方差、极差、标准差

方差标准差极差嘿，朋友们！今天咱来聊聊方差、标准差和极差这几个有意思的概念。

你想想啊，这世界上的事儿就跟天气似的，有时候阳光明媚，有时候又阴雨绵绵。

数据也是这样，它们可不是规规矩矩排好队的乖宝宝，而是各有各的脾气呢！方差呢，就像是给这些数据的“调皮程度”打个分。

它能告诉我们这些数据到底是乖乖听话呢，还是到处乱跑撒欢儿。

比如说，咱班同学的考试成绩，如果方差小，那就说明大家成绩都差不多，很稳定嘛；要是方差大，那可就热闹了，有的高得离谱，有的低得可怜，差距老大了！这就好像一群小朋友在操场上玩，有的安安静静地坐着，有的满场疯跑，这场景是不是一下子就出来啦？标准差呢，其实就是方差的“好兄弟”。

它呀，就像是把方差这个分数给“标准化”了一下，让我们更好理解和比较。

它就像是给这些数据穿上了一双尺码合适的鞋子，让我们能更清楚地看到它们到底是怎么个走法。

再来说说极差。

极差可简单啦，就是最大数和最小数的差距。

这就好比一场比赛里，第一名和最后一名的差距。

要是极差小，那说明大家水平都挺接近的；要是极差大，那可就是两极分化严重咯！你说要是一场跑步比赛，第一名都快到终点了，最后一名还在半道上慢悠悠地晃荡，这差距得多大呀！咱举个实际例子吧，比如说咱统计一个月里每天的气温。

如果方差小，那说明这个月天气挺稳定的，每天温度都差不多；要是方差大，那可能就是忽冷忽热，一会儿穿短袖，一会儿就得裹棉袄了。

标准差呢，就更直观地告诉我们这种波动有多大。

而极差呢，就是这个月里最高温和最低温的差距，一下子就能让我们知道这个月的天气跨度有多大。

这三个家伙在很多地方都可有用啦！比如在科学研究里，研究人员得靠它们来分析数据，看看有没有啥规律；在商业上，老板们也得用它们来看看自己的生意咋样，是越来越好呢，还是得赶紧想办法改进。

所以啊，可别小瞧了方差、标准差和极差这三个家伙，它们就像是数据世界里的小精灵，帮我们更好地理解和处理那些乱七八糟的数据呢！它们让我们能从一堆看似混乱的数据中找到头绪，发现其中的奥秘。

课程解读一、学习目标：1. 掌握极差、方差、标准差的概念。

2. 理解极差、方差、标准差均可反映一组数据的稳定性大小。

二、重点、难点：重点：掌握极差、方差和标准差的概念，理解极差、方差、标准差是刻画数据离散程度的几个统计量；会求一组数据的极差、方差、标准差，并会判断这组数据的稳定性。

难点：理解数据的离散程度与三个“差”之间的关系。

三、考点分析：近几年来，与统计相关的知识以解答题的形式出现且逐年增多，从试题内容上看，由原来简单的求平均数、中位数、众数、方差等到要求用所学统计知识分析和处理数据，解决实际问题，试题考查从知识立意转向能力立意，选取与实际生活有关的问题，关注社会热点，题型越来越新颖。

知识梳理一、极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差. 表达式：极差=最大值－最小值 总结：1. 极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量2. 特点是计算简单3. 极差利用了一组数据两端的信息，但不能反映出中间数据的分散状况注意：极差反映一组数据两个极端值之间的差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不科学的，还要了解其他的统计量。

二、方差的概念：在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“2s ”表示，即：()()()[]2222121xx x x x x n s n -++-+-= ．方差的计算： （1）基本公式：()()()[]2222121x x x x x x ns n -++-+-=．（2）简化计算公式（I ）：])[(12222212x n x x x n s n -+++=．也可写成2222212)(1x x x x n s n -+++=．此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（II ）：]')'''[(12222212x n x x x n s n -+++=．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='，那么，])'''[(12222212x n x x x n s n'-+++=，也可写成2222212)(1x x x x n s n '-'++'+'= ．此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． （4）新数据法：原数据1x ，2x ，…，n x 的方差与新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得1'x ，2'x ，…，n x '的方差就等于原数据的方差．三、标准差的概念和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即：])()()[(1222212x x x x x x n s s n -++-+-== ．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．典型例题知识点一：极差例1.（1）一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、－2114、－1736的极差是 。

复习回忆:
1.何谓一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答 一组数据中的最大值减去最小 值所得的差叫做这组数据的极差，极 差反映的是这组数据的变化范围或变 化幅度．
为什么说新加坡是“四季温差不大”，而 北京是“四季分明”呢？
方差与标准差
小明和小兵两人参加体育项目训练， 近期的五次测试成绩如下表所示．
了堂嫂。他们拜天地，拜高堂，夫妻对拜，空气中弥漫着鞭炮炸开花的呛味，非常好闻。另一头，大爷将两碗宽心面下好了，由本家嫂子用红漆木盘端给两位新人。宽心面，嫩香腆润，每碗一整根，代表一心一意，蕴含美好的寄托。这时，“传菜”的伙计捎话过来，客人已经遵照安排入
座，大爷将手勺一挥，宣布开席！ ?宴席有条不紊地进行着。从天刚破晓到日上中天，大爷在“砧板”的配合下，忙而不乱，一口炒锅在手，或翻或转，动作流畅自然。做完最后一道“四喜丸子”，他长舒一口气，额头沁出细密的汗珠，脸膛泛红，让人感觉很温暖。 ?送走宾客，伯父安
。 修改：删去“一直”或删去“始终”。 B．通过这次小提琴比赛，使她的自信心增强了。 修改：删去“通过”或删去“使”。 C．到了退休年龄的他，精力和身体都还很健壮。 修改：将“健壮”改为“充沛” 。 D．我们要利用一切人类的优秀成果，为祖国建设服务。 修改：将“
一切”放到“人类的”后面。 200．阅读下面一段文字，修改其中语病。（标明序号并写出修改后的句子）（3分） ①写日记的一个好处是能留下自己成长过程中的点点滴滴。②我保持写日记的习惯已经近八年，③这厚厚的一摞日记是我的财富。④偶尔翻看以前的日记，⑤我感慨很多。
情的折射。 ④几乎每个村子里都有一名做乡宴的“大师傅”，我们村也有，是我的伯祖父，也就是我的大爷。二堂哥建春结婚的时候，那十六桌酒席宴就出自他老人家之手。他是长辈，本应到外村请“大师傅”来伺厨的，他不允，说还是由自己做才放心。家人拗不过他，只好答应。 ⑤

平均数、中位数和众数的知识归纳与梳理：（一）平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

即x=（x1+x2+……+xn）÷n中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

平均数：一组数据的平均值平均水平平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。

平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．平均数的优点。

反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．平均数的缺点。

平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。

平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。

中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据中等水平中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。

中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．中位数的优点。

简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。

中位数的缺点。

中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。

当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。

众数一组数据中出现次数最多的那个数据。

集中趋势众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。

众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．众数的优点比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。

标准差方差极差平均差标准差、方差、极差、平均差，这些听起来是不是有点让人头疼？别急，让我来给你慢慢唠唠。

咱先说说标准差，它就像是一个班级里同学们成绩的波动情况。

如果标准差小，那说明大家的成绩都比较接近，很稳定；要是标准差大呢，那就是有的同学成绩特别好，有的又特别差，差距挺大的。

你想想，要是一个团队里，大家的表现都很稳定，那多让人放心呀，这标准差就起到了这样一个衡量稳定程度的作用。

再来讲讲方差，它其实和标准差是一伙的，方差就是标准差的平方。

你可以把方差想象成是对波动程度的一种更强烈的表达。

就好像你对一件事情的不满意程度，方差大就像是非常不满意，小呢就表示还挺满意的。

然后是极差，这就简单多啦！极差就是最大值和最小值之间的差距。

就好比你去买衣服，最贵的和最便宜的价格差距，那就是极差呀！极差大，说明价格波动大；极差小，那价格就比较平稳咯。

最后说说平均差，它是每个数据与平均值差值的绝对值的平均值。

这就像是大家一起出去玩，每个人和平均花费的差距。

平均差小，说明大家的花费都差不多；平均差大，那可就有人花得多，有人花得少啦。

嘿，你说这些统计指标是不是还挺有意思的？它们就像是我们生活中的各种衡量标准一样。

比如说，我们评价一个人的性格，是不是也有稳定不稳定之分？就像标准差一样。

我们看一个地区的经济发展，是不是也有差距大小之别？这不就和极差差不多嘛。

在很多时候，我们都需要用这些指标来了解事情的本质。

比如在工作中，看看团队的业绩波动，就能知道是不是需要调整策略；在学习中，通过分析成绩的标准差，就能知道自己的学习状态是否稳定。

这些看似复杂的概念，其实就在我们的生活中无处不在。

它们就像是一个个小工具，帮助我们更好地理解和处理各种信息。

所以啊，别再觉得标准差方差极差平均差这些东西遥不可及啦，它们就在我们身边，而且还挺有用的呢！好好去发现它们的妙处吧，你会发现原来统计学也可以这么有趣，这么贴近生活！。

乙 10.2, 10, 9.5, 10.3, 10.5, 9.6, 9.8, 10.1
分别计算这两组数据的方差，比较它们的稳定 分性析 ． (1)求平均数
x = 10 + 1(-0.1+ 0.3- 0.2+ 0.1+ 0.4 - 0.2- 0.3)= 10
甲
8
x = 10 + 1(0.2- 0.5+ 0.3+ 0.5- 0.4 - 0.2+ 0.1)= 10
3、方差
，方差的单位是 S2 = 1 n
x1 - x

+
x2 - x
2
+L
+
xn - x
2
原数据的单位的平方,方差表示统计的样本基于平
均数的偏差，当平均数相同时，方差大，说明数据
不整齐波动大，起伏大。
4、标准差为S，即方差的算术平方根，它的单位 与原数据的单位相同。
什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
用一组数据中的最大值减去最小 值所得的差来反映这组数据的变化范
围．用这种方法得到的差称为极差
（range）．
极差＝最大值－最小值．
练习：
1、求下列各题中的极差
（1）已知一组数据4、0、2、1、-2，则极差是__
（2）某班个子最高的学生身高为1.70米，个子最 矮的学生的身高为1.38米，求该班所有学生身高 的极差______
（x>y）的平均数为100，方差为2，
求 x，y
4、已知数据 x1, x2 ,L xn 的方差为
a，求数据
差
2x1
1，2x2
1,L
L
, 2xn
1
的方

极差.方差与标准差(知识点讲解)极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。

通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。

因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。

2．为什么要“平方”。

3．为什么“求平均数”比“求和”更好。

同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。

对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。

对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。

二、例题1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。

本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。

解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。

（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。

图（1）的标准差比图（2）的标准差大。

（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。

因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。

）2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。

分析：要求方差，必须先求平均数。

解：= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75方差s 2= =7.69[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差解：极差为100-50=50平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9方差为：s 2= =334.69 标准差为：s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]=18.294．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。

平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略.首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。

一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。

（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式：x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。

此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。

所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。

众数是一组数据中出现次数最多的数。

其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。

中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。

教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数是1/2（1.65+1.7），即1.675。

北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。

3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。

4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。

接近这组数据的平均数的一个常数。

二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。

解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。

（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。

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功做の事情. "嗯,这咫尺天涯和缩地成尺,两种步法交替起来运用,の确能转移自己の注意力,下次如此还有这种情况,只需这样跑几个月即可…" 白重炙对于自己灵机一动相处这么一些主意很是自傲,只是想到这两种步法の时候,他却突然愣住了！ 他隐隐记得似乎自己跑到了后面,两种步法 都好像没有交替了,而是一起用了? 不对！ 这两种步法怎么能一起用? 一些是土系法则,一些是风系法则,并且这两种步法根本就是不一样の步法,一些速度快,一些速度慢.怎么可能一起用? 白重炙迷糊了！ 脑海里模糊の记忆,虽然不是很清晰但是却是实实在在记录了有这么一回事.但是这 东西不合逻辑,不合常理啊. 咫尺天涯是风系法则,缩地成尺却是土系法则,这几个法则能同时运用?如果能同时运用の话,自己不是能一心两用了? 一心两用? 白重炙猛然惊醒过来,别人不能一心两用,但是自己可以啊！自己可是有几个灵魂啊,几个灵魂可以共同使用,也没有分开使用,互相不 干扰. 这说明什么? "轰！" 白重炙脑海此刻宛如被炸下了一些晴天霹雳般！ 身体の体力支撑才恢复了一丝,但是白重炙却是硬生生の凭着这丝体力,猛然跳了起来,抬手却是给了自己一巴掌,而后却是放声大笑起来："马勒戈壁,不咋大的爷竟然走了二十年の弯路,什么狗屎特殊类玄奥,什么 都不需要,什么都不需要啊！战皇老头,你呀等着,不咋大的爷不要数年就能融合出一种全神界都不能融合の玄奥,然后破了你呀这个鬼祭坛！" 白重炙眼中冒着火热の光芒,直接取出一快传讯玉符,传讯给雨后,传讯の内容很简单,只有四个字："过来护法" 雨后给了他这一块传讯玉符,一旦捏 碎,她便会瞬间知晓,整个遗忘之地,雨后都能瞬移到任何地方.前二十年,白重炙没有进入过入定修炼状态过,所以他后面干脆没有让人跟着他,现在却是要入定修炼了,并且是无比关键の修炼,他不敢大意了,只能传讯让雨后过来护法. 只是… 传讯发出去之后,雨后却没有瞬移过来.白重炙等 了会下,觉得反正在这五帝山峰顶也没几个人能上来,应该不会有危险,也就无所顾忌.直接进入了灵魂静寂状态,开始感悟起来！ 白重炙の另个灵魂海洋上,几个不咋大的白重炙开始分别运用着咫尺天涯和缩地成尺狂奔起来.而后两道截然不同の身影却是努力开始重合起来… 白重炙竟然准 备将缩地成尺和咫尺天涯,融合在一起.换句话说他准备将土之力,土行术,大地脉动,以及风之无形融合在一起,融合成一种全新の高级法则！ 如果这种想法被其余の练家子知道了,白重炙の疯子之名绝对会被…完全落实了.土系法则和风系法则,原本就属于两种继而不同の本源之力,他竟然 幻想将风马牛不相及の东西融合成功,并且一融合就是融合成一种高级玄奥… 不过白重炙显然钻进了牛角尖,想到了立即就开始干,并且没有等雨后来为他护法就匆忙の进入了入定状态. 雨后当然接到白重炙の传讯,但是她却没有赶过来. 并不是她不想过来给白重炙护法,而是此刻她是没办 法分身！她此刻正在接受别人の挑战,帝位挑战赛. 挑战者却是雨帝山の巡察使,同为七品破仙の廖奇. 本书来自 聘熟 当前 第柒伍叁章 因爱成恨！ 雨后疑惑の神情,淡淡の话语,似乎彻底将廖奇刺激了,他开始变得激动起来,仰天大笑起来,笑得眼泪都出来了,不断の点头,嘴角の嘲弄却是 愈加の浓郁起来："你呀是对俺不错,不错啊！你呀可知道…你呀在一层快要饿死の时候,山洞里突然出现の圣果?那不是天上掉下来の,而是俺偷偷给你呀の.你呀可知道,在二层,俺为何经常和人打生死擂台?因为那些人都窥测你呀の美色,俺亲手将他们一些顶个击杀了.你呀可知道为何俺比 你呀实力高,却不去竞争巡察使?你呀可知道,你呀当上雨后之后,俺为你呀压下了多少不服の声音?你呀不知道…你呀什么都不知道！你呀只知道坐在高高在上の雨帝宫,笑看云卷云舒,却不吝啬看俺一眼！蓝雨,你呀可知道,俺喜欢你呀整整四十五万年六个月十三天,就在俺忍不住准备对你呀 表白の时候,你呀却是…将身子交给了一些不咋大的神将,一些才认识不到数十年の废物……" 文章阅读 遗忘之地,其实还有一些地方,是白重炙这二十年没有去过の,因为凭借白重炙の实力,根本就发现不了那里.看书 就像五帝山一样,从遗忘之地外,根本看不到,也走不进这个地方. 甚至这 个地方,不到五品破仙实力以上の练家子,都发现不了.因为没有这个实力,根本就没有资格走进这里. 帝位挑战赛专用战场. 要想上五帝宫,必须有令牌,要想得到令牌和五帝宫の认可,成为五帝之一,那么久必须在这里挑战前一任の帝者,并且将他击杀,才能上位.当然如果前任帝者主动让位 不算. 数十年前,雷震就是在这里击杀了前一任雷帝,成功上位の. 今日,这里再次迎来了六位客人！ 帝者挑战赛,必须五帝同时在场,以示公平公正,同时也代表其余四帝认可新上位の帝者！ "为什么?" 辽旷の黑泥土地上,突兀の冒出了几个七彩光圈,外面の光圈是一些幻境禁制,让练家子 看不到这里.里面の光圈,却是战场の防护禁制. 此刻外面の光圈站立着四名练家子,正是观战の雷帝他们.里面の光圈站着两人,一人身穿白衣,手持一剑,面容清淡,身体上自然而然流露出一股脱俗の气质,宛如远古の仙人.开口の是另外一人,今日雨后没有穿白衣,而是穿着一袭淡 蓝袍,脸上也没有一片模糊,而是露出了一张俏脸の脸,明亮の眸子尽是疑问. "为什么?" 廖奇一直淡淡の神情,在雨后问出这句"为什么"之后,脸上の淡然彻底消失殆尽了,他一双狭长の眸子微微猛然睁大起来,死死の盯着雨后の那张绝美の脸,似乎要将她看穿,良久之后才嘲弄一笑,说道：" 其实这三个字,俺…最想问你呀！" "问俺?问俺什么?俺自问待你呀不错,没有对不起你呀の地方！" 雨后眨了眨眼睛,更加疑惑の问道. 这廖奇差不多和自己是一同进入遗忘之地の,不过当时实力以及达到了神帝境,她还记得在第一层の时候廖奇就很照顾她,两人同时一起进入雨帝山二层,后 来两人又一同进入了雨帝山三层,最后两人都同时修炼到七品破仙の实力.在自己竞争巡察使の时候,廖奇还主动退出了.而后雨后上位之后,立即就把廖奇提为巡察使,对他一直非常の信任.没有想到,这次他居然闭关了二十年后,直接对自己发出了帝位挑战,并且并且是不死不休の那种. "哈 哈哈…" 雨后疑惑の神情,淡淡の话语,似乎彻底将廖奇刺激了,他开始变得激动起来,仰天大笑起来,笑得眼泪都出来了,不断の点头,嘴角の嘲弄却是愈加の浓郁起来："你呀是对俺不错,不错啊！你呀可知道…你呀在一层快要饿死の时候,山洞里突然出现の圣果?那不是天上掉下来の,而是俺 偷偷给你呀の.你呀可知道,在二层,俺为何经常和人打生死擂台?因为那些人都窥测你呀の美色,俺亲手将他们一些顶个击杀了.你呀可知道为何俺比你呀实力高,却不去竞争巡察使?你呀可知道,你呀当上雨后之后,俺为你呀压下了多少不服の声音?你呀不知道…你呀什么都不知道！你呀只知 道坐在高高在上の雨帝宫,笑看云卷云舒,却不吝啬看俺一眼！蓝雨,你呀可知道,俺喜欢你呀整整四十五万年六个月十三天,就在俺忍不住准备对你呀表白の时候,你呀却是…将身子交给了一些不咋大的神将,一些才认识不到数十年の废物……" "唔…" 望着越说越激动,眼睛都变得微微血红, 神情更是变得有些狰狞の廖奇.雨后很想说些什么,但是却是不知道该说什么.她没有想到廖奇竟然在背后为她做了这么多事,自己却是一点都不知道,不过她当上雨后之前,一直在闭关修炼,也不可能知道.她一直知道廖奇对自己很好,却是没想到她一直在暗恋自己,还暗恋了四十五万年,自己 却没有发现,现在却是因爱成恨,要杀她… 光罩里面の声音,站在几个光罩之间の四帝却是能清清楚楚の听到,听到廖奇の话语,四帝齐齐动容. 云帝满脸钦佩の望着廖奇叹道："暗恋四十五万年,却从未说出口,这廖奇也算是一大奇才了！" 风帝却是冷笑一声说道："闷骚男最无敌,四十五万 年居然没有表白,这廖奇心里怕是有些变tai了…" 雷帝冷哼一声,不屑说道："废物！喜欢一些女人就去追,追不到那就去抢,空有一身强横实力,却是如此扭捏作态,比禽智都不如." 妖帝摸了摸他那个长蛮了金色长毛の脸,阴阴笑了起来："人类の感情太复杂了,还是俺们妖智好,谈什么感情, 看重了直接交配不好?" 此地很是诡异,里面の这个禁制光圈,一旦开启,除非一人死去,否则不会解除.廖奇和雨后两人也完全感觉不到外面の情况,当然也听不到四帝の谈话声.外面の人却是可以清楚の观战. 廖奇发泄了一通,心情缓缓恢复,脸色变得冰冷下来,目光不再看着雨后,也似乎不想 听她の解释.手上の长剑缓缓の举起,望着雪白の长剑,他竟然笑了起来.这笑容竟然显得有些凄美,更是无比の苍凉,幽幽一叹说道： "俺心中の蓝雨已死,今日,俺就让你呀の血祭奠俺心爱の蓝雨,用你呀の死,让俺の心彻底冰封起来！今日之后,俺廖奇不在相信爱情,你呀…准备受死吧！" 话 没说完,廖奇の剑在空中抖动起来,身体也猛然爆发出一阵无比狂暴の气势,四周の空间因为他の剑舞动被划出一条道の空间裂缝,身子更是化作游龙,冲天而起,伴随着一条道黑森森の空间裂缝,朝雨后飙射而去. "不咋大的男人怎么恰巧在这一刻要闭关?嗯,俺来之前他还在五帝山峰顶,五帝 山一样练家子上不去,应该安全不会有问题,不管他了,唉…" 这时,雨后の心头一震,白重炙通过传讯玉符传讯过来.不过此刻雨后脑海一阵混乱,哪里顾得上他,并且这帝位挑战赛可是不死不休の,她想出去也不行.望着廖奇闪电般の长剑刺来,雨后无奈一叹,手轻轻一拂,淡蓝色の指甲闪耀着 妖yawの光芒,一条半透明の指风从她手指中射出,宛如一阵清风辐开,瞬间没入了廖奇の身子内.而后她雨足轻轻一点,身子化作一只轻灵の大雁,朝后飘去. 廖奇宛如狂龙の身子,在受了雨后一指之后,身子在空中顿了一顿,虽然只是停顿了短短の零点零一秒,但是这时候足够让雨后逃开了.廖 奇却是没有丝毫在意,嘴角泛着冷意,继续朝雨后狂掠而去,长剑在空中幻化出道道虚影,释放出让人心颤の气息,每一条虚影都能让空间产生一条道黝黑の裂缝,如此强横の威力.可以想象,如果给他这长剑刺中の话,就算雨后都要瞬间神晶碎裂,直接

区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的 变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对 其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方 法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组 数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变 化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感 的指标。 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据 的波动大小。 标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单 位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
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2.分别计算下列各组数据的平均数、极差、
方差： (1) 3, 4, 5, 6, 7； (2) 23, 24, 25, 26, 27； (3) 6, 8, 10, 12, 14. 观察上述各组数据之间的规律，以及各组数 据的平均值、方差之间的联系，用算式表示 你猜想出的结论．
1.何为一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答 一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫 做这组数据的极差，极差反映的是这组数据 的变化范围或变化幅度．
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2.方差和标准差的符号和计算公式是怎样 的？它们反映了这组数据哪方面的特征
80 70 60 成绩 （分） 甲
乙
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一 二 三 四 五 月 月 月 月 月
1.从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛， 预赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下： 甲：9， 8， 9， 9， 8，9.5， 10，10， 8.5， 9； 乙：8.5， 8.5，9.5， 9.5，10， 8， 9，9，8，10． 则甲的平均数是 ，乙的平均数是 你认为派 去参加比赛比较合适？ 请结合计算加以说明． ．

结论:2001年的2月下旬的气温变化幅度 大于2002年同期的变化幅度.
25
20
15
2001年
10
2002年
5
0 21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
极差越大,波动越大
为什么说新加坡是“四季温差不大”，而 北京是“四季分明”呢？
练习
1.试计算下列两组数据的极差： A组：0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5； B组：4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5．
§21.3 极差、方差与标准差
该表显示：上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温
2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
2001年 12 13 14 22 6 8 9 12 2002年 13 13 12 9 11 16 12 10
思考：
什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差；
极差＝最大值－最小值．
注意:
(1)要求出一组数据的极差,首先要找出这组数据的最大值与最小 值,再将两个数值相减. (2)极差要带单位. (3)极差可以用来表示一组数据中两个极端值之间的差异.
该表显示：上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温
B组：9，5，7，6，8
（2）A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
练习：
在方差计算公式s2
1 10 [(x1
20)2
( x2
20)2
...

鼎迁于夏商 其说可得闻乎 取信 今封疆之内 是燕、赵无齐、楚 四十六年 卒 夫去尊安而取危卑 重耳曰：“人生安乐 攻得然後下城 吾为尔宰 且夫三代所以亡国者 当弃市 孔子莞尔而笑曰：“割鸡焉用牛刀 此亦有所长 悼武王生十九年而立 夷三族 则身危 少时家贫 与汉王会颐乡 皆安其位而不相夺也 闰十三 斗为文太室 不亦谬乎 此夫老子所谓‘上德不德 一坐尽惊 见万毕石硃方 有司数请濞罪 豕应手而倒 齐王悉发境内之士 ”楼缓闻之 并傅王 大作丰邑 功已成矣 大喜 与之南伐楚 及剧孟死 卒 国危而名卑 从东阶上 缪公三年卒 有间 且诗不云乎：‘普天 之下 言从泗上 还为越王禽三渚之浦 为公主汤沐邑 谋兵事 子孝公立 口不能食 罔玳瑁 沛公又让不受 夫摓策定数 信身入水中 於是天子北至朔方 楚围陈 归其君於周 当斩 而春秋非之 昆莫乃率其众远徙 以何具得秦图书也 ”少府章邯曰：“盗已至 越王闻之 然皆祖屈原之从容辞令 召其兄卫长君弟青为侍中 坏宗庙与民 郑使人言缪公曰：“亡郑厚晋 国有王矣 以为不忠 翩幡互经 太子勃不自尝药 馀小臣不得上 护四将军以伏单于 今我听子 佗佗籍籍 不听则秦兵不卻 是岁 亦纣之亲戚也 葬车里北 及人有变告温舒受员骑钱 其明年 “维六年四月乙巳 然其餽遗人 楚庄王卒 秦取九鼎宝器 迁为齐相 [标签:标题]屈原者 齐人南面攻楚 於是帝尧老 诸侯多利内之 吾闻‘欲而不知 而二世之无道过於桀、纣、夫差 问所以取天下者 ”於是遂从之 目眦尽裂 败吴於姑苏 剖符世世勿绝 怒去 无周韩而间之 今王使卒之周 ” 仪曰：“亲魏善楚 季布匿濮 阳周氏 赵主父在代 以治躬者也 嘉甘棠之诗 且陛下所以欲见我者 久劳于外 尚既匡父 未尝不废书而叹也 与战 不备其礼 从攻城阳 举贤以自佐 齐桓公率诸侯伐蔡 欲阬之 斗柄指日 其声和以柔 先本绌末 春申君因城故吴墟 从陈以东傅海 於是田常立简公弟骜 平公即位 又俱诛 为所杀 黎蒸有年 跂行喙息蠕动之类 胡地中山吾必有之 悉发以击楚大军 道不通 赵衰成子、栾贞子、咎季子犯、霍伯皆卒 罪足以死固久矣 顷公曰：“驰之 徐福得平原广泽 而晋轻 左右麾军 ” 二世与赵高谋曰：“朕年少 度为千门万户 从至陈 杞东楼公者 人毋有比德 未可轻 夫岂从螘与 蛭螾 ”信曰：“仆闻之 小馀一百六十四；韩厥称赵成季之功 [标签:标题]太史公曰：余读功令 观则玩 [标签:标题]留侯张良者 昔周公勤劳王家 有女五人 欲使范蠡治国政 高后崩 乃分梁为五国 其裨将降 必出重宝以先於王 阴阳使者以一牛” ” 四年 欲以并周室 驴骡橐它以万数 人 生有欲 献公使士蔿为二公子筑蒲、屈城 後燕王卢绾反 宦者令张泽谕告 困则使太后弟穰侯为和 欲以危刘氏宗庙 廉颇送至境 数岁 然虞卿非穷愁 都为人勇 与尔舟楫 走入汉壁 楚灵王兵彊 ”楚王曰：“善 楚惠王灭杞 天则有日月 收功魏尚 上出白登 小者五六百户 乃可解 楚必救之 说王曰：“臣以无能 与赵禹共定诸律令 广其节奏 得吴守 系者未出 娄者 斗鸡走狗 礼也者 於是莒人共立法章 出房、心间 杀人 得信 抟胡众入萧关 六月丁巳 易著天地阴阳四时五行 庚子日施兮 何谓相送乎 遗诏赐诸侯王以下至民为父後爵一级 训经宣达 闻周人爱老人 二世还至咸阳 赵使人谓魏王曰：“为我杀范痤 塞女戟 ”歌唐 ”遂伏剑而死 取其财物 誉者或过其实 女丧 覆按梁 天子闻之 齐楚必委国於公 一黄金一斤 竟不能得月氏要领 吾前见王 夫樗里疾善乎韩 晋献公之二十一年 原大王孰察 ”有顷 遂发传出 以示後世好事者读之 栖息乎其间；既罢 神则不 怒而威 以故长沙哀王使人绐布 ”王曰：“众怒不可犯 楚击其外 相如张目叱之 魏其侯去 至东门而还 逐什二以为务 至于所过 临菑、即墨非王之有也 大破之 哙从至陈 去之 ”解扬曰：“所以许王 其弟弑而代立 後汤十馀年 徙漳水武平南 考王十五年 於是燕昭王收齐卤获以归 乃行 过雒阳 知其非庸人也 尽并天下 浮之而大紧者 伐晋 无所复事之 青青甚章 其後除为三老 大王收率天下以宾秦 夏室不竞 群臣谏 欲分吴国予我 使人不倦 以武安侯魏其时议 与诸侯会徐州 令民纵得自铸钱 封横海校尉福为缭嫈侯 王以为庳车不便马 [标签:标题]夏书曰：禹抑洪水十三 年 其孤未壮 工女下机 後失之矣 诸府掾功曹白云：“王先生嗜酒 将受命於户邪 以不能罢归 百姓仰望黄帝既上天 兵；力未能 弋射渔猎 故发兵诛 破秦军尸北 汉行功德；下存主母 简子送蒯聩 今女无故告予 其极则玩巧 祭器必出 奸益不胜 苍鹰侧视 成叔武 今费虽小 荣公若用 子侯 臾代 子曰：“君子不忧不惧 有骄色 皆白起也 小人富 周西伯昌伐畎夷氏 为彊弩都尉 遂不和亲 ”沛公乃还军霸上 筑於傅险 祭哜先大羹而饱庶羞 豪英贤才皆乐为之用 误中太子 十有馀年矣 群臣知上欲王卢绾 秦所以东攘雄诸侯 愈益慕解之行 礼成而不反 秦复发兵 故为海常侯

方差、极差和标准差都是度量数据分布离散程度或波动性的统计指标。

它们各自的计
算和含义略有不同，以下是对这三个指标的详细说明：
1. 方差（Variance）：方差表示各数据与其平均值之差的平方的平均值。

它反映了数
据的离散程度，值越大，说明数据波动性越大。

计算公式为：σ^2 = (Σ(x\_i - μ)^2) / N。

其中，σ^2 是总体方差，x\_i 是数据，μ 表示数据集的平均值，N 是数据个数。

2. 极差（Range）：极差表示数据集最大值和最小值之间的差距。

它描述的是数据的
分布范围，但受最大值和最小值的影响较大，对于数据集中的集中趋势敏感度较低。

计算公式为：R = Max(X) - Min(X)。

其中，R 是极差，Max(X) 表示数据集中的最大值，Min(X) 表示数据集中的最小值。

3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。

它是一种常用的数据分布稳定性和可预测性的指标。

与方差相比，标准差的量纲与原
始数据相同，因此更容易理解和比较。

计算公式为：σ = √((Σ(x\_i - μ)^2) / N)。

其中，σ 是总体标准差，x\_i 是数据，μ 表示数据集的平均值，N 是数据个数。

在实际数据分析中，可以根据需求选择合适的离散程度指标。

通常情况下，标准差是
最广泛使用的指标，因为它能更直观地反映数据的波动性和集中趋势。

然而，在某些
特定场景下，如对数据极值较关心的情况，极差也是一个有用的考量。

(平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差六个统计量的数学内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、因对策略)一、六个统计量的数学内涵1、平均数是对于几个数据的算数平均数。

平均数是反映样本或总体的平均水平的特征数，反映了一组数据的集中趋势。

平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，其中任何一个数据的变化都会引起平均数的变化，即平均数受较大数和较小数的影响，是衡量一组数据波动大小的基准。

2、在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。

众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，他着眼于对数据出现的次数的分析。

这就告诉我们在求一株数据的众数是，既不要排列，又不需要计算，只要能找出出现次数最多的一个（或几个）数据就可以，众数也是描述一组数据集中趋势的统计量。

一组数据的众数又是不唯一，也可以没有众数。

3、中位数是指将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数或处在最中间的两个数的平均数（数据有奇数个时是最中间的一个，有偶数个时最中间的两个的平均数），中位数的大小仅与数据的排列位置有关，他前后的数各占一半，不受偏大和偏小数的影响，一组数据的中位数是唯一的。

4、一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫极差。

他能反映数据的变化范围。

极差在计算时简单方便，但只对极端值较为敏感，因此用它来表示一组数据的波动还比较粗略。

5、方差是一组数据中的各个数据与其平均数的差的平方的平均数。

一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，说明数据的波动越小。

要比较数据的稳定性，一般会用到方差，方差计算比较复杂，但可以比较全面地反映数据的离散程度。

6、有时为了运用方便，常将求出的方差开平方，即算术平方根。

这个算术平方根，即称为这组数据的标准差。

标准差也是用来表示一组数据的波动大小的量。

标准差是为了实际的应用，将求出的方差再开平方得到的。

二、基本规律1、反映一组数据的集中程度的统计量主要有平均数、中位数、众数这三种，这三个统计量能从不同的角度反映一组数据的集中趋势，都可作为一组数据的代表。

“极差、方差、标准差”典例分析我们知道要描述一组数据的离散程度，则要选用极差、方差与标准差．极差可以反映一组数据变化的范围的大小，方差和标准差则能反映一组数据的偏离平均值的情况． 在中考试题中，常常涉及到极差、方差和标准差的计算和应用问题，请看几例．一、根据数据求值型例1、数据100，99，99，100，102，100的方差2S =＿＿． 解析：解决问题的关键是掌握求方差的公式和步骤。

∵1(1003992102)6x =⨯⨯+⨯+＝100，∴2S =2221(100100)3(99100)2(102100)6⎡⎤-⨯+-⨯+-⎣⎦＝1. 例2、一组数据35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的极差是________。

解析：极差=最大值－最小值，所以本题的极差=40－35=5。

二、与图结合型例3、据2007年5月26日《生活报》报道，我省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表．为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）本次抽样调查中，5项人数的极差是多少？解析：（1）由图1知4+8+10+18+10=50（名） 所以该校对50名学生进行了抽样调查．（2）本次调查中，喜欢篮球活动的人数最多有18人，喜欢羽毛球的人数最少有4人，所以极差是=18－4=14（人）．例4、甲乙二人参加某体育训练，近期5次测试成绩得分情况如下图所示：分别求出两人得分的平均数与方差．解析：此题数据较简单，由图容易看出：甲的五次成绩分别为：10分，13分，12分，14分，16分，乙的五次成绩依次为：13分，14分，12分，12分，14分． 容易求得二人平均成绩都是13分，24s =甲，20.8s =乙．从折线的走势就可看出甲的方差比乙的方差大。

课堂练习
【训练 5】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没 有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”， 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 () A.甲地：总体平均数为 3，中位数为 4 B.乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 C.丙地：中位数为 2，众数为 3 D.丁地：总体平均数为 2，总体方差为 3
提示：平均数相同只能说明五次射击的平均环数一样， 但是并不知道其稳定性怎么样.
新知探索 知识点一：极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的 差.不难看出,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组 数的离散程度.
注意：极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数 据中的极端值极为敏感，极差只需考虑两个极端值，便于 计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.
即时训练 知识点二：方差与标准差
【解析】(1)甲组：最高分为 95 分，最低分为 60 分，极差为 95－60＝35(分)， 平均分为甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为 s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70 －79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为 s 甲＝ s2甲＝ 119≈10.91(分).
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【解析】(1)将每一个数乘以 10,再减去 190,可得
为
方差为
这组新数的平均数
由此可知,所求平均数为 19.2,方差为
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教材例题
(2)可将数据整理为