课时作业(十三) [第13讲 变化率与导数、导数的运算]
(时间:45分钟 分值:100分)
基础热身
1.函数y =x 2
ln x 的导数为( )
A .y ′=2x +ln (e x)
B .y ′=x +ln (e x 2)
C .y ′=x ln (e x 2)
D .y ′=2x ln (e x 2)
2.已知函数y =f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是x -2y +1=0,则f(1)+2f′(1)=( )
B .1 D .2
3.[2014·郑州测试] 已知曲线y =x 2
4-3ln x 的一条切线的斜率为1
2,则切点的横坐标
为( )
A .3
B .2
C .1
4.[2014·济南质检] 设曲线y =x +1
x -1在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,
则a =( )
A .2
B .-2
C .-12
5.已知曲线y 1=2-1x 与y 2=x 3-x 2
+2x 在x =x 0处切线的斜率的乘积为3,则x 0的值为
________.
6.[2014·江西“红色六校”联考] 若曲线y =kx 2
+ln x 在点(1,k)处的切线过点(2,3),则k =________.
能力提升
7.P 0(x 0,y 0)是曲线y =3ln x +x +k(k∈R )上一点,过点P 0的切线的方程为4x -y -1=0,则实数k 的值为( )
A .2
B .-2
C .-1
D .-4
8.已知f(x)=x 2
+2xf′(1),则f′(0)等于( ) A .0 B .-4 C .-2 D .2
9.[2014·济宁模拟] 已知f(x)=x(2012+ln x),f ′(x 0)=2013,则x 0=( ) A .e 2 B .1 C .ln 2 D .e
10.已知函数f(x)=-23x 3+2ax 2
+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,则函数f(x)
的图像上点(1,f(1))处的切线方程是( )
A .3x -15y +4=0
B .15x -3y -2=0
C .15x -3y +2=0
D .3x -y +1=0
11.[2014·湛江调研] 曲线y =e -2x
+1在点(0,2)处的切线与直线y =0和y =x 围成的三角形的面积为( )
D .1
12.若曲线y =x α
+1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=________.
13.若点P 是曲线y =x 2
-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的距离的最小值为________.
14.(10分)已知函数f(x)=x 3+(1-a)x 2
-a(a +2)x +b(a ,b ∈R ).
(1)若函数f (x )的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a ,b 的值; (2)若曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围.
15.(13分)已知函数f(x)=x 3
-ax 2
+10.
(1)当a =1时,求曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若在区间[1,2]内至少存在一个实数x 0,使得f(x 0)<0成立,求实数a 的取值范围. 难点突破
16.(12分)设函数f(x)=ax -b
x ,曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x -4y
-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
课时作业(十四) [第14讲 第1课时 导数与函数的单调性]
(时间:45分钟 分值:100分)
基础热身
1.函数f(x)=(x -3)e x
的单调递增区间是( ) A .(-∞,2) B .(0,3) C .(1,4) D .(2,+∞)
2.函数f(x)=x +9
x
的单调递减区间为( )
A .(-3,0)
B .(0,3)
C .(-3,0),(0,3)
D .(-3,0)∪(0,3)
3.设a∈R ,函数f (x )=e x +e -ax
的导数是f ′(x ),若xf ′(x )是偶函数,则a =( )
A .1
B .0
C .-1
D .±1
4.[2014·抚顺二模] 设函数f(x)=x 3
-12x +b ,则下列结论正确的是( ) A .函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递增 B .函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减 C .函数f(x)在区间(-2,2)上单调递增 D .函数f(x)在区间(-2,2)上单调递减
5.若f(x)=x 3-ax 2
+1在区间(0,2)上单调递减,则实数a 的取值范围是( ) A .0 6.设函数f(x)=12x 2 -9ln x 在区间[a -1,a +1]上单调递减,则实数a 的取值范围是 ________. 能力提升 7.若函数f(x)=x 3+x 2 +mx +1对任意x 1,x 2∈R 满足(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,13) B .(1 3 ,+∞) 8.设f(x)=ax 3+bx 2 +cx +d(a>0),则f(x)为增函数的充要条件是( ) A .b 2-4ac>0 B .b>0,c>0 C .b =0,c>0 D .b 2-3ac≤0 9.下列区间中,使函数y =x sin x +cos x 为增函数的区间是( ) A .(π2 ,3π 2 ) B .(π,2π) C .( 3π2,5π 2 ) D .(2π,3π) 10.若函数f(x)=13x 3-12ax 2 +(a -1)x +1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞) 上为增函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,0] B .[-1,3] C .[3,5] D .[5,7] 11.函数f(x)=13ax 3+12ax 2 -2ax +2a +1的图像经过四个象限,则实数a 的取值范围是 ( ) A .a>-3 16 B .-65 C .a>-65 D .-65≤a≤-316 12.[2014·郑州调研] 若函数f(x)=13x 3-32x 2 +ax +4的单调递减区间为[-1,4],则 实数a 的值为________. 13.[2014·漳州质检] 若函数f(x)=2x 2 -ln x 在区间(k -1,k +1)上有定义且不是单调函数,则实数k 的取值范围为________. 14.(10分)[2014·商丘三模] 已知函数f(x)=ln x -12ax 2 -2x(a∈R ).若函数f (x ) 在定义域内单调递增,求a 的取值范围. 15.(13分)[2014·河南新乡三模] 直线y =kx +1与曲线f(x)=x 3 +ax +b 相切于点A(1,3). (1)求f(x); (2)若g(x)=f(x)+ln x +(t -1)x -x 3 +x(t∈R ),讨论函数g (x )的单调性. 难点突破 16.(12分)[2014·吉林三模] 已知函数f(x)=ln x -a x ,其中a∈R . (1)当a =-1时,判断f (x )的单调性; (2)若g (x )=f (x )+ax 在其定义域内为减函数,求实数a 的取值范围. 课时作业(十四) [第14讲 第2课时 导数与函数的极值、最值] (时间:45分钟 分值:60分) 基础热身 1.(12分)[2014·黄冈中学模拟] 已知函数f(x)=-x 3+ax 2 -4在x =2处取得极值,若m ,n ∈[-1,1],求f(m)+f′(n)的最小值. 2.(12分)[2014·银川一中四模] 已知函数f(x)=1-m +ln x x ,m ∈R . (1)若m =1,判断函数在定义域内的单调性; (2)若函数在区间(1,e)内存在极值,求实数m 的取值范围. 能力提升 3.(12分)[2014·河南长葛三模] 设函数f(x)=ln x -14x 2-1 2x. (1)求函数f(x)的极值; (2)若g(x)=x[f(x)+14x 2 +1],当x>1时,g(x)在区间(n ,n +1)内存在极值,求整数 n 的值. 4.(12分)[2015·山西四校联考] 已知函数f(x)=ln x -x -a x ,其中a 为常数,且a>0. (1)若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =x +1垂直,求函数f(x)的单调递减区间; (2)若函数f(x)在区间[1,3]上的最小值为1 3,求a 的值. 难点突破 5.(12分)[2014·兰州模拟] 已知函数f(x)=-x 2 +ax -ln x(a∈R ). (1)当a =3时,求函数f (x )在区间???? ??12,2上的最大值和最小值; (2)当函数f (x )在区间(1 2,2)上单调时,求a 的取值范围 课时作业(十三) 1.C [解析] 由导数的计算公式得y ′=(x 2 )′ln x +x 2 (ln x )′=2x ln x +x 2 x =x (2ln x +1)=x (ln x 2+1)=x ln(e x 2 ). 2.D [解析] 因为点(1,f (1))在直线x -2y +1=0上,所以1-2f (1)+1=0,得f (1) =1.又f ′(1)=12,所以f (1)+2f ′(1)=1+2×1 2 =2. 3.A [解析] 设切点的横坐标为x 0,因为曲线y =x 2 4-3ln x 在x =x 0处的切线的斜率 为1 2,所以 ,解得x 0=3(舍去x 0=-2),即切点的横坐标为3. 4.B [解析] ∵y ′=x -1-(x +1)(x -1)2=-2 (x -1) 2, ∴y ′ ??? x =3 =-2(3-1)2=-1 2,∴-a =2,即a =-2. 5.1 [解析] 由题知y ′1=1x 2,y ′2=3x 2 -2x +2,所以两曲线在x =x 0处切线的斜率 分别为1x 20,3x 2 0-2x 0+2,所以3x 2 -2x 0+2x 2 =3,解得x 0=1. [解析] y ′=2kx +1 x ,当x =1时,有y ′ ??? x =1 =2k +1,即过(1,k )和(2,3) 两点的切线的斜率为2k +1,即2k +1=3-k 2-1,于是得k =2 3 . 7.A [解析] y ′=3x +1,∴3 x 0 +1=4,得x 0=1,代入切线方程得y 0=3,即P 0点坐标 为(1,3),代入曲线方程得3=1+k ,解得k =2. 8.B [解析] ∵f ′(x )=2x +2f ′(1),∴f ′(1)=2+2f ′(1),即f ′(1)=-2,∴f ′(x )=2x -4,∴f ′(0)=-4. 9.B [解析] 由题意可知f ′(x )=2012+ln x +x ·1 x =2013+ln x .由f ′(x 0)=2013,得ln x 0=0,解得x 0=1. 10.B [解析] 易知f ′(x )=-2x 2 +4ax +3,因为f ′(x )的最大值为5,所以 4×(-2)×3-16a 2 4×(-2)=5,解得a =1(舍去a =-1),所以f (x )=-23x 3+2x 2 +3x ,f (1)=133 , f ′(1)=5,所以切线方程为y -13 3=5(x -1),即15x -3y -2=0. 11.A [解析] y ′ ??? x =0 =(-2e -2x ) ??? x =0 =-2,故曲线y =e -2x +1在点(0, 2)处的切线方程为y =-2x +2,易得切线与直线y =0和y =x 的交点分别为(1,0),(23,2 3 ), 故围成的三角形的面积为12×1×23=1 3 . 12.2 [解析] y ′=αx α-1 ,y ′ ??? x =1 =α,所以切线方程为y -2=α(x -1),该切线过原点,得α=2. [解析] y ′=2x -1x ,令y ′=1,得方程2x 2 -x -1=0,解得x =-12 (舍)或x =1, 故与直线y =x -2平行的曲线y =x 2 -ln x 的切线的切点坐标为(1,1),该点到直线y =x -2的距离d =2即为所求. 14.解:f ′(x )=3x 2 +2(1-a )x -a (a +2). (1)由题意得? ????f (0)=b =0, f ′(0)=-a (a +2)=-3, 解得? ????b =0,a =-3或1. (2)∵曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线, ∴关于x 的方程f ′(x )=3x 2 +2(1-a )x -a (a +2)=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4(1-a )2 +12a (a +2)>0, 即4a 2+4a +1=(2a +1)2 >0, ∴a ≠-1 2 , ∴a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-1 2 ,+∞). 15.解:(1)当a =1时,f (2)=14,f ′(x )=3x 2 -2x , ∴曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线斜率k =f ′(2)=8, ∴曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y -14=8(x -2),即8x -y -2=0. (2)由f (x 0)<0得a >x 30+10 x 20=x 0+10x 20 , 设g (x )=x +10x 2(1≤x ≤2),g ′(x )=1-20 x 3, ∵1≤x ≤2, ∴g ′(x )<0,∴g (x )在区间[1,2]上是减函数, ∴g (x )min =g (2)=92,∴a >9 2 , 即实数a 的取值范围是(9 2 ,+∞). 16.解:(1)易知方程7x -4y -12=0可化为y =74x -3,当x =2时,y =1 2 ,又f ′(x ) =a +b x 2,所以2a -b 2=12,且a +b 4=74,解得a =1,b =3,故f (x )=x -3x . (2)证明:设P (x 0,y 0)为曲线上任一点, 由f ′(x )=1+3x 2知,曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=1+3 x 20 ·(x -x 0),即y -x 0-3x 0=1+3 x 20 (x -x 0). 令x =0,得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为0,-6 x 0 . 令y =x ,得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0). 所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为12-6 x 0 |2x 0|=6, 故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为6. 课时作业(十四)(第1课时) 1.D [解析] f ′(x )=(x -3)′e x +(x -3)(e x )′=(x -2)e x ,令f ′(x )>0,解得x >2. 2.C [解析] f ′(x )=1-9x 2=x 2 -9 x 2,令f ′(x )<0,解得-3 的单调递减区间为(-3,0)和(0,3). 3.A [解析] f ′(x )=e x -a e -ax ,所以g (x )=xf ′(x )=x e x -ax e -ax 为偶函数,所以g (x )=g (-x ),即x e x -ax e -ax =-x e -x +ax e ax 对任意的实数x 恒成立,从而a =1.故选A. 4.D [解析] 由f ′(x )=3x 2 -12=3(x +2)(x -2),可知函数在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在区间(-2,2)上单调递减. 5.D [解析] 令f ′(x )=3x 2 -2ax <0,当a >0时,得0 a 因为f (x )在区间(0,2)上单调递减,所以a >0,所以2 3 a ≥2,即a ≥3. 6.10).当x -9 x <0时,有0 即f (x )在区间(0,3)上是减函数,∴a -1>0且a +1<3,解得1 7.D [解析] 由题意知,函数f (x )是R 上的单调增函数,∴f ′(x )=3x 2 +2x +m ≥0 在R 上恒成立,即Δ=4-12m ≤0,∴m ≥1 3 . 8.D [解析] f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,若f (x )为增函数,则f ′(x )≥0恒成立,即3ax 2 +2bx +c ≥0(a >0)恒成立,所以有Δ=4b 2-12ac ≤0,即b 2 -3ac ≤0. 9.C [解析] y ′=x cos x ,当x ∈(3π2,5π 2 )时,cos x >0,所以y ′=x cos x >0,此 时函数y =x sin x +cos x 为增函数. 10.D [解析] f ′(x )=x 2 -ax +a -1,由f ′(x )=0,得x =1或x =a -1. 当a -1≤1,即a ≤2时,f (x )在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意; 当a -1>1,即a >2时,f (x )在区间(-∞,1)上为增函数,在区间(1,a -1)上为减函数,在区间(a -1,+∞)上为增函数.∵函数在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,∴4≤a -1≤6,解得5≤a ≤7. 11.B [解析] f ′(x )=ax 2 +ax -2a =a (x -1)(x +2).若a <0,则当x <-2或x >1时, f ′(x )<0,当-2<x <1时,f ′(x )>0,要使f (x )的图像经过四个象限,须有f (- 2)<0,且f (1)>0,即?????-8a +24a +3<0,13a +12 a +1>0,解得-65 16. 12.-4 [解析] ∵f (x )=13x 3-32 x 2+ax +4,∴f ′(x )=x 2 -3x +a ,又函数f (x )的单 调递减区间为[-1,4],∴-1,4是f ′(x )=0的两根,∴a =(-1)×4=-4. 13.1≤k <32 [解析] 由f ′(x )=4x -1x =(2x -1)(2x +1)x =0,得x =12x =-1 2舍 去.当x ∈0,12时,f ′(x )<0;当x ∈(12,+∞)时,f ′(x )>0,即函数f (x )在区间(0,1 2 ) 上单调递减,在区间(12,+∞)上单调递增,所以x =1 2 为函数f (x )的极值点.函数在区间(k -1,k +1)上有定义且不是单调函数,即在区间(k -1,k +1)内有极值点,所以0≤k -1< 1 2 2 . 14.解:f ′(x )=-ax 2+2x -1 x (x >0). 依题意f ′(x )≥0在x >0时恒成立,即ax 2 +2x -1≤0在x >0时恒成立, 则a ≤1-2x x 2=1x -12 -1在x >0时恒成立, 即a ≤??????1x -12-1min (x >0), 当x =1时,1x -12 -1取最小值-1, ∴a 的取值范围是(-∞,-1]. 15.解:(1)将点A (1,3)的坐标代入直线y =kx +1,得3=k +1,∴k =2. ∵f ′(x )=3x 2 +a ,∴f ′(1)=3+a =2,∴a =-1. 将点A (1,3)的坐标代入f (x )=x 3 -x +b , 得f (1)=13 -1+b =3,∴b =3. ∴f (x )=x 3 -x +3. (2)g (x )=f (x )+ln x +(t -1)x -x 3 +x =ln x +(t -1)x +3,g ′(x )=1x +t -1(x >0). 当t -1≥0,即t ≥1时,g ′(x )>0, ∴g (x )在区间(0,+∞)上单调递增. 当t -1<0,即t <1时, 由g ′(x )>0,得0 1-t , ∴g (x )在区间(0,11-t )上单调递增,在区间(1 1-t ,+∞)上单调递减. 综上所述,当t ≥1时,g (x )在区间(0,+∞)上单调递增; 当t <1时,g (x )在区间(0,11-t )上单调递增,在区间(1 1-t ,+∞)上单调递减. 16.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),当a =-1时f ′(x )=x -1 x 2, 当0 所以f (x )在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数. (2)g (x )=f (x )+ax =ln x -a x +ax ,g (x )的定义域为(0,+∞),所以g ′(x )=ax 2+x +a x 2 , 因为g (x )在其定义域内为减函数, 所以对任意x ∈(0,+∞),g ′(x )≤0, 所以ax 2+x +a ≤0?a (x 2 +1)≤-x ?a ≤-x x 2+1,故a ≤-x x 2+1 min . 又x x 2+1=1x +1x ≤12,所以-x x 2+1≥-12 , 当且仅当x =1时取等号,所以a ≤-1 2 . 课时作业(十四)(第2课时) 1.解:对函数f (x )求导得f ′(x )=-3x 2 +2ax , 由函数f (x )在x =2处取得极值知f ′(2)=0, 即-3×4+2a ×2=0,∴a =3, 由此可得f (x )=-x 3+3x 2 -4, f ′(x )=-3x 2+6x =-3x (x -2). 易知f (x )在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,∴当m ∈[-1,1]时,f (m )min =f (0)=-4. 又∵f ′(x )=-3x 2 +6x 的图像开口向下, 且对称轴为x =1,∴当n ∈[-1,1]时, f ′(n )min =f ′(-1)=-9. 故f (m )+f ′(n )的最小值为-13. 2.解:(1)显然函数的定义域为(0,+∞),若m =1, 则f ′(x )=1-ln x x 2 . 令f ′(x )=0,得x =e. 当x ∈(0,e)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减. (2)f ′(x )=m -ln x x 2 . 令f ′(x )=0,得x =e m . 当x ∈(0,e m )时,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈(e m ,+∞)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减. 故当x =e m 时,f (x )有极大值,根据题意得, 1 3.解:(1)f ′(x )=1x -12x -12=-x 2 -x +2 2x (x >0), 令f ′(x )=0,解得x =1(x =-2舍去), 根据x ,f ′(x ),f (x )的变化情况,列出表格. 由上表可知函数f (x )在x =1处取得极大值-4 ,无极小值. (2)g (x )=xf (x )+14x 2+1=x ln x -12 x 2 +x , g ′(x )=ln x +1-x +1=ln x -x +2. 令h (x )=ln x -x +2,则h ′(x )=1x -1=1-x x , 因为x >1,所以h ′(x )<0恒成立,所以h (x )在区间(1,+∞)上为单调递减函数, 因为h (1)=1>0,h (2)=ln 2>0,h (3)=ln 3-1>0,h (4)=ln 4-2<0, 所以h (x )在区间(3,4)内有零点x 0,且函数g (x )在区间(3,x 0)和(x 0,4)上单调性相反, 因此,当n =3时,g (x )在区间(n ,n +1)内存在极值, 所以n =3. 4.解:f ′(x )=1x -x -(x -a )x 2 =x -a x 2(x >0). (1)因为曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线y =x +1垂直, 所以f ′(1)=-1,即1-a =-1,解得a =2. 当a =2时,f (x )=ln x -x -2x ,f ′(x )=x -2 x 2. 令f ′(x )=x -2 x 2<0,解得0 (2)当00在(1,3)上恒成立,这时f (x )在[1,3]上为增函数, ∴f (x )min =f (1)=a -1,令a -1=13,得a =4 3 >1(舍去).