第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案(word版)

2012年29届全国中学生物理竞赛决赛试题一、(15分)如图，竖直的光滑墙面上有A 和B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度系数为k 的轻橡皮筋，一端由A 钉固定，另一端系有一质量为m =4kl g的小球，其中g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与A 钉距离为2l 的C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时刻小球获得大小为20gl v、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻．如图所示，三个质量均为m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C 处．AD⊥BC，且AD=BD=CD=a，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在AD杆上距A点a/4和3a/4两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反．1．试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时，三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力；2．如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕该转轴转动．问转轴在AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出该推力的大小．不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ．柱体正视图如图所示，正视图下部为一高度为h的矩形，上部为一半径为R的半圆形．柱体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h/2，链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系时，1．柱体能在地面上滑动；2．柱体能向一侧倾倒；3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生．如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为a，A球质量为m，所带电荷量为Q，B球质量为4m，所带电荷量为-4Q．在初始时刻，两球球心距为4a，各有一定的初速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落．现要求在此前提下尽量减小桌面面积，试求1．两球初速度的方向和大小；2．圆桌面的最小半径．假设两球在运动过程中，其所带电荷量始终保持均匀分布：桌面也不发生极化效应．已知两个均匀带电球之间的静电相互作用力，等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相互作用力；静电力常量为k e．如图所示，一半径为R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由转动．一半径为a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴．在盘边缘处等间隔地固定4个质量均为m 的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为q ．此装置处在一磁感应强度大小为B 0、方向竖直向上的均匀强磁场中．初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I ．方向沿顺时针方向(从上往下看)．若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动．求薄圆盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属球小的作用力的大小．假设金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场． 已知固定在圆盘面上的半径为a 、通有电流I 的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为r 处(r >>a )产生的磁场的磁感应强度的大小为B =322r I a k m ，式中k m 为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上．静电力常量为ke ．如图，一水平放置的刚性密闭气缸，缸壁是绝热的，活塞把气缸内空间分为两个体积相同的密闭室A 和B ．活塞由一层热容量很小(略去其影响)、导热良好的材料(与气缸壁有摩擦)和一薄层绝热材料(与气缸壁没有摩擦)压制而成，绝热层在A 室一侧．初始时，A 室和B 室充有绝对温度均为T 0的同种多原子分子理想气体，A 室气体压强是B 室气体压强的4倍．现释放活塞，活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓慢，最后停止在平衡位置(此时活塞与缸壁间无静摩擦)．已知气缸中的气体具有如下特性：在温度高于某个临界温度T d (>T 0)时，部分多原子气体分子将发生分解，一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子．被分解的气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比a 满足关系a =)(d T T -β，其中β=2.00T 0-1．分解过程是可逆的，分解1摩尔分子所需能量φ=CT 0/l0，1摩尔气体的内能与绝对温度T 的关系为u =CT (C 是与气体的种类无关的常量)．已知当压强为P 、体积为V 的这种气体绝热缓慢膨胀时，PV γ=常量，其中γ=4／3．1．对于具有上述特性的某种气体，若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分解，求这种分子发生分解的临界温度T d 的可能值；2．对于具有上述特性的另一种气体，若实验测得在上述过程结束时有a =l0.0％的分子分解了，求这种分子发生分解的临界温度T d ．如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成．已知望远镜物镜L0的焦距为l6.00cm．在L0的焦平面P处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物，如图二所示．在载物台上放置双面平行的平面镜M，通过望远镜的目镜Le观察时，能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过L0折射、M 反射、再经L0折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于A点，与上十字叉丝线的距离为5.2mm．绕载物台转轴(沿竖直方向)转动载物台，使平面镜转l80°，此时十字像位于B点，与上十字叉丝线的距离为18.8mm．根据以上情况和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为rad；据此结果，调节望返镜，使其光轴与载物台的转轴垂直．平行光管是由十字缝S和凸透镜L组成．去掉光学系统中的平面镜M，并用钠光灯照亮S．沿水平方向移动S，当S到平行光管中的透镜L距离为8.25cm时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划板中心十字叉丝线上，由此可以推知，L的焦距等于cm．将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、宽、高均为3.00cm、折射率为1.52的分束棱镜abed(分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又能反光)和待测凹球面镜O，O 到L的距离为l5.00cm，并保证分束棱镜的ab面与图三中的XX′轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的XX′轴重合；再将望远镜绕载物台的中心轴转90°，如图三所示。

1234567第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案一、由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立x坐标系，以下简称系. 设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入湖水时，x其所受到的浮力为g式中为重力加速度.物块的重力为设物块的加速度为，根据牛顿第二定律有将(1)和(2)式代入(3)式得将系坐标原点向下移动而建立新坐标系，简称系. 新旧坐标的关系为把(5)式代入(4)式得式表示物块的运动是简谐振动. 若，则，对应于物块的平衡位置. 由式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为0物块运动方程在系中可写为利用参考圆可将其振动速度表示为式中为振动的圆频率在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放Ax=0时，即时刻有，由(5)式得由(8)至(12)式可求得(13) 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完全浸没；由(5)式x b 知在系中这一临界坐标值为（17） 即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下处. 注意到在Xb振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种A情况讨论：I．. 由(13)和(17)两式得在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期物块从初始位置出发往返一次所需的时间II．. 由(13)和(17)两式得A X b (21) 在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从t初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时. 由(15)和(17)11b式得(22) cos11取合理值，有 (23) arccos11由上式和(16)式可求得这时物块的速度为2 (24) V(t)1-11此后，物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛顿定律a有 (25) 设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为，有t2(26) 12由(24)-(26)得2(27)112()物块从初始位置出发往返一次所需的时间为22(28) 2()2arccos111II12()评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.10二、 1. i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值. 由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或近地点）；设近地点（或远地点）离地心的距离为，r R 0.80R 卫星在此点的速度为.由开普勒第v a 二定律可知2式中为地球自转的角速度e令表示卫星的质量，根据机械能守m恒定律有1G（2）由2r20.80R（1）和（2）式解得可见该点为近地点,而脱离处为远地点. 【（3）式结果亦可由关系式：直接求得】同步卫星的轨道半径满足2R由(3)和(4)式并代入数据得4可见近地点到地心的距离大于地球半径，因此卫星不会撞击地球. ii.由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量，从远地点可求出该常量为s2设和分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴，由椭圆的几何关系有 ab 110.280.80R (7) 220.800.2822 (8) 2T卫星运动的周期为(9) s代人相关数值可求出（10）9.5h 卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点，根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度，其后的一周期内其角速度都应不比该值小，所以卫星始终不比太空电梯转动得慢；换言之，太空电梯不可能追上卫星.设想自卫星与太空电梯脱离后经过，卫星到达近地点，而此时太空电梯已转过此（约14小时）1.5T点，这说明在此前卫星尚未追上太空电梯.由此推断在卫星脱落后的0-12小时内二者不可能相遇；而在卫星脱落后12-24小时内卫星将完成两个多周期的运动，同时太空电梯完成一个运动周期，所以在12-24小时内二者必相遇，从而可以实现卫星回收. 2.根据题意，卫星轨道与地球赤道相切点和卫星在太空电梯上的脱离点分别为其轨道的近地点和远地点.在脱离处的总能量为1GMmGMm2（11）m(R)x2xxe此式可化为32GM xx(12) 123e e e这是关于的四次方程，用数值方法求解可得R x4（13）4.7 3.010kmxe表示卫星与赤道相切点v【亦可用开普勒第二定律和能量守恒定律求得.令R xe即近地点的速率，则有2eex和 121GMm1GMm22(R)ex2R2R ex由上两式联立可得到方程532GM2GM xxx02323eee其中除外其余各量均已知, 因此这是关于的五次方程. 同样可以用数值方法解得.】RRR xxx卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期，设椭圆的半长轴为，半短轴为，有xe (14) 222ex (15)因为面积速度可表示为12(16) sx2所以卫星的运动周期为(17) s代入相关数值可得 h(18) 6.8卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行180度，落到西经处与赤道相切. 但由于地球自转，在这(180110)期间地球同时转过了角度，地球自转角速度，因此卫星与地球赤道T/2360/24h15/h相切点位于赤道的经度为西经（19）1801101212即卫星着地点在赤道上约西经121度处. 评分标准：本题23分.第1问16分，第i小问8分，(1)、(2)式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分.5%第2问7分，(11)式1分，(13)式2分，（18）式1分，（19）式3分. （数值结果允许有的相对误差）三、 13解法一如图1所示，建直角坐标，轴与挡板垂直，轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速xy Oxy，方向沿x轴正方向，以表示系统的质心，以和表示碰撞后质心的速度分量，vPvv度为Py0Px表示墙作用于小球的冲量的大小. 根据质心运动定理有 JC （1）（2）由（1）和（2）式得（3）Px3m （4）可在质心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球 O C x 与挡板碰撞过程中，质心的坐标为（5）（6）l P3CP球碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角C C 动量为零；球碰挡板后，质心相对质心参考系仍是C静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为，则三小球对质心的角动量P图（7）式中、和分别是、和三球到质ABClllAPBPCP心的距离，由图1可知（8）cos sin（9）sin（10）CP9由（7）、（8）、（9）和（10）各式得（11）3在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球C的冲量的冲量矩，即有（12）3【也可以始终在惯性参考系中考察问题，即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点，则对该参考点(12)式也成立】由（11）和（12）式得 14 sin球相对于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）CP球相对固定参考系速度的x分量为 C （16）由（3）、（6）、（13）和（16）各式得 J （17）Cx02根据题意有 （18）由（17）和（18）式得 2 （19）由（13）和（19）式得（20） l 球若先于球与挡板发生碰撞，则在球与挡板碰撞后，整ABC 个系统至少应绕质心转过角，即杆至少转到沿y 方向，如图2所示. 系统绕质心转过所需时间（21） 在此时间内质心沿x 方向向右移动的距离 B （22）若 （23）则球先于球与挡板碰撞. 由（5）、（6）、（14）、（16）、（18）、BA （21）、（22）和（23）式得 图2 3 （24）即(25) 评分标准： 本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分. 15解法二 如图1所示，建直角坐标系，轴与挡板垂直，x Oxy y v 、、、、和 分vvvvvv 以轴与挡板重合，vy AyByCyAxBxCxAyBy 别表示球与挡板刚碰撞后、和三球速度的分量，ABCC vv B A O 根据题意有 AxBxx （1） v Cy 以表示挡板作用于球的冲量的大小，其方向沿轴x J C 的负方向，根据质点组的动量定理有 C（2）（3）图1 AyByCy以坐标原点为参考点，根据质点组的角动量定理有（4）因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有（5）（6）（7）（7）式中为杆与连线的夹角. 由几何关系有（8）（9）解以上各式得（10）（11）（12）（13）16（14）0By（15）cosCy0按题意，自球与挡板碰撞结束到球(也可能球)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，ABC系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，、A和三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球BCB相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球与挡板碰撞刚结束时系统质心的速度2（16） 2vv AxBxCx sin Px03m 3AyByCy （17） 0 Py3m 这时系统质心的坐标为（18） cosP1 （19）sin P3不难看出，此时质心正好在球的正下方，至球的距离为，而球相对质心的速度 y PBBBP 12（20） sin BPxBxPx03 （21） 0BPy 可见此时球的速度正好垂直，故整个系统对质心转动的角速度 B BP （22） ylP 若使球先于球与挡板发生碰撞，则在球与挡板ABC y 碰撞后，整个系统至少应绕质心转过角，即杆至少ABπ/2转到沿y 方向，如图2所示. 系统绕质心转过所需时间 π/2 A 1π 2 （23）x O 在此时间内质心沿x 方向向右移动的距离 P B（24）Px 若 C （25） PP 17 图2则球先于球与挡板碰撞. 由以上有关各式得（26）即(27) 评分标准： 本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分. 四、 参考解答： 1．虚线小方框内2n 个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效C 电容满足下式 t11n （1） C2Ct1即 2C （2） t1n 式中 S（3）虚线大方框中无限网络的等效电容满足下式 C t2（4）即 C （5）t22整个电容网络的等效电容为 CC2Ct1t2 （6）等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）（7）当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等效满足下式电容C t1（8）由此得（9）t1整个电容网络的等效电容为（10）整个电容网络的等效电容器带的电荷量为（11）在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变为（12）电容器储能变化为（13）在此过程中，电池所做的功为（14）(3外力所做的功为（15）设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为，金属薄板左侧带电荷量为，右侧带电荷量为，a的右极板带电荷量为，与并联的电容器左右两极板带电荷量分别为和.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有（16）SSC由（2）式和上式得（17）d上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的C t2极板上电荷量之和）. 整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即 19（18）(1)c2CC t2将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器a左极板带电荷量(5)(2)（19）(313)2kd(313)d评分标准：本题21分. 第1问13分，（2）式1分，（5）式2分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各1分，（13）式2分,（14）式1分，（15）式2分. 第2问8分，（16）、（17）、（18）、（19）式各2分. 五、参考解答: c a 如图1所示，当长直金属杆在ab位置以速度水平v向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由b指向a的感应电动势的大小为ll 1 2 （1）式中为金属杆在ab位置时与大圆环两接触点间的长LII 1 2 度，由几何关系有2222R（2）111100在金属杆由ab位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大 b d 圆环接触的两点之间的长度可视为不变，近似为.2RL1图 1 将（2）式代入（1）式得，在金属杆由ab滑动到cd过程中感应电动势大小始终为（3）1以、和分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图1所示，以表示a、b两IIIU21ab端的电压，由欧姆定律有（4）ab110 （5）ab220式中，和分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，和中的电流在圆心处产生的磁感llll1212应强度的大小分别为Il11 （6）1m2R1Il22（7）2m2R1方向竖直向上，方向竖直向下.BB12由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为 20（8）无论长直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场. 在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为 2I （9）3mR1100方向竖直向下.对应图1的等效电路如图2，杆中的电流 a（10）IIIRR 1 2 右左右左左右其中为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，R R R左ab 和分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非R右常靠近圆心，故 b （11）图 2 ab111右左利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得v800kBm （12）3由于小圆环半径，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为（13）当长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为（14）在长直金属杆以速度从ab移动到cd的时间间隔内，穿过小圆环圆面的磁感应通量的v改变为（15）由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为（16）在长直金属杆从ab移动cd过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为（17）于是，利用（12）和（17）式，在时间间隔内通过小环导线横截面的电荷量为（18）i评分标准：本题25分. （3）式3分，（4）、（5）式各1分，（8）、（10）式各3分，（12）式3分, （15）式4分，（16）、（17）式各2分，（18）式3分. 六、参考解答： nn设重新关闭阀门后容器A中气体的摩尔数为，B中气体的摩尔数为，12则气体总摩尔数为（1） 12把两容器中的气体作为整体考虑，设重新关闭阀门后容器A中气体温度为，B中气体温度为，重新关闭阀门之后与打开阀门之前气体内能的变化可表12示为（2）由于容器是刚性绝热的，按热力学第一定律有（3） pV令表示容器A的体积, 初始时A中气体的压强为，关闭阀门后A中气体压强为，由理想气体状态方程可知 1pV （4）（5）由以上各式可解得由于进入容器B中的气体与仍留在容器A中的气体之间没有热量交换，因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器A中的那部分气体经历了一个绝热Vp过程，设这部分气体初始时体积为(压强为时)，则有10（6） 11011 22利用状态方程可得（7）由（1）至（7）式得，阀门重新关闭后容器B中气体质量与气体总质量之比RC（8）Rn评分标准：本题15分. （1）式1分，（2）式3分，（3）式2分，（4）、（5）式各1分，（6）式3分，（7）式1分，（8）式3分. 七、答案与评分标准： 1. 19.2 (4分，填19.0至19.4的，都给4分) 10.2 (4分，填10.0至10.4的，都给4分) 2. 20.3 (4分，填20.1至20.5的，都给4分) 4.2 (4分，填4.0至4.4的，都给4分) 八、参考解答：在相对于正离子静止的参考系S中，导线中的正离子不动，导电电子以速向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系中，导线中导电电子不动，v度0向上匀速运动.下面分四步进行分析. v正离子以速度第一步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向.若S系中一些正离子所占据的长度为，则在系中这些正离子所占据的长l，由相对论中的长度收缩公式有度变为（1），由于离子设在参考系S和中，每单位长度导线中正离子电荷量分别为和的电荷量与惯性参考系的选取无关，故（2）由（1）和（2）式得（3）设在S系中一些导电电子所占据的长度为，在系中这些导电电子所占据l，则由相对论中的长度收缩公式有的长度为（4）同理，由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关，便有（5）分别为在参考系S和中单位长度导线中导电电子的电荷量. 式中，和在参照系中，导线2单位长度带的电荷量为（6）它在导线1处产生的电场强度的大小为（7）q电场强度方向水平向左.导线1中电荷量为的正离子受到的电场力的大小为（8）电场力方向水平向左第二步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加磁场力的大小和向上运动的正离子形成的电流为 v方向.在参考系中，以速度（9）导线2中的电流在导线1处产生磁场的磁感应强度大小为（10）磁感应强度方向垂直纸面向外.导线1中电荷量为的正离子所受到的磁场力的大小为 2v（11）方向水平向右，与正离子所受到的电场力的方向相反. 第三步，在参考系S中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的大小和方向.由题设条件，导线2所带的正电荷与负电荷的和为零，即（12）因而，导线2对导线1中正离子施加电场力为零（13）注意到在S系中，导线1中正离子不动（14）导线2对导线1中正离子施加磁场力为零（15）式中，是在S系中导线2的电流在导线1处产生的磁感应强度的大小.于是，B在S系中，导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零. 第四步，已说明在S系中导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零，如果导线1中正离子还受到其他力的作用，所有其它力的合力必为零(因为正离子静止).在系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力的大小为因为相对系，上述可能存在的其它力的合力仍应为零，而正离子仍处在勻速运动状态，所以(16)式应等于零，故（17）由（8）、（11）和（17）式得 k2e （18）km 评分标准：本题18分. （1）至（18）式各1分. 26。

选择填空题答案和解析：
1．C
2．C 解释：A选项没有考虑对外做功；B选项中酒精的沸点约为78度，D选项中，宏
观上理解为大气的重力，微观上是离子碰撞的冲力，不能重复计算。

3． BC 解释：插入玻璃板电容C 增大，串联电容器的电量相等，C 与U 成反比，故a 的
电压减小，能量CU 2/2，故b 的能量增大。

D 选项中遗漏了充放电流的焦耳热。

4． A 解释；能量守恒。

与400kev 的光子无关。

5． D 解释：返回过程速度较小，摩擦生热更少，故机械能损失量更少。

6． 2.5m 解释：先用玻马定律算出压强变为12.5m 水柱，故内外压力差等于高度差，等于
2，5m 。

7． 3s/5 解释：由折射定律得h=rd/2 ，h=i （s-d ）/2，i/r=1.5，解之得。

8． 9k cl ke
,210E E -⨯-。

解释：能量差等于势能之差2s ke E r ∆=，解之得。

9． 9 解释：动量和能量关系E t ∆s=pc ，动量定理 2p=N t ∆。

解之得。

For personal use only in study and research; not for commercial use29届全国中学生物理竞赛决赛试题panxinw 整理一、(15分)如图，竖直的光滑墙面上有A 和B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度系数为k 的轻橡皮筋，一端由A 钉固定，另一端系有一质量为m=gkl 4的小球，其中g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与A 钉距离为2l 的C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时刻小球获得大小为20gl v 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻．二、(20分)如图所示，三个质量均为m 的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A 、B 和C 处．AD ⊥BC ，且AD=BD=CD=a ，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在AD 杆上距A 点a ／4和3a ／4两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反．1．试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时，三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力；2．如果在AD 杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕该转轴转动．问转轴在AD 杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出该推力的大小．正视图如图所示，正视图下部为一高度为h的矩形，上部为一半径为R的半圆形．柱体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h／2，链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系时，1．柱体能在地面上滑动；2．柱体能向一侧倾倒；3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生．四、(20分)如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为a，A球质量为m，所带电荷量为Q，B球质量为4m，所带电荷量为-4Q．在初始时刻，两球球心距为4a，各有一定的初速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落．现要求在此前提下尽量减小桌面面积，试求1．两球初速度的方向和大小；假设两球在运动过程中，其所带电荷量始终保持均匀分布：桌面也不发生极化效应．已知两个均匀带电球之间的静电相互作用力，等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相互作用力；静电力常量为k e．如图所示，一半径为R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由转动．一半径为a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴．在盘边缘处等间隔地固定4个质量均为m 的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为q ．此装置处在一磁感应强度大小为B 0、方向竖直向上的均匀强磁场中．初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I ．方向沿顺时针方向(从上往下看)．若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动．求薄圆盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属球小的作用力的大小．假设金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场．已知固定在圆盘面上的半径为a 、通有电流I 的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为r 处(r>>a)产生的磁场的磁感应强度的大小为B=322r Ia k m ，式中k m 为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上．静电力常量为k e ．如图，一水平放置的刚性密闭气缸，缸壁是绝热的，活塞把气缸内空间分为两个体积相同的密闭室A 和B ．活塞由一层热容量很小(略去其影响)、导热良好的材料(与气缸壁有摩擦)和一薄层绝热材料(与气缸壁没有摩擦)压制而成，绝热层在A 室一侧．初始时，A 室和B 室充有绝对温度均为T 0的同种多原子分子理想气体，A 室气体压强是B 室气体压强的4倍．现释放活塞，活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓慢，最后停止在平衡位置(此时活塞与缸壁间无静摩擦)．已知气缸中的气体具有如下特性：在温度高于某个临界温度T d (>T 0)时，部分多原子气体分子将发生分解，一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子．被分解的气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比a 满足关系a=)(d T T -β，其中β=2.00T 0-1．分解过程是可逆的，分解1摩尔分子所需能量φ=CT 0／l0，1摩尔气体的内能与绝对温度T 的关系为u=CT(C 是与气体的种类无关的常量)．已知当压强为P 、体积为V 的这种气体绝热缓慢膨胀时，PV γ=常量，其中γ=4／3．1．对于具有上述特性的某种气体，若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分解，求这种分子发生分解的临界温度T d 的可能值；2．对于具有上述特性的另一种气体，若实验测得在上述过程结束时有a=l0.0％的分子分解了，求这种分子发生分解的临界温度T d ．如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成．已知望远镜物镜L 0的焦距为l6.OOcm ．在L 0的焦平面P 处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物，如图二所示．在载物台上放置双面平行的平面镜M ，通过望远镜的目镜Le 观察时，能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过L 0折射、M 反射、再经L 0折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于A 点，与上十字叉丝线的距离为5.2mm ．绕载物台转轴(沿竖直方向)转动载物台，使平面镜转l80°，此时十字像位于B 点，与上十字叉丝线的距离为18.8mm ．根据以上情况和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为 rad ；据此结果，调节望返镜，使其光轴与载物台的转轴垂直．平行光管是由十字缝S 和凸透镜L 组成．去掉光学系统中的平面镜M ，并用钠光灯照亮S ．沿水平方向移动S ，当S 到平行光管中的透镜L 距离为8.25cm 时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划板中心十字叉丝线上，由此可以推知，L 的焦距等于 cm ．将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、宽、高均为3.OOcm 、折射率为1.52的分束棱镜abed(分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又能反光)和待测凹球面镜0，0到L 的距离为l5.OOcm ，并保证分束棱镜的ab 面与图三中的XX ′轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的XX ′轴重合；再将望远镜绕载物台的中心轴转90°，如图三所示。

第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷题号-一--二二三四五六七八总分得分复核本卷共八题，满分160分。

计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步 骤。

只写出最后结果的不能得分。

有数字计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。

填 空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程。

一、填空题.（本题共4小题，共25分）1•图1所示的电阻丝网络，每一小段电阻同为 r ，两个端点 A 、B 间等效电阻R i = 。

若在图1网络中再引入3段斜电阻丝， 每一段电阻也为r ，如图2所示，此时A 、B 间等效电阻R 2= ____________________________得分 阅卷复核 — —图1图22 •右图为开尔文滴水起电机示意图。

从三通管左右两管口 形成的水滴分别穿过铝筒 厲、A ?后滴进铝杯B 1、B 2,当滴了一段 时间后，原均不带电的两铝杯间会有几千伏的电势差。

试分析其 原理。

图中铝筒 厲用导线与铝杯B 2相连；铝筒A 2用导线与B 1相连。

3.受迫振动的稳定状态由下式给出x =Acos （・t •「）,A- _________ h , 二 arcta n「2。

其中 h =H ，而 H cos （，t ）为胁迫力,v '（Oo 一⑷2）2 +4目2国2国-国m2一：=—,其中-dX是阻尼力。

有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计，其中一条的固 mdt有振动角频率为 「0 =39.2727s ，，另外一条的固有振动角频率为 「0二78.5454s 」，在汽车运行的过程中，司机看到两条弹簧的振动幅度之比为7。

设1为小量，计算中可以略去，已知汽车轮子的直径为1m ,则汽车的运行速度为 ___________________ 。

4 •核潜艇中U 238核的半衰期为4.5 109年，衰变中有0.7%的概率成为U 234核，同时 放出一个高能光子，这些光子中的93%被潜艇钢板吸收。

29届全国中学生物理竞赛决赛试题panxinw 整理一、(15分)如图，竖直的光滑墙面上有A 和B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度系数为k 的轻橡皮筋，一端由A 钉固定，另一端系有一质量为m=g kl4的小球，其中g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与A 钉距离为2l 的C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时刻小球获得大小为20glv 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿竖直方向的速度为零的时刻．二、(20分)如图所示，三个质量均为m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C处．AD ⊥BC，且AD=BD=CD=a，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在AD杆上距A点a／4和3a／4两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反．1．试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时，三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力；2．如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕该转轴转动．问转轴在AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出该推力的大小．三、(20分)不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ．柱体正视图如图所示，正视图下部为一高度为h的矩形，上部为一半径为R的半圆形．柱体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h／2，链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系时，1．柱体能在地面上滑动；2．柱体能向一侧倾倒；3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生．四、(20分)如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为a，A球质量为m，所带电荷量为Q，B球质量为4m，所带电荷量为-4Q．在初始时刻，两球球心距为4a，各有一定的初速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落．现要求在此前提下尽量减小桌面面积，试求1．两球初速度的方向和大小；2．圆桌面的最小半径．假设两球在运动过程中，其所带电荷量始终保持均匀分布：桌面也不发生极化效应．已知两个均匀带电球之间的静电相互作用力，等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相互作用力；静电力常量为k e．五、(20分)如图所示，一半径为R 的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由转动．一半径为a 的轻质小圆线圈(a<<R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴．在盘边缘处等间隔地固定4个质量均为m 的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为q ．此装置处在一磁感应强度大小为B 0、方向竖直向上的均匀强磁场中．初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I ．方向沿顺时针方向(从上往下看)．若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动．求薄圆盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属球小的作用力的大小．假设金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场．已知固定在圆盘面上的半径为a 、通有电流I 的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为r 处(r>>a)产生的磁场的磁感应强度的大小为B=322r I a k m ，式中k m 为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上．静电力常量为k e ．六、(15分)如图，一水平放置的刚性密闭气缸，缸壁是绝热的，活塞把气缸内空间分为两个体积相同的密闭室A 和B ．活塞由一层热容量很小(略去其影响)、导热良好的材料(与气缸壁有摩擦)和一薄层绝热材料(与气缸壁没有摩擦)压制而成，绝热层在A 室一侧．初始时，A 室和B 室充有绝对温度均为T 0的同种多原子分子理想气体，A 室气体压强是B 室气体压强的4倍．现释放活塞，活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓慢，最后停止在平衡位置(此时活塞与缸壁间无静摩擦)．已知气缸中的气体具有如下特性：在温度高于某个临界温度T d (>T 0)时，部分多原子气体分子将发生分解，一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子．被分解的气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比a 满足关系a=)(d T T -β，其中β=．分解过程是可逆的，分解1摩尔分子所需能量φ=CT 0／l0，1摩尔气体的内能与绝对温度T 的关系为u=CT(C 是与气体的种类无关的常量)．已知当压强为P 、体积为V 的这种气体绝热缓慢膨胀时，PV γ=常量，其中γ=4／3．1．对于具有上述特性的某种气体，若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分解，求这种分子发生分解的临界温度T d 的可能值；2．对于具有上述特性的另一种气体，若实验测得在上述过程结束时有a=％的分子分解了，求这种分子发生分解的临界温度T d ．七、(15分)如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成．已知望远镜物镜L0的焦距为．在L0的焦平面P处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物，如图二所示．在载物台上放置双面平行的平面镜M，通过望远镜的目镜Le观察时，能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过L0折射、M反射、再经L0折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于A点，与上十字叉丝线的距离为．绕载物台转轴(沿竖直方向)转动载物台，使平面镜转l80°，此时十字像位于B点，与上十字叉丝线的距离为．根据以上情况和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为 rad；据此结果，调节望返镜，使其光轴与载物台的转轴垂直．平行光管是由十字缝S和凸透镜L组成．去掉光学系统中的平面镜M，并用钠光灯照亮S．沿水平方向移动S，当S到平行光管中的透镜L距离为时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划板中心十字叉丝线上，由此可以推知，L的焦距等于 cm．将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、宽、高均为、折射率为的分束棱镜abed(分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又能反光)和待测凹球面镜0，0到L的距离为，并保证分束棱镜的ab面与图三中的XX′轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的XX′轴重合；再将望远镜绕载物台的中心轴转90°，如图三所示。

第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共8题，满分160分。

一、（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。

已知湖水密度为ρ；物块边长为b ，密度为'ρ，且ρρ<'。

在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

解： 由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为2b f b x g ρ= (x b ≤) (1)式中g 为重力加速度.物块的重力为3g f b g ρ'= (2)设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有3g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得g a x b b ρρρρ'⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭ (4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ'而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为X x b ρρ'=-(5) 把(5)式代入(4)式得g a X bρρ=-'(6)(6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置.由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为0x b ρρ'= (7) 物块运动方程在X 系中可写为()()cos X t A t ωϕ=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为()()sin V t A t ωωϕ=-+ (9) 式中ω为振动的圆频率ω=(10) 在(8)和(9)式中A 和ϕ分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得(0)X b ρρ'=- (11)(0)0V = (12) 由(8)至(12)式可求得A b ρρ'=(13) ϕ=π(14)将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得()()cos X t b t ρωρ'=+π (15)()()V t t ω=+π (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中.若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定.为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x 系中看，物块下底面坐标为b 时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为b 1X X b ρρ'⎛⎫==- ⎪⎝⎭（17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ，下面分两种情况讨论：I ．b A X ≤. 由(13)和(17)两式得ρρ'≥2 (18)在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期22T ωπ== (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间I 2t T == (20) II ．b A X >. 由(13)和(17)两式得 2ρρ'< (21)在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下.设从初始位置起，经过时间1t 物块刚好全部浸入湖水中，这时()1b X t X =. 由(15)和(17)式得()1cos 1t ρρωρρ''+π=- (22) 取合理值，有1arccos 1t ρπρ⎤⎛⎫=--⎥ ⎪'⎝⎭⎦(23)由上式和(16)式可求得这时物块的速度为1()V t = (24)此后，物块在液体内作匀减速运动，以a '表示加速度的大小，由牛顿定律有a g ρρρ'-'=' (25)设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为2t ，有()120V t a t '-= (26)由(24)-(26)得2t (27)物块从初始位置出发往返一次所需的时间为II 122()arccos 1t t t ρπρ⎤⎛⎫=+=--+⎥ ⎪'⎝⎭⎦(28)评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.二、（23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R （从地心算起）延伸到太空深处。

第29届全国中学生物理竞赛决赛模拟试卷及答案一．（15分）两个质量分别为1m 和2m 的小球，它们之间的相互作用表现为斥力（斥力大小表达式为221rm m k，k 是常数，r 为两球之间距离）. 现已知1m 以速度0v 接近2m ，瞄准距离为b ，即2m 到1m 速度方向的垂直距离为b ，如图所示. 求1m 小球接近2m 小球的最近距离d . 设21m m <<，小球2m 可近似看作静止.一．解：1m 小球受力始终指向2m 小球中心，1m 小球在一平面内运动．如图所示．设z 轴垂直于此平面且通过2m 小球中心，则1m 小球所受力对z 轴的力矩为零，即对z 轴角动量守恒．1m 小球以速度v 0运动，对z 轴角动量是γsin 01v rm ，但b r =γsin ，故001sin bmv v rm =γ，1m 小球最接近2m 小球（距离为d ）时，即无继续向2m 小球运动的速度，又无远离2m 小球的速度，此刻的速度v图52m应与1m 小球至2m 小球的连线垂直，角动量是v dm 1．于是011v bm v dm = （1） （5分） 得 dbv v 0=在散射过程中，只有斥力作用，故能量守恒。

最初，其能量为20121v m 动能，到达离2m 小球最近时，其总能量为dm m k v m 212121+， 后一项为斥力势能，k 为一常数．因此，20121212121v m d m m k v m =+ （2） （4分） 有（1）（2）得22202202b v m k v m k d +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±= （4分）d 只能为正，故式中负号无物理意义，舍去．22202202b v m k v m k d +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= （2分）二．（20分）如图所示，质量为m 的小球，用不可伸长的线悬于固定点O ，线长为l ，初始线与铅垂线有一个夹角，初速为0. 在小球开始运动后，线碰到铁钉O 1. 铁钉的方向与小球运动的平面垂直. OO 1=h <l ，且已知OO 1与铅垂线夹角为β，设l 与铅垂线夹角为α. 假设碰后小球恰能做圆周运动. 求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化.二．解：假设碰后小球能作圆周运动，运动到最高点的速度v 可由（3分）得出 g h l v )(2-= 设初始夹角为α由机械能守恒得到：)](cos cos [212h l l h mg mv --α-β= （5分）221)cos (mv l l mg =α-]23)cos 23([cos -β+=αl h假设碰前瞬时速度为v 1则：)cos (cos 2121α-β=mgl mv （2分）)cos (cos 21α-β=gl v碰前：l mv mg T 211cos =β- （3分）)(cos 212h l mv mg T -=β- （3分）)cos )(cos (212α-β-=-h l mghT T )cos 23(2β+=l mgh（4分）三、（17分）斯泰瓦—托尔曼（Stewart-Tolman ）效应1917年，斯泰瓦和托尔曼发现，一绕在圆柱上的闭合线圈，当该圆柱以一定角加速度绕轴旋转时，线圈中会有电流流过。

2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案解析无锡市第一中学魏熙锴第一题（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相ρb；物块边长为，密度为，且。

在只考虑物块接触。

已知湖水密度为ρρρ''<受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

解：由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向x系. 设物块下底面的坐标为，在物块未完全浸没入建立坐标系，以下简称x湖水时，其所受到的浮力为x≤b() (1) 2ρ=fbxg b g为重力加速度.物块的重力为式中3′ρfbg= (2) g，根据牛顿第二定律有设物块的加速度为a3′ρaf−fb=(3) gb将(1)和(2)式代入(3)式得(4) 将系坐标原点向下移动而建立新坐标系，简称系. 新旧坐标的关系x为′ρ (5)Xxb=−ρ把(5)式代入(4)式得ρg(6) a=−X′ρbX=0a=0(6)式表示物块的运动是简谐振动. 若，则，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在系中的坐标为x′ρ (7) =xb0ρX物块运动方程在系中可写为 (8)()ωϕX(t)A cos t+=利用参考圆可将其振动速度表示为第1页，共23页2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析(9) ()ωωϕ()sin Vt=−At+为振动的圆频率式中ωρgω=(10) ρ'bϕA在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释x=0t=0时刻有，由(5)式得放时，即′ρ(11) X(0)=−bρ (12) V(0)=0由(8)至(12)式可求得′ρ(13) A=bρϕ=π (14) 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得′ρ() (15) ωX(t)b cos t+π=ρ′ρ()ω=−+πV(t)gb sin t (16) ρ由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没b系中看，物块下底面坐标为时，物块刚好被完在湖水中的情况. 显然，在x X全浸没；由(5)式知在系中这一临界坐标值为1−b（17）即b处. 注意到在振物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下X b A动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠，下面分两种情况讨论： I．. 由(13)和(17)两式得A≤X bρρ′≥2 (18) 在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 ′ρ2πbT==2π (19) ωρg 物块从初始位置出发往返一次所需的时间 第2页，共23页2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析 ′ρbt=T=2π (20) I ρg II ． . 由(13)和(17)两式得 A>X b ′ρρ (21) <2在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. t 设从初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时. 由(15)()Xt=X 11b 和(17)式得 ′′ρρ() (22) ω+π−cos t 11ρρ取合理值，有arccos1=−− (23)1由上式和(16)式可求得这时物块的速度为 2 (24) V (t )gb 1-11表示加速度的大小，由牛顿定律 此后，物块在液体内作匀减速运动，以有 ′ρρ− (25) ′ag= ′ρ设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为，有 t 2(26) ()′Vt−at=012由(24)-(26)得 2(27) t 11−−2′′ρρρρ()物块从初始位置出发往返一次所需的时间为 2 ρρ2b (28)πt 2(tt )211arccos1 II12′′′ρρρρρρg ()评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分. 评析：本题的突破关键在于意识到这个运动的具体情况：在完全沉入水之前是简谐运动，在沉入水之后竖直上抛运动（类似）。

第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考答案 一、由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为2b f b x g ρ= (x b ≤) (1) 式中g 为重力加速度.物块的重力为3g f b g ρ'=(2)设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有3g b b a f f ρ'=- (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得g a x bb ρρρρ'⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭(4)将x 系坐标原点向下移动/b ρρ'而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为 X x b ρρ'=- (5) 把(5)式代入(4)式得ga X bρρ=-' (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x系中的坐标为 0x b ρρ'= (7)物块运动方程在X 系中可写为()()cos X t A t ωϕ=+(8) 利用参考圆可将其振动速度表示为()()sin V t A t ωωϕ=-+(9) 式中ω为振动的圆频率ω (10) 在(8)和(9)式中A 和ϕ分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得(0)X b ρρ'=-(11) (0)0V = (12)由(8)至(12)式可求得 A b ρρ'=(13) ϕ=π (14) 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得()()c o s X t b t ρωρ'=+π (15) ()()sin V t t ω=+π (16)由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x 系中看，物块下底面坐标为b 时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为b 1X X b ρρ'⎛⎫==- ⎪⎝⎭（17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ，下面分两种情况讨论： I ．b A X ≤. 由(13)和(17)两式得ρρ'≥2 (18)在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期22T ωπ== (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间I 2t T == (20) II ．b A X >. 由(13)和(17)两式得 2ρρ'< (21)在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间1t 物块刚好全部浸入湖水中，这时()1b X t X =. 由(15)和(17)式得()1cos 1t ρρωρρ''+π=- (22)取合理值，有1a r c c o s 1t ρπρ⎤⎛⎫=--⎥ ⎪'⎝⎭⎦(23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为 1()1V t = (24)此后，物块在液体内作匀减速运动，以a '表示加速度的大小，由牛顿定律有a g ρρρ'-'=' (25)设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为2t ，有()120V t a t '-= (26)由(24)-(26)得2t =(27) 物块从初始位置出发往返一次所需的时间为II 122()arccos 1t t t ρπρ⎤⎛⎫=+=--+⎥ ⎪'⎝⎭⎦ (28)评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.二、1.i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值. 由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或近地点）；设近地点（或远地点）离地心的距离为r ，卫星在此点的速度为v .由开普勒第二定律可知()20.80r R ωv = (1)式中e (2/)T ωπ=为地球自转的角速度.令m 表示卫星的质量，根据机械能守恒定律有()222110.80220.80GMm GMm m m R r R ω-=-v （2） 由（1）和（2）式解得0.28r R ≈ (3)可见该点为近地点,而脱离处为远地点.【（3）式结果亦可由关系式：()2210.800.8020.80GMm GMm m R r R Rω-=-+直接求得】 同步卫星的轨道半径R 满足22GMR Rω= (4) 由(3)和(4)式并代入数据得41.210km r ≈⨯ (5)可见近地点到地心的距离大于地球半径，因此卫星不会撞击地球.ii. 由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量，从远地点可求出该常量为 ()2s 10.802R σω=(6) 设a 和b 分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴，由椭圆的几何关系有 0.280.802R R a +≈(7) b ≈ (8)卫星运动的周期T 为sabT πσ=(9)代人相关数值可求出9.5h T ≈ （10） 卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点，根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度，其后的一周期内其角速度都应不比该值小，所以卫星始终不比太空电梯转动得慢；换言之，太空电梯不可能追上卫星.设想自卫星与太空电梯脱离后经过1.5T （约14小时），卫星到达近地点，而此时太空电梯已转过此点，这说明在此前卫星尚未追上太空电梯.由此推断在卫星脱落后的0-12小时内二者不可能相遇；而在卫星脱落后12-24小时内卫星将完成两个多周期的运动，同时太空电梯完成一个运动周期，所以在12-24小时内二者必相遇，从而可以实现卫星回收.2.根据题意，卫星轨道与地球赤道相切点和卫星在太空电梯上的脱离点分别为其轨道的近地点和远地点.在脱离处的总能量为2x x x e1()2GMm GMmm R R R R ω-=-+（11） 此式可化为3x x 23e e 21e R R GMR R R ω⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (12)这是关于x R 的四次方程，用数值方法求解可得 4x e 4.7 3.010km R R ≈≈⨯（13）【x R 亦可用开普勒第二定律和能量守恒定律求得.令e v 表示卫星与赤道相切点即近地点的速率，则有2e e x R R ω=v 和22e x e x11()22GMm GMmm m R R R ω-=-v 由上两式联立可得到方程53x x x 2323e e e 220e eR R R GM GMR R R R R ωω⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中除x R 外其余各量均已知, 因此这是关于x R 的五次方程. 同样可以用数值方法解得x R .】卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期T '，设椭圆的半长轴为a '，半短轴为b '，有 x e2R R a +'=(14)b '= (15) 因为面积速度可表示为 2s x 12R σω'=(16) 所以卫星的运动周期为 s a b T πσ'''='(17)代入相关数值可得 6.8T '≈h (18)卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行180度，落到西经(180110)︒-︒处与赤道相切. 但由于地球自转，在这期间地球同时转过了/2T ω'角度，地球自转角速度360/24h 15/h ω=︒=︒，因此卫星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经1801101212T ωθ'=︒-︒+≈︒ （19）即卫星着地点在赤道上约西经121度处.评分标准： 本题23分.第1问16分，第i 小问8分，(1)、(2)式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii 小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分.第2问7分，(11)式1分， (13)式2分，（18）式1分，（19）式3分. （数值结果允许有5%的相对误差） 三、 解法一如图1所示，建直角坐标Oxy ，x 轴与挡板垂直，y 轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速度为0v ，方向沿x 轴正方向，以P 表示系统的质心，以Px v 和Py v 表示碰撞后质心的速度分量，J 表示墙作用于小球C 的冲量的大小. 根据质心运动定理有图1Px 033J m m -=-v v （1）Py 030m =-v （2）由（1）和（2）式得0Px 33mv Jm-=v （3）Py 0=v （4）可在质心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球C 与挡板碰撞过程中，质心的坐标为P c o s x l α=- （5）P 1s i n 3y l α=- （6）球C 碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球C 碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为ω，则三小球对质心P 的角动量222AP BP CP L m l m l m l ωωω=++（7）式中AP l 、BP l 和 CP l 分别是A 、B 和C 三球到质心P 的距离，由图1可知22222AP 1cos sin 9l l l αα=+（8） 222BP 1sin 9l l α=（9） 22222CP 4cos sin 9l l l αα=+（10）由（7）、（8）、（9）和（10）各式得222(12cos )3L ml ωα=+ （11） 在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球C 的冲量J 的冲量矩，即有2sin 3J l L α=（12）【也可以始终在惯性参考系中考察问题，即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点，则对该参考点(12)式也成立】由（11）和（12）式得2sin (12cos )J ml αωα=+ (13) 球C 相对于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）CPx CP P sin (sin ||)l l y ωβωα=-=--v(14)CPy CP cos cos l l ωβωα=-=-v(15)球C 相对固定参考系速度的x 分量为 Cx CPx Px =+v v v （16） 由（3）、（6）、（13） （16）各式得Cx 02(12cos )Jm α=-++v v（17） 根据题意有 0Cx =v （18）由（17）和（18）式得 20(12cos )J m α=+v（19） 由（13）和（19）式得sin lαω=v （20） 球A 若先于球B 与挡板发生碰撞，则在球C 与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过π/2角，即杆AB 至少转到沿y 方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间12t πω= （21）在此时间内质心沿x 方向向右移动的距离 Px x t ∆=v （22）若P P y x x ∆+> （23） 则球B 先于球A 与挡板碰撞. 由（5）、（6）、（14）、（16）、（18）、（21）、（22）和（23）式得 3arctan 1α>+π（24）即 36>α (25)评分标准：本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分.解法二如图1所示，建直角坐标系Oxy ，x 轴与挡板垂直，y 轴与挡板重合，以Ax v 、Ay v 、Bx v 、By v 、Cx v 和 Cy v 分别表示球C 与挡板刚碰撞后A 、B 和C 三球速度的分量，根据题意图2图1有Cx 0=v （1）以J 表示挡板作用于球C 的冲量的大小，其方向沿x 轴的负方向，根据质点组的动量定理有Ax Bx 03J m m m -=+-v v v （2） Ay By Cy 0m m m =++v v v （3） 以坐标原点O 为参考点，根据质点组的角动量定理有()Ay By 0sin cos cos cos sin Jl m l l m l m l ααααα=+++v v v （4） 因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有Ax Bx =v v（5） Cy By Bx sin sin cos ααα=-v v v（6） Ax Ay Cy cos sin sin θθθ-=-v v v（7）（7）式中θ为杆AB 与连线AC 的夹角. 由几何关系有cos θ=（8）sin θ=（9）解以上各式得 20(12c o s )J m α=+v （10）2Ax 0sin α=v v （11）Ay 0sin cos αα=v v （12） 2B x 0s i n α=v v （13）By 0=v （14）Cy 0sin cos αα=-v v （15）按题意，自球C 与挡板碰撞结束到球A (也可能球B )碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A 、B 和C 三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球B 相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C 与挡板碰撞刚结束时系统质心P 的速度2Ax Bx Cx Px 02sin 33m m m m α++==v v v v v （16）Ay By CyPy 03m m m m++==v v v v （17）这时系统质心的坐标为 P cos x l α=- （18）P 1sin 3y l α=-（19）不难看出，此时质心P 正好在球B 的正下方，至球B 的距离为P y ，而球B 相对质心的速度2BPx Bx Px 01sin 3α=-=v v v v （20）BPy 0=v （21）可见此时球B 的速度正好垂直BP ，故整个系统对质心转动的角速度0sin BPx P y l αω==v v （22）若使球A 先于球B 与挡板发生碰撞，则在球C 与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过π/2角，即杆AB 至少转到沿y 方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间 1π2t ω=（23）在此时间内质心沿x 方向向右移动的距离Px x t ∆=v （24） 若 P P y x x ∆+> （25）则球B 先于球A 与挡板碰撞. 由以上有关各式得 3a r c t a n 1α>+π（26）即 36>α(27)评分标准：本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.四、参考解答：图21．虚线小方框内2n 个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容t1C 满足下式t112n C C =（1）即 t12CC n= （2） 式中4SC kdπ= （3）虚线大方框中无限网络的等效电容t2C 满足下式t211112248C C C C ⎛⎫=+++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭（4） 即 t22CC = （5）整个电容网络的等效电容为t 1t 2t t 1t 224C C CC C C n ==++ （6）等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）t t (4)2S q C n kdεεπ==+（7）当电容器a 两极板的距离变为2d 后，2n 个平行板电容器联成的网络的等效电容t1C '满足下式 t111223n C C C -=+'（8） 由此得 t1631CC n '=+ （9） 整个电容网络的等效电容为t 1t 2t t 1t 26313C C CC C C n ''=='++（10）整个电容网络的等效电容器带的电荷量为 t t 3(313)2S q C n kdεεπ''==+ （11） 在电容器a 两极板的距离由d 变为2d 后，等效电容器所带电荷量的改变为t t t (313)(4)2S q q q n n kdεπ'∆=-=-++ （12）电容器储能变化为 ()222t t 122(313)(4)2S U C C n n kdεεεπ∆==-'-++（13）在此过程中，电池所做的功为 2t (313)(4)2S A q n n kd εεπ=∆=-++（14）外力所做的功为 22(313)(4)2S A U A n n k d επ'=∆-=++ （15）2.设金属薄板插入到电容器a 后，a 的左极板所带电荷量为q '，金属薄板左侧带电荷量为q '-，右侧带电荷量为()q Q '+，a 的右极板带电荷量为()q Q '-+，与a 并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q ''和q ''-.由于电容器a 和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有 ()44(2)q q q Q S S Ckx k d x ππ''''+=+- （16） 由（2）式和上式得 23d xq q q Q d-''''+=+ （17）上式表示电容器a 左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容t2C 所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即 t2(1)2q q q q q n c C C ε''''''''+++-+= （18） 将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器a 左极板带电荷量(5)(2)(313)2(313)S n d x q Q n kd n dεπ+-'=-++ （19）评分标准：本题21分. 第1问13分，（2）式1分，（5）式2分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各1分，（13）式2分,（14）式1分，（15）式2分.第2问8分，（16）、（17）、（18）、（19）式各2分. 五、参考解答:如图1所示，当长直金属杆在ab 位置以速度v 水平向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由b 指向a 的感应电动势的大小为BL ε=v （1） 式中L 为金属杆在ab 位置时与大圆环两接触点间的长度，由几何关系有12L R = （2）在金属杆由ab 位置滑动到cd 位置过程中，金属杆与大圆环接触的两点之间的长度L 可视为不变，近似为12R .将（2）式代入（1）式得，在金属杆由ab 滑动到cd 过程中感应电动势大小始终为12BR ε=v （3）以I 、1I 和2I 分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图1所示，以ab U 表示a 、b 两端的电压，由欧姆定律有ab 110U I l r = （4）ab 220U I l r = （5） 式中，1l 和2l 分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，1l 和2l 中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为 111m 21I l B k R = （6） 222m21I l B k R = （7） 1B 方向竖直向上，2B 方向竖直向下.由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为0210B B B =-= （8）无论长直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I 所产生磁场.在金属杆由ab 滑动到cd 的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab 位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为 3m 12100IB k R = （9）方向竖直向下.对应图1的等效电路如图2，杆中的电流I R R R R R ε=++右左右左（10）其中R 为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，R 左和R 右分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非常靠近圆心，故a b 1112,=R R r R R R r π≈≈右左（11） 利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得m 3110800(4)k BB R r r π=+v （12）由于小圆环半径21R R <<，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于ab 处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为2ab 23R B φπ= （13） 当长直金属杆滑到cd 位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为 2cd 23()R B φπ=- （14）在长直金属杆以速度v 从ab 移动到cd 的时间间隔t ∆内，穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为 2cd ab 232R B φφφπ∆=-=- （15） 由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为223i 2R B t tπφε∆=-=∆∆（16） 在长直金属杆从ab 移动cd 过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为23ii 2002R B I R r r t επ==∆ （17）于是，利用（12）和（17）式，在时间间隔t ∆内通过小环导线横截面的电荷量为23m 2i 01010800(4)R B k BR Q I t r R r r r π=∆==+v （18） 评分标准：本题25分. （3）式3分，（4）、（5）式各1分， （8）、（10）式各3分，（12）式3分, （15）式4分，（16）、（17）式各2分，（18）式3分.六、参考解答：设重新关闭阀门后容器A 中气体的摩尔数为1n ，B 中气体的摩尔数为2n ，则气体总摩尔数为 12n n n =+ （1）把两容器中的气体作为整体考虑，设重新关闭阀门后容器A 中气体温度为1T '，B 中气体温度为2T ，重新关闭阀门之后与打开阀门之前气体内能的变化可表示为()()111221U n C T T n C T T '∆=-+- （2）由于容器是刚性绝热的，按热力学第一定律有0U ∆= （3）令1V 表示容器A 的体积, 初始时A 中气体的压强为1p ，关闭阀门后A 中气体压强为1p α，由理想气体状态方程可知111p V n RT =（4）1111()p V n RT α='（5）由以上各式可解得()112111αα'-='-T T T T T由于进入容器B 中的气体与仍留在容器A 中的气体之间没有热量交换，因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器A 中的那部分气体经历了一个绝热过程，设这部分气体初始时体积为10V (压强为1p 时)，则有11011()C RC RC C p Vp V α++= （6）利用状态方程可得1101111()p V p V T T α='（7） 由（1）至（7）式得，阀门重新关闭后容器B 中气体质量与气体总质量之比222R C C R C RR C Rn nαααα+++--=-- （8）评分标准：本题15分. （1）式1分，（2）式3分，（3）式2分，（4）、（5）式各1分，（6）式3分，（7）式1分，（8）式3分.七、答案与评分标准：1. 19.2 (4分，填19.0至19.4的，都给4分)10.2 (4分，填10.0至10.4的，都给4分) 2. 20.3 (4分，填20.1至20.5的，都给4分) 4.2 (4分，填4.0至4.4的，都给4分) 八、参考解答：在相对于正离子静止的参考系S 中，导线中的正离子不动，导电电子以速度0v 向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系S '中，导线中导电电子不动，正离子以速度0v 向上匀速运动.下面分四步进行分析.第一步，在参考系S '中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向.若S 系中一些正离子所占据的长度为l ，则在S '系中这些正离子所占据的长度变为l +'，由相对论中的长度收缩公式有+'=l （1） 设在参考系S 和S '中，每单位长度导线中正离子电荷量分别为λ和λ+'，由于离子的电荷量与惯性参考系的选取无关，故l l λλ++''=（2）由（1）和（2）式得λ+'= （3）设在S 系中一些导电电子所占据的长度为l ，在S '系中这些导电电子所占据的长度为l -'，则由相对论中的长度收缩公式有=l l （4） 同理，由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关，便有λ-=5）式中，λ-和λ-'分别为在参考系S 和S '中单位长度导线中导电电子的电荷量.在参照系S '中，导线2单位长度带的电荷量为2(λλλλ+-'''=+=+- （6）它在导线1处产生的电场强度的大小为2e 2λ''==k E a（7）电场强度方向水平向左.导线1中电荷量为q 的正离子受到的电场力的大小为2e +''==f qE （8）电场力方向水平向左.第二步，在参考系S '中，考虑导线2对导线1中正离子施加磁场力的大小和方向.在参考系S '中，以速度0v 向上运动的正离子形成的电流为0λ+''==I v （9）导线2中的电流I '在导线1处产生磁场的磁感应强度大小为m 2''==k I B a （10） 磁感应强度方向垂直纸面向外.导线1中电荷量为q 的正离子所受到的磁场力的大小为2m0+''==f q B v （11）方向水平向右，与正离子所受到的电场力的方向相反.第三步，在参考系S 中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的大小和方向.由题设条件，导线2所带的正电荷与负电荷的和为零，即 ()0λλ+-=（12） 因而，导线2对导线1中正离子施加电场力为零e 0f +=（13）注意到在S 系中，导线1中正离子不动 1+0=v （14） 导线2对导线1中正离子施加磁场力为零m 1+0+==f q B v （15）式中，B 是在S 系中导线2的电流在导线1处产生的磁感应强度的大小.于是，在S 系中，导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零.第四步，已说明在S 系中导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零，如果导线1中正离子还受到其他力的作用，所有其它力的合力必为零 (因为正离子静止).在S '系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力的大小为 me f f f ++'''=- (16) 因为相对S '系，上述可能存在的其它力的合力仍应为零，而正离子仍处在勻速运动状态，所以(16)式应等于零，故me f f ++''= （17）由（8）、（11）和（17）式得 2emk c k = （18）评分标准：本题18分. （1）至（18）式各1分.。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试卷及标准答案说明：填空题的答案填在题中的横线上或题给的表格中。

计算题的解答应写出必要的说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能给分。

有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位。

本卷共8题，满分160分。

一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，运动周期T=76.1年。

1986年它过近日点P0时，与太阳S 的距离为r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。

经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 和SP 0的夹角72.0P θ=︒，已知1AU=111.510m ⨯，引力常量G =113126.6710m kg s ---⨯⋅⋅，太阳质量301.9910s m kg =⨯。

试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 时的速度大小和方向（用速度方向和SP 0的夹角表示）。

一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为22221x y a b+= （1）a 、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e（2）设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得c a r =-0 （3）22c a b -= （4） 由图1可知，P 点的坐标cos P P x c r θ=+ （5） sin P P y r θ= （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得()2222222222sin cos 2cos 0P P P P P ab r b cr bc a b θθθ+++-= （7）根据求根公式可得()22222cos sin cos P P P Pb ac r a b θθθ-=+ （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s2Gmm E =a-(10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v （11） 得P =v （12） 代入有关数据得414.3910m s P -⨯⋅v = (13) 设P 点速度方向与0SP 的夹角为ϕ(见图2)，根据开普勒第二定律[]sin 2P P P r ϕθσ-=v （14）图1其中σ为面积速度，并有πabTσ=（15） 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得127ϕ= （16）解法二取极坐标，极点位于太阳S 所在的焦点处，由S 引向近日点的射线为极轴，极角为θ，取逆时针为正向，用r 、θ表示彗星的椭圆轨道方程为1cos pr e θ=+ （1）其中，e 为椭圆偏心率，p 是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a ，根据解析几何可知()21p a e =- （2）将（2）式代入（1）式可得()θcos 112e e a r +-= （3）以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e（4） 在近日点0=θ，由（3）式可得1r e a=-（5）将P θ、a 、e 的数据代入（3）式即得0.895AU P r = （6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 s2Gmm E =a-(7) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v （8）可得P=v（9）代入有关数据得414.3910m sP-⨯⋅v=(10) 设P点速度方向与极轴的夹角为ϕ，彗星在近日点的速度为0v，再根据角动量守恒定律，有()sinP P Pr rϕθ-=v v00（11）根据（8）式，同理可得=v（12）由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据127ϕ=(13) 评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．二、（20分）质量分布均匀的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆质量均为m，长度均为l。

2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案解析无锡市第一中学 魏熙锴第一题（17分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。

已知湖水密度为ρ；物块边长为b ，密度为'ρ，且ρρ<'。

在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

解：由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x 系. 设物块下底面的坐标为x ，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为2b f b x g ρ= (x b ≤) (1)式中g 为重力加速度.物块的重力为3g f b g ρ′= (2) 设物块的加速度为a ，根据牛顿第二定律有3g b b a f f ρ′=− (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得g a x b b ρρρρ′=−−′(4) 将x 系坐标原点向下移动/b ρρ′而建立新坐标系，简称X 系. 新旧坐标的关系为X x b ρρ′=−(5) 把(5)式代入(4)式得ga X bρρ=−′ (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若0X =，则0a =，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x 系中的坐标为0x b ρρ′= (7)物块运动方程在X 系中可写为()()cos X t A t ωϕ=+ (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为()()sin V t A t ωωϕ=−+ (9) 式中ω为振动的圆频率'gbρωρ=(10) 在(8)和(9)式中A 和ϕ分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即0t =时刻有x =0，由(5)式得(0)X b ρρ′=− (11)(0)0V = (12)由(8)至(12)式可求得A b ρρ′=(13) ϕ=π (14)将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得()()cos X t b t ρωρ′=+π (15) ()()sin V t gb t ρωρ′=−+π (16) 由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x 系中看，物块下底面坐标为b 时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X 系中这一临界坐标值为b1X X b ρρ′==−（17）即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下b X 处. 注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A ，下面分两种情况讨论：I ．b A X ≤. 由(13)和(17)两式得ρρ′≥2 (18) 在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 22b T gρωρ′π==π (19)物块从初始位置出发往返一次所需的时间I 2bt T gρρ′==π(20) II ．b A X >. 由(13)和(17)两式得2ρρ′< (21) 在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间1t 物块刚好全部浸入湖水中，这时()1b X t X =. 由(15)和(17)式得()1cos 1t ρρωρρ′′+π− (22) 取合理值，有1arccos 1b t g ρρπρρ′ =−− ′(23) 由上式和(16)式可求得这时物块的速度为21()1-1V t gb ρρρρ′=−− ′(24) 此后，物块在液体内作匀减速运动，以a ′表示加速度的大小，由牛顿定律有a g ρρρ′−′=′ (25)设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为2t ，有()120V t a t ′−= (26) 由(24)-(26)得2211()b t g ρρρρρρρ′′ =−− ′′−(27) 物块从初始位置出发往返一次所需的时间为2II 1222()2arccos 111()b b t t t g g ρρρρρπρρρρρρ ′′′=+=−−+−− ′′′−(28)评分标准：本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.评析：本题的突破关键在于意识到这个运动的具体情况：在完全沉入水之前是简谐运动，在沉入水之后竖直上抛运动（类似）。