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4-7能态密度和费米面

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3.5 费米面和态密度

3.5 费米面和态密度

态密度的奇异如图
Van Hove奇异来源于晶态材料特有的对称性。在晶格 振动声子态密度中同样存在
可通过在k空间第 1布里渊区内，计算 n (k ) d等能面壳层
中许可波矢数来确定 g n 假定S n ( )是等能面 n (k ) 在第 1布里渊区内的部分， dS是其上 的面元，k (k )是在点k 处等能面S n ( )和S n ( d )间的距离，则 2 V g n ( )d k (k )dS 3 S ( ) n V 8
由于d k n (k ) k (k )，所以 g n ( )
S n ( )
dS 3 k n (k ) 4
1
可通过能带结构 n (k )计算态密度
由于 n (k )是倒格子空间的周期函 数，因此，在每个原胞 中总有 1 dS 一些k 值处 k 0，这导致g n ( ) 中被积函 3 S n ( ) k n (k ) 4 数的发散，三维情形仍 可积，给出有限大小的 g n ( )，但斜率 dg n ( ) d 发散。g n ( )的这种奇异，称为 van Hove 奇异。

2
k 1 k 1 G Gh h 2 2
k 1 k 1 G Gh h 2
只有在边界上( ε k) 0, 两个结果才相容.
一般的，如布里渊区的边界面相反映面平行，即此反映面 垂直平分连接布里渊区一对边界面的倒格矢，类似地可说明，在
其次，过渡到近自由电子近似，考虑晶格周期势的影响。 这主要表现在布里渊区边界处出现能隙，且费米面几乎 总是与布里渊区边界垂直相交。费米面由图中粗实线表 示，不再保持连续。但费米圆(或面)所包围的总面积(或 体积)保持不变，仅依赖于电子密度。

固体物理教学大纲课程名称固体物理课程性质专业必修课

固体物理教学大纲课程名称固体物理课程性质专业必修课

固体物理教学⼤纲课程名称固体物理课程性质专业必修课《固体物理》教学⼤纲⼀、课程名称：固体物理⼆、课程性质：专业必修课三、课程教学⽬的：（⼀）课程⽬标：通过固体物理学课程的学习，使学⽣树⽴起晶体内原⼦、电⼦等微观粒⼦运动的物理图像及其有关模型，掌握晶体内微观粒⼦的运动规律及其与晶体宏观性能的物理联系，深刻理解晶体宏观性能的微观物理本质，为进⼀步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建⽴初步的理论基础。

（⼆）教学⽬标：第⼀章晶体结构【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶格结构的实例、⾮晶态和准晶态的特征；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述⽅法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述⽅法；理解和掌握倒格⼦的定义及其与正格⼦的关系；熟悉有关晶体结构的基本分析与计算。

借助于多媒体展⽰，使学⽣建⽴起晶体结构特征的直观图像。

第⼆章晶体的结合【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶体结合⼒的⼀般性质；掌握晶体的结合类型与特征；理解元素和化合物晶体结合的规律性；掌握离⼦晶体的结合能、体积弹性模量的计算；掌握范德⽡⽿斯晶体的结合能、体积弹性模量的计算。

在教学中，能够使学⽣认识到吸引与排斥的⽭盾的差别和对⽴统⼀是认识与理解固体的结合规律与性质的关键，培养学⽣的辩证思维能⼒。

第三章晶格振动与晶体的热学性质【教学⽬标】通过本章的教学，能够使学⽣理解简谐近似、格波概念、声⼦概念；理解玻恩-卡曼边界条件；了解三维格波的⼀般规律、晶格振动的⾮简谐效应；了解确定晶格振动谱的实验⽅法；掌握⼀维单原⼦、双原⼦晶格振动的格波解与⾊散关系；掌握晶格振动模式密度的计算⽅法；理解晶格热容量的量⼦理论、掌握爱因斯坦模型与德拜模型；理解格林爱森近似、掌握晶格状态⽅程。

结合例题分析和习题训练，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒。

第四章能带理论【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣能够了解晶体能带理论的基本假设和处理问题的基本思路；理解布洛赫定理及其推论的证明，掌握晶体能带的基本特征；熟悉克龙尼克—潘纳模型的求解与结论；熟悉布⾥渊区、费⽶⾯等基本概念；了解平⾯波⽅法、赝势⽅法；掌握近⾃由电⼦近似⽅法及其结论；掌握紧束缚近似⽅法的运⽤；掌握能态密度的计算⽅法。

安徽师范大学固体物理教学大纲51学时

安徽师范大学固体物理教学大纲51学时

《固体物理学》教学大纲一、说明1、课程的性质、地位和任务固体物理学是研究固体的结构及其组成粒子（原子、离子、电子等）之间相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科。

固体物理学融汇了力学、热力学与统计物理学、电动力学、量子力学和晶体学等多学科的知识，在现代科学技术中起着非常重要的作用，是物理学的重要组成部分，是物理专业的必修基础课。

本课程主要介绍固体物理学的基础知识和基本理论，为进一步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建立初步的理论基础。

在课程教学过程中，进一步培养学生的现代科学意识，提高分析问题与解决问题的综合能力及创新思维的能力。

2、课程教学的基本要求 （1）了解固体物理学发展的主要历程及固体物理对现代物理学与现代科学技术发展的作用。

（2）了解固体物理学及凝聚态领域的当代前沿概况。

（3）掌握固体物理学的基本概念与基础理论。

（4）掌握固体物理学分析与处理问题的基本手段和思想方法。

3、本课程的重点与难点 （1）重点： 一是晶格理论, 二是固体电子理论。

晶格理论包括：晶体结构的基本特点和类型及对称性质；确定晶体结构的X 射线衍射方法；晶体的结合类型与特点；晶格振动与晶体的热学性质。

固体电子论包括：固体中电子的能带理论；金属中自由电子理论和电子的输运性质。

（2）难点：倒点阵的性质及其与正点阵的关系；晶体X 射线衍射的分析；晶格振动的色散关系与模式密度；布洛赫定理及推论；晶体中电子的准经典运动与有效质量。

课程性质： 专业必修课 先修课程： 热力学与统计物理学、电动力学、量子力学总学时：51 学分： 3理论学时：51 实验或讨论学时： （无课程实验）开课学院：物理与电子信息学院 适用专业：物理学大纲执笔人：陶松涛 大纲编写时间： 2007-2-9教研室主任审核：教学院长审定：二、课堂教学时数及课后作业题型分配（含数量）三、正文第一章晶体结构【教学目的】通过本章的教学，使学生了解晶格结构的实例、非晶态和准晶态的特征；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述方法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述方法；理解和掌握倒格子的定义及其与正格子的关系；熟悉有关晶体结构的基本分析与计算。

4.7 无序系统中的电子态、第四章总结

4.7 无序系统中的电子态、第四章总结
V En ' En
设想 En 有带中心附近的能量值, 则 (En'－En) 取值在 [－W/2, W/2] 范围内, 典型值 |En’－En| = W/4。如果有 z 个近邻, 粗略估计当满足
4 zV 1 或 W W 4 zV
条件时, 波函数 ψ 可以写成
V2 V | | n | n ' O 2 | n '' En ' En W
非对角元只在带区内不为零而且相等对于无序系统根据紧束缚近似模型零级近似下仍看成各个原子附近的束缚态而把原子之间的相互作用看成微扰由于没有了周期性每个原子及其周围的情况有着随机的变化使得哈密顿矩阵中的对角元不尽相等分别称为对角无序和非对角无序若只计入近邻相互作用与晶态情况相似表象中哈密顿矩阵也是带型矩阵这给无序系统电子态的计算带来相当大的困难anderson在他的论文中假定格点的几何排列仍然是规则的而每个格点的势场是随机变化的anderson模型中格点位置有关假定它围绕平均值变化范围为表示不同格点之间的相互影响称为转移矩阵这里只考虑近邻相互作用而且假定它是一个常量因此anderson模型实际上只计入了对角无序而没有讨论非对角无序的影响anderson证明了当起伏足够大时能带中所有状态都将是定域态即存在临界值电子运动状态全部是定域态anderson所采用的基本上是微扰论扰论的观点当相互作用大于零级近似下能量差时应为简并微扰反之为非简并微扰讨论强无序的情况很大确切的说法或者看成v趋于零的极限thouless的定性说明考虑一个电子定域在格点上的电子波函数混入态的振幅取决于设想范围内典型值个近邻粗略估计当满足条件时波函数表示次近邻格点电子态可以证明这时波函数随距离增大而指数衰减这就是定域态相反如果格点波函数之间相互混合这是波函数延展在整个空间这就是扩展态很多人试图分析临界值由于不同作者采取的方法不同所得结果也不尽相同mott基于anderson的理论结果加上在研究高掺杂半导体时提出的杂质带和带尾的理论提出当小于临界值时能带中的状态将是部分定域化的每个能带中心的态是扩展态带顶和带尾存在有带尾定域态它们之间的分界称为迁移率边对于一个给定的能量波函数只能是局域态和扩展态两者中的一个而不能是两种态同时存在原因是扩展态在全空间具有有限的振幅值假定两种状态同时存在那么扩展态就会与定域态混合而将定域态也变成扩展态因而在定域态与扩展态之间必然有一分界存在称其为迁移率边迁移率边的位置依赖于无序程度的比值无序程度越大顶带底迁移率边相连时就意味着全部是定域态这就是anderson讨论的情况由于定域态中的电子被束缚在空间的某个局域区域电子由一个定域态转移到另一个需要靠声子的协助进行跳跃式导电这种跳跃式导电迁移率很低当温度趋向0k时迁移率也就是说在扩展态与定域态分界处有迁移率的突变这就是为什么称其为迁移率边的原因当势场的无规起伏超过一定临界值固体中

4-7能态密度和费米面

4-7能态密度和费米面

2mE 2
2π3
VC
4π k 2 d k
dZ 2
2π3
VC
4π k d k
2
E dE
m dE 2mE
ky
VC 2 mE dZ 2 4π 3 2 2π
E
2
kx
2k dE dk m 2mE 2 k 2
4πVC (2 m ) 3 2 E 1 2 dE 3 3 2π
2.画出自由电子费米球(面)(费米面的
广延区图)； 3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进 入简约布里渊区中等价部位(费米面的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区 第四区
=4，5，6
2、近自由电子费米面
根据以上说明，构造费米面应按如下步骤：
1.画出布里渊区的广延区图形；
L2 m L2 m 考虑电子自旋，有 dZ 2 2 dE 2 dE N ( E )dE 2
( 2) N
0 EF
0
N ( E )dE
0 EF
0
L2 m mL2 0 dE 2 E F 2
2 N 0 EF mL2
V N (E) 3 4

ds k E
VC m 4π 2 ( 2π)3 2
2mE
VC m 4π 2 ( 2π)3 2
2mE
dZ dE
( 2m ) 3 2 1 2 4πVC E 3 h
E
CE 1 2
法2. 金属中自由电子的能量
2k 2 E 2m
dZ 2
k2
3 2
Vc 2mE 2 2 3π

固体物理 04-07能态密度和费密面

固体物理 04-07能态密度和费密面

费米速度 vFpF/m
西
南
科 技
费米温度 TF EF /kB
大
学
Solid State Physics
固 体
费米能量的估算
物
理 —— 自由电子球半径
V N
1 n
43rs3
—— 电子密度
n
—— 费米半径
3
4 rs3
rs
(3
4 n
1
)3
kF
2(3n)1/3 8
西
kF
1 .9 2 rs
vF
pF m
南
—— 费米速度
N2(2V)3 43kF3
球的半径
kF
2( 3)1/3(N)1/3 8 V
n N 电子密度 V
西
南 科 技 大
kF
2(3n)1/3 8
学
Solid State Physics
固
体 物
费米波矢 费米动量 费米速度 费米温度
理
费米能量 EF 2kF 2/2m
费米球半径 kF 2mEF / 费米动量 p Fk F
V
Z (2)3 dSdk
西
南 应用关系
科
技
大 学
dk kE E
Solid State Physics
固
体
物 理
Z
V
(2)3
dSdk
dk kE E
Z(2V)3
dS kE
E
dk E kE
能态密度
N(E)(2V)3
dS kE
西 南
考虑到电子的自旋，能态密度
科 技 大 学
N(E)2(2V)3
—— 晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成 满带

4_7贾能态密度和费米面


R (k )

E0

6J1;
X点[
k



,0,0
]是一个鞍点——布区侧面中心。
a

E X (k ) E0 2J1;
26
二、费米面
在k空间中画出等能面，电子按 费米函数分布在各等能面上，按 泡利原理，由低到高，填充能量 尽可能低的电子态。
能量是k的函数，费示为：
NE
2V
2 3
ds
k E

2V
2 3
等能面
ds sin2 kxa sin2 k ya sin2 kza
22
紧束缚近似等能面
N 紧束缚 近似等能面
能带底附近等能面 为球面；E增大， 等能面偏离球面， E越增大，偏离越 明显（P218图440）。
在第一布里渊区内：
E

E
时，
A
N
(
E)

C
E
E E A时, S N ( E )
C· ··B A
E E A时, S N (E )
当E超过第二布里渊区的最低能量EB时：N(E)由0迅速增大。
E
E
EB EC
EC E0 EB
EA
EC<EB
N(E)
EC>EB
N(E)
14
例二
例二、若已知
2V
2 3
ds
k E
N(E)
12
近自由电子近似的等能面
第一布里渊区内： ky
认为从原点向外，等能面应该 基本上保持为球面
接近于布里渊区边界： kx 等能面将向外凸出
当EA<E<EC时：

固体物理重点知识点总结——期末考试、考研必备!!

固体物理概念总结——期末考试、考研必备！！第一章1、晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。

晶体结构——晶体结构即晶体的微观结构，是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况。

金属及合金在大多数情况下都以结晶状态使用。

晶体结构是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。

2、晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。

3、单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。

4、基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。

倒易点阵——是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。

倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。

5、原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。

6、晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。

7、原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。

8、布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。

9、简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。

4.6 费米面、表面电子态


上面的论述, 可以被 X 射线谱的实验结果所证实 阴极射线的打击可以使原子内层电子被 激发从而产生内层空能级, 外层电子填 充这些空能级时, 发射出 X 射线的光子 用 K 表示由于落入空的 1s 态而发射的 X 射线 用 LI、LII 表示由于落入2s 态和 2p 态而发射的 X 射线 图中最上面是钠的价电子 形成的能带, 带底的电子和 具有最高能量 E0 的电子, 发射的光子能量显然不同
u r r 动量值 p F = hk F 为费米动量 u r r pF vF = 为费米速度 m
这些量的数值依赖于电子密度
通常引入自由电子球半径 rs , 定义为
V 1 4 3 = = π rs N n 3
3 rs = 4π n
1/ 3
o h2 −8 并把氢原子基态玻尔半径 a0 = 2 = 0.529 ×10 cm = 0.529 A me
首先讨论一维情况, 需要分别在 z < 0 和 z > 0 的区域 求解波动方程
h2 d 2 − 2m dz 2 + V ( z ) ψ ( z ) = Eψ ( z )
然后在 z＝0 使两部分的解相匹配, 即波函数本身和一 级微商连续 z > 0 区域的解是明显的, 相当于电子进入位垒, 波函数指数衰减有 衰减系数 ψ = α e −α z 2m
EF 3/ 2 r E2 ( k 0 )
∫
r E − E2 (k 0 )dE
EF
化简得到
r m1 [ E1 (0) − EF ] = m2 EF − E2 (k 0 )
因此
r m1 E1 (0) + m2 E2 (k 0 ) EF = m1 + m2

能带理论(5)


空带
带隙
非导体
价带：由价电子能级分裂而形成的能带。
★通常情况下，价带为能量最高的 能带； ★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满 带或半满带。
空带
带隙
价 带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
V 2m 1 V m 1 2 3 2 4 k E 2 CE 2 4 k 2 23
3 2
在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布 里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对
电子运动的影响很小。
二、费米面
1）自由电子 如果固体中有N个自由电子，按照泡利原理它们基态是由
（1）导体：能带结构有三种形式 形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如：
金属Li
电子排布1s22s1
每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带 中的电子 —— 电子导电型导体
导带
满带
导体
空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，
这样的能带称为空带。
空带：每一个能级上都没有 电子的能带
★与各原子的激发态能级相对应 的能带，在未被激发的正常情况 下就发的电子进入，
则空带就变成了导带。 非导体
禁带：两个相邻能带间的间隔
★禁带中不存在电子的定态； ★禁带的宽度对晶体的导电性起着 重要的作用。
带宽度比较大，不能导电。
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23
费米面
费米能级EF 费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到 E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：

EF
0
gE dE n或
EF
0
N E dE N
费米球半径kF N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包 括的状态数恰好等于N，即 V 4 3 2 kF N 3 1 1 1 2 3 1
1 3
4 3 rs 得到); 3
;
3.63 kF Å-1 rs / a0 4.20 vF 10 8 cm / s rs / a0 EF
rs / a0
50 .1eV
2
~1.5-15eV
30
自由电子的费米面
ky
费米球 费米面
kx
2 EF kF 2m
2
kF
31
电子在晶体中按能级是如何排布的呢？
布里渊区的高对称点处。
20
例三
以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的 能态密度的临界点恰为布区的高对称点。 s k E ( k ) 0的点:
Γ点[ k 0,0,0 ]是极小值点；E ( k ) E0 6J1; R R点[ k , , ]是极大值点；E ( k ) E0 6J1; a a a X点[ k ,0,0 ]是一个鞍点——布区侧面中心。 a X E ( k ) E0 2J1;
3 3 N 3 3 3 3 k F 2 2 n 8 V 8
24
关于“费米面”
（1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填 充能级分隔开；
（2）费米面形状基本上不随温度变化；
温度升高时，只有少量电子从费米面内侧附 近激发到外侧附近，费米能级本身很少随温度变 化，因此，费米面成为金属的一个物理特性。
19
例三
能态密度的临界点（范霍夫奇点）
dZ 2V ds 由公式 N E 可知，在某个k取值处， 3 dE 2 k E k E ( k ) 0, 在该点，N(E)显示出某种奇异性，称为范
霍夫奇点，也称临界点。 En(k)是k空间的周期函数，因此每个周期性单元中 必定存在有 k E k 0的点，例如：En(k)的极大值和极 小值点； k E k 0 的鞍点等等，而且这些点是出现在
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E 3 dE dk k E 2 k E
5
关于能态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 k x k y k z2 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
16
例三
所以能态密度可表示为：
Hale Waihona Puke N E 2
2V
2V
3
k E
ds sin2 k x a sin2 k y a sin2 k z a
ds
2 3 等能面
17
紧束缚近似等能面
能带底附近等能面 为球面；E增大，
等能面偏离球面，
E越增大，偏离越 明显（P218图440）。
13
例二
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
能量为E的等能面内的状态数记作Z：
2V 4 2V 4 Z abc 3 3 2 3 2 3
dZ 2V 4 N (E) 3 dE 2 3
m1m2 m3 2 E 3
3 2
N 紧束缚近似等能面
18
能态密度函数图（P219图4-41）
例三
N(E)
E0 6J1
E0 2J1 E 0 E0 2J1
E0 6J1
(1)能带底E=E0-6J1； (2)当E=E0-2J1时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能面 与布里渊区界面相交，等能面如P219图4-42所示； (3)E=E0时，为能带的中点，N(E)函数以E0为中心，上下 对称，等能面如P219图4-43所示。
EB EC EA
N(E)
自由电子情况
近自由电子情况
10
近自由电子能态密度Ｎ(E)
E
(4)当E达到并超过第二布里渊 区的最低能量EB时，能态密 度N(E)将从EB开始，由0迅速 增大。
注：右图为能带无交叠的情况。
EB EC EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
11
近自由电子能态密度Ｎ(E)
能带有交叠情况 E
导体 半导体 绝缘体
它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。
33
三、晶体能带的填充情况
第一种情况：只有满带和空带
电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带 全部是空的。 最高的满带——价带；最低的空带——导带（此时 导带为空带） ；
价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底） 之间的能量范围——带隙。
带隙宽度大(约10eV)——绝缘体； 带隙宽度小(约1eV)——半导体。
，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
6
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： k E 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
N E
2
2V
3
2V 4k 2 V 2m 3 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
1 m1m 2 m3 3 2 E 2 2 3 2
14
例二
V m1m2 m3 2 N(E) 2 2 2 m1m2 m3 N(E) g( E ) V 2 2
3 2
E
3 2
2 2
E
引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面；
当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。
dk ds
kx
2
2V
2V
3
V等能面E和E E之间

dsdk 2
3
4
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
Ⅱ.关于ΔE
一、能态密度函数
由 k E 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：
dk k E E
Ⅲ.由此得能态密度N(E)一般表达式：
晶体中电子状态的基本认识
（1）晶体中电子状态由能带描述；
（2）一般情况下，原子能级与能带有一一对应的关系；
（3）能带宽度决定于波函数的重叠程度；
（4）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；
（5）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子 共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；
1
§4-7能态密度和费米面
电子是费密子，它的排布原则有以下两条： （1） 服从泡里不相容原理 （2） 服从能量最小原理 排满电子的能带称为满带； 排了电子但未排满的称为未满带（或导带）； 未排电子的称为空带； （有时也称为导带）； 两个能带之间的禁带是不能排电子的。
32
导体和绝缘体 （conductor &insulator） 晶体按导电性能的高低可以分为
第一布里渊区内：
认为从原点向外，等能面应该 基本上保持为球面 接近于布里渊区边界： 等能面将向外凸出 当EA<E<EC时：
等能面将不再是完整的闭合面， 而是分割在各个顶角附近的曲面。
9
近自由电子能态密度Ｎ(E)
Ｅ～Ｎ(E)关系可表示如下： E (1)E<EA时，N(E)自由电子结果 相差不多； (2)E接近EA时，由于等能面向外 凸，导致体积增大，使N(E)大于 自由电子情况； (3)E>EA时，由于等能面开始残 破，面积下降，尤其是到达EC时， 等能面缩小为几个顶角点，所以 由EA到EC过程，N(E)将不断下降 到零。
15
例三
计算简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)
解：简立方晶格的s带能带函数 s E ( k ) E0 2J1 (cos k x a cos k y a cos k z a )
dZ 2V ds 计算公式： E N dE 2 3 k E
E E E k E i j k k x k y k z 2aJ1 ( i sin k x a j sin k y a k sin k z a )
EC
EB EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
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例二
2 2 2 k x k y k z2 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3 解：等能面方程：E k E ,即
，求g(E)。
2 2 ky k z2 kx 1 2m1 E 2m 2 E 2m3 E 2 2 2 2m1 E 2 2m 2 E 2 2m3 E 令a 2 ,b ,c ,则 2 2 2 2 2 k x k y k z2 等能面方程可化为 2 2 2 1 a b c
25
费米面的重要性在于金属的物理性质由费米面的 形状确定
（1）电子热容是由费米面附近电子激发所引起； （2）功函数是费米面附近的电子逸出金属所必须 作的功； （3）接触电势差是费米面附近的电子流动产生的；
（4）讨论金属电导问题时,认为电流是由于费米 面附近能态占据状况的变化所引起等。
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金属的功函数与接触电势差
一般称这个球为费米球，kF称为费米球半径，球的表面 称费米面。 22
费米面定义
指当T＝0时，k空间中占有电子和不占有电子区