人教版高中数学优质教案3：3.3.2 函数的极值与导数 教学设计

3.3.2函数的极值与导数教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授 一、导入新课观察下图中P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点P 位置的特点xo函数图像在P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P 点附近，P 点的位置最高，函数值最大 二、学生活动学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构极值点的定义:观察右图可以看出，函数在x =0的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x =2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。

函数的极值与导数教学设计教材分析：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。

本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

学生情况分析：学生已经初步学习了运用单调性研究导数，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难。

本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。

教法选择：情境创设、探索发现、总结归纳学法引导：以学生发现探究，自主合作交流为主，教师点拨疏导为辅。

课堂组织形式：创设情景—发现问题—自主探索—协作探究—交流评价。

一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数极值的逆用三、教学基本流程组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程、创设情景，导入新课通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）、探索研讨引导学生自主学习，从而发现问题。

引导学生通过合作总结函数极值的定义从而我们得出结论: 若0满足f/=0,且在0的两侧的导数异号,则0是f的极值点,f0是极值,并且如果f/ 在0两侧满足“左正右负”,则0是f的极大值点,f0是极大值;如果f/ 在0两侧满足“左负右正”,则0是f的极小值点,f0是极小值极大值与极小值统称为极值让学生进一步理解极值的定义。

、讲解例题x规律总结掌握利用导数求极值的方法及极值的简单应用。

让学生独立总结，同学之间相互补充。

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.3.2函数的极值与导数学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 【重点难点】 求可导函数的极值的步骤 【学习内容】 学习过程 一、课前准备复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x '0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填“是”，“不是”）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.o12 y小结：求可导函数f(x)的极值的步骤:变式2：已知函数32()3911f x x x x=--+.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.※动手试试练1. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x=--；（2）3()27f x x x=-；（3）3()612f x x x=+-；（4）3()3f x x x=-. 练2. 下图是导函数()y f x'=的图象，试找出函数()y f x=的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升※学习小结1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.※知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”课后作业1. 函数232y x x=--的极值情况是（）A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x=时，有极大值4；当3x=时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）A．3269y x x x=++ B．3269y x x x=-+C．3269y x x x=-- D．3269y x x x=+-3. 函数322()f x x ax bx a=--+在1x=时有极值10，则a、b的值为（）A．3,3a b==-或4,11a b=-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为6.如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？7. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.8.已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，求c 的值.。

3.3.2 函数的极值与导数课前预学案一、预习目标了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值二、自主学习 观察图象回答问题1函数在点x a =的函数值与这点附近的 函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？2()f a '等于多少？在点x a =附近，函数的导数的符号有什么规律？3函数在点x b =处的情况呢通过以上问题的探究，你能得到什么结论？用文字语言描述：函数在图象拐弯处的导数值等于0，且在该处左右两侧的导数值异号时取得极值用图形语言描述：Oyxf 'f '(x )>0'ba极值的定义：（1）极大值点与极大值：函数 f 在=a 的函数值fa 比在点=a 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则a 为函数 = f 的极大值点，函数值fa 为函数的极大值；（2）极小值点与极小值：函数 f 在=b 的函数值fb 比在点=b 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则b 为函数 = f 的极小值点，函数值fb 为函数的极小值；3 极大值和极小值统称为极值，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值 思考1：结合极值定义，你认为判断 = f 的极值的一般方法？思考2：结合教材例4，你认为应如何求函数的极值？思考3：极大值一定大于极小值吗？思考4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？预学检测＝f 的导函数＝f ′的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间－2,1内f 是增函数； ②在区间1,3内f 是减函数； ③＝2时，f 取到极大值； ④在＝3时，f 取到极小值．其中正确的是__________将你认为正确的序号填在横线上．2．函数=f 的导数/与函数值和极值之间的关系为A 、导数/由负变正,则函数由减变为增,且有极大值 B 、导数/由负变正,则函数由增变为减,且有极大值 C 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极小值 D 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极大值3．函数331x x y -+=有 ( ) A ．极小值-1，极大值1 B ．极小值-2，极大值3 C ．极小值-2，极大值2 D ．极小值-1，极大值34．若2=x 是函数233)(x ax x f -=的极值点，则a 为A ．1B ．2C ．D ．33.3.2 函数的极值与导数课内探究案【学习目标】1理解极大值、极小值的概念，理解函数极值与导数的关系；2会判别函数极大值、极小值；3会利用导数求函数的极值；探究1：极值点与极值的概念知识归纳：注意事项：1极值是一个局部概念，反映了函数值在某一个点附近的大小情况；2极值不是唯一，函数的极值可能不止一个；3极大值与极小值之间无确定性大小关系，函数的极大值未必大于极小值；4函数的极值点一定出现在区间中部，区间的端点不能成为极值点；探究2：极值与导数的关系方法总结：求函数=f 的极值的方法：先确定定义域,再解方程()0f x '=当()0f x '=时①如果在0附近的左侧()0f x '>右侧()0f x '<,那么,f 0是极大值; ②如果在0附近的左侧()0f x '<右侧()0f x '>,那么,f 0是极小值探究3：极值点与导数的关系结论：左右侧导数异号f 的极值点 (f '反过来是否成立点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0探究4：求函数的极值求函数3()3ln f x x x=+的极值错误!变式1：设32()f x ax bx cx =++，在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f -=-,求a ，b ，c 的值，并1x =±判断分别是极大值点还是极小值点？变式2：设函数32()9f x x ax x =+-的导函数()f x '，且(2)15f '=（1）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程2求函数()f x 的极值庖丁解牛感受高考）（2021年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数)(x f '在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别当堂检测1函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =2函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点121,2x x ==，求,a b 的值3已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数的解析式并。

3.3.2函数的极值与导数[教材分析]：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。

本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

[学情分析]：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。

[教学目标]：知识与技能：•了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；•掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

过程与方法：•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

情感态度与价值观：•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；•激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。

[教学重点和教学难点]：教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

[教法学法分析]：教法分析和教学用具：本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。

并利用信息技术创设实际问题的情境。

发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。

学法分析通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。

通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。

教学过程教学内容设计意图一、自主学习：课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。

通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。

培养学生的自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。

二、成果展示：对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组内达成共识。

效果分析我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。

事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

1. 教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活。

2. 我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。

本节课在教师的积极引导下，学生能主动回答问题，提出问题，学生与学生之间，教师与学生之间有效的互动使课堂气氛和谐活跃，学生参与面广，能照顾到各个层次的学生。

课标分析本节课的重点是利用导数知识求导数的极值。

教材给出极大值、极小值、极值、极值点的定义后，借助函数图象介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义区间；其次，为了清楚起见，可用导数为0的点，将函数的定义区间分成若干小区间，并列表格，判断导数在各小区间的符号；求函数的最值，需要先确定函数的极大值和极小值，因此函数的极值的求法是关键。

学情分析学生前面学习了《利用导数研究函数单调性》，为学习本节奠定了基础，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难，本节课能进一步提高学生利用导数研究函数的能力。

在教学中要特别重视学法的指导。

随着《基础教育课程改革纲要（试行）》的颁布实施，课程改革形成由点到面，逐步铺开的良好态势。

倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。

我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。

在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概念；观察归纳——形成概念②讨论研究——深化概念③寻找充要条件④即时训练—巩固新知⑤深入探讨——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

函数的极值与导数教学设计教学设计：函数的极值与导数一、教学目标：1.理解函数的极值的概念，掌握求解函数极值的方法；2.掌握求解函数极值需要用到的导数的概念及求法；3.运用所学知识解决实际问题。

二、教学准备：1.教学资源：多媒体课件、教科书、白板、笔等；2.学生资源：学生教材、笔、纸等。

三、教学步骤：1.导入（5分钟）导入函数的概念和图像，激发学生对函数的兴趣，并复习函数的定义、函数的性质等相关知识点。

2.概念讲解（15分钟）（1）引入极值的概念：给出一个函数的图像，通过分析函数图像上的极大值点和极小值点，引导学生理解极值的概念，并解释极大值和极小值的含义。

（2）极值点的判断：引导学生探究如何判断一个函数的极值点，给出判断极值点的方法（一阶导数法），并解释其原理。

3.求解极值方法介绍（15分钟）（1）一阶导数法：在介绍一阶导数法之前，先复习函数的导数定义，然后解释如何利用导数找到极值点。

给出极值点的求解步骤，并通过具体例子演示求解过程。

（2）二阶导数法：当一阶导数法不适用或求解比较复杂时，引入二阶导数法。

简要介绍二阶导数的定义，并列出利用二阶导数判断极值的步骤。

4.案例分析（20分钟）（1）通过案例分析，让学生应用所学方法求解函数的极值点。

（2）提供一些经典的实际问题，让学生分析问题并运用导数的知识解答，帮助学生将所学知识与实际问题结合起来。

5.课堂练习（15分钟）（1）提供一些练习题，让学生在课堂上完成并相互讨论互动。

（2）鼓励学生使用一阶导数法和二阶导数法求解问题，巩固所学知识。

6.总结与拓展（10分钟）（1）总结函数的极值与导数的关系，强调通过导数可以判断函数的极值点。

（2）提出导数在其他领域中的应用，如速度和加速度等，并引导学生思考导数的深层次应用。

7.课后作业（5分钟）布置一些相关题目作为课后作业，巩固学生对课堂所学内容的理解与应用。

四、教学评价与反思：教学评价：教师根据学生的课堂参与情况、课后作业完成度等评价学生的学习情况。

函数的极值与导数优秀教学设计【导言】函数的极值与导数是高中数学中的重要概念，也是数学分析的基础。

学生通过学习和理解这些概念，可以更好地掌握函数图像的变化规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方式。

本文以高中数学教学为背景，设计了一节关于函数的极值与导数的教学内容，通过引导学生通过图像、公式和实际问题等不同角度来理解和应用这些概念，提高学生的学习兴趣和能力。

【教学目标】1.理解函数的极值的概念和判定条件。

2.掌握求函数极值的方法，并能正确应用于实际问题。

3.了解导数的概念和计算方法，并能应用于函数极值的求解。

4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力，提高学生的数学建模能力。

【教学准备】1.教师准备：教案、教具、多媒体课件。

2.学生准备：教材、笔记、作业本。

【教学过程】一、导入（15分钟）1.引导学生思考：函数的极值在生活中有哪些应用场景？通过简单的例子提醒学生函数极值的概念和重要性。

2.结合图像：找到一些函数的图像，让学生观察函数的极值点在图像上的特点和位置，并提出一些问题，如：极值点处的斜率是多少？导线处函数有何性质等。

二、函数极值的概念与判定（20分钟）1.引入函数的极值：给出函数极值的定义，并以图像为例说明函数极大值、极小值和极值点的关系。

2.极值的判定条件：介绍函数极值的判定定理，即在光滑区间内，若函数的导数在一点处取得正值，则在该点处有极小值；若函数的导数在一点处取得负值，则在该点处有极大值；若函数的导数在一点处取得零值，则在该点处可能有极值。

3.数学归纳法：通过几个例子引导学生使用极值判定定理来解决函数的极值问题，让学生理解并掌握判定极值的方法。

三、函数极值的求解（30分钟）1.极值问题的转化：将一些实际问题转化为数学问题，如：商家销售产品的成本和销售量的关系函数，如何确定最大利润等问题。

2.极值的求解方法：介绍辅助图像法、导数法和二次函数的极值法等求解极值的方法，并在黑板上演示具体的求解过程。

3. 3. 2 《函数的极值与导数》导学案制作人侯海燕审核高二数学组 2016.03.08 【学习目标】1.了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.【学习重点】掌握函数极值的判定及求法.【学习难点】掌握函数在某一点取得极值的条件【预习导航】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用【问题探究】1.极值点与极值(1)极小值点与极小值 如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值.2.求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是.(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是.引言 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？探究活动一：探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？一般地,求函数的极值的方法是:（小组讨论总结）【思考】求函数31()443f x x x =-+的极值探究活动二：若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明问题：思考函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象 如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有个极小值点.【当堂检测】求函数3()612f x x x =+-的极值【总结概括】 本节课的收获：【课后作业】必做题：1．教材第96页练习1，22. 教材第98页习题3.3 A 组第3,4,5题.选做题：同步练习册课后作业提升习题.。

高中数学人教版《函数的导数与极值》教案2023版一、导言函数的导数与极值是高中数学中重要的概念和应用。

通过学习本节课的内容，我们可以了解到函数在不同点的变化趋势以及如何判断函数的极大值和极小值，为我们进一步研究函数提供了基础。

二、知识点概述本节课的主要内容包括导数的概念、导数的计算和函数的极值的判断。

1. 导数的概念导数表示函数在某一点的变化速率。

在数学上，我们用函数的导数来描述函数的增长和减少趋势。

2. 导数的计算导数的计算有多种方法，其中常用的有利用定义计算导数、使用导数的四则运算法则和使用导数的基本函数性质。

3. 函数的极值的判断通过导数的概念和计算，我们可以判断函数的极值。

极大值和极小值是函数变化的最高点和最低点，通过求解导函数为零的方程，我们可以得到函数的极值点。

三、教学内容及方法本节课的教学内容主要包括导数的概念的讲解、导数的计算方法的介绍和函数的极值的判断。

教学方法上，可以采用讲解、示例演示和练习等方式相结合。

1. 导数的概念的讲解通过生动的例子和图示，引导学生认识导数的概念，并阐述导数与函数的变化趋势之间的关系。

2. 导数的计算方法的介绍介绍常见导数的计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数和对数函数等的导数计算方法，帮助学生掌握导数的计算技巧。

3. 函数的极值的判断讲解如何通过求导来判断函数的极大值和极小值，以及如何利用导数的性质研究函数的变化趋势。

四、教学流程安排为了更好地完成本节课的教学任务，可以按照以下流程进行：1. 导入导学环节通过提问，调动学生的思维，引导学生思考函数的变化趋势和极值的概念。

2. 概念讲解与示例演示讲解导数的概念与计算方法，并通过详细的示例演示帮助学生理解和掌握。

3. 练习与巩固给学生一定数量的练习题让学生进行巩固练习，提高他们的应用能力和解题能力。

4. 拓展与应用进一步拓展导数的应用领域，引导学生思考函数的变化趋势对实际问题的影响，并结合具体应用实例进行讲解。

3.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1．核心素养通过学习函数的极值与导数，形成基本的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力，并依据运算法则解决数学问题．2．学习目标（1）理解函数极值的概念．（2）理解函数极值与导数的关系．（3）掌握求函数极值的方法，并能应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断函数零点的个数等问题．3．学习重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．4．学习难点函数在某一点取得极值的必要条件与充分条件．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近点的最高点.同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近点的最低点.假设如图是群山中各个山峰的一部分图像，观察如图中P 点附近图像从左到右的变化趋势，P 点的函数值以及点P 位置各有什么特点.想一想：图中P 点，Q 点的函数值与其附近的函数值有何关系？任务2预习教材P93—P96，完成P96相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1.已知0)(0='x f ，则下列结论中正确的是( )A.0x 一定是极值点B.如果在0x 附近的左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ，那么)(0x f 是极大值C.如果在0x 附近的左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ，那么)(0x f 是极小值D.如果在0x 附近的左侧0)(0<'x f ，右侧0)(0>'x f ，那么)(0x f 是极大值解：B 直接根据极值概念判断,也可画出图象进行分析 .2.函数23bx ax y +=取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和31，则( ) A.02=-b a B.02=-b a C.02=+b a D.02=+b a解：D bx ax y 232+='，据题意，0和31是方程0232=+bx ax 的两根,∴3132=-a b ，∴02=+b a . 3.若函数m x x y ++-=236的极大值为13，则实数=m .解：19- x x y 1232+-='，由0='y ，得0=x 或4=x ，容易得出当4=x 时函数取得极大值,所以1342643=+⨯+-m ，解得19-=m .4.若kx x y +=3在R 上无极值，则k 的取值范围为 .解：),0[+∞ k x y +='23，∵kx x y +=3在R 上无极值，∴0≥'y 恒成立，∴),0[+∞∈k .（二）课堂设计1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵函数的导数与函数的单调性的关系.⑶用导数求函数单调区间的步骤.2．问题探究问题探究一 函数极值的概念 ★●活动一 探求新知如图观察，函数)(x f y =在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？如：以d 、e 两点为例，函数)(x f y =在点d x =处的函数值)(d f 比它在点d x =附近其他点的函数值都小；函数)(x f y =在点e x =处的函数值)(e f 比它在e x =附近其他点的函数值都大.探究：)(x f y =在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f(x)的导数的符号有什么规律？0)(='d f ，在d x =的附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ；0)(='e f ，在e x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f .得出新知1．极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极值点与极值极小值点 、极大值点 统称为极值点， 极小值 和 极大值 统称为极值（extreme value ）． 说明：（1）极值反映了函数值在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．（2）极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷” ．2．理解极值概念的注意点（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．（2）极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．（3）若函数)(x f 在],[b a 内有极值，那么函数)(x f 在],[b a 内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值．（4）极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极大值与极小值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．（5）若函数)(x f 在],[b a 上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． ●活动二 想一想：怎样根据函数图像确定极值？由图像确定极大值或极小值时，需要关注图像在某点处从左侧到右侧的变化情况，极值点一般是指单调性的转折点.若图像由“上升”变为“下降”，则函数值由增加变为减少，这时，在该点附近，该点的位置最高，即该点的函数值比它附近的点的函数值都大，因此是极大值；若图像由“下降” 变为“上升” ，则在该点附近，该点的位置最底，即该点的函数值比它附近的点的函数值都小，因此是极小值.问题探究二 函数极值与导数的关系 ●活动一阅读教材P95，结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？可导函数的极值点一定是其导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点， 举例如下：（1）导数值为0的点是极值点：2)(x x f =，0)0(='f ，0=x 是极小值点；（2）导数值为0的点不是极值点：3)(x x f =，0)0(='f ，0=x 不是极值点；（3）不可导点是极值点：||)(x x f =，当0=x 时，不可导，是极小值点；（4）不可导点不是极值点：31)(x x f =，当0=x 时，不可导，不是极值点.●活动二结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：导数为零是该点为极值点的什么条件？ 导数值为0的点只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号. 即可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件是：（1）必要条件：可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值的必要条件是0)(0='x f .（2）充分条件：可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值的充分条件是)(x f '在0x x =两侧异号． 因此导数等于零的点不一定是极值点，极值点的导数一定为零，导数为零是某点为极值点的必要不充分条件.●活动三结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：单调函数有极值吗？有极值的函数单调吗？单调函数没有极值，有极值的函数不单调.问题探究三 函数极值的求解步骤 ●活动一阅读教材P94的例4，根据例4及函数极值的概念归纳出求函数)(x f y =的极值的步骤．1．求函数)(x f y =的极值的方法解方程0)(='x f ，当0)(0='x f 时：(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是 极大值 ．(2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是 极小值 ．2．求可导函数)(x f y =的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数)(x f '；(2)求方程0)(='x f 的根（可能不止一个）；(3)用方程0)(='x f 的根，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，可将x ，)(x f '，)(x f 在每个区间内的变化情况列在同一表格中．检测)(x f '在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值．(4)求出极值．●活动二 初步运用，运用导数求函数的极值例1 已知函数119)(23+--=x ax x x f 且12)1(-='f ．⑴求函数)(x f 的解析式；⑵求函数)(x f 的极值．【知识点：函数极值的求法；数学思想：数形结合】详解：⑴∵923)(2--='ax x x f ，又12923)1(-=--='a f ，∴3=a ．⑵由⑴得：)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，当31>-<x x 或时，0)(>'x f ，当31<<-x 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在)1,(--∞，),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数，∴函数)(x f 的极大值为16)1(=-f ，极小值为16)3(-=f ．点拨：求可导函数)(x f y =的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数)(x f '；⑵解不等式0)(>'x f 得增区间，解不等式0)(<'x f 得减区间，再判断0)(='x f 的解左右)(x f '的正负得极值点；⑶求出极值．●活动三 对比提升，根据极值求参数例2 若函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处取得极值10，试求a ，b 的值．【知识点：根据极值求参数】详解：∵b ax x x f ++='23)(2，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+++==++='114101)1(023)1(2b a a b a f b a f 或⎩⎨⎧=-=33b a ，但当⎩⎨⎧=-=33b a 时，0363)(2≥+-='x x x f 恒成立，故)(x f 在R 上单调递增，不可能在1=x 处取得极值，∴不合题意，舍去；而当⎩⎨⎧-==114b a 时，经检验知符合题意，故4=a ，11-=b ．点拨：已知函数的极值，求参数问题的解题步骤：求函数的导数)(x f '；⑵由极值点的导数为0，列出方程（组），求解参数．⑶当求出参数多于一组解时，一定要验证是否满足题目的条件．●活动四 综合应用，函数的极值与零点问题例3 设函数)()(2R a e ax x f x ∈+=有且仅有两个极值点)(,2121x x x x <，求实数a 的值范围．【知识点：根据极值求参数的范围；数学思想：转化与化归、数形结合】详解：'()2x f x ax e =+，由题意20x ax e +=有两解，显然0x =不是此方程的解，方程可变形为2x e a x =-，问题转化为直线y a =与函数()2xe g x x=-的图象有两个交点．2(1)'()2x e x g x x-=-，当0x <时，'()0g x >，()g x 递增，且()0g x >，当01x <<时，'()0g x >，()g x 递增，且()0g x <，当1x >时，'()0g x <，()g x 递减，且()0g x <，所以1x =时，()g x 取极大值(1)2e g =-，又当x →+∞时，()g x →-∞，又当0x →+时，()g x →-∞，因此当(1)2e a g <=-时，直线y a =与函数()2x e g x x =-的图象有两个交点．另解：'()2x f x ax e =+，由题意20x ax e +=有两解，即2x e ax =-，问题转化为直线2y ax =-与函数x y e =的图象有两个交点，作函数x y e =图象，设直线y kx =与函数x y e =的图象相切，切点为00(,)x y ，x y e =的导函数为'x y e =，则0x e k =，00000x x y e k e x x ===，解得01x =，即切点为(1,)e ，此时k e =，作直线2y ax =-，由图象知直线与2y ax =-函数x y e =图象有两个交点时有2a e ->，即2e a <-． 点拨：利用求函数极值的方法确定方程解的个数时，要根据所求极值，画出函数的大致图像，运用数形结合的思想求解.3．课堂总结【知识梳理】数学知识：(1)函数极值的概念以及极值的判定方法．(2)求解函数)(x f y =极值的步骤:①)确定函数的定义域，求导数f ′(x ) （养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）；②求方程)(x f '=0的根； ③检查)(x f '在方程)(x f '＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。

3.3.2 函数的极值与导数教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x ＝a b 点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学 (对应学生用书第58页)函数y ＝f (x )的图象如图所示．1．函数在x ＝a 点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】 函数在点x ＝a 的函数值比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小 . 2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 【提示】 f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.3．函数在x ＝b 点处的情况呢？【提示】 函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 (对应学生用书第58页)例题1 (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x ＋3ln x .【思路探究】原函数――→求导导函数―→fx ＝0的点x 0 ――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝x －x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1 规律方法1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.例题2 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，－23＝b 3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 规律方法已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 变式训练已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.例题3 直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．规律方法1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．易错易误辨析 (对应学生用书第60页)因未验根而致误典例 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f －＝0，f －＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . ∴⎩⎨⎧ f ＝0，f －＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.课堂小结1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.当堂双击达标(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值【解析】函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】 y ′＝1－1x 2＝x 2－1x2，令y ′＝0解得x ＝±1，而原函数的定义域为{x |x ≠0}，∴当x变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极大值极小值课后知能检测 (对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f (x )，x ∈R ，有唯一极值，且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x()A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0∴a＝5.应选D.【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.【解】 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. 教师备课资源 (教师用书独具)备选例题已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 备选变式已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b 2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b 2a取得极大值．综上，函数f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0)有极值时，a ，b 所满足的条件是ab ＜0.。

３．３．２函数的极值与导数学习目标核心素养１．了解极值的概念，理解极值与导数的关系．（难点）２．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．（重点）３．会根据函数的极值求参数的值．（难点）１．通过学习极值的概念，培养学生数学抽象与直观想象的素养．２．借助极值的求法，提升逻辑推理与数学运算的素养.１．极值点与极值的概念（１）极小值点与极小值如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则把点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f （a）叫做函数y＝f（x）的极小值．（２）极大值点与极大值如（１）中图，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则把点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．思考：区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？[提示] 不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．２．极值的定义（１）极小值点、极大值点统称为极值点．（２）极大值与极小值统称为极值．３．求函数y＝f（x）的极值的方法解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时，（１）如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值.（２）如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．１．函数y＝x３＋１的极大值是（）Ａ．１Ｂ．0Ｃ．２Ｄ．不存在D[y′＝３x２≥0，则函数y＝x３＋１在R上是增函数，不存在极大值．]２．函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）Ａ．无极大值点，有四个极小值点Ｂ．有三个极大值点，两个极小值点Ｃ．有两个极大值点，两个极小值点Ｄ．有四个极大值点，无极小值点C[当f′（x）的符号由正变负时，f（x）有极大值，当f′（x）的符号由负变正时，f（x）有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]３．下列说法不正确的是（）Ａ．函数y＝x２有极小值Ｂ．函数y＝sin x有无数个极值Ｃ．函数y＝２x没有极值Ｄ．x＝0是函数y＝x３的极值点D[∵y＝x３，∴y′＝３x２≥0，∴y＝x３无极值．（或者直接观察图象可知A，B，C正确，D错误）]求函数的极值【例１】求函数f（x）＝x２e—x的极值．[解] 函数的定义域为R，f′（x）＝２x e—x＋x２·e—x·（—x）′＝２x e—x—x２e—x＝x（２—x）e—x.令f′（x）＝0，得x（２—x）e—x＝0，解得x＝0或x＝２．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（—∞，0）0（0,２）２（２，＋∞）f′（x）—0＋0—f（x）↘极小值0↗极大值４e—２↘因此当x并且极小值为f（0）＝0；当x＝２时，f（x）有极大值，并且极大值为f（２）＝４e—２＝错误!.求函数极值和极值点的四步骤１确定函数的定义域；２求方程f′x＝0的根；３用方程f′x＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；４由f′x在方程f′x＝0的根左右的符号，来判断f x在这个根处取极值的情况.错误!１．求下列函数的极值点和极值．（１）f（x）＝错误!x３—x２—３x＋３；（２）f（x）＝错误!＋３ln x.[解] （１）f′（x）＝x２—２x—３．令f′（x）＝0，得x＝３或x＝—１．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表所示：x（—∞，—１）—１（—１,３）３（３，＋∞）f′（x）＋0—0＋f（x）↗极大值↘极小值↗所以x极大值且f（x）极小值＝—6．（２）函数f（x）＝错误!＋３ln x的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝—错误!＋错误!＝错误!，令f′（x）＝0，得x＝１．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表所示：x （0,１）１（１，＋∞）f′（x）—0＋f（x）↘极小值↗所以x＝１是函数f（极小值已知函数极值求参数３２（１）试求常数a，b，c的值；（２）试判断x＝±１是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解] （１）f′（x）＝３ax２＋２bx＋c（a≠0），∵x＝±１是函数的极值点，∴x＝±１是方程３ax２＋２bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得错误!又∵f（１）＝—１，∴a＋b＋c＝—１．３由１２３解得a＝错误!，b＝0，c＝—错误!.（２）由（１）得f（x）＝错误!x３—错误!x，∴f′（x）＝错误!x２—错误!＝错误!（x—１）（x＋１）．令f′（x）>0，得x<—１或x>１；令f′（x）<0，得—１<x<１．∴函数f（x）在区间（—∞，—１）和（１，＋∞）上是增函数，在区间（—１,１）上是减函数．因此，x＝—１是函数的极大值点；x＝１是函数的极小值点．已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：１根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.２因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.错误!２．设x＝１与x＝２是函数f（x）＝a ln x＋bx２＋x的两个极值点．（１）试确定常数a和b的值；（２）判断x＝１，x＝２是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解] （１）∵f（x）＝a ln x＋bx２＋x，∴f′（x）＝错误!＋２bx＋１．由题意可知f′（１）＝f′（２）＝0，∴a＋２b＋１＝0且错误!＋４b＋１＝0．解方程组得a＝—错误!，b＝—错误!.即a＝—错误!，b＝—错误!.（２）由（１）知f（x）＝—错误!ln x—错误!x２＋x（x>0），x＝１，x＝２分别是函数f（x）的极小值点，极大值点．理由如下：f′（x）＝—错误!x—１—错误!x＋１＝—错误!—错误!x＋１＝—错误!.又∵f（x）的定义域为（0，＋∞），∴当x∈（0,１）时，f′（x）<0；当x∈（１,２）时，f′（x）>0；当x∈（２，＋∞）时，f′（x）<0，故在x＝１处函数f（x）取得极小值，在x＝２处函数取得极大值，故x＝１为极小值点，x＝２为极大值点．函数极值的综合应用１．如何画三次函数f（x）＝ax３＋bx２＋cx＋d（a≠0）的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象．２．三次函数f（x）＝ax３＋bx２＋c（a≠0）的图象和x轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．【例３】已知函数f（x）＝x３—３ax—１（a≠0）．若函数f（x）在x＝—１处取得极值，直线y ＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[思路点拨] 错误!错误!错误!错误!错误![解] 因为f（x）在x＝—１处取得极值且f′（x）＝３x２—３a，所以f′（—１）＝３×（—１）２—３a＝0，所以a＝１，所以f（x）＝x３—３x—１，f′（x）＝３x２—３，由f′（x）＝0，解得x１＝—１，x２＝１．当x<—１时，f′（x）>0；当—１<x<１时，f′（x）<0；当x>１时，f′（x）>0．所以f（x）的单调增区间为（—∞，—１），（１，＋∞）；单调减区间为（—１,１），f（x）在x＝—１处取得极大值f（—１）＝１，在x＝１处取得极小值f（１）＝—３．作出f（x）的大致图象如图所示．因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，结合f（x）的图象可知，m的取值范围是（—３,１）．利用导数研究方程根的个数利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.错误!３．已知a为实数，函数f（x）＝—x３＋３x＋a.（１）求函数f（x）的极值，并画出其图象（草图）；（２）当a为何值时，方程f（x）＝0恰好有两个实数根．[解] （１）由f（x）＝—x３＋３x＋a，得f′（x）＝—３x２＋３,令f′（x）＝0，得x＝—１或x＝１．当x∈（—∞，—１）时，f′（x）<0；当x∈（—１,１）时，f′（x）>0；当x∈（１，＋∞）时，f′（x）<0．所以函数f（x）的极小值为f（—１）＝a—２；极大值为f（１）＝a＋２．由单调性、极值可画出函数f（x）的大致图象，如图所示．（２）结合图象，当极大值a＋２＝0时，有极小值小于0，此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，即方程f（x）＝0恰有两个实数根，所以a＝—２满足条件；当极小值a—２＝0时，有极大值大于0，此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，所以a＝２满足条件．综上，当a＝±２时，方程恰有两个实数根.１．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．２．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f（x）在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0且在x＝x0两侧f′（x）符号相反．３．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．１．判断正误（１）导数值为0的点一定是函数的极值点．（）（２）极大值一定比极小值大．（）（３）函数f（x）＝错误!有极值．（）（４）函数的极值点一定是其导函数的变号零点．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）（）Ａ．在（—∞，0）上为减函数Ｂ．在x＝0处取极小值Ｃ．在（４，＋∞）上为减函数Ｄ．在x＝２处取极大值C[结合图象可知，当x>４时，f′（x）<0，∴f（x）在（４，＋∞）上为减函数．]３．若x＝—２与x＝４是函数f（x）＝x３＋ax２＋bx的两个极值点，则有（）Ａ．a＝—２，b＝４Ｂ．a＝—３，b＝—２４Ｃ．a＝１，b＝３Ｄ．a＝２，b＝—４B[f′（x）＝３x２＋２ax＋b，依题意有x＝—２和x＝４是方程３x２＋２ax＋b＝0的两个根，所以有—错误!＝—２＋４，错误!＝—２×４，解得a＝—３，b＝—２４．]４．已知函数f（x）＝x３—6x＋５，x∈R.试求：（１）函数f（x）的单调区间和极值；（２）若关于x的方程f（x）＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．[解] （１）f′（x）＝３x２—6，令f′（x）＝0，解得x１＝—错误!，x２＝错误!.因为当x>错误!或x<—错误!时，f′（x）>0；当—错误!<x<错误!时，f′（x）<0．所以f（x）的单调递增区间为（—∞，—错误!）和（错误!，＋∞）；单调递减区间为（—错误!，错误!）．当x＝—错误!时，f（x）有极大值５＋４错误!；当x＝错误!时，f（x）有极小值５—４错误!.（２）由（１）的分析知y＝f（x）的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当５—４错误!<a<５＋４错误!时，直线y＝a与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，即方程f（x）＝a有三个不同的实根．所以实数a的取值范围为（５—４错误!，５＋４错误!）．。

3.3.2 函数的极值与导数教学目标重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.知识点：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤. 教具准备：多媒体课件课堂模式：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。

一. 引入新课师：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？生：在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系. 二．探究新知师：观察表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象，回答以下问题（1）当a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数)(t h 在a t =处的导数是多少呢？（2）在点a t =附近的图象有什么特点？ （3）点a t =附近的导数符号有什么变化规律？师生共同归纳: 函数)(t h 在a t =点处0)(/=a h ,在a t =的附近,当a t <时,函数()h t 单调aoht递增, 0)(/>t h ;当a t>时,函数()h t 单调递减, 0)(/<t h ,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, )(/t h 先正后负,且)(/t h 连续变化,于是0)(/=a h .【设计意图】用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识，发挥学生的主体作用.用信息技术辅助教学，突破难点.【设计说明】对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力.师：对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？观察下图所表示的)(x f y =的图象，回答以下问题：（1）函数)(x f y =在b a ,点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2）函数)(x f y =在b a ,点的导数值是多少?（3）在b a ,点附近,)(x f y =的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?如图，函数)(x f y =在h g f e d c b a ,,,,,,,等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？)(x f y =在这些点的导数值是________,在这些点附近，)(x f y =的导数的符号有什么规律？【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，引导学生创新与实践.培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神. 理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法.【设计说明】两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳.帮助学生进一步了解极值点和极值的含义，增强学习的信心，让学生体验成功的喜悦.通过思考与讨论，进一步了解极值点和极值的含义，知道极值刻画函数的局部性质,培养学生合作交流的精神. 三. 理解新知师生共归纳：极值的定义：在a x =附近，)(x f 先减后增，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=a f ．)(a f 比在点a x =附近其它点的函数值都小.我们把点a 叫做函数)(x f y =的__________,)(a f 叫做函数的___________.在b x =附近，)(x f 先增后减，)('x f 先___后___，)('x f 连续变化，于是有0)('=b f ．)(b f 比在点b x =附近其它点的函数值都大.我们把点b 叫做函数)(x f y =的__________,)(b f 叫做函数的___________.极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________. 负、正、极小值点、正、负、极大值点、极大值、极值点、极值【设计意图】根据探究，总结极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、极值的定义,培养学生的归纳能力.练习1：师：判断正误：点0=x 是函数3x y =的极值点. 画函数图像，观察得出结论：函数3x y =在0=x 处导数为0，但在该点两侧都单调递增，无极值，故导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.【设计意图】通过一道判断题，分解难点.培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.师：通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点0x 取得极值的充要条件吗？ 充要条件：0)('0=x f 且点0x 的左右附近的导数值符号要相反练习2：下图是导函数)('x f y =的图象，试找出函数)(x f y =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点，极大值一定大于极小值吗？不一定，极值是函数的局部性概念练习3:如图是函数)(x f y =的图象,试找出函数)(x f y =的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数)(/x f y =的图象呢?【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.通过练习1突出判断极值点的条件，从而突破难点.练习2帮助学生理解极值是函数的局部性质.练习3给的图像是原函数和导函数的图像，进一步让学生区分如何用原函数和导函数的图像判断函数的极大值与极小值.从而突出重点、突破难点. 四．运用新知 例1、求函数4431)(3+-=x x x f 的极值 教师分析:①求)(/x f ,解出0)(/=x f ,找函数极值点②由函数单调性确定在极值点0x 附近)(/x f 的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导.解:∵4431)(3+-=x x x f ∴4)(2/-=x x f 令0)(/=x f ,解得2,2-==x x 或. 下面分两种情况讨论:(1) 当0)(/>x f 时,即2,2-<>x x 或; (2) 当0)(/<x f 时,即22<<-x .当x 变化时, )(/x f ,)(x f 的变化情况如下表:因此,当2-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当2=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为思考：根据上表，你能画出该函数的大致图象吗？ 函数4431)(3+-=x x x f 的图像如图所示归纳：求函数)(x f y =极值的方法是: 求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1) 如果在附近的左边0)(/>x f ,右边0)(/<x f ,那么)(0x f 是极大值. (2) 如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值 讨论：求极值的步骤(1)求导 (2)求极值点 (3)讨论单调性 (4)列表 (5)写出极值.328)2(=-f 34)2(-=f 0xx【设计说明】例题由老师板书，体现示范功能,为解此类问题提供经验.表格的使用，可使极值点两侧的增减性一目了然.图象是函数性质的直观载体，根据极值自己作图可为我们的结论提供直观验证，进一步培养学生数形结合的能力.【设计意图】通过典型例题巩固学生对新知识的理解,通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.作图时先作出两个极值点，再根据单调性作图.通过作图，使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤.练习．求下列函数的极值.(1)x x y 273-= (2) 求()1132+-=x y 解：(1) ()()()333273'27'23-+=-=-=x x x x x y令0'=y ，解得31-=x ，32=x . 当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表.∴当-3x =时，y 有极大值，且54y =极大值. 当3x =时，y 有极小值，且-54y =极小值 (2)解：()2222)1()1(616'-+=-=x x x x x y , 令0'=y 解得11-=x ，02=x ，3=x当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表∴当0=x 时，y 有极小值且0y =极小值【设计意图】练习源于例题，让学生板演，关注学生的数学表达，学生提供的反馈素材，应及时校正.照顾学有余力的学生，灵活运用所学知识，培养其逆向思维和化归转化的数学思想和方法.【设计说明】通过练习、巩固提高.例2. 设()cx bx ax x f ++=23，在1x =和1x -=处有极值，且()11-=f ,求c b a ,,的值，并求出相应的极值.解：c bx ax x f ++=23)(2/，∵1x ±=是函数的极值点，则1,1-是方程0)(/=x f 的根，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-a c a b 313211⇒⎩⎨⎧-==a c b 30，又1)1(-=f ，则有1-=++c b a ，由上述三个方程可知23,0,21-===c b a ，函数的表达式为x x x f 2321)(3-=，∴2323)(2/-=x x f ，令0)(/=x f ，得1x ±=，当x 变化时，)(/x f ,)(x f 的变化情况表：由上表可知因此,当1-=x 时, )(x f 有极大值,且极大值为 ;当1=x 时, )(x f 有极小值,且极小值为 练习.已知()()0223≠++=a bx ax x f 在1=x 处取得极值2-，求b a ,的值.五.课堂小结 1.函数极值的定义2.求函数()x f y =极值的方法是:求)(/x f ,解方程0)(/=x f ,解得0x x =(1)如果在附近的左边0)(/>x f ,右边()0f x '<,那么)(0x f 是极大值. (2)如果在附近的左边0)(/<x f ,右边0)(/>x f 那么)(0x f 是极小值. 3.一个点为函数的极值点的充要条件.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是1)1(=-f 1)1(-=f 0x 0x极值点，要看这点两侧的导数是否异号.【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.六. 布置作业（配套作业）。

《函数的极值与导数》教课方案【教课目的】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实质问题；二、加深对导数意义的认识，提高剖析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推进社会不停进步，激发学习动力，学会数学地思虑；四、体验数学应用宽泛性，培育学好数学的信念。

【教课要点难点】一、利用导数求函数最值的方法。

二、求一些实质问题的最大值与最小值。

【教具使用】课件、多媒体协助教课【课时安排】课时【教课过程】一、设置情境，引入课题：察看下边一个定义在区间[ ，] 上的函数()的图像。

（如图）我们知道，图中() 与 () 是极小值，() 是极大值。

在解决实质问题时，常常关怀的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中能够看出，函数在 [ ，] 上的最大值是() ，最小值是 () 。

二、新课研究1．函数最值的观点。

定义：可导函数() 在闭区间 [ ，]．．．．．．．．．．．．．上全部点处的函数值中的最大（或最．．．．．．．．．．．．．．．．小）值，叫做函数() 的最大（或最小）．．．．．．．．．．．．．．．．．．值。

．一般地，在闭区间上连续的函数()在[，]上必有最大值与最小会值。

注：在开区间（，）内连续的函数() 不必定有最大值与最小值。

比如()在（，∞）内连续，但没有最大值与最小值。

2．求可导函数 () 在 [ ， ] 上最大值、最小值的方法。

联合上图的例子不难看出，只需把连续函数的全部极值与端点的函数值进行比较，就能够求出函数的最大（最小）值了。

例（教材例）求函数 f (x)x42x2 5 在区间[ －， ] 上的最大值与最小值。

解：y'。

令 y ' ，有，解得：－当变化时，y ' ，的变化状况以下表：x－(－)－(－) y '－()－()从上表能够看出，最大值是，最小值是。

（如图）。

【解题回首】设函数 () 在[ ，] 上连续，在（，）内可导，求 () 在 [ ，] 上的最大值与最小值的步骤以下：（1）求() 在（，）内的极值；．．．．．．．．．．．．．．．（2）将() 的各极值与 () ，() 比较，此中最大的一个是最．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．大值，最小的一个是最小值。