1061693835 第05章-异方差

Glejser 检验的特点是： ①既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 ②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。 ˆ ③当原模型含有多个解释变量值时，可以把| u t | 拟合成多变量回归形式。 ARCH）检验（不要求掌握） （4）自回归条件异方差（ （5）Spearman 等级相关系数检验（不要求掌握）
SSE2 /(n 2 k ) SSE2 9581094 . 6.35 SSE1 /(n1 k ) SSE1 1508679 .
因为F =6.35 > F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。
例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型 White检验
White检验式
800 600 EXT-IMP 400 200 0
2 LNEXT-LNIMP 1
0
-1
-200 -400 55 60 65 70 75 80 85 90 95
-2 55 60 65 70 75 80 85 90 95
中国进出口贸易额差（1953-1998）
对数的中国进出口贸易额之差
例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型
第5章 异方差
• 异方差概念 • 异方差来源与后果 • 异方差检验
– Goldfeld-Quandt 检验、white检验、Glejser检验
• 异方差的修正方法（WLS） • 异方差案例分析
5.1异方差概念
同方差假定：模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角 矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等。 Var(u) = E(u u' ) = 2I =
1.2E+12 1.0E+12 8.0E+11 GDP of Philippin
1.2E+11 RESID 8.0E+10
4.0E+10
6.0E+11 4.0E+11 2.0E+11 0.0E+00 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
0.0E+00
-4.0E+10
-8.0E+10 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
4 2 0 -2 -4 -6 -8 400 DJ PY
500
600
700
800
900 1000 1100 1200
5.2 异方差来源与后果
异方差来源： (1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差， 因为取值较大，波动性也较大。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金 融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
5.5 异方差的修正方法（WLS）
• 存在异方差时，OLS估计量仍具有无偏性，只是OLS估计 量的方差估计是有偏的 • 解决异方差性的途径
– 修正OLS估计量的方差
– 修正估计方法
• 修正OLS估计量的方差：异方差稳健估计
– 仍使用OLS对模型进行估计
– 利用下式计算OLS系数的方差-协方差矩阵：
5.2 异方差来源与后果
异方差 后果 ： 2 当 Var( ut) = t 为异方差时（
t 2 是一个随时间或序数变化的量），
回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。 但是不再具有有效性。 ˆ E( b ) = E[ (X 'X )-1 X 'Y ] = E[ (X 'X )-1 X ' (X b + u) ] = b + (X 'X)-1 X ' E(u) = b ˆ ˆ ˆ Var( b ) = E [( b - b ) ( b - b )' ] = E [(X 'X )-1 X ' u u' X (X 'X)-1 ]
7 6 5 Y
3 Y 2 1
4
0
3 2 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1 -2 T -3 0 50 100 150 200
散点图
残差图
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 ①把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观 测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值 （通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成 容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）
7 6 5 4 3 2 1 X 0 0 50 100 150 200 Y Y
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
②用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。
SSR2 /(n2 k ) SSR2 n1 k ③ 构造F统计量。F = SSR /(n k ) SSR n k ，k为模型中被估参数个数 1 1 1 2
yt = b0 +b1 xt1 +b2 xt2 + ut
①首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。
②做如下辅助回归式，
ˆ ut 2= 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt
ˆ 即用 u t 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行
5.5 异方差的修正方法（WLS）
• 因为变换后的模型是同方差的，因此可以使用OLS 估计，之后把回归参数带回原模型即可。 • 对变换模型应用OLS估计参数，是求(ut*)2最小， 也就是求(ut/xt1)2最小。其实际意义是求原模型ut的 加权平方和最小，权重是1/xt12，因此这种方法被称 为加权最小二乘法(Weighted Least Squares, WLS)
OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。 ③White检验的零假设和备择假设是
2
H0：ut不存在异方差， H1：ut存在异方差。
5.4 异方差检验
(2) White检验
④在同方差假设条件下，统计量
TR 2 2(5)
其中T表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。 自由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意，不计算常数 项）。T R 2属于LM统计量。 ⑤判别规则是 若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 > 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）
• 注意：应用加权最小二乘法要求异方差的形式是已 知的，事实上这是一个很强的假定，一般情况下模 型的异方差的形式是未知的。
5.5 异方差的修正方法（WLS）
（2）利用Glejser检验结果确定异方差形式，消除异方差
假设 Glejser 检验结果是 | u t | = a 0 + a1 xt ˆ ˆ ˆ
5.4 异方差检验
（3）Glejser检验（直接拟合法）
ˆ 检验 | u t | 是否与解释变量 xt 存在函数关系。若有，则说明存在异方差；
若无，则说明不存在异方差。通常应检验的几种形式是 | u t | = a0 + a1 xt ˆ | u t | = a0 + a1 xt2 ˆ | u t | = a0 + a1 xt , …. ˆ
= (X ' X)-1 X ' E (u u' ) X (X ' X )-1 = 2 (X 'X )-1 X ' X (X ' X )-1
ˆ 2 (X ' X )-1，所以异方差条件下 b 是非有效估计量。 不等于
5.4 异方差检验
5.4.1 定性分析异方差 (1) 宏观经济变量容易出现异方差。 (2) 利用散点图做初步判断。 (3) 利用残差图做初步判断。
0 1 1 σ2 0 1
12 10 8 6 4 2 0 X -2 0 50 100 150 200 Y
5.1异方差概念
当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。 Var(u) = 2 =
0 11 22 2 σ 0 TT
ut 1 1 ˆ ˆ )= Var(ut) = ( a 0 + a1 xt)22 = 2 则 Var( 2 2 ˆ ˆ a 0 a1 x t ˆ ˆ ˆ ˆ ( a 0 a1 x t ) ( a 0 a1 x t )
消除了异方差。OLS 估计后，把回归参数的估计值代入原模型。
5.5 异方差的修正方法（WLS）
ˆ ) 1 X X 1 n u 2 x x X X Var( β i 1 ˆi i i n n n n
1
1
5.5 异方差的修正方法（WLS）
• • • • 修正估计方法：加权最小二乘估计（WLS） 考虑模型： yt b0 b1xt1 b2 xt 2 ut
例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型
Goldfeld-Quandt 检验
去掉中间9个观测值。
ˆ 用第1个子样本回归：Y 744.64 0.09X ，SSE1=150867.9
பைடு நூலகம்
ˆ 用第2个子样本回归：Y 414.98 0.05X ，SSE2=958109.4
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 ③ 构造F统计量。F
③ 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。
5.4 异方差检验
(2) White检验
White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不 依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量 进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。