Banach空间一类非线性算子方程解的存在唯一性

Banach压缩映像原理的应用1. 什么是Banach压缩映像原理？Banach压缩映像原理是非线性分析中的一个重要概念，用于证明完备度和存在唯一解的定理。

具体来说，Banach压缩映像原理指出，在某个完备的度量空间上，如果存在一个函数映射满足压缩性质，那么这个映射将有一个唯一的不动点。

2. Banach压缩映像原理的应用领域Banach压缩映像原理在数学和工程学科的多个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：2.1. 迭代算法迭代算法是通过反复递推来逼近问题的解的一种方法。

Banach压缩映像原理提供了一种理论依据，可以证明迭代算法的收敛性和唯一性。

例如，Newton-Raphson法和Jacobi迭代法等算法都可以应用Banach压缩映像原理来证明其有效性。

2.2. 优化问题在优化问题中，Banach压缩映像原理可以用来证明最优化问题的解存在性和唯一性。

通过构造一个合适的函数映射，可以将最优化问题转化为一个压缩映像问题，并利用Banach压缩映像原理证明问题的解存在。

2.3. 信号处理在信号处理领域，Banach压缩映像原理被广泛应用于压缩感知和图像恢复等问题中。

通过使用合适的压缩映像算子，可以实现高效的信号压缩和恢复，并保证信号的完整性。

2.4. 数值分析在数值分析中，Banach压缩映像原理被用来证明数值方法的收敛性和稳定性。

例如，有限元方法和有限差分法等常用的数值方法都可以利用Banach压缩映像原理来证明其数值解的存在和唯一性。

3. 应用实例以下列举几个具体的应用实例，展示了Banach压缩映像原理在不同领域的应用：3.1. 图像压缩利用Banach压缩映像原理，可以设计出高效的图像压缩算法。

通过将图像转化为合适的度量空间，并构造压缩映像算子，可以实现对图像的压缩和恢复。

这种方法可以在保持图像质量的同时，显著减少存储空间的占用。

3.2. 机器学习在机器学习中，Banach压缩映像原理可以用于求解优化问题。

Banach空间一类非线性积分微分方程解的存在性
陈芳启
【期刊名称】《数学研究及应用》
【年(卷),期】2000(020)001
【摘要】本文利用Mnch不动点定理研究了Banach空间中一类非线性积分微分方程解的存在性,给出的结论改进、推广了[1-2]中的结果.
【总页数】5页(P62-66)
【作者】陈芳启
【作者单位】天津大学力学系, 300072; 山东大学数学系, 济南250100
【正文语种】中文
【中图分类】AMS(1991) 45K05/CLC O175.6
【相关文献】
1.一类非线性积分微分方程解的存在性 [J], 李沐春
2.一类非线性积分微分方程的整体解的存在性与非存在性 [J], 尚亚东
3.Banach空间一类非线性脉冲积分微分方程初值问题解的存在性 [J], 赵成龙;杨兴民
4.一类非线性分数阶积分微分方程解的存在性与模拟仿真 [J], 孙文超;苏有慧;孙爱
5.Banach空间中一类具有无穷时滞泛函积分微分方程解的存在性 [J], 傅显隆;张书年
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第20卷 第1期2003年02月工 程 数 学 学 报JO URNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.20No.1Feb.2003文章编号:1005 3085(2003)01 0049 06一类非线性算子方程唯一解的Mann迭代序列的收敛性及其应用于立新1, 郭宜明2(1 曲阜师范大学数学系,山东曲阜273165; 2 枣庄师专计算机系,山东枣庄277160)摘 要:在Banach空间中,没有假设任何紧性、连续性或凹凸性条件,利用M ann迭代技巧证明了一类算子方程Ax=x解的存在唯一性,并将其结果应用于无界域上的Ham merstein积分方程,得到了新的结果。

关键词:锥;算子方程;M ann迭代;弱序Lipschitz条件分类号:AMS(2000)47H10;47H07 中图分类号:O177.91 文献标识码:A1 引言和预备知识人们对增算子的研究,通常采用紧性条件、连续性条件或凹凸性条件等得到了算子不动点的存在性或唯一性定理[1~7]。

文[1]研究了一类带有凹凸性的增算子的不动点的存在唯一性,然而,文[1]对所讨论的算子附加了一些条件,如算子的强增性、体锥以及较强的上下解条件等。

文[2]通过引用序Lipschitz条件,得到了Mann迭代序列收敛于一类带有凹凸性的增算子的不动点,去掉了对算子和锥所附加的一些条件,但运用了上解和下解条件,并且没有得到解的唯一性。

我们在弱序Lipschitz条件下去掉了文[2]中的凹凸性,只运用上解(或下解)条件,并没有附加任何条件,利用Mann迭代技巧得出了比文[2]更好的结果,推广和改进了文[1,2]的主要结果,在证明方法上也不同于现有文献。

作为应用,讨论了无界域上的Hammerstein积分方程,给出了新的定解条件。

以下设E是Banach空间, 为E中的零元,P是E中的锥[3~6], 是由锥P确定的半序。

锥P称为正规的,如果存在N0>0,使得0 x y,有!x! N0!y!,其中N0为正规常数。

第31卷第2期辽宁工程技术大学学报（自然科学版）2012年4月V ol.31No.2Journal of Liaoning T echnical University （Natural Science ）Apr.2012文章编号：1008-0562(2012)02-0252-04Banach 空间中一类变分包含解的存在性和唯一性高雷阜1，王金希1，吴洪涛2（1.辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新123000；2.阜新矿业集团供电处，辽宁阜新123000）摘要：为了解决Banach 空间中一类变分不等式的包含解问题，给出了正规对偶映射、k 强增生映射、次微分的概念，利用强增生映射性质证明了复合型映射的强增生性，并证明了对偶空间中，变分包含问题的不动点的存在性.利用一般的对偶原理和不动点理论，证明了自反Banach 空间中，满足微分和k-强增生映射的某一类变分不等式包含解的存在性和唯一性.该结果将许多相关文献中的变分包含问题由“光滑的Banach 空间”推广到“自反的Banach 空间”，扩大了变分不等式包含解问题应用范围.Gateaux 关键词：变分不等式；对偶空间；微分；不动点；次微分；k-强增生映射；正规对偶映射；变分包含Gateaux 中图分类号：O 177.91文献标志码：AExistence and uniqueness of solutions for a class of variationalinclusion problem in Banach spacesGAO Leifu,WANG Jinxi 1,WU Hongtao 2(1.College of Science,Liaoning Technica l University ,Fuxin 123000,China ;2.Depa rtment of Power Supply,Fuxin Mining Industr y Group Co.,Ltd.,Fuxin 123000,China)Abstra ct ：In order to solve a class of variational inclusion problem in Banach spaces,the definition of normalized duality mapping,k-strongly accretive mapping,and order differential are given in this ing the properties of k-strongly accretive,the authors prove that the compound mapping is strongly accretive,and also prove the existence of fixed point of variational inclusion problem in dual space.In addition,the authors use general duality principle and fixed point theory to prove that the existence and uniqueness of solutions for the class of variational inclusion problem,which satisfies differential and k-Strongly accretive mapping.This study result generalizes variational inclusion problem from “smooth Banach spaces ”into “reflexive Banach spaces ”,and extends the application range of variational inclusion problem.Gateaux Keywords:variational inequality;dual space;differential;fixed point;order differential;k-strongly accretive mapping;normalized duality mapping;variational inclusionGateaux 0引言1966年，Hartman ，Stampacchia 等学者提出了第一个变分不等式,即:设是K n R 的有界闭凸集，:n B K R →是一连续映射，求x K ∈，使得(,)0,Bx y x y K ∈≥，收稿日期：2011-10-27基金项目：教育部高校博士学科点专项科研基金资助项目（20102121110002）作者简介：高雷阜（1963-），男，辽宁阜新人，教授，主要从事最优化理论及应用面的研究.本文编校：曾繁慧且在有限维空间中运用Browder 不动点理论证明其解的存在性.变分不等式在最优控制、经济和运输均衡问题以及工程学领域都有着广泛的应用.变分不等式是非线性分析理论的重要分支，对变分不等式的研究具有重要的现实意义.近年来，变分不等式在采用了一些新的法和技巧后，已从不同的向得以推广和发展，而变分包含就是变分不等式之一重要而有用的推广.20世纪90年代，Haussoun 和Moudafi,Kazrni 等诸多学者在实Hilbert 空间中引入和研究了如下变分包含问题：设为Hilbert 空间，、H ()D T ()R T 分别表示映射T 的定义域和值域.设是三个映射，且,:.:H T A H H g H →→:H R →为真凸下半连续泛函.对给定的f H ∈，求u H ∈使得253第2期高雷阜，等：Banach 空间中一类变分包含解的存在性和唯一性()(),(()(),())(())(),,g u D T u A u f vg u g u v v H ∈∈≥，(1)式中，表示的次微分.1999年，张石生[1]在一致光滑的实Banach 空间中引入和研究了如下变分包含问题：设X 是实一致光滑Banach 空间，X 是X 对偶空间，(,表示)X 和X 间的配对，分别表示映射T 的定义域和值域.设(),()D T R T ,:,:T A X X g X X →→是三个映射，且:X R →为真凸下半连续泛函.对给定的,f X ∈求u ，使得X ∈，(2)()(),(()(),())(())(),,g u D T u A u f v g u g u v v X ∈∈≥式中，表示的次微分.文献[2]在实Banach 空间中利用不同的映射研究了变分包含问题()()T u A u θ∈+，文献[3]在PL 空间利用m-增生映射研究()(())S u M g u θ∈+，的变分包含问题，文献[4]在实Banach 空间下利用m-增生映射研究了变分包含问题()(())S u M g u θ∈+.受上述文献启发，改进了张石生[1],将条件“X是实一致光滑的Banach 空间”减弱为“自反的Banach 空间”，结合其他变分不等式相关文献[5～9]，本文运用一般的不动点理论和对偶原理，证明了一类变分包含问题解的存在性和唯一性问题.注意到，张石生，曾六川，谷峰等学者的都是在光滑的Banach 空间或Hilbert 空间中研究此类型的变分包含解问题，因此本文结果极大的拓宽了此类变分包含问题的研究范围.1基本概念定义1设V 是数域上的维线性空间，表示V 上的全体线性函数的集合，P n (,)L V P ,(,),,f g L V V k P P α∈∈∈，在中定义加法和数乘运算(,)L V P （1）()()()()f g f g ααα+=+,（2）()()()kf kf αα=,则构成数域上的线性空间，称之为V 的对偶空间，记为V .(,)L V P P 定义2设,X Y 是二Banach 空间，是D X 的一开集，，若对任意的0:,T D Y x D →∈h X ∈，极限000()limt T x th Tx t→+存在，则称T 在0x 处可微，上极限成为T 在Gateaux 0x 处沿方向的微分.h Gateaux 定义3设是一Banach 空间，如果极限E 0lim t x ty x t→+对每一,{:x y U x E x 1}∈=∈=存在，则E 的范数称为可微的（此时称是光滑的）.Gateaux E 如果上面的极限对,x y U U ∈×一致成立，Banach 空间称为一致光滑的.定义4设X 是一Banach 空间，:X R →是一真泛函，0x X ∈，若存在f X ∈，使得00()(),),y x f y x y X ∈≥(,则称在0x 处是次可微的，并称f 为在0x 处的次梯度.在0x 处所有次梯度的集合用0()x 表示，并称在0x 处的次微分.定义5设X 是一实Banach 空间，由下式定义的映射:2X J X →,22(){:(,)},J x f X f x x f x X =∈==∈,称为正规对偶映射.定义6设是一正规对偶映射，是一多值映射.:2X JX →:()2X T D T X →若(0,1)k ∈为一常数，如果对任意的,()x y D T ∈，存在()()j x y J x y ∈，使得(,())u v j x y ≥2,(),(k x y u T x v T y ∈∈),则T 称为k-强增生的.定义7设,X Y 是二拓扑空间，是一集值映射，如果:2YFX →0()0x F x ∈，则称点0x X ∈为的不动点.F 定义8设X 是一Banach 空间，X 是X 的对偶空间，:f X X →，，:T X X →:S X X →为三个映射，且:X R →是一泛函，则如下为变分包含问题：对任意给定的,y X ∈求x X ∈，使得254辽宁工程技术大学学报（自然科学版）第31卷()(),(()(),())(())(),,f x D T x S x y u f x f x u u X ∈∈≥(3)式中，表示的次微分.2主要引理引理1设X 是自反的Banach 空间，是一强增生映射，是T 的强增生常数，而是一增生映射.则也是一具有强增生常数的强增生映射.:T X X →(0,1)k ∈:S X X →:T S X X +→k 证明因X 是自反的Banach 空间，正规对偶映射是单值的.:2X JX →则对,x y X ∈，有2(()()()(),())(()(),())(()(),()),T S x T S y J x y T x T y J x y S x S y J x y k xy ++=+≥.(4)故T 是具有强增生常数k 的强增生映射.S +引理2设X 是一Banach 空间，X 是X 的对偶空间，:f X X →，，:T X X →:S X X →为三个映射，而:X R →是一泛函，若x X ∈是变分包含问题(1)的解，则x X ∈是()()(())y T x S x f x ∈+的一解，且是下列定义映射W 的不动点()(()()(()))W x y T x S x f x =+.证明设x X ∈是变分包含问题(1)的解，则()()f x D ∈，而且(()(),())(())(),.T x S x y u f x f x u u X ∈≥(5)由的次微分的定义，得知()()(())x S x T x f x +∈.上式表明x 是()()(())x T x S x f x ∈+的解.把*x 加到上式的两端，有*(()()x x T x S x ∈+(()))()f x x W x +=(6)故*x 是W 在X 中的不动点.由()()(())x S x T x f x +∈()(())((()()),u f x x T x S x ≥()),,uf x u X ∈(7)即(()(),())T x S x x u f x ≥(())(),.f x u u X ∈(8)则*x 是变分包含(1)的解.3主要定理定理1设X 是自反的Banach 空间，X 是X的对偶空间，:f X X →，，:T X X →:S X X →为三个映射，而:X R →是具有微分Gateaux 的泛函且满足(1):T S X X →是具有强增生常数(0,1)k ∈的强增生映射；(2):g X X →o 是增生的；对任意给定的x X ∈，定义映射如下：:W X X →()(()()(())),W y x T y S y g y y y X=++∈则变分包含问题(1)有唯一解.证明先证x 是变分包含(1)的解.因X 是自反Banach 空间，正规对偶映射:2XJ X →是单值的，并记为j .由条件（1）（2）和引理1可得，映射:T S g X X+→o 是具有强增生常数(0,1)k ∈的强增生的连续映射，由Morales [10]知，T S g +o 是满射.故对x X ∈，方程()()x T S g y =+o 有解x .又因为X 是自反的，由引理2知，点x 是变分包含(1)的解.且也是W 的不动点，即()x W x =.下证唯一性.设y X ∈也是(1)的解，则y 也是W 在X 中的不动点，于是有2x y =(,())x y j x y =(()(),())W x W y j x y =(()()x T S g x x++o (()()),())x T S g y y j x y ++=o ，再由的定义知2(()()xyT S g x +o255第2期高雷阜，等：Banach 空间中一类变分包含解的存在性和唯一性(()()),())T S g y j xy +o ≤22xy k x y,(9)即0kx y ≤，由于(0,1)k ∈，则0xy ≤，又因为0x y ≥，所以0xy =,即x y =，故x 是(1)的唯一解，证毕.曾六川[11]教授研究了一致光滑Banach 空间中如下的变分包含问题：设,:,(,):T A X X N X X X →×→，:g X →X 是四个映射，:X R →为真凸下半连续泛函.对给定的,f X ∈求，使得u X ∈()(),((,),())(())(),,g u D N Tu A u f v g u g u v v X ∈∈≥,(10)式中，表示的次微分.谷峰[12]研究一致光滑Banach 空间中的变分包含问题：设,:,(,):,:,:T A X X N X X X g X X X X Xη→×→→×→是五个映射，而:X R →为一真凸下半连续泛函.对给定的f X ∈，求，使得u X ∈()(),((,),(,()))(())(),,g u D N Tu A u f v g u g u v v X ηη∈∈≥(11)式中，η表示的η次微分.由本文结果，上述推广型的变分包含问题解的存在性和唯一性，都可以在自反的Banach 空间中得到类似证明.4结论本文将文献[13]中光滑Banach 空间减弱为自反的Banach 空间，运用简单的对偶原理和不动点理论，证明变分不等式包含解的存在性和唯一性，很大程度上扩大了上述变分包含问题应用范围，能否在一般的Banach 空间证明上述问题解的存在性和唯一性，以及Ishikawa 迭代序列的收敛性能否在自反Banach 空间或者一般的Banach 中得到证明将是重要的研究课题.参考文献；[1]张石生.变分不等式及其相关问题[M].重庆:重庆出版社,2008:171-175.[2]Zou Y un Zhi,Huang Nan J ing.Accret ive operator with an applicationforsolvingvari ational inclusionsinB anachspaces[J].Appli edMathematics and Computation,2008,204(2):809-816.[3]Muhammad Aslam Noor,Khalida Inayat Noor.Three-step iterati vemethods for general variational inclusions in L P spaces[J].Appl Math comput 2008,27(2):281-291.[4]Ceng Lu Chuan,Guu Sy Ming,Yao Jen Chih.Iterati ve approxi mation ofsolut ions for a class of completely generalized set-valued quasi-vari ational inclusions[J ].Computers &Mathematics with Applications archive ,2008,4(1):217-221.[5]Cellina A.Uniqueness and comparisonresults for functionalsDependingonu and on u[J].SIAM J.OPTIM,2008,3(4):711-716.[6]Anovas M J C,Klat te D,Opez M A L,et al.Metric regularity in convexsemi-infiniteoptimizationundercanonicalperturbati ons[J].SIAMJ.OPTIM.2008,3(4):717-732.[7]Krastanov M I,Ribarska N K,Tsachev S Y.On the existence of s olutionstodifferentialinclusionswi thnonconvexright-handsides[J].SIAMJ.OPTIM.2008,3(4):733-751.[8]Boris Mordukhovich.V ariational analysis of evol ution i nclusions[J].SIAM.J.OPTIM.2008,3(4):752-777.[9]Konnnv I V.Equilibrium models and variational inequalities[M].Pal oAlt o:Elsevier,2007,124-129.[10]Morales C H.Surjecti vity theorems for mul ti-valued mappings ofaccret ive type[J].Comment.Math.Univ.Caroli n,1985,26(2);397-413.[11]曾六川.一类-强增生型变分包含问题解的存在性与迭代逼近[J].数学研究与评论,2004,24(5):297-304.[12]谷峰.一类新的k-次增生型变分包含解得存在性及其具有混合误差项的Ishikawa 迭代逼近[J].应用数学,2007,20(4):646-652.[13]张石生.Banach 空间中强增生型变分包含问题解的Ishikawa 迭代逼近[J].应用数学,2000,13(2):1-8.。

一类混合单调算子方程的求解及应用田杰【摘要】By using the cone theory and partial technique, the existence and uniqueness theorem of solutions for a class of nonlinear binary operator in Banach spaces are investigated, and the error estimates that iterative sequences converge to solutions are also given. As the applications of the resulting results, the solvability of operator equations which do not possess monotonicity are discussed. The results presented here improve and generalize some known results.% 利用锥理论和半序方法证明了Banach 空间中一类非线性二元算子方程的解的存在唯一性定理，并给出迭代序列收敛于解的误差估计，作为应用，讨论了不具有单调性的算子方程的可解性，改进并推广了已有的一些结果。

【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2012(000)005【总页数】6页(P692-697)【关键词】算子方程;迭代求解;锥理论【作者】田杰【作者单位】西北大学数学系,陕西西安 710127【正文语种】中文【中图分类】O177.91利用锥理论研究了Banach空间中一类单调混合算子方程A(x,x)=(1+α)x解的存在唯一性问题,混合单调算子是一类重要的算子,1987年由郭大钧教授及Lakshmikantham提出,现已有一批好的结果[14].本文对算子的连续性和紧性不作任何假定,并给出迭代序列收敛于解的误差估计,推广了现有文献的一些结论.设E为Banach空间,P⊂E为锥,P在E中导出一个半序“≤”,关于锥和由锥导出的半序的详细内容请参看文献[5].θ表示E中的零元素.注 2 本文给出的混合单调算子方程的求解方法,改进了文献[7]的相应结果,并加强了其结论.【相关文献】[1]孙经先,刘立山.非线性算子方程的迭代求解及其应用[J].数学物理学报,1993,13(2):141-145.[2]孙经先.一类非线性算子方程的迭代求解.工程数学学报[J].1989,6(2):12-17.[3]谷峰.一类非线性算子方程解的迭代逼近[J].纯粹数学与应用数学,1999,15(2):93-98.[4]张庆政.序对称压缩算子方程的迭代求解及其应用[J].工程数学学报,2000,17(2):131-134.[5]Taylor A E,Lay D C.Introduction to Functional Analysis[M].New York:Springer-Verlag,1980.[6]孙经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京:科学出版社,2008.[7]李俊强,张裴然.一类混合单调算子的新不动点定理得推广[J].郑州大学学报,2004,46(4):13-15.。