圆内接四边形拔高练习题

中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°.求∠OCB及弧DC的度数.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥DC，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD=86°，则∠PCE= °，⌒ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，弧AB=弧AD，∠BCD=120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=37 ,求DE的长.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M，已知AC=11,CD=7,求CM的长.例3.如图，在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD，CD，CD与AP交于点E. 求证：∠1=∠2.练：如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°，则∠ACB= °.例题2，如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于点G，EF⊥BD于点F.求证：FG∥BC6.如图，已知△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转x度（α为锐角），得到△ADE，连接BE，CD，延长CD交BE于点F.（1）用含有x的代数式表示∠ACD的度数为；（2）求证：点B，C，A，F四点共圆.（3）求证：点F为BE的中点.7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2.求AD的长度，课后习题：1.如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠A+∠BOD=150°，则∠DCE= °2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C的度数之比为2：3，且弧AD的度数为100°，则弧AB的度数°3,如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且DB=DC.AC是直径，若∠ACB=52°，则∠DAE= °4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠A=120°，CF⊥AB于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为5.如图，已知P为长方形内一点，S△P AB=5, S△PBC=12, 则S△PBD=6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）7.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.8.如图，已知△ABC中，AH是高线，AT是角平分线，且TD⊥AB于点D，TE⊥AC于点E.求证：∠AHD=∠AHE.。

初中数学：圆内接四边形练习（含答案）知识点 1 圆内接四边形的性质——圆内接四边形的对角互补1．2016·丽水如图3－6－1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．已知∠ BCD＝110°，则∠BAD＝_______ °.2．已知四边形ABCD内接于⊙ O，且∠ A∶∠C＝1∶2，则∠A＝_____ °.图3－6－23．如图3－6－2，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，那么∠ AOC＝4．如图3－6－3，AB是半圆O的直径，C，D 是AB上两点，∠ ADC＝120°，则∠ BAC＝图3－6－3图3－6－45．如图3－6－4，点A，B，C，D都在⊙ O上，∠ B＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙ O的直径是____ ．6．在圆内接四边形ABCD中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，求∠ D的度数．CD.7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙ O，AD∥BC，求证：AB＝图3－6－5知识点 2 圆内接四边形的性质的推论——圆内接四边形的外角等于其内对角8．2017·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点 E 在AD的延长线上，若∠ ABC＝60°，则∠ CDE的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．70°9．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙ O，点E在BC的延长线上，若∠ BOD＝120°，则∠DCE＝___ °.10．如图3－6－8 所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点 E. 若BC＝BE.求证：△ ADE是等腰三角形．图3－6－6图3－6－811．如图3－6－9，△ ABC 内接于⊙ O ，∠ OBC ＝40°，则∠ A 的度数为 ( ) A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°12．如图 3－6－10，在平面直角坐标系中， ⊙C 过原点 O ，且与两坐标轴分别交于点 A ，B ， 点 A 的坐标为(0，3)，M 是O ︵B 上一点，且在第三象限内．若∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为 ()A ．6B ．5C ．3 2D ．313．如图 3－6－11，已知四边形 ABCD 内接于半径为 4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则 BD ＝图 3－ 6－ 11图 3－6－1014．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．图3－6－1215．(1) 已知：如图3－6－13①，四边形ABCD内接于⊙ O，延长BC至点E，则∠A＋∠ BCD ＝180°，∠ DCE＝∠A.(2) 依已知条件和(1) 中的结论：如图②，若点 C 在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD 与180°的大小关系；如图③，若点 C 在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD与180°的大小关系．(3) 如图3－6－14，四边形ABCD内接于⊙ O，∠DAB＝130°，连结OC，P 是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠ BPD的度数可能为_____ (写出一个即可)．图3－6－14详解详析1．702．60 ［解析］∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠C＝1∶2，∠A＝60°.3．130 ［解析］∵四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，∴∠ ADC＝180 －∠ ABC＝180°－115°＝65°，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×65°＝130°.4．305. 136．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝180°，∠ B＋∠D＝180°.∵∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，设∠ A＝2α，∠ B＝3α，∠ C＝6α，则2α＋6α＝180°，∴α ＝22.5 °，∴∠ B＝3α ＝67.5 °，∴∠ D＝180°－∠ B＝112.5 °.7．证明：∵ AD∥BC，∴∠ A＋∠ B＝180°.∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠ A＋∠ C＝180°，∴∠ B＝∠ C，∴ AC＝BD，∴AC－AD＝BD－AD，即AB＝CD，∴AB＝CD.8．C ［解析］∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠ ABC＝60°，∴∠CDE＝∠ABC＝60°.故选 C.9．60 ［解析］∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°. 又∠ BAD＋∠ BCD＝180 ＝180°，∴∠ DCE＝∠ BAD＝60°.10．证明：∵ BC＝BE，∴∠ E＝∠ BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠ A＝∠ BCE，则∠ A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ ADE是等腰三角形．11．D ［解析］如图，连结OC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40∴∠ BOC＝100∵∠ 1＋∠ BOC＝360°，，∠DCE＋∠ BCD∴∠ 1＝260°.1∵∠A＝2∠1，∴∠A＝130°.故选 D.12．D ［解析］∵四边形ABMO内接于⊙ C，∴∠BMO＋∠BAO＝180°. ∵∠ BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.又∵AO⊥BO，A（0，3），∴AB＝2AO＝6，∴⊙C的半径为 3.故选 D.13．4 3 ［解析］连结OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C ＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠ BOF＝60°. ∵OB＝4，∴ BF＝2 3，∴ BD＝2BF＝4 3.14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点 F.∵∠ADF＋∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补），∠ ABE＋∠ ABC＝180∴∠ ADF＝∠ ABE.在△ AEB与△ AFD中，∠ABE＝∠ADF，∠AEB＝∠AFD，AB＝AD，∴△ AEB≌△ AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF. 又∵∠ E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC.∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠ CAF＝30°.∵AC＝1，∴ CF＝21，AF＝23，15．解：(2) 如图①，连结DE.∵∠ A＋∠ BED＝180°，∠ BED>∠ BCD，∴∠ A＋∠ BCD<180°.如图②，延长DC交⊙ O于点E，连结BE.∵∠ A＋∠ E＝180°，∠ BCD>∠E，∴∠ A＋∠ BCD>180 (3) 答案不唯一，如80∴四边形ABCD的面积＝2S△ ACF＝12×21CF×AF＝11。

2023-2024学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题2.2 圆周角（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.52姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•成武县校级期末）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝128°，则∠B的度数为（）A．128°B．126°C．118°D．116°2．（2分）（2023•遵义模拟）如图点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，则∠ACB的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．90°3．（2分）（2023•岷县校级三模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（）A．5 B．10 C．5D．104．（2分）（2022秋•邯山区校级期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．27°C．26°D．56°5．（2分）（2023•泸县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（）A．3 B．C．D．6．（2分）（2023•封开县一模）已知：如图OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 的度数为（）A．45°B．40°C．35°D．50°7．（2分）（2022秋•高邑县期末）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．56°B．34°C．29°D．28°8．（2分）（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16°B．24°C．12°D．14°9．（2分）（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，有下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD ＝2OF；⑥△CEF≌△BED．其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③④⑤C．②③④⑥D．①③⑤⑥10．（2分）（2021•汉阳区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•浑江区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为．12．（2分）（2023春•兴宁区校级期中）如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为．13．（2分）（2023•宁江区三模）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B ＝°．14．（2分）（2023•阜新一模）如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD ＝．15．（2分）（2023春•青山区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝°．16．（2分）（2023•二道区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为°．17．（2分）（2022秋•盘山县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝34°，则∠ABD的度数为．18．（2分）（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为．19．（2分）（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG＝120°．若CD＝4+2，则△DEG的面积的最小值是．20．（2分）（2021秋•斗门区期末）如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B 重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•新抚区期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的半径．22．（6分）（2022秋•常州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径；（2）连接CD，交⊙O于点G，求证：G是CD的中点．23．（8分）（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．（1）求△ABC的面积；（2）求CE的长．24．（8分）（2022秋•烟台期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．25．（8分）（2022秋•蜀山区校级期末）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD，CD．（1）求证：DB＝DE；（2）若，，求BC的长．26．（8分）（2023•方城县模拟）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O的直径，∠BAC＝∠ADB．（1）试说明△ABC的形状；（2）若，．①求CD的长度；②将△ABD沿BD所在的直线折叠，点A的对应点是A′，连接BA′、CA′，直接写出∠BA′C的度数．27．（8分）（2023•遵义一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．（1）∠DAB的度数为度．（2）求证：DC＝DM；（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD＝，求ME的长．28．（8分）（2022•芙蓉区模拟）如图，AB＝4，点P是⊙O上一点（不与点A、B重合），PC平分∠APB交⊙O于点C，交AB于点D，∠BAC＝60°．（1）连接OA，OB，求∠AOB的度数；（2）求DC•PC的值；（3）若设AP+BP＝x，△PAB的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．。

圆内接四边形一．选择题1．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA、CB分别交半圆于点D，E 若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于（）A．30°B．40°C．45°D．60°二．填空题2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=_________度．3．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，则四边形的面积为_________．三．解答题4．已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．5．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．6．设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP=AQ．7．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC 延长线上一点．（1）求证：∠DCF=∠DAB；（2）求证：；（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．8．如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．9．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于P点．求证：PE⊥PF．10．如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA=PB+PC．。

自学资料一、圆内接四边形【知识探索】1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．【错题精练】例1．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：①OA⊥DB；②CD+CB=2CE；③∠CBA−∠DAC=∠ACB；④若∠DAB= 90∘，则CD+CB=√3CA．其中正确的结论（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. ①③④；B. ①②④；C. ②③④；D. ①②③．【答案】D，例2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30∘，BD是⊙O的直径，如果CD=4√33则AD=．【答案】4．的值是例3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH （）A. ；B. ；C. ；D. 2．【答案】C例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为第2页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（）．A. cmB. 9 cmC. cmD. cm【解答】C【答案】C例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r,∠ODA=45∘，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．【解答】（1）解：∠A+∠C=180，∠C=2∠A，∴∠A=60∘，∴∠BOD=2∠A=120∘（2）证明：连接OB，OC，OD，可以得出△BOC是等边三角形，∴OB=OC=OD=CD，∴四边形OBCD是菱形；（3）解：过D做DH⊥AB与H，∵DH=√62r，BH=√62r，AH=√22r，∴S△ABD=3+√34r2．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）∠BOD=2∠A=120∘；（2）略；（3）S△ABD=3+√3r2．4例6．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40∘，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．【解答】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF=50∘；（2）证明：令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180∘−2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90∘−α，∴∠CFD+∠FCD=α+(90∘−α)=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．【答案】（1）∠CBF=50∘；（2）CD⊥DF．例7．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．第4页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC⋅AF=DF⋅FE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠DCB+∠DAB=180∘，∵∠MCD+∠DCB=180∘，∴∠MCD=∠DAB，∵CD为∠BCA的外角的平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，∴∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA，∴DB=DA，∴△ABD为等腰三角形．（2）证明：由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF①∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180∘，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，同理∠DCA=∠AFE∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，∴△CDA∽△FAE，∴即CD⋅EF=AC⋅AF，又由①有AC⋅AF=DF⋅EF．【答案】（1）略；（2）略．例8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】例9．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．第6页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】见解析例10．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第10页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】【举一反三】1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78∘，则∠EAC=度．【答案】27．2．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D=78∘，则∠EAC=（）A. 37°；B. 32°；C. 21°；D. 18.5°．【答案】C．3．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A. ①B. ④C. ③D. ②【解答】【答案】D4．如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A. AB=AEB. AB=BEC. AE=BED. AB=AC【解答】【答案】C5．已知△ABC．（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，求证：AE∥BC．（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB= °，并证明你的结论．【答案】6．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AF⊥BC于点H，AD与BC的延长线交于点E，连接BD．（1）若BC=8，FH=2，求⊙O得半径长；（2）若∠EDC=70∘，求∠ADB的度数．【解答】（1）解：由垂径定理得BH=4，OH=r−2，由勾股得：r=5；（2）解：连接AC，由垂径定理得：AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EDC=70∘，∴∠ABC=∠ACB=70∘，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=70∘．【答案】（1）5；（2）70°．7．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【答案】8．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（-3，0），C（，0））（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】9．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．【解答】【答案】见解析10．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【解答】【答案】见解析11．我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有．∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分∠FDC，求证：AB=AC．【解答】【答案】见解析1．如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45∘，试求AB的长．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DCO=90∘．∵∠POM=45∘，∴∠CDO=45∘．∴CD=CO．∴BO=BC+CO=BC+CD．∴BO=2AB．连接AO，∵MN=10，∴AO=5．在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，AB2+(2AB)2=52，解得：AB=√5，则AB的长为√5．【答案】√5．2．如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘．在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC=√AB2−AC2=√62−22=4√2．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD．∴．∴AD=BD．∴在Rt△ABD中，AD=BD=3√2，AB=6．∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=12AC⋅BC+12AD⋅BD=12×2×4√2+12×3√2×3√2=9+4√2．故四边形ADBC的面积是9+4√2．【答案】9+4√2．3．（2015秋•嵊泗县期中）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解答】【答案】。

浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 是BC 延长线上一点，若110BAD ∠=︒，则DCE ∠的度数是（ ）A ．140︒B ．110︒C ．70︒D ．55︒2．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在圆弧上取点C ，D ，连接AC BC AD BD ，，，，则ADB ∠的度数为（）A ．135︒B ．130︒C ．120︒D ．不确定3．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形142AOC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．109︒B ．142︒C ．45︒D ．19︒4．如图，AB 是半圆O 的直径35BAC ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒5．如图，点A ，B ，C 、D 四点均在O 上68AOD ∠=︒，AO DC ∥则B ∠的度数为（ ）A ．62︒B ．56︒C ．34︒D ．54︒6．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB=BC ，连接OA ，OB ．若60AOB ∠=︒，则D ∠=（ ）A ．40︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角64DCE ∠=︒，那么BOD ∠=（ ）A ．128︒B ．100︒C ．120︒D ．132︒8．如图，四边形ABCD 内接于O ，点C 是BD 的中点40A ∠=︒，则CBD ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒9．若等腰ABC 内接于O ，AB=AC ，100BOC ∠=︒则ABC 底角的度数为（ ） A ．65︒B ．25︒C ．65︒或25︒D ．65︒或35︒10．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若25CDB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．155︒C ．130︒D ．125︒二、填空题11．如图，点A ，B ，C 在O 上，若128AOB ∠=︒，则C ∠= ．12．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，若25CAD ∠=︒，55ABD ∠=︒则ADC ∠= 度．13．已知半径为2的O 中，弦2AB =，则弦AB 所对的圆周角P ∠= ．14．如图，在O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．如果6AD =，2DB =则AC 的长为 ．15．如图，O 过四边形ABCD 的四个顶点，已知90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，1,2AB BC ==则BD = ．三、解答题16．如图，在O 的内接四边形ABCD 中AB CD = AB CD ∥． 求证：四边形ABCD 是矩形．17．（1）如图1，在等边三角形ABC 中，AB=6，点D 是线段BC 上的一点，CD=4，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒后得到AE ，连接CE 、DE ．求CE 的长（2）如图2，ABC 是等边三角形，且点A ，B ，C 三点都在O 上，点D 是BC 上任一点，求证：DB DC DA +=．18．O 的半径OA ⊥弦BC ，点D 在O 上（不与点A 、B 、C 重合） 70AOC ∠=︒．(1)如图，当点D 在优弧BC 上时，求ADB ∠的度数；(2)若点D 在劣弧BC 上，则ADB ∠的度数为________．19．如图，在ABC 中90A B α∠=︒∠=，，点D ，E 分别在AB ，BC 上，线段DE 绕点D 顺时针旋转得到DF ，其中旋转角1802EDF α∠=︒-，此时点F 恰好落在AC 上，过点D ，E ，F 的圆交BC 于点G ，连接GF ．(1)若35α=︒，求BGF ∠的度数； (2)求证：BE GF =．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BAADB BAACC11．116︒ 12．100 13．30︒或150︒ 14．14153216证明：⊥AB CD = AB CD ∥⊥四边形ABCD 是平行四边形 180A D ∠+∠=︒ ⊥AD BC ∥ ⊥180A B ∠+∠=︒ ⊥B D ∠=∠⊥四边形ABCD 是O 的内接四边形 ⊥180B D ∠+∠=︒ ⊥90B D ∠=∠=︒⊥平行四边形ABCD 是矩形．17．解：（1）在等边ABC 中，AB=6，点D 是线段BC 上的一点，CD=4 ⊥6AC BC AB === 60BAC ∠=︒⊥642BD BC CD =-=-=将AD 绕点A 逆时针旋转60︒后得到AE ⊥AD AE = 60DAE ∠=︒ ⊥BAD DAC DAC CAE ∠+∠=∠+∠ ⊥BAD CAE ∠=∠ 在ABD △和ACE △中AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥()SAS ABD ACE ≌ ⊥2CE BD ==；（2）证明：如图，将ACD 绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE⊥ACD ABE ∠=∠ DC BE = ⊥180ACD ABD ∠+∠=︒ ⊥180ABE ABD ∠+∠=︒ ⊥D 、B 、E 三点共线由旋转得：60DAE ∠=︒ AD AE = ⊥ADE 是等边三角形 ⊥AD DE = ⊥DE BD BE =+ ⊥DB DC DA +=． 18．（1）解：连接OB⊥半径OA ⊥弦BC ⊥AB AC =⊥70AOB AOC ∠=∠=︒ ⊥1352ADB AOB ∠=∠=︒ （2）解：当点D 在AB 上时由（1）知⊥135AD B ∠=︒⊥四边形1ADBD 是圆的内接四边形 ⊥1180145ADB AD B ∠=︒-∠=︒ 当点D 在AC 上时则1352ADB AOB ∠=∠=︒综上，ADB ∠的度数为145︒或35︒． 故答案为：145︒或35︒． 19．（1）解：⊥35α=︒ ⊥()180235110EDF ∠=-⨯︒=︒⊥18070BGF EDF ∠=︒-∠=︒； （2）证明：连接DG⊥()1802EDF α∠=-︒ ⊥1802EGF EDF α∠=︒-∠= ⊥DE DF = ⊥DE DF =⊥12EGD FGD EGF α∠=∠=∠=⊥B α∠= ⊥B FGD ∠=∠⊥180GED GFD ∠+∠=︒ 又⊥180GED BED ∠+∠=︒ ⊥GFD BED ∠=∠ ⊥()AAS BDE GDF ≌ ⊥BE GF =．。

九年级下册圆形拔高习题（较难及难题）（含解析）（可编辑修改word版）九年级下册圆形拔高习题（中等及较难）一、选择题1、如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值为( )A .B .2C .D .2、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC=3∠AOB，若∠ACB=20°，则∠BAC 的度数是( )A .120°B .80°C .60°D .30°3、如图，AB 为⊙O的直径，点C 在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为( )A . πB . πC . πD . π4、如图所示，AB 是⊙O的直径，点 C 为⊙O外一点，CA，CD 是⊙O的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )B .30°C .60°D .75°5、如图，圆 O 是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点 C 作圆 O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，则∠D的度数是 ( )A .25°B .40°C .50°D .65°6、如图，在⊙O中，AB 是直径，点 D 是⊙O上一点，点 C 是弧AD 的中点，弦CE⊥AB于点 E，过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CE、CB 于点 P、Q，连接 AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点 P 是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（）A．①②④B．②③⑤C．③④D．②⑤7、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A .21B .20C .19D .188、如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC 和∠ACB 的平分线，分别交圆 O 于点 D ，E ，且 BD=CE ，则∠A 等于（）B ．60°C ．45°D ．30°9、如图，半径为 5 的⊙O 中，弦 AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．已知AB=8，∠AOB+∠COD=180°，则弦CD 的弦心距等于（）B ．3D ．4 A ．C ．10、如图，AB 是半圆 O 的直径，AC 为弦，OD⊥AC 于 D ，过点 O 作OE∥AC 交半圆 O 于点 E ，过点 E 作EF⊥AB 于 F ，若AC=4，则 OF 的长为( )D .411、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，将长为 1 的线段 QR 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，按A→B→C→D→A 的方向滑动到A 停止，同时点R 从点B 出发，按B→C→D→A→B 的方向滑动到 B 停止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经过的路线围成的图形面积为（）A． B．4-πC ．πD ．A .1B .C .2二、填空题12、如图，点 C 在以AB 为直径的半圆上，AB=4，∠CBA=30°，点D 在AO 上运动，点 E 与点D 关于AC 对称：DF⊥DE于点D，并交 EC 的延长线于点 F，下列结论：①CE=CF；②线段EF 的最小值为；③当 AD=1 时，EF 与半圆相切；④当点D 从点A 运动到点O 时，线段EF 扫过的面积是4．其中正确的序号是．13、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为.14、已知正三角形的面积是cm，则正三角形外接圆的半径是cm．15、如图，四边形ABCD 为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB 与CD 的位置关系是．16、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过 C 点的切线与 AB 的延长线交于 P 点，若∠P=40°，则∠D 的度数为.三、解答题17、如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2 cm．（1）求⊙O的半径 r；（2）求劣弧的长（结果保留π）．18、在△ABC 中，CE，BD 分别是边 AB，AC 上的高，F 是 BC 边上的中点．（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含 x 的代数式表达）．（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．19、如图，直线 AB 经过⊙O上的点 C，直线 AO 与⊙O交于点E 和点D，OB 与OD 交于点F，连接DF，DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线 AB 是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD 的长.20、如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠A=2∠BCD，点 E 在 AB 的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE 与⊙O相切；（2）若BF=2，DF= ，求⊙O的半径．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交 BC 于点D，点O 在AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D，分别交 AC，AB 于点E，F．（1）试判断直线 BC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．22、如图1，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1:2:3，⊙O 是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O的切线（2）当BD 是⊙O的直径时（如图 2），求∠CAD的度数．23、如图，AB 为⊙O的直径，点E 在⊙O上，C 为的中点，过点C 作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.（1）试判断直线 CD 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC= ，求AB 的长。

第3课时圆内接四边形重点：圆内接四边形对角互补。

习题精练1、下列关于圆内接四边形叙述正确的有（）①在圆内部的四边形叫圆内接四边形；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④圆内接四边形的一个外角等于它的相邻内角的对角。

A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A、80°B、120°C、100°D、90°3、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（）A、1:2:3:4B、1:3:2:4C、1:4:2:3D、1:2:4:34、如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°,则∠DAC的大小为（）A、130°B、100°C、65°D、50°5、如图，A、B、C在⊙O上，∠AOB=22.5°，则∠ACB的度数是_________.6、如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 为CD⌒ 上不同于点C 、D 的任意一点，则∠DPC 的度数是_________.7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE 。

求证：DB=DC 。

拓展提升8、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）A 、50°B 、60°C 、80°D 、90°第8题 第9题9、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B 、C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，若∠EDC=135°，22=CF ,则22BE AB +的值为（ ）A 、8B 、12C 、16D 、2010、如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_______°.11、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC=3，则DE=________.12、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，在劣弧AB 上取一点E ，连接DE ，BE ，过点D 作DF//BE 交⊙O 于点F ，连接BF ，AF ，且AF 与DE 相交于点G ，求证：（1）四边形EBFD 是矩形；（2）DG=BE 。

3.6 圆内接四边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个图中，∠x是圆周角的是 ( )A. B.C. D.2. 如图所示，圆周角有 ( )A. 9个B. 10个C. 11个D. 12个3. 如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70∘，则∠ABD= ( )A. 20∘B. 46∘C. 55∘D. \70°\）4. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为 ( )A. 7个单位B. 6个单位C. 5个单位D. 4个单位5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88∘，则∠BCD的度数是 ( )A. 88∘B. 92∘C. 106∘D. 136∘6. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有 ( )．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图所示，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8，OF=6，则圆的直径为 ( )A. 12B. 10C. 4D. 158. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是55∘，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器 ( )A. 2台B. 3台C. 4台D. 5台9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40∘，则∠A的度数为 ( )A. 80∘B. 100∘C. 110∘D. 130∘10. 如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a<1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 ( )A. √52a B. 1 C. √32D. a二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠BAC=50∘，则∠ADC=．12. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为．13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86∘，30∘，则∠ACB=．14. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130∘，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=度．15. 已知△ABC的边BC=4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4 cm，则∠A的度数是．16. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55∘，∠E=30∘，则∠F=．17. 如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是∘（写出一个即可）．18. 如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58∘，则∠ACD的度数为∘．19. 已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘．给出以下五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④ 劣弧AE⏜是劣⏜的2倍；⑤ DE=DC．其中正确结论有．弧DE20. 如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘，给出下列五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE 的2倍；⑤ AE=BC．其中正确结论的序号是．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．22. 如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．23. 在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．Ⅰ如图 1，若点M的横坐标为1，点N与点O重合，则α=∘；2Ⅱ若点M、点Q的位置如图 2 所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；Ⅲ当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. D6. D7. B8. C9. D 10. B第二部分11. 40∘12. 30∘13. 28∘14. 4015. 30∘16. 40∘17. 65（答案不唯一）18. 6119. ①②④⑤20. ①②④第三部分21. 连接AC．∵AD=BC，⏜=BC⏜，∴AD∴∠ACD=∠CAB，∴AE=CE．22. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180∘．∵∠BAD+∠DAE=180∘，∴∠BCD=∠DAE．∵∠DAE=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠BCD=∠DBC，∴DB=DC．23. （1）60（2）连接MQ，MP．记MQ，PQ分别交x轴于E，F．∵将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P，∴△MAQ和△MNP均为等边三角形．∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60∘．∴∠AMN=∠QMP．∴△MAN≌△MQP．∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEM=∠QEF，∴∠QFE=∠AMQ=60∘．∴α=60∘．（3）(√32,12)或(−√32,−12)。

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步自主提升训练一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）A．25°B．30°C．32.5°D．35°2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）A．140°B．130°C．120°D．100°3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）A．138°B．121°C．118°D．112°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA ＝BE，则∠ADB的大小为（ ）A．35°B．30°C．40°D．45°5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D 重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（ ）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，点D为弧AC 上的动点，点M、N、P分别是AD、DC、CB的中点，则PN+MN的最大值为（ ）A．1+B．1+2C．2+2D．2+8．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）A．25°B．30°C．40°D．55°二．填空题9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD ＝115°，则∠EBD的大小为 ．10．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 ．12．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为 ．13．在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝BC＝3，则CD的最大值＝ ．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD 的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．15．在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为 ．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度．17．如图，五边形ABCDE的顶点B，C、D、E在⊙O上，顶点A在⊙O外，且AB＝AE．若∠A＝100°，则∠CBA+∠CDE＝ °．18．圆的内接四边形中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠D的度数为 ．19．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．20．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为 ．三．解答题21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．24．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，∵∠BED＝∠C+∠CBE，∴∠BED＞120°，∴∠BED可能为125°．故选：D．6．解：如图，连接AC，由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，∵AB＝AD，∴，∴∠ACB＝∠ACD＝＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵点E为的中点，∴∠BAE＝∠BAC＝35°．故选：C．7．解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠FBC，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，解得，∠A＝55°，故选：D．二．填空题9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝115°，∴∠BAD＝65°，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∴∠EBD＝∠DAE＝25°．故答案为：25°．10．解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．11．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．12．解：由于∠AOC：∠ABC＝4：3，可设∠AOC＝4x，则∠ABC＝3x，∴∠ADC＝∠AOC＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即2x+3x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝4x＝144°，∴则的长为＝，故答案为：．13．解：∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴当CD是直径时，CD达到最大值，连接OA，OB，∵OA＝OD，∠ADC＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝3，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∵OA＝OB＝OC，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴OC＝BC＝3，∴CD＝2OC＝6，故答案为：6．14．解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是等补四边形，∴A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴DF＝5﹣5．故答案为：5﹣5．15．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，则，解得：，故答案为：110°．16．解：∵＝，∠BAC＝30°，∴∠DCF＝∠BAC＝30°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，故答案为：45．17．解：连接BE，∵AB＝AE．∠A＝100°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠A）＝40°，∵∠CDE+∠CBE＝180°，∴∠CBA+∠CDE＝∠CDE+∠CBE+∠ABE＝180°+40°＝220°，故答案为：220．18．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠B＝3x＝90°，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，故答案为：90°．19．解：∵点A的坐标为（0，3），∴OA＝3，∵四边形ABMO是圆内接四边形，∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，则则⊙C的半径为3，故答案为：3．20．解：连接BD，∵，∴AB＝AD，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∵∠BED＝150°，∴∠AEB＝120°，在△ABE与△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝2CE，∵AC＝，∴AE＝2，CE＝，∴CD＝AE＝2，∴DE＝＝，故答案为：．三．解答题21．（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．22．证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．解：（1）∵∴∠DCF＝∠BAC＝25°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠B＝2∠ADC，∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，∵，∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，∵OA＝OC，OM⊥AC，∴，∠AOM＝60°，∴，∴．24．解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．。

最新九年级上册数学期末考试试题一、选择题。

1、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．2、如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣3、某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和和小睿选到同一课程的概率是（）A．12B．13C．16D．194、如图，在ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为（）A．15 2B．43 C．215D．555、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M、N、E分别是A B、AD、CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB－BE向点E运动，同时点Q从点N，以相同的速度沿折线ND－DC－CE 向点E运动，设△APQ的面积为S，运动的时间为t秒，则S与t 函数关系的大致图象为（）第15题图A BCDMNQP6、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB＝60°，若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是( )A．12cmB．24cmC．63cmD．123cm7、如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量的杆底与坝脚的距离AB ＝3m，则石坝的坡度为( )A．3 4B．3C.3 5D．48、如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O ，AB ＝32，E 为OC 上一点，OE ＝1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是( )A ．3105B ．22 C.354D ．322EBADABC9、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－2，0)，(x0，0)，1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在(0，－2)的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a－b－1＜0；④2a＋c＜0．其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．410、如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π－92 3B．6π－9 3C．12π－92 3D．9π4AB C D O(A)ABO二、填空题。

2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题24.2圆周角（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.48姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•新疆一模）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC＝25°，在⊙O上任取一点D，且点D 与点C位于直径AB的两侧，连接AD和DC，则∠D的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．75°2．（2分）（2023•芜湖三模）如图，⊙O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则tan∠OEC为（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•金台区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连接AC、AD、CD，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．100°C．110°D．70°4．（2分）（2023•五通桥区模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝15°，则∠BAD的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．（2分）（2023•福州模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（）A．68°B．62°C．58°D．52°6．（2分）（2022秋•建昌县期末）如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．60°7．（2分）（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是的中点，点B是的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（）A．3B．4C．6D．88．（2分）（2023•全椒县三模）如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上．将该纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，则∠B的度数为（）A．24°B．30°C．36°D．44°9．（2分）（2023•洪山区校级模拟）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD，已知BD＝8，CD＝5，AB＝6，∠BDC ＝60°，则AD＝（）A．B．C．D．10．（2分）（2023•洪山区模拟）如图，等腰△ABC的顶点B、C在圆O上，点A在圆O外，OD⊥AC于D点，若BC＝8，sin∠ABC＝，OD＝3，则圆O的半径为（）A．3B．4C．5D．6评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•丹徒区二模）如图，菱形ABCD的顶点A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设AC与⊙O交于点E，则∠AEB的度数是．12．（2分）（2023•沭阳县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF＝，则AB＝．13．（2分）（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为．14．（2分）（2023•宿迁一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝50°，AD＝CD，则∠DAC＝°．15．（2分）（2023•朝天区模拟）如图，是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，的值等于．16．（2分）（2023•唐河县模拟）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是．17．（2分）（2023•盐都区三模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数为．18．（2分）（2023•锡山区校级三模）如图15个形状大小相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角为60°，A，B，C都在格点上，点D在上，若E也在格点上，且∠AED＝∠ACD，则tan ∠AEC＝．19．（2分）（2023•安徽模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为．20．（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则EO的最小值为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•利川市期末）如图所示，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）判断△ADB的形状，并证明；（2）求BD的长．22．（6分）（2023•新会区二模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N．（1）证明：OD⊥AC；（2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明．23．（8分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．24．（8分）（2023•河西区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．（Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求∠AGF的度数；（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．25．（8分）（2023•江汉区模拟）已知AB是⊙O的直径，C，D，E是半圆上三点，且AC＝CD，DE＝BE．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若AC＝1，BE＝，求cos∠ABE的值．26．（8分）（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．（1）若AB＝10，，求AC的长；（2）求证：EF⊥BD．27．（8分）（2023•诸暨市模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．记tan∠DGF＝m（m为常数，且m＞1）．（1）求证：∠AGC＝∠ACF；（2）求的值（用含m的式子表示）．28．（8分）（2022秋•望城区期末）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图．求证：△PCB是等腰三角形；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，连接OH，且点O和点A都在DE的左侧，如图．若∠ACB＝60°，DH＝1，∠OHD＝80°，①求⊙O的半径；②求∠BDE的大小．。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的综合1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，过O点作OC⊙AB且交⊙O于C点，延长AB到D，过点D 作⊙O的切线DE，切点为E，连接CE交AB于F点.（1）求证：DE＝DF；（2）若⊙O的半径为2，求CF·CE的值；（3）若⊙O的半径为2，⊙D＝30°，则阴影部分的面积.2．如图，⊙O为等腰⊙ABC的外接圆，直径AB＝12，P为弧BC⌢上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，（1）若PD⊙BC，求证：AP平分⊙CAB；（2）若PB＝BD，求PD的长度；⌢上的位置如何变化，CP•CQ为定值．（3）证明：无论点P在弧BC3．（1）知识储备①如图1，已知点P 为等边⊙ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA.②定义：在⊙ABC 所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为⊙ABC的费马点，此时PA+PB+PC 的值为⊙ABC 的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻⊙ABC (其中⊙A，⊙B，⊙C 均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在⊙ABC 的外部以BC 为边长作等边⊙BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段的长度即为⊙ABC 的费马距离.②在图3 中，用不同于图2 的方法作出⊙ABC 的费马点P(要求尺规作图).（3）知识应用①判断题：⊙.任意三角形的费马点有且只有一个（）；⊙.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（）.②已知正方形ABCD，P 是正方形内部一点，且PA+PB+PC 的最小值为√6+√2，求正方形ABCD 的边长．4．已知：如图，B,C,D三点在⊙A上，∠BCD=45°，PA是钝角⊙ABC的高线，PA的延长线与线段CD交于点E.（1）请在图中找出一个与⊙CAP相等的角，这个角是；（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明.5．如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，AD̂= BĈ，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD̂的长；（2）求证：BF= 12BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB 与AE的位置关系．6．图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．（1）蜘蛛在顶点A′处．①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．7．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，点D为⊙O上一点，且∠EDB=∠EAD.（1）求证：ED是⊙O的切线、8．如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC⌢=CG⌢，过点C的直线CD⊙BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OFFD=23，求证：AE=AO；（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD = √2，求AD的长．9．如图1，有一块直角三角板，其中AB=16，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，A、B在x轴上，点A的坐标为(20,0)，圆M的半径为3√3，圆心M的坐标为(−5,3√3)，圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒；（1）求点C的坐标；（2）当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，求t的值；（3）如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使∠EMF=90∘？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由.10．如图1，四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P.且∠APC=∠BCP（1）求证：∠BAC=2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC=6，AE=2时，求圆O 的半径.11．（1）问题提出如图①，已知直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACDS△BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）问题探究如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB=12，求△ABC面积的最大值；（3）问题解决如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=20，BC=10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB=60°，过点C作CE//AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积.12．如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC⌢=BC⌢，连接AE，AC，过点C 作CD⊥AE交AE的延长线于点D.（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=4，CD=√3，求图中阴影部分的面积.13．问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则⊙PAB的面积最大值是.（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD 边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值.（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，⊙BAD=60°，⊙BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.14．如图，四边形ABCD内接于圆O，⊙BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．（1）求证：AB=CD；（2）求证：CD2=BE•BC；（3）当CG= √3，BE= 92时，求CD的长．15．如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝2√2，DE=√7，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊙l，垂足为H．（1）若l⊙AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；（3）过点A作AM⊙l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．16．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接AE交对角线BD于点F，△ADF的外接圆O交边CD于点G，连接GA、GE，设BECE=α.（1）求∠EAG的度数.（2）当α=12时，求tan∠AEG.（3）用α的代数式表示DGCG，并说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OE.∵DE是⊙O的切线，∴DE⊙OE，∴⊙OED＝90°，∴⊙DEF+⊙OEC＝90°，∵OC⊙AB，∴⊙COB＝90°，∴⊙C+⊙OFC＝90°，∵OE＝OC，∴⊙OEC＝⊙C，∵⊙OFC＝⊙DFE，∴⊙DEF＝⊙EFD，∴DE＝DF.（2）解：延长CO交⊙O于H，连接EH.∵CH为直径，∴⊙CEH＝90°，∵OC⊙AB，∴⊙COF＝90°，∴⊙COF＝⊙CEH，∵⊙C＝⊙C，∴⊙COF⊙⊙CEH，∴COCE＝CFCH，∴CE•CF＝CO•CH＝2×4＝8.（3）2 √3﹣23π2．【答案】（1）证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，∴OP⊙PD，∵PD⊙BC，∴OP⊙BC，∴CP＝BP，∴⊙PAC＝⊙PAB，∴AP平分⊙CAB；（2）解：∵PB＝BD，∴⊙BPD＝⊙BDP，∵OP⊙PD，∴⊙BPD+⊙BPO＝⊙BDP+⊙BOP，∴⊙BOP＝⊙BPO，∴BP＝BO＝PO＝6，即⊙BOP是等边三角形，∴在Rt⊙OPD中，PD＝√OD2−OP2＝6 √3；（3）证明：∵AC＝BC，∴⊙BAC＝⊙ABC，∵⊙ABC＝⊙APC，∴⊙APC＝⊙BAC，又∵⊙ACP＝⊙QCA，∴⊙ACP⊙⊙QCA，∴CPCA＝CACQ，即CP•CQ＝CA2＝72，即CP•CQ为定值．3．【答案】（1）①证明：在PA上取一点E，使PE=PC，连接CE，∵正三角形ABC∴⊙APC=⊙ABC=60°又∵PE=PC，∴⊙PEC是正三角形∴CE=CP ⊙ACB=⊙ECP=60°∴⊙1=⊙2又∵⊙3=⊙4 BC=AC∴⊙ACE⊙⊙BCP (ASA)∴AE=BP即：BP+CP=AP（2）AD；解：过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE，交点即为P0．（3）正确；错误；解：将⊙ABP沿点B逆时针旋转60°到⊙A1BP1，过A1作A1H⊙BC，交CB的延长线于H，连接P1P，易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，⊙P1BP=⊙A1BA=60°∵PB=P1B⊙P1BP=60°∴⊙P1PB是正三角形∴PP1=PB∵PA+PB+PC的最小值为√6+√2∴P1A1+PP1+PC的最小值为√6+√2∴A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C= √6+√2设正方形的边长为2x∵⊙A1BA=60° ⊙CBA=90°∴⊙1=30°在Rt⊙A1HB中，A1B=AB=2x，⊙1=30°得：A1H=x，BH= √3x在Rt⊙A1HC中，由勾股定理得：x2+(√2+3)2x2=(√6+√2)2解得：x1=1x2=−1（舍去）∴正方形ABCD的边长为2．4．【答案】（1）⊙BAP（2）解：AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. 证明：连接EB，与AD交于点F∵点B，C两点在⊙A上,∴AC=AB，∴⊙ACP=⊙ABP.∵PA是钝角⊙ABC的高线,∴PA是⊙CAB的垂直平分线.∵PA的延长线与线段CD交于点E，∴EC=EB.∴⊙ECP=⊙EBP.∴⊙ECP-⊙ACP =⊙EBP -⊙ABP.即⊙ECA=⊙EBA.∵AC=AD，∴⊙ECA=⊙EDA∴⊙EBA=⊙EDA∵⊙AFB=⊙EFD, ⊙BCD=45°,∴⊙AFB+⊙EBA =⊙EFD+⊙EDA=90°即⊙BAD=⊙BED=90°∴EB2+ED2=BD2.∵BD2=AB2+AD2，∴ BD2=2AB2,∴EB2+ED2=2AB2，∴EC2+ED2=2AC25．【答案】（1）解：连接OB，OD，∵⊙DAB=120°，∴BCD̂ 所对圆心角的度数为240°， ∴⊙BOD=360°﹣240°=120°， ∵⊙O 的半径为3，∴劣弧 BD̂ 的长为： 120180×π×3=2π； （2）证明：连接AC ，∵AB=BE ，∴点B 为AE 的中点，∵F 是EC 的中点，∴BF 为⊙EAC 的中位线， ∴BF= 12AC ，∵AD̂ = BC ̂ ， ∴AD̂ + AB ̂ = BC ̂ + AB ̂ ， ∴DAB̂ = CBA ̂ ， ∴BD=AC ， ∴BF= 12BD ；（3）解：过点B 作AE 的垂线，与⊙O 的交点即为所求的点P ， ∵BF 为⊙EAC 的中位线， ∴BF⊙AC ， ∴⊙FBE=⊙CAE ，∵AD̂ = BC ̂ ， ∴⊙CAB=⊙DBA ， ∵由作法可知BP⊙AE ， ∴⊙GBP=⊙FBP ， ∵G 为BD 的中点， ∴BG= 12 BD ，∴BG=BF ，在⊙PBG 和⊙PBF 中， {BG =BF∠PBG =∠PBF BP =BP ，∴⊙PBG⊙⊙PBF （SAS ）， ∴PG=PF ．6．【答案】（1）【解答】解：①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．②⊙．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．在Rt⊙A′B′C中，⊙B′=90°，A′B′=40，B′C=60，∴AC=√402+602=√5200=20√13．⊙．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．在Rt⊙A′C′C中，⊙C′=90°，A′C′=70，C′C=30，∴A′C=√702+302=√5800=10√58．∵√5200＜√5800，∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；（2）【解答】过点M作MH⊙AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′=60dm，∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，根据勾股定理可得AM=√AH2+MH2=√252+502=√3125，MB=√BH2+MH2=√152+502=√2725，∴50≤MP≤√3125．∵⊙M与D′C′相切于点Q，∴MQ⊙PQ，⊙MQP=90°，∴PQ=√MP2−MQ2=√MP2−100．当MP=50时，PQ=√2400=20√6；当MP=√3125时，PQ=√3025=55．∴PQ长度的范围是20√6dm≤PQ≤55dm．7．【答案】（1）证明：如图，连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠DBA=90°.∵OB=OD，∴∠ODB=∠DBA.∵∠EDB=∠EAD，∴∠ODE=∠ODB+∠EDB=∠DBA+∠EAD=90°，∴ED⊥OD，∴ED是⊙O的切线（2）过点A作⊙O的切线AC，交ED的延长线于点C，若AE=15,BE= 5，求EC的长.解：∵AE=15,BE=5，∴AB=AE−BE=15−5=10，∴OD=OB=12AB=5,∴OE=OB+EB=5+5=10.∴∠ODE=90°.∵OD=5,OE=10，∴DE=5√3.∵CA是⊙O的切线，∴∠CAE=90°，∴∠ODE=∠CAE.∵∠E=∠E，∴△ODE∽△CAE，∴ODCA=DEAE∵5 AC=5√3 15.∴AC=5√3，∴CE=√(5√3)2+152=10√3. 8．【答案】（1）证明：连接OC，∵OC=OB，AC⌢=CG⌢，∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠DBC，∴∠DBC=∠OCB，∴OC∥BD，∴∠BDC＝∠ECO，∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°，∴∠ECO＝90°，∵OC是⊙O的半径，（2）解：由（1）知，OC∥BD，∴∠OCF＝∠DBF，∠COF＝∠BDF，∴△OCF∼△DBF，∴OF DF=OC DB，∵OF FD=2 3，∴OC DB=2 3，∵OC∥BD，∴△EOC∼△EBD，∴OC BD=EO EB，∴EO EB=2 3，设OE=2a，则EB=3a，∴OB=a，∴AO=a，∴AE=a，∴AE=AO；（3）解：在（2）的条件下，∵OC=OA=a，∴OC=12OE，∵∠OCE=90°，∴∠E=30°，∵∠BDE=90°，∠OBC=∠DBC，∴∠EBD=60°，∠OBC=∠DBC=30°，∵CD=√2，∴BC=2√2，BD=√6，∵OC DB=2 3，∴OC=23√6，作DM⊥AB于点M，∴∠DMB=90°，∵BD=√6，∠DBM=60°，∴BM=√62，DM=3√22，∵OC=23√6，∴AB=43√6，∴AM=5√66，∵∠DMA=90°，DM=3√22，∴AD=√DM2+AM2=√783．9．【答案】（1）解：如图1中，作CH⊙AB于H.∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4.在Rt⊙ABC中，∵⊙ACB=90°，AB=16，⊙CAB=30°，∴BC =12AB=8，CH=BC•sin60°=4 √3，BH=BC•cos60°=4，∴OH=8，∴C（8，4 √3）.（2）解：如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊙AB于H.∵MN=MH=3 √3，MN⊙BC，MH⊙BA，∴⊙MBH=⊙MBN=30°，∴BH =√3MH=9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在⊙ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s.（3）解：∵C（8，4 √3），B（4，0），A（20，0）.∵CE=EB，CF=FA，∴E（6，2 √3），F（14，2 √3），设M（﹣5+t，3 √3），EF =12AB=8.∵⊙EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+（√3）2+（14+5﹣t）2+（√3）2=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=15± √13.10．【答案】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，∵AP是圆O的切线，∴∠PAC=90∘，即∠P+∠ACP=90∘，∵AC是圆O的直径，∴∠ADC=90∘，即∠PCA+∠DAC=90∘，∴∠P=∠DAC=∠DBC，∵∠APC=∠BCP，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC，∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分线，∴DF经过点O，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠BDC=2∠ODC，∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，∴FC =12BC =3 ，在 ΔDEC 和 ΔCFD 中， {∠DCE =∠FDC ∠DEC =∠CFD DC =CD ，∴ΔDEC ⊙ ΔCFD (AAS) ∴DE =FC =3 ，∵∠ADC =90∘ ， DE ⊥AC ， ∴DE 2=AE •EC ， 则 EC =DE 2AE =92，∴AC =2+92=132，∴圆 O 的半径为 13411．【答案】（1）=（2）解：取优弧 AB⌢ 的中点记为 C 1 ，过 C 1 作AB 的垂线，垂足为D ，由垂径定理知 C 1D 过O 且AD=BD ，如下图②所示.过C 作AB 的平行线a ，∵当直线a 向上平移时，a 距AB 的距离增大，即 △ABC 的AB 边上的高增大，得当a 运动到最高点C1时，△ABC的AB边上的高最大，又AB为常数，∴当C运动到C1时△ABC的面积最大，下面计算△ABC1的面积.连接OB在Rt⊙OBD中：∵AB=12、圆O的直径为20∴BD=6、BO=10、OC1=10由勾股定理得OD=√BO2−BD2=√102−62=8∴C1D=OD+OC1=8+10=18∴△ABC1的面积为12AB⋅C1D=12×12×18=108，∴△ABC面积的最大值为108；（3）解：过C作CF⊙BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示∴⊙F=⊙ADB=60°∵AD⊙CE∴四边形DECF是平行四边形∴DF=CE，FC=DE又DC=CD∴⊙DFC⊙⊙CED∴S△DFC=S△CED又由（1）的结论知S△DAC=S△DAE∴S四边形ADCE=S△DAE+S△CED=S△DAC+S△DFC=S△ACF所以只需求得SΔACF最大值即得S四边形ADCE的最大值.以AC为边向△ABC外作等边三角形△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊙AC于J，如下图③-2所示.∵⊙F=60°∴点F在△AGC的外接圆上，由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，SΔACF最大= SΔACG.在Rt⊙ABC中：由勾股定理得AC=√AB2−BC2=√202−102=10√3∴AJ=12AC=5√3∴GJ=√32×10√3=15∴SΔACG=12AC×GJ=12×10√3×15=75√3∴四边形ADCE的最大面积是75√3. 12．【答案】（1）证明：直线DC与⊙O相切. 理由如下：连接OC，如图，∵EC⌢=BC⌢∴⊙EAC＝⊙OAC∵OA＝OC，∴⊙ACO＝⊙OAC，∴⊙ACO＝⊙DAC，∴OC⊙AD，∵CD⊙AE，∴OC⊙CD，∴DC是⊙O的切线；（2）解：连接OC、OE、CB，过C作CH⊙AB于H，∵CH⊙AB，CD⊙AE∴⊙ADC=⊙AHC，∵⊙EAC＝⊙OAC，AC=AC∴⊙ADC⊙⊙AHC∴CH= CD=√3，AH=AD，∵⊙CAH+⊙ACH=⊙BCH+⊙ACH=90°∴⊙CAH=⊙BCH，又∵⊙CHA=⊙BHC，∴⊙CAH⊙⊙BCH∴CHBH=AHCH∴√34−AH=AH √3∴AH=3或1（舍去1）∴BH= 1∴S⊙ACH= 12×3×√3=3√3 2在Rt⊙CHB中，BH=1，HC= √3∴⊙BCH=30°=⊙CAB∴⊙COB=⊙EOC=60°∴S阴影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S⊙ACD-S扇形OCE= S⊙ACH-S扇形OCE=3√32- 60×22π360= 3√32- 23π13．【答案】（1）25 问题探究：（2）解：如图2，作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'G'，B'E，FG'，∵EB=EB'，FG=FG'，∴BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+BG，∵EB'+EF+FG'≥B'G'，∴四边形BEFG的周长的最小值=BG+B'G'，∵BG =12BC=5，BB'=20，BG'=15，∴B'G' =√BG′2+BB′2=√152+202=25，∴四边形BEFG的周长的最小值为30；问题解决：（3）解：如图3，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC，∵⊙DAB=60°，⊙DCB=120°，∴⊙DAB+⊙DCB=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AD=AB，⊙DAB=60°，∴⊙ADB是等边三角形，∴⊙ABD=⊙ADB=60°，∴⊙ACD=⊙ADB=60°，∵DM=DC，∴⊙DMC是等边三角形，∴⊙ADB=⊙MDC=60°，CM=DC，∴⊙ADM=⊙BDC，∵AD=BD，∴⊙ADM⊙⊙BDC(SAS)，∴AM=BC，∴AC=AM+MC=BC+CD，∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，∵AD=AB=6，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，∴当AC为⊙ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，∵6AC=sin60°，∴AC的最大值=4 √3，∴四边形ABCD的周长最大值为12+4 √3. 14．【答案】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴⊙ABC=⊙ADC=90°，∵⊙BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD；（2）∵AE为⊙O的切线，∴AE⊙AC，∴⊙EAB+⊙BAC=90°，∵⊙BAC+⊙ACB=90°，∴⊙EAB=⊙ACB，∵⊙ABC=90°，∴⊙ABE⊙⊙CBA，∴ABBC=BEAB，∴AB2=BE•BC，由（1）知：AB=CD，∴CD2=BE•BC；（3）∵F是AC的三等分点，∴AF=2FC，∵FG⊙BE，∴⊙AFG⊙⊙ACB，∴AFFC=AGBG=2，设BG=x，则AG=2x，∴AB=3x，在Rt⊙BCG中，CG= √3，∴BC2=（√3）2﹣x2，BC= √3−x2，由（2）得：AB2=BE•BC，（3x）2= 92√3−x2，4x4+x2﹣3=0，（x2+1）（4x2﹣3）=0，x=± √32，∵x＞0，∴x= √32，∴CD=AB=3x= 3√32．15．【答案】（1）解：如图所示，连接DF，∵AD⊙l，∴⊙ADE=⊙DEF，∴AE=DF，∵AD是圆O的直径，∴⊙AED=90°，∴DF=AE=√AD2−DE2=1；（2）解：如图所示，连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊙BE于M，∵CH⊙EH，∴⊙CHE=90°，∴H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，∵BH≤HK+BK，∴如图所示，当H运动到H的位置时，即此时H，B，K三点共线，BH有最大值BH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AB⊙CD，∴BE=AB-AE=4，⊙CDE=⊙AED=90°，⊙DCE=⊙MEK，∴CE=KE=√DE2+CD2=4√2，∴KH=12CE=2√2，∵⊙CDE=⊙EMK=90°，∴⊙CDE⊙⊙EMK，∴KMDE=EKCE=EMCD=12，∴KM=12DE=√72，EM=12CD=52，∴BM=AB−AE−EM=3 2，∴BK=√KM2+BM2=2，∴BH=2+2√2，∴BH的最大值为2+2√2；（3）解：如图3-1所示，过点B作BN⊙l于N，过点B作BT⊙l交CH于T，∵BN⊙l，CH⊙l，∴BN⊙CH，∴四边形BCHN是平行四边形，∴HT=BN，同理可证AM⊙BN，∴⊙AME⊙⊙BNE，∴BNAM=BEAE=4，∴BN=4AM，∴HT=4AM，∴CH-4AM=CH-HT=CT，又∵CT≤BC∴当直线l与直线BC垂直时，CT=BC，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2√2，∴CH-4AM的最大值为2√2．16．【答案】（1）解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDC=45°，∵FG⌢=FG⌢，∴∠GAF=∠FDG，∴∠EAG=45°，（2）解：连接GF，∵在正方形ABCD中，∠ADG=90°，又∵在圆O的内接四边形ADGF中，∠AFG+∠ADG=180°，∴∠AFG=90°由（1）得∠GAE=45°，∴∠AGF=45°，∴∠FAG=∠AGF，∴AF=GF，∵∠GFE=180°−∠AFG=90°，∴tan∠AEG=GF FE，∴tan∠AEG=AF FE，∵α=BECE=12，BE+CE=BC，∴BCBE=3，∵正方形ABCD中，AD∕∕BC，AD=BC ∴△BEF∼△DAF，∴AFFE=ADBE=BCBE，∴tan∠AEG=3，（3）解：过F作FH⊥CD，垂足为H，连接CF，利用正方形轴对称可得CF=AF，由（2）知AF=GF∴CF=GF，∵FH⊥CD，∴CH=HG，∵BECE=α，AD=BC=BE+CE，∴ADBE=BCBE=α+1α，∵△BEF∼△DAF，∴DFBF=ADBE=α+1α，∵FH⊥CD,∠ACB=90°，∴HF⊙BC，∴DHCH=DFBF，∴DHCH=α+1α，∵DG=DH−GH,GH=CH，∴DGGC=DH−GHCH+GH=DH−CH2CH=α+1−α2α=12α.。

圆内接四边形练习题一1、如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD . (1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.2、如图（d ）， 以B 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，∠DCA =∠CBA =60°，连结BD ，过C 点作CE ∥DB ，求证：四边形CDBE 为平行四边形；（2分）ABCEFD(第1题)3、（本小题10分）已知⊙O 的直径为10，点A 、点B 、点C 是在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D . （Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC 、BD 、CD 的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长.4、(10) 如图,正△ABC内接于⊙O,P 是劣弧BC 上任意一点，PA 与BC交于点E ，：求证 PA PB PC =+;图①图②D5、已知在O中，弦AB AC ⊥，且6A B A C ==，点D 在O上，连接AD 、BD 、CD ， （1） 如图①， 若AD 经过圆心，求BD 、CD 的长； （2）如图② 若2BAD DAC ∠=∠，求BD 、CD 的长6、 如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD 是△ABC 的角平分线。

过A 、D 、C 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。

（1）求证：AC=AE（2）求△ACD 的外接圆的半径。

ABC DE7、已知O中，弦AB=AC ，点P 是BAC ∠所对弧上一动点，连接PB 、PA. ( 1 ) 如图①，把ABP ∆绕点A 逆时针旋转到ACQ ∆，求证 点P 、C 、Q 三点在同一直线上。

（ 2 ）如图②，若060BAC ∠=，探究 PA 、PB 、PC 之间的关系，并注明你的结论。

2020-2021备战中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练含详细答案一、圆的综合1．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．①若AD为直径，且sinA=45，求BC的长；②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②7534或754；（3）见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．【详解】（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；（2）①连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=45，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；②若∠ADC=60°时．∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=12∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O 的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB=3×34×52=7534．Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=12∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．连接AC，∴∠DAC=12∠BAD=15°．∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．过点C作CH⊥OB于H．在Rt△OCH中，CH=12OC=52，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB=1522×5+12×5×5=754．故答案为：753或754；（3）延长DC ，AB 交于点E ．∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCE =∠A =12∠ABC ． ∵∠ABC =∠BCE +∠A ，∴∠E =∠BCE =∠A ，∴BE =BC =b ，DE =DA =b ，∴CE =d ﹣c ． ∵∠BCE =∠A ，∠E =∠E ，∴△EBC ∽△EDA ，∴CE BC AE AD =，∴d c ba b d-=+，∴d 2﹣b 2=ab +cd ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=3．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323∴a1＝3.(2)设△A1B1C1的高为h，则A2O＝1－h，连结B2O，设B2C2与PQ交于点F，则有OF＝2h－1.∵B2O2＝OF2＋B2F2，∴1＝(2h－1)2＋2212a⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h＝32a2，∴1＝(3a2－1)2＋14a22，解得a2＝83.(3)同(2)，连结B n O，设B n C n与PQ交于点F，则有B n O2＝OF2＋B n F2，即1＝(nh－1)2＋2 12na⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h＝3a n，∴1＝14a n2＋2312nna⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，解得a n＝43n.4．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？【答案】（152-；（2）52；（32042-【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；（2）设运动的时间为t 秒，根据题意得：CC′=2t ，DD′=t ，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ，由第（1）的结论列式得出结果；（3）求出相切的时间，进而得出B 点移动的距离． 详解：（1）假设第一次相切时，△ABC 移至△A′B′C′处， 如图1，A′C′与⊙O 切于点E ，连接OE 并延长，交B′C′于F ，设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥A′C′，OD ⊥直线l ， 由切线长定理可知C′E=C′D ， 设C′D=x ，则C′E=x ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴2x+x=1，则x=2-1，∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2， ∴点C 运动的时间为52-； 则经过522-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ， ∵CC′=2t ，DD′=t ，∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ， 由（1）得：4-t=2-1， 解得：t=5-2，答：经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ， 由（1）得：4-1.5t=2-1， 解得：t=10223-， ∴点B 运动的距离为2×10223-=20423-．点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．5．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动． （1）当t =0时，点F 的坐标为 ； （2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离； （3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标； （2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论；（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论； （4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°， ∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t=，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．7．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

圆内接四边形的性质与判定定理练习1下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2圆内接平行四边形的对角线( )A．互相垂直 B．互相垂直平分C．互相平分且相等 D．相等且平分每组对角3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20° B．40°C．80° D．100°4如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B＝( )A．90° B．120°C．135° D．150°5如图，在O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD＝( )A．30° B．45°C．50° D．60°6如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若13PBPD，则BCAD的值为______．7如图，两圆相交于A，B两点，过点A的直线交两圆于点C，D，过点B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若∠C＝95°，则∠D＝__________.8(能力拔高题)已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则四边形ABCD的面积等于__________．9如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，过点C作DB的平行线交AB的延长线于E点，求证：BE·AD＝BC·C D．10(探究题)如图，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为点E，F，G，H.你能判断出点E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．参考答案1 答案：B ①是圆内接四边形的性质定理2，则①正确；圆内接四边形的对角互补，但不一定相等，则②不正确；圆的内接四边形可以是梯形，则③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形，则④不正确.2 答案：C 圆内接平行四边形必为矩形，故其对角线互相平分且相等.3 答案：C ∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，且∠CBE ＝40°，由圆内接四边形的性质，知∠D ＝∠CBE ＝40°，又由圆周角定理知∠AOC ＝2∠D ＝80°.4 答案：B ∵AH ⊥CD ，∴∠AHD ＝90°.∵∠HAD ＝30°，∴∠D ＝90°－∠HAD ＝60°.又四边形ABCD 内接于圆，∴∠B ＝180°－∠D ＝120°.5答案：C ∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠DAE ＝∠BCD ＝80°.∵弦AB 的长等于半径，∴弦AB 所对圆心角为60°.∴∠ACB ＝12×60°＝30°. ∴∠ACD ＝∠BCD －∠ACB ＝80°－30°＝50°.6 答案：13由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，故13PB BC PD AD ==. 7 答案：85°8 答案：由于四点共圆，∴∠B ＋∠D ＝180°.∴cos B ＝－cos D .根据余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos D ，∴有AC 2＝22＋62－2×2×6×cos B＝22＋62＋2×2×6×cos D ，AC 2＝42＋42－2×4×4×cos D ，∴cos D ＝17-，sin D ＝sin B∴四边形ABCD 的面积＝0.5×AB ×BC ×sin B ＋0.5×AD ×DC ×sin D ＝9 答案：分析：转化为证明△ADC ∽△CBE .证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠ADC ＝∠EBC .又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA .∵∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC∽△CBE.∴AD BCDC BE，即BE·AD＝BC·CD.10答案：分析：根据正方形的对称性，可以猜想，此四个点应当在以O为圆心的圆上，于是连接线段OE，OF，OG，OH，再设法证明这四条线段相等.解：猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上.证明如下：如图，连接线段OE，OF，OG，OH.在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，OB＝OC＝OA.∵PEBF为正方形，∴BE＝BF＝CG＝AH，∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE＝OF＝OG＝OH.由圆的定义，可知E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上.。