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利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s 示功图中F (s )图线与s 轴围成的图形“面积”有公式可依时;因为在F-s 示功图中，这种“面积”的物理意义就是功的大小．方法 A ♠sF 0 x W锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力f 与插入深度x 成正比，试求木桩每次打入的深度比．若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？专题8-例1 本题中的阻力f 为一与位移x 成正比的变力，即f=kx 示功图 xFx 1 x 2 x 3 …… l W 0 W 0 W 0 图中各阴影“面积” 表示第1、2、3……次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为W 0．由图 2222123000023n x x x x W W W nW =:::::::123123n x x x x n =:::::::()()()12312321n n x x x n x =-∆∆∆∆--::-:::::1当x n =l 时，由 11n x x n =::13l l n =()9n =次某质点受到F =6x 2的力的作用，从x =0处移到x =2.0 m 处，试求力F 做了多少功？专题8-例2 本题中的变力力F 与位移x 成F=6x 2关系，F-x 图线为抛物线 示功图 24x /mF/N0 2 W 图中 “面积” 表示F 力做的功 “面积” 由阿基米德公式 23S =⨯⨯弓底高由示功图得F 力做的功 12W S S =-矩弓12224424J 23⎛⎫=⨯-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭16=J如图所示，一质量为m ，长为l 的柔软绳索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为μ．⑴柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？⑵由这一位置开始运动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？ ⑴设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x 0，则由 ()00m m x g l x g l l μ≥-0min 1l x μμ=+⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v 离开桌面，由动能定理 212G f W W mv -=其中，重力功等于绳重力势能减少 0022G x m l m W lg x g l l -()2202mg l x l -=摩擦力为线性变力： f m F xg l μ=示功图 x F f 0 l-x 0 ()0m l x g l μ-W f x()202f mg l x l W μ-=()()222002g l x g l x v l l μ--=-1v gl μ=+一质点的质量为m ，被固定中心排斥，斥力的大小F=μmr ，其中r 为质点离开此中心的距离．在开始时，r 0=a ，v=0，求质点经过位移a 时所达到的速度大小．斥力为线性变化力！ma μ示功图rF 0 a a 2ma μW F 对示功图求梯形阴影“面积” ()232122W m a a m a a μμ+⋅==对质点经过位移a 的过程，由动能定理 223122ma mv μ=3v a μ=跳水运动员从高于水面H ＝10 m 的跳台自由落下，运动员的质量m ＝60 kg ，其体形可等效为长度l ＝1.0 m 、直径d ＝0.30 m 的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后水的等效阻力F 作用于圆柱体下端面，F 量值随入水深度y 变化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY 和OF 重合，为了确保运动员绝对安全，试计算水池中水的h 至少应等于多少？5mg /2 Y F 0 h 对全过程运用动能定理:()00mg H h W W +--=-浮阻其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积” : 示功图 W 阻1542mg W h π=⋅⋅阻入水过程中，浮力随入水深度y 作线性变化 24d F g y πρ=浮示功图 YF 浮 0 l24g ld ρπ2124gl d W l ρπ'=⋅⋅浮242d l W gl h l πρ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭浮()215100428d m h l h mh ππρ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭()1603m 161h ππ+=- 4.9m ≈如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为F=f (s ) ，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成n （n →∞）个小区间s /n ，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功F i · s /n ，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为： 方法 B ♠1lim n i n i W W →∞==∑ 在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列n 项和当n →∞时的极限．半径等于r 的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？专题8-例3 r r i 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度 r h n ∆=r 1 i 2 每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i 层水柱底面的半径 这层水的质量 22i r r r i n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22i r r m r i n n ρπ⎡⎤⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦将这层水吸出至少应做的元功是 22i r r r W r i g i n n n ρπ⎡⎤⎛⎫=-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦将池水吸尽至少要做的功是34241lim n i n i i i W W g r n n ρπ→∞=⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑()()433332411lim 123123n g r n n n n ρπ→∞⎡⎤=++++-++++⎢⎥⎣⎦()()224241111lim 24n n n n n g r n n ρπ→∞⎡⎤++⎢⎥=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦41g 4r ρπ=一个质量为m 的机动小车，以恒定速度v 在半径为R 的竖直圆轨道绕“死圈”运动．已知动摩擦因数为μ，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 专题8-例4 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！x y O A B 当小车运动在A 处元圆弧段时 n πmg N A A θ2sin A A v N mg m R θ-=A A f N μ=2sin A v m g R θμ⎛⎫+ ⎪ =⎪⎝⎭摩擦力在A 处元功为2sin A A v R W m g R n πμθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭当小车运动在与A 关于x 轴对称的B 处元圆弧段时 B θAθmg N B Bθ2sin B B v N mg m R θ+=n π续解 i i n πθ=⋅B B f N μ=2sin B v m g R θμ⎛⎫- ⎪ =⎪⎝⎭摩擦力在B 处元功为2sin B B v RW m g R nπμθ⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为22i A B v RW W W m R nπμ=+=⋅⋅查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功 /2211lim 2n n i W mv nμπ→∞==⋅∑2mvμπ=计算水平直径以下段摩擦力的功：2/21lim sin n n i v RW m g i R n n ππμ→∞=⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑下续解2/2/211lim sin n n n i i v R R m mg i R n n n πππμμ→∞==⎛⎫=⋅+⋅⎪⎝⎭∑∑2/2/211lim sin n n n i i v R R W m mg i R n n n πππμμ→∞==⎛⎫=⋅+⋅⎪⎝⎭∑∑下2/21lim s 2in n n i mgR i n n n mv n ππμπμ→∞=⎛⎫=⋅⎪⎭⋅+ ⎝∑2lim sin sin 2sin 22n n mv n mgR n n n n n πππμππμ→∞⎛⎫++++⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅=sin 1sin sin 22sin 2n na n n n n S θθθθ=+=三角列前和数项22sin sin 44lim sin22n n n n n mgR nn n mv nπππμπμπ→∞+⋅⋅+⋅=⋅⋅222sin sin 44limsin 222n n n mv nn n n mgR nn μπππμππ→∞+⋅⋅⋅⋅=+22W mvmgRμπμ=+下水平直径以上段摩擦力的功：22W mv mgR μπμ=-上将板沿板长均分为n （n →∞）等份 fi M F gn μ= 将木板在水平地面上绕其一端转动角α，求所需要做的功．木板长度为L ，质量为M ，木板与地面之间的动摩擦因数为μ．αLi n元摩擦力做功的位移为12ii L x i n α=⋅摩擦力对i 段做的元功为i M g i n n W Lαμ⋅=则对木板的功 1lim nn i M LW g i n n μα→∞==⋅⋅∑211lim nn i MgL i nμα→∞==∑()211lim 2n n n MgL n μα→∞+=⋅12MgL μα=各元段摩擦力为ix从一个容器里向外抽空气，直到压强为p ．容器上有一小孔，用塞子塞着．现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲进容器？设外界大气压强为p 0，大气密度为ρ．pp 0Δxs设小孔截面积为s ，打开塞子后孔外侧厚度为Δx 的一薄层空气在内、外压强差作用下冲入容器，获得速度v 0，由动能定理:()2012P P S x S x vρ-⋅∆=⋅∆⋅()002p v p ρ=-这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量．方法 C ♠W E=∆如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2a ，质量为2m ，两端悬于水平天花板上相距为a 的两点而悬垂静止，其重心位于天花板下方b 处.现施一力于绳之最低点C 并将绳拉直至D 点，求拉力所做的功．D3cos 3024a h a=⋅=()3224p E mg b h mg b a ⎛⎫∆=-=- ⎪ ⎪⎝⎭由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花重力势能增加了由功能原理，拉力功为324p W mg b a E ⎛⎫- ⎪⎪⎝=⎭=∆专题8-例5 由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量．Ch h一质量为m 的皮球，从高为h 处自由下落（不计空气阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回h 高处，求每次拍球需对球做的功专题8-例6在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，使球的动能减少．地面对球的弹力功是变力功!牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为v 10、v 20，碰撞后速度为v 1、v 2，则碰撞后两者的分离速度v 2－ v 1与碰撞前两者的接近速度v 20－ v 10成正比，比值e 称恢复系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即212010v v e v v -=-从h 高度自由下落再反弹的全过程,地面弹力功W 1: 13144W mgh mgh mgh=-=从h 高度拍下再反弹原高的全过程,地面弹力功W 2: 2W W mgh mg W h =+-=拍拍续解从h 高下落未速度即与地接近速度:212mgh mv =自接近由2v gh=自接近212W mgh mv +=拍拍接近由22W ghmv +=拍拍接近从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:23142h mg mv =自分离由32gh v =自分离212mgh mv =拍分离由2v gh=拍分离同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同:v v v v e ==自接近拍分离自分离拍接近222322gh W ghh hg g m=+拍13W mgh=拍如图所示，有两个薄壁圆筒．半径为R 的圆筒绕自己的轴以角速度ω转动，而另一个圆筒静止．使两圆筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿，由于摩擦两圆筒开始做无滑动的转动．问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的质量分别为m 1、m 2）m 1Rm 2ω1ω根据题意，一段时间内m 1线速度从ωR→ ω1R,而m 2线速度从0 → ω2r= ω1R这种变化是因为两者间有大小相等的一对力作用，这对力做功使系统机械能(动能)转换成内能 !对系统,由动能定理:()()()2211211122Q m R m m R ωω=-+又,由牛顿第二、三定律,一对力大小相等:()11211122R R R F m F m ttωωω-=⋅==1112m m m ωω+=()2212122m m R m m ω=+功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量度．功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据．功能关系基本认识♠ 功能关系的具体认识♠功能对应规律借助功与能的具体对应关系，对运动的功的量度问题作出正确的操作.⑵确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述； ⑶分析所研究过程的初、未两状态的动能，完成等号右边对动能变化的表述 ；⑴选定研究的对象与过程;示例0kt k W E E =-∑0g pg pgtW E E =-0Q pq pqt W E E =-※重力功量度重力势能的变化： ※外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它力）做的总功量度动能的变化：※弹力功量度弹性势能的变化： 动能定理※引力功量度引力势能的变化： 0G pG pGt W E E =-0t W E E =-非※非重力弹力功量度机械能的变化：势能定理功能原理※电场力功量度电势能的变化： 0Q pe pet W E E =-（W 非可以是摩擦力功、电场力功、安培力功或其它非重力、弹簧弹力的功）返回如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度H 0=20 m ，其横断面是半径R=2 m 的圆．储水深h=1 m ，如果用装在高H 1=5 m 处、截面积为2 cm 2的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？专题8-例711n ni i i t t Sv====∑∑根据题意，水箱中的水从底部截面积为s 的小孔流出，若流速为v i ，则时间t i 内的水流量Q i = v i t i S ；总储水全部流尽的时间应为iQ 2h R n π=⋅i v 2i gh =ih 012h g H h H i n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭每层水放出时间的通项式为 2012R hnh g H h H i Sn π⎛⎫+--⋅ ⎪⎝⎭2101lim 2nn i R h nt h g H h H i Sn π→∞==⎛⎫+--⋅⋅ ⎪⎝⎭∑全部水箱储水放尽的总需时为小孔流速 续解1i2n210111lim 2nn i R hnS g h H h H i n π→∞==⋅⎛⎫+--⋅ ⎪⎝⎭∑()()21010111lim 21n n i R hn S g H h H hi n H h H π→∞==⋅+-⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪+-⎝⎭∑12111lim 1162nn i i n n S g π-→∞=⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭∑()()1111x x xαα-+≈+1111lim 12162nn i i n n S g π→∞=⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭∑()21111lim 12322n n i n n S g π→∞=⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦∑()12n n +⋅11642S gπ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦4656421020π-=⨯⨯33.610s⨯示例P 0+P 水 P 0设小孔处一小片厚Δx 、面积S 的液片,在内外压力之合力作用下获得速度v 而离开小孔，由动能定理:212P S x S x vρ⋅∆=⋅∆⋅水水P gHρ=水水2v gH=P 0()2012P P S x gH S x S x vρρ-⋅∆+⋅⋅∆=⋅∆⋅水水2012P P gH v ρρ-+=水水02P P v gH ρ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭水返回P P +P 水质量为m 的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所受阻力F f =kv 2，最大阻力为重力的0.44倍，试求小球上升的最大高度H 及落回抛出点时的速度v t ．专题8-例8本题通过元过程的动能定理,用微元法求得终解! 本题研究过程中有重力功与阻力功,其中阻力功为耗散功,且为一按指数规律变化的力!1lim 1xx e x →±∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了高度H /n (n→ ∞)，速度从v i 减少为v i+1，各元过程中的阻力可视为不变为2fi iF kv =2i iF mg kv =+∑合外力根据动能定理，对该元过程有即()()222112ii i H mg kv m v v n ++⋅=-对该式变形有22122i i mg kv mg kv kH nmmg kv++--=+()21i mg kv +-+22122i i iv v Hnm mg kv +-=+21221i img kv kH nmmg kv ++-=+续解21221i img kv kH nm mg kv ++=-+21221i img kv kH nm mg kv ++=-+由知在各相同的上升高度H /n 微元中，合外力大小成等比数列递减、因而动能的增量是成等比数列递减的，其公比为则21221nni img kv kH nm mg kv +⎛⎫+⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2221nmkH kH m kH nm ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭对上式两边取极限:222122lim lim 1nmkH nkH m i n n i mg kv kH nm mg kv ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+→∞→∞⎛⎫+⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭0.44mg 0211.44kH m e -=ln1.442k H m =同理,对下落过程由 ()()222112ii i H mg kv m v v n --⋅=-21221i i mg kv kH nm mg kv --=+-对此式两边取n 次方当n→∞极限: 续解 222122lim lim 1nm kH n kH m i n n mg kv kH nm mg kv⋅-→∞→∞⎛⎫-⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭02t kv 6ln 5m k =22kH mtmg e mg kv =-2ln2t m mg H k mg kv =-2 1.44tmg mg kv =-0.441.44t mg v k=200.44v gk m =由题给条件56t v v =小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五查阅R 一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H 的任意点P ，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q 点离开球面，求PQ 两点的高度差h ．专题8-例9本题除重力外无非保守力的功,机械能守恒! 设球半径为R P QH mgvθhθ由机械能守恒:212mgh mv=Q 点动力学方程为:2sin vmg mRθ=由几何关系: sin H hRθ-=3h H =2H R mgh mg R R-=若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下R/3的高度，释放高度H 越小，沿球面滑下的高度越短．这是一个有趣又有用的模型．xy如图甲所示，把质量均为m 的两个小钢球用长为2L 的线连接，放在光滑的水平面上．在线的中央O 作用一个恒定的拉力，其大小为F ，其方向沿水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽略不计．试求：⑴当两连线的张角为2θ时，如图乙所示，在与力Ｆ垂直的方向上钢球所受的作用力是多少？⑵钢球第一次碰撞时，在与力Ｆ垂直的方向上，钢球的对地速度为多少？⑶经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动，试求由于碰撞而失去的总能量为多少？ O FO甲F θ θ乙⑴在如示坐标中分解力F F 在与F 垂直方向上线对钢球的力大小为tan 2y F Fθ=⑵设钢球第一次碰撞时沿F 方向速度为v x ，垂直于F 方向速度为v y ，设力F 的位移为x ，由动能定理()2222122x y x yFx m v v mv mv =⋅+=+在x 方向上: ()2222x v F ma m x L ==-()2x F x L v m-=y v FL m =⑶达到终态时，两球v y =0，F 总位移X ，有 2122XFX mv E=⋅+∆()22FFX m X L Em=⋅-+∆F E L∆=yF军训中，战士距墙S 0以速度v 0起跳，如图所示，再用脚蹬墙面一次使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ．求能使人体重心有最大总升高H max 的起跳角θ．S 0v 0θ设抵达墙时战士速度为v ，蹬墙后速度为v ′,各矢量间关系如示，vgt 1tan μ-v 0θv 'vv '从起跳至上升至最高H 处，由机械能守恒:()221012mgh m v v =-2212mgh mv '=2222H v v v g'-+=()()22200cos sin v v v gt θθ⎧=+-⎪⎨⎪⎩由矢量图所示关系: ()00cos sin v v v gt μθθ'=+-00cos s t v θ=其中()22001sin cos 22H v gs gθμθμ⎡⎤=+-⎣⎦()222100111cos tan 22v gs g μθμμ-⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦当时11tanθμ-=()22max12v H s gμμ+-=质量为M 、长为l 的板放在冰面上，在板的一端坐着质量为m 的小猫它要跳到板的另一端，问小猫对冰面的最小速度v 0min 应为多少？小猫为使跳到板的另一端所消耗的能量最少， 问它的初速度v 0应该与水平面成多大角α？猫消耗能量E ，使猫及木板获得初动能： 2201122E mv MV=+耗起跳时间Δt 内m 与M 间水平方向相互作用力大小相等，故有0cos v Vm Mt tα=0cos m V v Mα⇒=猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得 02sin v t gα=这段时间内猫对板的位移应满足 ()0cos l v V t α=+()00cos 2sin M m v vM g αα+=⋅()202sin cos Mgl v M m αα=+()2222cos 2sin cos m Mgl V M M m ααα=⋅+()()cot tan 2mglE M m M M m αα⎡⎤=⋅++⎣⎦+耗利用基本不等式性质 ：当时tan M mMα+=min4mg M E l Mm=+耗如图所示，厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为L 的棒的上端，两者质量均为m ，圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为一常数，为kmg （k ＞1）．棒能沿光滑的竖直细杆AB 上下滑动，棒与地碰撞时触地时间极短，且无动能损失．设棒从其下端距地高度为H 处由静止自由下落，与地经n 次碰撞后圆环从棒上脱落⑴分析棒第二次碰地以前的过程中，环与棒的运动情况，求出棒与环刚达到相对静止时，棒下端距地高度h ；⑵求出n 、k 、L 、H 四个量应满足的关系． ⑴由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度 AB LH 2gH棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上， ()1k g +向下2gH ()1k mg+加速度为 环速度 2gH 2gH环加速度 ()1k g -向上mgkmg棒与环相对初速度 22v gH=相向下相对加速度 2a kg =相向上棒与环相对静止时 2122v Hx a k ==相相相位移对历时 22v H t a k g==相相环与棒的共同速度 ()1122V gH k gHgt k=--=从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦力做负功，重力分别对环、棒做负功，由动能定理：()()221111122222kmg x mgh mg h x mV mgH-⋅---=⋅-⋅续解21h k Hk=-()222221122222gH H H kmg mgh mg h m m gHk k k ⎛⎫⎛⎫-⋅---=⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑵棒与环一起以V 1自由下落h 至第二次落地时速度仍由机械能守恒221222111222222k gHmV mg H mv v kk -+=⇒=此后棒与环相对滑动()222222222222gH H v x a k kg k ⎛⎫⎪ ⎪⎝=⨯⎭==相则若在碰n 次后环脱离棒，n 、k 、L 、H 四个量应满足的关系：231231111111122n n H L H k k kk k kk k -⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<111112n nn n n n k L k H k kk k --+--≤--<2i ix H k=查阅钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅跳一次，如图所示．每次与台阶碰撞时，球要损失η＝50％的机械能．试求小球抛出时的初速度v 及其与竖直线的夹角φ．（梯子台阶的高度h ＝10cm ，宽l ＝20cm ）l h φ 根据题意，第一次与平台碰撞前后有221150%22mv mv ⋅=起22v v ⇒=起αv 落 v 起v每次跳起到落到下一台阶的过程中,有()2212mgh m v v =-落起221150%22mv mv ⋅=落起v 起v 起22v gh =起4v gh =m/s 2=v 落αϕ由水平方向的匀速运动得钢球每一次飞行时间 sin lt v ϕ=落cos cos v v gt αϕ+=落起21cos 2h v t gt α-=-起22cos 20gt v t h ϕ-+=落23tan 4tan 10ϕϕ-+=代入数据整理后得 11tan 3ϕ-=1tan 1ϕ-=另说明起跳速度变为水平，除钢球落在拐点情况外，应舍去此解取元功作微元，以功能原理为基本依据求得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元功法”.这种解法所循基本原理是分析力学中的“虚功原理”，由伯努利首先提出的．用元功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单． 元功法♠元功法处理平衡问题基本思路♠取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，求得终解．如图所示，质量为m 、长度为l 的均匀柔软粗绳，穿过半径R 的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间距离为2R ，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为M ，且相互间无摩擦，求绳上最低点C 处的张力．专题8-例10本题用元功法求解!分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况AOCRBT A (M+m )g()12A T m M g=+分析绳之一半的受力情况T C设想在A 处以力T A 将ABC 段绳竖直向上拉过一极小距离ΔxA A W T x∆=⋅∆C C W T x∆=-⋅∆2ml R E x g R l π-⎛⎫∆=∆⋅⋅+⎪⎝⎭由功能原理()122c m l R m M g x T x xg R l π-⎛⎫+⋅∆-⋅∆=⋅∆+ ⎪⎝⎭2l R π-()22c Ml m RglT π+-=Δxa ba 'b '如图示，一轻三足支架每边长度均为l ,每边与竖直线成同一角度，三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上,使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G ，试求绳中张力F T ．专题8-例11本题用元功法求解!分析支架的受力情况G F TF N3TF 设想支架各边足部在绳合力作用下向正三角形中心移动一极小位移 Δx : 3T T W F x∆=⋅∆Δy支架每个足部绳合力元功 负重重力势能增量 p E G y∆=⋅∆Δx 与Δy 几何关系如示 :θΔxa ''3TF Δy b ''当Δx →0, Δθ →0, a b ab '''''=sin cos x y θθ∆=∆由功能原理 33tan T F x G x θ⋅⋅∆=⋅∆⋅tan y x θ∆=∆⋅tan 33T F G θ=θ∆BAβαC 如图,所示的曲柄连杆机构中，设曲柄端A 上所受的竖直力为Q ，由活塞D 上所受的水平力P 维持平衡，试用元功法求P 与Q 的比值．图中α、β为已知．C BA PαDβ设想设活塞D （即连杆的B 端）以速度v 通过一微小位移Δx ，与此同时，连杆A 端以速度v A 绕C 点通过一小段弧 v nvvvα-β90β-Δxv A 与v 杆约束相关关系如示 v A 方向与曲柄CA 垂直，且是与B 相同的水平速度v 及对B 点的转动速度v n 的矢量和()()sin 90sin A v v βαβ=︒--由()cos sin A v v βαβ=-得QΔy 在力P 发生水平位移Δx 的时间内,力Q 发生的竖直位移为cos A y v t α∆=∆⋅()cos si os n c v t βαβα∆⋅⋅=-()cos cos sin y x αβαβ∆⋅=∆-x ∆由元功法得 P x Q y ⋅∆=⋅∆1tan tan αβ=-()cos cos sin P Qαβαβ⋅=-如图所示，均匀杆OA 重G 1，能在竖直面内绕固定轴O 转动，此杆的A 端用铰链连住另一重G 2的均匀杆AB ，在AB 杆的B 端施一水平力F ，试用元功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度α及β．FO βαA B分析连杆的受力情况G 1G 2xy ()11,x y ()22,x y ()33,x y 1111cos sin 22l l x y αα==222121cos sin cos sin 22l l x l y l ββαα=+=+312312cos cos sin sin x l l y l l αβαβ=+=+设想水平力使AB 杆的B 端移动极小位移Δx 3()()则312cos cos cos cos x l l αααβββ⎡⎤⎡⎤∆=-∆-+-∆-⎣⎦⎣⎦12sin sin l l ααββ⋅∆+⋅∆()111sin sin cos 22l l y ααααα⎡⎤∆=--∆⋅∆⎣⎦21cos cos l l ααββ⋅∆+⋅∆()()221sin sin sin sin 2l y l αααβββ⎡⎤⎡⎤∆=--∆+--∆⎣⎦⎣⎦续解同时，G 1、G 2力沿力方向的极小位移各为：31122F xG y G y ⋅∆=⋅∆+⋅∆由元功法得将各力的微小位移代入:()12sin sin l F l ααββ⋅∆+⋅∆⋅=查阅12211cos cos co 22s l l G G l ααβααβ⎛⎫⋅⋅+∆+⋅∆ ⎪⎝⋅⋅⎭∆12112122sin cos cos cos sin 22l l Fl G G l G Fl ααααβββ⎡⎤⎡⎤--⋅∆=-⋅∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦该等式成立须11121sin cos cos 02l Fl G G l ααα--=222cos sin 02l G Fl ββ-=1222tan 2tan 2G G F G Fαβ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
