201x年中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 课时训练20 直角三角形练习 湘教版

课时训练(十八)相似三角形及其应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.如图K18-1,添加一个条件:,使得△ADE∽△ACB(写出一个即可).图K18-12.如图K18-2,在△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,则CD的长为.图K18-23.[2018·连云港]如图K18-3,△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则△ADE与△ABC的面积的比为.图K18-34.[2018·成都]已知==,且a+b-2c=6.则a的值为.5.[2018·岳阳]如图K18-4,《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步.图K18-46.[2018·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为()A.3 cmB.4 cmC.4.5 cmD.5 cm7.如图K18-5,已知直线a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则=()图K18-5A.B.C.D.18.[2018·内江]已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A.1∶1B.1∶3C.1∶6D.1∶99.如图K18-6,在△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD∶DE=3∶5,AE=8,BD=4,则DC的长等于()图K18-6A.B.C.D.10.[2017·成都]如图K18-7,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为()图K18-7A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.∶11.如图K18-8,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°,点D到了点F的位置,则S△ADE∶S▱BCFD的值是 ()图K18-8A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶112.[2018·绍兴]学校门口的栏杆如图K18-9所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()图K18-9A.0.2 mB.0.3 mC.0.4 mD.0.5 m13.[2018·江西]如图K18-10,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE 的长.图K18-1014.[2018·杭州]如图K18-11,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.图K18-1115.[2018·陕西]周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图K18-12所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.图K18-12|拓展提升|16.如图K18-13,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个图K18-13参考答案1.答案不唯一,如∠ADE=∠C或=等2.53.1∶94.12[解析] 设===k,则a=6k,b=5k,c=4k,∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6,3k=6,解得k=2,∴a=6k=12.5.[解析] 如图①,∵四边形CDEF是正方形,∴CD=ED=CF.设ED=x,则CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴=,∴=,∴x=.如图②,四边形DGFE是正方形,过C作CP⊥AB于P,交DG于Q,设ED=y,S△ABC=AC·BC=AB·CP,则12×5=13CP,CP=,同理得:△CDG∽△CAB,∴=,∴=,y=<,∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步,故答案为:.6.C7.B8.D9.A10.A[解析] 由位似的性质得,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的位似比为2∶3,所以四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为4∶9.11.A12.C[解析] 由题意可知△ABO∽△CDO,根据相似三角形的性质可得=,∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,∴=,∴CD=1.6×1÷4=0.4(m),故选C.13.解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC,又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4.又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,∴=,∴==2,∴AE=2EC,解得EC=AE,∵AC=AE+EC=6,∴AE+AE=6,解得AE=4.14.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,AD⊥BC.∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC.又∵∠B=∠C,∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC=10,∴BD=BC=5.在Rt△ABD中,有AD2+BD2=AB2, ∴AD==12.∵△BDE∽△CAD,∴=,即=,∴DE=.15.解:∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90°,∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE,∴=.∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m, ∴AD=AB+8.5,∴=.解得:AB=17.∴河宽AB的长为17 m.16.B[解析] 过D作DM∥BE交AC于N,交BC于M.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,∵BE⊥AC于点F,∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF∽△CAB,故①正确;∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴=,∵AE=AD=BC,∴=,∴CF=2AF,故②正确;∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=BC,∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正确;设AD=a,AB=b,由△BAE∽△ADC,得=.即a2=2b2,a= b.∴tan∠CAD==≠,故④错误.故选B.11。

课时训练(二十一)图形的相似(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2017·兰州] 已知2x =3y(y≠0),则下面结论成立的是()A.=B.=C.=D.=2.[2018·永州] 如图K21-1,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为()图K21-1A.2B.4C.6D.83.[2018·滨州] 在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2).若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5)4.[2018·临沂] 如图K21-2,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2 m,测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是()图K21-2A.9.3 mB.10.5 mC.12.4 mD.14 m5.[2018·荆门]如图K21-3,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,则S∶S=()△EFG△ABG图K21-3A.1∶3B.3∶1C.1∶9D.9∶16.[2017·枣庄]如图K21-4,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()图K21-4图K21-57.[2018·北京]如图K21-6,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.图K21-68.关注数学文化[2018·岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步.9.[2018·江西]如图K21-7,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.图K21-710.[2017·宿迁]如图K21-8,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边A B,AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.图K21-8|拓展提升|11.[2017·随州]在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE=时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.12.[2018·海南]已知:如图K21-9①,在ABCD中,点E是AB中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△BFE.(2)如图②,点G是边BC上任意一点(点G不与点B,C重合),连接AG交DF于点H,连接HC,过点A作AK∥HC,交DF于点K.①求证:HC=2AK;②当点G是边BC中点时,恰有HD=n·HK(n为正整数),求n的值.图K21-9参考答案1.A[解析]根据等式的性质2,等式的两边同时乘或者除以一个不为0 的数或字母,等式依然成立.故在等式左右两边同时除以2y,可得=,故选A.2.B[解析]∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC =AD·AB=2×8=16,∵AC>0,2∴AC=4.故选B.3.C4.B5.C[解析]∵E,F 为CD 边的两个三等分点,∴EF=CD.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴EF=AB,△EFG∽△BAG,∴S ∶S= =.故选C.2△EFG△ABG6.C[解析] A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;C.两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似;D.两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似.故选C.7.[解析] ∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=4,AB∥CD,∠ADC=90°.在Rt△ADC中,由勾股定理,得AC==5.∵E是边AB的中点,∴AE=AB=2.∵AB∥CD,∴△CDF∽△AEF,∴=,即=,∴CF=.8.[解析] 如图.设该直角三角形能容纳的正方形边长为x,则AD=12-x,FC=5-x.根据题意易得△ADE∽△EFC,∴=,∴=,解得x=.故答案为.9.解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC,又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4.又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,∴=,∴==2,∴AE=2EC,解得EC=AE,∵AC=AE+EC=6,∴AE+AE=6,解得AE=4.10.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE,∴△BDE∽△CEF.(2)由(1)得=,∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴=,即=,∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF,∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.11.或[解析]∠A=∠A,分两种情况:①当=时,△ADE∽△ABC,即=,∴AE=;②当=时,△ADE∽△ACB,即=,∴AE=.综上所述,当AE=或时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.12.解:(1)证明:在▱ABCD中,有AD∥BC,∴∠ADE=∠F,∵点E是AB中点,∴AE=BE,又∵∠AED=∠BEF,∴△ADE≌△BFE.(2)①在▱ABCD中,有AB∥CD,AB=CD,∴∠AEK=∠CDH,∵AK∥HC,∴∠AKE=∠CHD,∴△AEK∽△CDH,∴=.又∵E是边AB的中点,∴2AE=AB=CD,∴HC=2AK.②当点G是边BC中点时,在▱ABCD中,有AD∥BC,AD=BC,∴△AHD∽△GHF,∴=.由(1)得,△ADE≌△BFE,∴AD=BF,又∵G是BC中点,∴2BG=AD=BF,∴=.∵AD∥FC,∴∠ADK=∠F,∵AK∥HC,∴∠AKH=∠CHK,∴∠AKD=∠CHF,∴△AKD∽△CHF.∴==,∴KD=HF,HK=HD-KD=HF,∴=4,∴n=4.。

方法技巧训练（一） 与角平分线有关的基本模型 方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC＝90°＋12∠A.图1 图2 图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角 如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P＝12∠A. 解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O＝90°－12∠A. 解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC 中，∠A＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC＝110°．【变式1】 若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D＝20°．第1题图 变式1图 变式2图 变式3图【变式2】 若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°．【变式3】 如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α2． 方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD 是∠ABC 的平分线，点O 是BD 上一点，OE∥BC 交AB 于点E ，则△BOE 是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．2．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO 是∠ABC 的平分线，过点O 作OE⊥AB 于点E ，过点O 作OF⊥BC 于点F ，则OE ＝OF ，△BEO≌△BFO.图4 图5 图6 图7②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO 是∠ABC 的平分线，在BA ，BC 上取线段BE ＝BF ，则△BEO≌△BFO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形． ③过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形．如图7，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是BD 上一点，过点E 作BD 的垂线，则△BGH 是等腰三角形且BD 垂直平分GH.2.如图，在△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作BC 的平行线MN 交AB 于点M ，交AC 于点N ，则△AMN 的周长为(D )A ．10 cmB ．28 cmC ．20 cmD ．18 cm第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3．(2018·河北)如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为(B )A ．4.5B ．4C ．3D ．24．(2018·大庆)如图，∠B＝∠C＝90°，M 是BC 的中点，OM 平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B )A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°5．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点N ，且AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3，则AC 的长是16．6.如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD ，CE 相交于点O ，试说明BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以说明．解：BC ＝BE ＋CD.理由如下：在B C 上取点G ，使得CG ＝CD.∵∠BOC＝180°－12(∠ABC＋∠AC B)＝180°－12×(180°－60°)＝120°， ∴∠BOE＝∠COD＝60°.∵BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，∴∠EBO＝∠GBO，∠OCG＝∠OCD.在△COD 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DCO＝∠GCO，CD ＝CG ，∴△COD≌△COG(SAS )．∠COG＝∠COD＝60°.∴∠BOG ＝120°－60°＝60°＝∠BOE.在△BOE 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE＝∠BOG，BO ＝BO ，∠EBO＝∠GBO，∴△BOE≌△BOG(ASA )．∴BE＝BG.∴BE＋CD ＝BG ＋CG ＝BC.7．感知：如图1，AD 平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD＋∠ACD ＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB ＝DC.应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC 用含a 的代数式表示),图1) ,图2) ,图3)证明：过点D 作DE⊥AB 于点E ，DF⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF ＝DE ，∴△DFC≌△DEB(AAS )．∴DC＝DB.本文档仅供文库使用。

第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·浙江金华中考)如图，∠B的同位角可以是( )A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠42．(2018·江苏宿迁中考)如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C ＝24°，则∠D的度数是( )A．24° B．59°C．60° D．69°3．(2018·山东枣庄中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30°C．45° D．50°4．(2018·湖南益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOED．∠AOD＋∠BOD＝180°5．(2018·山东聊城中考)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )A．110° B．115°C．120° D．125°6．(2018·浙江金华模拟)若∠α＝35°，则∠α的补角为__________度．7．(2018·湖南衡阳中考)将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC 的度数为__________．8．(2018·湖南永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝__________.9. (2018·重庆中考B卷)如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE 交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．10．(2017·湖北十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝( )A．40° B．50°C．60° D．70°11．如图，已知点P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 cm.如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )A．2 cm B．2 3 cm C．4 cm D．4 3 cm12．如图中有四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的是( )A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°13．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠F ＝____________.14．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC 的长是______.15．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__________.16．(2018·湖北鄂州中考)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连结AE，EF，AF.(1)求证：AE＝EF；(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．17．已知O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE.(1)如图1，∠COF和∠BOE之间有何数量关系？并说明理由；(2)若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN＝30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数；(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________(直接写出结果)；(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC 的数量关系，并说明理由．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.D 4.C 5.C 6．145 7.75° 8.75°9．解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°， ∴∠FGH＝55°.∵GE 平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°. ∵∠FHG 是△EFH 的外角， ∴∠EFB＝55°－35°＝20°. 【拔高训练】 10．B 11.C 12.C 13．9.5° 14.3 15.95°16．(1)证明：∵点E ，F 分别为DB ，BC 的中点， ∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF＝12CD.又∵DB＝DC ，∴EF＝12DB.在Rt△ABD 中，∵点E 为DB 的中点， ∴AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝12DB ，∴AE＝EF.(2)解：如图，∵AE＝EF ，AF ＝AE ，∴AE＝EF ＝AF ， ∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF＝60°. ∵EF 是△BCD 的中位线， ∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°.又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β. ∵AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝DE ，∴∠1＝∠ADB＝α， ∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°. 17．解：(1)∠BOE＝2∠COF.理由如下： ∵∠COE＝90°， ∴∠BOE＝90°－∠AOC，∠COF＝∠AOF－∠AOC＝12(90°＋∠AOC)－∠AOC＝12(90°－∠AOC)，∴∠BOE ＝2∠COF.(2)不发生变化．证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°－∠EOF，∠BOE＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＝2∠COF. (3)∠BOE＋2∠COF＝360°.证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°＋∠EOF，∠BOE＝90°＋∠BOC＝90°＋90°－2∠EOF＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＋2∠COF＝360°. 【培优训练】18．解：(1)∵OM 平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB.又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°. ∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON－∠MOB＝35°. (2)11或47(3)∠AOM－∠NOC＝20°.理由如下：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°， ∴∠AOM＝90°－∠AON，∠NOC＝70°－∠AON，∴∠AOM－∠NOC＝(90°－∠AON)－(70°－∠AON)＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为∠AOM－∠NOC＝20°.第二节三角形的基础姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·广西柳州中考)如图，图中直角三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，如图，在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若DE＝8，则线段BD＋CE的长为( )A．5 B．6 C．7 D．83．(2018·湖北黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )A．75° B．80° C．85° D．90°4．(2017·四川巴中中考)若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a－9＋(b－2)2＝0，第三边c为奇数，则c＝______.5．(2017·四川乐山中考)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是_________.6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AD ＝18，点E 在AC 上，且CE ＝12AC ，连结BE ，与AD 相交于点F.若BE ＝15，则△DBF 的周长是________.7．(2018·湖北宜昌中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E. (1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．8. (2019·易错题)如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A ，B 两点在网格格点上．若点C 也在网格格点上，以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD⊥AB 于点D ，PE⊥AC 于点E ，则PD ＋PE 的长是( )A ．4.8B ．4.8或3.8C ．3.8D ．510．(2017·辽宁大连中考)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A ．2aB ．22aC ．3aD.433a11．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB ＝BC ＝22，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，连结BE ，BF ，EF.若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为( )A．2 B.94C.52D．312．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连结EF交AP于点G.给出以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF；③AP＝EF；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的结论是( )A．只有① B．①②④C．①②③④ D．①②④⑤13．(2017·四川达州中考)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是______________.14．(2019·改编题)已知点G是面积为27 cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于______cm2.15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝______.16．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三边的长；(2)设该组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．17．(2017·山东德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s．已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)18．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝________；若∠A＝a°，则∠BEC＝________．【探究】(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC ＝________；(2)如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；(3)如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.9 5.3556.247．解：(1)∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 【拔高训练】8．C 9.A 10.B 11.C 12.D 13．1<m<4 14.9 15.416．解：(1)设三角形的第三边长为x. ∵每个三角形有两条边的长分别为5和7， ∴7－5<x<5＋7，即2<x<12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10(不唯一)． (2)∵2<x<12，它们的边长均为整数， ∴x＝3，4，5，6，7，8，9，10，11， ∴该组中最多有9个三角形，∴n＝9.(3)∵当x ＝4，6，8，10时，该三角形周长为偶数， ∴该三角形周长为偶数的概率是49.17．解：(1)如图，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m.∵在Rt△ACD 中，∠C ＝45°， ∴Rt△ACD 是等腰直角三角形． ∴CD＝AD ＝10 m.在Rt△ABD 中，tan B ＝ADBD，∵∠B＝30°，∴BD＝3AD ， ∴BD＝10 3 m.∴BC＝BD ＋DC ＝(10＋103)m. 答：B ，C 之间的距离是(10＋103)m. (2)这辆汽车超速．理由如下： 由(1)知BC ＝(10＋103)m. 又3≈1.7，∴BC≈27 m， ∴汽车速度v ＝270.9＝30(m/s)．又∵30 m/s＝108 km/h ， 此地限速为80 km/h ，且108>80， ∴这辆汽车超速． 【培优训练】18．解：131° 90°＋12a°【探究】 (1)60°＋23a°(2)∠BOC＝12∠A.理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD ＝∠A＋∠ABC， ∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠BOC＋∠OBC)， ∴∠A＝2∠BOC，∴∠BOC＝12∠A.(3)∠BOC＝90°－12∠A.理由如下：∵O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC＝12(180°－∠ABC)＝90°－12∠ABC，∠OCB＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，在△OBC 中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(90°－12∠ABC)－(90°－12∠ACB)＝12(∠ABC＋∠ACB)，由三角形的内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠BOC＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A.第三节 全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( ) A ．两个等边三角形一定全等 B ．腰对应相等的两个等腰三角形全等 C ．形状相同的两个三角形全等 D ．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A ．BE ＝DFB ．BF ＝DEC ．AE ＝CFD ．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F.若▱ABCD 的周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△EDB中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB ＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．9．(2018·陕西中考)如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连结AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥CD，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF.在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.1816．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)． 在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ，∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ，∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD ＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE ＝180°－60°－60°＝60°. 【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM， ∴∠AMB＝∠AMC＝90°. ∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM. ∵AB＝32，∴AM＝BM ＝3. ∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM 2＋CM 2＝13.(2)证明：如图，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连结BG.∵DM＝MC ，∠BMD＝∠AMC＝90°，BM ＝AM ， ∴△BMD≌△AMC，故AC ＝BD. 又CE ＝AC ，因此BD ＝CE.∵点F 是线段BC 的中点， ∴BF＝FC ，由BF ＝FC ，∠BFG＝∠EFC，FG ＝FE ， ∴△BFG≌△CFE，故BG ＝CE ，∠G＝∠CEF， ∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.第四节 等腰三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于D ，连结AD.若AD ＝AC ，∠B＝25°，则∠C＝( )A ．70° B．60° C．50° D．40°2．(2017·四川南充中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个4. (2018·四川绵阳中考)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CE ＝CD ，△ACB的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ＝2，AD ＝6，则两个三角形重叠部分的面积为( )A. 2B ．3－ 2 C.3－1D ．3－ 35．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF＝BE ＋CF ； ②∠BOC＝90°＋12∠A；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④6．(2018·黑龙江绥化中考)已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为__________________．7．(2018·湖南娄底中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝______cm .8．(2018·浙江嘉兴中考)已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ，且DE ＝DF.求证：△ABC 是等边三角形．9. (2018·江苏镇江中考)如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝________°.10．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为( )A．2 B．2 3C. 3 D．311．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°12．(2019·易错题)在一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5 cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上)，这个等腰三角形的剪法有( )A．1种B．2种C．3种D．4种13．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝__________.14．(2018·辽宁葫芦岛中考)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n＋1C n的面积为__________________．(用含正整数n的代数式表示)15．(2018·浙江绍兴中考)数学课上，张老师举了下面的例题：例1. 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2. 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．16. (2018·青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.求证：△BCD 的面积为12a 2；(提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图2，在一般的Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.请用含a 的式子表示△BCD 的面积，并说明理由；(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.试探究用含a 的式子表示△BCD 的面积，要有探究过程．17．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC ＝4，则△ABC 的周长为________．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.D 5.A 6．50°或80° 7.68．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE 和Rt△CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C， ∴BA＝BC ，∵AB＝AC ，∴AB＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形．9．(1)证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACF. 在△ABE 和△ACF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B＝∠ACF，BE ＝CF ，∴△ABE≌△ACF(SAS)． (2)75 【拔高训练】 10．C 11.D 12.C13．72° 14.(32)2n －2×3315．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或20°或80°. (2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个； ②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B＝(180－x2)°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x°. 当180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x 2≠x，即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x≠60时，∠B 有三个不同的度数． 16．(1)证明：过点D 作DE⊥CB 交CB 的延长线于点E ， ∴∠BED＝∠ACB＝90°.由旋转知AB ＝BD ，∠ABD＝90°， ∴∠ABC＋∠DBE＝90°. 又∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ，∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴DE＝a ＝BC ， ∴S △BCD ＝12BC·DE＝12a 2.(2)解：过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，由(1)得∠BED＝∠ACB＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ， ∴AB＝BD ，∠ABD＝90°. ∴∠ABC＋∠DBE＝90°.∵∠A＋∠ABC＝90°.∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ，∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴BC＝DE ＝a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a 2.(3)解：如图，过点A 作AF⊥BC 于点F ，过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF ＝12BC ＝12a.∴∠FAB＋∠ABF＝90°.∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD. ∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的， ∴AB＝BD.在△AFB 和△BED 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠E，∠FAB＝∠EBD，AB ＝BD ，∴△AFB≌△BED，∴BF＝DE ＝12a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a·12a ＝14a 2.∴△BCD 的面积为14a 2.【培优训练】 17．30第五节 直角三角形与勾股定理姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·海南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△AB 1C 1，连结BC 1，则BC 1的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．122．(2019·改编题)下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( ) A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等3．(2017·贵州毕节中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A ．6B ．4C ．7D ．124．(2018·山东德州中考)如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC ＝5，OM ＝4，则点C 到射线OA 的距离为______．5．(2018·浙江宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____________________米(结果保留根号)．6．(2017·湖南常德中考)如图，已知在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D 是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________________.7．(2018·湖北襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为__________．8．(2018·四川广安中考)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形．9．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则该直角三角形的面积为( ) A．5 B．6 C．7 D．810．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．90 B．100C．110 D．12111．(2018·江苏无锡中考)已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于______________．12．(2017·湖北襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为_______.13.如图，在平面直角坐标系中，将含30°角的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A ，B 分别落在x 轴、y 轴上，且AB ＝12 cm .(1)若OB ＝6 cm ， ①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； (2)点C 与点O 的距离的最大值＝________cm .14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，记四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝________．15．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图1△ABC 中，M 是BC 的中点，P 是射线MA 上的点，设APPM＝k ，若∠BPC＝90°，则称k 为勾股比．(1)如图1，过B，C分别作中线AM的垂线，垂足为E，D.求证：CD＝BE.(2)①如图2，当k＝1，且AB＝AC时，AB2＋AC2＝________BC2(填一个恰当的数)．②如图1，当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图1，3，请用含勾股比k的表达式直接表示AB2＋AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.3 5.1 200(3－1) 6．0<CD≤5 7.23或27 8．解：(1)如图(1)所示． (2)如图(2)所示． (3)如图(3)所示． (4)如图(4)所示．【拔高训练】 9．C 10.C11．153或10 3 12.25813．解：(1)①如图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为点D ，在Rt△AOB 中，AB ＝12，则BC ＝6.∵OB＝6＝BC ，AB ＝AB ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABO， ∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°. 又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°， ∴BD＝3，CD ＝33， ∴OD＝BD ＋OB ＝3＋6＝9，∴点C 的坐标为(－33，9)．②如图，设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x.∴A O ＝AB·cos∠BAO＝12×cos 30°＝6 3. ∴A′O＝63－x ，B′O＝6＋x ，A′B′＝AB ＝12. 在△A′OB′中，由勾股定理，得 (63－x)2＋(6＋x)2＝122， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝6(3－1)． ∴滑动的距离为6(3－1)cm. (2)12 【培优训练】 14．1815．(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM＝CM. ∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°. 在△BME 和△CMD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠E＝∠CDM＝90°，∠BME＝∠CMD，BM ＝CM ，∴△BME≌△CMD(AAS)，∴CD＝BE. (2)①AB 2＋AC 2＝2.5BC 2②结论仍然成立．设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM ＋a ，AD ＝AM －a.在Rt△ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝(AM ＋a)2＋BE 2＝AM 2＋2AM·a＋a 2＋BE 2， 在Rt△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝(AM －a)2＋CD 2＝AM 2－2AM·a＋a 2＋CD 2， ∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋(a 2＋BE 2)＋(a 2＋CD 2)． ∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°，∴a 2＋BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2＋CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋12BC 2.∵APPM＝1，∴AP＝PM. ∵∠BPC＝90°，AM 是△ABC 的中线， ∴PM＝12BC.若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP ＋PM ＝PM ＋PM ＝2PM ＝BC ， ∴AB 2＋AC 2＝2BC 2＋12BC 2＝52BC 2，即AB 2＋AC 2＝2.5BC 2.③结论：锐角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2，钝角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2.第六节 尺规作图姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·湖北宜昌中考)尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．下列作图中正确的是( )2．(2018·河北中考)尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是( )A．①－Ⅳ，②－Ⅱ，③－Ⅰ，④－ⅢB．①－Ⅳ，②－Ⅲ，③－Ⅱ，④－ⅠC．①－Ⅱ，②－Ⅳ，③－Ⅲ，④－ⅠD．①－Ⅳ，②－Ⅰ，③－Ⅱ，④－Ⅲ3．(2018·山东潍坊中考)如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：(1)作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；(2)以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；(3)连结BD，BC.下列说法不正确的是( )A ．∠CBD＝30°B ．S △BDC ＝34AB 2 C ．点C 是△ABD 的外心 D ．sin 2A ＋cos 2D ＝14. (2018·吉林中考)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 坐标为________________．5．(2018·内蒙古通辽中考)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连结AD.若AB ＝BD ，AB ＝6，∠C＝30°，则△ACD 的面积为______．6．(2018·辽宁抚顺中考)如图，▱ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，连结AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连结AE ，则△AED 的周长是________．7．(2018·北京中考)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使得PQ∥l.作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵AB＝________，CB＝________，∴PQ∥l(________)(填推理的依据)．8．如图，∠BAC内有一点P，过点P作直线L∥AB，交AC于E点．今欲在∠BAC的两边上各找一点Q，R，使得P为QR的中点，以下是甲、乙两人的作法：甲：①过P作直线l1∥AC，交直线AB于F点，并连结EF；②过P作直线l2∥EF，分别交两直线AB，AC于Q，R两点，则Q，R即为所求．乙：①在直线AC上另取一点R，使得AE＝ER；②作直线PR，交直线AB于Q点，则Q，R即为所求．下列判断正确的是( )A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确9．如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A，D为圆心，A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心，O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F，则△ACF面积是__________．10．(2018·四川自贡中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.(1)作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4；求DE的长．(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)11．(2018·山东济宁中考)在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图所示)面积的方法，现有以下工具：①卷尺；②直棒EF；③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB)．(1)在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图；(保留画图痕迹，不写画法)(2)如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10 m，请你求出这个环形花坛的面积．参考答案【基础训练】 1．B 2.D 3.D4．(－1，0) 5.9 3 6.10 7．(1)解：直线PQ 如图所示．(2)AP CQ 三角形中位线定理 【拔高训练】 8．A 9.3＋3410．解：(1)⊙O 如图所示．(2)如图，作OH⊥BC 于H. ∵AC 是⊙O 的切线， ∴OE⊥AC，∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°， ∴四边形ECHO 是矩形， ∴OE＝CH ＝52，BH ＝BC －CH ＝32.在Rt△OBH 中，OH ＝（52）2－（32）2＝2， ∴EC＝OH ＝2，BE ＝EC 2＋BC 2＝2 5. ∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°， ∴△BCE∽△BED， ∴DE EC ＝BD BE ，∴DE 2＝525， ∴DE＝ 5.【培优训练】11．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，设EF与小圆切点为C，连结OM，OC.∵MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM＝CN＝5 m，∴OM2－OC2＝CM2＝25，∴S圆环＝π·OM2－π·OC2＝25π(m2)．。

单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：100分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，满分40分)1．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )2．下列四组数分别是三条线段的长度，能构成三角形的是( D )A．1，1，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，83．若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是( A )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三条边上的中点，∠B＝45°，∠C＝55°，则∠EFD＝( A ) A．80° B．100° C．75° D．65°5．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，连接BE交CD于点O，且O点是CD的中点，连接AO，下列结论不正确的是( C )A．AD＝DE B．△BOC≌△EOD C．△AOB≌△EOD D．△AOD≌△BOC6．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列各式成立的是( D ) A．b＝a·sinB B．a＝b·cosB C．a＝b·tanB D．b＝a·tanB 7．(2016·安徽模拟)如图，已知一块直角三角形的水泥平地，∠ACB＝90°，AC＝60米，BC＝80米，点D是AB 边上的一点，从C点直接走到D点的距离为x米，则x的取值范围为( C )A．60<x<80 B．60≤x≤80 C．48≤x≤80 D．48<x<608．(2016·合肥十校联考模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是( B )A．BF＝EF B．DE＝EF C．∠EFC＝45° D．∠BEF＝∠CBE9．(2016·阜阳二模)如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，直线AD∥BC，与CF的延长线交于点D，则S△AFD：S四边形AFOE为( D )A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2提示：连接EF ，则EF∥BC.设△ABC 的面积为S ，则S △AFD ＝S △BFC ＝S △AFC ＝12S ，S △AEF ＝14S ，∴S △BOC ＝23S △BFC ＝13S ，∴S △EOF ＝14S △BOC ＝112S ，∴S △AFD ：S 四边形AFOE ＝12S ：(14S ＋112S)＝3∶2. 10．如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直于底边BC ，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至点C ，直线l 与△ABC 的边相交于E ，F 两点，设线段EF 的长度为y ，平移时间为x ，则下图中能较好地反映y 与x 的函数关系的图象是( B )二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分)11．(2016·马鞍山二模)如图，AB ∥CD ，∠1 ＝ 60°，F G 平分∠EFD，则∠2＝30°.12．(2016·新疆)如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C 点测得∠ACB＝30°，D 点测得∠ADB＝60°，又CD ＝60 m ，则河宽AB 结果保留根号)．13．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于154．14．(2016·滁州模拟)如图，AD ，AE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AC ＝2，AB ＝5，过点C 作CF⊥AE 于点F ，连接DF ，有下列结论：①将△ACF 沿着直线AE 折叠，点C 怡好落在AB 上；②3＜2AD ＜7；③若∠B＝30°，∠FCE ＝15°，则∠ACB ＝55°；④若△ABC 的面积为S ，则△DFC 的面积为0.15S.其中正确的是①②④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)提示：延长CF 交AB 于M ，延长AD 到N 使得DN ＝AD ，连接BN 、CN ；①正确，由CF ＝FM 即可解决．②正确，在△ABN 中利用三边关系即可解决．③错误，∠ACB ＝60°，④正确，先证明S △BCM ＝35S △ABC ＝35S ，由△DFC∽△BMC，得S △DFC ＝14S △BCM 即可证明． 三、(本大题共2个小题，每小题8分，满分16分)15．(2016·长宁区一模)计算：tan 230°－(cos75°－cot10°)0＋2cos60°－2tan45°.。

课时训练(二十)直角三角形|夯 实 基 础|一、选择题1．[2017·某某]一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形图K20－12．[2016·某某]如图K20－1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．33．[2016·东营]在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2 10，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于( ) A ．10 B ．8C ．6或10D ．8或104．如图K20－2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠A＝30°，BD ＝2，则AC 的长为( ) A ．4 B ．4 3 C ．8 D ．16K20－2K20－35．[2017·枣庄]如图K20－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB＝15，则△ABD 的面积为( )A ．15B ．30C ．45D ．60图K20－46．[2017·某某]如图K20－4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A ．2aB ．2 2aC ．3a D.4 33a图K20－57．[2017·某某]四个全等的直角三角形按图K20－5所示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，Rt △ABM 较长直角边，AM ＝2 2EF ，则正方形ABCD 的面积为( )A ．12SB ．10SC ．9SD ．8S8．[2016·株洲]如图K20－6，以直角三角形的a ，b ，c 为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况中阴影部分面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形个数有( )图K20－6A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．[2017·株洲]如图K20－7，在Rt△ABC中，∠B的度数是________．K20－7K20－810．[2017·某某]如图K20－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段________．11．[2017·某某]如图K20－9，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝________．K20－912．[2017·某某]如图K20－10，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值X围是________．K20－10K20－1113．如图K20－11，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________．三、解答题14．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图K20－12，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，____________________．求证：________．请你补全已知和求证，并写出证明过程．图K20－1215．[2017·某某]如图K20－13，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．图K20－13|拓展提升|16．[2017·某某]如图K20－14，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO.再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，…，如此下去，则线段OA n的长度为________．图K20－1417．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC 为__________三角形．(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形．(3)当a ＝2，b ＝4时，根据△ABC 的不同形状，求出对应的c 的取值X 围．参考答案1．B [解析] 根据三角形的内角和为180°，可知最大角为180°×31＋2＋3＝90°，因此这个三角形是直角三角形．故选B.2．D [解析] ∵DE 是AC 的垂直平分线，∠ACB ＝90°，∴DE 是△ABC 的中位线，又在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，由勾股定理可知BC ＝6，∴DE ＝12BC ＝3.3．C [解析] 根据题意画出示意图．因为AB ＝10，AC ＝2 10，AD ＝6，根据勾股定理得BD ＝8，CD ＝2，图①中，BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，BC ＝BD －CD ＝8－2＝6，所以BC 的长为6或10.4．B [解析] 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB ，∴∠BCD ＝30°. ∵BD ＝2，∴BC ＝2BD ＝4，∴AB ＝2BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝4 3.5．B [解析] 由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE⊥AB 于E ，又∵∠C＝90°，∴DE ＝CD ，∴△ABD 的面积＝12AB·DE＝12B.6．B [解析] 由于CD⊥AB，CD ＝DE ＝a ，所以CE ＝CD 2＋DE 2＝a 2＋a 2＝2a ，又△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是AB 的中点，所以AE ＝BE ＝CE ，所以AB ＝2CE ＝2 2a ，故选B.7．C [解析] 由题意可知小正方形EFGH 边长：EF ＝EH ＝HG ＝GF ＝S ，4个白色的矩形全等，且矩形的长均为2S ，宽为(2S －S)，则直角三角形的短直角边长为S.由勾股定理得AB ＝BM 2＋AM 2＝S ＋8S ＝3 S ，所以正方形ABCD 的面积为9S.8．D [解析] (1)S 1＝34a 2，S 2＝34b 2，S 3＝34c 2， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴34a 2＋34b 2＝34c 2，∴S 1＋S 2＝S 3. (2)S 1＝π8a 2，S 2＝π8b 2，S 3＝π8c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴π8a 2＋π8b 2＝π8c 2，∴S 1＋S 2＝S 3. (3)S 1＝14a 2，S 2＝14b 2，S 3＝14c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴14a 2＋14b 2＝14c 2，∴S 1＋S 2＝S 3. (4)S 1＝a 2，S 2＝b 2，S 3＝c 2，∵a 2＋b 2＝c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.综上，阴影部分面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形有4个． 9．25°10．BC ＝BE(或DC ＝DE ，BD ＝AD 等)11.132 [解析] AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，因为52＋122＝132，所以△ABC 是直角三角形，因为CD 是AB 边上的中线，所以CD ＝12AB ＝132.12．0<CD<5 [解析] 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，当点D 运动至A 点时，CD 最长，且最大值为5，所以CD 的取值X 围是0<CD<5.13．8 [解析] ∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE ＝5， ∴DE ＝12AC ＝5，AC ＝10.在直角△ACD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，AC ＝10，根据勾股定理，得 CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.14．解：补充已知为：PD⊥OA，垂足为D ，PE ⊥OB ，垂足为E.求证为：PD ＝PE. 证明：∵PD⊥OA，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO＝90°. 在△PDO 和△PEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠POD＝∠POE，∠ODP ＝∠OEP，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS)， ∴PD ＝PE. 15．解：(1)4(2)∵AC＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△CAD 是等边三角形，∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°，过点D 作DE⊥BC 于E. ∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝30°. 在Rt △CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°， ∴DE ＝12CD ＝2，CE ＝2 3，∴BE ＝3，在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.16．(2)n [解析] 在Rt △A 1OB 中，OA 1＝OB sin45°＝2，OA 2＝OA 1sin45°＝222＝(2)2，…，∴OA n ＝(2)n.17．解：(1)锐角 钝角 (2)＞ ＜ (3)∵a＝2，b ＝4，∴4≤c ＜6.当a 2＋b 2＝c 2，即c ＝2 5时，△ABC 是直角三角形； 当4≤c＜2 5时，△ABC 是锐角三角形； 当2 5＜c ＜6时，△ABC 是钝角三角形．。

2019年中考复习单元测试（四）图形的初步认识与三角形(含答案)单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(C)A．3，4，5 B．5，7，7 C．5，6，12 D．5，12，132．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是(B)3．如图，字母B所代表的正方形的面积是(B)A．12 B．144 C．13 D．1944．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为(A)A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD6．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板(∠C＝90°)按如图所示的位置摆放．若∠1＝55°，则∠2的度数为(A)A．80° B．70° C．85° D．75°7．如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为(C )A.432 B ．2 2 C.832 D ．3 28．如图，E ，F 是▱ABCD 对角线上AC 两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH的值为(C ) A.12 B.23 C.34D ．1二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B 的度数为50__°．10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE 为5 m ，小明的眼睛与地面的距离AB 为1.5 m ，那么这棵树高是4.39m.(可用计算器，精确到0.01)11．如图，E 为▱ABCD 的DC 边延长线上一点，连接AE ，交BC 于点F ，则图中与△ABF 相似的三角形共有2个．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，D ，E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE，BC ＝23，则AB ＝4．13．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为3．14．一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·c os β－cos α·sin β.例如sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 4三、解答题(共44分)15．(10分)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B＝∠C，AF 与DE 相交于点G ，求证：GE ＝GF.证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EF ＝CF ＋EF. ∴BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C，BF ＝CE ，∴△ABF≌DCE (SAS )． ∴∠GEF ＝∠GFE. ∴EG ＝FG.16．(10分)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形； (2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形； (3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．,(1)) ,(2)),(3)),(4))解：如图．17．(12分)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9 s 秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B ，C 之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km /h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)解：(1)过点A 作AD⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m ， 在Rt△ACD 中， ∵∠C ＝45 °， ∴AD ＝CD ＝10 m.在Rt△ABD 中，∵∠B ＝30 °， ∴tan30 °＝ADBD.∴BD ＝3AD ＝10 3 m.∴BC ＝BD ＋DC ＝(10＋103)m. (2)结论：这辆汽车超速．理由：∵BC ＝10＋103≈27(m )，∴汽车速度为270.9＝30(m/s )＝108(km/h )．∵108>80，∴这辆汽车超速．18．(12分)问题1：如图1，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 上一点(不与A ，B 重合)，DE∥BE，交AC 于点E ，连接CD.设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S′.(1)当AD ＝3时，S′S ＝316；(2)设AD ＝m ，请你用含字母m 的代数式表示S′S.问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝4，AD∥BC，AD ＝12BC ，E 是AB 上一点(不与A ，B 重合)，EF∥BC，交CD 于点F ，连接CE.设AE ＝n ，四边形ABCD 的面积为S ，△EFC 的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n 的代数式表S′S.图1 图2解：问题1：(2)∵AB ＝4，AD ＝m ，∴AD ＝4－m. ∵DE∥BC，∴CE EA ＝BD DA ＝4－m m .∴S △DEC S △ADE ＝4－mm .又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∴S △ADE S △ABC ＝(m 4)2＝m216. ∴S △DEC S △ABC ＝S △DEC S △ADE ·S △ADE S △ABC ＝4－m m ·m 216＝－m 2＋4m 16， 即S ′S ＝－m 2＋4m 16.问题2：分别延长BA ，CD ，相交于点O. ∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC.∴OA OB ＝AD BC ＝12. ∴OA ＝AB ＝4.∴OB ＝8. ∵AE ＝n ，∴OE ＝4＋n. ∵EF∥BC.由问题1的解法可知，S △CEF S △OBC ＝S △CEF S △OEF ·S △OEF S △OBC ＝4－n 4＋n ·(4＋n 8)2＝16－n264.∵S △OAD S △OBC ＝(OA OB )2＝14，∴S 四边形ABCD S △OBC ＝34. ∴S △CEFS 四边形ABCD ＝S △CEF 34S △OBC ＝43×16－n 264＝16－n248， 即S ′S ＝16－n 248.。

课时训练(二十) 相似三角形及其性质|夯实基础|1.[2017·兰州] 已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是()A.=B.=C.=D.=2.[2018·兰州] 如图K20-1,边长为4的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则△ADE的面积是()图K20-1A.B.C.D.23.如图K20-2,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于 ()图K20-2A.3∶2B.3∶1C.1∶1D.1∶24.[2018·台州] 如图K20-3,在▱ABCD中,AB=2,BC=3.以点C为圆心,适当长为半径画弧,交BC于点P,交CD于点Q,再分别以点P,Q为圆心,大于PQ的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是()图K20-3A.B.1 C.D.5.[2017·遵义] 如图K20-4,在△ABC中,E是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,则FC的长为 ()图K20-4A.11B.12C.13D.146.[2017·自贡] 如图K20-5,在△ABC中,MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N,若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为.图K20-57.[2017·潍坊] 如图K20-6,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)图K20-68.如图K20-7,在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,点F为BE延长线与AD延长线的交点,若DE=1,则DF的长为.图K20-79.[2018·包头] 如图K20-8,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连结DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为.图K20-810.[2018·江西] 如图K20-9,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.图K20-911.如图K20-10,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC 于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.图K20-10|拓展提升|12.[2018·湖州] 已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且==m,连结AE,过点D作DM⊥AE,垂足为M,延长DM交AB于点F.(1)如图K20-11①,过点E作EH⊥AB于点H,连结DH.①求证:四边形DHEC是平行四边形;②若m=,求证:AE=DF.(2)如图②,若m=,求的值.图K20-11参考答案1.A[解析] 根据等式的性质2,等式的两边同时乘或者除以一个不为0的数或字母,等式依然成立.故在等式左右两边同时除以2y,可得=,故选A.2.A3.D4.B[解析] 如图所示,根据作图过程可知CE是∠BCD的平分线,∴∠FCB=∠FCD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且DC=AB=2,∴∠DFC=∠FCB,∴∠FCD=∠DFC,∴DF=DC=2,∴AF=AD-DF=3-2=1,∵AF∥BC,∴△EAF∽△EBC,∴=,即=,解得AE=1.5.C[解析] ∵AD是∠BAC的平分线,AB=11,AC=15,∴==.∵E是BC的中点,∴CE=BC,∵EF∥AD,∴=,即=,解得CF=13.6.1[解析] ∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC,∴=.∵AM=1,MB=2,BC=3,∴=,解得MN=1.7.∠A=∠BDF∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC,=,=[解析] ∵AC=3AD,AB=3AE,∴==,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB与△ADE相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可.8.9.[解析] 由3AE=2EB得=.由EF∥BC易证得△AEF∽△ABC,所以=,又因为S△AEF=1,所以S△ABC=.又因为AC 是对角线,所以S△ADC=,又因为==,所以S△ADF=S△ADC=×=.10.解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC.又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4.又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,∴=,∴==2,∴AE=2EC,解得EC=AE,∵AC=AE+EC=6,∴AE+AE=6,解得AE=4.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠EAM=∠AMB.∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠B,∴△ABM∽△EFA.(2)在Rt△ABM中,AB=12,BM=5,∠B=90°,∴由勾股定理得AM===13.∵F是AM的中点,∴AF=AM=.∵△ABM∽△EFA,∴=,即=,解得AE=16.9.又AD=AB=12,∴DE=16.9-12=4.9.12.[解析] (1)①已知条件给出的是线段的比,所以考虑利用三角形相似,将线段的比进行转化,从而证明HE与DC相等,再得出平行四边形的结论;②是一个特殊的比值,且出现在直角三角形题目中,所以考虑证明直角三角形为等腰直角三角形,从而得出线段相等,进而通过三角形全等证明结论.(2)虽然m的值发生变化,但整体图形没有发生变化,所以解题的方法还可以仿照第(1)问进行,只需要考虑将全等改为相似就可以.解:(1)①证明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA.∴△BHE∽△BAC.∴=.∵=,∴=.∴=.∴HE=DC.∴四边形DHEC是平行四边形.②证明:∵=,∠BAC=90°,∴AC=AB.∵△BHE∽△BAC,则BH=HE.∵HE=DC,∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.——————————唐玲制作仅供学习交流——————————∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA=∠FAD=90°,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF.(2)过点E作EG⊥AB于G.∵CA⊥AB,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB,∴==.∵=,∴EG=CD.设EG=CD=3x,AC=3y,由题意得BE=5x,BC=5y,∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM.∴∠AFM=∠AEG.∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA.∴===.唐玲。

角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习课时训练(十七)三角形的基本性质及全等三角形(限时:35分钟)|夯实基础|1.[xx·河北]下列图形具有稳定性的是()图K17-12.[xx·福建A卷]下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,3,53.[xx·贵阳]如图K17-2,在△ABC中有四条线段DE,BE,EG,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是()图K17-2A.线段DEB.线段BEC.线段EGD.线段FG4.如图K17-3,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则与∠DCE相等的角是()角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习图K17-3A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB5.[xx·宿迁]如图K17-4,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC,若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是()图K17-4A.24°B.59°C.60°D.69°6.如图K17-5,点A,E,F,D在同一直线上,若AB∥CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有()图K17-5A.1对B.2对C.3对D.4对7.如图K17-6,任意画一个△ABC(AC≠BC),在△ABC所在平面内确定一个点D,使得△ABD与△ABC全等,则符合条件的点D有()角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习图K17-6A.1个B.2个C.3个D.4个8.[xx·南京]如图K17-7,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()图K17-7A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c9.[xx·聊城]如图K17-8,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是()图K17-8A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°-α-β角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习10.[xx·石家庄裕华区一模]如图K17-9,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是()图K17-911.三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2-13x+40=0的根,则该三角形的周长为.12.[xx·济宁]如图K17-10,在△ABC中,点E,F分别是边AB,AC的中点,点D在BC边上,连接DE,DF,EF,请你添加一个条件,使△BED与△FED全等.图K17-1013.如图K17-11,OP平分∠MON,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,OA=OB,则图中有对全等三角形.图K17-1114.[xx·镇江]如图K17-12,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.(1)求证:△ABE≌△ACF;角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习(2)若∠BAE=30°,则∠ADC= °.图K17-1215.[xx·陕西]如图K17-13,AB∥CD,E,F分别为AB,CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC,BF相交于点G,H.若AB=CD,求证:AG=DH.图K17-13角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习16.[xx·唐山丰南区二模]如图K17-14,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.(1)求证:BN=DN;(2)求MN的长.图K17-14角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习|拓展提升|17.[xx·天津]如图K17-15,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为.图K17-1518.[xx·深圳]如图K17-16,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是.图K17-1619.如图K17-17,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点.若AB=5,CD=3,求EF的长.角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习图K17-17角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习参考答案1.A2.C3.B4.A5.B[解析] 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求得∠CBD=59°,再根据两直线平行,内错角相等知B正确.6.C[解析] 求出AF=DE,∠A=∠D,根据SAS推出△BAF≌△CDE,△BAE≌△CDF,求出BE=CF,∠AEB=∠DFC,推出∠BEF=∠CFE,根据SAS推出△BEF≌△CFE即可.7.D[解析] 由于AB为公共边,可先找出点C关于AB对称的一点D,再找出C,D两点关于AB的中点对称的点即可.如图所示,∵AB为公共边,∴D点有4种可能的位置(含D与C重合),故选D.8.D[解析] 由AB⊥CD,BF⊥AD可得∠A+∠B=90°,∠A+∠D=90°,则∠B=∠D,结合已知AB=CD,∠CED=∠BFA=90°,得△ABF≌△CDE,所以AF=CE=a,BF=DE=b,所以AD=a+b-c,故选D.9.A[解析] 设DA'交AC于点F,经过折叠,∠A'=∠A=α,由三角形的外角性质,可知∠AFD=∠CEA'+∠A'=α+β,∠BDA'=∠A+∠AFD=α+α+β,即γ=2α+β,故选A.10.C[解析] A.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等,故本选项不符合题意;B.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等,故本选项不符合题意;C.如图①,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE,∴∠FEC=∠BDE,所以其对应边应该是BE和CF,而已知给的是BD=FC=3,所以不能判定两个小三角形全等,故本选项符合题意;D.如图②,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE,∴∠FEC=∠BDE,∵BD=EC=2,∠B=∠C,∴△BDE≌△CEF,所以能判定两个小三角形全等,故本选项不符合题意.故选C.角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习11.12[解析] 解方程x2-13x+40=0,得x1=5,x2=8.而三角形的两边长分别是3和4,所以1<x<7,所以三角形第三边的长为5,所以三角形的周长为3+4+5=12.12.答案不唯一,如:BD=EF[解析] 因为点E,F分别是边AB,AC的中点,所以EF=BC,EF∥BC,所以∠FED=∠BDE,又因为DE是△BED,△FED的公共边,所以根据“SAS”知可添加BD=EF.13.3[解析] ∵∠POE=∠POF,∠PEO=∠PFO=90°,OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS),∴PE=PF.∵OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(SAS),∴PA=PB.又∵PE=PF,∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL).∴图中共有3对全等三角形,故答案为3.14.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACF.在△ABE和△ACF中,∴△ABE≌△ACF.(2)75[解析] 由(1)知△ABE≌△ACF,∴∠CAF=∠BAE=30°,又∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD==75°.15.证明:∵AB∥CD,∴∠A=∠D.角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习∵EC∥BF,∴∠CGD=∠AHB.∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG.∴AH=DG.∴AH-GH=DG-GH,即AG=DH.16.解:(1)证明:∵AN平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND,在△ABN和△ADN中,∴△ABN≌△ADN(ASA).∴BN=DN.(2)∵△ABN≌△ADN,∴AD=AB=10,DN=NB,∴CD=AC-AD=16-10=6,又∵点M是BC的中点,∴MN是△BDC的中位线,∴MN=CD=3.17.[解析] 如图,延长GE交AB于点N,则GN⊥AN,过点P作PM⊥GN于点M.所以PM∥AN,由正方形的性质可知:AN=AB-BN=AB-EF=2,NE=GN-GE=BC-FC=2.根据P是AE的中点及PM∥AN,可得PM为△ANE的中位线,所以角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习ME=NE=1,PM=AN=1,因此MG=2.根据勾股定理可得PG==.18.8[解析] ∵四边形ACDF是正方形,∴AC=AF,∠CAF=90°,∴∠EAC+∠FAB=90°,∵∠ABF=90°,∴∠AFB+∠FAB=90°,∴∠EAC=∠AFB.在△CAE和△AFB中,∴△CAE≌△AFB,∴EC=AB=4,∴阴影部分的面积=×AB×CE=8,故答案为8.19.解:连接DE并延长交AB于点H.∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE.∵E是AC的中点,∴CE=AE,∴△DCE≌△HAE,∴DE=HE,CD=AH.又∵F是BD的中点,∴EF是△DHB的中位线,∴EF=BH,而BH=AB-AH=AB-CD=2,∴EF=BH=1.【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】角形课时训练17 三角形的基本性质及全等三角形练习。

课时训练(二十二)锐角三角函数及其应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2018·天津]cos30°的值等于()A.22B.32C.1D.2.[2018·益阳]如图K22-1,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了()图K22-1A.300 sinα米B.300 cosα米C.300 tanα米D.300米3.[2018·金华、丽水]如图K22-2,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为()图K22-2A.B.ss C.ssD.coscos4.[2018·日照]如图K22-3,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上,则∠BED的正切值等于()图K22-3A.2B.C.2D.125.[2018·娄底]如图K22-4,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα-cosα=()图K22-4A.13B.-13C.13D.-136.[201 ·滨州]如图K22-5,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为 ()图K22-5A.2+3B.23C.3+3D.337.[2018·滨州]在△ABC中,∠C=90°,若tan A=12,则sin B= .8.[2018·咸宁]如图K22-6,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部的仰角为4 °,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m,那么该建筑物的高度BC 约为m.(结果保留整数,3≈1.73)图K22-69.[2018·无锡]已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积为.10.[2018·临沂]如图K22-7,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=4 °,AC=2(+1) m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?图K22-711.[2018·张家界]2017年9月8日—10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图K22-8,某选手从离水平地面1000 m高的A点出发(AB=1000 m),沿俯角为30°的方向直线飞行1400 m到达D点,然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离BC.图K22-812.[2018·衡阳]一名徒步爱好者来衡阳旅行,他从宾馆C出发,沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处,参观后又从A处沿正南方向行走一段距离,到达位于宾馆南偏东4 °方向的雁峰公园B处,如图K22-9所示.(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离;(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆,那么他在15分钟内能否到达宾馆?图K22-9|拓展提升|13.[2018·南宁]如图K22-10,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=3,点P在BC上,将△CDP沿DP 折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则cos∠ADF的值为()图K22-10A .1113B .131C .11D .11914.[2018·贵阳] 如图K22-11①,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究s 与s之间关系的方法:图K22-11∵sin A= ,sin B= ,∴c= s ,c=s ,∴s =s. 根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角三角形ABC 中,探究s ,s ,s之间的关系,并写出探究过程.参考答案1.B2.A3.B4.D5.D6.A [解析] 设AC=a ,则AB= ÷s 30°=2a ,BC= ÷ 30°= 3a ,∴BD=AB=2a ,∴tan ∠DAC== 2 3=2+ . 7.2[解析] 设BC=x ,则AC=2x ,根据勾股定理可知AB= x ,故sin B===2.8.300 [解析] 在Rt △ABD 中,∠BAD=4 °,∴BD=AD=110 m,在Rt △ACD 中,∠CAD=60°,AD=110 m,∴CD=AD · 60°=110 3(m),∴BC=BD+CD=110+110 3≈300 m . 9.15 3或10 3 [解析] 作AD ⊥BC 交BC (或BC 延长线)于点D. (1)如图①,当AB ,AC 位于AD 异侧时,在Rt △ABD 中,∠B=30°,AB=10,∴AD=12AB=5,BD= 2- 2=5 ∴CD= 2- 2= 2 2- 2= ,则BC=BD+CD=6 ∴S △ABC =12BC ·AD=12×6 ×5=15 (2)如图②,当AB ,AC 在AD 的同侧时,由①知,BD=5 CD= ,则BC=BD-CD=4 ∴S △ABC =12BC ·AD=12×4 3×5=10 3. 综上,△ABC 的面积是15 10 , 故答案为15 3或10 3.10.解:过点B 作BD ⊥AC ,垂足为点D.在Rt △ABD 中,∠ABD=90°-∠A=60°, 则AD=tan ∠ABD ·BD= BD. 在Rt △BCD 中,∠C=4 °, ∴CD=BD.∴AC=AD+CD= BD+BD=( +1)BD=2( +1),解得BD=2.∵2 m <2.1 m, ∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m 的圆形门.11.[解析] 首先过点D 作DE ⊥AB 于点E ,过点D 作DF ⊥BC 于点F ,解直角三角形ADE ,得出DE ,AE 的长,求出EB ,再解直角三角形DFC ,得出FC 的长,进而求出BC 的长即可. 解:过点D 作DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥BC 于点F.由题意知,∠ADE=30°,∠CDF=30°. 在Rt △DAE 中,AE=12AD=12×1400=700(m),∵cos ∠ADE=,∴DE=1400× 32=700 3(m). ∵EB=AB-AE=1000-700=300(m), ∴DF=BE=300 m .在Rt △DFC 中,∵tan ∠CDF=,∴FC=300× 33=100 3(m),∴BC=BF+FC=DE+FC=700 3+100 3=800 3(m). 答:该选手飞行的水平距离BC 为800 m . 12.解:(1)如图,过点C 作CD ⊥AB 于D ,由题意可知∠ACD=60°,AC=2000, ∴∠A=30°,∴CD=12AC=1000,即这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离是1000米. (2)能.理由:在Rt △BCD 中,∵CD=1000,∠BCD=4 °, ∴BC=cos4 °=22=1000 2.∵1000 2÷100=10 2<15,∴徒步爱好者能在15分钟内到达宾馆.13.C [解析] 由题意得Rt △DCP ≌Rt △DEP ,∴DC=DE=4,CP=EP.在Rt △OEF 和Rt △OBP 中,∠EOF=∠BOP ,∠B=∠E ,OP=OF ,∴Rt △OEF ≌Rt △OBP (AAS),∴OE=OB ,EF=BP.设EF 为x ,则BP=x ,DF=DE-EF=4-x ,又∵BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC ,PC=BC-BP=3-x ,∴AF=AB-BF=4-(3-x )=1+x.在Rt △DAF 中,AF 2+AD 2=DF 2,即(1+x )2+32=(4-x )2,解得x=3 ,∴EF=3 ,DF=4-3 =1, ∴在Rt △DAF 中,cos ∠ADF= =1 1.14.解:如图,作BD ⊥AC 于点D.在Rt △ABD 和Rt △BCD 中,BD=c sin A ,BD=a sin C ,∴s =s.同理,s =s. ∴s =s =s.。

UNIT FOUR第四单元　图形的初步认识与三角形第 20 课时　直角三角形课前双基巩固考点聚焦考点一　线段的垂直平分线相等垂直平分线课前双基巩固考点二　角平分线的性质与判定距离平分线课前双基巩固考点三　直角三角形的概念、性质与判定直角课前双基巩固课前双基巩固考点四　勾股定理及其逆定理课前双基巩固对点演练题组一　教材题图20-1B60°课前双基巩固图20-2图20-34 50°课前双基巩固30°课前双基巩固题组二　易错题【失分点】 应用勾股定理求线段长时漏解;应用勾股定理判定直角三角形时出错;在运用角平分线的性质定理时,混淆“点与直线的距离”和“点与点之间的距离”;对线段的垂直平分线的概念理解有误.CC课前双基巩固CC课堂考点探究探究一　直角三角形性质的应用【命题角度】(1)已知直角三角形中的一个锐角,求另一个锐角;(2)解决直角三角形斜边上的中线问题;(3)运用“30 °角所对的直角边等于斜边的一半”进行证明与计算图20-5课堂考点探究[方法模型] 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半,可以在直角三角形中得出线段的倍分关系.通常由“一半”想到三角形中位线或等腰三角形,由等腰三角形想到角或特殊角的变化.课堂考点探究针对训练课堂考点探究2课堂考点探究探究二　勾股定理及逆定理的应用【命题角度】(1)利用勾股定理求线段的长度;(2)勾股定理的验证;(3)利用勾股定理解决折叠问题.课堂考点探究课堂考点探究针对训练课堂考点探究课堂考点探究探究三　角平分线的性质与判定【命题角度】(1)利用角平分线的性质计算线段长度或证明线段相等;(2)利用角平分线的判定证明角相等或计算角度.图20-10课堂考点探究探究四　线段的垂直平分线的性质与判定【命题角度】(1)利用线段的垂直平分线的性质计算线段长度或证明线段相等;(2)利用线段的垂直平分线的判定证明角相等或计算角度.图20-11课堂考点探究[方法模型]应用线段的垂直平分线的性质或判定定理时,经常涉及添加辅助线:连接线段垂直平分线上的点与线段的端点.课堂考点探究针对训练图20-12。

课时训练(二十)直角三角形(限时:40分钟)|夯实根底|1.[2021·长沙] 一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,那么这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2.[2021·滨州] 在直角三角形中,假设勾为3,股为4,那么弦为 ()A.5B.6C.7D.83.关注数学文化[2021·长沙] 我国南宋著名数学家秦九韶的著作?数书九章?里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?〞这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里〞是我国市制长度单位,1里=500米,那么该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米4.[2021·河北] :如图K20-1,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,那么作法不正确的选项是 ()图K20-1A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C,且AC=BCC.取AB的中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C5.[2021·襄阳] 如图K20-2,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于24 cm长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.假设AE=3 cm,△ABD的周长为13 cm,那么△ABC的周长为()图K20-2A.16 cmB.19 cmC.22 cmD.25 cm6.[2021·青岛] 如图K20-3,三角形纸片ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.EF=3,那么BC的长是()2图K20-3B.3√2C.3D.3√3A.3√227.[2021·安顺] △ABC(AC<BC),用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,那么符合要求的作图痕迹是()图K20-48.[2021·株洲] 如图K20-5,以直角三角形的a,b,c为边,向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况中阴影局部面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为()图K20-5A.1B.2C.3D.49.[2021·株洲] 如图K20-6,在Rt△ABC中,∠B的度数是.图K20-610.[2021·东营] 如图K20-7,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于点E,F,再EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线CP交AB于点D,假设BD=3,AC=10,那么△ACD的面分别以点E,F为圆心,大于12积是.图K20-711.[2021·南京] 如图K20-8,在△ABC中,用直尺和圆规作AB,AC的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,连接DE.假设BC=10 cm,那么DE= cm.图K20-812.[2021·常德] 如图K20-9,Rt△ABE中,∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于点C,并使得∠CDE=30°,那么CD长度的取值范围是.图K20-913.[2021·黄冈] 如图K20-10,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 3 cm与蜂蜜相对的点A处,那么蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为______cm.(杯壁厚度不计)图K20-1014.[2021·青岛] :如图K20-11,∠ABC,射线BC上一点D.求作:等腰三角形PBD,使线段BD为等腰三角形PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等.(请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保存作图痕迹)15.[2021·徐州] 如图K20-12,AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3√3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC= ;(2)求线段DB的长度.图K20-12|拓展提升|16.[2021·徐州] 如图K20-13,OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO.再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,…,如此下去,那么线段OA n的长度为.17.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类).(1)当△ABC的三边长分别为6,8,9时,△ABC为三角形;当△ABC的三边长分别为6,8,11时,△ABC为三角形.(2)猜测:当a2+b2c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2c2时,△ABC为钝角三角形.(3)当a=2,b=4时,根据△ABC的不同形状,求出对应的c的取值范围.参考答案1.B [解析] 根据三角形的内角和为180°,可知最大角为180°×31+2+3=90°,因此这个三角形是直角三角形. 应选B . 2.A3.A [解析] 将里换算为米,那么三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以S=12×6×2.5=7.5(平方千米),应选A . 4.B5.B [解析] 由尺规作图可知,MN 是线段AC 的垂直平分线,∴AD=CD ,AC=2AE=6 cm, ∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C △ABD =13 cm,∴C △ABC =AB+BC+AC=13+6=19(cm). 应选B .6.B [解析] ∵AB=AC ,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,∴BE=EF=32.∵点E 为AB中点,∴AB=AC=3.在Rt △ABC 中,BC=√AA 2+AA 2=√32+32=3√2.应选B .7.D [解析] 选项A,该作图痕迹表示AB=PB ,不符合题意;选项B,该作图痕迹表示作线段AC 的垂直平分线交BC 于点P ,即PA=PC ,不符合题意;选项C,该作图痕迹表示AC=PC ,不符合题意;选项D,该作图痕迹表示作线段AB 的垂直平分线交BC 于点P ,即PA=PB ,故PA+PC=BC ,符合题意.应选D .8.D [解析] (1)S 1=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2,∵a 2+b 2=c 2,∴√34a 2+√34b 2=√34c 2,∴S 1+S 2=S 3.(2)S 1=π8a 2,S 2=π8b 2,S 3=π8c 2,∵a 2+b 2=c 2, ∴π8a 2+π8b 2=π8c 2,∴S 1+S 2=S 3. (3)S 1=14a 2,S 2=14b 2,S 3=14c 2,∵a 2+b 2=c 2,∴14a 2+14b 2=14c 2,∴S 1+S 2=S 3. (4)S 1=a 2,S 2=b 2,S 3=c 2,∵a 2+b 2=c 2, ∴S 1+S 2=S 3.综上,阴影局部面积关系满足S 1+S 2=S 3的图形有4个. 9.25° 10.15 11.512.0<CD<5 [解析] 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,当点D 运动至A 点时,CD 最长,且最大值为5,所以CD 的取值范围是0<CD<5.13.20 [解析] 如图,点E 与点A 关于直线l 对称,连接EB ,即为蚂蚁爬行的最短路径,过点B 作BC ⊥AE 于点C ,那么在Rt △EBC 中,BC=32÷2=16(cm),EC=3+14-5=12(cm),所以EB=√AA 2+AA 2=20(cm).14.解:作图如下:15.解:(1)4(2)∵AC=AD ,∠CAD=60°, ∴△CAD 是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°,过点D 作DE ⊥BC 于E.∵AC ⊥BC ,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°. 在Rt △CDE 中,CD=4,∠BCD=30°, ∴DE=12CD=2,CE=2√3, ∴BE=√3.在Rt △DEB 中,由勾股定理得DB=√7.16.(√2)n[解析] 在Rt △A 1OB 中,OA 1=AA sin45°=√2,OA 2=AA 1sin45°=√2√22=(√2)2,…,∴OA n =(√2)n.17.解:(1)锐角 钝角 (2)> < (3)∵a=2,b=4,∴4≤c<6.当a 2+b 2=c 2,即c=2√5时,△ABC 是直角三角形; 当4≤c<2 √5时,△ABC 是锐角三角形; 当2 √5<c<6时,△ABC 是钝角三角形.。

角形课时训练（十五）三角形基础知识及直角三角形练习(限时:30分钟)|夯实基础|1.如图K15-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,点D为AB的中点,则CD= cm.图K15-12.如图K15-2,在△ABC中,∠B=40°,△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E,则∠AEC= 度.图K15-23.一个三角形的两边长分别是2和3,若它的第三边长为奇数,则这个三角形的周长为.4.如图K15-3,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为()A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km图K15-3角形课时训练（十五）三角形基础知识及直角三角形练习5.三条线段a=5,b=3,c的值为整数,由a,b,c为边可组成三角形 ()A.1个B.3个C.5个D.无数个6.将一副直角三角板如图K15-4放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上,则∠1的度数为()图K15-4A.75°B.65°C.45°D.30°7.如图K15-5,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为()图K15-5A.-1B.+1C.-1D.+18.[xx·枣庄]如图K15-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为()角形课时训练（十五）三角形基础知识及直角三角形练习图K15-6A.B.C.D.9.[xx·徐州]如图K15-7,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC= ;(2)求线段DB的长度.图K15-7角形课时训练（十五）三角形基础知识及直角三角形练习|拓展提升|10.如图K15-8,△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.(1)如图①,若AB=4,BE=5,求AE的长.(2)如图②,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD,CF.当AF=DF时,求证:DC=BC.图K15-8角形课时训练（十五）三角形基础知识及直角三角形练习参考答案1.52.703.84.D5.C[解析] 根据三角形的三边关系知c的取值范围是:2<c<8,又c的值为整数,因而c的值可以是:3,4,5,6,7,共5个数,因而由a,b,c为边可组成5个三角形.故选:C.6.A[解析] 方法一:∠1的对顶角所在的三角形中另两个角的度数分别为60°,45°,∴∠1=180°-(60°+45°)=75°.方法二:∠1可看作是某个三角形的外角,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.故选A.7.D8.A[解析] 在Rt△ABC中,CD⊥AB,∴∠ACD=∠B,∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF,角形课时训练（十五）三角形基础知识及直角三角形练习∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF.如图,过点F作FG⊥AB于点G,∵AF平分∠CAB,∴CF=FG,AG=AC=3,∴BG=2,设CF=FG=x,∵AC=3,AB=5,∴BC=4,则BF=4-x,在Rt△FBG中,22+x2=(4-x)2,解得x=,即CE=CF=.9.解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°,过点D作DE⊥BC于E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.在R t△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=CD=2,CE=2,∴BE=,在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=.角形课时训练（十五）三角形基础知识及直角三角形练习10.解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠BAC=∠ABC=45°.∵AB=4,∴BC=AC=4×=4.在Rt△BCE中,CE===3,∴AE=AC-CE=4-3=1.(2)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=45°.∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠ACB=90°,∴A,F,C,B四点共圆,∴∠CFB=∠CAB=45°,∴∠DFC=∠AFC=135°.在△ACF和△DCF中,∴△ACF≌△DCF,∴CD=AC.∵AC=BC,∴DC=BC.【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。

第14讲三角形的基础知识重难点三角形中角度的相关计算(2018·眉山)将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是(C)A．45°B．60°C．75°D．85°【思路点拨】由直角三角板中各内角度数，结合三角形内角和定理可求得∠1，即∠2的大小，再由三角形外角的性质可求得∠α的度数．方法指导求解三角形中有关的角度时，若已知角和待求角可以转化为一个三角形的内角之间或内、外角之间的关系问题，则可以直接利用三角形内角和或外角性质求解．【变式训练1】(2018·黄石)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝(A)A．75° B．80°C．85° D．90°【变式训练2】(2018·株洲)如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，过l1上的点A作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是(D)A．∠2＞120° B．∠3＜60° C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4【变式训练3】(2017·泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．考点1三角形的高、中线、角平分线1．(2018·贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中一条线段是△ABC的中线，则该线段是(B)A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG 2．(2017·泰州)三角形的重心是(A)A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边的垂直平分线的交点D．三角形三条内角平分线的交点考点2三角形的中位线3．(2018·南京)如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB，AC的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E连接DE.若BC＝10 cm，则DE＝5cm.4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝6 cm，AC＝8 cm，则四边形ADEF的周长等于14cm.考点3三角形的三边关系5．(2018·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B)A．4 cm，5 cm，9 cm B．8 cm，8 cm，15 cmC．5 cm，5 cm，10 cm D．6 cm，7 cm，14 cm6．(2018·黔东南)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是13．考点4三角形的内角和定理及其推论7．(2018·广东)如图，AB∥CD，且∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是(B)A．30°B．40° C．50° D．60°8．(2018·聊城)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点．若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(C)A．110°B．115° C．120° D．125°9．(2018·长春)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE的大小为(C)A．44°B．40°C．39°D．38°10．(2018·岳阳)如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝80°．11．(2018·永州)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝75°．12．(2018·宜昌)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD＝∠ACB＋∠A＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∴∠CEB＝∠ACB－∠CBE＝25°. 又∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.13．(2018·聊城)如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BD A′＝γ，那么下列式子中正确的是(A )A ．γ＝2α＋βB ．γ＝α＋2βC ．γ＝α＋βD ．γ＝180°－α－β14．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边延长线上的点，则∠D＋∠E＋∠F＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．15．(2018·南充)如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝24°．16．(2018·娄底)如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1＜S2＋S3.(填“＜”“＞”或“＝”)17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M，N分别是线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别是DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．18．如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求边BC上的高．解：(1)∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°.∵在Rt△DBC中，BC＝4，CD＝5，∴DB＝CD2－BC2＝52－42＝3.(2)过A作AE⊥BC交线段CB延长线于点E，则AE∥DB.∵点D为AC的中点，∴DB为△ACE的中位线．∴AE＝2DB＝6.∴边BC上的高为6.。