曲面的第一基本形式在曲面论中的作用微分几何学主要是运用数学分析的理论研究空间曲线或曲面在它一点领域的性质，是研究一般的曲线在小范围上的性质的数学分类学科．1827年高斯发表的《关于曲面的一般研究》著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础．高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内在几何学．主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等．他的理论奠定了近代形式曲面论的基础． 1 曲面的第一基本形式的定义及计算公式给出曲面S ：),(v u r r =上的曲线（C ）;)(),(t v v t u u ==或)](),([t v t u r = ．对于曲线（C ）有dtdv r dt du r dt dr v u +=,或者dv r du r dr u u +=．若以s 表示曲面上曲线的弧长，则=+==222)(dv r du r dr ds v v 22222dv r dudv r r du r v v u u ++．令v u v v u u r r F r r G r r E ===,,，则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=．这是关于v d u d,的一个二次形式，称为曲面S 的第一基本形式．表示为 222Gdv Fdudv Edu I ++=它的系数v v v u u u r r G r r F r r E ===,, 称为曲面S 的第一基本量[1]（P67-68）．例 求球面}sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r = 的第一基本形式．解 }sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r =． 可得出}0,cos cos ,sin cos {ψθψθψR R r -=}cos ,.sin sin ,cos sin {θψθψθθR R R r --=由此得到曲面的第一基本量为222,0,cos R r r G r r F R r r E ======θθθψψψθ ．因而22222cos θψθd R d R I +=．曲面的第一基本形式在曲面论中占有非常重要的地位．而对于曲面的特殊参数表示),,(y x z z =有yz q q r x z p p r y x z y x r y x ∂∂==∂∂===},,1,0{,}.,0,1{)},,(,,{ ． 由定义得221,,1q r r G pq r r F p r r E y y y x x x +====+==．曲面的第一基本形式为 2222)1(2)1(dy q pqdxdy dx p I ++++=．由上式知0,022>=>=v u r G r E ，又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别式0)()(22222>⨯=-=-v u v u u r r r r r r F EG v ．因此第一基本量G F E ,,满足不等式0,0,02>->>F EG G E ．这表明第一基本形式是正定的，这个结论也可由2ds I =直接得出． 2 第一基本形式在求曲线弧长的作用由曲面的第一基本形式的定义知以s 表示曲面上曲线的弧长,则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线（C ）上两点)(),(00t B t A ．则弧长为 S=⎰⎰++=101022)(2)(t t t t dt dtdv G dt dv dt du F dt du E dt dt ds 从而对曲线弧长的求法提供了一种更简洁的解法．3 利用第一基本形式求曲面上两方向的夹角前面已经提到过曲面),(v u r =上一点(00,v u )的切方向称曲面上的方向，它只能表示为dv v u r du v u r dr v u ),(),(0000 +=．其中),(00v u r u 和),(00v u r v 是过),(00v u 点的坐标曲线的切向量．给定了曲面的参数表示式后u r 和v r 是已知的，因此给出了一方向dr 就等于给出一对值,,dv du 不过方向和dr 的长度无关，所以给出dv du :就能确定曲面的一方向．我们以后经常用（d ）dr ,或dv du :表示曲面上的一方向[1]（P80-82）．给出曲面上两方向（dv du :）和(v u δδ:),我们把向量dv r du r dr v u +=和v r u r r v u δδδ+=间的夹角称为方向（dv du :）和（v u δδ:)间的角． 即222222)(cos v G v u F u E Gdv Fdudv Edu vGdu u dv v du F u Edu δδδδδδδδθ+++++++=．由这个公式可以推出曲面上两个方向（dv du :）和(v u δδ:)垂直的条件是：v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++)(0=．例 在曲面上一点，含dv du ,的二次方程：0222=++Rdv Qdudv Pdu 确定两个切方向（dv du :）和（v u δδ:）．证明这两个方向互相垂直的充要条件是02=+-GP FQ ER ．证明 因为dv du ,不能同时为0．不妨假设0≠dv ．让0222=++Rdv Qdudv Pdu 两端同除以2dv 可以化为 02)(2=++R dvdu Q dv du P 又因为方程有两个切方向（d ）和(δ)， 所以v u dv du P Q v u dv du δδδδ⋅⋅-=+2PR =． 但是两方向（d ）和（δ）垂直， 则有0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ．即 0)(=+++⋅G vu dv du F v u dv du Eδδδδ． 从而得 02=+-+⋅G P Q F P R E ． 所以 02=+-GP FQ ER ．此外我们还可以求出坐标曲线u -曲线（v =常数）和v -曲线（u =常数）的夹角ω的表达式，因为u r 和v r 是坐标曲线的切向量，所以v u r r,间的夹角ω为: EG F r r r r v v u u =⋅= ωcos ．由此推出曲面的坐标网是正交的必要条件是0=F ．4 正交曲线族和正交轨线给出两族曲线00=+=+v D u C Bdv Adu δδ， 如果它们正交，由0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ可以得出0)(=⋅+++uv du dv G u v du dv F E δδδδ （１） 即 0)(=⋅++-DC B A GD C B A FE 或 0)(=++-GAC BC ADF EBD ．如果给出一族曲线0=+Bdv Adu则另一族和它正交的曲线称为这族曲线的正交轨线．从(1)中可以看出正交轨线的微分方程是0)()(=-++-+uv B A u v B A F E δδδδ 即 AGBF AF BE u v ---=δδ 5 利用第一基本形式可求曲面域的面积设曲面S ：),(v u r = 给出曲面S 上一个区域D ，我们将推导其面积的计算公式．首先把曲面域用坐标曲线u=常数与v=常数剖分成完整的和不完整的曲边四边形． u-曲线和v-曲线越密，那些完整的曲边四边形就越接近平行四边形，而那些不完整的曲边四边形的面积子整个曲面域面积里所占的比重就越小，以至于可以略去．取以点),(),,(),,(dv v u dv v du u v u +++为顶点的曲边四边形，可以近似地把它换成切平面上的平行四边形．这个平行四边形一以切于坐标曲线的向量du r u 与dv r v 为边．我们把所取的曲边四边形的面积可以认为近似地等于du r u ,dv r v 为边的平行四边形的面积．由于平行四边形的面积等于两边之积再乘以他们夹角的正弦． 于是上述的平行四边形 的面积dudv r r dv r du r d v u v u ⨯=⨯=σ．因此曲面域D 的面积σ可由二重积分来表示：σ的面积=dudv r r d Dv u ⎰⎰⎰⎰⨯= σ 这里的区域D 是曲面域D 相应的),(v u 平面上的区域．由于 0)()(22222>-=-=⨯F EG r r r r r r v u v u v u所以σ 的面积=dudv F EG D⎰⎰-2．由此我们看到的曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的夹角以及曲面域的面积都可以用第一基本形式G F E ,,来表示．仅由第一基本形式出发所建立的集合性质称为曲面的内在性质（或内蕴性），以上这些性质都是曲面的内蕴性质．6 等距变换和保角变换上的作用定义1[1]（P75-78） 曲面之间的一个变换．如果它保持曲面上任意趋向的长度不变，则这个变化称为等距变换（保长变换）．定义2[1]（P78-81） 曲面之间的一个变换．如果使曲面上对应曲线的夹角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）．显然每一个等距变换都是保角变换，但保角变换一般不是等距变换．而我们在上面所述的曲面的弧长，夹角．，曲面与的面积等都是等距不变量（保长不变量）．今后我们把曲面上这种仅仅由G F E ,,表示出来的几何量称曲面的内蕴量．利用等距变换的概念，我们可以把曲面进行一种分类：使等距等价的曲面属于同一类，不等距等价的曲面属于不同类，根据这种分类，则每一个可展曲面和平面是同类的．我们说根据等距等价的曲面有相同的内在性质，因为这样的性质不因曲面的弯曲而改变．当曲面受到弯曲时，曲面的外表（曲面与其所在的外界空间的关系）改变了，但内在性质没有变．例如我们可以把一张弯曲成各式各样的可展曲面，从外表看，他们很不相像，但它们却有完全相同的内在性质．必须指出的是，无论谈等距变换、弯曲、贴合或内在性质，一般总是限于有关曲面的一定范围以内．例如在悬链面和正螺面的等距对应中，悬链面上每一个圆仅仅对应于一条圆柱螺线的一段；圆是闭曲线而圆柱螺线则不是，这两个曲面不但“局部”的内在性质是相同的，而且相关大面积的内在性质也是相同的，但我们不说，它们有相同的“整体（如果不是指相对的整体而是指绝对的整体）的内在性质．”7 曲面的高斯曲率的应用在曲面论的许多问题中，运用的较多的是高斯曲率．设21,k k 为曲面上的一点的主曲率，则它们的乘积21k k 称为曲面在这一点的高斯曲率． 通常以K 表示，即,2221FEG M LN k k K --== 其中vu v u vv uv uu v u u r r r r n n r M n r N n r L r G r r F r E ⨯⨯=⋅=⋅=⋅=>==>=,,,,0,,022．那么如何运用高斯曲率确定曲面的第一基本形式需要进一步的验证．假设曲面S 的高斯曲率是常数．在曲面上取测地平行坐标系),(v u ,因而它的第一基本形式为22),(dv v u G du I +=且),(v u G ．满足条件：0),0(,1).0(==v G v G u ．根据高斯曲率的内蕴表达式， 有uu u u v vG G E G G E EG K )(1}])([])({[1-=+-= 所以G 作为u的函数，满足二阶常数齐次方程0)(=+G K G uu ． 初始条件是0),0()(,1),0(==v G v G u ，根据K 的不同符号，方程（1）在初始条件（2）的解分别是（1）0>K );cos(u K G =(2)0=K 1=G ；（3）0<K ).(u K ch G -=则常曲率曲面的第一基本形式分别为）：[2]（P62-78）若S 有正常数高斯曲率K , ;)(cos 222dv u K du I += 若S 的高斯曲率为零， 22dv du I +=，若S 有负常数高斯曲率K ，222)(dv u K ch du I -+=．由上面的结论可推出：由相同的常数高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保长对应． 由此不难看出，高斯曲率是曲面的内蕴量． 在曲面论的研究中发挥了重要作用．对上面的课题的研究只是曲面的第一基本形式的重要推广，而更为重要的是引用曲面的第一基本形式为以后讨论曲面弯曲性质的第二基本形式共同构成了曲面论的基本定律．故对于后面的曲线网及各种曲率都离不开第一基本形式的作用，这里着重讨论了高斯曲率，因为所研究的曲面都是和这个曲率相关的，以及后面的测地线曲率都是和Causs 曲率相关的．而Causs 又有第一基本形式的参数决定，所以第一基本形式是很重要的．8 第一基本形式在实践中的应用在生活实践中，很多方面都涉及到微分几何知识．如何灵活而有效的利用曲面的微分几何知识，显得至关重要．在外形设计上，把它作为曲面造型的辅助工具，是一项富有实用价值的研究课题．近年来这方面的研究也较为活泼，已有相当多的文献给出参数曲面，网络曲面，点云曲面上的测地线的计算方法，以及在蓬帆制造[3]（P137－139）、切割或油漆路径设计、光路径设计[4](1467-1475)、流程模拟活动轮廓、机器人行走路径规划等工业领域的应用．还在工程技术的应用、复杂曲面的外板的展开，这种技术在飞机机身、汽车外壳、轮船船体、涡轮叶片、薄壳屋顶等外形设计中有着实际的应用，这一切的一切都与曲面的第一基本形式是不可分割的．。
