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培优导数专题
1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）=
.cos 2sin x
x
+
（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分）
已知.)2()(,02
x
e ax x x
f a -=≥函数
（Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.
3、已知函数2
1()ln (1)(0).2
f x x ax a x a R a =-+-∈≠且
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．
如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12
02
x x x +=
；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。如果函数
2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2
f -<-。
（1）试求函数()f x 的单调区间；
（2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1
(
4=n
n a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；
（3）设1
n n
b a =-
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。 5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）,
（1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式3331
1
......31211)1(n
k f n
k ++++∑
= 都成立；
6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x
∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；
（2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(2
1
*+∈+>⋅N n e n F F F n n
1解： （I ）.)
cos 2(1
cos 2)cos 2()sin (sin cos )cos 2()(2
2x x x x x x x x f ++=+--+=
' ……2分
分
是减函数在每一个区间是增函数在每一区间因此即时当即时当6.
))(3
42,322()(,
))(322,322()(.
0)(,2
1
cos ,)(342322;0)(,21
cos ,)(322322 Z Z Z Z ∈++∈+-<'-<∈+<<+>'->∈+<<-
k k k x f k k k x f x f x k k x k x f x k k x k π
ππππ
πππππππππππ
（II ）令则),()(x f ax x g -=
.
3
1
)31cos 21(3)cos 2(3
cos 22)cos 2(1cos 2)(222
-+-+=++
+-=++-
='a x x x a x x a x g
故当.)(,0)0()(,0,0)0(.0)(,3
1
ax x f g x g x g x g a ≤=≥≥=≥'≥
即时所以当又时
[)[).
2
021)2(,0.
3
sin cos 2sin )(,
)3arccos ,0(,.
3sin ,0)0()(,)3arccos ,0(.3arccos ,0)(.0)(,3arccos ,0.
3cos )(,3sin )(,3
1
0π
π⋅≥>=≤>>+=
