导数及其应用
【考纲说明】
1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】
一、导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y
∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。如果当0→∆x 时，x y
∆∆有极限，我们
就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y
∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x y
∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，
或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；
（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)
()(00；
（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y
x ∆∆→∆0lim
。
二、导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数
①0;C '= ②()
1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;
⑤();x
x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦
()1ln x x '=
; ⑧()1
l g log a a o x e
x '=.
四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
.)'
''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，
即：
.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则'
''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
.)(''Cu Cu =
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
⎪
⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2'
'v uv v u -（v ≠0）。
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x
五、导数应用 1、单调区间：
一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(如果在某区间内恒有'
f 0)(=x ，则)(x f 为常数；
2、极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值：
一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ(x)在(a ，b)内的极值；
②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分
(1)概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式In ＝∑n
i f
1
＝(ξi)△x （其中△x 为小区间长度），把n
→∞即△x →0时，和式In 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：
⎰b
a
dx
x f )(，即⎰
b
a
dx
x f )(＝
∑=∞
→n
i n f
1
lim (ξi)
△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式：
⎰dx 0＝C ； ⎰dx x m
＝1
11++m x
m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；
⎰x 1
dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x ＝x e ＋C ；
⎰dx a x
＝a a x ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；⎰xdx sin ＝－cosx ＋C （表中C 均为常数）。
(2)定积分的性质 ①⎰
⎰=b
a b
a
dx
x f k dx x kf )()(（k 为常数）；
②
⎰
⎰⎰±=±b
a b a
b a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；
③⎰
⎰⎰+=b
a
c
a b
c
dx
x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。
(3)定积分求曲边梯形面积
