高中数学选修2-2精品教案 3.2 函数的极值与导数

1．3．2 函数的极值与导数(1)一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤. 三、教学过程： （一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线a 点的函数值f (a )比它临近点的函数值都大．b 点的函数值f (b )比它临近点的函数值都小．2、观察函数 f (x )＝2x 3－6x 2＋7的图象，思考：函数y ＝f (x )在点x ＝0，x ＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x ＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f (0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x ＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f (2)是函数的一个极小值．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )． 3、极值的概念：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜ f (x 0) 我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作 y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)． 极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 函数的极值点x i 是区间[a , b ]内部的点，区间的端点不能成为极值点．函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．函数在[a , b ]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：Ox a f (a )O x y bf (b )6422O y xf (0)f (2)Ox f '(a )＝0f '(x )0f '(x )＞0a O x yf '(b )＝0f '(x )＜0 f '(x )＞0b⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值； ⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值； 思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点．如函数f (x )＝x 3，x ＝0点处的导数是0，但它不是极值点．.)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数，在，导函数，的定义域为开区间函数b a x f b a x f b a x f例1求函数3144.3y x x =-+的极值 解：y '＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令 y '＝0，解得 x 1＝－2，x 2＝2． 当 y 极大值＝283 ，当x ＝2时，y 极小值＝－3． 求可导函数f (x )的极值的步骤：⑴ 求导函数f '(x )；⑵ 求方程 f '(x )＝0的根；⑶ 检查f '(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 例2．求函数xex y -=2的极值例3 求函数y ＝(x 2－1)3＋1的极值．解：定义域为R ，y '＝6x (x 2－1)2.由y '＝0可得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1 极小值例4．23)1(22--=x x y 的极值 例5．32)1(x x y -=的极值思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？ 练习：求函数xex y -=3的极值极小值极大值y +0－0+y '(2, +∞)2(－2, 2)－2(－∞, －2)x 32834-10842-44xyO6极小值0无极值y－0－y '0(－1，0)－1(－∞，－1)x 无极值y＋0＋y '(1，+∞)1(0，1)x321-2-112xy（三）课堂小结1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤. （四）课后作业。

§1.3.2 函数的极值与导数（2 课时） 课题：1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程与设计： 详细过程一．创设情景 观察图 3.3-8，我们发现，t  a 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数 h(t ) 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规 律？ 放大 t  a 附近函数 h(t ) 的图像，如图 3.3-9．可以看出 h( a ) ；在 t  a ，当 t  a 时， 函数 h(t ) 单调递增， h(t )  0 ；当 t  a 时，函数 h(t ) 单调递减， h(t )  0 ；这就说明，在 ．这样，当 t 在 a 的 t  a 附近，函数值先增（ t  a ， h(t )  0 ）后减（ t  a ， h(t )  0 ） 附近从小到大经过 a 时， h(t ) 先正后负，且 h(t ) 连续变化，于是有 h(a)  0 ．教学目标：教学重点： 教学难点：对于一般的函数 y  f  x  ，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1 ． 问 题 ： 图 3.3-1 （ 1 ） ，它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数王新敞奎屯 新疆h(t )  4.9t 2  6.5t  10 的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t )  h (t )  9.8t  6.5 的图像．'运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，即 h(t ) 是增 函数．相应地， v(t )  h' (t )  0 ． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h(t ) 是减 函数．相应地， v(t )  h' (t )  0 ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3 ，导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率．在 x  x0 处，f ' ( x0 )  0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增；在 x  x1 处， f ' ( x0 )  0 ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系' 在某个区间 ( a , b) 内，如果 f ( x)  0 ，那么函数 y  f ( x) 在这个区间内单调递增；如果f ' ( x)  0 ，那么函数 y  f ( x) 在这个区间内单调递减．' 说明： （1）特别的，如果 f ( x)  0 ，那么函数 y  f ( x) 在这个区间内是常函数．3．求解函数 y  f ( x) 单调区间的步骤： （1）确定函数 y  f ( x) 的定义域； （2）求导数 y  f ( x) ；' '（3）解不等式 f ( x)  0 ，解集在定义域内的部分为增区间；'（4）解不等式 f ( x)  0 ，解集在定义域内的部分为减区间．'三．典例分析 例 1．已知导函数 f ( x) 的下列信息：' 当 1  x  4 时， f ( x)  0 ； '当 x  4 ，或 x  1 时， f ( x)  0 ；'当 x  4 ，或 x  1 时， f ( x)  0'试画出函数 y  f ( x) 图像的大致形状．解：当 1  x  4 时， f ' ( x)  0 ，可知 y  f ( x) 在此区间内单调递增； 当 x  4 ，或 x  1 时， f ' ( x)  0 ；可知 y  f ( x) 在此区间内单调递减； 当 x  4 ，或 x  1 时， f ' ( x)  0 ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” ． 综上，函数 y  f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示． 例 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） f ( x)  x3  3x ； （2） f ( x)  x2  2x  3（3） f ( x)  sin x  x x  (0,  ) ； （4） f ( x)  2x3  3x2  24 x  1 解： （1）因为 f ( x)  x  3x ，所以， f ( x)  3x  3  3( x  1)  03 ' 2 2因此， f ( x)  x  3x 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示．3（2）因为 f ( x)  x2  2x  3 ，所以， f ' ( x)  2x  2  2  x 1 当 f ( x)  0 ，即 x  1 时，函数 f ( x)  x  2x  3 单调递增；' 2当 f ( x)  0 ，即 x  1 时，函数 f ( x)  x  2x  3 单调递减；' 2函数 f ( x)  x  2x  3 的图像如图 3.3-5（2）所示．2 ' （3） 因为 f ( x)  sin x  x x  (0,  ) ，所以， f ( x)  cos x  1  0因此，函数 f ( x)  sin x  x 在 (0,  ) 单调递减，如图 3.3-5（3）所示． （4） 因为 f ( x)  2x  3x  24 x  1 ，所以3 2．2当 f ( x)  0 ，即'时，函数 f ( x)  x  2x  3 时，函数 f ( x)  x  2x  32 2； ；当 f ( x)  0 ，即' 3函数 f ( x)  2x  3x  24 x  1 的图像如图 3.3-5（4）所示． 注： （3） 、 （4）生练 例3 如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得 慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上， （A）符合上述变化情况．同理可知其它三种 容器的情况．解： 1   B ,  2   A , 3   D ,  4  C  思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结 合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图 3.3-7 所示， 函数 y  f ( x) 在  0 , b  或  a , 0 内的图像“陡峭” ，在  b ,   或   , a  内的图像“平 缓” ． 例4 求证：函数 y  2x3  3x2 12 x  1 在区间  2,1 内是减函数．' 2 2 证明：因为 y  6 x  6 x  12  6 x  x  2  6  x  1 x  2 当 x   2,1 即 2  x  1 时， y'  0 ，所以函数 y  2x3  3x2 12 x  1 在区间  2,1 内 是减函数． 说明：证明可导函数 f  x  在  a , b  内的单调性步骤： （1）求导函数 f '  x  ； （2）判断 f '  x  在  a , b  内的符号； （3）做出结论： f '  x   0 为增函数， f '  x   0 为减函数． 例5 已知函数 f ( x)  4 x  ax 22 3 x ( x  R ) 在区间 1,1 上是增函数，求实数 a 的取 3'值范围． 解 ： f ( x)  4  2ax  2 x ， 因 为 f  x  在 区 间  1,1 上 是 增 函 数 ， 所 以 f ( x)  0 对' 2x 1,1 恒成立，即 x2  ax  2  0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1  a  1所以实数 a 的取值范围为  1,1 ． 说明： 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型， 常利用导数与函数单调性关 系：即“若函数单调递增，则 f ( x)  0 ；若函数单调递减，则 f ( x)  0 ”来求解，注意此' '时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x －6x +73 22.f(x)=1 +2x x4. y=xlnx3. f(x)=sinx , x  [0,2 ]2．课本 P101 练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数 y  f ( x) 单调区间 （3）证明可导函数 f  x  在  a , b  内的单调性 六．布置作业。

1.3.2 函数的极值与导数[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数极值的概念1．极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数________的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．________、________统称为极值点，________和________统称为极值．思考(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求f (x )的拐点，即求方程________的根．(3)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 思考 可导函数f (x )若存在极值点x 0，则x 0能否为相应区间的端点吗？题型一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．跟踪训练1 求下列函数的极值． (1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3； (2)y ＝2x ＋8x .题型二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值)例2 已知函数f (x )＝6ln x －ax 2－8x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝3为f (x )的一个极值点． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若y ＝f (x )的图象与x 轴正半轴有且只有3个交点，求实数b 的取值范围．反思与感悟 解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用． 跟踪训练2 设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4，若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．题型三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－13x 3＋a2x 2－2x (a ∈R )，若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．反思与感悟 求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点．跟踪训练3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．因忽视对所得参数进行检验而致误例4 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，试求a ，b 的值． 错解 由导数公式表和求导法则得， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.错因分析 由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件．因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错．正解 由导数公式表和求导法则得， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3不符合题意，应舍去．而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.防范措施 根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍．1．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)2．下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A ．导数值为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值 C ．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数3．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞65．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．1.求函数极值的基本步骤：(1)求函数定义域；(2)求f′(x)；(3)解f′(x)＝0；(4)列表(f′(x)，f(x)随x的变化情况)；(5)下结论．2．函数的极值的应用：(1)确定参数的值，一般用待定系数法；(2)判断方程根的情况时，利用导数研究函数单调性、极值，画出函数大致图象，利用数形结合思想来讨论根的情况．提醒：完成作业 1.3.2[答案]精析知识梳理知识点一1．f′(x)＜0f′(x)＞02．f′(x)＞0f′(x)＜0y＝f(x)极大值点极小值点极大值极小值思考(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同．如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点．(2)不一定．知识点二1．(1)极大值(2)极小值2．(2)f′(x)＝0思考不能．题型探究例1解由题意可知f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝283.当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.跟踪训练1解(1)函数的定义域为R.y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表中可以看出，当x ＝－3时，函数取得极大值，且y 极大值＝57. 当x ＝1时，函数取得极小值，且y 极小值＝－7. (2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， y ′＝2－8x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－2x ⎝⎛⎭⎫1＋2x ， 令y ′＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＜－2时，y ′＞0；当－2＜x ＜0时，y ′＜0. 即x ＝－2时，y 取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x ＜2时，y ′＜0；当x ＞2时，y ′＞0. 即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8.例2 解 (1)∵f ′(x )＝6x －2ax －8，∴f ′(3)＝2－6a －8＝0，解得a ＝－1.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 由(1)知f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋b . ∴f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x 2－4x ＋3)x .由f ′(x )＞0可得x ＞3或0＜x ＜1， 由f ′(x )＜0可得1＜x ＜3(x ＜0舍去)．∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)．(3)由(2)可知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．且当x ＝1和x ＝3时，f ′(x )＝0.∴f (x )的极大值为f (1)＝6ln 1＋1－8＋b ＝b －7，f (x )的极小值为f (3)＝6ln 3＋9－24＋b ＝6ln 3＋b －15.∵当x 充分接近0时，f (x )＜0，当x 充分大时，f (x )＞0，∴要使f (x )的图象与x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝b －7＞0，f (3)＝b ＋6ln 3－15＜0.∴b 的取值范围是7＜b ＜15－6ln 3.跟踪训练2 解 因为a ＞0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由f ′(x )－9x ＝0(即ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0)的两实数根分别为1,4，可得⎩⎪⎨⎪⎧9－2b a ＝5，c a ＝4，故2b＝9－5a ，c ＝4a .所以对于一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．不等式ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，解得1≤a ≤9.易验证a ＝1与a ＝9均满足题意，故a 的取值范围是[1,9]．例3 解 设点P (t ，－13t 3＋a2t 2－2t )是函数y ＝f (x )图象上的切点，则过点P 的切线的斜率k＝f ′(t )＝－t 2＋at －2， 所以过点P 的切线方程为y ＋13t 3－a2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(x －t )， 因为点⎝⎛⎭⎫0，－13在该切线上， 所以－13＋13t 3－a2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(0－t )，即23t 3－12at 2＋13＝0.若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线， 则方程23t 3－12at 2＋13＝0有三个不同的实数根．令g (t )＝23t 3－12at 2＋13，则函数y ＝g (t )的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点． 令g ′(t )＝2t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a 2.因为g (0)＝13，g (a 2)＝－124a 3＋13，所以必须有g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－124a 3＋13＜0，即a ＞2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点． 所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)． 跟踪训练3 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， 所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞)．所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极大值>0，f (x )极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，人教版高中数学选修2-211 所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4. 所以实数b 的取值范围为(－4,0)．当堂检测1．B [∵f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值， ∴f ′(2)＝0,24＋4a ＋36＝0，a ＝－15，∴f ′(x )＝6x 2－30x ＋36＝6(x －2)(x －3)，由f ′(x )＞0得x ＜2或x ＞3.]2．D [由极值的概念可知只有D 正确．]3．C [在x ＝x 0的两侧，f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．]4．D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＞6或a ＜－3.]5．9[解析] f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a 18＝1，所以a ＝9.。

1.3.2 函数的极值与导数（教案）一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t =a 处的导数是多少呢？（2）在点t =a 附近的图象有什么特点？（3）点t =a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数ℎ(t)在a 点处ℎ′(a )=0,在t =a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是ℎ′(a )=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y =f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y =f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数y =f(x)在a.b .点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y =f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义: a o ht我们把点a 叫做函数y =f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极小值；点b 叫做函数y =f(x )的极大值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极大值。

§函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析例1．（课本例4）求()31443f x x x =-+的极值 解：因为()31443f x x x =-+，所以 ()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。

函数的极值教学目标： 知识与技能： ⑴理解函数极值的概念⑵会求给定函数在某区间上的极值 过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 教学过程： 一、复习回忆单调性与导数关系，单调区间求法 二、新课1. 函数极值的定义①极大值：在含0x 的区间),(b a 内，若)(x f y =在任意一点函数值都不大于0x 点值，)(')(0x f x f ≤ 加为)(x f y =极大值点，)(0x f 为函数极大值②极小值：)(')(0x f x f ≥ ③极值：极值点说明：①极值是一个局部概念，——适当区间内局部性质在函数定义域区间上可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大②曲线在极值点处切线的斜率为0,在极大值点左侧斜率为正，右侧为负，在极小值点左侧斜率为负，右侧为正③如下表x)('x f )(x f y =),(0x a+ ↑x0 极大),(0b x－ ↓④求)(x f y =极值点步骤①求出导数)('x f ；②0)('=x f ；③对0)('=x f 每一个解0x ，)('0x f 左右两侧符号 1）)('0x f 在0x 的两侧“左正右负”大 2）)('0x f 在0x 的两侧“左负右正”小3）)('0x f 在0x 的两侧符号相同，不是极值点例1：求函数53632)(23+--=x x x x f 极值点 解：)3)(2(6)('-+=x x x f 例2：0)('=x f 21-=x 32=x例2：求133)(3+-=x x x f 的极值 例3：求x e x x f -⋅=2)(极值 解：①xx xxe x ex ex x f 2222)('+=⋅+⋅=-- （错误）！②x xx x x e xx e x x e x x e x e x x f --=-=⋅-⋅==222222)(2)'()(' 令0)('=x f 0=∴x 或2=x)(x f↓ 小 ↑ 大 ↓0=∴x 极小 0)0(=f 2=x 极大 24)2(e f =例4：若函数223a bx ax x y +++=在1=x 处取得极值10,求b a ,解：b ax x y ++=23'2∴ 0)1('10)1(==f f ∴ 114-==b a 或 33=-=b a当33=-=b a 0363)('2≥+-=x x x f ↑)(x f 无极值 当114-==b a 1183)('2-+=x x x f 令∴ 114-==b a三、作业：。

1.3.2函数的极值与导数【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.【新知自学】 知识回顾：1.利用导数判断函数单调性的方法：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么y=f(x)为这个区间内的 ；如果在这个区间内0y '<，那么y=f(x)为这个区间内的 . 新知梳理：1. 极值定义：（1）极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作 ， x 0是极大值点.（2）极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作 ， x 0是极小值点.（3） 与 统称为极值2.判别f (x 0)是极大、极小值的方法:0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值. 感悟：（1）极值点是自变量的值，极值指的是函数值；（2）极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（4）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值. 对点练习：1.若()00/=x f，则0x 一定是函数的极值点吗？试举例说明.2.下列有极值函数的函数是（ ） A.y=lnx B.y=x 1 C.y=x 3 D.y=sinx3.函数y=x 2-2x+3的极值点是__________________.4.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ） A.0>a B. 0≥aC. 0<aD.0≤a【合作探究】 典例精析：例1. 求函数f(x)=44313+-x x 的极值.变式练习：求函数f (x)=lnx 3x3+的极值.例2. 函数()bx ax x f +=3在1=x 处有极值2-，求常数b a ,的值.变式练习：已知f(x)= x 3+3ax 2+bx+a 2在x=-1时有极值0，求常数a 、b 的值.例3.设函数f(x)= x 3-6x+5，x ∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f(x)=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.同40页第5题、44页第7题规律总结：求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数()f x '；(2)求方程()f x '＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．【课堂小结】【当堂达标】1. 下列结论中，正确的是（ ）A.导数为零的点一定是极值点B.若在0x 附近的左侧()0/>x f，右侧()0/<x f ，那么()0x f 是极大值 C.若在0x 附近的左侧()0/>x f，右侧()0/<x f ，那么()0x f 是极小值 D.若在0x 附近的左侧()0/<x f，右侧()0/>x f ，那么()0x f 是极大值 2.函数()a x x x f +-=63的极大值为 ____ ，极小值为 ________.3.下列四个函数①3x y =；②;12+=x y ③x y =；④xy 2=在0=x 处取得极小值的是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①③4.求函数=x+2sinx,x (0,2)y π∈的极值.【课时作业】1.关于函数的极值,下列说法正确的是( )(A)导数为0的点一定是函数的极值点(B)函数的极小值一定小于它的极大值(C))(x f 在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值(D)若)(x f 在),(b a 内有极值,那么)(x f 在),(b a 内不是单调函2.函数59323+--=x x x y 的极小值为____________,极大值为____________.3.三次函数当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值0，且函数过原点，则此函数是_______________________.4.函数xx y 2ln =的极小值为____________. 5.设∈a R ，若函数()R x ax e y x∈+=有大于零的极值点，则（ ） A.1-<a B.1->a C.e a 1-< D.ea 1->6.已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x . (1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值；(2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围．7.求函数k 623+-=x x y 的极值，并问方程0233=+-ax x 何时有唯一的实根？。

课题： 1.3.2 函数的极值与导数 课时：（第1课时） 【学习目标】 (1)了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．(2)会用导数求函数的极大值与极小值．(3)会利用极值条件求参数值． 第一环节：导入学习知识点1 函数的极值如果对于a 、b 两点，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0.类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.我们把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值；点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值，极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．注意：函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图1所示，点x 1、x 3是极大值点．x 2、x 4是极小值点，且在点x 1处的极大值小于在点x 4处的极小值． 知识点2 求函数极值的方法 求函数y ＝f (x )极值的方法如下： 第1步：求导数f ′(x )； 第2步：求方程f ′(x )＝0的所有实数根； 第3步：考查在每个根x 0附近，从左到右，导函数f ′(x )的符号如何变化． 如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；如果由负变正，则f (x 0)是极小值．注意：①可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即点x 0是可导函数f (x )的极值点是f ′(x 0)＝0的充分但不必要条件，如函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．②可导函数f (x )在点x 0取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧，f ′(x )的符号不同．③在用导数求函数极值题目中一定要注意列表格、画函数简图．第二环节：自主学习（一） 基础学习3求函数y ＝2x ＋8x 的极值因此当x ＝－2时，y 极大值＝－8；当x ＝2时，y 极小值＝8.（二） 深入学习4：求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值． 解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3（x －1）x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 3 因此当x ＝1时，f (x )5、求函数f (x )=6+12x -x 3的极值.第三环节：互助学习第四环节：展示学习第五环节：精讲学习重点1函数的极值与其导数的关系(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的定义域区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为零．(3)函数的不可导点也可能是极值点．由以上可知判定函数f(x)的极值点，应对f(x)的定义域内的两类“可疑点”作出判定：①判定定义域内所有的导数为零的点．②判定定义域内所有的不可导的点．重点2求解函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，以及f′(x)在不可导点左右的符号，来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况．重点3极值点与导数为0的点的关系(1)导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，极值点的导数必为0.因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件．(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点．如：函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x<0时)f′(x)＝－1<0，右侧(x>0时)f′(x)＝1>0，当x＝0时f(x)＝0是f(x)的极小值点，则f′(0)不存在．。

1.3.2 函数的极值与导数问题导学 一、求函数的极值活动与探究1 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－12x ； (2)f (x )＝2xx 2＋1－2．迁移与应用求函数f (x )＝ln xx2的极大值．利用导数求函数极值的步骤： (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的所有实数根；(3)考察在每个根x 0附近，从左到右导函数f ′(x )的符号如何变化． ①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值； ②如果由负变正，则f (x 0)是极小值；③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧f ′(x )的符号不变，则不是极值点． 二、函数极值的逆应用活动与探究2已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在x ＝1处取得极值，且极值为0． (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的另一个极值．迁移与应用1．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则有( ) A ．a ＝－2，b ＝4 B ．a ＝－3，b ＝－24 C ．a ＝1，b ＝3 D ．a ＝2，b ＝－42．已知函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 有极大值13，则m 的值为________．(1)已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：①常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解．②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．(2)对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解．三、有关函数极值的综合问题活动与探究3已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0．(1)求m与n的关系表达式；(2)求f(x)的单调区间．迁移与应用1．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．(1)利用导数可探究出函数的单调性与极值情况，据图象走势及最高点、最低点画出函数的大致图象．(2)研究方程根的个数问题时，可利用数形结合的思想方法，将问题转化为两函数图象交点个数的问题，然后借助函数的单调性和极值情况进行求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)0f′(x)＜0f′(x)＞0(2)f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值预习交流1提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．(1)极大值(2)极小值预习交流2提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点．解：(1)函数f(x)的定义域为R．f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减－16单调递增当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝16；当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝－16．(2)函数的定义域为R．f′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2．令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减－3单调递增－1单调递减当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝－1． 迁移与应用 解：函数定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝(ln x )′·x 2－ln x ·(x 2)′x 4＝x －2x ln x x 4＝1－2ln x x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ， 且当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0， 当x ＞e 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝12e．活动与探究2 思路分析：由极值的定义可知f ′(1)＝0，再结合f (1)＝0，建立关于a ，b 的方程即可求得a ，b 的值，从而得出另一个极值．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx ＋2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋b ．依题意可得f ′(1)＝0且f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝0，a ＋b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3x 2－3． 令f ′(x )＝0得3x 2－3＝0，所以x ＝±1．故函数f (x )在x ＝－1处取得另一个极值，且极值等于f (－1)＝－1＋3＋2＝4． 迁移与应用 1．B 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有－2和4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24．2．－19 解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)，令y ′＝0，得x ＝0，或x ＝4．当x ＜0，或x ＞4时，y ′＜0，函数单调递减；当0＜x ＜4时，函数单调递增，故f (x )在x ＝4处取得极大值，且f (4)＝－64＋96＋m ＝13，故m ＝－19．活动与探究3 思路分析：本题主要考查运用导数来解函数的极值和函数的单调性问题．解决本题的关键是利用已知条件得到m ，n 的关系式和分类讨论的运用．解：(1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ． ∵x ＝1是f (x )的一个极值点， ∴f ′(1)＝0，即3m －6(m ＋1)＋n ＝0， ∴n ＝3m ＋6．(2)由(1)知，f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m ． ①当m ＜0时，有1＞1＋2m，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m1＋2m ⎝⎛⎭⎫1＋2m ，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0＋－f (x )单调递减极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知，当m ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1＋2m ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．②当m ＞0时，有1＜1＋2m，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：x (－∞，1) 1 ⎝⎛⎭⎫1，1＋2m1＋2m ⎝⎛⎭⎫1＋2m ，＋∞ f ′(x )＋－＋f (x ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增上表知，当m ＞0时，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1＋2m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1＋2m ，＋∞上单调递增．迁移与应用 1．B 解析：因为函数y ＝2x 3＋ax 2＋36x －24是可导函数，且在x ＝2处有极值，所以有f ′(2)＝0，而f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，代入得a ＝－15，这时f ′(x )＝6x 2－30x ＋36，再令f ′(x )＞0，解得x ＞3，或x ＜2，所以该函数的递增区间是(3，＋∞)和(－∞，2)．2．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3．依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1．若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－1)上是增函数，f (x )在(1，＋∞)上也是增函数．若x ∈(－1,1)，则f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．∴f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y ＝x 3－3x ．∵点A (0,16)不在曲线上，可设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0．∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．又点A (0,16)在切线上，∴16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2．∴切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0．当堂检测1．若函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋36x －1在x ＝2处有极值，则a 的值为( ) A ．－5 B ．5 C ．8 D ．－8答案：A 解析：f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋36，依题意f ′(2)＝0，所以24＋12a ＋36＝0，解得a ＝－5．2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．－1 C ．1－e D ．0 答案：B 解析：定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-，令f ′(x )＝0得x ＝1，且当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，x ∈(1，e)时f ′(x )＜0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1．3．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点答案：D 解析：由f ′(x )＝x ′·e x ＋(e x )′·x ＝e x ＋e x ·x ＝e x (x ＋1)＝0，得x ＝－1． 当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减； 当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．所以x ＝－1为f (x )的极小值点．4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________． 答案：a ＜－1 解析：y ′＝e x ＋a ，依题意方程e x ＋a ＝0有大于0的实数根，所以e x ＞1，所以－e x ＜－1．由a ＝－e x ，所以a ＜－1．5．求下列函数的极值： (1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3； 答案：解：函数的定义域为R ． y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3，或x ＝1． 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3,1) 1 (1，＋∞)y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y单调递增57单调递减－7单调递增极大值当x ＝1时，函数有极小值，且y 极小值＝－7． (2)82y x x=+． 答案：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．228422'221211y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 令y ′＝0，得x ＝－2，或x ＝2． 当x ＜－2时，y ′＞0； 当－2＜x ＜0时，y ′＜0， 即x ＝－2时，y 取得极大值－8． 当0＜x ＜2时，y ′＜0； 当x ＞2时，y ′＞0，即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8．。

1.3.2 函数的极值与导数教学建议1.教材分析本节让学生结合实际,探索函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让学生直观感受函数在某些特殊点(极值点)的函数值与附近点函数值大小的关系,以及在这些点附近函数的增减情况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.主要问题及教学建议(1)从函数的单调性到极值.建议教师利用实例并结合大量的函数图象,让学生观察,并感受在导数为0的点的两侧导数值与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和极小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质,而且极大值不一定大于极小值.(2)函数极值的求法.建议教师在学生掌握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函数极值的方法和步骤.备选习题1.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:(1)函数y=f(x)在区间内单调递增;(2)函数y=f(x)在区间内单调递减;(3)函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;(4)当x=2时,函数y=f(x)有极小值;(5)当x=-时,函数y=f (x)有极大值.则上述判断中正确的是.解析:由导函数的图象知:当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,f'(x) >0,f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;在x=-2时,f(x)取极小值;在x=2时,f(x)取极大值;在x=4时,f(x)取极小值;所以只有(3)正确.答案:(3)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求a,b,c的值.解:因为f'(x)=3x2+2ax+b,所以f'(-2)=3×(-2)2+2a(-2)+b=0.所以12-4a+b=0.又f'(1)=3+2a+b=-3,所以a=1,b=-8.又f(x)过(1,0)点,所以13+a×12+b×1+c=0,所以c=6.3.已知a∈R,讨论函数f(x)=e x(x2+ax+a+1)的极值点的个数.解:f'(x)=e x(x2+ax+a+1)+e x(2x+a)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)].令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0,即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1<x2,∴f'(x)=e x(x-x1)(x-x2).当x变化时,f'(x),f(x)即此时f(x)有两个极值点.(2)当Δ=0,即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2, ∴f'(x)=e x(x-x1)2.∴当x<x1时,f'(x)>0;当x>x1时,f'(x)>0.∴f(x)无极值点.(3)当Δ<0,即0<a<4时,x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f'(x)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,∴f(x)为增函数,此时f(x)无极值点.综上所述,当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点;当0≤a≤4时,f(x)无极值点.。

教学课题选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数课标要求一、知识与技能：1．结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2．理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值3．掌握求可导函数的极值的步骤； 二、过程与方法：1. 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

2. 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

三、情感态度与价值观：通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质的一般性和有效性，通过函数的极值与单调性之间的联系，体会知识的发展的过程，逐步提高科学地分析、解决问题的能力。

识记理解应用综合知识点1可导函数在某点取极值的充分、必要条件 ∨知识点2 极值的概念 ∨ 知识点3求极值的步骤∨知识点4： 极值的综合应用∨目标设计1. 理解极大值、极小值的概念；2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3. 掌握求可导函数的极值的步骤；4. 通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

情境一：1.通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）2.观察下图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题： 问题1：在点t=a 附近的图象有什么特点？ 问题2：函数在t=a 处的函数值和附近函数值之间有什么关系？ 问题3：在点t=a 附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在t=a 处的导数是多少？（函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. ）情境二：观察图所表示的y=f(x)的图象，回答下面的问题：问题1：函数y=f(x)在a.、b 两点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?问题2：函数y=f(x)在a 、b 两点的导数值是多少？问题3：在a 、b 两点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢？知识点 认知层次t o h a 0)(>'a h单调递增单调递减 0)(='a h0)(<'a h学生观察图像思考、小组讨论、归纳：①在点a 的左侧与右侧附近,函数y=f(x)的函数值都大于f(a)；在点b 的左侧与右侧附近,函数y=f(x)的函数值都小于f(b).②函数y=f(x)在a 点的导数值是0)(='a f ； 函数y=f(x)在b 点的导数值是0)(='a f③在a 点左侧附近,函数 y=f(x)的导数0)(<'x f ；在点a 右侧附近，函数 y=f(x)的导数0)(>'x f ， 左右两侧附近的导数值符号要相反。

函数的极值与导数一．教材分析本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性二．教学目标1 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质；2 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；3 会用导数求函数的极值；4 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力；5 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用三．重点与难点重点：会用导数求函数的极值．难点：导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解四．学情分析基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程、创设情景，导入新课【问题情景】我们学过毛泽东的诗《清平乐·六盘山》，请同学们一起背诵。

[生]：背诵《清平乐·六盘山》：天高云淡，望断南飞雁。

不到长城非好汉，屈指行程二万。

编号： gswhsxxx2-2-0107文华高中高二数学选修2--2 第一章《导数及其应用》§函数的极值与导数导教案学习目标1.理解极大值、极小值，最大值和最小值的观点；2.可以运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.经过对导数的认识，感觉数学科学的无量魅力，培育学习数学的浓重兴趣。

要点、难点掌握用导数求函数最值的方法和步骤.学习过程一、自主学习预习与反应（预习教材P26~ P31，找出迷惑之处）复习 1：设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，假如在这个区间内这个区间内为函数；假如在这个区间内y 0 ，那么函数y=f(x) y 0 ，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的函数.在复习 2：用导数求函数单一区间的步骤：①求函数f(x)的导数 f (x) .②令解不等式，得x 的范围就是递加区间.③令解不等式，得x 的范围，就是递减区间.二，新课研究问题 1：以以下图，函数 y f ( x) 在 a,b, c,d , e, f , g, h 等点的函数值与这些点邻近的函数值有什么关系？y f ( x) 在这些点的导数值是多少？在这些点邻近，y f (x) 的导数的符号有什么规律？看出，函数y f ( x) 在点 x d 的函数值 f ( d) 比它在点 x d 邻近其余点的函数值都，f (d )；且在点x d 邻近的左边 f (x) 0，右边 f ( x) 0.近似地，函数y f (x) 在点x e 的函数值 f (e) 比它在点x e邻近其余点的函数值都，f (e)；并且在点x e 邻近的左边 f (x) 0，右边 f (x) 0.1.（ 1）函数极值的观点函数 y f ( x) 在点 x a 处的函数值 f (a) 比它在点 x a 邻近其余点的函数值都小， f (a) 0 ；并且在点 x a邻近的左边，右边，则点 x a 叫做函数 y f ( x) 的， f ( a) 叫做函数 y f ( x) 的.函数 y f ( x) 在点x b 处的函数值 f (b) 比它在点x b 邻近其余点的函数值都大， f (b) 0 ；并且在点x b 邻近的左边，右边，则点 x b 叫做函数 y f ( x) 的， f (b) 叫做函数 y f ( x) 的.极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称为.注意：极值反应了函数在某一点邻近的，一个函数的极大值能否必定大于极小值.导数为0 是点为极值点的条件.（ 2）求函数极值的步骤：①；②③。