第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣

z2 x (n ) [z ]z 0 8 1 (z )z 4
当n 0时，围线内部没有极点 ，故x(n) 0
1 x(n) 7 u(n 1) 8(n) 4
n
z2 部分分式法： X(z) 1 z 4 X(z) z2 A1 A2 故 1 1 z z (z )z z 4 4
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第二章 z变换与离散时间傅里叶 变换(DTFT)
2.2 z变换的定义与收敛域
序列x(ห้องสมุดไป่ตู้)的z变换定义为：
n x ( n ) z
X ( z)
n
对任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的所有z值的集合 称为X(z)的收敛域，上式收敛的充分必要条件是满足绝 对可和
1 z2 A1 [(z ) ] 1 7 1 4 (z )z z 4 4 z2 A 2 [z ] 8 1 z 0 (z )z 4
n

7 1 X( z ) 8，| z | 1 1 4 1 z 4
1 x(n) 7 u(n 1) 8(n) 4
1 | z | 4
n 1
jIm[z]
1/4 o
Re[z]
当n 1时，分母中z的阶次比分子中 z的阶次高两阶 或两阶以上，可用围线 外部极点求解
1 (z 2)z n 1 1 n x (n ) [(z ) ] 1 7( ) z 1 4 4 4 z 4
z2 当n 0时，F(z) ，此时围线内部有一阶 极点z 0 1 (z )z 4
1 n x (n ) ( ) u (n ) 2
部分分式法： Z[a n u (n )]
1 ， | z || a | 1 1 az

dtftdft和z变换的关系公式离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和Z变换都是信号处理领域中常用的数学工具，用于描述和分析离散时间信号和系统。

它们之间存在密切的关系，可以通过一系列数学公式进行转换和相关性描述。

1.离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是用于离散时间信号的频域分析的工具。

对于一个离散时间序列x[n]，其DTFT定义为：X(e^jω)=Σx[n]e^(-jωn)，其中-π≤ω≤π这个公式表示了信号x[n]在频率ω上的分量，ω是一个连续变量，表示角频率。

DTFT将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(e^jω)。

2.离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是对离散时间序列进行有限点数的傅里叶变换，可以看作是DTFT的一种离散形式。

对于一个N点的离散时间序列x[n]，其DFT定义为：X[k] = Σx[n]e^(-j(2π/N)kn)，其中0 ≤ k ≤ N-1这个公式表示了信号x[n]对应于离散频域上的k点的分量，k是一个离散的变量，表示频域中的点数。

DFT可以看作是DTFT在频域上采样得到的结果。

不同于DTFT的连续频域函数，DFT得到的频域函数X[k]是离散的、有限个点的函数。

在时域上，DFT可以通过插值的方法从N点的离散时间序列x[n]还原得到。

3.Z变换Z变换是离散时间信号和系统理论中的重要工具，用于处理离散时间系统的频域表示。

对于一个离散时间序列x[n]，其Z变换定义为：X(z)=Σx[n]z^(-n)，其中z是一个复数变量这个公式表示了信号x[n]在复平面上的分布。

Z变换将离散时间序列转换到了连续频域上，得到了连续的频域函数X(z)。

Z变换与DTFT的关系可以通过将公式中的z替换为e^jω得到：X(z)，z=e^jω=X(e^jω)这个关系表明，在单位圆上的Z变换与DTFT是相等的。

这也意味着，通过Z变换可以直接计算DTFT，或者通过反过来计算DTFT可以得到Z变换。

DTFTxn- m e- jωω X e jω
3、乘以指数序列

1 jω DTFT a xn X e a
n
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第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
4、乘以复指数序列（调制性）
DTFT e- jωω0 xn X e j ωω0
5、时域卷积定理
jω n jnω x ( n ) e
收敛条件为： x( n )
n

绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件。也就是
说， 若序列x(n)绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连 续。由于时域是离散的，故频域一定是周期的。
e e X e 也是以2π为周期的周期性函数 .
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第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称 序列之和
即x( n ) xe ( n ) xo ( n )
这是因为 xe ( n ) xo ( n ) [ xer ( n ) xor ( n )] j [ xei ( n ) xoi ( n )]
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第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
例： x(n) R5 (n)
X (e j ) e jn
n 0 4
1
x(n)
1 e e e e j 2 j 2 j 2 j 1 e e e e j 2 sin(5 / 2) e sin( / 2)




DTFTxn hn X e jω H e jω
6、频域卷积定理

1 DTFTxn y n X e jω Y e jω 2π 1 π jθ j ω θ X e Y e dθ π 2π