苏教版高中数学必修五第5讲：等差数列前n项和公式(教师版)

2.2.3 等差数列的前n项和1．掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题．(重点) 2．体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系．(难点)3．等差数列前n项和的最值的判断．(易错点)[基础·初探]教材整理1 等差数列的前n 项和公式 阅读教材P 42，完成下列问题． 1．等差数列的前n 项和公式项和的方法是倒序相加法．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 30＝30，则S 30＝ . 【解析】 S 30＝30(a 1＋a 30)2＝30×(1＋30)2＝465.【★答案☆】 4652．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝ .【解析】 ∵a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 4＝14，∴a 4＝7，∴d ＝2， ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝100，∴n ＝10. 【★答案☆】 10教材整理2 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 48第8题～第12题，完成下列问题． 等差数列前n 项和常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．(2)S 奇表示奇数项之和，S 偶表示偶数项之和，公差为d . ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(3)前n 项S n 是关于n 的二次函数，不具有常数项． ①当a 1>0，d <0时，S n 有最大值． ②当a 1<0，d >0时，S n 有最小值．1．若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝ .【解析】设a3＋a6＋a9＝x，则45,39，x成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x＝33.【★答案☆】332．已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2－10n，则当n＝时，S n 最小．【解析】S n＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当n＝5时，S n最小，为－25.【★答案☆】5[小组合作型]在等差数列{a n }中，(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ； (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ； (3)d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【精彩点拨】 (1)(2)利用S n ＝n (a 1＋a n )2求解；(3)利用S n ＝na 1＋n (n －1)2d 求解．【自主解答】 (1)由题意，得 S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32， ∴d ＝－16. (2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172， 解得a 8＝39.又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39， ∴d ＝5.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎨⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎨⎧n ＝7，a 1＝－1.等差数列的基本计算方法与技巧1．公式S n ＝n (a 1＋a n )2中涉及四个量：S n ，n ，a 1，a n ；公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 中也涉及四个量：S n ，n ，a 1，d .结合等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，对于等差数列中的五个量：S n ，n ，a 1，a n ，d ，已知其中的三个可以求另外的两个量．简称“知三求二”．2．在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用．[再练一题]1．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ； (3)S 5＝24，求a 2＋a 4.【解】 (1)S m ＝m ·32＋m (m －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15， 整理，得m 2－7m －60＝0，解得m ＝12或m ＝－5(舍去)， ∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·(－512＋1)2＝－1 022，得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，得5a 1＋10d ＝24，即a 1＋2d ＝245，∴a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485. 法二 由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝24，得a 1＋a 5＝485.∴a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.在等差数列{a n }中，公差为d ，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求数列{a n }的前多少项和最大？【精彩点拨】【自主解答】 法一 由⎩⎨⎧a 1＝25，S 17＝S 9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.则S n ＝25n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169， ∴数列{a n }的前13项和最大．法二 同法一解得d ＝－2，∴a n ＝25＋(－2)(n －1)＝－2n ＋27. 令a n >0，即－2n ＋27>0，解得n <13.5，即数列{a n }的前13项均为正数，第13项以后均为负数， ∴数列{a n }的前13项和最大． 法三 ∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴公差d <0. 又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则S n ＝an 2＋bn (a <0)，其图象是二次函数f (x )＝ax 2＋bx 图象上一群孤立的点．∵S 9＝S 17，即f (9)＝f (17)，∴二次函数f (x )的图象的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口向下， ∴当x ＝13时，f (x )取得最大值， ∴数列{a n }的前13项和最大．等差数列前n 项和的最值问题的三种解法1．利用a n ：当a 1>0，d <0时，前n 项和有最大值．可由a n ≥0，且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1<0，d >0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0，且a n ＋1≥0，求得n 的值．2．利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n 的值．3．利用二次函数的图象的对称性．[再练一题]2．在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值.【导学号：92862042】【解】 法一 ∵a n ＝2n －14， ∴a 1＝－12，d ＝2，∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<…， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42. 法二 ∵a n ＝2n －14， ∴a 1＝－12，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322－1694， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小， 且(S n )min ＝－42.[探究共研型]n n m2mS m，S3m－S2m是否成等差数列？如果是，其公差是多少？【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d.同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d.所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，并且公差为m2d.探究2设S n，T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系？请证明．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.证明：∵S2n－1＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)＝2n－12·2a n＝(2n－1)a n；同理T2n－1＝(2n－1)b n；∴S2n－1T2n－1＝(2n－1)a n(2n－1)b n＝a nb n.即a nb n＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m.(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用a5b5＝S9T9求解．【自主解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝9(a1＋a9)9(b1＋b9)＝S9T9＝6512.1．对等差数列{a n }的前n 项和S n ，等差数列{b n }的前n 项和T n ，S 2n －1T 2n －1＝a nb n 是很重要的性质，解类似题目时注意运用．2．求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程．[再练一题]3．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ .(2)在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为 ．【解析】 (1)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，可得S 6S 12＝310.(2)∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165150，解得n ＝10. 【★答案☆】 (1)310 (2)101．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .【解析】 S 11＝11×(a 1＋a 11)2，∵a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，∴S 11＝11×(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.【★答案☆】 882．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝ . 【解析】 ∵S 10＝4S 5，∴10a 1＋10×92d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴d ＝2a 1，∴a 1d ＝12.【★答案☆】 123．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为 ．【解析】 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 【★答案☆】 －14．在等差数列{a n }中，已知a 3∶a 5＝34，则S 9∶S 5的值是 .【导学号：92862043】【解析】 S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝95×a 5a 3＝95×43＝125.【★答案☆】 1255．已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【解】 (1)由a 10＝30，a 20＝50， 得⎩⎨⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10， 所以，当n <5时，b n <0； 当n >5时，b n >0； 当n ＝5时，b n ＝0.由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20.。

等差数列前n项和公式是什么
前n项和公式
等差数列是常见数列的一种。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1，3，5，7，9……1+2（n-1）。

等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d （1）前n项和公式为：na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2。

以上n均属于正整数。

文字表示方法
等差数列基本公式：
末项=首项+（项数-1）×公差
项数=（末项-首项）÷公差+1
首项=末项-（项数-1）×公差
和=（首项+末项）×项数÷2
差:首项+项数×（项数-1）×公差÷2
等差数列例子
如1，2，3，4，5，6，7……（差为1）；
2，4，6，8，10……（差为2）；
a，2a，3a，4a，5a，6a……（差为a）。

2.2.3 等差数列的前n项和(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；(2)掌握等差数列前n项和的常用性质，并会用它们解决一些相关问题；(3)会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值，从而提高学生分析问题、解决问题的能力；(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．2.过程与方法(1)通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究；(2)通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通项公式推导的过程教学是对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平．3．情感、态度与价值观(1)通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力；(2)培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力；(3)通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并解决问题．●重点、难点重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用，等差数列前n项和的常用性质及应用．难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系．为了突破重点，化解难点，在教学时要从特例出发，抓住知识的切入点，结合学生原有的知识水平和所需知识，引导学生思考：如何求等差数列的前n项和？等差数列的前n项和有何特点？通过观察、分析、比较，采取从特殊到一般的方法推证出等差数列的前n项和公式．对于等差数列前n项和的常用性质，应先引导学生回答所提问题，采取从特殊到一般的思想，发现并归纳出等差数列前n项和的常用性质；再通过例题强化学生对性质的理解和记忆．(教师用书独具)●教学建议1．求等差数列前n项和是我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时也是数列研究的基本问题．学生对等差数列前n项和公式的学习既是重点又是难点．为此，首先从“高斯算法”和“钢管堆放”两个实际问题出发，引导学生去观察探寻与等差数列首末两端“等距离”的两项之和有何特点？这样做，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面，使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律．也为接下来求一般等差数列前n项和做铺垫．由于这里的思路和算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．2．在推导等差数列前n项和公式时，由于已在前面做好铺垫，就可以引导学生自己去推导求和公式，推导结束后要注意引导学生认识公式本身结构特征．前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质．后者反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两者从不同角度反映了等差数列的性质．对于这两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．譬如说，两个公式的共同点是需知a1和n，不同点是前者还需知a n，后面还需知d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．教学时，可以用熟知的梯形面积公式(给出图形)帮助学生理解和记忆．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案．(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，…，n ，…前100项的和的问题．人们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算1,2,3，…，n ，…的前n 项和．由1＋2＋…＋(n －1)＋n ＋n ＋(n －1)＋…＋2＋1 ＝(n ＋1)＋(n ＋1)＋…＋(n ＋1) 可知1＋2＋3＋…＋n ＝n ＋n2.这种方法能够推广到求一般等差数列的前n 项和吗？若能，试求之． 【提示】 能． ∵S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)， ＝n (a 1＋a n )． ∴S n ＝12n (a 1＋a n )等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d1．若数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 有何关系？ 【提示】 设等差数列的首项为a 1，公差为d .则a k ＋1＝a 1＋kd ，a 2k ＋1＝a 1＋2kd .S k ＝ka 1＋k k －2d .又S 2k －S k 为数列第k ＋1项到第2k 项这k 项的和， ∴S 2k －S k ＝k (a 1＋kd )＋k k －2d＝ka 1＋k k －2d ＋k 2d .同理，S 3k －S 2k ＝k (a 1＋2kd )＋k k －2d＝ka 1＋k k －2d ＋2k 2d .∴S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 构成等差数列，且公差为k 2d .2．若项数为偶数2n (n ∈N *)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 偶与S 奇有何关系？ 【提示】 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n＝n a 2＋a 2n2＝n a n ＋1＋a n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n a 1＋a 2n －12＝n ·2a n2＝na n .∴S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝nd ，S 偶S 奇＝na n ＋1na n ＝a n ＋1a n. 数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则有如下性质： (1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列，公差为m 2d ； (2)若项数为偶数2n (n ∈N *)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (3)若项数为奇数2n ＋1(n ∈N *)，则S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n. (4)若{a n }、{b n }均为等差数列，前n 项和分别为S n 和T n ，则a mb m＝S 2m －1T 2m －1.(对应学生用书第26页)在等差数列{a n }中，前n 项和为S n .(1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【思路探究】 (1)利用前n 项和公式，建立关于a 1、d 的方程组，解方程组求a 1、d . (2)根据前n 项和公式求a 1、d ，再求a 8和S 8.(3)先根据等差数列的性质求a 1＋a 17，再求S 17. 【自主解答】 (1)由等差数列的前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝S 6－S 5，∴S 6＝S 5＋a 6＝15. ∴a 1＋a 62×6＝15，即3(a 1＋10)＝15，∴a 1＝－5，∴d ＝a 6－a 15＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝16，S 8＝a 1＋a 82×8＝44.(3)根据等差数列的性质，有a 3＋a 15＝a 1＋a 17＝40， ∴S 17＝a 1＋a 172＝17×402＝340.1．本题第(3)问看似缺少条件，但注意到a 3＋a 15与a 1＋a 17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系．2．对于两个求和公式S n ＝n a 1＋a n2和S n ＝na 1＋n n －2d ，要根据题目的已知条件灵活选用．等差数列{a n }中，a 10＝30，S 20＝620. (1)求a n ；(2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，20a 1＋20×192d ＝620，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10. (2)由(1)知，S n ＝a 1＋a n n2＝＋2n ＋2·n ＝n 2＋11n .∴由n 2＋11n ＝242，得n ＝11或n ＝－22(舍)． 故n ＝11.在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110.【思路探究】 思路一：利用S n ＝na 1＋n n －2d →求a 1，d →求S 110思路二：利用前n 项和性质→连续10项和成等差数列→求S 110 【自主解答】 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋－2d ＝100，100a 1＋－2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋－2d＝110×1 099100＋110×1092×(－1150)＝－110.法二 ∵{a n }是等差数列，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列． 设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.1．本题的两种解法中，法一为基本解法，运算量很大；法二利用前n 项和的性质，在新的等差数列中研究，利于思考和计算．2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也是等差数列，利用此性质解题，往往比直接利用最基本的前n 项和公式要简捷．应当注意，在利用此性质解题时，不要误认为S k ，S 2k ，S 3k ，…是等差数列．已知含2n ＋1项的等差数列，求其奇数项的和与偶数项的和之比． 【解】 法一 设原数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ＋1，公差为d ，则a 1，a 3，a 5，…，a 2n ＋1和a 2，a 4，a 6，…，a 2n 分别也为等差数列，公差都为2d . 故S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)a 1＋n ＋n ＋－1]2·2d ＝(n ＋1)(a 1＋nd )，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝na 2＋n n －2·2d＝n (a 1＋d )＋n (n －1)d ＝n (a 1＋nd )． 故S 奇S 偶＝n ＋a 1＋nd n a 1＋nd ＝n ＋1n. 法二 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n 2，且a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n.已知等差数列{a n }中，a 1＝13且S 3＝S 11，那么n 取何值时，S n 取得最大值？并求出S n 的最大值．【思路探究】 先根据前n 项和公式求公差d ，再求出S n 的表达式，转化成二次函数在N *上的最值问题；也可求出公差d 后，利用通项公式a n 的符号解决．【自主解答】 法一 设公差为d ，由S 3＝S 11得3×13＋－2d ＝11×13＋－2d ，d ＝－2，又a 1＝13，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49.∴当n ＝7时，S n 取得最大值，最大值是S 7＝49. 法二 同法一得d ＝－2，a n ＝13－2(n －1)＝15－2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧15－2n ≥0，15－n ＋，解得6.5≤n ≤7.5，∴当n ＝7时，S n 取得最大值． ∴Sn 的最大值是S 7＝a 1＋a 72＝＋15－2＝49.法三 同法一得d ＝－2又由S 3＝S 11知a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝4(a 7＋a 8)＝0.∵a 1＝13＞0，∴a 7≥0，a 8≤0，知数列的前7项和最大． ∴S 7＝7×13＋7×62×(－2)＝49.1．本题中法一利用二次函数的最值确定n 值；法二利用等差数列的通项公式确定n 值；法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n 值．2．求等差数列前n 项和的最值的常见方法： (1)方法一：利用通项公式确定n 值①若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1＜0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1＞0来确定．(2)方法二：利用二次函数的最值确定n 值等差数列的前n 项和为S n ，当d ≠0时，点(n ，S n )是二次函数y ＝ax 2＋bx (a ≠0)上的间断点．因此可利用二次函数的最值确定n 值．本题条件改为“a 1＝25，S 17＝S 9”，结果如何？【解】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25S 17＝S 9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 则S n ＝25n ＋n n －2(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169，∴数列的前13项和最大． ∴S 13＝169.法二 同法一得d ＝－2，又a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－n －，a n ＋1＝25－2n ≤0得12.5≤n ≤13.5.∴当n ＝13时，S n 有最大值，最大值为S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169. 法三 同法一得d ＝－2， ∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴公差d ＜0. 又S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则S n ＝an 2＋bn (a ＜0)，其图象是二次函数f (x )＝ax 2＋bx 图象上一群孤立的点．∵S 9＝S 17，即f (9)＝f (17)，∴二次函数f (x )的图象的对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口向下，∴当x ＝13时，f (x )取得最大值． ∴数列的前13项和最大，∴S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169(对应学生用书第27页)等差数列前n 项和公式的结构特征未弄清致误两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋134n ＋5，求a 10b 10的值． 【错解】 设S n ＝(5n ＋13)k ，T n ＝(4n ＋5)k ， 则a n ＝S n －S n －1＝5k ，b n ＝T n －T n －1＝4k ，所以a n b n ＝54，于是a 10b 10＝54.【错因分析】 由等差数列的前n 项和公式知S n ＝12n ×[2a 1＋(n －1)d ]，故S n 与n 不一定是一次函数关系，由S n T n ＝5n ＋134n ＋5可知比值S n 5n ＋13＝T n4n ＋5随着序号n 的变化而变化，不能设为常数k .【防范措施】 弄清等差数列前n 项和的函数特征，当d ≠0时，S n 是关于n 的一元二次函数(无常数项)．【正解】 设S n ＝(5n ＋13)nk ，T n ＝(4n ＋5)nk ， 则a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋8)k ，b n ＝T n －T n －1＝(8n ＋1)k ， 所以a n b n ＝10n ＋88n ＋1，其中n ≥2.所以a 10b 10＝10×10＋88×10＋1＝43.1．基础知识：(1)数列的前n 项和概念； (2)等差数列前n 项和公式；(3)等差数列前n 项和公式与函数关系； (4)等差数列前n 项和的性质． 2．基本技能：(1)等差数列前n 项和公式的应用； (2)等差数列前n 项和性质的应用； (3)等差数列前n 项和最值的求法． 3．思想方法： (1)方程思想； (2)转化思想；(3)数形结合思想.(对应学生用书第28页)1．等差数列{a n }中，a 11＝10，则S 21＝________. 【解析】 S 21＝a 1＋a 212＝21a 11＝210.【答案】 2102．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n (n ∈N *)，则{a n }的前n 项和S n 等于________． 【解析】 由a n ＝2－3n ，得a 1＝－1，则Sn ＝n a 1＋a n 2＝n －1＋2－3n 2＝n －3n ＋2＝－32n 2＋n 2【答案】 －32n 2＋n 23．在等差数列{a n }中，a 4＝10，a 10＝－2.若S n ＝60，则n 的值为________．【解析】 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋9d ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－2.∴S n ＝n ×16＋n n －2×(－2)＝60，整理得n 2－17n ＋60＝0，∴n ＝5或n ＝12. 【答案】 5或124．已知在等差数列中，前n 项和为S n ，且S m ＝3，S 2m ＝6，求S 3m . 【解】 ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，∴2×3＝3＋(S 3m －6)，∴S 3m ＝9.(对应学生用书第87页)一、填空题1．已知等差数列{a n }中，a 7＝3，则数列{a n }的前13项之和为________． 【解析】 S 13＝13a 7＝13×3＝39. 【答案】 392．(2013·汉中高二检测)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________.【解析】 由S n ＝n 2＋2n ＋5，得S 2＝13，S 6＝53， ∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 2＝53－13＝40. 【答案】 403．(2013·微山高二检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n＝________.【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也适合上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)． 【答案】 2n (n ∈N *)4．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________. 【解析】 ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －2d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －d ＝－512，n ＋n n －2d ＝－1 022.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，d ＝－171.【答案】 －1715．(2013·徐州检测)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.【解析】 设S 3＝k ，则S 6＝3k ，∴S 6－S 3＝2k .由等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9也成等差数列． ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k . ∴S 9＝6k ，S 12＝10k .∴S 6S 12＝310. 【答案】3106．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 【解析】 由S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝72，∴a 5＝8.∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝a 5＋(a 6＋a 4)＝3a 5＝24. 【答案】 247．(2013·扬州检测)已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2011＋a 2012＞0，a 2011a 2012＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．【解析】 ∵a 2011a 2012＜0，∴数列{a n }的项有正有负． ∵a 1＞0，∴等差数列{a n }为递减数列． ∴a 2011＞0，a 2012＜0. ∴S 4022＝a 1＋a 40222＝a 2011＋a 20122＞0，S 4023＝a 1＋a 40232＝4023×2a 20122＜0.【答案】 4 0228．(2013·无锡检测)在等差数列{a n }中，若任意两个不等的正整数k ，p ，都有a k ＝2p －1，a p ＝2k －1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，若k ＋p ＝m ，则S m ＝________(结果用m 表示)．【解析】 ∵d ＝a k －a pk －p＝p －－k －k －p＝－2，又a k ＝a 1－2(k －1)，∴a 1＝a k ＋2(k －1)＝2p －1＋2k －2＝2(k ＋p )－3＝2m －3， ∴S m ＝ma 1＋m m －2d ＝m (2m －3)－m (m －1)＝m (m －2)＝m 2－2m . 【答案】 m 2－2m 二、解答题9．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，求S 10. 【解】 设首项为a 1，公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16， ①20a 1＋12×20×19d ＝20. ②由②得2a 1＋19d ＝2. ③ ③－①×2得15d ＝－30，∴d ＝－2. ∴a 1＝16－2d ＝20.∴S 10＝10a 1＋12×10×9d ＝200－90＝110.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n . (1)求证{a n }是等差数列；(2)求使100＜a n ＜200成立的所有项的和．【解】 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1. 因为n ＝1时，适合a n ＝2n ＋1，所以此数列的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 因为a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2，所以{a n }是以a 1＝3为首项，d ＝2为公差的等差数列． (2)因为100＜a n ＜200，又由(1)得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以100＜2n ＋1＜200，所以992＜n ＜1992(n ∈N *)，即50≤n ≤99(n ∈N *)，所以它们的和为S ＝S 99－S 49＝992＋2×99－(492＋2×49)＝7 500. 故满足条件的各项之和为7 500.11．数列{a n }是等差数列，a 1＝50，d ＝－0.6. (1)从第几项开始有a n ＜0?(2)求此数列前n 项和S n 的最大值．【解】 (1)因为a 1＝50，d ＝－0.6，所以a n ＝50－0.6(n －1)＝－0.6n ＋50.6(n ∈N *)． 令－0.6n ＋50.6≤0，则n ≥50.60.6≈84.3. 由于n ∈N *，故当n ≥85时，a n ＜0，即从第85项起，以后各项都小于0. (2)法一 因为d ＝－0.6＜0，a 1＝50＞0， 由(1)知a 84＞0，a 85＜0，所以S 1＜S 2＜…＜S 84，且S 84＞S 85＞S 86＞….所以S n 的最大值为S 84＝50×84＋84×832×(－0.6)＝2 108.4.法二 S n ＝50n ＋n n －2×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n ＝－0.3(n －5036)2＋5032120.当n 等于最接近5036的自然数，即n ＝84时，S n 达到最大值，为S 84＝2108.4.(教师用书独具)有两个等差数列{a n }，{b n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nb 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.【思路探究】 a 1＋a 2＋…＋a n ，b 1＋b 2＋…＋b n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，因此可用等差数列前n 项和公式或其他相关性质解答．【自主解答】 法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝na 1＋n n －2d 1nb 1＋n n －2d 2＝a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2， 则有a 1＋n －12d 1b 1＋n －12d 2＝7n ＋2n ＋3，① 又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①②，在①中取n ＝9， 得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512，故a 5b 5＝6512. 法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝a 1＋a n n2，B n ＝b 1＋b n n2.由于a 1＋a 9＝2a 5，即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝a 1＋a 92＝9a 5.同理B 9＝9b 5.故A 9B 9＝9a 59b 5，故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 法三 若设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ， 则由等差数列的性质得a n ＝a 1＋a 2n －12，b n ＝b 1＋b 2n －12，∴a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝n －a 1＋a 2n －12n －b 1＋b 2n －12＝A 2n －1B 2n －1. ∴A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，从而a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列的项随着序号n 的变化而变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映．利用等差数列的性质解题，就要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定获得事半功倍的效果．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使a nb n为整数的正整数n 有________个．【解析】 a nb n ＝n －a n n －b n ＝A 2n －1B 2n －1＝n －＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝n ＋＋12n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 【答案】 5 拓展生活中，银行存款时的零存整取问题整存整取及活期存款利息是：每期存款利息＝本金×期数×每期利率．存款到期实际所得为：本利和＝本金＋利息－应纳税额．零存整取的储蓄方式是：每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期，可以取出全部本利和．规定每次存入的钱不计复利.(1)若每月存入x 元，月利率r 不变，存期为n 个月，试求到期后的本利和(不考虑利息税)．(2)若每月初存入500元，月利率为0.3%，则到第36个月末整取时的本利和是多少？【解】 (1)根据题意，第1个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·n 元；第2个月存入的x 元，到期利息为x ·r ·(n －1)元；……；第n 个月存入的x 元，到期利息为x r 元．不难看出这是一个等差数列求和问题．各月利息之和为x r (1＋2＋3＋…＋n )＝n n ＋2xr (元)，而本金为nx 元，这样就得到本利和公式y ＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n n ＋r 2. (2)根据(1)中的公式，本利和y ＝500×⎝ ⎛⎭⎪⎫36＋36×372×0.3%＝18 999(元).。

等差数列及其前n 项和： ：【学习目标】1.掌握等差数列的前n 项和公式，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.2. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【要点梳理】要点一：等差数列的前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式证明：倒序相加法n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++∵121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=证明：将d n a a n )1(1-+=代入2)(1n n a a n S +=可得：2)1(1dn n na S n -+= 要点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一。

②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及1a 、n 、d 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。

要点二：等差数列的前n 项和的有关性质 等差数列{}n a 中，公差为d ，则①连续k 项的和依然成等差数列，即k S ,2k k S S -,32k k S S -，…成等差数列，且公差为2k d . ②若项数为2n ，则21()n n n S n a a +=+，S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶 ③若项数为2n-1，则21(21)n n S n a -=-，n S na =奇，(1)n S n a =-偶，n S S a -=奇偶，1S n S n =-奇偶要点三：等差数列{}n a 的前n 项和公式是关于n 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由n d a n d d n n na S n )2(22)1(121-+=-+=，令2d A =，12dB a =-，则：（1）当0d =即0A =时，1n S Bn na ==，n S 是关于n 的一个一次函数；它的图象是在直线1y a x =上的一群孤立的点。

等差数列中的最值问题一、教学目标1、掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的形式和应用。

2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。

3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。

二、教学重点和难点重点：等差数列求最值问题的常用解法。

难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。

三、教学过程1、复习旧知，回忆等差数列的常用公式：〔1〕通项公式〔2〕前n项和公式〔3〕等差中项概念〔4〕等差数列的判定方法定义法;中项公式法;通项公式法;前n项求和法;〔复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回忆，强调等差数列的通项公式和前n项和公式的形式，即通项公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。

〕2、教授新课：高考总复习之等差数列微专题-----等差数列中的最值问题例题1 分析：要求n为何值时，Sn有最大值，可从Sn的形式入手思考，Sn 是关于n的二次函数，可以从函数的角度求出Sn的最大值。

思考：在用nS是关于n的二次函数求最值时，如何防止复杂的计算，比方此题中的配方？引导学生讨论得到只要取离对称轴最近的整数处的和，即可得到最值，而对称轴可以由二次函数中的公式得到，这样可以防止复杂的计算，以便提高计算的准确度。

3、小组合作讨论思考：为什么等差数列会存在最值，是不是所有的等差数列都有最值呢？什么样的等差数列存在最大值，什么样的等差数列又存在最小值？通过观察数列、归纳特点并讨论可得两类数列存在最值思考：那有没有更简单的方法来得到等差数列何时取到最值呢？由数列的增减情况可以得到只要找出何时出现正负转折项，在该项处即得到等差数列前n项和的最值。

4、归纳等差数列最值问题的求法方法一、利用Sn是关于n的二次函数，在离对称轴最近的整数处取得最值。

方法二、利用等差数列的单调性，求出正负转折项。

学习目标核心素养１．了解等差数列前n项和公式的推导过程．（难点）２．掌握等差数列前n项和公式及其应用．（重点）１．通过等差数列前n项和的有关计算及a n与S n关系的应用，培养数学运算素养．２．借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.１．数列的前n项和的概念一般地，称a１＋a２＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a１＋a２＋…＋a n.思考１：如何用S n和S n—１的表达式表示a n？[提示] a n＝错误!２．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝错误!S n＝na１＋错误!dn２３[提示] S３＝错误!＝３a２＝２１．１．在等差数列{a n}中，已知a１＝２，d＝２，则S２0＝（）Ａ．２３0 Ｂ．４２0 Ｃ．４５0 Ｄ．５４0B[S２0＝２0a１＋错误!d＝２0×２＋２0×１9＝４２0．]２．等差数列{a n}中，a１＝１，d＝１，则其前n项和S n＝________.错误![因为a１＝１，d＝１，所以S n＝n＋错误!×１＝错误!＝错误!＝错误!.]３．在等差数列{a n}中，S１0＝１２0，那么a１＋a１0＝________.２４[由S１0＝错误!＝１２0，解得a１＋a１0＝２４．]４．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a１＝错误!，S４＝２0，则S6＝________.４8[设等差数列{a n}的公差为d，由已知得４a１＋错误!×d＝２0，即４×错误!＋错误!d＝２0，解得d＝３，所以S6＝6×错误!＋错误!×３＝３＋４５＝４8．]等差数列前n项和的有关计算【例１】在等差数列{a n}中，（１）已知a１＝错误!，a n＝—错误!，S n＝—５，求n和d；（２）已知a１＝４，S8＝１7２，求a8和d.[解] （１）由题意得，S n＝错误!＝错误!＝—５，解得n＝１５．又a１５＝错误!＋（１５—１）d＝—错误!，∴d＝—错误!.∴n＝１５，d＝—错误!.（２）由已知得S8＝错误!＝错误!＝１7２，解得a8＝３9，又∵a8＝４＋（8—１）d＝３9，∴d＝５．∴a8＝３9，d＝５．a１，d，n称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量来表示，五个量a１，d，n，a n，S n中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.１．在等差数列{a n}中，（１）已知a6＝１0，S５＝５，求a8和S１0；（２）已知a３＋a１５＝４0，求S１7.[解] （１）错误!解得a１＝—５，d＝３．∴a8＝a6＋２d＝１0＋２×３＝１6，S１0＝１0a１＋错误!d＝１0×（—５）＋５×9×３＝8５．（２）S１7＝错误!＝错误!＝错误!＝３４0．a n与S n的关系的应用[探究问题]１．若数列{a n}的前n项和为S n，则关系式a n＝S n—S n—１的使用条件是什么？[提示] 使用条件是n≥２．２．若数列{a n}的前n项和为S n，a２0１6＋a２0１7＋a２0１8如何用前n项和S n表示？[提示] a２0１6＋a２0１7＋a２0１8＝S２0１8—S２0１５.３．已知数列{a n}的通项公式a n，可利用S n＝a１＋a２＋…＋a n求前n项和S n；反之，如果知道了数列{a n}的前n项和S n，如何求出它的通项公式？[提示] 对所有数列都有S n＝a１＋a２＋…＋a n—１＋a n，S n—１＝a１＋a２＋…＋a n—１（n≥２）．因此，当n≥２时，有a n＝S n—S n—１；当n＝１时，有a１＝S１.所以a n与S n的关系为a n＝错误!当a１也适合a n时，则通项公式要统一用一个解析式a n＝f（n）（n∈N*）来表示．【例２】设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝２n２—３0n.（１）求a１及a n；（２）判断这个数列是否是等差数列．思路探究：（１）利用a１＝S１，求a１，借助于a n＝S n—S n—１（n≥２）求通项公式但要验证a１是否符合条件；（２）利用等差数列的定义进行判断即可．[解] （１）因为S n＝２n２—３0n，所以当n＝１时，a１＝S１＝２×１２—３0×１＝—２8，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n２—３0n—[２（n—１）２—３0（n—１）]＝４n—３２．验证当n＝１时上式成立，所以a n＝４n—３２．（２）由a n＝４n—３２，得a n—１＝４（n—１）—３２（n≥２），所以a n—a n—１＝４n—３２—[４（n—１）—３２]＝４（常数），所以数列{a n}是等差数列．１．（变条件，变结论）将本例的条件“S n＝２n２—３0n”改为“log２（S n＋１）＝n＋１”，其他条件不变，求a n.[解] 由log２（S n＋１）＝n＋１得S n＋１＝２n＋１，∴S n＝２n＋１—１，当n≥２时a n＝S n—S n—１＝２n＋１—１—２n＋１＝２n.当n＝１时，a１＝S１＝３．经验证不符合上式．∴a n＝错误!２．（变条件，变结论）将本例中的条件“S n＝２n２—３0n”变为“正数数列{b n}的前n项和S n＝错误!（b n＋１）２”，求{b n}的通项公式．[解] 当n≥２时，b n＝S n—S n—１，∴b n＝错误!（b n＋１）２—错误!（b n—１＋１）２＝错误!（b错误!—b错误!＋２b n—２b n—１）．整理得：b错误!—b错误!—２b n—２b n—１＝0，∴（b n＋b n—１）（b n—b n—１—２）＝0，∵b n＋b n—１>0，∴b n—b n—１＝２（n≥２）．∴{b n}为等差数列．又∵b１＝错误!（b１＋１）２，∴b１＝１，∴b n＝１＋（n—１）·２＝２n—１．已知数列{a n}的前n项和公式S n，求通项公式a n的步骤：１当n＝１时，a１＝S１.２当n≥２时，根据S n写出S n—１，化简a n＝S n—S n—１.３如果a１也满足当n≥２时，a n＝S n—S n—１的通项公式，那么数列{a n}的通项公式为a n＝S n—S n—；如果a１不满足当n≥２时，a n＝S n—S n—１的通项公式，那么数列{a n}的通项公式要分段表示为a n＝错误!１等差数列前n项和公式的实际应用【例３】之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用２0台同型号翻斗车，平均每辆车工作２４小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔２0分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集２５辆，那么在２４小时内能否构筑成第二道防线？思路探究：因为每隔２0分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明２４小时内可完成第二道防线工程．[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a１，a２，…，a２５.由题意可知，此数列为等差数列，且a１＝２４，公差d＝—错误!.２５辆翻斗车完成的工作量为：a１＋a２＋…＋a２５＝２５×２４＋２５×１２×错误!＝５00，而需要完成的工作量为２４×２0＝４80．∵５00>４80，∴在２４小时内能构筑成第二道防线．１．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．２．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：（１）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．（２）深入分析题意，确定是求通项公式a n，或是求前n项和S n，还是求项数n.２．植树节某班２0名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距１0米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．２000[假设２0位同学是１号到２0号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第１0或第１１号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以２0为首项，２0为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×２0＋错误!×２0＋１0×２0＋错误!×２0＝２000（米）．]１．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．２．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a１，a n，S n，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q（n，m，p，q∈N*）；若m＋n＝２p，则a n＋a m＝２a p.３．由S n与a n的关系求a n主要使用a n＝错误!１．判断正误（１）数列的前n项和就是指从数列的第１项a１起，一直到第n项a n所有项的和．（）（２）a n＝S n—S n—１（n≥２）化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式．（）（３）在等差数列{a n}中，当项数m为偶数２n时，则S偶—S奇＝a n＋１.（）[答案] （１）√（２）×（３）×[提示] （１）正确．由前n项和的定义可知正确．（２）错误．例如数列{a n}中，S n＝n２＋２．当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝n２—（n—１）２＝２n—１．又因为a１＝S１＝３，所以a１不满足a n＝S n—S n—１＝２n—１，故命题错误．（３）错误．当项数m为偶数２n时，则S偶—S奇＝nd.２．已知数列{a n}的前n项和为S n＝—n２，则（）Ａ．a n＝２n＋１Ｂ．a n＝—２n＋１Ｃ．a n＝—２n—１Ｄ．a n＝２n—１B[由a n＝S n—S n—１（n≥２）得a n＝１—２n，当n＝１时，S１＝a１＝—１符合上式．∴a n＝—２n＋１．]３．在一个等差数列中，已知a１0＝１0，则S１9＝________.１90[S１9＝错误!＝错误!＝１90．]４．已知等差数列{a n}中，a１＝错误!，d＝—错误!，S n＝—１５，求n及a１２. [解] ∵S n＝n·错误!＋错误!·—错误!＝—１５，整理得n２—7n—60＝0，解得n＝１２或n＝—５（舍去），a１２＝错误!＋（１２—１）×错误!＝—４．。

课题：2.2.3等差数列的前n项和授课教师：南京市金陵中学王友伟教材：苏教版必修5一．教学目标1.经历探索等差数列前n项和公式的过程，体会化归、分类讨论等数学思想，掌握倒序相加求和法，积累数学活动的经验；2．理解等差数列前n项和公式及不同形式，能够灵活选用恰当的形式解决问题；二．教学重难点重点：等差数列前n项和公式的推导难点：从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式．三．教学方法与教学手段启发式教学，探究式学习，多媒体辅助教学．四．教学过程1．创设情境，引入课题前面我们学习了数列，研究了一种特殊的数列——等差数列，与学生一起回顾等差数列中的相关知识．－a n＝d(n∈N) (a1是首项，d是公差，n是项数) 等差数列的定义：a n＋1等差数列的通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n∈N*，n≥2)[设计意图]通过复习，帮助学生梳理知识框架，教会学生掌握研究数学的一般方法，同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫.(播放阅兵视频)我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列?[设计意图]紧贴时事与生活，在激发学生爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，教会学生用数学的眼光来重新观察世界，思考问题．给出视频中的几个队列变化的画面，抽象成点阵如下：以第三幅图中的蓝色区域为例，进行研究.问题1：对于这个方阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？[设计意图]让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述，进一步培养学生观察的能力，和从实际问题中抽象出数学知识的能力.同时，让学生自行提出问题进行研究，感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮”，而是有据可依．2．探索质询，追根溯源(1)构建研究方法问题2：如何求这个区域的总人数？(尝试用多种方法)(学生分组讨论，5分钟后小组汇报)S21＝3＋4＋…＋22＋23(预设方案1)从数的角度：3＋23＝4＋22＋…＝12＋143＋232×10＋13＝273(预设方案2)从数的角度：3＋22＝4＋21＝…12＋133＋222×10＋23＝273(预设方案3)从数的角度：S 21＝3＋4＋…＋22＋23S 21＝23＋22＋…＋4＋32 S 21＝(3＋23)＋(4＋22)＋…＋(22＋4)＋(23＋3)S 21＝3＋232×21 [设计意图]因为很多学生在小学的奥数中已经“学习”了等差数列的前n 项和的公式，但是对公式背后的意义并不是非常理解，尤其是对配对的思想更是一知半解，所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和“倒序相加法”做好铺垫．(预设方案4)几何角度：切掉左边的两列S 21＝2×21+1+2+…+21=2×21+1+212×21(预设方案5)几何角度：切掉左边的三列S 21＝3×21+1+2+…+20=3×21+ (1+20)×10[设计意图]左边设置的常数列，让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法，呼应了前面“配对”的思想．在学生已经拥有了“补”的方法后再抛出这一问题，比较自然的引出了“割”这样的方法，培养学生学会从几何角度给出不同的解释，也为等差数列前n 项和的第二种形式的推导做铺垫．[设计意图]这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和，经历自行动手推导的过程，感受配对思想在计算中的带来的便捷，同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算，为接下来探求一般的等差数列{a n }的前n 项和奠定基础．(2)自主探究 汇报交流问题3：如何推导出等差数列{a n }的前n 项之和S n 的公式?追问：对于一个数列，已知哪些量可以求和？①已知a 1，a n ，n ；②已知a 1，d ，n ．追问2：已知a 1，a n ，n ，如何推出？(小组讨论，5分钟后小组汇报)(预设方案1)S n ＝a 1＋a 2 ＋…＋a n －1＋a n ，①S n ＝a n ＋a n －1＋…＋ a 2 ＋a 1，②①＋②相加得： 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )，所以S n ＝n (a 1＋a n )2．(预设方案2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n(1)n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋…＝( a 1＋a n )n 2＝n (a 1＋a n )2 (2)n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a n )＋( a 2＋a n －1)＋ …＋an ＋12＝( a 1＋a n )n －12＋(a 1＋a n )2 ＝n (a 1＋a n )2[阶段总结]我们运用倒序相加法得到了等差数列前n 项和的公式，其中的配对思想就是数学中的化归思想，将不同的数转化成相同的数相加，从而可以将加法转化为成为进行计算．[设计意图]研究完具体数列的求和后，让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列{a n }中，继续内化“倒序相加法”，并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对，为何能配对(要证明)． 追问4：已知a 1，d ，n ，如何推出？(预设方案3)S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋ …＋[a 1＋(n －1)d ]＝na 1＋[1＋2＋…＋(n －1)]d＝na 1＋n (n －1)2d追问：能否找到几何解释所对应的图形[阶段总结]我们运用“切割法”(分组求和)的方法得到了等差数列前n 项和的公式的另外一种形式，其中d ＋2d ＋3d ＋……＋(n －1)d 还是化归成了1＋2＋……＋(n －1)的问题．[设计意图]从“割”的角度给出了公式的形象化解释，也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为“1＋2＋……＋n ”的问题，体现出了化归的思想．追问：两个公式等价吗？[设计意图]通过这一问题，让学生观察两个公式的特点，进而发现两公式的区别，即公式①中出现a n ，而公式②中出现d ，为后面选择恰当的公式解决问题做好铺垫．同时，也让学生感受到公式①中的a n 是由a 1和d 决定的，体会a 1和d 两个基本量的地位与作用．追问：对比几种推导S n 的方法，你觉得哪种方法简洁？[设计意图]让学生重新回顾几种推导方法，经过对比发现，前几种配对的方法中，最简约的是倒序相加法，而已知a 1，d ，n 推导S n 的方法其实归根结底就是1＋2＋…＋n 的问题，而1＋2＋…＋n 问题最简约的解法还是倒序相加法．经过这样的分析，让学生明白，推导公式其实还是为了追求简约，追求简约是数学研究的一大基本原则.3．新知运用，巩固深化例1 在等差数列{a n }中，前n 项之和为S n .(1)已知a 1＝2，a 30＝90，求S 30；(2)已知a1＝5，d＝13，求S12.[设计意图]通过例题，让学生巩固公式，会根据题设条件合理地选用公式．通过追问，让学生体会n，a1，d，a n，S n这五个量，可以知三求二，从而加深学生对公式的理解与运用．同时，对于公式的选择，其原则还是追求简约.例2 求出下列各区域的总人数.重点讲最后的黑色区域(从不同的角度看不同的等差数列)[设计意图]让学生在具体的实例中使用刚才推导出的等差数列求和，熟悉公式，学以致用．4．概括知识，总结方法回顾与反思：这节课你学到了哪些知识，蕴含了哪些思想？5．分层作业，因材施教(1)巩固运用：P47 习题2.2(2)：1，2，3，4，5．(2)拓展思考：等差数列的通项公式a n可以看成关于n的函数，你能从函数的角度研究S n吗?[设计意图]分层布置作业，“巩固运用”面向全体学生，旨在掌握等差数列前n项和公式的应用．“拓展思考”为学生提供运用函数思想研究S n的机会．五．教学设计说明等差数列的前n项和的研究是在学生已经学习了等差数列的概念、通项公式等知识的基础之上，对等差数列这一特殊数列更深层次的探索和研究．任何一章知识的学习都应符合学生的认知规律，尊重学生已有的知识储备，尤其对于等差数列的前n项和的公式而言，很多学生在小学就已经从课外得知了这一公式，所以在进行知识呈现时，教师不可完全照本宣科，而需要从全新的角度切入，引导学生重新审视原有知识架构中“冰冷”的公式，带领学生揭开公式的“神秘面纱”，剖析公式推导过程中每一步所暗含的数学思想，这样才能抓住学生，让学生参与到课堂中来．本节课从时事——今年是中华人民共和国成立70周年出发，从学生们喜爱的阅兵式入手，让学生探索队列人数与数列间的关系，感受到数学来源于生活，引导学生学会用数学的眼光看世界．整节课的设计将几何中的“割补”法作为背景，结合多媒体的使用，分别从对数的角度“配对”和从形的角度“割补”进行交叉对比，让学生学会将已有的知识和研究手段迁移到新知识的学习中，让学生经历了从数到形，再从形到数的渐进过程，找到前n项和公式的两种形式的几何支撑，加深对于抽象公式的形象化理解，在获得新知的过程中体会了数形结合、化归、分类讨论等基本思想方法．例题的设置呼应了公式的两种形式，让学生在解题时体会如何选择合适的公式，也让学生在选择中体会两种公式间的联系，而公式的选用也是为了追求简约。