极差、方差及标准差计算过程(示例)

正确理解混凝土强度评定方法中的若干概念要保证混凝土的实际强度达到合格的要求，必须做好三个环节的控制。

除切实搞好混凝土的原材料控制（又称初步控制）、生产控制外，还要对半成品和成品在出厂交付使用前，进行验收，即进行合格性检验评定，又称验收控制。

通过验收环节，对商品混凝土生产方而言，是使不符合质量标准要求的产品，不予出厂，防止给使用者造成实在或潜在的危害。

在混凝土生产控制措施不够健全或原材料控制不尽完善的情况下，为保证混凝土质量，合格性检验的验收控制就显得更为重要。

对使用方而言，现场试块强度是评定混凝土结构实际强度并进行验收的依据。

一、强度类型对混凝土进行强度试验的目的大体有两个，因此所得的强度也有两种。

1．标准养护强度对用于工程结构中的一批混凝土（验收批）按标准方法进行检验评定，视其是否达到该等级混凝土应有的强度质量，以评定其是否合格。

这种强度的试件应在标准条件下养护，故称为混凝土的标准养护强度，简称标养强度。

这里应强调的是，在使用商品混凝土时，作为结构混凝土强度验收的依据是运送到施工现场的混凝土并在现场由商品混凝土供应方、施工方和监理单位共同取样制作并进行标准养护的试块强度。

商品混凝土供应方的试块标养强度只是商砼供应方用于评定企业的生产质量水平和作为生产控制用的，虽然可以参考，但不能作为结构强度验收的依据。

2．同条件养护强度对在混凝土生产施工过程中，为满足拆模、构件出池、出厂、吊装、预应力筋张拉或放张等的要求，而需要确定当时结构中混凝土的实际强度值以便进行施工控制。

这种强度的试块一般均置于实际结构旁，以与结构同样的条件对其进行养护，故称为混凝土的同条件养护强度。

又因其多用于控制施工工艺，故简称施工强度。

这两种强度在取样、养护、评定方面有很大的不同，应注意它们的差异以免混淆。

标准强度和施工强度有以下三点差别：1．养护方式不同：如前所述分别为标准养护和同条件养护。

2．评定方式不同：标养强度按批评定（验收批的划分见后面），有三种评定方法（标准差已知统计法、标准差未知统计法、非统计法）；施工强度基本按组与相应的工作班混凝土一一对应地检验。

北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。

3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。

4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。

接近这组数据的平均数的一个常数。

二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。

解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。

（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。

方差与标准差的公式方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和波动性。

在实际应用中，方差和标准差经常被用来分析数据的稳定性和可靠性。

本文将介绍方差与标准差的概念、计算公式以及应用场景，希望能够帮助读者更好地理解和运用这两个重要的统计指标。

在统计学中，方差是衡量一组数据离散程度的指标。

它的计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i \overline{x})^2 \]其中，\( \sigma^2 \) 表示总体方差，\( n \) 表示样本容量，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据点，\( \overline{x} \) 表示样本均值。

方差的计算步骤是先求出每个数据点与均值的差值，然后将差值的平方求和，最后除以样本容量。

方差的单位是数据点的单位的平方。

标准差是方差的平方根，它的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]标准差和方差一样，都是用来衡量数据的离散程度。

但是标准差的单位和原始数据的单位是一样的，因此在实际应用中更为直观和方便。

方差和标准差的计算公式看起来可能有些抽象，但是它们的基本思想是衡量数据点与均值之间的偏离程度。

如果数据点与均值的偏离程度较大，那么方差和标准差就会较大；反之，偏离程度较小，方差和标准差就会较小。

因此，方差和标准差可以帮助我们直观地了解数据的分布情况。

在实际应用中，方差和标准差有着广泛的应用。

比如在财务领域，投资者常常使用标准差来衡量资产的风险；在生产领域，工程师可以使用方差来评估产品质量的稳定性；在医学领域，研究人员可以使用标准差来比较不同药物对患者的治疗效果。

总之，方差和标准差在各个领域都有着重要的作用。

在使用方差和标准差时，需要注意一些问题。

首先，方差和标准差都是对数据分布的一个概括，它们并不能完全代表所有数据点的情况；其次，方差和标准差都受到极端值的影响，因此在分析数据时需要注意排除异常值的影响；最后，方差和标准差都是针对数值型数据的，对于分类型数据需要采用其他方法进行分析。

方差标准差的计算公式方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和稳定性。

在实际应用中，我们经常需要计算方差和标准差来分析数据的分布情况，从而更好地理解数据的特征和规律。

本文将介绍方差和标准差的计算公式，希望能够帮助读者更好地掌握这两个重要的统计指标。

首先，让我们来了解一下方差的计算公式。

方差的计算公式可以用以下的数学公式表示：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \mu)^2 \]其中，\( \sigma^2 \) 表示总体方差，\( n \) 表示样本容量，\( x_i \) 表示第 \( i \)个数据点，\( \mu \) 表示样本均值。

这个公式的含义是，方差等于每个数据点与均值的差的平方的平均值。

通过这个公式，我们可以计算出数据的方差，从而了解数据的离散程度。

接下来，我们来介绍标准差的计算公式。

标准差是方差的平方根，它可以用以下的数学公式表示：\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \mu)^2} \]其中，\( \sigma \) 表示总体标准差，其他符号的含义与方差的计算公式相同。

标准差的计算公式与方差的计算公式非常相似，只是在最后加了一个平方根的运算。

通过计算标准差，我们可以更直观地了解数据的稳定性和波动情况。

在实际应用中，我们通常会先计算出数据的均值，然后根据均值来计算方差和标准差。

通过计算这两个指标，我们可以全面地了解数据的分布情况，从而更好地进行数据分析和决策制定。

在统计学、金融学、经济学等领域，方差和标准差都是非常重要的指标，它们可以帮助我们更准确地理解数据，从而更好地应用数据进行实际工作。

总之，方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和稳定性。

通过本文介绍的方差和标准差的计算公式，希望读者能够更好地掌握这两个重要的统计指标，并在实际工作中加以应用。

方差标准差的计算公式方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们分别用来衡量数据的离散程度和波动程度。

在实际应用中，我们经常需要计算数据的方差和标准差，以便更好地理解数据的分布特征和变化趋势。

本文将介绍方差和标准差的计算公式，帮助读者更好地理解和运用这两个重要的统计指标。

首先，让我们来了解一下方差的计算公式。

方差是用来衡量数据离散程度的统计量，它的计算公式如下：方差的计算公式为，\[Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i \overline{X})^2\]其中，\[Var(X)\]表示随机变量\[X\]的方差，\[n\]表示样本容量，\[X_i\]表示第\[i\]个样本值，\[\overline{X}\]表示样本的均值。

方差的计算公式可以简单地分为三个步骤，计算每个样本值与均值的差值，对差值进行平方，然后对所有平方差值求和并除以样本容量。

这样就可以得到数据的方差。

接下来，让我们来了解一下标准差的计算公式。

标准差是方差的平方根，它也是用来衡量数据波动程度的重要指标。

标准差的计算公式如下：标准差的计算公式为，\[SD(X) = \sqrt{Var(X)}\]其中，\[SD(X)\]表示随机变量\[X\]的标准差，\[Var(X)\]表示\[X\]的方差。

从方差的计算公式可以看出，标准差的计算公式实际上就是方差的平方根。

通过计算标准差，我们可以更直观地了解数据的波动程度，同时也可以更方便地与均值进行比较。

在实际应用中，方差和标准差通常用来衡量数据的离散程度和波动程度。

当数据的方差和标准差较大时，说明数据的离散程度和波动程度较大，反之则较小。

通过计算方差和标准差，我们可以更好地理解数据的分布特征，发现异常值，进行数据分析和预测。

总之，方差和标准差是统计学中重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和分析数据的离散程度和波动程度。

通过本文介绍的方差和标准差的计算公式，读者可以更好地掌握这两个重要的统计指标，更准确地进行数据分析和应用。

样本方差、变异系数、极差的概念样本方差（Sample Variance）是统计学中用来衡量一组数据的离散程度的指标。

方差的概念可以分为总体方差和样本方差，它们的定义稍有不同，这里我们主要关注样本方差。

在统计学中，我们经常会对一组数据进行分析，这组数据可以包含各种各样的值。

为了能够更好地描述这组数据的分布特性，我们常常会计算它的方差。

方差的计算方法如下：1. 首先，我们需要计算数据的平均值。

假设我们有n个数据点，分别为x1, x2, ..., xn，那么平均值可以通过求和再除以n来计算，即x̄=(x1+x2+...+xn)/n。

2. 接下来，我们需要计算每个数据点与平均值的差值。

对于每个数据点xi，我们可以计算差值(xi - x̄)。

3. 然后，我们需要对这些差值进行平方。

这是因为差值可能为负数，而我们计算方差时只关心差值的绝对值，所以需要将其平方。

4. 最后，我们将所有差值的平方相加，然后除以n，即可得到样本方差。

方差的计算公式如下：方差= (∑(xi - x̄)²) / n其中，∑表示对所有数据点依次求和。

方差的取值范围通常是非负的，越大表示数据的离散程度越高，而越小表示数据的离散程度越低。

方差的单位是数据的平方单位。

变异系数（Coefficient of Variation）是一种无量纲指标，它用来度量数据相对于其平均值的离散程度。

变异系数的计算方法如下：1. 首先，计算数据的标准差。

标准差是方差的平方根，它用来衡量数据的离散程度。

标准差的计算方法与方差相似，只是在最后开根号，即√方差。

标准差的计算公式如下：标准差= √方差2. 接下来，计算数据的平均值。

平均值的计算方法与方差的计算方法相同。

3. 最后，计算变异系数。

变异系数等于标准差除以平均值，然后乘以100%。

变异系数的计算公式如下：变异系数= (标准差/ 平均值) * 100%变异系数是一个百分比，表示标准差与平均值的比例关系。

方差典型练习题例1 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：c m）甲：21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙：27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.分析：本题既是一道和极差、方差和标准差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差，将方差开平方就得标准差.解：甲的极差：42-14=28(cm)；乙的极差：44-16=28(cm).甲的平均值:乙的平均值:甲的方差:,乙的方差:（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以一种玉米的苗长的高.（3）因为，所以甲种玉米的苗长得整齐.例2 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩（单位：m）如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测，跳过1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过1.70m才能得冠军呢？解析：本题是一道数据分析有关的实际问题,主要考查数据的平均数、方差的计算方法及处理数据的能力.根据平均数及方差的计算公式可得（1）==1.69(m),==1.68（m）.(2)=0.0006(m2),=0.0035(m2),因为,所以甲稳定.（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过1.65m而乙有3次低于1.65m; 可能选乙参加，因为甲仅3次超过1.70m.。