极差、方差与标准差-边讲边练(含答案)-

方差练习题及答案在统计学中，方差是用于衡量数据变异程度的重要概念。

为了帮助大家更好地理解和应用方差，下面将为大家提供一些方差练习题及答案。

通过练习，相信大家能够加深对方差的理解，并提升自己的统计学能力。

练习题1：某家电公司对一种新推出的电视机型进行了质量测试。

经过抽取一定数量的样本，得到了以下质量检测结果（单位：小时）：样本A：120, 150, 140, 135, 130样本B：125, 130, 140, 135, 145样本C：130, 135, 125, 140, 130请计算样本A、样本B和样本C的方差，并分析样本数据的变异情况。

答案：首先，我们需要计算每个样本的平均值。

对于样本A，平均值为（120+150+140+135+130）/5 = 135，样本B的平均值为（125+130+140+135+145）/5 = 135，样本C的平均值为（130+135+125+140+130）/5 = 132。

然后，我们计算每个样本数据与平均值的偏差平方，得到如下结果：样本A的偏差平方：(120-135)²，(150-135)²，(140-135)²，(135-135)²，(130-135)²样本B的偏差平方：(125-135)²，(130-135)²，(140-135)²，(135-135)²，(145-135)²样本C的偏差平方：(130-132)²，(135-132)²，(125-132)²，(140-132)²，(130-132)²将每个样本的偏差平方相加，并求平均值，即可得到方差的计算结果：样本A的方差：((120-135)² + (150-135)² + (140-135)² + (135-135)² + (130-135)²)/5 = 112样本B的方差：((125-135)² + (130-135)² + (140-135)² + (135-135)² + (145-135)²)/5 = 100样本C的方差：((130-132)² + (135-132)² + (125-132)² + (140-132)² + (130-132)²)/5 = 17.6通过对样本数据的方差计算，我们可以看出样本A的方差最大，而样本C的方差最小。

极差、方差与标准差专项练习⑴极差极差＝最大值－最小值．⑵方差：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s 2来表示。

⑶标准差：标准差＝⑷方差（或标准差）越大，，稳定性越小；反之，方差越小，稳定性越好．一、填空题1、数据－2，－1，3，1，2的方差是_________极差是 _______2、 七个数1，2，5，3，4，a ，3的平均数是3，则a =________，这七个数的方差是________。

3、若一组数据3，一1，a ，－3，3的平均数是a 的则这组数据的标准差是_________。

4、已知，一组数据1, 2,……，n 的平均数是10，方差是2， ①数据1+3, 2+3,……，n+3的平均数是 方差是 ， ②数据2×1,2×2,……，2×n 的平均数是 方是 ， ③数据2×1+3,2×2+3,……，2×n+3的平均数是 方差是 。

5、数据：2-，1-，0，x ，1的平均数是0，则x = .方差=2S .6、如果样本方差[]242322212)2()2()2()2(41-+-+-+-=x x x x S ，那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .7、已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差=2S 3，则3212,2,2x x x 的平均数为 ，方差为 .二、选择题：8、样本方差的作用是A 、估计总体的平均水平B 、表示样本的平均水平C 、表示总体的波动大D 、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小9、一个样本的方差是0，若中位数是a ，那么它的平均数是A 、等于aB 、不等于 aC 、大于 aD 、小于a10、已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是 A、0 B、1 C、2 D、211、如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的A、平均数改变，方差不变B、平均数改变，方差改变C、平均数不变，方差不变D、平均数不变，方差改变三、问答题：1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11请你经过计算后回答如下问题：（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？2. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11；问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？3. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如4.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S2甲 S2乙，所以确定去参加比赛。

典型例题例1计算下列一组数据的极差、方差及标准差（精确到0.01）；50，55，96，98，65，100，70，90，85，100．解极差为100－50＝50．平均数为．方差为：标准差为．于是，这组数据的极差、方差和标准差分别为50，334.69，18.29．例2若样本，，…，的平均数为10，方差为2，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（）（A）平均数为10，方差为2 （B）平均数为11，方差为3（C）平均数为11，方差为2 （D）平均数为12，方差为4解由已知条件，得故应选（C）说明此题充分应用了已知条件来进行整体计算，使运算十分简捷．例3 如图，公园里有两条石级路，哪条石级走起来更舒适？（图中数字表示每一级的高度，单位：厘米）解由于15＋14＋14＋16＋16＋15＝90，19＋10＋17＋18＋15＋11＝90，所以两条石级路总高度一样，都是90厘米；由于都是6个台阶，所以台阶的平均高度也一样，都15厘米．上台阶是否舒适，就看台阶的高低起伏情况如何，因此，需要计算两条石级路台阶高度的极差、方差和标准差．左边石级路台阶高度的极差为16－14＝2，方差为：，标准差为；右边石级路台阶高度的极差为19－10＝9，方差为：，标准差为．由以上计算可见，左边石级路的极差、方差和标准差都比右边小，所以左边石级路起伏小，走起来舒服些．例4要从甲、乙、丙三位射击运动员中选拔一名参加比赛，在预选赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下：甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 ；乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8；丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 ．根据这次成绩，应该选拔谁去参加比赛？分析本题着重考查对方差的意义及实际运用．解经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93，93，91．所以丙应先遭淘汰．设甲、乙的命中环数分别为和，方差分别是和，则：．∵∴在总成绩相同的条件下，应选择水平发挥较稳定的运动员甲参加比赛．说明丙的总成绩显著，应先遭淘汰，然后利用方差的含义，来考查甲、乙二人成绩的稳定性．例5 小明和小华假期到工厂体验生活，加工直径为100毫米的零件，为了检验他们的产品的质量．从中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下：（单位：毫米）小明：99 10 98 100 100 103小华：99 100 102 99 100 100（1）分别计算小明和小华这6件产品的极差、平均数与方差．（2）根据你的计算结果，说明他们两人谁加工的零件更符合要求．解（1）小明：极差＝5，平均数＝100，方差，小华：极差＝3，平均数＝100，方差＝1．（2）计算结果说明，小明加工的零件极差大，方差也大，小华加工的零件极差小，方差小，所以小华加工的零件更符合要求。

极差、方差与标准差专项练习⑴极差极差＝最大值－最小值．⑵方差：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s 2来表示。

⑶标准差：标准差＝⑷方差（或标准差）越大，，稳定性越小；反之，方差越小，稳定性越好．一、填空题1、数据－2，－1，3，1，2的方差是_________极差是 _______2、 七个数1，2，5，3，4，a ，3的平均数是3，则a =________，这七个数的方差是________。

3、若一组数据3，一1，a ，－3，3的平均数是a 的则这组数据的标准差是_________。

4、已知，一组数据1, 2,……，n 的平均数是10，方差是2， ①数据1+3, 2+3,……，n+3的平均数是 方差是 ， ②数据2×1,2×2,……，2×n 的平均数是 方是 ， ③数据2×1+3,2×2+3,……，2×n+3的平均数是 方差是 。

5、数据：2-，1-，0，x ，1的平均数是0，则x = .方差=2S .6、如果样本方差[]242322212)2()2()2()2(41-+-+-+-=x x x x S ，那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .7、已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差=2S 3，则3212,2,2x x x 的平均数为 ，方差为 .二、选择题：8、样本方差的作用是A 、估计总体的平均水平B 、表示样本的平均水平C 、表示总体的波动大D 、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小9、一个样本的方差是0，若中位数是a ，那么它的平均数是A 、等于aB 、不等于 aC 、大于 aD 、小于a10、已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是 A、0 B、1 C、2 D、211、如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的A、平均数改变，方差不变B、平均数改变，方差改变C、平均数不变，方差不变D、平均数不变，方差改变三、问答题：1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11请你经过计算后回答如下问题：（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？2. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm）甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11；问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？3. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如4.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S2甲 S2乙，所以确定去参加比赛。

21.3极差、方差与标准差同步练习【基础知识训练】•1.用一纽数据中的________ 來反应这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差.2.（2006,芜湖市）一纽.数据5,8,x, 10, 4的平均数是2x,则这纽数据的•方差是__________ .3.（2006,长春市）5名同学目测同一本教科书的宽度时,产生的误差如下（单位：cm）：2,-2, -1, 1, 0,则这组数据的极差为___________ cm.4.若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x・，y的平均数为6,则样本1, 2,3,x, y的极差是________ ,方差是_______ ,标准差是_______ .5.已知一纽数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20., 21, 22, 23, 24的方差为_______________ ,标准差为________ .6•计算一组数据:8, 9, 10, 11, 12的方差为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数L I.= X^=7,方差S甲J3, Sz?=1.2，则射击成绩较稳定的是（）A.甲B.乙，C.—样D.不能确定【创新能力应用】8.一组数据-8, -4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是_____________ ,方差是______ ,标准差是_______ .9.若样本xi，X2，……•，Xn的平均数为x=5,方差S2=0.025,则样本4X〔，4X2,……，4x n的平均数；二_____ ，方差S'?二 _____ .10.甲、乙两八年级学生在一学期里多次检测中，其数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，那么止确评价他们的数学学习情况的是（）A.学习水平一样B•成绩虽然--样，但方差大的学生学习潜力大C.虽然平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D.方差较小的学习成绩不稳定，忽高忽低11.某县种鸡场为研究不同种鸡的产蛋量，各选十只产蛋母鸡，它们十天的产蛋量如下表, 试问12.在某旅游景区丄山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数，中位数，方差和极差）冋答下列问题：（1） 两段台阶路有哪些相同点和不同点？ （2） 哪段台阶路走起來更舒服？为什么？（-3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.下图中的数字表示第一级台阶的高度（单位：cm ）,.并且数15, 16, 16, 14, 14, 152的方差S 甲2=-,数据11, 15, 18,313. 对一组数据65, 67, 69, 70, 71, 73, 75,用计算器求该组数据的方差和标准差 （1）其计算过程止确的顺序为（）%1 按键I 2ndF |, |STAl1，显示 @；%1 按键：嵋，|DATA |,因，|DATA |……囤，|DATA |输入所有数据;显示讪回，同……@； %1 按键显示 13.162277 66|,%1 按键冈，0，显示回；A.①®③④.B.②①③④C.③①②④D. ©©②④（2）计算器显示的方差是 _______ ,标准差是 _________ •【三新精英园】14. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，备选10名学生参加，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表输入汉字 （个） 132 133 134 135 136 137 众数 中位数 平均数 （X ） 方差(S.2)甲班学生 （人）1 0 1 52 1 135 135 1351.6乙班学生 （人）0 1 41 2 2请填写上表中乙班学生的相关数据，再根据所学的统计学知识，从不同方面评价甲、乙 两班学生的比赛成绩.（至少从两个方面进行评价）35 9的方差荷盲 甲路段 乙路段答案:I.鼠大值与最小值的差2. 6.8 3. 4 4. 13, 26, ^26 5. 2,近6. B7. B8. 17, 31.2, 5.69. 20, 0.4 10. CII.S甲2=0.84, S乙Jo.61, S/>sj,可以估计,乙种•鸡比甲种鸡产蛋量稳定12- (1 ) •:兀甲=15,兀乙=15,・•・相同点：两面台阶路高度的平均数相同.不同点：两而台阶路高度的中位数，方差和极差均不相同.(2)甲路线走起来更舒服一些，因为它的台队高度的方差小.(3)每个台队高度均为15cm (原平均数)，使得方差为013.(1) A, (2) 10, 3」614.众数是134,中位数134.5,平均数135,方差1.8,评价:①从众数看，甲班每分钟输入135字的人数最多，乙班每分钟输入134字的人数最多，②从中位数看，甲班每分钟输入135字及以上的人数比乙班人数多，③从方差看，S 甲〈sr,甲班成绩波动小较稳定.。

极差.方差与标准差(知识点讲解)极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。

通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。

因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。

2．为什么要“平方”。

3．为什么“求平均数”比“求和”更好。

同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。

对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。

对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。

二、例题1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。

本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。

解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。

（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。

图（1）的标准差比图（2）的标准差大。

（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。

因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。

）2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。

分析：要求方差，必须先求平均数。

解：= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75方差s 2= =7.69[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差解：极差为100-50=50平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9方差为：s 2= =334.69 标准差为：s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]=18.294．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。

第2课时极差、方差、标准差填一填极差、方差、标准差(1)极差一组数据中________________称为这组数据的极差．(2)方差标准差的平方s2叫作方差．s2＝________________.其中，x n是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数．(3)标准差＝________________.判一判1.2．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( )3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( )4．一组数据的标准差就是这组数据方差的平方根( )5．方差、标准差越大，数据越分散．( )6．方差、标准差越小，数据越分散．( )7．极差表示了一组数据变化范围的大小．( )8( )想一想1.提示：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差．2．方差的作用是什么？提示：①方差描述了一组数据波动的大小．②方差的值越小，数据波动越小，越整齐．3．样本数据的分散程度是计算样本数据的什么值？提示：样本数据的分散程度是样本数据到平均数的平均距离．4．极差、方差和标准差的联系是什么？提示：都是衡量(或描述)一组数据偏离平均数的大小(即波动大小)的指标，常用来比较两组数据的波动情况．思考感悟练一练1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56B．46,45,53C．47,45,56D．45,47,532．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )A．70,75 B．70,50C．75,1.04 D．62,2.353．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据某地某日早7点到晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图如图所示，则甲、乙两地PM2.5的方差较小的是( )A．甲 B．乙C．甲、乙相等 D．无法确定4．一次考试后，从高三(1)班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为________．知识点一方差、标准差的计算与应用1．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7月份的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格：月份12345 6价格(元/担)687867717270则前7A.757 B.767C ．11 D.7872．某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分) 甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； (2)哪一组的成绩较稳定？ 知识点二 数字特征与统计图表的综合问题差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组4．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的中位数大于乙的中位数C ．甲的方差大于乙的方差D 综合知识 极差、方差、标准差5.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．6．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4，乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．基础达标1．下列对一组数据的分析，不正确的说法是( )A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A．平均数 B．极差C．中位数 D．方差3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2 D．24．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7，则该射手成绩的方差是( )A．0.127 B．0.016C．0.080 D．0.2165．某一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x，方差为s2，则( )A.x＝5，s2<2B.x＝5，s2>2C.x>5，s2<2D.x>5，s2>26．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁－8.68.98.98.2平均环数x方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6)A．甲 B．乙C．丙 D．丁7．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )A．甲同学：平均数为2，众数为1B．乙同学：平均数为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2D．丁同学：众数为2，方差大于18．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．9．某人5次上班途中所花的时间(单位：分)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．10．甲、乙两位同学某学科连续五次的考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．11．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．12．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间/分[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25] 频数4852 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.13．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70, 1.75.经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？14.某市各地中小学每年都要进行学生体质健康测试，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为体质优秀；在[75,85)之间为体质良好；在[60,75)之间为体质合格；在[0,60)之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生的体质健康测试成绩，其茎叶图如下：(1)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；(2)根据以上30名学生的体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名，则优秀与良好的学生应各抽多少名？能力提升15.对甲、测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836加比赛比较合适？16．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)； ②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)； ④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．第2课时 极差、方差、标准差一测 基础过关填一填(1)最大值与最小值的差 (2)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] (3)1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2]判一判1．√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 练一练1．A 2.B 3.A 4.20.8 二测 考点落实1．解析：设7月份的市场收购价格为x ，则y ＝(x －71)2＋(x －72)2＋(x －70)2＝3x 2－426x ＋15 125，则当x ＝71时，7月份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的市场收购价格为71.则计算得前7个月该产品的市场收购价格的平均数是71，方差是767.故选B.答案：B2．解析：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，平均分为x 甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，方差为s 2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s 甲＝s 2甲＝119≈10.91(分)．乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为x 乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，方差为s 2乙＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，标准差为s 乙＝s 2乙＝75.25≈8.67(分)．(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方法(标准差)，因此乙组的成绩较稳定． 从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．3．解析：法一：第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253； 第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2 2. 故标准差最大的一组是第四组． 法二：从四个条形图可看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．答案：D4．解析：由题设中的茎叶图可以看出甲的平均数为29，乙的平均数为30，甲的中位数为26，乙的中位数为28；甲的方差为s 21＝302＋162＋32＋92＋－52＋－32＋－182＋－172＋－1529≈253， 乙的方差为s 22＝212＋132＋02＋42＋－102＋－52＋－32＋－22＋－1829≈121， 故选C. 答案：C5．解析：(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为： 甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分甲的平均得分为10＋13＋12＋14＋165＝13，乙的平均得分为13＋14＋12＋12＋145＝13.s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线统计图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．6．解析：(1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7； 对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7.(2)x 甲＝7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋410＝7，s 2甲＝110×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，s 甲＝s 2甲＝ 2.8≈1.673.x 乙＝9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋710＝7，s 2乙＝110×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，s 乙＝s 2乙＝ 1.2≈1.095.(3)∵x 甲＝x 乙，s 甲>s 乙，∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛． 三测 学业达标1．解析：极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．故选B.答案：B2．解析：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数．答案：C3．解析：由题意知：a ＋0＋1＋2＋3＝5×1 解得：a ＝－1s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2故选D. 答案：D4．解析：∵该射手在一次训练中五次射击的成绩的平均值为x ＝15×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，∴该射手成绩的方差s 2＝15×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016.故选B.答案：B 5．答案：A6．解析：∵甲、乙、丙、丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲、乙、丙、丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定．∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定． ∴丙是最佳人选．选C. 答案：C7．解析：甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A ；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x 1，x 2，x 3，则方差s 2＝13[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2]<1，则(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2<3，所以x 1，x 2，x 3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；丁同学：有可能是2,2,6，不符合题意．故选B.答案：B8．解析：根据题意知，该组数据的平均数为18×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.答案：1509．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋10＋11＋9＝50，x －102＋y －102＋1＋1＝2×5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x 2＋y 2＝208.∴2xy ＝192.∴(x －y )2＝208－192＝16， ∴|x －y |＝4. 答案：410．解析：x 甲＝70，x 乙＝68，s 2甲＝15×(22＋11＋12＋22)＝2，s 2乙＝15×(52＋12＋12＋32)＝7.2.答案：甲 甲11．解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数，则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x 32＝2，即得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 2＋x 3＝4，又∵x 1，x 2，x 3，x 4为正整数，∴x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝2或x 1＝1，x 2＝x 3＝2，x 4＝3或x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3，∵s ＝14[x 1－22＋x 2－22＋x 3－22＋x 4－22]＝1，∴x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3.由此可得这四个数为1,1,3,3. 答案：1,1,3,312．解析：x ＝120×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s 2＝120×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.答案：9.5 28.513．解析：甲的平均成绩和方差如下x 甲＝18(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6. 乙的平均成绩和方差如下： x 乙＝18(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68， s 2乙＝18[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15. 显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m 的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m 方可获得冠军，应派乙参赛．14．解析：(1)根据题意，样本中体质为优秀的学生人数为10，故该校高三年级体质为优秀的学生人数约为1030×300＝100. (2)依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为15:10＝3:2，所以从体质为良好的学生中抽取的人数为35×5＝3， 从体质为优秀的学生中抽取的人数为25×5＝2. 15．解析：x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33. x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33. s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛比较合适．16．解析：(1)由图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3.如下表：②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲趋于稳定，故乙更有潜力．§5用样本估计总体。