体的例子，让学生理解极值的含义。

2.极值的判断：介绍函数极值的判断方法，包括一阶导数的性质和二阶导数的性质。

通过图像和计算，引导学生判断函数的极值点。

四、综合运用1.实际问题的应用：引入一些实际问题，如求解最大值最小值问题、求解优化问题等。

通过这些问题，让学生将导数和极值的概念应用到实际问题中。

2.图像的分析：给出一些函数的图像，让学生分析函数的变化趋势和极值点。

通过这些分析，加深学生对导数和极值的理解。

五、练习与拓展1.练习题：设计一些导数和极值的练习题，包括计算导数、判断极值点等。

通过这些练习，巩固学生对导数和极值的掌握。

2.拓展问题：引入一些拓展问题，如函数的拐点和凹凸性等。

通过这些问题，拓展学生对导数和函数性质的理解。

六、总结与评价1.总结导数与极值：对导数和极值的概念进行总结，包括导数的定义、计算方法和函数的极值判断方法。

2.学生评价：对学生进行评价，包括对导数和极值的理解程度、计算能力和问题解决能力等。

以上是一个关于函数的极值与导数的教学设计，通过引入实际问题、图像分析等方法，帮助学生理解导数和函数的极值。

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。

通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。

1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。

解释极值的必要条件和充分条件。

第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。

2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。

通过实例来说明导数在判断极值中的作用。

第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。

3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。

第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。

4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。

第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。

5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。

第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。

举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。

6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。

通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。

第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。

利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。

7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。

结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。

函数极值与导数的教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用本节是整个中学数学对函数研究的进一步深化。

在此之前学生已经掌握了导数的基本概念，初步具备了运用导数研究函数的能力，这为《函数的最值与导数》奠定了坚实的基础，具有承上启下的作用。

本节课用导数的方法来研究函数的性质，是对函数研究的深化与提升。

同时本节教材是贯彻实施素质教育，充分体现新课标精神，培养学生探究能力很好的教学载体，有利于培养学生用观察、比较、分析、归纳等方法解决一些实际问题。

2.教学目标：(1) 知识与能力：①掌握函数极值的定义,了解可导函数极值点的必要条件和充分条件；②掌握利用导数求不超过三次多项式函数极值的一般方法；③通过对比原函数的增减和导函数的正负，利用函数的图像，给函数的极值以直观的验证。

（2）过程与方法：培养学生观察,分析,探究,归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系.3.教学重、难点本着新课程标准的教学理念和考试大纲的要求，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：教学重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.教学难点：1、 0x 为函数极值点与)(0x f =0的逻辑关系2、将知识和方法内化为技能。

二、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。

三、教法、学法分析（一）教法分析根据本节课的特点，为了提高教学效率，让学生在轻松的环境下获得直观的感受，使数学的课堂富有趣味性，采用师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。

由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.（二）学法分析1. 采用体验学习及问题探究的学习方式，通过学生亲历教师预设的各种问题情境，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养的独立探究能力和态度。

高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。

2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。

3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。

二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。

2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。

三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。

四、教学准备1. 教学课件。

2. 相关例题及练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。

2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。

引导学生理解导数的几何意义。

3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。

4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。

5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。

6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。

要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。

六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。

2. 掌握基本函数的导数求解方法。

3. 能够运用导数判断函数的单调性。

七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。

2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。

3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。

4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。

5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。

八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。

《函数的极值与导数》教课方案【教课目的】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实质问题；二、加深对导数意义的认识，提高剖析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推进社会不停进步，激发学习动力，学会数学地思虑；四、体验数学应用宽泛性，培育学好数学的信念。

【教课要点难点】一、利用导数求函数最值的方法。

二、求一些实质问题的最大值与最小值。

【教具使用】课件、多媒体协助教课【课时安排】课时【教课过程】一、设置情境，引入课题：察看下边一个定义在区间[ ，] 上的函数()的图像。

（如图）我们知道，图中() 与 () 是极小值，() 是极大值。

在解决实质问题时，常常关怀的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中能够看出，函数在 [ ，] 上的最大值是() ，最小值是 () 。

二、新课研究1．函数最值的观点。

定义：可导函数() 在闭区间 [ ，]．．．．．．．．．．．．．上全部点处的函数值中的最大（或最．．．．．．．．．．．．．．．．小）值，叫做函数() 的最大（或最小）．．．．．．．．．．．．．．．．．．值。

．一般地，在闭区间上连续的函数()在[，]上必有最大值与最小会值。

注：在开区间（，）内连续的函数() 不必定有最大值与最小值。

比如()在（，∞）内连续，但没有最大值与最小值。

2．求可导函数 () 在 [ ， ] 上最大值、最小值的方法。

联合上图的例子不难看出，只需把连续函数的全部极值与端点的函数值进行比较，就能够求出函数的最大（最小）值了。

例（教材例）求函数 f (x)x42x2 5 在区间[ －， ] 上的最大值与最小值。

解：y'。

令 y ' ，有，解得：－当变化时，y ' ，的变化状况以下表：x－(－)－(－) y '－()－()从上表能够看出，最大值是，最小值是。

（如图）。

【解题回首】设函数 () 在[ ，] 上连续，在（，）内可导，求 () 在 [ ，] 上的最大值与最小值的步骤以下：（1）求() 在（，）内的极值；．．．．．．．．．．．．．．．（2）将() 的各极值与 () ，() 比较，此中最大的一个是最．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．大值，最小的一个是最小值。

1.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念;会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例;借助函数图形直观感知;并探索函数的极值与导数的关系..3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性;通过学习让学生体会极值是函数的局部性质;增强学生数形结合的思维意识..二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系;与已有知识的联系提出问题;激发求知欲组织学生自主探索;获得函数的极值定义通过例题和练习;深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程〈一〉、创设情景;导入新课1、通过上节课的学习;导数和函数单调性的关系是什么提高学生回答2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象;回答以下问题1当t=a 时;高台跳水运动员距水面的高度最大;那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢2在点t=a 附近的图象有什么特点 3点t=a 附近的导数符号有什么变化规律共同归纳: 函数ht 在a 点处h /a=0;在t=a 的附近;当t ＜a 时;函数()h t 单调递增;()'h t ＞0;当t ＞a 时;函数()h t 单调递减; ()'h t ＜0;即当t 在a 的附近从小到大经过a时; ()'h t 先正后负;且()'h t 连续变化;于是h /a=0.3、对于这一事例是这样;对其他的连续函数是不是也有这种性质呢 <二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=fx 的图象;回答以下问题：1函数y=fx 在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 2 函数y=fx 在a.b.点的导数值是多少3在a.b 点附近; y=fx 的导数的符号分别是什么;并且有什么关系呢aoht2、极值的定义:我们把点a 叫做函数y=fx 的极小值点;fa 叫做函数y=fx 的极小值； 点b 叫做函数y=fx 的极大值点;fa 叫做函数y=fx 的极大值.. 极大值点与极小值点称为极值点; 极大值与极小值称为极值.3、通过以上探索;你能归纳出可导函数在某点x 0取得极值的充要条件吗 充要条件：fx 0=0且点x 0的左右附近的导数值符号要相反4、引导学生观察图1.3.11;回答以下问题：1找出图中的极点;并说明哪些点为极大值点;哪些点为极小值点 2极大值一定大于极小值吗 5、随堂练习:1 如图是函数y=fx 的函数;试找出函数y=fx 的极值点;并指出哪些是极大值点;哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=()'f x 的图象<三>、讲解例题例4 求函数()31443f x x x =-+的极值教师分析:①求f /x;解出f /x=0;找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x 0附近f /x 的符号;从而确定哪一点是极大值点;哪一点为极小值点;从而求出函数的极值. 学生动手做;教师引导解:∵()31443f x x x =-+∴()'f x =x 2-4=x-2x+2 令()'f x =0;解得x=2;或x=-2.下面分两种情况讨论:(1)当()'f x ＞0;即x ＞2;或x ＜-2时; (2) 当()'f x ＜0;即-2＜x ＜2时.当x 变化时; ()'f x ;fx 的变化情况如下表: x-∞;-2 -2 -2;22 2;+∞ ()'f x+ 0_+ fx单调递增283单调递减43- 单调递增因此;当x=-2时;fx 有极大值;且极大值为f-2= 283;当x=2时;fx 有极 小值;且极小值为f2= 43- 函数()31443f x x x =-+的图象如: 归纳：求函数y=fx 极值的方法是:1求()'f x ;解方程()'f x =0;当()'f x =0时:(1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0;右边()'f x ＜0;那么fx 0是极大值. (2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0;右边()'f x ＞0;那么fx 0是极小值 <四>、课堂练习1、求函数fx=3x-x 3的极值2、思考：已知函数fx=ax 3+bx 2-2x 在x=-2;x=1处取得极值; 求函数fx 的解析式及单调区间.. <五>、课后思考题：1、 若函数fx=x 3-3bx+3b 在0;1内有极小值;求实数b 的范围..2、 已知fx=x 3+ax 2+a+bx+1有极大值和极小值;求实数a 的范围.. <六>、课堂小结: 1、 函数极值的定义 2、 函数极值求解步骤3、 一个点为函数的极值点的充要条件..22-()31443f x x x =-+<七>、作业P32 5 ①④。

函数的极值与导数【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念；2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3．掌握求可导函数的极值的步骤；【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。

【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。

【教学过程】（一）创设情景观察图1.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大。

那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图1.3-9。

可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）。

这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=。

对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图像进行说明。

并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的。

从图像观察得出，判别极大、极小值的方法。

判断极值点的关键是这点两侧的导数异号（二）新课讲授1．问题：图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像。

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数。