一个有趣的圆内接四边形面积最大值

圆内接四边形面积最大值的探究数学解题教学中，特殊法是常用的一种思想方法.比如，“问道于零”可以解决实数的很多是非判断题，特值法是解决代数式问题常用的方法，在解决图形问题时常常脱口而出“中点法”——倍长中线，遇见中点找中点，中点相连中位线…教材编写的体例也是遵循这一原则，比如四边形→平行四边形→特殊平行四边形.从平时的教学来看，绝大部分学生已经把这当作研究和解决问题的“常规思维”，中考复习教学时，笔者总是要求自己和学生在此基础上再经历一个由特殊到一般的过程，感觉对问题的分析更深入，方法的衍生更具有生长的空间，收获很大.本文介绍一类圆内接四边形面积最大值的探究过程，希望得到同行的批评指正.一、问题呈现如图1，在⊙O 中，1,1r AB BC ===，求圆内接四边形ABCD 面积的最大值.解析 如图2，连结AC ，由条件易得120ABC ∠=︒，AC =ABC S ∆=. 要使四边形ABCD 的面积最大，只需ADC ∆的面积最大，即点D 是弦AC 的中垂线与圆的交点.此时，,,D O B 三点共线，四边形ABCD 反思 本题的关键是发现对角线AC 为定值，再将四边形面积的最大值问题转化为圆上的点到直线距离的最大值问题.但1AB BC ==这个条件太强，于是笔者从边长和角度两方面对条件进行弱化，并由此得到了两个与圆内接四边形面积最大值有关的结论.二、条件变式变式1 如图3，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AB a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.解析 如图4，连结AC ，因为弦AB 和BC 已知，则AB ，BC ，AB BC +也随之确定，所以弦AC 是定值.那么，解题思路与原题相同，当点D 是AC 中垂线与圆的交点，即DA DC =时，四边形ABCD 的面积最大.那么，如何计算此时的最大面积呢?思路1 先分别求出ACD ∆和ABC ∆的面积再相加.但,a b 如果不是特殊值，D ∠和B ∠就不是特殊角，那么AC 的计算过程会特别复杂，所以不适用.思路2 根据前面的分析，当四边形ABCD 面积最大时，有DA DC =，即BD 平分ABC ∠.常规的辅助线是作旋转.如图5，连结DB ，将DAB ∆绕点D 逆时针旋转，使得DA 与DC 重合，与DBC ∆拼接成等腰三角形'DBB ∆，且'BB a b =+.此时四边形的最大面积等于'DBB ∆的面积，但同样因为,a b 的非特殊性，使得'DBB ∠不是特殊角，从而导致面积求解困难，所以此方法也不适用.思路3 在同圆或等圆中，除了等弧所对的弦相等外，平行弦所夹的弧相等，则所夹的弦也相等.于是笔者再次尝试.如图6，连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).因为BF AD DC EC ===，所以四边形BCEF 是等腰梯形，且它的面积与四边形ABCD 的面积相等.如图8，再过点O 作,EF BC 的垂线，垂足分别为点,P Q .又因为,EF AB a BC b ===，所以OP =OQ =由梯形面积公式，可得 max ()BCEF ABCD S S =四边形四边形1(2a b =++ 如果把问题中“邻边已知”改为“对边已知”，情况又会怎么样呢?变式2 如图9， ⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AD a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.解析从条件来看，AD 与BC 是对边，也就不存在“弦AC 是定值”这样的结论.难道圆内接四边形面积最大值的公式仅限于“有一组邻边已知”的条件?上述“通过旋转改变四边形边与边的相邻关系，但不改变四边形面积”的思路为本题做了铺垫.如图10，同样连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).,BF AD a BC b ===，问题转化为变式1，解法同上，可得max 1()(2ABCD S a b =++四边形. 评注 在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性，通过旋转巧妙地改变了四边形边与边的相邻关系.一方面，“邻边”向“对边”转化有效地解决了面积最大值的求解问题;另一方面，“对边”向“邻边”转化，完善了圆内接四边形面积最大值与边有关的结论. 由变式1和变式2，可得结论:命题1 若⊙O 是四边形ABCD 的外接圆且半径为r ，已知四边形任意两边的长为,a b ，则四边形ABCD 面积的最大值为max 1()(2ABCD S a b =++四边形 ① 结论再反思 边是定值，则边所对的圆心角、圆周角、弧的度数也是定值;那反过来，如果给定的是圆心角、圆周角、弧的度数，也可转化为上述变式中边已知的情况，结论依然成立.在圆内接四边形中，一组邻边已知，则这组边所对的一个四边形内角是定值;反过来，已知一个四边形的内角，但无法确定四边形的任何一边.于是，笔者尝试从角度入手，进一步弱化边的条件，来增加四边形顶点中动点的个数.请见以下变式.变式3 如图12，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AB BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.解析 如图13，连结AC ，由2AB BCm θ+，可得2AC θ=，则弦AC 是定值. 在四边形ABCD 中，不妨假设,A C 是定点，则,B D 是动点.分别过点,B D 作AC 的垂线，垂足是点,Q P ，则1()2ABCD S AC DP BQ =+四边形. 再连结BD ，因为斜大于直，2DP BQ BD r +≤≤.所以，当四边形ABCD 面积最大时，BD 过圆心O 且垂直于AC ，即BD 是AC 的中垂线(如图14).连结,OA OC ，因为2AC θ=，则ADC AOB θ∠=∠=，可得2sin AC r θ=，所以2max 1()2sin 22sin 2ABCD S r r r θθ==四边形. 根据前面的探究经验，可继续研究把“相邻弧的度数和”改为“相对弧的度数和”的情况.请见以下变式.变式4 如图15，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AD BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.解析 连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).因为BF AD =，则2BF BCm θ+，故问题转化为了变式3.同理，可得2max max ()()2sin ABCD BCEF S S r θ==四边形四边形.进一步发现，当四边形BCEF 面积最大时，EB 是FC 的中垂线，即BF BC =，EF EC =.如果将旋转后的图形还原，就有,AD BF BC AB EF EC DC =====，此时四边形ABCD 是矩形(如图17).通法归类在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性，通过旋转巧妙地改变了圆周上弧与弧的相邻关系，从而将“对弧”的条件向“邻弧”的条件转化，并由此得出圆内接四边形面积最大值与角度有关的结论。

圆内接多边形的面积最大值解释说明1. 引言1.1 概述圆内接多边形是指一个正多边形的顶点都位于同一圆上，并且这个圆与多边形的边完全“接触”。

研究圆内接多边形的面积最大值对于数学和几何学领域具有重要意义。

本文旨在探讨圆内接多边形面积的计算方法以及影响其面积最大值的因素。

1.2 文章结构本文共分为五个部分，各部分主要内容如下：1) 引言部分概述了本文的研究背景和目标；2) 圆内接多边形的面积计算方法介绍了相关特征、性质以及推导面积公式的方法；3) 影响圆内接多边形面积最大值的因素分析包括边数、圆心角和边长等因素对面积的影响；4) 确定圆内接多边形最大面积方法与实现过程阐述了确定目标函数与约束条件、选择合适的最优化算法，并介绍了求解过程；5) 结论总结本文所研究的内容，提出未来研究的发展方向。

1.3 目的本文旨在研究圆内接多边形的面积最大值，并探讨影响其面积最大值的因素。

通过深入分析和计算具体案例，提出求解圆内接多边形最大面积问题的方法与实现过程，为相关领域的研究提供理论和方法支持。

此外，本文还将总结研究结果并指明未来研究方向，以促进该领域的进一步发展。

2. 圆内接多边形的面积计算方法2.1 圆内接多边形的特征与性质圆内接多边形是指所有顶点都位于同一个圆上的多边形。

这些多边形有一些特征与性质，值得我们研究和探索。

首先，对于任意一个圆内接多边形，它的每条边都与该圆的切线相切。

这是因为切线与半径垂直，并且过切点作该切线垂线必定会经过圆心。

其次，圆内接多边形的各个顶点处皆可构成一个等腰三角形。

由于半径垂直于圆的切线，并且等腰三角形两腰相等，则每条边所对应的两个半径均相等。

2.2 圆内接多边形的面积公式推导方法我们希望能够找到一种准确计算圆内接多边形面积值的公式，以便进一步研究和分析。

假设我们有一个正n边形（n大于等于3）在一个半径为r的圆内，我们可以从中心点引出n条半径。

将该正n边分成n个扇区，每个扇区的面积可以表示为圆心角θ与半径r的乘积的一半。

二圆内接四边形的性质及判断定理[ 对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD 内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠ C＝ 180°，∠ B＋∠D＝ 180 °.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠ CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判断(1)判断定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆．[ 对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例 1]如图，AB是⊙ O的直径，弦BD ， CA 的延伸线订交于点E，EF垂直BA 的延伸线于点 F.求证：∠DEA ＝∠ DFA.[思路点拨]此题主要考察圆内接四边形判断及性质的应用．解题时，只要证A， D， E，F四点共圆后可得结论．[证明 ]连结AD.由于AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝ 90 °又.EF⊥ AB ，∠EFA＝ 90°，所以A，D ，E， F四点共圆．所以∠ DEA ＝∠ DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角， 可用来作为三角形相像的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数比为4∶ 3∶5，求四边形各角的度数．解： 设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 4x,3x,5x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180°，可得 4x ＋ 5x ＝ 180°∴.x ＝ 20°.∴∠ A ＝ 4×20°＝80°，∠ B ＝ 3× 20°＝ 60°，∠ C ＝ 5× 20°＝ 100°，∠ D ＝ 180°－∠ B ＝ 120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延伸 AD ，BC 订交于点 E ，点 F 是 BD 的延伸线上的点，且 DE 均分∠ CDF .(1)求证： AB ＝ AC ；(2)若 AC ＝ 3 cm ， AD ＝ 2 cm ，求 DE 的长．解： (1)证明：∵∠ ABC ＝∠ 2，∠ 2＝∠ 1＝∠ 3，∠ 4＝∠ 3，∴∠ ABC ＝∠ 4.∴ AB ＝ AC.(2)∵∠ 3＝∠ 4＝∠ ABC ，∠ DAB ＝∠ BAE ，∴△ ABD ∽△ AEB.∴AB ＝ AD .AE AB∵ AB ＝ AC ＝ 3，AD ＝ 2，2∴ AE ＝AB＝9.AD 2∴ DE ＝9－ 2＝ 5(cm).2 2圆内接四边形的判断[例 2]如图，在△ ABC 中， E ， D ，F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，且 AP ⊥ BC 于 P.求证： E ， D ， P ， F 四点共圆．[思路点拨 ]可先连结PF ，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC ，证明∠ FPC ＝∠ C，再证明∠ FPC ＝∠ FED 即可．[证明 ]如图，连结PF ，∵AP⊥ BC， F 为 AC 的中点，∴PF＝1 AC.2∵FC＝1 AC，2∴PF＝ FC .∴∠ FPC＝∠ C.∵E、 F、D 分别为 AB， AC， BC 的中点．∴ EF∥ CD ，ED ∥ FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠ FED ＝∠ C.∴∠ FPC＝∠ FED .∴ E， D， P， F 四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必定点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．3．判断以下各命题能否正确．(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不仅一个；(2)矩形有独一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解： (1)错误，随意三角形有独一的外接圆；(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点的距离相等；(3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4) 正确，由于正多边形的中心到各极点的距离相等．4．已知：在△ ABC 中， AD＝ DB ，DF ⊥AB 交 AC 于点 F ，AE＝ EC，EG⊥ AC 交 AB 于点 G.求证：(1)D 、E、 F、 G 四点共圆；(2)G、B、 C、 F 四点共圆．证明： (1) 如图，连结 GF ，由DF ⊥AB，EG⊥ AC，知∠GDF ＝∠ GEF ＝ 90°，∴ GF 中点到 D、 E、F 、 G 四点距离相等，∴ D、 E、 F、 G 四点共圆．(2)连结 DE.由 AD＝ DB ， AE＝ EC，知 DE ∥BC，∴∠ ADE＝∠ B.又由 (1)中 D、 E、 F 、 G 四点共圆，∴∠ ADE＝∠ GFE .∴∠ GFE＝∠ B.∴ G、 B、 C、 F 四点共圆 .圆内接四边形的综合应用[ 例 3] 如图，已知⊙ O1与⊙ O2订交于 A、 B 两点， P 是⊙ O1上一点， PA、PB 的延伸线分别交⊙ O2于点 D 、 C，⊙ O1的直径 PE 的延伸线交 CD 于点 M.求证： PM ⊥ CD.[思路点拨 ]⊙ O1与⊙ O2订交，考虑连结两交点A、B 得公共弦AB；PE 是⊙ O1的直径，考虑连结 AE 或 BE 得 90°的圆周角；要证PM ⊥ CD ，再考虑证角相等．[证明 ]如图，分别连结 AB， AE，∵A、B、C、 D 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ D.∵A、E、B、P 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ AEP.∴∠ AEP＝∠ D.∴A、 E、M 、 D 四点共圆．∴∠ PMC ＝∠ DAE .∵PE 是⊙O1的直径，∴ EA⊥ PA.∴∠ PMC ＝∠ DAE ＝ 90°.∴PM⊥ CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，而后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论建立．5.如图， P 点是等边△ ABC 外接圆的BC上一点， CP 的延伸线和AB 的延伸线交于点D，连结 BP .求证： (1) ∠D ＝∠ CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明： (1) ∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ A＝ 60°.∴∠ DBC＝ 120°.又∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴∠ BPC＝ 180°－∠ A＝ 120°.∴∠ BPC＝∠ DBC .又∵∠ DCB ＝∠ BCP，∴△ BCP∽△ DCB .∴∠ D＝∠ CBP.(2)由 (1)知△ BCP∽△ DCB ，∴BC＝CP.DC CB∴CB2＝ CP·CD .又CB＝ AC，∴ AC2＝ CP·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上，且 BD ＝1BC，CE＝1CA，33AD， BE 订交于点P.求证： (1) 四点 P，D ， C， E 共圆；(2)AP⊥CP.解： (1)证明：在△ ABC 中，由BD ＝1BC， CE＝1CA 知：33△ABD≌△ BCE，即∠ ADB＝∠ BEC，即∠ ADC ＋∠ BEC＝ 180°，所以四点 P，D ，C， E 共圆．(2)如图，连结DE.在△ CDE 中， CD＝ 2CE，∠ACD＝ 60°，由余弦定理知∠CED ＝90°.由四点 P， D， C， E 共圆知，∠DPC＝∠ DEC ，所以 AP ⊥CP.[ 对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，② sin A＋ sin C＝ 0，③ cos B＋ cos D＝ 0，④ cos B＝cos D.此中恒建立的关系式的个数是 ()A． 1B． 2C． 3D． 4分析：由于圆内接四边形的对角互补，故∠ A＝ 180°－∠ C，且∠ A，∠ C 均不为 0°或 180°，故①式恒建立，②式不建立．相同由∠ B＝180°－∠ D 知，③式恒建立．④式只有当∠B＝∠ D＝ 90°时建立．答案： B2．圆内接四边形A． 4∶ 2∶3∶ 1 C． 4∶ 1∶3∶ 2分析：由四边形ABCD 中，∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 ()B． 4∶ 3∶1∶ 2D．以上都不对ABCD 内接于圆，得∠A＋∠ C＝∠ B＋∠ D，进而只有 B 切合题意．答案： B3．如图，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形， E 为AB 的延伸线上一点，∠CBE＝ 40°，则∠ AOC等于 ()A． 20 °B． 40 °C． 80 °D． 100°分析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠ D ＝∠CBE ＝ 40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝ 2∠D ＝80°.答案： C4．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，以下结论中正确的有()①假如∠ A＝∠ C，则∠ A＝ 90°；②假如∠ A＝∠ B，则四边形ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 1∶ 2∶3∶ 4A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个分析：由“圆内接四边形的对角互补” 可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D 的特例 )；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额一定相等 (这里 1＋3≠ 2＋ 4)．所以得出①③正确，②④错误．答案： B二、填空题5． (2014 陕·西高考 )如图，△ ABC 中， BC＝ 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交AB ， AC 于点E， F，若 AC＝ 2AE，则 EF＝ ________.分析：∵ B，C， F， E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ ACB，又∠ A＝∠ A，∴△ AEF∽△ ACB，∴AE＝EF，AC BC即1＝EF，∴ EF ＝ 3.2 6答案： 36．如图，直径 AB＝ 10，弦 BC ＝8，CD 均分∠ ACB，则 AC ＝______，BD＝ ________.分析：∠ ACB＝90°，∠ ADB ＝90°.在Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ AB2－ BC2＝ 6.又∵ CD 均分∠ ACB.即∠ ACD＝∠ BCD，∴AD＝BD .∴ BD＝AB2＝5 2.2答案： 6 5 27．如图，点A， B，C， D 都在⊙ O 上，若∠ C＝ 34 °，则∠ AOB＝ ________，∠ ADB ＝________.分析：∵∠ C 和∠ AOB 分别是AB所对的圆周角与圆心角，∴∠ AOB＝ 2∠ C＝ 68°.∵周角是 360°，劣弧 AB 的度数为68°，∴优弧 AB 的度数为292°.1∴∠ ADB＝× 292°＝ 146°.答案： 68° 146°三、解答题8.已知：如图，E、 F 、 G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线 AC 与 BD 订交于 O 点，求证： E，F ， G， H 共圆．证明：法一：连结EF、FG、GH、HE .∵E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，∴ EF∥ AC.同理 EH∥ BD .∴∠ HEF ＝∠ AOB.∵AC⊥ BD ，∴∠ HEF ＝ 90°.同理∠ FGH ＝ 90°.∴∠ HEF ＋∠ FGH ＝ 180°.∴ E、 F、G、 H 共圆．法二：连结 OE、 OF、 OG、OH .∵四边形 ABCD 为菱形．∴AC⊥ BD ，AB＝ BC＝ CD＝DA .∵ E、 F、G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，∴OE＝1AB， OF＝1BC，22OG＝1CD ， OH＝1DA . 22∴OE＝OF ＝ OG ＝ OH.∴E， F，G， H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上．故E， F ，G， H 四点共圆．9.如图， A， B， C， D 四点在同一圆上，AD 的延伸线与BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED .(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD 到 F ，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，证明： A， B， G， F 四点共圆．证明： (1) 由于 EC＝ ED，所以∠ EDC ＝∠ ECD .由于 A， B， C， D 四点在同一圆上，所以∠ EDC ＝∠ EBA.故ECD＝∠ EBA.所以 CD ∥ AB.(2)由 (1)知， AE＝ BE.由于 EF ＝EG，故∠ EFD ＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连结 AF ，BG，则△ EFA≌ △ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.又CD ∥AB，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG ＋∠ GBA＝ 180°.故 A， B，G， F 四点共圆．10．如图，已知⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ ACB.(2)求△ ABD 的最大面积．解： (1)连结 OA、 OB，作 OE⊥ AB， E 为垂足，则AE＝BE .Rt△ AOE 中， OA＝2.AE＝1AB＝1× 2 3＝ 3. 22AE3所以 sin ∠AOE＝＝，∴∠ AOE＝ 60°，∠ AOB＝ 2∠AOE＝ 120°.又∠ ADB＝1∠ AOB，2∴∠ ADB＝ 60°.又四边形 ACBD 为圆内接四边形，∴∠ ACB＋∠ ADB ＝ 180°.进而有∠ ACB＝180°－∠ ADB ＝120°.(2)作 DF ⊥ AB，垂足为F，则△1A B·DF ＝1× 23× DF ＝ 3DF .S ABD＝22明显，当DF 经过圆心 O 时， DF 取最大值，进而 S△ABD获得最大值．此时 DF ＝ DO ＋ OF＝3， S△ABD＝3 3，即△ ABD 的最大面积是 3 3.。

椭圆内接过焦点的平行四边形面积最大值
1、当（根号2）/2≤e＜1时，最大面积为2ab
2、当0＜e＜（根号2）/2时，最大面积为4c(b^2)/a
其中e为该椭圆的离心率c/a
看到跟椭圆一部分的面积有关的问题，就把椭圆沿x轴（或y轴）等比例缩放，将椭圆缩放成圆，这样很好处理面积，做弦心距就行，还有勾股定理能用~你可以自己先试一下，而且这道题把椭圆缩放成圆的同时，平行四边形被缩放成了矩形（圆内的平行四边形都是矩形），处理它的面积更是得心应手~，最后别忘了再把面积缩放回来，把矩形的面积再乘个缩放比例系数就行~
我是把椭圆沿x轴缩放的，只要把原来的所有点的横坐标都乘以b/a，这样椭圆就缩放成了半径为b 的圆，焦点坐标变为（正负）cb/a
缩放后我就设过焦点的弦的弦心距为x，然后就是解决一个二次函数的问题。

直径为4的圆内接矩形最大面积
正如九年级的学生需要学习的那样，圆的最大面积是既定的，而内接矩形的最大面积可以通过计算求得。

求解直径为4的圆内接矩形最大面积，首先，把该问题又转化为求一个直径为4的圆周围的矩形最小面积，因为圆内接矩形的最大面积等于圆外接矩形的最小面积：
（1）根据扇形的性质，知道直径为4的圆周围有4条等分线：将4条等分线顺序连接起来，形成一个四边形，此四边形的最小面积即为外接矩形的最小面积。

（2）因为圆的面积为πr2，即有π×4×4=16π，那么外接矩形的最小面积为16π。

（3）因此，直径为4的圆内接矩形最大面积为16π。

综上所述，可以总结为：
1. 直径为4的圆周围有4条等分线；
2. 连接起来形成一个四边形，外接矩形的最小面积为16π；
3. 直径为4的圆内接矩形最大面积即为16π。

圆内接四边形的面积公式在讨论了三角形的面积之后，我们将讨论一些求解四边形面积的公式。

由于任何四边形都可以看作是两个三角形被一条对角线分割的组合，所以我们给出的近百个三角形面积公式都可以用来求解四边形的面积，但是四边形也有自己的特点。

本文的目的是找出其特征，并推导出求面积的特殊公式。

注:本文讨论的四边形都是凸四边形。

就像三角形一样，在讨论之前，我们先给出四边形基本元素的记法。

如下图所示的四边形ABCD：我们记AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，A，B，C，D为四个顶点所在的角度，对角线AC=m，BD=n，它们的夹角取锐角，记为\theta ，交点记为O，四边形的面积记为S。

由于四边形与三角形不同，即便是给出了四边形的四条线段的长度，也无法确定一个四边形，即给出四条指定长度的线段，由它们围成的四边形不止一个（至于有几个，不在本文的探讨范围之内），但是如果知道了四边形的两条对角线的长度以及它们的夹角却可以求解面积，若要确定四边形的形状，则只需要再知道它们的交点位置即可，所以第一个四边形的面积就出现了，如下推导：S=S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot BO\cdot sin\theta +\frac{1}{2}AC\cdot DO\cdot sin\theta=\frac{1}{2}AC\cdot (BO+DO)\cdot sin\theta=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sin\theta=\frac{1}{2}mnsin\theta我们记为四边形的面积公式一。

与我们在《三角形的面积公式七》中所讲述一样。

公式一是用两条对角线的长度及其夹角来求解四边形的面积，但是在通常的计算和问题中，我们总是会遇到知道四条边长，而不知道对角线长的情况，所以我们还是得要寻求以边长来求解面积的公式，可是前面说了，只知道四条边的长度没法确定一个四边形，那么面积也就不确定，为此，我们还需要一个量来确定形状，结合公式一，我们可以想到保留\theta 角，而用四条边长来替代对角线，而能够用长度和角度来求解长度的就是余弦定理。

圆的内接三角形面积最大值证明在数学的世界里，有些问题看似简单，但背后的推理却足够精彩，比如我们今天要探讨的这个话题——圆的内接三角形面积的极限问题。

听起来很高大上，其实就是在讨论如果你把一个三角形尽量塞进一个圆里，能有多大。

咱们就来探个究竟吧！大家都知道圆是个狡猾的家伙，它无论怎么塞，总有一种本事把这个三角形给最大化。

想象一下，你要在一张A4纸上画个尽量大的圆，再画个尽量大的三角形，然后硬塞进去，这是个不可能完成的任务，但是数学不同，它能告诉我们究竟有多大。

假设你有个圆，然后随便找一个三角形，硬往里塞。

第一次，你可能塞个正三角形，每个角60度，但总觉得没那味道。

于是你换个方案，塞个矩形进去，哎呀，太方了，太正了，圆说不行，得圆润一点。

接着你又换个长方形，不是矩形，是长方形，试试看。

这时候圆不满意了，说这个形状不行，有点儿像猪圈。

这就是数学和形状的斗争，哎呀，一塞就乱了。

然后，你突然来了个灵感，塞个正方形进去，感觉好像差不多了，四个角都刚刚好，圆也挺喜欢的。

不过你得想办法把这个正方形往圆里面塞得更多，让圆更满意。

这时候就得考虑一下，怎么样才能把这个正方形扭到极致，塞到圆里的时候，圆说“嗯，这样还差不多，不错，不错”。

你可能会问，为啥要这么费劲塞进去？其实这背后还有个很深的数学问题，就是我们要找出这个三角形面积的极限值，也就是说，圆说“我看你们塞的这个形状不错，我接受了”，但是再往里面塞，圆说“哎呀不行啊，这个太大了，不合适”。

数学家们为了解决这个问题，就想了一大堆的办法，比如用“导数”的这一手法，啊，不要怕，这就是数学家们经常用的一招，“导数”就像是个神奇的放大镜，能让你看到形状变化的细节。

他们把这个三角形面积的极限值计算了出来，说“嗯，最大就是这个值了，再往大了就不行”。

所以啊，圆的内接三角形面积最大值，不是说随便塞进去一个三角形，就能满足的，它有它的规律，有它的极限。

数学告诉我们，这个极限就是圆和三角形的一种“最和谐”的状态，就像是你和你的小伙伴打游戏，一起玩得正好，不多不少，刚刚好。

关于四边形面积的最大值问题：设四边形ABCD 的四边分别为a 、b 、c 、d （均为定值），求该四边形面积的最大值. 我们先解决第一个问题：由于四边形的不稳定性，在角度变化的过程中可满足一个对角互补（即四点共圆的状态）由余弦定理：a ²+b ²-2abcos α=c ²+d ²-2cdcos β，下面确定当对角互补时的角度余弦值：a ²+b ²-2abcos α=c ²+d ²-2cdcos （180°－α）即：（2ab +2cd ）cos α= a ²+b ²-（c ²+d ²）则cos α= 2222()2()a b c d ab cd +-++ 还需证明该三角方程有解，即-1＜2222()2()a b c d ab cd +-++＜1， 下证：先证左边，由a+b+c ＞d 得：2222()2()a b c d ab cd +-++＞2222()22()a b c a b c ab c a b c +--+++++=-1； 再证右边，同法由b+c+d ＞a 得：2222()2()a b c d ab cd +-++＜2222()2()2b c d b c d b c d b cd+++--+++=1； 再解决第二个问题：4S 四边形ABCD =2absin α+2cdsin β又a ²+b ²- c ²-d ²=2abcos α-2cdcos β将两等式平方相加得：（4s ）²=4a 2b 2+4c 2d 2-a 2-b 2+c 2+d 2-8abcos （α+β）当α+β=180°时，S 有最大值，此时也可用圆内接四边形的面积公式海伦公式求出：s =A C。

圆内接四边形的性质在几何学中，圆内接四边形是指四边形的四个顶点都能与一个圆相切。

在本文中，我们将探讨圆内接四边形的性质。

一、面积对于圆内接四边形ABCD，其面积可以通过下面的公式计算：S = (AD × BC)/2其中，AD表示对角线AD的长度，BC表示对角线BC的长度。

二、对角线的关系在圆内接四边形中，对角线的乘积等于两条对边的乘积，即AD ×BC = AB × CD。

这一性质也被称为圆内接四边形的对角线定理。

三、周长圆内接四边形的周长可以通过下面的公式计算：P = AB + BC + CD + DA其中，AB、BC、CD和DA分别表示四边形的四条边的长度。

四、正方形和矩形的特殊情况当圆内接四边形是正方形时，它的对角线相等且垂直平分对方角。

而当圆内接四边形是矩形时，它的对角线相等且相交于对角线的中点。

五、圆内接四边形和三角形的关系对于一个圆内接四边形ABCD，将其顶点A、B、C和D分别与圆心O连接，我们可以得到四个扇形AOB、BOC、COD和DOA。

而这四个扇形的总和等于一个完整的圆，即AOB+BOC+COD+DOA = 360°。

六、欧拉公式对于任意圆内接四边形ABCD，其顶点A、B、C和D所构成的四个角的外角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D = 360°。

七、特殊情况下的圆内接四边形如果一个圆内接四边形是菱形或者平行四边形，那么它的性质和这些特殊四边形的性质相同。

例如，菱形内接圆的对角线相互垂直且平分对角线的夹角。

综上所述，圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括面积关系、对角线的关系、周长计算公式以及和其他几何形状的关系。

这些性质在解决几何问题中起到了重要的作用，为我们提供了简化问题和推导结论的便利。

圆内接四边形的性质是几何学中的基础知识，对于进一步学习和应用几何学知识具有重要的意义。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题24.5 圆内接四边形【六大题型】【人教版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 (1)【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 (5)【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 (9)【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 (13)【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 (16)【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 (20)【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD 的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD 的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD 的度数．方法二：根据AB 是⊙O 的直径，可以得到∠ADB ＝90°，再根据∠ABD ＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）A．65°B．60°C．55°D．50°【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA ＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，∵四边形OBCD是菱形，∴∠BCD＝∠BOD，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，∴∠BCD＝2∠BAD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴3∠BAD＝180°，∴∠BAD＝60°，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，故选：B．【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是　60°　．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，故答案为：60°．【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝　64　°．【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝BD的长为（ ）A．B．C D．【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=故选：D．【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）A B．C．D．不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，∴∠A＝180°﹣145°＝45°，∵BH⊥AD，AB＝4，∴BH=故选：B．【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）A．1)B．1)C．(−1D．(−2，【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=A（0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝2，∴OA=∴A（0），B（0，2），∴D点坐标为（1）．故选：B．【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是　2x+1　．（用含有x的代数式表示）【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM＝∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD＝∠EPD＝90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B＝∠E，PB＝EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA＝∠B，进而可得：∠E＝∠ECA，然后根据等角对等边可得AE＝AC，进而可得PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，然后将AC＝x，AP＝x+1，代入即可得到PB的长．【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，∵M是弧CAB的中点，∴∠BDM＝∠CDM，∵MP垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPD PD=PD∠BDP=∠EDP，∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．故答案为：2x+1．【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD 的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，∵点C为BD的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）A．3B．6C．9D．12【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC ＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积=12△BEC的面积．【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=CE，∴AD＝CE＝2，∵BC ＝6，∴△BEC 的面积为12BC •CE =12×6×2＝6，∵OB ＝OE ，∴△BOC 的面积=12△BEC 的面积=12×6＝3，故选：A ．【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，点E 在CD 的延长线上，且DE ＝BC ，连接AE ，若AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为　8　．【分析】如图，连接AC ，BD ．由△ABC ≌△ADE （SAS ），推出∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，推出S 四边形ABCD ＝S △ACE ，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC ，BD ．∵∠BCD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ADE +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE ，∵AB ＝AD ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，∴∠CAE ＝∠BAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE =12×4×4＝8．故答案为8．【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC ＝AC 为弦的⊙O 上有B 、D 两点，且∠BAC ＝∠DAC ，则四边形ABCD 的面积最大值为　4　．【分析】如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．S 四边形ABCD ＝S △ACT ，因为AC ＝CT ＝以当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大．【解答】解：如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠B ＝∠CDT ，∴∠ADC +∠CDT ＝180°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACT ，∵AC ＝CT ＝∴当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大，最大值=12××=4．故答案为：4．【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD ，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC ，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB ．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC ＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC ＝∠2+∠5，故A ，B ，D 都正确，∵BC 和DC 不一定相等，∴BC 与DC 不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C 错误，故选：C ．【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，故选：C．【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．【解答】解：连接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．故选：C．【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP 交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）①∵P是AB的中点，∴PB=PA，∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分线段AB，∴PC是直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②PC＝PA+PB成立；证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°，AP=AH∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=．【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．【解答】解：（1）连接AC，∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，所以圆O的半径为3；（2）∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∵AC为圆O直径，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD为矩形．∵AD=AB，∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，在BP上截取BE＝DP，∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=，∴PB＝PD．【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【解答】证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD=BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明△ADC≌△EBC即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC∠DAC=∠E，AC=EC∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G 为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．求证：∠EAF+∠G＝180°．【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，再由∠ABC+∠ABD＝180°，可得出∠GEA+∠GFA＝180°，由四边形AEGF的内角和为360°即可得出结论．【解答】证明：连接AB∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠GEA+∠GFA＝180°．∵四边形AEGF的内角和为360°，∴∠EAF+∠G＝180°．【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠DEC＝∠B，然后利用等角对等边得到结论．（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠A+∠BDE＝180°∵∠EDC+∠BDE＝180°∴∠A＝∠EDC，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠OEA＝∠CEF∴∠A＝∠CEF∴∠EDC＝∠CEF，∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°即∠DEF+∠DCE＝180°，又∵∠DCG+∠DCE＝180°∴∠DEF＝∠DCG，∵∠EDC旋转得到∠FDG∴∠EDC＝∠FDG∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC即∠EDF＝∠CDG，∵DE＝DC∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF＝DG．【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC和∠DAC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°；（2）∠BAC＝2∠DAC．证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE，∴∠BAC＝2∠DAC．【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】先过点A、B、C作⊙O，分类讨论：当点P在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得∠BPC+∠A ＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【解答】解：过点A、B、C作⊙O，如图，当点P在⊙O上，则∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，则∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，∵∠A+∠DCB＝180°，∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A；（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＝∠2，∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，∠ACB＝∠1，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．。

圆内接四边形公式圆内接四边形，这可是个挺有趣的数学概念呢！咱先来说说啥是圆内接四边形。

简单来讲，就是四边形的四个顶点都在同一个圆上，那这个四边形就叫圆内接四边形。

在圆内接四边形中有个重要的公式，那就是对角互补。

啥意思呢？就是相对的两个角加起来等于 180 度。

比如说，角 A 和角 C 是相对的角，那角 A + 角 C = 180 度；角 B 和角 D 是相对的角，角 B + 角 D 也等于 180 度。

给您讲讲我曾经遇到的一件事儿吧。

有一次我给学生们讲这个知识点，有个特别调皮的学生小孙，他一脸迷茫地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“小孙啊，你想想，假如咱们要盖一个圆形的花园，然后在里面设计一个四边形的亭子，那这个对角互补的知识就能帮咱们算出每个角的大小，让亭子盖得稳稳当当，美观又实用，你说是不是？”小孙眨眨眼，好像有点明白了。

那这个公式怎么用呢？比如说，已知一个圆内接四边形的一个角是60 度，那相对的那个角就是 180 - 60 = 120 度。

通过这个公式，咱们可以在知道其中一个角的情况下，快速求出相对角的度数。

而且啊，这个公式还能帮咱们证明一些其他的定理和结论。

比如在解决一些几何证明题的时候，如果能巧妙地运用圆内接四边形的对角互补，就能让思路一下子清晰起来。

再深入一点，从圆的性质出发，咱们能推导出圆内接四边形的很多有趣的性质和结论。

这就像是解开一个个神秘的小谜团，每解开一个，都能让咱们对数学的理解更上一层楼。

比如说，咱们可以通过这个公式来计算四边形的边长、面积等等。

假设我们知道了圆的半径和四边形的一些角度，就能通过一系列的计算得出四边形的各种参数。

在实际生活中，圆内接四边形的公式也有不少应用呢。

像建筑设计、工程测量，甚至是一些艺术创作中，都可能会用到这个知识。

总之，圆内接四边形公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就能发现它的妙处。

就像那个调皮的小孙，后来在做题的时候，用起这个公式可熟练了，还跟其他同学炫耀呢！所以啊，同学们，可别小看了这个公式，它可是咱们解决很多数学问题的有力武器哟！好好掌握它，让咱们在数学的海洋里畅游得更欢快！。