总体标准差的极差估计法

标准不确定度A类评定中极差法的深入讨论陈凌峰【摘要】JJF 1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》与GUM的区别之一是在标准不确定度的A类评定中引入了极差法.假设总体分别服从正态分布和均匀分布,则总体标准差的极差估计量,以及用于实际计算的极差系数可以从样本极差的分布函数导出.理论分析表明:虽然用极差法估计的总体标准差是无偏的,但是估计的总体方差偏大,这将导致最终测量结果的合成标准不确定度偏大.同时JJF 1059.1中仅提供了总体接近正态分布时的极差系数,并不适用于所有情况.作为比较,不论总体分布如何,使用贝塞尔公式估计的总体方差总是无偏的,不会给测量结果的合成标准不确定度带来原理性误差.由于极差法存在概率统计学上的原理性误差以及适用性限制,建议在标准不确定度A类评定中应审慎使用极差法.【期刊名称】《计量学报》【年(卷),期】2019(040)002【总页数】6页(P347-352)【关键词】计量学;标准不确定度;极差法;无偏估计;正态分布;均匀分布【作者】陈凌峰【作者单位】北京理工大学光电学院,北京100081【正文语种】中文【中图分类】TB91 引言国家计量技术规范JJF 1059.1—2012《测量不确定度评定与表示》中推荐了两种基本的标准不确定度A类评定方法，即贝塞尔公式法和极差法。

其中贝塞尔公式法对输入量X的分布没有限制，但极差法的应用前提是输入量X接近服从正态分布[1]。

在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立重复观测，测得值分别为x1,x2,…,xn，n个观测值的算术平均值为则单次测量结果的实验标准差sn可用贝塞尔公式计算：其中在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立重复观测，若n个测得值x1,x2,…,xn中的最大值与最小值之差为Dn，在被测量X接近正态分布的前提下，单次测量结果的实验标准差s可近似表示为：(1)式中：系数C称为极差系数，其与测量次数n有关。

标准偏差标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据的。

是指结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。

是的重要参数之一。

是测量变动的统计测算法。

它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。

标准偏差在、、等领域中均得到了广泛的应用。

因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。

然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按计算。

样本标准差的表示公式数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。

•如果价格保持平稳，这个指标值不高。

•在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。

标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、(每个样本数据－全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。

步骤三、把步骤二的结果除以(n - 1)（“n”指）。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是的标准偏差。

六个计算标准偏差的公式标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i Xσ2 = l2X……σn = l n X我们定义标准偏差(也称)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。

于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。

标准偏差数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i ? Xσ2 = l2 ? X……σn = l n ? X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。

于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。

由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。

它不是总体标准偏差σ。

因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。

为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。

于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。

标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。

即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。

平均数、中位数和众数的知识归纳与梳理：（一）平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

即x=（x1+x2+……+xn）÷n中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

平均数：一组数据的平均值平均水平平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。

平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．平均数的优点。

反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．平均数的缺点。

平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。

平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。

中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据中等水平中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。

中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．中位数的优点。

简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。

中位数的缺点。

中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。

当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。

众数一组数据中出现次数最多的那个数据。

集中趋势众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。

众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．众数的优点比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。

标准差的意义用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。

如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。

因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。

全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。

全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。

但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。

当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。

为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（x x -），称为离均差。

虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ（x x -）=0，因而不能用离均差之和Σ（x x -）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。

为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n 求得平均绝对离差，即Σ|x x -|/n 。

虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。

我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。

先将各个离均差平方，即 (x x -)2，再求离均差平方和，即Σ2)(x x -，简称平方和，记为SS ；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即Σn x x /)(2-，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n ，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量Σ1/)(2--n x x 表示资料的变异程度。

总体标准差和样本标准差在统计学中，标准差是一种用来衡量数据分散程度的统计量。

它可以帮助我们了解数据集中的数据点与平均值的偏离程度。

在实际应用中，我们常常会遇到总体标准差和样本标准差这两个概念。

它们在统计分析中有着不同的用途和计算方法。

本文将对总体标准差和样本标准差进行详细的介绍，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。

总体标准差是指对整个数据集进行计算得到的标准差，它用希腊字母σ表示。

总体标准差的计算公式如下：σ = √(Σ(xi μ)² / N)。

其中，xi代表每个数据点，μ代表数据集的平均值，Σ代表求和，N代表数据点的个数。

总体标准差的计算方法是先计算每个数据点与平均值的偏离程度的平方，然后将这些平方值相加，再除以数据点的个数，最后取平方根得到标准差。

样本标准差是指对数据样本进行计算得到的标准差，它用希腊字母s表示。

样本标准差的计算公式如下：s = √(Σ(xi x)² / (n 1))。

其中，xi代表每个数据点，x代表数据样本的平均值，Σ代表求和，n代表数据点的个数。

样本标准差的计算方法与总体标准差类似，不同之处在于除数是n-1而不是N，这是因为在计算样本标准差时，我们使用样本的平均值而不是总体的平均值，因此需要对自由度进行修正。

总体标准差和样本标准差的区别主要在于计算方法和用途上。

总体标准差适用于对整个数据集进行分析，而样本标准差适用于对数据样本进行分析。

在实际应用中，我们往往只能获得数据样本而不是整个数据集，因此样本标准差更为常用。

另外，由于样本标准差的计算方法中包含了对自由度的修正，因此在样本较小的情况下，样本标准差能够更准确地估计总体标准差。

总体标准差和样本标准差在统计分析中有着重要的作用。

它们可以帮助我们衡量数据的离散程度，进而进行合理的数据分析和决策。

在实际工作中，我们可以根据具体的情况选择合适的标准差来进行数据分析，以更好地理解数据的特征和规律。

综上所述，总体标准差和样本标准差是统计学中重要的概念，它们分别适用于对整个数据集和数据样本的分析。

总体标准差的极差估计法总体标准差的极差估计法⾃接触SS以来，对于SPC中Xbar图中的Sigma(极差估计法)估计⼀直都没有看到过较详细的解释&说明.只知其运⽤在SPC Xbar中sigma的估计，以及它所计算的是组内的变差。

今天偶然遇到⼀则概念：由极差分布函数求出极差的数学期望值E(R) = d2*sigma；⽅差值D(R) = (d3*sigma)^2不知哪位前辈&⾼⼿可以帮忙深⼊解说⼀下，极差估计法的原理。

thomasgao2010-11-10 16:54:26蛮深奥的问题，曾经研究过，现在也忘得差不多了，尝试着解释⼀下：1。

以正态分布为例，给出⼀族数据，就可以计算出它的均值和⽅差。

⽽从另外⼀个⽅⾯讲任何⼀个正态分布都是由正态分布函数决定的，只不过函数中的系数取值不同⽽已。

知道了分布的函数和其中系数的取值，同样可以推导出这个分布的均值和⽅差。

（正态分布函数是⼀个两参数（均值和⽅差）的函数，具体公式⾃⼰查⼀下，我这⾥不贴了）2。

在最初的SPC中的数据计算是⼿⼯的，没有计算机帮助。

对于分布的均值⽐较容易⼿⼯算，但⽅差就⽐较复杂了。

后来就有⼈提出来⽤极差R来近似⽅差S。

3。

R的计算⽅法简单，取每个⼦组内最⼤值减去最⼩值。

假设有n组数据的话就会有n个R。

这n个R本⾝⼜构成⼀个分布叫做极差分布，具体的公式我都忘记了，感兴趣的话⾃⼰找资料查⼀下。

4。

在画R图是，我们需要知道R的均值和⽅差，这个时候⽤极差分布的公式来推就⽐较容易了，就是你贴中的公式。

其中的系数d2/c4 随着⼦组的⼤⼩⽽变化thomasgao 2010-11-11 09:57:50正态分布的公式贴出来nomal distribution.jpg其中x是变量，µ和σ是参数，它们的取值确定了⼀个具体的分布，所以称为两参数函数。

thomasgao2010-11-11 10:10:37关于极差分布的推导⽐较复杂，我⼿边没有资料提供。

标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差(Standard Deviation) 也称均方差(mean square error)各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数，它是离均差平方和平均后的方根。

用& sigma;表示。

因此标准差是方差的算术平方根。

例如：如果有n个数据X1 ,X2 ,X3……Xn ,数据的平均数为X,标准差c :标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B72、71、69、68、67。

这两组的平均数都是70,但A组的标准差为18.71分，B组组的分数为73、的标准差为2.37分(此数据时在R统计软件中运行获得)，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

关于这个函数在EXCEL中的STDEV函数有详细描述，EXCEL中文版里面就是用的“标准偏差”字样。

但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。

在EXCEL中STDEV函数就是下面评论所说的另外一种标准差，也就是总体标准差。

在繁体中文的一些地方可能叫做“母体标准差”在R统计软件中标准差的程序为：sum((x-mean(x)F2)/(length(x)-1) 因为有两个定义,用在不同的场合:如是总体,标准差公式根号内除以n,如是样本,标准差公式根号内除以(n-1),因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1),外汇术语:标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。

标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。

标准差越大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具表现的波动就越大。

阐述及应用简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。

一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大; 一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

标准偏差数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i− Xσ2 = l2− X……σn = l n− X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。

于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。

由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。

它不是总体标准偏差σ。

因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。

为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。

于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。

标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。

即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。

标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差(Standard Deviation) 也称均方差(mean square error)各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数，它是离均差平方和平均后的方根。

用σ表示。

因此标准差是方差的算术平方根。

例如:如果有n个数据X1 ,X2 ,X3 ......Xn ,数据的平均数为X，标准差σ: 标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B72、71、69、68、67。

这两组的平均数都是70，但A组的标准差为18.71分，B组组的分数为73、的标准差为2.37分(此数据时在R统计软件中运行获得)，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

关于这个函数在EXCEL中的STDEVP函数有详细描述，EXCEL中文版里面就是用的“标准偏差”字样。

但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。

在EXCEL中STDEVP函数就是下面评论所说的另外一种标准差，也就是总体标准差。

在繁体中文的一些地方可能叫做“母体标准差”在R统计软件中标准差的程序为: sum((x-mean(x))^2)/(length(x)-1)因为有两个定义,用在不同的场合:如是总体,标准差公式根号内除以n,如是样本,标准差公式根号内除以(n-1),因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1),外汇术语:标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。

标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。

标准差越大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具表现的波动就越大。

阐述及应用简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。

一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

标准偏差数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i ? Xσ2 = l2 ? X……σn = l n ? X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。

于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。

由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。

它不是总体标准偏差σ。

因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。

为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。

于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。

标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。

即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。

总体标准差!的五种估计及估计精密度周富臣孙玉莲（中国一拖集团公司计量检测中心，洛阳471004）摘要介绍了对总体标准差O 进行估计的五种方法，分析了估计精密度，给出了应用实例。

关键词标准差；估计值；相对标准差引言正态总体标准差O 是正态分布的两个参数之一，它在误差理论、计量检测、质量管理、统计检验等领域均有广泛应用。

因此，正确估计O 并给出估计精密度是十分重要的。

1总体标准差O 的理论计算式总体标准差O 的理论计算式为O =li m一17Z 7=1（ _I ）。

2（1）式中，I 为某量真值，为测得值，7为测量次数，由于真值I 往往是未知的，测量次数7又不可能是无限的，故式（1）在实践中无法使用。

2总体标准差O 的常用估计———贝塞尔公式通常仅做有限次测量并用其算术平均值 来代替真值I 。

理论和实践均证明，算术平均值 最接近I 。

是I 的无偏估计值。

用 代替式（1）中的!，就得到"的常用估计式^O b =17_1Z 7=1（ _ ）。

2（2）式中^O b 为O 的常用估计值。

式（2）为常用于求总体标准差O 的估计值的贝塞尔公式。

式（2）求得的^O b 本身也是一个随机量，因此也有一个估计精密度问题，用（^O O ）b 来表示估计值^O b 的标准差，概率统计给出［1］（^O O ）b =12。

7O （3）称（O O ）bO =12。

7为相对标准差。

表1给出12。

7值。

表!!／"。

!值7234567891011121314151／2。

70.50.410.350.320.290.270.250.240.220.210.200.200.190.187161718192021222324253040501／2。

70.180.170.170.160.160.150.150.150.140.140.130.110.1可以看出，估计值^O b 的精度是不高的，7=5时，（O O ）b 。

13O ，7=50时，（O O ）b =0.1O 。

标准偏差数学表达式：S-标准偏差（%）n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i−Xσ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。

于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。

由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。

它不是总体标准偏差σ。

因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。

为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。

于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。

标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。

即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。

标准偏差标准偏差（Std Dev,Standard Deviation）目录[隐藏]∙ 1 什么是标准偏差∙ 2 样本标准差的表示公式∙ 3 标准偏差的使用方法∙ 4 标准偏差的计算步骤∙ 5 六个计算标准偏差的公式[1]o 5.1 标准偏差的理论计算公式o 5.2 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式o 5.3 标准偏差σ的无偏估计o 5.4 标准偏差的最大似然估计o 5.5 标准偏差σ的平均误差估计∙ 6 标准偏差的应用实例[1]∙7 标准偏差与标准差的区别∙8 相关条目∙9 参考文献[编辑]什么是标准偏差标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。

是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。

是正态分布的重要参数之一。

是测量变动的统计测算法。

它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。

标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。

因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。

然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按贝塞尔公式计算。

[编辑]样本标准差的表示公式数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；[编辑]标准偏差的使用方法∙在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。

∙如果价格保持平稳，这个指标值不高。

∙在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。

标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。

步骤三、把步骤二的结果除以(n - 1)（“n”指样本数目）。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

[编辑]六个计算标准偏差的公式[1][编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

样本标准差得表示公式数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分得各次测量值，1～n；[编辑]标准偏差得使用方法•在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。

•如果价格保持平稳，这个指标值不高。

•在价格发生剧烈得上涨/下降之前，该指标值总就是很低。

[编辑]标准偏差得计算步骤标准偏差得计算步骤就是：步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得得各个数值相加。

步骤三、把步骤二得结果除以 (n - 1)（“n”指样本数目）。

步骤四、从步骤三所得得数值之平方根就就是抽样得标准偏差。

[编辑]六个计算标准偏差得公式[1][编辑]标准偏差得理论计算公式设对真值为X得某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。

令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ= l i−X1= l2−Xσ2……σn = l n−X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都就是不可知得, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

[编辑]标准偏差σ得常用估计—贝塞尔公式由于真值就是不可知得, 在实际应用中, 我们常用n次测量得算术平均值来代表真值。

理论上也证明, 随着测量次数得增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就就是真值。

于就是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V得关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就就是著名得贝塞尔公式(Bessel)。

它用于有限次测量次数时标准偏差得计算。

由于当时，,可见贝塞尔公式与σ得定义式(1)就是完全一致得。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到得就是标准偏差σ得一个估计值。

它不就是总体标准偏差σ。

因此, 我们称式(2)为标准偏差σ得常用估计。

均值极差法估计标准差
均值极差法是一种估计标准差的方法，它基于样本数据的平均值和极差来估计总体标准差。

下面是使用均值极差法估计标准差的步骤：
1. 收集样本数据：从总体中随机抽取一定数量的样本数据。

2. 计算样本平均值：将样本数据相加，然后除以样本数量，得到样本的平均值。

3. 计算样本极差：找出样本数据中的最大值和最小值之间的差，即为样本的极差。

4. 估计标准差：使用以下公式估计标准差：
估计标准差 = 样本极差 / d
其中，d 是常数，根据样本数量确定。

当样本数量较小时，d 的值通常为 2.66，当样本数量较大时，d 的值通常为 3.27。

需要注意的是，均值极差法仅是一种估计标准差的方法，其估计结果可能与真实标准差存在一定的误差。

在实际应用中，还可以使用其他更准确的方法来估计标准差，如样本方差法或最大似然估计法。

样本和总体的标准差
首先，我们来介绍一下样本的标准差。

样本标准差是用来衡量样本数据的离散程度的指标，它的计算公式为，s = √(Σ(xi x)² / (n 1))，其中Σ表示求和，xi表示第i个数据点，x表示样本均值，n表示样本容量。

样本标准差的计算过程比较复杂，但是它能够很好地反映出样本数据的分散程度，对于评估样本数据的稳定性和可靠性有着重要的意义。

接下来，我们来介绍总体的标准差。

总体标准差是用来衡量总体数据的离散程度的指标，它的计算公式为，σ = √(Σ(xi μ)² / N)，其中Σ表示求和，xi表示第i 个数据点，μ表示总体均值，N表示总体容量。

总体标准差的计算方法与样本标准差类似，但是需要注意的是，总体标准差的计算中使用的是总体均值和总体容量，而不是样本均值和样本容量。

总体标准差能够很好地反映出总体数据的分散程度，对于评估总体数据的稳定性和可靠性同样具有重要的意义。

在实际应用中，样本和总体的标准差都有着广泛的应用。

比如在质量控制中，我们可以使用样本标准差来评估产品质量的稳定性；在投资领域，我们可以使用总体标准差来评估投资组合的风险。

总体标准差和样本标准差都是非常重要的统计指标，能够帮助我们更好地理解和分析数据，从而做出更准确的判断和决策。

总之，样本和总体的标准差是统计学中非常重要的概念，它们能够帮助我们衡量数据的分散程度，评估数据的稳定性和可靠性。

通过本文的介绍，相信读者对样本和总体的标准差有了更深入的理解，能够更好地应用于实际问题中。

希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。