2017届四川省成都市高三三诊考试理科数学试题及答案

成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测（数学理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第11卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1，答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2，答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3，答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4，所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5，考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z = （A ）i --3 （B ）i +-3 （C ）i +3 （D ）i -32．已知集合{}m A ,0,1-=，{}2,1=B ，若{}2,1,0,1-=B A Y ，则实数m 的值为 （A ）1-或0 （B ）0或1 （C ）1-或2 （D ）1或23．若)2cos(5sin θπθ-=，则=θ2tan（A ）35-（B ）35 （C ）25- （D ）254．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70）， [70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方 图，则这100名同学的得分的中位数为 （A ）5.72 （B ）75 （C ）5.77（D ）805．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且353a a =，则=59S S （A ）59 （B ）95 （C ）35 （D ）5276．已知βα,是空间中两个不同的平面，n m ,是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是 （A ）若α//m ，β//n ，且βα//，则n m // （B ）若α//m ，β//n ，且βα⊥，则n m // （C ）若α⊥m ，β//n ，且βα//，则n m ⊥ （D ）若α⊥m ，β//n ，且βα⊥，则n m ⊥ 7．62)1)(2(xx x -+的展开式的常数项为 （A ）25（B ）25- （C ）5 （D ）5- 8．将函数)64sin(π-=x y 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数)(x f 的图象，则函数)(x f 的解析式为 （A ）)62sin()(π+=x x f （B ）)32sin()(π-=x x f（C ）)68sin()(π+=x x f (D) )38sin()(π-=x x f9．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，N M ,是抛物线上两个不同的点若5||||=+NF MF ，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（A ）3 （B ）23 （C ）5 （D ）2510．已知212=a ，313=b ，23ln=c ，则 （A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）c a b >>（D ）a c b >>11．已知定义在R 上的数)(x f 满足)2()2(x f x f +=-，当2≤x 时()(1)1xf x x e =--.若关于x 的方程012)(=+-+-e k kx x f 有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（A ）),2()0,2(+∞-Y （B ）(2,0)(0,2)-U （C ）),()0,(+∞-e e Y （D ）),0()0,(e e Y -12．如图，在边长为2的正方形321P P AP 中，线段BC 的端点C B ,分别在边21P P 、32P P 上滑动，且x C P B P ==22，现将B AP 1∆，C AP 3∆分别沿AB ，AC 折起使点31,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥ABC P -.现有以下结论： ①⊥AP 平面PBC ；②当C B ,分别为21P P 、32P P 的中点时，三棱锥ABC P -的外接球的表面积为π6； ③x 的取值范围为)224,0(-； ④三棱锥ABC P -体积的最大值为31． 则正确的结论的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+002204y y x y x ，则y x z 2+=的最大值为_______.14．设正项等比数列{}n a 满足814=a ，3632=+a a ，则=n a _______.15．已知平面向量a ，b 满足2||=a ，3||=b ，且)(b a b -⊥，则向量a 与b 的夹角的大小为_______.16．已知直线kx y =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 相交于不同的两点B A ,，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||BF AF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.三、解答题（共70分。

成都市2017届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷(选择题)1至2页，第∏卷(非选择题)3至 4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷(选择题，共60分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 343V R π=那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p k k n -=-=一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的.(1) 已知等差数列{αn }中，a 3= 2，a 6 = - 4，则该数列的公差D = (A)3 (B)2 (C)-3 (D)-2(2) 复数（i 是虚数单位)的虚部为 (A)O (B)I (C)1 (D)2i(3)若抛物线上一点M 到其焦点的距离为3，则M 到直线x = — 2的距离为 (A)5 (B)3 (C)2 (D)4(4) 设y =f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 〉0时，f(x)=-x 2，则y =f(x)的反函 数的大致图象是(5) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象(A)按向量a=平移 (B)按向量a=平移(C)按向量a=平移（D)按向量a=平移(6) 已知l、m、n是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题中正确的是(A) (B)(C) (D)(7) 已知随机变量服从标准正态分布N(0，1)，以表示标准正态总体在区间内取值的概率，即，则下列结论不正确的是(A) (B)(C) (D)(8) 某校开设A类选修课4门，B类选修课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，且A类中的甲门课和β类中的乙门课不能同时选，则不同的选法共有(A)60种（B)63种（C)70种（D)76种(9) 某工厂用U、T两种型号的配件生产甲、乙两种产品.每生产一个甲产品使用4个U型配件，耗时1小时，获利1万元;每生产一个乙产品使用4个T型配件，耗时2小时，获利4万元.已知该厂每天工作不超过8小时，且一天最多可以从配件厂获得20个U型配件和12个T型配件，如果该厂想获利最大，则一天的生产安排应是(A)生产甲产品2个，乙产品3个（B)生产甲产品3个，乙产品2个(C)生产甲产品3个，乙产品3个（D)生产甲产品4个，乙产品3个(10) 已知ΔABC中，AB=l，AC=3，若O是该三角形内的一点，满足，，则等于(A) (B)3 (C)4 （D)y(11) 小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图).把这〃个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为αn，则当n>3时，a n和a n+1满足(A) (B)(C) (D)(12) 设x是实数，定义[x]为不大于x的最大整数，如[2.3] = 2，[-2. 3] = - 3.已知函数，若方程的解集为M，方程的解集为N ，则集合中的所有元素之和为(A)-1 (B)O (C)1 (D)2第II卷(非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分,共16分.答案填在答题卡上.(13) 的二项展开式中x的系数是_______.(14) 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的顶点都在一个球面上，且，AA1=2，则这个球的体积为_______.(15) 已知双曲线C:(a>0，b>0)，F1 F2分别为其左,右焦点，若其右支上存在点P 满足=e(e为双曲线C的离心率），则E的最大值为_______.(16) 设函数f(x)和g(x)都在区间[a，b]上连续，在区间（a，b)内可导，且其导函数和在区间(a，b)内可导，常数.有下列命题:①过点作曲线y=f(x)的切线l，则切线L的方程是；②若M为常数，则;③若，若(A为常数），则；④若函数在包含x0的某个开区间内单调，则其中你认为正确的所有命题的序号是________.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分）已知锐角ΔABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且a=4，A=.(I)设，若f(B) = -l，求tanC的值；(II)若，求ΔABC的面积.(18)(本小题满分12分）天府新区的战略定位是以城乡一体化、全面现代化、充分国际化为引领，并以现代制造业为主、高端服务业集聚、宜业宜商宜居的国际化现代新城区.为了提高企业竞争力以便在天府新区的建设中抢占商机，成都某制造商欲对厂内工人生产某种产品的能力进行调査，然后组织新的业务培训.承担调查的部门随机抽査了 20个工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[20，25)，[25，30)，[30，35)， [35，40)，[40，45]，频率分布直方图如图所示.(I)求图中A的值，并求被抽查的工人中生产的产品数量在[30，35)之间的人数；(II)若制造商想从这次抽査到的20个工人中随机选取3人进行再培训，记选取的3人中来自生产的产品数量在[30，35)之间的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.(19) (本小题满分12分）在如图所示的多面体中，AβEF为等腰梯形，AB//EF，矩形ABCD所在平面与平面ABEF垂直.已知M是AB的中点，AB=2，MF=EF=l，且直线ED和平面ABEF所成的角是30°.(I)求证:AF丄平面CBF;(III)求点B到平面AFC的距离.(20) (本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{a n}满足：.(I)若，求数列{b n}的通项公式；(II)设数列的前n项的和为S n ，求的值.(21) (本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率，且椭圆C经过点P(2，3).设F1是椭圆C的左焦点，A、B是椭圆C 上的两点，且.(I)求椭圆C的方程；(II)若，求的值；(III)若，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G ，求的面积S的取值范围.(22) (本小题满分14分）已知函数，定义在正整数集上的函数g(x)满足：0<g(1)<l，(I)求函数f(x)的单调区间；(II)证明:对任意，不等式0<g(x)<l都成立；(III)是否存在正整数K，使得当x>K时，都有？请说明理由.。

2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则集合（ ）{}2230,A x x x B N=--<=∣A B = A ．B ．C ．D ．{0}{0,1}{0,1,2}{1,2,3}【答案】C【分析】先解出集合A 再求.A B ⋂【详解】由得，.{}{}2230|13,A x x x x x B N =--<=-<<=∣{0,1,2}A B ⋂=故选：C【点睛】集合的交、并、补运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2) 连续型的数集用数轴．2．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止目前，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是（ ）A ．年均增长率逐次减小B ．年均增长率的极差是1.08%C ．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D ．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【答案】D【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量。

增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少。

看图，排除错误选项即可.【详解】对于A 选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A 错；对于B 选项，极差为，故B 错；2.09%0.53% 1.56%-=对于C 选项，第七次增幅最小，故C 错；对于D 选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故正确故选：D3．已知平面，，直线，满足，，则“”是“”的（ ）αβm n m α⊂n β⊂//m n //αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件.【详解】，，若，则或相交，故不充分；m α⊂n β⊂//m n //αβ若，由面面平行的性质定理得平行或异面 ，故不必要；//αβm n ，故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）()f x ()()g x f x =-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性及判断函数正负即可得解.x -≤【详解】因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，()()g x g x -=()g x y 排除C 与D .又，所以：x -≤()()0g x f x =-≤故选：B.5．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，1x 2x 21s ，且已知，则总体方差22s 12x x =222121()2s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布，若，则2(,)N μσ()()151P X P X ≥-+≥=2μ=D ．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点ˆˆˆy bx a =+(,x y 【答案】C【分析】A 选项，根据均值和方差的定义，通过两层的均值和方差表示出总体的均值和方差，然后进行判断；B 选项，根据相关系数的定义进行判断；C 选项，根据正态曲线的性质进行判断；D 选项，根据回归直线的性质进行判断.【详解】解：对于A ，设2层数据分别记为，因为，1212,,,;,,,m nx x x x x x 12x x =所以总体样本平均数为，所以121112mx nx mx nx x x x m n m n ++====++，()()()()222222112211111111,mm n ni i j j i i j j s x x x x s x x x x m m n n =====-=-=-=-∑∑∑∑所以总体方差，()()222111m ni j i j s x x x x m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()22121ms ns m n =++2212m n s s m n m n =+++只有当时，才成立，A 错误；m n =()2221212s s s =+对于B ，相关性越强，越接近于，B 错误；r1对于C ，若，则，C 正确；()()151P X P X ≥-+≥=()()511(5),22P X P X μ+-≥-=<∴==对于D ，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，D 错误.ˆˆˆy bx a =+()x y 故选：C6．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是{}n a 37,a a ()3223733f x x ax a x a =+++=1x -05a（ ）A ．B C ．D．±±【答案】D【分析】由极值点和极值可构造方程组求得，代回验证可知满足题意；结合等比数列37,a a 3729a a =⎧⎨=⎩性质可求得结果.【详解】由题意知：，()23736f x x a x a '=++在处取得极值，，()f x =1x -0()()23733711301360f a a a f a a '⎧-=-+-+=⎪∴⎨-=-+=⎪⎩解得：或；3713a a =⎧⎨=⎩3729a a =⎧⎨=⎩当，时，，31a =73a =()()22363310f x x x x '=++=+≥在上单调递增，不合题意；()f x \R 当，时，，32a =79a =()()()23129313f x x x x x '=++=++当时，；当时，；∴()(),31,x ∈-∞--+∞ ()0f x ¢>()3,1x ∈--()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，()f x \()(),3,1,-∞--+∞()3,1--是的极小值点，满足题意；1x ∴=-()f x，又与同号，253718a a a ∴==5a 37,a a 5a ∴=故选：D.7．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该ie cos isin x x x =+i x ∈R 公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．为虚数B ．函数不是周期函数πie i()e x f x =C ．若D ．i e x 2π3x =ππi i 34e e ⋅【答案】D【分析】A 选项，根据题意计算出，A 错误；B 选项，由是周期函数，得到答案；iπe 1=-sin ,cos x xC 选项，根据欧拉公式得到C 错误；D 选项，计算出1cos ,sin 2x x ==，得到共轭复数.ππ34e e =+⋅【详解】A 选项，，为实数，A 错误；πie cos πisin π1+=-=B 选项，，由于是最小正周期为的函数，所以i()e cos isin x f x x x ==+sin ,cos x x 2π是周期函数，B 错误；i ()e cos isin x f x x x ==+C 选项，由题意得，所以cos isin x x +1cos ,sin 2x x ==又时，C 错误；2π3x =1cos ,sin 2x x =-=D选项，ππi i 34ππππe e cos isin cos isin 133442⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⋅⎭+⎝⎝+⎝⎭⎭，=，D 正确.故选：D8．如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D 在线段-P ABC 35APB BPC ︒∠=∠=50APC ︒∠=上，点在线段上，则周长的最小值为（ ）PA E PC BDE△A ．B ．4C ．D ．6【答案】A【分析】作三棱锥的侧面展开图，结合两点之间线段最短的结论及余弦定理可求-P ABC的最小值.BDE △【详解】如图，将三棱锥的侧面展开，则周长的最小值与展开图中的线段相等.BDE △12B B 在中，，12PB B △12122,353550120PB PB B PB ∠===++=在中，根据余弦定理可得：12PB B △2221212122cos120B B PB PB PB PB =+-⋅，22122222122⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以12B B =即周长的最小值为BDE △故选：A.9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.若()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<，则的值为（ ）π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22sin cos 22αα-A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】C【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，结合图像易知，，，因此，2A =254312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭22T πω==因为函数图像过点，所以，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭242sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，，由，解得，故.4232k ππϕπ+=-+Z k ∈0πϕ<<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为，所以，即，π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭62sin 2cos 365ππαα⎛⎫++== ⎪⎝⎭3cos 5α=因此.223sin cos cos 225ααα-=-=-故选：C.10．设，给出下列四个结论：①；②；③，④10a b c >>>>11ac bc >c c ba ab >()()11a b c c <--.其中正确结论有（ ）()()log log +>+b a a c b c A ．个B ．个C ．个D ．个1234【答案】B【分析】直接利用不等式的性质和对数函数以及指数函数的性质的应用对①②③④进行判断.【详解】由题意，，所以对于①，，故，所以①错误；对于②，取10a b c >>>>ac bc >11ac bc <，则，，故②错误；对于③，因为，13,2,2a b c ===c ba =cab c c baab <011c <-<且，所以，故③正确；对于④，，所以a b >()()11abc c <--1+>+>a c b c ，故④正确.()()log log log ()+>+>+a b b a c b b c c 故选：B.11．在四面体中，，，两两垂直且为球心，2为半A BCD -AB AC AD AB AC AD ===C 径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为（ ）2O A ．B ．C ．D ．56ππ43π32π【答案】D【分析】设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，与的边AB 、CB 分别交于点2O Rt ACD Rt ABC H 、G ，求出球与该四面体四个面的交线的长度，即得解.2O【详解】解：因为四面体中，两两垂直，且A BCD -,,AB AC AD AB AC AD ===由题意知、为等腰直角三角形，且C 为球心，2为半Rt ACD Rt ABC AB AC AD ===径作一个球，2O 设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，2O Rt ACD 如图1；与的边AB 、CB 分别交于点H 、G ，Rt ABC如图2；易得，，cos ACN ∠6ACN π∠=tan 16AN AC π=⋅=所以∠NCM =∠ACD -∠ACN =，所以弧MN 的长，4612πππ-=2126MNππ=⨯=同理，弧. 6GHπ=在内，如图3，因为AH =AN =1，∠HAN =，则，ABD △2π122HNππ=⨯=又如图4，易知弧GM 是以顶点C 为圆心，2为半径，圆心角为，则，所以球3π2233GMππ=⨯=面与该四面体的每个面的交线的长度和为.2366232πππππ+++=故选：D.12．已知函数，若函数恰有5个零点()2e ,02,0x x xf x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R ，且，，则的取值范围是12345,,,,x x x x x 12345x x x x x <<<<()()34f x f x =()()()13322f x f x f x ++-（ ）A ．B ．31,00,2e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．D ．32e ,00,2e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22e ,00,3e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为()f x ()f x m =2()3mf x =-()f x ，然后转化为的范围进行分()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+m 类讨论即可判断.【详解】当时，，此时，，0x ≤()e x f x x =()()1e xf x x '=+令，解得：，令，解得：，()0f x ¢>10x -<<()0f x '<1x <-可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且，()f x (),1-∞-()1,0-()11e f -=-当时，，作出的大致图象如图所示，0x >()()22211f x x x x =-+=--+()f x 函数恰有5个零点，22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R 12345,,,,x x x x x 等价于方程有5个不同的实数根，223[()]()20f x mf x m --=解得：或，，该方程有5个根，()f x m=()23mf x =-0m ≠且，则，，()()34f x f x =342x x +=()()()125f x f x f x ==当时，，0m <()()()1251,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，故，()()342(0,1)3m f x f x ==-∈1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+；4222,0333e m m m ⎛⎫=-=∈- ⎪⎝⎭当时，，0m >()()()12521,03e f x f x f x m ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭，故，()()34(0,1)f x f x m ==∈30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+，42120,33e m m m ⎛⎫=-+=∈ ⎪⎝⎭综上：的取值范围是：.()()()13322f x f x f x ++-21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解223()()20f x mf x m --=()f x t 出其值，然后通过图象分析，转化为直线与图象的交点情况.12,y t y t ==二、填空题13．已知向量，，，且、、三点共线，则_______(),12=OA k ()4,5=OB (),10=-OC k A B C k =【答案】23-【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.,AB BC A B C k 【详解】由题得，(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--因为、、三点共线，A B C 所以，=AB BC λ 所以，(4)57(4)0k k -⋅+--=所以.23k =-故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知实数满足，的取值范围是______．,x y ()2221x y +-=ω=【答案】[]1,2【分析】设，，利用向量夹角坐标运算可求得，利用圆的切线的求(),a x y =(b =2cos ωθ=法可求得所在直线倾斜角的范围，从而确定的范围，进而求得的范围.(),a x y =θω【详解】由圆的方程知：点在以为圆心，为半径的圆上，(),x y ()0,21设，，与的夹角为，，(),a x y =(b = a bθcos 2ωθ∴=即；2cos ωθ=设直线与圆相切，则圆心到直线距离，y kx =()2221x y +-=1d ==解得：，k =结合图象可知：所在直线倾斜角为，(),a x y =π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦又所在直线倾斜角为，，(b =π3π0,3θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则.1cos ,12θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦[]1,2ω∈故答案为：.[]1,2【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量夹角公式将所求式子转化为两向量夹角余弦值取值范围的求解问题，采用数形结合的方式来进行求解.15．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九”意思是说，李白去⋯郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒升，将李白在第00(3)a a >家店饮酒后所剩酒量记为升，则__（用和表示）．(1,)n n n N ∈︒ n a n a =0a n 【答案】升023(12)n na +-【分析】由题干递推列式，找寻规律，并根据规律计算即可.【详解】解：李白在第家店饮酒后所剩酒量记为升，(1,)n n n N ∈︒ n a 则第一家店饮酒后所剩酒量为升，1023a a =-第二家店饮酒后所剩酒量为升，22100232(23)323(12)a a a a =-=--=-+第三家店饮酒后所剩酒量为升，323202323(122)a a a =-=-++第四家店饮酒后所剩酒量为升，4234302323(1222)a a a =-=-+++⋯第家店饮酒后所剩酒量为n 升．211000122323(1222)2323(12)12nnn nn n n n a a a a a ---=-=-+++⋯+=-⨯=+--故答案为：升．023(12)n na +-16．已知双曲线G 的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P 坐标为，双曲221169x y -=1F 2F ()4,2线G 上点，满足，则______．()00,Q x y ()000,0x y >>11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=12F PQ F PQS S-=△△【答案】8【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，12Q FF ,,D E G a 又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅= P 12QF F ∠P 得面积差即可.【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双12Q FF ,,D E G 1122,,QD QG F D F E F E F G===曲线定义可得，则，又1228QF QF a -==()1212122QD DF QG GF DF GF EF EF a +-+=-=-=，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.122EF EF c +=1EF a c=+E a a 又，可得，化简得11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=11121112121cos cos QF PF PF Q F F PF PF F QF F F ⋅∠⋅∠= ，即，112cos cos PF Q PF F ∠=∠112PF Q PF F ∠=∠即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则1PF 12QF F ∠()4,2P 4a =P 12Q FF r .121211()28822F PQ F PQS Sr QF QF -=-=⨯⨯=△△故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由12Q FF a 得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=P 12QF F ∠P a P 双曲线定义及面积公式即可求解.三、解答题17．在中，角的对边分别为，且.ABC ∆、、A B C a b c、、2sin 02AA += （Ⅰ）求角的大小；A（Ⅱ）若的周长.ABC ∆R ABC ∆【答案】（1）;（2）3A π=3【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得结合范围，可求tan A =0A π<<的值；(2)由正弦定理可求 ,利用余弦定理可得,解得的值,可求周长.A a 260c -=c【详解】（1）2sin 02AA +=，∴1cos sin 02AA -+=即sin 0A A =又tan A ∴=0A π<<3A π∴=（2）2sin a R A =2sin π33a R A ∴===ABC ∆1sin 2bc A ∴=bc 4=2222cos a b c bc A=+- 229b c bc ∴+-=2()9391221b c cb ∴+=+=+=b c ∴+=3a b c ++=【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以30,45,60o o o便在解题中直接应用.18．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量（单位：辆）如下表：y 第天x 345678销售量（单位：辆）y 172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程.y x ˆˆˆybx a =+（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝ˆyˆy y 对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑【答案】（1）；（2）；（3）可行，29.25ˆ211yx =+【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求，即得结果；ˆˆ,b a （3）根据回归直线方程确定对应的，再根据定义判断是否“可行”，最后代入得结果.ˆy9x =【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，242662155C P C ===（2）3456172019244.5,2044x y ++++++====41317420519624370i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221345686ii x==+++=∑23704 4.52028644ˆ.5b-⨯⨯==-⨯202ˆ 4.511a=-⨯=所以ˆ211yx =+（3）由（2）知，时，，25-24=1；7x =141125y =+=时，，27-27=08x =161127y =+=所以求得的线性回归方程“可行”时，9x =181129y =+=【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图所示多面体ABCDEF 中，平面平面ABCD ，平面ABCD ，是正三角形，ADE ⊥CF ⊥ADE四边形ABCD 是菱形，，2AB =CF =.3BAD π∠=(1)求证：平面ABCD ；EF (2)求二面角的正弦值.E AF C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，AD N NE NC ､因为是正三角形，ADE所以,2sin60EN AD EN ⊥=⋅=因为平面平面平面，平面平面ADE ⊥,ABCD EN ⊂ADE ADE ABCD AD =所以平面，又因为平面，EN ⊥ABCD CF ⊥ABCD 所以，又因为，EN CF ∥EN CF =所以四边形是平行四边形，所以，ENCF EF NC ∥又因为平面平面，NC ⊂,ABCD EF ⊄ABCD 所以平面.EF ABCD （2）连接交于，取中点，连接，AC BD ､O AF M OM 所以，因为平面，所以平面，OM CF ∥CF ⊥ABCD OM ⊥ABCD 因为平面，所以，OA OB ⊂､ABCD ,OM OA OM OB ⊥⊥又因为四边形是菱形，所以，ABCD OA OB ⊥所以两两垂直，OA OB OM ､､建立如图所示的空间直角坐标系，，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎭，(1,2AF AE ⎛=-=- ⎝ 设平面的法向量为，AEF (),,m x y z=，令0102AF m AE m y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩()1,2,x m == 平面的法向量为，AFC ()0,1,0n =设二面角的大小为，E AF C --θcos θ==所以二面角E AF C --20．已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为O 12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>C，且12,F F 12F F =(1)求椭圆的标准方程；C (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.012,,P P P C O 012P PP012P PP 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦距可确定在椭圆上，代入方程解方程组可得答案.c =12P ⎫⎪⎭（2）设直线的方程为，和椭圆联立，整理得到根与系数的关系式，继而根据重心性12PPy kx m =+质表示出坐标为，代入椭圆方程得到参数之间的关系式，从而再表示出三角形0P2282(,1414km mk k -++的高,根据面积公式表示出的面积，将参数间的关系式代入化简即可证明.012P PP【详解】（1）由椭圆的左右焦点分别为，且C 12,F F 12F F =可知：，即① ，c =223a b =+将代入方程得： ②，12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>223114a b +=① ②联立解得 ，224,1a b ==② 故椭圆的标准方程为.2214x y +=（2）证明：设，000111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y 当直线 斜率不存在时，即 ，12PP12x x =由原点为的重心，可知O 012P PP 0120120,033x x x y y y++++==故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ，01,0)P x （-22114x =不妨取，则有，或，11x=012(2,0),(1,PP P -012(2,0),(1,P P P -则此时012132P P P S =⨯=当直线 斜率存在时，不妨设方程为 ，12PP12PP y kx m =+则联立 ，整理得：，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2221+4)8440k x kmx m ++-=（且需满足 ，22222(8)16(14)(1)16(41)0km k m k m ∆=-+-=+->则，212122284(1),1414km m x x x x k k --+==++所以，121222()214my y k x x m k +=+-=+由原点为的重心知， ，O 012P PP012012(),()x x x y y y =-+=-+故坐标为 ，代入到中，0P 2282(,1414km m k k -++2214x y +=化简得： ，即 ，222282()4(41414km m k k -+=++22414m k =+又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍，O 012P PPP 12PPO 12PP所以，d =而1212|||x x PP =-==，因此0121211||22P P P S PP d =⨯⨯===综合上述可知：的面积为定值.012P PP【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及重心性质的应用，以及椭圆内的特殊三角形面积问题，运算量比较复杂而且计算量较大，解决本题的关键是设出直线方程，要利用重心性质表示出一个点的坐标并代入椭圆方程中，找到两参数之间的关系式，然后三角形面积的表示这点并不困难，表示的方法也比较常规，但需要计算时十分细心还要有耐心.21．已知函数.()ln 1a x a f x x +-=(1)求在处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)（i ）若恒成立，求的取值范围；()1xf x x ≤-a （ii ）当时，证明：.1a =()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【答案】(1)2y x a =+-(2)（i ）；（ii ）证明见解析[]0,1【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；()1f ()1f '（2）（i ）由题意可得，设，其中，对实数的取值进行分ln 0x a x a --≥()ln h x x a x a=--0x >a 类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，在、的情况下，验证在()h x ()0,∞+0a =0a <()0h x ≥上能否恒成立，在时，可得出，求出实数的取值范围，综合即可得解；()0,∞+0a >()min 0h x ≥a （ii ）当时，；结合（i ）中所求，可得，在时，直接验证结1a =()2ln f n nn n =22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭2n =论即可；在时，利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.3n ≥【详解】（1）解：因为，则，其中，()ln 1a x a f x x +-=()()22ln 11ln ax a x a a x x f x x x ⋅-+--'==0x >所以，，，()11f a =-()11f '=所以，函数在点处的切线方程为，即.()f x ()()1,1f ()11y a x --=-2y x a =+-（2）解：（i ），可得.()ln 11xf x a x a x =+-≤-ln 0x a x a --≥令，其中，则.()ln h x x a x a=--0x >()1a x ah x x x -'=-=①当时，，合乎题意；0a =()0h x x =>②当时，由基本不等式可得，a<0()()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当时，等号成立，1a =-，当且仅当时，等号成立，221331244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭12a =-所以，，()1112221313e e e 1e 04e 4a a a a aa h a a a a a a +++-⎛⎫⎛⎫=-+-=-++<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，不恒成立，不合乎题意；()0h x ≥③当时，，0a >()1a x a h x x x -'=-=当时，，此时函数单调递减，0x a <<()0h x '<()h x 当时，，此时函数单调递增，x a >()0h x '>()h x 所以，，可得，解得.()()min ln ln 0h x h a a a a a a a ==--=-≥ln 0≤a 01a <≤综上所述，实数的取值范围是；a []0,1（ii ）当时，，所以.1a =()ln x f x x =()2ln f n n n n =由（i ）知：，即，所以.()1xf x x ≤-ln 1x x ≤-ln 11x x x ≤-令，得，即，所以.2x n =222ln 11n nn ≤-222ln 11n n n ≤-22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭当时，，则，显然，结论成立；2n =()2ln 224f =1193222248n n +-=+ln213448<<当时，3n ≥()()()22222223ln2ln3ln 11111112323223f f f n n n n n ⎛⎫+++=+++≤-+-++- ⎪⎝⎭ ()()()222111111111112232434451n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+++<--++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()1111111112434451n n n ⎡⎤⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，结论成立.()171111911912121211222224n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此，当时，成立.2n ≥()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f x g x >()()f x g x <（或），进而构造辅助函数；()()0f x g x ->()()0f x g x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极xOy O x 1C坐标方程为，曲线的极坐标方程为.2cos ρθ=2C ρ=(1)写出曲线的参数方程；2C (2)设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求之间距离的最大值.A 1CB 2C ,A B 【答案】(1)，（为参数）.2cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ1【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐标方程为2C ，再根据圆锥曲线参数方程可得的参数方程为，（为参数）；2214y x +=2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）根据题意可得之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，根据二次,A B B 1C 函数性质即可求得最大值.【详解】（1）根据曲线的极坐标方程为可得，2C ρ=，即，()2226cos 8ρθ+=22828x y +=所以曲线的直角坐标方程为；2C 2214y x +=根据圆锥曲线参数方程定义可得，曲线的参数方程为，（为参数）.2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）由曲线的极坐标方程为可得，1C 2cos ρθ=曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径；1C ()2211x y -+=()11,0C 1r =由题意可得设，()cos ,2sin B ϕϕ易知之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，,A B B 1C即，1max 11AB BC r =+==由二次函数性质可知，当时，；1cos 3ϕ=-max 1AB =所以,A B 123． 已知函数.()211f x x x =-++（1）解不等式；()6f x ≤（2）记函数的最小值为，若，且，求()()1g x f x x =++m ,,a b c ∈R 230a b c m ++-=的最小值.222a b c ++【答案】（1）；（2）.{}22x x -≤≤914【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角函数不等式可得，进而可得，再利用柯西不等式即可求解.3m =233a b c ++=【详解】解：（1）或或，()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩解得，即不等式的解集为.22x -≤≤()6f x ≤{}22x x -≤≤（2），()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=当且仅当时取等号，∴.()()21220x x -+≤3m =故.233a b c ++=由柯西不等式，()()()2222222123239a b c a b c ++++≥++=整理得，222914a b c ++≥当且仅当，即，，时等号成立.123a b c ==314a =614b =914c =所以的最小值为.222a b c ++914【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.。

四川省成都市2017届高三理综三诊模拟试题第I卷（选择题共126分）一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

l.许多无机盐离子对于维持细胞和生物体生命活动有重要作用。

下列相关叙述正确的是A. K+参与血浆渗透压的形成，而Na+并不参与B. Fe2+在血红蛋白运载氧的过程中起重要作用C.过量摄入钠盐，会导致血浆中抗利尿激素含量降低D. K+内流是神经纤维产生动作电位的主要原因2．紫色洋葱外表皮细胞能在一定浓度的蔗糖溶液中发生质壁分离，下列条件中属于发生该现象必要条件的是A.细胞壁的伸缩性小于原生质层 B．细胞膜外侧有识别水分子的受体C．液泡中有紫色的水溶性色素 D．水分子不能穿过原生质层进入液泡3．右图表示生物界完整的中心法则，有关叙述错误的是A.图中所示的过程都能发生碱基互补配对B.④⑤过程可以发生在某些病毒体内C.①②⑧过程都需要有酶的参与D.该图揭示了遗传信息传递的一般规律4．下列有关遗传病的叙述，正确的是A.抗维生素D佝偻病在人群中的发病率男性高于女性B.白化病通常会在一个家系的几代人中连续出现C. 21三体综合征是由于亲本减数第二次分裂发生异常导致的D.青少年型糖尿病属于多基因遗传病，在群体中发病率较高5．关于HIV的叙述，错误的是A．不卫生的文身、文眉等器械有可能传播HIVB.HIV具有高度变异性，致使疫苗效果难以持久C.HIV感染人群比健康人更容易患流感、恶性肿瘤等疾病D.感染者体内的HIV中的遗传物质可通过生殖细胞传给子代6．下列关于生物科学研究方法的叙述，错误的是A.采用对比实验的方法探究酵母菌细胞呼吸的方式B.摩尔根采用假说．演绎法证明了基因位于染色体上C．记名计算法是按预先确定的多度等级来估计单位面积上个体数量的多少D．采用模型建构的方法能够帮助我们认识人体内对血糖水平进行调节的机制7．化学与我们的生活息息相关，下列有关说法正确的是A.SO2、NO2都是酸性氧化物，分别能形成硫酸型酸雨和硝酸型酸雨B．明矾[KAl(SO4)2·l2H2O]溶于水会形成胶体，因此可用于自来水的杀菌消毒C．高铁车厢大部分材料是铝合金，铝合金材料具有强度大、质量轻、抗腐蚀能力强等优点D．日常生活中常用汽油去除衣物上的油污，用热的纯碱溶液洗涤炊具上的油污，两者的原理完全相同8．设N A代表阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A.在电解精炼铜时，当电路中通过的电子数为2N A时，阳极质量减少64 gB．标准状况下，22.4 L CO和C2H4混合气体的总分子数为N A，质量为28 gC．常温常压下，1 mol甲基(-CH3)所含电子数为10N AD．标准状况下，11.2 L苯中含有C-H键的数目为3N A9．下列关于有机化合物的说法正确的是A.一个苯环上已经连有-CH3、-CH2CH3、-OH三种基团，如果在苯环上再连接一个-CH3，其同分异构体有16种B.HOCH2CH(CH3)2与(CH3)3COH属于碳链异构C．除去乙醇中的少量水，方法是加入新制生石灰，经过滤后即得乙醇D．除去乙酸乙酯中的乙酸和乙醇杂质，可加入足量烧碱溶液，通过分液即得乙酸乙酯10.下列实验方案能达到实验目的的是11.A、B、C、D、E五种元素，前四种短周期元素在周期表中的相对位置如图所示：，酸雨的形成与D元素密切相关，E2+的核外电子数比D原子的核外电子数多2，下列说法正确的是A.原子半径由大到小的顺序为E>B>D>C>AB.元素D可形成多种酸，它们的酸根均能促进水的电离C.EB2中存在离子键与非极性共价键D.C位于周期表中第二周期第VIIA族，其最高正价为+712.某化学兴趣小组设计了如图所示的电化学装置：下列说法不正确的是A．乙池工作时，CO32-不断移向负极B．乙池负极反应为CH3OH - 6e一+3CO32- =4CO2 +2H2OC．甲池中Fe电极发生的反应为2Cl- - 2e一=Cl2D．为了使电池持续供电，工作时必须有C02参与循环13.常温下，下列物质的溶液中粒子浓度关系不正确的是A.pH=1的KHS04溶液：c(H+)=c(SO42-)+c(OH-)B.CH3COONa和BaCl2混合溶液：c(Na+)+c(Ba2+)=c(CH3COO-)+c(CH3COOH)+2c(CI-)C.三种相同浓度的铵盐溶液中c|[NH4+）从大到小的)I|页序：NH4H SO4、NH4Cl、NH4HCO3D．已知AgCl、AgBr、Agl溶度积常数依次为1.6×l0-10、7.7×10-13、8.7×10-17，则对应饱和溶液中c(X-)从大到小的顺序为：Cl-、Br-、I-二、选择题（本题共8小题，每小题6分。

成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第1卷（选择题）1至2页，第lI卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦千净后，再选涂其它答案标号。

答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，只将答题卡交回。

第1卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1若复数Z 1与Zz =-— (i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则Z1=CA)-—i (B)-3+ (C)+i (D)—!2.已知集合A={—1,0,m},B={l ,2}. 若A U B = {-1,0,1,2}, 则实数m的值为(A)-1或0(B)O或1CC)—1或23.若si n e =乔cos(2穴-0),则tan20=石乔瓦CA)——CB) -CC)—一 2 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60), [60, 70), [70, 80),[80,90),[90,100], 得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为CA )72. 50.040 0.030 数学（理科）”一诊“考试题第1页（共4页）CD)l或2CD)-污2 彗0.015 (B )75 0.0100.005 (C)77. 5(D)80。

工丑扫已。

100得分5设等差数列{a ,}的前n项和为S,,,且a ,,-::/:-0.若as =a 3, 则—＝s 9 S s 9 5 5 (A)了(B)了(C)了6已知a,/3是空间中两个不同的平面，m,n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是(A)若m II a ,n II /3, 且a II /3,则m II n (B)若m II a ,n II /3, 且a_l/3,则m II n (C)若m_la ,n II /3, 且a II /3, 则m _l n (D)若m _la,n ll /3,且a_l/3,则m _l n7.(x 2+2)(x ——)6的展开式的常数项为(A)25(B)-25 (C)5(D )—5 8.将函数y =si n (4x -王）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所6 得图象向左平移王个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为6 (A) f(x) =si n (2x +互）6 CA) C —2,0) LJ (2, 十=)穴CB) f(x) =si n (2x —一） 亢(C) f(x) =si n (8x +岊)(D) f(x) =si n (8x —一）9已知抛物线沪=4x 的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点．若I M Fl+INFl =5,则线段MN的中点到y轴的距离为CA)3 3_2） B （ CC)5 10.巳知a =沪，b=3了，c =l n -2 ，则(A) a> b > c (B) a> c > b (C) b >a> c (D) b > c > a 11已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(Z +x), 当x冬2时，f(x)= (x —l)e< :--1 若关于x的方程f(x)-kx +zk —e +l=O 有三个不相等的实数根，则实数K的取值范围是(B)(—2,0) LJ (0,2)CC)C —e,O) U (e, 十oo)CD)C —e ,O) U (0, e ) 12.如图，在边长为2的正方形AP 1贮凡中，线段BC的端点B,C分别在边P1P 2,P 2P 3 _t 滑动，且P 2B =P心=x.现将丛AP 1B ,6AP 3C分别沿AB,A C折起使点P1,凡重合，重合后记为点P ,得到三棱锥P-ABC 现有以下结论：(DAP上平面PBC;＠当B,C分别为P1P2,P 2凡的中点时，三棱锥P —ABC的外接球的表面积为67(;®x 的取值范圉为(0,4—2迈）； 1 ＠三棱锥P —ABC体积的最大值为—.则正确的结论的个数为P 1 5_2、丿D （ A 27CD)一5 (A)l (B)2CC )3(D )4数学（理科）”一诊“考试题第2页（共4页）。

2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（）A．M∪N=U B．（∁U M）∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．（∁U M）∪（∁U N）=∅2．（5分）已知复数z满足（2+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．﹣ B．﹣C．D．4．（5分）已知实数x，y满足不等式，则3x+2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．55．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A．100πcm3B．C．400πcm3D．6．（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．0或﹣1 C．±1 D．17．（5分）设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D 两点，则=（）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．98．（5分）利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×9．（5分）已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+在区间内单调递增，则函数f（x）（）A．最小值为，其图象关于点对称B．最大值为，其图象关于直线对称C．最小正周期为2π，其图象关于点对称D．最小正周期为π，其图象关于直线对称10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E 为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A．B．C．D．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣5μ的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）14．（5分）曲线y=和直线y=x围成的图形面积是．15．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=．16．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}中，a2=2，其前n项和S n满足：（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量t （袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入﹣原材料费用）．（参考公式：=，）19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，，AB ⊥AC ，D 是棱BB 1的中点． （Ⅰ）证明：平面A 1DC ⊥平面ADC ；（Ⅱ）求平面A 1DC 与平面ABC 所成二面角的余弦值．20．（12分）已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．（Ⅰ）求证：l1⊥l2（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），P为直线l1，l2的交点，求|OP|•|AP|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|﹣|，其中﹣3≤a≤1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（）A．M∪N=U B．（∁U M）∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．（∁U M）∪（∁U N）=∅【解答】解：∵全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，作出文氏图，如下：∴由文氏图得M∩（∁U N）=∅．故选：C．2．（5分）已知复数z满足（2+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（2+i）z=2﹣i，得，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故悬案：D．3．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【解答】解：∵α是锐角，α+∈（，），且cos（α+）=，∴sin（α+）==，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=．故选：C．4．（5分）已知实数x，y满足不等式，则3x+2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．5【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），令z=3x+2y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A．100πcm3B．C．400πcm3D．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=6，AD=2，PD=6．则该阳马的外接球的直径为PB====10．∴该阳马的外接球的体积==cm3．故选：B．6．（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．0或﹣1 C．±1 D．1【解答】解：根据如图所示的程序语言知，该程序运行后输出函数y=；当x≥0时，y=2x=1，解得x=0；当x＜0时，y=|x|=1，解得x=﹣1；综上，输出y的值为1时，输入x的值为0或﹣1．故选：B．7．（5分）设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D 两点，则=（）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9【解答】解：直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2，由双曲线的定义可得轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，且c=2，a=1，b=，方程为x2﹣=1，x=2代入方程得：y=±3，可设C点的坐标为（2，3），D（2，﹣3），则=（4，3）•（0，﹣3）=4×0+3×（﹣3）=﹣9．故选：A．8．（5分）利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×【解答】解：当d=5时，其概率为P==，对于B，P=，对于C，P=0，对于D，P=，故B，C，D均不符合，故选：A．9．（5分）已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+在区间内单调递增，则函数f（x）（）A．最小值为，其图象关于点对称B．最大值为，其图象关于直线对称C．最小正周期为2π，其图象关于点对称D．最小正周期为π，其图象关于直线对称【解答】解：∵f（x）=sinωxcosωx+=sin2ωx+﹣=sin （2ωx+），又∵f（x）在在区间内单调递增，∴由﹣≤2×（﹣）ω+，2×ω+≤，解得：ω≤，ω≤，∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）=sin（2x+），∴f（x）的最大值为，最小正周期为π，故A，C选项错误；∵令2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈z，可得当k=﹣1时，f（x）关于直线x=﹣对称．∴B选项错误，D选项正确．故选：D．10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E 为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取DB中点O，连接CO、AO，∵四边形ABCD为正方形，∴CO⊥DB．又∵面DCB⊥面ADB，∴CO⊥面ABD，过E作EH∥CO交DB于H，则有EH⊥面ADB．H为OB中点，连接AH，则∠EAH就是直线AE与平面ABD所成的角．设正方形ABCD的边长为2，则EH=，AH=，∴，cos∠EAH=，∴直线AE与平面ABD所成角的余弦为．故选：C．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣5μ的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（co sα，sinα）（0≤α≤π），由=λ+μ得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（﹣1，）⇒cosα=2λ﹣μ，sinα=λ+⇒λ=，∴2λ﹣5μ=2（）﹣5（）=﹣2（sinα﹣cosα）=﹣2sin（）∵∈[﹣，]∴﹣2sin（）∈[﹣2，2]，即2λ﹣5μ的取值范围是[﹣2，2]．12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：由题意可知c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：，当直线AB斜率不存在时，t可以为任意非零实数，当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1x2=，由∠APO=∠BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，则+=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，∴2×﹣（t+1）×+2t=0，解得：t=2，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）【解答】解：从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，基本事件总数n=4×4=16，所得两位数为偶数包含的基本事件的个数m=4×1+2×3=10， ∴所得两位数为偶数的概率p=．故答案为：．14．（5分）曲线y=和直线y=x 围成的图形面积是．【解答】解：曲线和直线y=x 交点为：（1，1），所以围成的图形面积为=（）|=；故答案为：．15．（5分）在△ABC 中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D 在BC 上，且AD=BD ，则AD=．【解答】解：∵在△ABC 中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，∴由余弦定理得BC==2，由正弦定理，得：，∴sinB===，∴cosB==，∵AD=BD ，∴设AD=BD=x ，由余弦定理得：cosB==，∴AD=x==．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）有两个零点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．【解答】解：f′（x）=）=（x﹣1）e x+e x+ax=x（e x+a），①当a≥0时，e x+a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，且f（0）=0，此时f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）不存在有两个零点；②当a=﹣1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）单调，此时f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）不存在有两个零点；③当a＜0且a≠﹣1时，令f′（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣a）（a≠﹣1）．a∈（﹣1，0）时，x2＜0，函数在（﹣∞，ln（﹣a）））递增，在（ln（﹣a），0）递减，在（0，+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；a∈（﹣∞，﹣1），时，x2＞0，函数在（﹣∞，0）递增，在（0，ln（﹣a））递减，在（ln（﹣a），+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；综上，则a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}中，a2=2，其前n项和S n满足：（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意有．所以，则有（n≥2），所以2（S n﹣S n﹣1）=na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2）．所以（n﹣1）a n+1=na n，两式相加得2（n﹣1）a n=（n﹣1）（a n+1+a n﹣1），即2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2，n∈N），故数列{a n}是等差数列．又a1=0，a2=2，所以公差d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则…+n•22n﹣2，两边同乘以22得+…+（n﹣1）•22n﹣2+n•22n，两式相减得+22n﹣2﹣n•22n，即=，所以．18．（12分）第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量t（袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t关于x的线性回归方程；（Ⅱ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入﹣原材料费用）．（参考公式：=，）【解答】解：（Ⅰ）由数据，求得，，10×25+12×29=1273，102+122=510，=，，∴t 关于x 的线性回归方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当x=14时，，即预计需要原材料34.2袋，∵∴，若t＜35，利润L=600t﹣（300t+20）=300t﹣20，当t=34时，利润L max=300×34﹣20=10180元；若t≥35，利润L=600×34.2﹣290t=20520﹣290t，当t=35时，利润L max=20520﹣290×35=10370元；综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，∵A1D⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1D，设AB=a，由，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．得，AA 1=2a，则+，∴AD⊥A1D，∵AD∩AC=A，∴A1D⊥平面ADC．又∵A1D⊂平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）解：如图所示，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=1，则A（0，0，0），D（1，0，1），C（0，1，0），A1（0，0，2）．显然是平面ABC的一个法向量，设平面A 1DC的法向量，由令z=1，得平面A 1DC的一个法向量，∴=，即平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值为．20．（12分）已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；可得B（，3），直线AB：y=4x﹣6；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x﹣6上，当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）21．（12分）已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导函数，由曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0，知f'（1）=1，f（1）=0，所以a=1，b=0．（Ⅱ）令=，则=，当0＜x＜1时，u'（x）＜0，u（x）单调递减；当x＞1时，u'（x）＞0，u（x）单调递增，所以，当x=1时，u（x）取得极小值，也即最小值，该最小值为u（1）=0，所以u（x）≥0，即不等式成立．（Ⅲ）函数g（x）=me x+lnx（x＞0），则，当m≥0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）内单调递增，g（x）无极值，不符合题意；当m＜0时，由，得，结合y=e x，在（0，+∞）上的图象可知，关于x的方程一定有解，其解为x0（x0＞0），且当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增；当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减．则x=x0是函数g（x）的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，即，则．所以g（x）max=g（x0）==．由于g（x）≤0恒成立，则g（x）max≤0，即，（*）考察函数，则，所以h（x）为（0，+∞）内的增函数，且，，又常数k满足klnk=1，即，所以，k是方程的唯一根，于是不等式（*）的解为x0≤k，又函数（x＞0）为增函数，故，所以m的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．（Ⅰ）求证：l1⊥l2（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），P为直线l1，l2的交点，求|OP|•|AP|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l1的参数方程为（t为参数）；消去参数t可得：直线l1的普通方程为：xsinα﹣ycosα=0．又直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+）．即直线l 2的直角坐标方程为：xcosα+ysinα﹣2sin（α+）=0．因为sinαcosα+（﹣cosα）sinα=0，根据两直线垂直的条件可知，l1⊥l2．（Ⅱ）当ρ=2，时，ρcos（θ﹣α）=2cos=2sin（α+）．所以点A（2，），在直线ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）上．设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为=1．于是|OP|•|AP|=d•|OA|=2d≤2所以|OP|•|AP|的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|﹣|，其中﹣3≤a≤1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+2|﹣|x|，①当x＜﹣2时，不等式即为﹣x﹣2+x≥1，不等式无解；②当﹣2≤x≤0时，不等式即为x+2+x≥1，解得；③当x＞0时，不等式即为x+2﹣x≥1，不等式恒成立．综上所述，不等式的解集是．（Ⅱ）由．而=4+4=8，∴，∴．要使不等式f （x ）≥m 的解集为空集，则有，所以，实数m 的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）（附详细解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．23．在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．84．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．46．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i （i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知A={（x ，y ）|x 2+y 2≤π2}，B 是曲线y=sinx 与x 轴围成的封闭区域，若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB=BC=CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣9．已知抛物线C ：y 2=mx （m ＞0）的焦点为F ，点A （0，﹣），若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |：|MD |=1：2，则点M 的纵坐标为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣10．已知函数f （x ）=2cos 22x ﹣2，给出下列命题： ①∃β∈R ，f （x +β）为奇函数；②∃α∈（0，），f （x ）=f （x +2α）对x ∈R 恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．14．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答）16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c ﹣a=2bcosA ． （1）求角B 的大小； （2）若b=2，求a +c 的最大值．18．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE=2，M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE ． （1）求BM 的长；（2）求二面角A ﹣DM ﹣B 的余弦值的大小．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．20．已知圆C ：（x +1）2+y 2=8，点A （1，0），P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E的方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△MON 面积的最大值．21．已知函数f （x ）=lnx +﹣1，a ∈R ．（1）若关于x 的不等式f （x ）≤x ﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数g （x ）=，若g （x ）在[1，e 2]上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M （x ，y ）为曲线C′上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}【考点】1D：并集及其运算．【分析】先求出集合B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故选：B．2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．2【考点】A8：复数求模．【分析】复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），利用中点坐标公式可得：线段AB的中点C（1，2）．进而得出．【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．故选：A．3．在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．8【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】把a1和q代入a m=a1a2a3a4，求得a m=a1q6，根据等比数列通项公式可得m．【解答】解：a m=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2m﹣1，∴m=11，故选：A．4．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．【分析】对4个选项分别进行判断，可得结论．【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为135，故选D．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析有=2，求出直线l与x轴交点坐标，即可得双曲线C的一个顶点坐标，即a的值，计算可得b的值，又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；故选：B．6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．7．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx 与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC 与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∠FEG为异面直线AC与BD所成角．【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．9．已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MD|确定|KD|：|KM|的值，进而列方程求得m，再求出M的坐标【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∵|FM|：|MD|=1：2：则|KD|：|KM|=：1，k FD=，k FD==∴=，求得m=4∴直线FM的方程为y=（x﹣1），与y2=4x，联立方程组，解得x=3（舍去）或x=，∴y2=，解y=﹣或y=（舍去），故M的坐标为（，﹣），故选：D10．已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】化简函数f（x），画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断①错误；根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，）的解，判断②正确；由|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为=，判断③正确；当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=，判断④错误．【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；对于①，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故①错误；对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；又α∈（0，），∴取α=或时，∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；对于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时，|x1﹣x2|的最小值为==，∴③正确；对于④，当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=k•=（k∈Z），∴④错误；综上，真命题是②③．故选：C．11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，确定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据求出首项和公差，得到数列的通项公式，再判断数列的前7项为正数，再根据裂项求和即可得到答案．【解答】解：∵S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15，∴a m=S m﹣S m﹣1=0﹣13=﹣13，a m+1=S m+1﹣S m=﹣15﹣0=﹣15，又∵数列{a n}为等差数列，∴公差d=a m+1﹣a m=﹣15﹣（﹣13）=﹣2，∴，解得a1=13∴a n=a1+（n﹣1）d=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，当a n≥0时，即n≤7.5，≤0时，即n≥6.5，当a n+1∴数列的前7项为正数，∴==（﹣）∴数列{}的前n项和的最大值为（﹣+﹣+﹣+…+1﹣）=（1﹣）=．故选：D二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故答案为：﹣3．15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为5040．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C64•A55=3600种情况；若甲乙两人都参加，有C22•A63•A42=1440种情况，则不同的安排种数为3600+1440=5040种，故答案为：5040．16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM ⊥平面ACE．（1）求BM的长；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】（1）建立坐标系，设BM=h，求出和的坐标，令=0解出h；（2）求出平面ADM和平面BDM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的夹角．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON⊂平面BDEF，∴ON⊥平面ABCD，以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴OB=OD=1，OA=OC=，∵四边形BDEF是矩形，DE=2，∴A（﹣，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），设BM=h，则M（0，1，h），∴=（0，2，h），=（，﹣1，2），∵DM⊥平面ACE，∴，∴﹣2+2h=0，解得h=1，∴BM=1．（2）=（，﹣1，0），=（0，2，1），设平面ADM的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=得=（，3，﹣6），又AC⊥平面BDM，∴=（1，0，0）是平面BDM的一个法向量，∴cos＜＞===，∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据表中数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表即可得出结论；（2）根据题意知X的可能取值，求出对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K2=≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X，则X的可能取值为2，3，4；所以P（X=2）=•=，P（X=3）=•+•=，P（X=4）=•=；∴随机变量X的分布列为：数学期望为EX=2×+3×+4×=．20．已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题；J3：轨迹方程．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E 的方程为=1，（a＞b＞0）．∵c=1，a=，∴b2=2﹣1=1．∴曲线E的方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的距离d=﹣，==．，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．∴S△MON又m≠0，=．≤∴据基本不等式，得S△MON=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．21．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导根据函数的单调性及极值的判断，即可求得m（x）在[1，+∞）上单调递增，即可求得a的取值范围；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，设函数m（x）=﹣xlnx﹣x2，x≥1，m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，n′（x）=﹣+1，由x≥1时，n′（x）≥0，∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）=，∴a≤，∴a的取值范围是（﹣∞，]；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，当1＜a＜时，g（x）在[1，e2]上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），相减消去参数t化为普通方程．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==，即可得出最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．因此最小距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣1|+|2x﹣5|≥6，x≤1时：1﹣x﹣2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，1＜x＜2.5时：x﹣1﹣2x+5≥6，解得：x≤﹣1，不成立；x≥2.5时：x﹣1+2x﹣5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；（2）g（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，a≥3时：g（x）=，∴3﹣a≤g（x）≤a﹣3，∵[﹣1，2]⊆A，∴，解得a≥5；a＜3时，a﹣3≤g（x）≤3﹣a，∴，解得：a≤1；综上：a≤1或a≥5．2017年6月8日。

专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题回放1.【2017年全国一卷理数（3）】设有下面四个命题1p ：若复数满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2.【2017年卷理数第6题】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 3.【2017年某某卷理数第4题】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A4.【2017年某某数学第6题】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 +S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性 考点分析考点 了解A 掌握B 灵活运用C命题的概念 A 四种命题的相互关系 B 全称命题与特称命题 B 充分条件与必要条件C高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值X 围． 融会贯通题型一 四种命题的关系及真假判断【典例1】【2017届某某某某市高三理一诊】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ）．A ．若a b ≤，则a c b c +≤+B ．若a c b c +≤+，则a b ≤C ．若a c b c +>+，则a b >D ．若a b >， 则a c b c +≤+ 【答案】A 【解析】试题分析：“若p 则”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，所以原命题的否命题是“若b a ≤，则c b c a +≤+”，故选A.考点：四种命题【例2】有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题，其中真命题的序号是________.【答案】②③解题方法与技巧：(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(4) 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 【变式训练】【2017届某某抚州市七校高三理上学期联考】,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ） A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C考点：原命题与它的逆否命题之间的关系． 知识： 一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 二．四种命题及其关系 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝逆否命题若q ⌝，则p ⌝即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。