上海市格致中学2020届高三数学第三轮复习 第5部分 数列与极限题型整理分析

2020届上海市高三高考压轴卷数学试题一、单选题1．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=∴1tan 3BAC ∠=160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．2．已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，且12n x x x <<⋅⋅⋅<，则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( ) A ．2π B ．113π C ．4π D ．223π 【答案】D【解析】根据()f x 的对称轴方程为k ,62x ππ=+k ∈Z .得到()f x 在130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有5条对称轴，将原式变形()()()1211223122n n n n x x x x x x x x x x --++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++，利用零点关于对称轴对称求解. 【详解】 令262x k πππ+=+得,62k x ππ=+k ∈Z ， 即()f x 的对称轴方程为k ,62x ππ=+k ∈Z . ()f x 的最小正周期为,T π=130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x ∴在130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有5条对称轴， 第一条是6π，最后一条是：136π； 1,x 2x 关于6π对称，2,x 3x 关于46π对称…4,x 5x 关于106π对称 122,6x x π∴+=⨯2342,6x x π+=⨯3472,6x x π+=⨯,⋅⋅⋅451026x x π+=⨯， 将以上各式相加得：1231471022222266663n n x x x x x πππππ-⎛⎫+++⋯++=⨯+++=⎪ ⎭⎝. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.3．若实数x ，y 满足22201y x x y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．12C ．3D ．6【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由2z x y =-得2y x z =-， 平移直线2y x z =-，由图像可知当直线2y x z =-经过点A 时， 直线2y x z =-的截距最小， 此时z 最大，由1220y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=-⎩，即()4,1-A ， max 2419z =⨯+=.故选：A 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，解题的关键是理解目标函数的几何意义，属于基础题.4．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( ) A ．若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =- C ．()()()ABA B f x f x f x =⋅D ．()()()ABA B f x f x f x =+【答案】D【解析】根据()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,逐项分析,即可求得答案.【详解】()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩对于A,A B ⊆,分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x == ②当x A ∉且x B ∉,即Ux B ∈,此时()()0A B f x f x ==，③当x A ∉且x B ∈, 即()Ux A B ∈⋂时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A U U A x A f x f x x A ∈⎧==-⎨∈⎩,故(2)正确； 对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A B x C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩ ()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误.故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题5．若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1【解析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】 解：由A中y =10x -，解得：1x ，即{|1}A x x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}． 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 6．函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解. 【详解】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331 cos22xx-≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66xk x k k Zππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩，解得536xπ-≤<-或66xππ-<<或536xπ<≤.故答案为：55 3,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．已知i为虚数单位，复数z满足11ziz-=+，则z________.【答案】1【解析】利用复数的四则运算求出z，再求其模．【详解】因为11ziz-=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i iz z i z ii i i---=+⇒===-++-，则||1z==.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．8．设数列{}n a的前n项和为n S，且对任意正整数n，都有01011012nnan S-=-，则1a=___【答案】1-【解析】利用行列式定义，得到n a与n S的关系，赋值1n=，即可求出结果。

2020上海高考数学基础知识回顾：第七讲 数列一、数列的有关概念★1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． ★2、数列的项：数列中的每一个数． ★3、有穷数列：项数有限的数列． ★4、无穷数列：项数无限的数列．★5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． ★6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． ★7、常数列：各项相等的数列．★8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． ★9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．★10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 二、等差数列及其性质★1、等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．首项是1a ，公差是d ，则()d n a a n 11-+=． ★2、通项公式的变形：①()d m n a a m n -+=；②()d n a a n 11--=；③11--=n a a d n ；④11+-=d a a n n ；⑤mn a a d mn--=． ★3、若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．★4、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则q p n m a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则q p n a a a +=2★5、等差数列的前n 项和的公式：①()21n n a a n S +=；②()112n n n S na d -=+． ★★6、等差数列的前n 项和的性质：①⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；②n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数基础知识列③若项数为()*2n n ∈N，则()12++=n n na a n S，且nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 奇偶；④若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．三、等比数列及其性质★1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．★2、通项公式的变形：①m n m n q a a -=；②n n q a a -=11；③11a a q n n =-；④mn mn a a q=-． ★3、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则q p n a a a ⋅=2．★4、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．★★5、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇．②m n n m n S q S S ⋅+=+．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（1-≠q ）．四、数列的通项与求和★★★1、数列通项公式的常见求法：定义法、公式法、累加法、累乘法、待定系数法、取倒数法、构造法等；★★★2、数列前n 项和的常见求法：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法等． 五、数学归纳法★★由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，它能帮助我们发现一般规律；观察、归纳、猜想、证明，是发现数学规律的完整过程，其中证明是指用数学归纳法证明； 应用数学归纳法有两个步骤：①证明当n 取第一个0n 时结论正确； ②假设当kn =（*0,k N k n ∈≥）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立．这两步缺一不可，要完整地书写；用数学归纳法可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题．六、数列的极限★1、数列极限的含义：一个数列{}n a 中的项n a ，当n 无限增大时，它无限地接近于某个常数A ，即||n a A -能小于任意给定的正数ε时，称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=．★2、数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么①ba b a n n n ±=±∞→)(lim②ba b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim③)0(lim≠=∞→b bab a n n n特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim ．★3、三个基本极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②()*1lim 0,k n k N k n→∞=∈是常数③对于任意实常数， 当1q <时，lim 0nn q →∞=当1q =时，若1q =，则lim 1nn q →∞=；若1q =-，则()lim lim 1nnn n q →∞→∞=-不存在★★4、无穷递缩等比数列的和：qa S n -=11（0||1q <<） 六、利息问题★存款单利问题：（零存整取储蓄（单利）本利和计算模型）若每期存入本金p 元，每期利率为r ，则n 期后本利和为：()()()nr p r p r p S n +++++=1211ΛΛ；★★分期付款复利问题：若贷款p 元，采用分期等额还贷款，从借款日算起，一期后为第一次还款日，如此下去，分n 次还清，如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还贷款x 元应满足：()()()()nn n r p x r x r x r x +=+++++++--111121ΛΛ一、数列的概念数列是特殊的点函数，对数列的通项、单调性、最值可以利用函数的方法来解决，也可以利用na 与1+n a 相邻项的比较来计算和解决问题。

上海中学高三综合数学试卷052020.04一、填空题1.已知z =复数则z 的虚部为___. 2.若(3,4),a =-r 则与(3,4)a =-r共线的单位向量为___.3.设221,x y +=则x+y 的最小值为____.4.已知矩阵1324106,05170A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭则AB=___. 5.若点55(cos,sin )66M ππ在角α的终边上,则tan2α=____. 6.将函数1y x a=+的图像向左平移一个单位后得到y= f(x)的图像,再将y= f(x)的图像绕原点旋转180°后仍与y= f(x)的图像重合,则a=__.7.已知函数210(),(1)10x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩则方程f(x)=x 在区间(0,10)内所有实根的和为__.8.20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为____.9.已知数列{}{}n n a b 、满足:12,nn n n n a b a a +==+则{}n b 的前n 项和n S =____.10.若对任意实数x,都有1021001210(2)(2)(2),xa a x a x a x =+++++++L 则3a =___.11.在△ABC 中,角A ､B ､C 所对的边为a ､b ､c,已知sin A + sin(B -C)= 2sin2C,abcosC=3,则△ABC 面积的最大值为___.12. 设112233(,),(,),(,)x y x y x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点,则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为___.二、选择题13. 直线121x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的倾斜角等于( ).6A π.3B π1.arctan 2CD.arctan214. 已知a>0, b>0,若11lim5,n n n nn a b a b ++→∞-=-则a+b 的值不可能是( )A.7B.8C.9D.1015. 已知数列1234a a a a 、、、满足1411111,(1,2,3)22nn n na a a a n a a ++=-=-=,则1a 所有可能的值构成的集合为( )1.[,1]2A ±±B. [±2,±1,]1.[,2,]2C ±±1.[,1,2]2D ±±±16. 若点N 为点M 在平面α上的正投影,则记(),a N f M =如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,记平面11AB C D 为β,平面ABCD 为γ,点P 是棱1CC 上一动点(与C ､1C 不重合),12[()],[()],Q f f P Q f f P γββγ==给出下列三个结论:①线段2PQ 长度的取值范围是12[,]2； ②存在点P 使得1//PQ 平面β; ③存在点P 使得12PQ PQ ⊥； 其中,所有正确结论的序号是( A.①②③B.②③C.①③D.①②三.解答题17.如图,在平面直角坐标系xOy 中, A 为单位圆与x 轴正半轴的交点, P 为单位圆上一点,且∠AOP=α,将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q(a,b),其中2[,].63ππβ∈(1)若点P 的坐标为34π(,),554β=时,求ab 的值; (2),6πα=求22b a -的取值范围.18. 如图所示,直三棱柱111ABC A B C -中,11,AA AB AC ===E ､F 分别是1CC BC 、的中点,11,AE A B ⊥D 为棱11A B 上的点.(1)证明:DF ⊥AE;(2)是否存在一点D,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由.19.中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展,已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足*525,,t t ≤≤∈N 经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t 相关:当20≤t ≤25时高铁为满载状态,载客量为1000人,当5≤t< 20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与2(20)t -成正比,且发车时间为5分钟时的载客量为100人,记发车间隔时间为t 分钟时,高铁载客量为P(t).(1)求P(t)的表达式;(2)若该线路发车时间间隔t 分钟时的净收入2()()4065020004tQ t P t t t =-+-(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益()Q t t最大.20.如图,曲线L 由曲线22122:1x y C a b +=( a>b>0, y ≤0 )和曲线22222:1x y C a b -=(y>0)组成,其中12F F 、为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,34F F 、为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.(1)若23(2,0)(6,0),F F -、求曲线L 的方程;(2)如图,作直线l 平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点A ､B,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线L,若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C ､D,求1CDF V的面积的最大值.21.已知数列{}n a 的前n 项积为,n T 满足(1)23n n n T -=*(),n ∈N 数列{}n b 的首项为2,且满足*1(1)()n n nb n b n +=+∈N(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)记集合*1{|(105)},n n n M n a b b n n λ+≤+∈N ,若集合M 的元素个数为2,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数p ､q ､r,使得12q p q a a a b r a +++=+⋅L 成立?如果存在,请写出p ､q ､r 满足的条件,如果不存在,请说明理由.。

上海市格致中学2023届高三三模数学试题一、填空题1.在复数集中，若复数z 满足21z =-，则z =___________．【答案】i±【分析】设出i(,R)z a b a b =+∈，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a b ab =-+=-，则2210a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，1b =或1b =-，所以i z =或i z =-，故答案为：iz =±2.双曲线2212y x -=的离心率为____．【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====3.若全集为R ，集合103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|2B y y x ==-+，则A B = ___________．【答案】{}|23<<x x 【分析】先求出集合,A B ，再求出B ，再利用集合的运算即可得出结果.【详解】因为103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，由103x x -<-，得到13x <<，即{}13A x x =<<，又{}2|2B y y x ==-+，易知2y ≤，所以{}|2B y y =>，所以{}|23A B x x =<< ，故答案为：{}|23<<x x 4.已知函数221xy a =-+为奇函数，则实数=a ______【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数()221xf x a =-+为奇函数，则()()2202121x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即222222222021212121xx x x x a a a -⋅--=--=-=++++，解得：1a =，故答案为：1.5.若nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，则常数项为___________（用数字作答）.【答案】240【分析】由17n +=可得n 的值，再写出展开式的通项，令x 的指数位置等于0即可求解.【详解】因为nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，所以17n +=，可得6n =，所以6x⎛+ ⎝展开式的通项为136622166C 2C 2rr r r r r r T x x x ---+==，令3602r -=可得4r =，所以常数项为446C 21516240=⨯=，故答案为：240.6.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是___________．【答案】124【分析】根据百分位数定义可求.【详解】解：因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1221261242+=，故答案为：124.7.盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.【答案】49【分析】根据全概率公式求解可得.【详解】设事件A 为“第一次抽到白球”，事件B 为“第二次抽到白球”，则B AB AB =+，所以()()()()()P B P A P B A P A P B A =+，由题可得()49P A =，()59P A =，()712P B A =，()412P B A =，所以()475449129129P B =⨯+⨯=.故答案为：49.8.关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围为___________．【答案】,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】构造2()2f x ax x a =-+，利用函数的性质，将问题转化成在[)0,∞+上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，令2()2f x ax x a =-+，易知()f x 为偶函数，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，即2()20f x ax x a =-+≥在[)0,∞+上恒成立，所以，当0x =时，由2220ax x a a -+=≥，得到0a ≥，当0x >时，由220ax x a -+≥，得到2122x a x x x≥=++，又因为2x x+≥x =时取等号，所以24a ≥=，综上，实数a 的取值范围为,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.9.已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x fx =+，则函数()y g x =的值域为___________．【答案】[2,7]【分析】确定函数()y g x =的定义域，化简可得()y g x =的表达式，换元令3log ,([0,1])x t t =∈，可得242y t t =++，结合二次函数的性质即得答案.【详解】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x fx f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]10.已知()πsin 202y x ϕϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，且该函数在7π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，那么ϕ的取值范围是___________．【答案】ππ,64⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件，结合sin y x =的图像与性质即可求出结果.【详解】当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2,3x ϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，又因为()πsin 2(02y x ϕϕ=-<<在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，所以π2π2k ϕ-+≤-且)2ππ2π(32Z k k ϕ-∈≤+，即ππ2π2π62k k ϕ+≤≤+，Z k ∈，又π02ϕ<<，取0k =，得到ππ62ϕ≤<，当7π(0,8x ∈时，7π2,4x ϕϕϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π02ϕ-<-<，又该函数在7π(0,)8上有最小值，所以7π3π42ϕ->，得到π04ϕ<<，综上所述，ππ64ϕ≤<.故答案为：ππ64ϕ≤<.11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是___________．①1n n a a +<；②{}2n S 是等差数列；③n S ≤④满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10．【答案】②③④【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断②；由②知，=n S ，所以n a ==1n a +==即可判断①；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10x x x ≥+≥，构造函数()()e 10xf x x x =--≥，利用函数的单调性即可判断出③的正误；再根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解即可判断④的正误.【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，故②正确；对于①，由()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，得到=n S ，当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a ，又111S a ==，所以1n =时，满足=n a，所以n a ==又1n a +==>，所以<1n n a a +<，故①不正确；对于③，令()()e 10xf x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()e 100x x x --≥≥，所以e 1x x ≥+在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()11,N x n n *=≥∈，所以1≥=n S，即1n S ≤成立，故③正确；对于④，因为=n S，所以2n S +=1222222log log log n n nS n b S n ++⎛⎫== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦ ()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥，当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>，所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1nn n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .12.已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，1a b b c ⋅=⋅=，a b c -+≤ a c ⋅ 的最大值为___________．【答案】2【分析】根据题意，设出a ，b ，c的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到a c ⋅的范围，从而得到结果.【详解】设()1,0a = ，()1,b s = ，()1,c st t =-，,s t ∈R ，由已知可得：a b c -+=，当且仅当22s t =时，取等号，当0st ≥时，有()2218st st -+≤，得01st ≤≤+，当0st <时，有()2618st st -+≤，得10st -≤<，所以当11st -≤≤时，12a c st -≤⋅=-≤.所以a c ⋅的最大值为2.故答案为：2.二、选择题13.“11x -<<”是“112x x -++≤”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式得到解集为{}11x x -≤≤，从而得到1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，求出答案.【详解】112x x -++≤，当1x <-时，112x x ---≤，即22x -≤，解得1x ≥-，与1x <-取交集，得∅，当11x -≤≤时，112x x -++≤，即22≤，成立，故11x -≤≤，当1x >时，112x x -++≤，解得1x ≤，与1x >取交集，得∅，综上：112x x -++≤的解集为{}11x x -≤≤，因为1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，故“11x -<<”是“112x x -++≤”的充分不必要条件.故选：A14.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A.67B.66C.65D.64【答案】B【分析】先求出样本中心点，线性回归方程4y x b =-+恒过(),x y ，代入即可求出b ，再令10x =，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14566789 6.5x =⨯+++++=，()1908483807568806y =⨯+++++=，线性回归方程为4y x b =-+，则804 6.5b =-⨯+，解得106b =，故4106y x =-+，当10x =时，41010666y =-⨯+=.故选：B.15.将函数3=-+y x x ，[]0,1x ∈的图象绕点()1,0顺时针旋转θ角（π02θ<<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则θ的最大值为（）A.1arctan2B.π6 C.π4D.arctan 2【答案】A【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，故只需求1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x '=-+，当30,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x ¢>，函数在30,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上递增，当3,13x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，函数在3,13⎛⎤⎥ ⎝⎦上递减，()12f '=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即θ的最大值为1arctan 2.故选：A.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ= ，11D P D B μ=，其中λ，[]0,1μ∈，则下列说法不正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94πC.PE PF +的最小值为536D.存在唯一的实数对(),λμ，使得EP ⊥平面PDF 【答案】C【分析】由线面平行的判定可知1//BD 平面EFD ，知三棱锥P EFD -底面积和高均为定值，A 正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R 的方程，求得R 后知B 正确；将C 中问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，将问题转化为1E H 长度的求解，根据角度和长度关系可确定C 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得,λμ，可知D 正确.【详解】对于A ，当12λ=时，F 为11C D 中点，又E 为1B C 中点，1//EF BD ∴，EF ⊂平面EFD ，1BD ⊄平面EFD ，1//BD ∴平面EFD ，则当P 在线段1BD 上移动时，其到平面EFD 的距离不变，∴三棱锥P EFD -的体积为定值，A 正确；对于B ，当12μ=时，取,AC BD 交点O ，连接PO ，则四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O '，半径为R ，则O '在直线PO 上，2OC =，12OO R '=-，222OC OO O C ''∴+=，即221122R R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：34R =，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积29π4π4S R ==，B 正确；对于C ，将问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，过1E 作1//HG AD ，交11,C D AB 于,H G ，如下图所示，1PE PE = ，11PE PF PE PF E H ∴+=+≥（当且仅当F 与H 重合时取等号）111111E BA ABD D BE ABD D BC ∠=∠-∠=∠-∠ ，()2211111sin sin 3E BA ABD D BC ⎛⎫∴∠=∠-∠=-=，11112sin sin 6E G B E E BA BE E BA ∴=⋅∠=⋅∠=，125266E H ∴==，即PE PF +的最小值为526，故C 错误；对于D ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,1F λ，(),,1P μμμ-，11,1,22EP μμμ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，(),,1DP μμμ=-，()0,,1DF λ= ，若EP ⊥平面PDF ，则EP DPEP DF ⊥⎧⎨⊥⎩，()()()11110221102EP DP EP DF μμμμμμλμμ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：336132μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）或336312μλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴存在唯一的实数对()13,,26λμ⎛-=⎝⎭，使得EP ⊥平面PDF ，故D 正确.故选：C.三、解答题17.在ABC 中，coscos CA =，6B π=，BC 边中线AM =（1）求A 的值；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）π6；（2【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【小问1详解】因为coscos C A =，所以由正弦定理可得cos cos CA =2sin cos cos cos )B A A C C A A C B=+=+=因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.【小问2详解】因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b bb b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC 的面积为22113sin 2222S b C ==⨯⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形11ABB A 是菱形，且160ABB ∠=，2AB BC ==，1CA CB =，1CA CB ⊥，（1）证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，证明CO BO ⊥可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点1B 到平面ABC 的距离d ，再由线面角公式1sin dBB θ=求解即可.【小问1详解】连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，如图，四边形11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，又1CA CB =，1CA CB ⊥，O 是1AB 的中点，所以1CO AB ⊥且112CO AB =，由160ABB ∠=︒，可知1ABB 为正三角形，所以12AB AB ==，BO =，在BOC中，22222212CO BO BC =+==+，所以CO BO ⊥，又1BO AB O = ，1,BO AB ⊂平面11ABB A ，所以CO ⊥平面11ABB A ，又CO ⊂平面1CAB ，所以平面1CAB ⊥平面11ABB A .【小问2详解】设1B 到平面ABC 的距离为d ，因为ABC 中，2AB BC ==，AC ==所以11222ABCS AC =⨯，又1224ABB S =⨯= ，1CO =，所以由11B ABC C ABB V V --=，可得11133ABC ABB d S CO S ⋅=⋅△△,即172ABB ABCS d S ===△△,设直线1BB 和平面ABC 所成角为θ，则17sin 27d BB θ===.19.2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k ∈N 人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.（1）请完成下面的列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计男生女生合计（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P k χ≥0.100.050.010.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，2k =；（2）分布列见解析，95【分析】（1）依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k ；（2）按照二项分布求解.【小问1详解】由已知，完成列联表，喜欢足球不喜欢足球合计男生15k 10k 25k 女生5k 10k 15k 合计20k20k40k将数值代入公式可得2χ的观测值：()222240150508202025153k k kk k k k kχ⨯-==⨯⨯⨯，根据条件，可得83.841 6.6353k≤<，解得1.440 2.488k ≤<，因为*k ∈N ，所以2k =；【小问2详解】由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为35，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为35，则3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()03033280C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303332273C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为X 0123P812536125541252712539355EX =⨯=；综上，2k =，数学期望为95.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，且过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（异于椭圆顶点），点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点．①若点P 在直线12x =上，求证：线段MN 的垂直平分线恒过定点S ，并求出点S 的坐标；②求证：当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）①证明见解析，3(,0)8S ；②直线OM 与ON 的斜率之积为14-.【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM 与ON 的斜率之积即可得出定值.【小问1详解】因为焦距为2c =，即c =2223a b c -==，又因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以223114a b+=，解得221,4b a ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y .由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=，2222226416(1)(14)16(14)0k m m k k m ∆=--+=+->，2121222844,1414km m x x x x k k--+==++.①因为点P 为线段MN 的中点，点P 在直线12x =上，所以1202412142x x km x k +-===+，即2148k km +=-，2148k m k+=-.所以00y kx m =+21141288k k k k+=+=--.所以线段MN 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--，即111()82y x k k +=--，即13(8y x k =--.故线段MN 的垂直平分线恒过定点3(,0)8S .②由弦长公式得12MN x =-=坐标原点到直线MN 的距离为21m d k=+，所以OMN 的面积为12OMNS MN d =⋅△2222222214141142214141m m k m k k m k k k+-+=⨯+-=⨯+++22221422114m k m k++-≤⨯=+.当且仅当22214m k m =+-，即22214m k =+时等号成立.所以12121212()()OM ONy y kx m kx m k k x x x x ++==22121212()k x x km x x m x x +++=2222222(44)8(14)44k m k m m k m --++=-2222241144444m k m m m --===---.所以直线OM 与ON 的斜率之积为定值14-.21.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =-- 所以定义域为()0,+¥6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x >令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x xk h x x +<=-；22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x =即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，(2)(2)()20a g x x x x +-'=-==得0x =，当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e ⎛=-⇒> ⎝；因为10x <<2x >，令21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a t x t ∴=-而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。

第二部分 不等式17、基本不等式22(,2b a ab ab b a +≤≥+要记住等号成立的条件与b a ,的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.［举例］已知正数b a ,满足32=+b a ，则ba 11+的最小值为＿＿＿＿＿＿. 分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由)223(31)23(3122(3111+≥++=+++=+b a a b b b a a b a b a ，当且仅当b a a b =2等号成立，此时223,123+=+=b a .18、学会运用基本不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-.［举例1］若关于x 的不等式a x x <---|2||1|的解集是R ，则实数a 的取值范围是＿＿；分析：由不等式的解集为R ，则a 大于|2||1|---x x 的最大值.由绝对值不等式的性质知：1|)2()1(||2||1|=---≤---x x x x ，所以1>a .[举例2]若关于x 的不等式a x x <-+-|2||1|的解集不是空集，则实数a 的取值范围是＿.分析：1|)2()1(||2||1|=---≥-+-x x x x ，知1>a .19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.［举例］解关于x 的不等式：)0(12)1(>>--a x x a . 分析：原不等式化为：0)]2()1)[(2(02)2()1(>----⇒>----a x a x x a x a .注意到此不等式二次项系数含有变量，故要讨论.（1）当1=a 时，不等式的解集为}2|{>x x ；（2）当10<<a 时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根12,221--==a a x x ，而211112>-+=--a a a ，此时不等式的解集为)12,2(--a a ；（3）当1>a 时，同样可得不等式的解集为),2()12,(+∞---∞ a a . 20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数)0(,>+=a xa x y 的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.［举例1］已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当21,41[∈x 时，81)(≥x f ，求实数a 的值. 分析：6)3(23)(22a a x x f +--=，则161622≤⇒≤a a ，又此二次函数开口向下，则有181)21(81)41(≥⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥a f f .知1=a .注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.[举例2]求函数1363)(2+++=x x x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值. 分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设t x =+3，则t t t t x f 414)(2+=+=，]5,1[∈t .当2=t 时，t t 4+取最小值4；当5=t 时，t t 4+取最大值529.所以函数)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为41，最小值为295.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法. 21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数),(x a f y =的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.［举例］（1）已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：（1）由0224>+⋅-x x a 得：x x a 222+<对于+∞-∈,1[x ）恒成立，因212≥x ，所以22222≥+x x ，当22=x 时等号成立.所以有22<a .（2）注意到0224>+⋅-xx a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a 的一次不等式.不妨设)24(2)(++⋅-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则问题等价于0)3(>f ，所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ，则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .。

卜人入州八九几市潮王学校第五局部数列与极限35、等差数列{n a }中，通项b dn a n+=，前n 项和cn n d S n +=22〔d 为公差，N n ∈〕.证明某数列是等差〔比〕数列，通常利用等差〔比〕数列的定义加以证明，即证：n n a a -+1是常数)(N n ∈(1n n a a +=常数，)n N ∈n 有：n n n n a a a a -=-+++112〔nn n n a a a a 112+++=〕.［举例］数列}{n a 满足：)(22,111N n a a a a n nn ∈+==+. 〔1〕求证：数列}1{na 是等差数列；〔2〕求}{n a 的通项公式. 分析：注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，那么要证明n n a a 111-+nn n a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a .即数列}1{n a 111=a ，那么21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n .36、等差数列前n 项和、次n 项和、再后n 项和〔即连续相等项的和〕仍成等差数列；等比数列前n 项和〔和不为0〕、次n 项和、再后n 项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n 项的积、次n 项的积、再后n 项的积仍成等比数列.［举例1］数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，20,884==S S ，那么=12S ＿；分析：注意到812484,,S S S S S --16812=-S S ，所以3612=S .［举例2］数列}{n a 是等比数列，n T 是其前n 项的积，20,584==T T ，那么=12T ＿.分析：由812484,,T T T T T 成等比，那么8124248)(T T T T T ⋅=，所以64)(34812==T T T . 37、在等差数列}{n a 中，假设),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，那么q p n m a a a a +=+；在等比数列}{n a 中，假设),,,(N q p n m q p nm ∈+=+，那么q p n m a a a a ⋅=⋅等差〔等比〕数列中简化运算的技巧多源于这条性质.［举例］数列}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=⋅a a a a ，且公比q 为整数，那么10a 的值是＿＿＿＿＿＿＿.分析：由8374a a a a ⋅=⋅得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=⋅=+4128512124838383a a a a a a 或者⎩⎨⎧=-=128483a a ，又此数列的公比为整数，所以⎩⎨⎧=-=128483a a 公比2-=q ，那么5122810==q a a .38、等差数列当首项01>a 且公差0<d ，前n 01<a 且公差0>d ，前n n 项和的最值可以利用不等式组⎩⎨⎧≥≤≤≥+)0(0)0(01n n a a 来确定n 的值；也可以利用等差数列的前n 项的和是n 的二次函数〔常数项为0〕转化成函数问题来求解.［举例1］假设}{n a 是等差数列，首项0,0,020072006200720061<⋅>+>a a a a a ，那么〔1〕使前n项和n S 最大的自然数n 是＿＿；〔2〕使前n 项和0>n S 的最大自然数=n ；分析：由条件可以看出0,020072006<>a a ，可知2006S 最大，那么使n S 最大的自然数为2021；由020072006>+a a 知040121>+a a ，02)(4012401214012>+=a a S ，200740134013a S ⋅=，所以04013<S ，那么使0>n S 的最大自然数为4012.［举例2］在等差数列}{n a 中，满足7473a a =且n S a ,01>是数列前n n S 获得最大值，那么=n ＿＿＿＿＿. 分析：7473a a =知111334)6(7)3(3a d d a d a -=⇒+=+，那么1113343733)1(4a na n a a n -=--=.当9≤n 时0>n a ，当10≥n 时0<n a ，所以9=n .39、数列}{n a 是等比数列，其前n 项的和n S 是关于q 的分段函数⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(111q qq a q na S n n ，在求和过程中假设公比不是详细数值时，那么要进展讨论.［举例1］数列}{n a 是等比数列，前n 项和为n S ，且11lim a S n n =∞→，求1a 的取值范围.分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前n 项和存在的前提条件是1||<q ，且qa S n n -=∞→1lim1，知1111a q a =-，那么q a -=121，有)2,1()1,0(21 ∈a ，那么)2,1()1,0(1 ∈a )0,1()1,2(--- .［举例2］数列}{n a 是等比数列，首项11=a ，公比1-≠q ，求nn S 1lim∞→的值.分析：涉及到等比数列的前n1=q 时，n na S n ==1，此时01lim 1lim==∞→∞→n S n nn ；当1≠q 时，q q S nn --=11，那么nn S 1lim∞→=1,(||1)1lim0,(||1)1nn q q q q q →∞-<⎧-=⎨>-⎩. 40、等差数列、等比数列的“根本元〞是首项、公差〔比〕，当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“根本元〞解决.学会用任意两项关系：假设n a {｝是等差数列，那么对于任意自然数n m ,有d m n a a m n )(-+=；假设n a {｝是等比数列，那么对于任意的自然数n m ,，有m n m n q a a -⋅=.在这两关系式中假设取1m =，这就是等差〔比〕数列的通项公式. ［举例1］数列}{n a 是等差数列，首项01>a ，且05375=+a a .假设此数列的前n 项和为n S ，问nS 是否存在最值？假设存在，n 为何值？假设不存在，说明理由. 分析：d ，那么0)6(5)4(311=+++d a d a ，即1214a d -=，由01>a 知0<d ，所以数列}{n a 是递减数列，故nS 有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：11121425)214)(1(a n a n a a n -=--+=，当6≤n 时，0>n a ，当7≥n 时，0<n a .所以6S 最大.综上知，当6=n时，n S 最大，不存在最小值.[举例2]正项等比数列}{n a 中，首项11>a ，且15735=⋅a a .假设此数列的前n 项积为n T ，问n T 是否存在最值？说明理由.分析：与举例1联络起来，这是数列中的“类比〞问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前n 项积n T 最大〔小〕，那么应满足)11(1111⎩⎨⎧>≤⎩⎨⎧<≥++n n n n a a a a . 设此数列公比为q ，那么1)()(461341=⋅q a q a ，那么2141-=a q .214251121411)(n n n a a a a ---=⋅=.由11>a 知：6≤n 时，7,1≥>n a n 时，1<n a .所以当6=n 时，6T 最大，n T 没有最小值.[特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来提醒.我们知道：假设数列}{n a 是正项等比数列，记)1,0(log ≠>=m m a b n m n ，那么数列}{n b {}n a 是等差数列，记(0)n a n b m m =>，那么数列{}n b 是等比数列.41、数列的前n 项和n S ，求数列的通项公式时，要注意分段⎩⎨⎧≥-==-2,111n S S n S a n nn .当1a 满足)2(,1≥-=-n S S a n n n 时，才能用一个公式表示.［举例］数列}{n a 的前n 项和a n n a S n++-=2)2(.假设}{n a 是等差数列，求}{n a 的通项公式.分析：证明一个数列是等差数列或者是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由. 由a n n a S n++-=2)2(知，1=n 时，1211-==a S a ，当2≥n 时，=-=-1n n n S S a)3()2(2a n a -+-.当2≥n 时，)2(21-=-+a a a n n ，而412-=-a a a .假设数列}{n a 是等差数列，那么4)2(2-=-a a ，所以0=a .那么34+-=n a n .42、形如：n n a a =+1+)(n f 的递推数列，求通项用叠加〔消项〕法；形如：)(1n g a a nn =+的递推数列，求通项用连乘〔约项〕法. ［举例］数列}{n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，求数列}{n a 的通项公式.分析：解决这种递推数列的思想方法本质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的根本递推关系：d a a n n +=+1，等比数列的递推关系：q a a nn =+1. 由题知：)2(333311233222111≥⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-=-=-=---------n a a a a a a a a n n n n n n n n n相加得：2)31(33331211-----=+++=-n n n n a a ，又11=a ，所以)2(213≥-=n a n n ，而1a 满足此式，那么)(213N n a n n ∈-=. 43、一次线性递推关系：数列}{n a 满足：c b a c a b a a a n n ,,(,,11+⋅==+是常数〕是最重要的递推关系式，可以看出当1=b时，此数列是等差数列，当0=c 〔)0≠b 时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换〔令)k a b n n+=化成等比数列求解.［举例］数列}{n a 满足：)(,12,111N n a a a n n ∈+==+，求此数列的通项公式.分析：由121+=+n n a a 得：)1(211+=++n n a a 知数列}1{+n a 是等比数列，首项为2，公比为2，所以n na 21=+，知12-=n n a .44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量〞作为数列的“项〞，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项〞与“项数〞的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系〔即数列的递推公式〕，然后再求通项.［举例］某企业去年底有资金积累a 万元，根据预测，从今年开场以后每年的资金积累会在原有的根底上增长20%，但每年底要留出b 万元作为奖励金奖给职工.企业方案用5年时间是使资金积累翻一番，求b 的最大值.分析：与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同.设从今年开场每年底该企业的资金积累为n a 万元，那么b a b a a -=-+=45%)201(1〔万元〕，b a b a a n n n -=-+=+45%)201(1，那么)4(4541b a b a n n -=-+.所以数列}4{b a n -是以b a b a 54541-=-为首项，45为公比的等比数列，所以1)45)(545(4--=-n n b a b a ，1)45)(545(4--+=n n b a b a .由题知a a 25≥，那么a b a b 2)2.1)(52.1(44≥-+，求得：a ab 08.09950763≈≤.即b 的最大值大约为8%a .45、常见的极限要记牢：⎪⎩⎪⎨⎧-=><==∞→11||1||,01,1lim q q q q q n n 或不存在，，注意n n q ∞→lim 存在与0lim =∞→nn q 是不一样的；e nn n =+∞→)11(lim ，特别注意此式的构造形式；假设)(),(n g n f 是关于n 的多项式函数，要会求)()(limn g n f n ∞→. ［举例1］求以下各式的值：〔1〕)4(22lim 2≠-+∞→a aa n n n n n ；〔2〕nn n n 2)11(lim +-∞→. 分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.〔1〕当2||<a 时，原式1)2(11)2(lim =-+=∞→nn n aa；当2||>a 时，原式11)2()2(1lim-=-+=∞→n n n a a . 〔2〕与e 相关的极限问题要注意其构造形式，注意到括号内是""+号相连，且分子为1，幂的指数与括号内的分母一样.当形式不同时，要向此转化.nn n n n n n )121(lim )11(lim 2+-=+-∞→∞→=2)12(21)2111(lim )2111(lim -+-⋅+-∞→∞→=+-+=+-+e n n n nn n nn .［举例2］假设1432lim2=+++∞→n bn an n ，那么=a ＿＿＿＿；=b ＿＿＿＿. 分析：对于分子分母是关于n 的整式的分式型极限，假设分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，那么此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数一样时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.注意到此式极限为1是存在的，由上分析知13,0==ba ，所以3,0==b a . 46、理解极限是“无限运动的归宿〞. ［举例］△ABC 的顶点分别是))(0,24(),2,0(),2,0(N n nC n B n A ∈+-，记△ABC 的外接圆面积为n S ，那么=∞→n n S lim ＿＿＿＿＿.分析：此题假设要先求出三角形ABC 的面积后再求极限那么是“漫长〞的工作，注意到当∞→n 时A 、B 、C 点的变化，不难看出△ABC 被“π4lim=∞→n n S .。

格致中学 二〇一四届高考模拟考试参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1 已知集合{}2≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x x B ,则 A ∩B = .解析:{}12<≤-x x . 2 若函数)(x f y =与2x y e +=的图像关于直线x y =对称,则=)(x f .解析:由2x y e +=得2ln x y +=,从而ln 2x y =-,所以2x y e+=的反函数()ln 2,(0)f x x x =->.3 已知角α的终边上的一点的坐标为22(sin ,cos )33P ππ,则角α的最小正值为 .116π. 4 已知z 和31z i+-都是纯虚数,那么=z .解析:3i . 5 若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线222x y -=的右焦点,则_______p =.解析:4. 6 设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为.解析:.7 设整数m 是从不等式0822≤--x x 的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素,记随机变量ξ2m =,则ξ的数学期望E ξ= .解析:5.8 对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④两直线相交,第三条平行于其中一条与另个一条相交. 其中使这三条直线共面的充分条件有 个.解析:1个.9 圆sin cos (0,02)ρθθρθπ=->≤<的圆心的极坐标是 .答案:3)4π.解析:极坐标方程两边乘以ρ,化成直角坐标方程为22x y y x +=-, 所以圆心的直角坐标为11(,)22-,再化成极坐标为3)24π. 10 已知12,F F 分别是椭圆2211612x y +=的左、右焦点,点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 .答案:[0,2].解析:1211111111(8)(8)82PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF -----===-,因为126PF ≤≤且函数82y x=-在[2,6]x ∈上单调递增, 所以182223PF ≤-≤-,故18|2|[0,2]PF -∈.11 把实数a 、b 、c 、d 排形成如a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(),ax by cx dy ++,若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=,则a b +的值为____________.答案:2-. 解析:因为点(,)x y 在矩阵的作用下变成点(,)x ay bx y ++. 所以曲线22421x xy y ++=在矩阵的作用下变成曲线22()4()()2()1x ay x ay bx y bx y ++++++=与2221x y -=比较得2214212244400422b b a a ab b b a a ⎧++==-⎧⎪+++=⇒⎨⎨=⎩⎪++=-⎩. 12 已知数列{}n a 满足:11a =,2()a x x N *=∈,21n n n a a a ++=-,若前2014项中恰好含有667项为0,则x 的值为 .答案:8或9.提示:先试探性的写出一个值,然后分析数列中项的情况,进而做出推理验证. 13 在面积为2的ABC ∆中,E ,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上, 则2+⋅的最小值是 .答案:23解析:问题可转化为:已知PBC ∆的面积为1,求2+⋅的最小值.由题设知,PBC ∆的面积为1,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴,过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设2(,0),(,)(0)C a P t a a>, 则22(,),(,),PB t PC a t aa=--=--u u u ru u ur∴222222443()()0324a a PC PB BC t a t a t a a ⋅+=--++=-++≥+u u u r u u u r u u u r ,当且仅当416,23at a ==,∴2+⋅的最小值是314 设函数,下列四个命题中真命题的序号是 .(1)()f x 是偶函数； (2)不等式()20132014f x <⨯的解集为∅； (3)()f x 在()0,+∞上是增函数； (4)方程2(56)(2)f a a f a -+=-有无数个实根.解析:(1)(2)(4).提示:特殊到一般,分别画出()11()f x x x x =++-∈R 和()1212()f x x x x x x =++++-+-∈R 的草图,就可以类比猜想出()f x 的图像,根据图像数形结合不难得出结论. 二、选择题:(每题5分,共20分)15 如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根,则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是( .D ).A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g 黄金,售货员先将5g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( A ).A 大于10g .B 小于10g .C 大于等于10g .D 小于等于10g解答:设两边的臂长分别是12,l l ,二次称得的黄金重量分别是1212,()m m m m ≠. 则有杠杆原理得112122125255l m l m m m l l =⎧⇒⋅=⎨=⎩,从而1212210m m m m +>=.17 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( B ).A 101 .B 201 .C 401 .D 1201 解析:10位同学总参赛次序1010P .一班3位同学恰好排在一起,而二班的2位同学没有排在一起的方法数为先将一班3人捆在一起33P ,与另外5人全排列66P ,二班2位同学不排在一起,采用插空法27P ,即362367P P P . ∴所求概率为3623671010120P P P P =. 18 设函数()x x xf x a b c =+-,其中0,0c a c b >>>>.若,,a b c 是ABC ∆的三条边长,则下列结论中正确的是 ( D ) ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈,使,,xxxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC ∆为钝角三角形,则存在()1,2x ∈,使()0f x =..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ①②③三、解答题:(本大题共74分)19(本小题12分)如图,棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,且//AB CD ,90BAD ∠=o ,2PA AD DC ===,4AB =.(1)求证:BC PC ⊥；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值. 解析:∵AP ⊥平面ABCD ,90BAD ∠=o. ∴以A 为原点,,,AD AB AP 分别为,,x y z 轴, 建立空间直角坐标系.∵2PA AD DC ===,4AB =.∴(0,4,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2)B D C P . (1)∴,所以BC PC ⊥.(2)∵,设平面APC 法向量(,,)x y z =rn ,∴.∵,∴即PB 与平面PAC所成角的正弦值为5. 20(本小题14分)设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知,cos cos 3C a A b B π==.(1)求角A 的大小；(2)如图,在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ,使得2PC =.过点P 分别作直线,CA CD 的垂线,PM PN ,垂足分别是.设PCA α∠=,求PM PN +的最大值及此时α的取值.解析:(1)由cos cos a A b B =及正弦定理可得 sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =,又(0,),(0,)A B ππ∈∈, 所以有A B =或2A B π+=.又因为3C π=,得23A B π+=,与2A B π+=矛盾,所以AB =,因此3A π=. (2)由题设,得在Rt PMC ∆中,sin 2sin PM PC PCM α=⋅∠=；在Rt PNC ∆中,sin 2sin[()]2sin()33PN PC PCN πππαα=⋅∠=-+=+；所以,2sin 2sin())36PM PN ππααα+=++=+DCAPABDCMNPα因为2(0,)3πα∈,所以5(,)666πππα+∈,从而有1sin()(,1]62πα+∈,即)6πα+∈.于是,当623πππαα+=⇒=时,PM ＋PN PM PN +取得最大值21(本小题14分)定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意x D ∈,存在常数0M >,都有|()|f x M ≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)当1a =时,求函数()f x 在(),0-∞上的值域,并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数,请说明理由；(2)若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. 解析:(1)当1a =时,11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵()f x 在(),0-∞上递减,∴()(0)3f x f >=,即()f x 在(),1-∞的值域为()3,+∞,故不存在常数0M >,使|()|f x M ≤成立.∴函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数. (2)由题意知,()3f x ≤在[)1,+∞上恒成立.3()3f x -≤≤,11142424xxxa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤⋅≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴11422222x xxxa ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)0,+∞上恒成立,∴ max min11422222x xx xa ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.设2x t =,1()4h t t t =--,1()2p t t t =-,由x ∈[)0,+∞得1t ≥,∴()h t 在[)1,+∞上递减,()p t 在[)1,+∞上递增,()h t 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-,()p t 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =.∴实数a 的取值范围为[]5,1-.23(本小题16分)在平面直角坐标系xoy 中,已知三点(0,0)O ,(1,1)A -,(1,1)B ,曲线C 上任意—点(,)M x y 满足:14()2MA MB OM OA OB +=-⋅+u u u r u u u r u u u ur u u u r u u u r .(1)求曲线C 的方程；(2)设点P 是曲线C 上的任意一点,过原点的直线l 与曲线相交于,M N 两点,若直线,PM PN 的斜率都存在,并记为PM k ,PN k .试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关,并证明你的结论；(3)设曲线C 与y 轴交于,D E 两点,点(0,)Q m 在线段DE 上,点P 在曲线C 上运动. 若当点P 的坐标为(0,2)时,取得最小值,求实数m 的取值范围.解析:(1)由题意可得, )22,2()1,1()1,1(y x y x y x --=--+---=+, 所以4844)22()2(||2222+-+=-+-=+y y x y x ,又y y x -=⋅-=+-4)2,0(),(214)(4, 所以y y y x -=+-+4484422,即14322=+y x .(2)因为过原点的直线l 与椭圆相交的两点N M ,关于坐标原点对称, 所以可设),(),,(),,(0000y x N y x M y x P --.因为N M P ,,在椭圆上,所以有 14322=+y x , ………① 1432200=+y x , ………②①-②得 3422202-=--x x y y . 又00x x y y k PM --=,00x x y y k PN ++=, 所以34222020000-=--=++⋅--=⋅x x y y x x y y x x y y k k PNPM , 故PN PM k k ⋅的值与点P 的位置无关,与直线l 也无关. (3)由于),(y x P 在椭圆C 上运动,故22≤≤-y ,且22433y x -=.因为,所以由题意,点P 的坐标为)2,0(时,取得最小值,即当2=y 时,取得最小值,而22≤≤-y .故有24≥m .解得21≥m . 又椭圆C 与y 轴交于E D 、两点的坐标为)2,0(、)2,0(-,而点Q 在线段DE 上, 即22≤≤-m ,亦即221≤≤m ,所以实数m 的取值范围是]2,21[. 23．已知等比数列{}n a 的首项12013a =,公比12q =-,数列{}n a 前n 项和记为n S ,前n 项积记为n T .(1)证明:21n S S S ≤≤；(2)判断n T 与1n T +的大小,并求n 为何值时,n T 取得最大值； (3)证明:若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为,则数列{}n d 为等比数列.解:(1)∵S n =S 1+a 21--12æèçöø÷n -1éëêêùûúú1--12æèçöø÷=S 1-13a 11--12æèçöø÷n -1éëêêùûúú£S 1,当1n =时,等号成立； 同理232221************n n n a S S S a S --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--≥⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭,当2n =时,等号成立；21n S S S ∴≤≤. (2)∵T n +1T n=a 1×a 2×××××a n ×a n +1a 1×a 2×××××a n=a n +1=20132n.又∵2013211<1<2013210, ∴当10n ≤时,1n n T T +>；当11n ≥时,1n n T T +<.∴当11n =时,n T 取得最大值,又∵T 10<0,T 11<0,T 9>0,T 12>0,∴n T 的最大值是9T 和12T 中的较大者,又∵T 12T 9=a 10×a 11×a 12=2013×-12æèçöø÷10éëêêùûúú3>1，129T T ∴>.因此当12n =时,n T 最大.(3)∵a n =2013×-12æèçöø÷n -1,n a ∴随n 增大而减小,n a 奇数项均正,偶数项均负,①当k 是奇数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，，, 则1111111222k k k k k a a a a a -+⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112112222k k ka a a ++⎛⎫=-=⎪⎝⎭, 122k k k a a a ++∴+=,因此12k k k a a a ++，，成等差数列,公差112111311222k k k k k k a d a a a ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；②当k 是偶数时,设{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，, 则1111111222kk k k ka a a a a -+⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112112222k k k a a a ++⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. ∴122k k k a a a +++=,因此21k k k a a a ++，，成等差数列, 公差111211311222k k k k k k a d a a a +-++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,综上可知,{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列, 且1132k k a d +=, ∵12n n d d -=,∴数列{}n d 为等比数列.。

第一部分 集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.[举例1]已知集},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x ∈==∈==，求Q P .分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P .[举例2]函数⎩⎨⎧∈-∈=)()()(M x x P x x x f ，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定：(){|(),},(){|(),}F P y y f x x P F M y y f x x M ==∈==∈.给出下列四个判断：（1）若∅=M P ，则()()F P F M =∅；（2）若∅≠M P ，则()()F P F M ≠∅； （3）若,R M P = 则()()F P F M R =；（4）若,R M P ≠ 则()()F P F M R ≠. 其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------（ ）A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个.分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.()F P 是函数)(P x x y ∈=的值域，()F M 是函数)(M x x y ∈-=的值域.取),0[+∞=P ，)0,(-∞=M 可知（1）、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应，所以若∅≠M P ，只能是}0{=M P ，此时()(){0}F P F M ⊇，（2）正确.对于命题（4）：设,a P M ∉则a P ∉且a M ∉，若0a =，显然有0()F P ∉且0()F M ∉，所以有()()F P F M R ≠；若0a ≠，由a P ∉则()a F P ∉，由a M ∉，则()a F M -∉.若有()a F M ∉，则a M -∉，所以a P -∉，则()a F P -∉，所以()()a F P F M -∉，则()()F P F M R ≠.同理可证，若()a F P -∈，则有()()a F P F M ∉.（4）也正确，选B.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ，求a 的取值范围.分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若B A ⊆，则∈x A 是∈x B 的充分条件；若B A ⊇，则∈x A 是∈x B 的必要条件；若B A ⊆且B A ⊇即B A =，则∈x A 是∈x B 的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”，是两种不同形式的问题.［举例］设有集合}2|),{(},2|),{(22>-=>+=x y y x N y x y x M ，则点M P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件是点N P ∈；点M P ∈是点N P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件.分析：集合M 是圆222=+y x 外的所有点的集合，N 是直线2+=x y 上方的点的集合.显然有M N ⊆.（充分不必要、必要不充分）4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.5、若函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则有)()(x a f x a f +=-或)()2(x f x a f =-等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(x f y =的图像关于直线a x =的对称曲线是函数)2(x a f y -=的图像，函数)(x f y =的图像关于点),(b a 的对称曲线是函数)2(2x a f b y --=的图像.[举例1]若函数)1(-=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.分析：由)1(-=x f y 是偶函数，则有)1()1(-=--x f x f ，即)1()1(x f x f +-=--，所以函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.或函数)1(-=x f y 的图像是由函数)(x f y =的图像向右平移一个单位而得到的，)1(-=x f y 的图像关于y 轴对称，故函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.[举例2]若函数)(x f y =满足对于任意的R x ∈有)2()2(x f x f -=+，且当2≥x 时x x x f +=2)(，则当2<x 时=)(x f ＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由)2()2(x f x f -=+知，函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，因而有)4()(x f x f -=成立.2<x ，则24>-x ，所以)4()4()4()(2x x x f x f -+-=-=.即2<x 时209)(2+-=x x x f .6、若函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a a x f a x f 则)(x f 是以a 2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a x f a x f 则)(x f 是以a 2为周期的函数.（注意：若函数)(x f 满足)(1)(x f a x f ±=+，则)(x f 也是周期函数） ［举例］已知函数)(x f y =满足：对于任意的R x ∈有)()1(x f x f -=+成立，且当)2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则=++++)2006()3()2()1(f f f f ＿＿＿＿＿＿. 分析：由)()1(x f x f -=+知：)()1(]1)1[()2(x f x f x f x f =+-=++=+，所以函数)(x f y =是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(-=====f f f f ，1)1()3()2003()2005(=====f f f f ，故意原式值为0.7、奇函数对定义域内的任意x 满足0)()(=+-x f x f ；偶函数对定义域内的任意x 满足0)()(=--x f x f .注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x 的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y 轴对称；若函数)(x f y =是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(x f y =是奇函数且)0(f 存在，则0)0(=f ；反之不然.［举例1］若函数a x f x -+=121)(是奇函数，则实数=a ＿＿＿＿＿＿＿； 分析：注意到)0(f 有意义，必有0)0(=f ，代入得21=a .这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.[举例2]若函数3)2()(2+-+=x b ax x f 是定义在区间]2,12[a a --上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数是偶函数，必有0)2()12(=-+-a a ，得1-=a ；又由()y f x =是偶函数，因而2=b .即]3,3[(3)(2-∈+-=x x x f ，所以此函数的值域为]3,6[-.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.［举例］若函数)(x f y =是定义在区间]3,3[-上的偶函数，且在]0,3[-上单调递增，若实数a 满足：)()12(2a f a f <-，求a 的取值范围.分析：因为)(x f y =是偶函数，)()12(2a f a f <-等价于不等式)(|)12(|2a f a f <-，又此函数在]0,3[-上递增，则在]3,0[递减.所以2|12|3a a >-≥，解得211+-<≤-a .9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(x f y =的图像，作出函数a x f y a x f y x f y x f y x f y +=+===-=)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|x f y x f y ==的图像.［举例］函数|1|12|log |)(2--=x x f 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像是由函数x y 2log =的图像经过下列变换得到的：先将函数x y 2log =的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（或将函数x y 2log =的图像向上平移1个单位）得到函数x y 2log 2=的图像，再将函数x y 2log 2=的图像作关于y 轴对称得到函数|2|log 2x y =的图像，再将函数|2|log 2x y =的图像向右平移21个单位，得到函数|12|log 2-=x y 的图像，再将函数|12|log 2-=x y 的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log 2--=x y ，最后将函数1|12|log 2--=x y 的图像在x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与x 轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是)1,21[-与),23[+∞. 需要注意的是：函数图像变化过程：|)(||)(|)(a x f y x f y x f y -=⇒=⇒=与变化过程：|)(|)()(a x f y a x f y x f y -=⇒-=⇒=不同.前者是先作关于y 轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线a x =对称.10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.［举例1］已知函数1)(,12)(+=-=ax x g x x f ，若不等式)()(x g x f >的解集不为空集，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：不等式)()(x g x f >的解集不为空集，亦即函数)(x f y =的图像上有点在函数)(x g y =的图像的上方. 函数12)(-=x x f 的图像是x 轴上方的半 支抛物线，函数1)(+=ax x g 的图像是过点)1,0(斜率为a 的直线.当1a =时直线与抛物线相切，由图像知：12-<a .（注意图中的虚线也满足题义）[举例2]若曲线1||2+=x y 与直线b kx y +=没有公共点，则b k ,应当满足的条件是 . 分析：曲线1||2+=x y 是由)0(12≥+=x x y 与12+-=x y 交点为)1,0(和)1,0(-，图像如图（实线部分）.可以看出若直线b kx y +=曲线1||2+=x y 的图像没有公共点，此直线必与x 轴平行，所以0=k ，11<<-b .11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y 轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？［举例］函数12)(2+-=ax x x f ，（]4,3[]1,0[ ∈x ），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x 轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数12)(2+-=ax x x f 图像的对称轴为直线a x =知：0≤a 或4≥a 必存在反函数，10<<a 或43<<a 必不存在反函数.当]3,1[∈a 时如何讨论？注意到函数在区间]1,0[上递减，在]4,3[上递增，所以只要)1()4(f f <或)0()3(f f >即可.亦即325≤<a 或231<≤a .综上知，实数a 的取值范围是 ]0,(-∞ ),4[]3,25()23,1[+∞ . 12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x 的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.［举例］函数])2,((),22(log )(22--∞∈++=x x x x f 的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：令)22(log 22++=x x y ，则12)1(22222-=+⇒=++y y x x x .因为2-≤x ，所以11-≤+x ，则121--=+y x ，121---=y x .又原函数的值域为),1[+∞，所以原函数的反函数为)1(121)(1≥---=-x x f x .（若是从反函数表达式得012≥-x 求得0≥x 就不是反函数的定义域）.13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线x y =对称；若函数)(x f y =的定义域为A ，值域为C ，C b A a ∈∈,,则有a a f f b b f f ==--))((,))((11.)()(1b fa a fb -=⇔=.需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如)2(x f y =反函数不是)2(1x f y -=.［举例1］已知函数)(x f y =的反函数是)(1x f y -=，则函数)43(21+=-x f y 的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y 表示,x 然后将y x ,互换即得反函数的表达式.由)43(21+=-x f y 可得]4)2([31)2(432)43(1-=⇒=+⇒=+-y f x y f x y x f .所以函数)43(21+=-x f y 的反函数为]4)2([31-=x f y .[举例2]已知⎩⎨⎧<<--≥=02,)(log 0,2)(2x x x x f x ，若3)(1=-a f，则=a ＿＿＿＿. 分析：由3)(1=-a f 得)3(f a =，所以8=a .14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数)0,(,>+=b a x b ax y 的单调性. [举例]已知函数)0(1)(>+=a x ax x f 在),1[+∞∈x 上是单调增函数，求实数a 的取值范围.分析：函数)0,(,>+=b a xb ax y 称为“耐克”函数，由基本不等式知：当0>x 时，函数的最小值是ab 2，当a b x =时等号成立.],0(a b x ∈时，函数递减；),[+∞∈ab x 时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数)0(1)(>+=a x ax x f 在),1[+∞上递增，则11≤a，得1≥a .但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证. 任设),,1[,21+∞∈x x 且21x x <.)1)(()()(212121x x a x x x f x f --=-，由函数)(x f 是单调增函数，则0)()(21<-x f x f ，而021<-x x ，则0121>-x x a .所以211x x a >对于),,1[,21+∞∈x x 且21x x <恒成立，因1121<x x ，故1≥a . 需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.［举例］求函数12)(2+-=ax x x f 在区间]3,1[-的最值.分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.⎩⎨⎧>+≤-=)1(22)1(610)(max a a a a x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=)1(610)31(1)1(22)(2min a a a a a a x f .16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.[举例1]已知关于x 的不等式5|3|≤+ax 的解集是]4,1[-，则实数a 的值为 . 分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数a 的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值4,1-是方程5|3|=+ax 的根.则⎩⎨⎧=+=+-5|34|5|3|a a 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21282或或a a ，知2-=a . ［举例2］解关于x 的不等式：)(0122R a ax ax ∈>++.分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当0=a 时，此不等式是恒成立的，则其解集为R .当0≠a 时，才是二次不等式.与其对应的方程为0122=++ax ax ，根判别式a a 442-=∆.当0>∆，即1>a 或0<a 时，方程两根为aa a a x -±-=22,1；当0=∆，即1=a 时，方程有等根1-=x ；当0<∆，即10<<a 时，方程无实根.结合二次函数的图像知：1>a 时不等式的解集为),(),(22+∞-+-----∞aa a a a a a a ；当1=a 时，不等式的解集为),1()1,(+∞---∞ ；当10<≤a 时，不等式的解集为R ；当0<a 时，不等式的解集为),(22aa a a a a a a ----+-.。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（•天津）i是虚数单位，=（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：，故选D．【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．3．（5分）（•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0 C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆．【解答】解：结论的否定形式为：2x2﹣1＞0∴原命题的否定为：D．故选D．【点评】本题考查了命题的否定，注意它与否命题的区别．4．（5分）（•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f （x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．故选C．【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5．（5分）（•天津）阅读程序框图，则输出的S=（）A．26 B．35 C．40 D．57【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+ (14)值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值∵S=2+5+8+…+14=40．故选C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）（•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．7．（5分）（•天津）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω=2，所以，故选择A．【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．8．（5分）（•天津）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．9．（5分）（•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A． B． C． D．【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB 1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．10．（5分）（•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，【解答】解：由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，因此应有 a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，不等式的解集为或（舍去）．不等式的解集为，又由0＜b＜1+a得，故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，02（a﹣1）＜b≤3 （a﹣1），注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a＜3（a﹣1），即2＜a＜3即可，则b＞2a﹣2b＜3a﹣3又0＜b＜1+a故 1+a＞2a﹣23a﹣3＞0解得1＜a＜3，综上2＜a＜3．故选：D．【点评】本小题考查解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40 名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取名．故答案为：40【点评】本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．12．（4分）（•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以有．故答案为：【点评】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题．本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．13．（4分）（•天津）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为．【考点】直线的参数方程；两条平行直线间的距离．【专题】坐标系和参数方程．【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．【解答】解析：由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0，故它与l2的距离为．故答案为【点评】本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，属于基础题．14．（4分）（•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= 1 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．【专题】直线与圆．【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．15．（4分）（•天津）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD 的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cos∠BAD==﹣，故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．故答案为：．【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题．16．（4分）（•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有324 个（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，根据分类计数原理得到∴共有90+234=324个．故答案为：324．【点评】本小题考查排列实际问题基础题．数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（•天津）已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA（1）求AB的值．（2）求的值．【考点】正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA∴由正弦定理得AB=2BC又∵BC=1∴AB=2（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°∴，∴===【点评】本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．18．（12分）（•天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3k C73﹣k，写出概率，分布列和期望．（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，由于从10件产品中任取3件的结果为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3k C73﹣k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P （X=k）=，k=0，1，2，3．∴随机变量X的分布列是x 0 1 2 3p∴X的数学期望EX=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而，P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目．19．（12分）（•天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．【点评】本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．20．（12分）（•天津）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．【解答】（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x2e x，f'（x）=（x2+2x）e x，故f'（1）=3e，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），整理得：3ex﹣y﹣2e=0．（Ⅱ）解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]e x令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论．①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）﹣2a （﹣2a，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +F（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，﹣2a）﹣2a （﹣2a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +F（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2，函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．21．（14分）（•天津）以知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而整理，得a2=3c2，故离心率（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③联立①③解得，将x1，x2代入②中，解得．（III）解法一：由（II）可知当时，得，由已知得．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x 轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．直线F2B的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由m≠0，解得故当时，同理可得．解法二：由（II）可知当时，得，由已知得由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．由直线F2B的方程为，知点H的坐标为．因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．则，所以．当时同理可得【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆性质的综合应用，难度较大，解题要注意公式的正确选取和灵活运用，避免不必要的性质．22．（14分）（•天津）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞1）．设s n=a1b1+a2b2+…+a n b n，T n=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，k n和l1，l2，…，l n是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=a k1b1+a k2b2+…+a kn b n，c2=a l1b1+a l2b2+…+a ln b n证明c1≠c2．【考点】数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题设，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，n∈N*，由此可求出S3的值．（Ⅱ）证明：由题设可得b n=q n﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2n q2n﹣1，T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+﹣a2n q2n﹣1，由此能够推导出（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=．（Ⅲ）证明：由题设条件可知，由此入手能够导出c1≠c2．【解答】（Ⅰ）解：由题设，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，n∈N*所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55（Ⅱ）证明：由题设可得b n=q n﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2n q2n﹣1，①T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2n q2n﹣1，S2n﹣T2n=2（a2q+a4q3+…﹣a2n q2n﹣1）1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2）③2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1）所以，（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（S2n﹣T2n）﹣q（S2n+T2n）=2d（q+q3+…+q2n﹣1）=（Ⅲ）证明：c1﹣c2=（a k1﹣a l1）b1+（a k2﹣a l2）b2+…+（a kn﹣a ln）b n=（k1﹣l1）db1+（k2﹣l2）db1q+…+（k n﹣l n）db1q n﹣1因为d≠0，b1≠0，所以若k n≠l n，取i=n若k n=l n，取i满足k i≠l i且k j=l j，i+1≤j≤n，由题设知，1＜i≤n且当k i＜l i2时，得k i﹣l i≤﹣1，由q≥n，得k i﹣l i≤q﹣1，i=1，2，3i﹣13即k1﹣l1≤q﹣1，（k2﹣l2）q≤q（q﹣1），（k i﹣1﹣l i﹣1）q i﹣2≤q i﹣2（q﹣1）又（k i﹣l i）q i﹣1≤﹣q i﹣1，所以因此c1﹣c2≠0，即c1≠c2当k i＞l i，同理可得，因此c1≠c2．综上c1≠c2．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知复数2iiz -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为.2．函数()ln f x x 的定义域为3．若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-垂直，则实数m ＝．4．已知集合{}1A x a x a =≤≤+，{40}B x x =-≤<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是.5．等比数列{}n a 满足11a =，23520a a a +=，则1i i a +∞==∑.6．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是.21136830224455941113367895024558897．二项式82x ⎛⎝的展开式的常数项是．8．已知()()000,01P x y x <<是曲线1C =上一点，作曲线C 在点P 处的切线l ，l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，则OA OB +=.9．如图（1），在长方体ABCD EFGH -中，2AB BC ==，1AE =，O 为上底面EFGH 的中心.现将矩形EFGH 绕点O 在原平面内顺时针旋转π(0)4θθ<≤角，连接AE 、DE 、AF 、BF 、BG 、CG 、CH 、DH ，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球M的球面上，则球M 的表面积是.10．已知())(0,02π)f x x ωϕωϕ+><<，函数()y f x =的部分图像如图所示，已知点A 、D 为()y f x =的图像与x 轴的交点，其中1,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 、C 分别为()y f x =的图像的最高点和最低点，且212AB DC AB ⋅=-，则ϕ=.11．已知k 为常数，若关于x 的不等式21()e ex kx k -≤对任意的(0,)x ∈+∞都成立，则实数k 的取值范围为.12．从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点0,0向椭圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆1C 、2C ，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为1e 、2e ，2C 在1C 内，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为M l ，若原点O 到直线M l 的距离为定值1，则2212e e -的最大值为.二、单选题13．已知a 、b 是非零实数，若a b <，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b <B ．22ab a b<C ．2211ab a b<D ．b a a b>14．已知事件A 与B 相互独立，且()()01P A P B <<，则下列选项不一定成立的是（）A ．()()()()1P B A B A P P =- ；B ．()()()P A B P A P B =+ ；C ．()()()P A B P P B A = ；D ．()()()P A B P B A P A B =⋂.15．已知圆锥S O -的底面半径为2，高为4，点P 为圆锥底面上任意一点，点Q 为圆锥侧面（点Q 异于顶点S 且不在底面圆周上）上任意一点，则OP SQ ⋅的取值范围为（）A ．(8,8)-B ．[0,8)C ．[4,4]-D ．(4,4)-16．已知数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足对任意正整数n ，都有()()110n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是{}n a 的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{}n a ，不存在等差数列{}n b ，使得{}n b 是{}n a 的交错数列；②对任意给定的等比数列{}n a ，都存在等比数列{}n b ，使得{}n b 是{}n a 的交错数列.下列结论正确的是（）A ．①与②都是真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①与②都是假命题.三、解答题17．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18．已知()sin ()f x x x x =+∈R .(1)是否存在正数m ，使得()()f x f m x =-对x ∈R 都成立？若存在，求出m 的一个值，若不存在，请说明理由；(2)写出函数()y f x =的一个周期，并求函数()y f x =的值域.19．2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A 和B ，已知A 和B 烧制成功率分别为80%和90%，烧制成功一个A ，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个B ，盈利80元，否则亏损20元.(1)设X 为烧制一个A 和一个B 所得的利润之和，求随机变量X 的分布和数学期望；(2)求烧制4个A 所得的利润不少于80元的概率；(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表.[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95[)95,100年龄低于45岁61442317年龄不低于45岁4647358根据调查数据完成下列22⨯列联表，并依据显著性水平0.05α=的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？非常满意满意合计年龄低于45岁年龄不低于45岁合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++，2()P k χα≥≈，α与k 的若干对应数值见下表：α0.250.050.005k1.3233.8417.87920．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>A 、B 分别为椭圆Γ的左、右顶点.过点(1,0)C 作斜率为()110k k ≠的动直线l 交椭圆Γ于M 、N 两点；当1k 变化时，ABM 面积的最大值为2.(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)当11k =时，求AMN 的面积；(3)如图，设M 关于原点O 的对称点为P ，直线AP 、BN 交于点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，试探究21k k 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.21．函数()y f x =的导函数为()y f x '=，令()()()g x f x f x '=，称()y g x =是()y f x =的特征函数.若()0g x ≥对一切(,)x m n ∈恒成立，则称函数()y f x =是(,)m n 上的绝对增函数.(1)已知()e x f x x =，判断函数()y f x =是否是(0,)+∞上的绝对增函数，并说明理由；(2)已知()sin()f x x θ=+，函数()y f x =是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的绝对增函数，求θ的值；(3)函数()y f x =是(,)m n 上的绝对增函数，其特征函数()y g x =在(,)m n 上有唯一的零点0x ，求证：0x 是函数()y f x '=的极值点.。

上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．1153．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 4．设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b αα=-r ，向量1210,,,x x x ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有4个a ，其余为b ，向量1210,,,y y y ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有3个a ，其余为b ，则11221010x y x y x y ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅u r u r u u r u u r uu r uu r 的所有可能取值中最小的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题5．不等式13x>的解集为________6．已知向量(7,1,5)a =-r ，(3,4,7)b =-r ，则||a b += ________7．如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________8．函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________9．若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________10．若复数z 的实部和虚部相等，且i 2iz a =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________11．已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________12．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910，若这堆货物总价是9100200()10n -万元，则n 的值为________13．若函数221()lg 1x x f x x m x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为________14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________15．若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____16．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.18．在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．19．已知抛物线C 关于y 轴对称，且经过点(2,1)-.（1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M 、N ，抛物线的准线分别交直线OM 、ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.20．若数列{}n a 、{}n b 满足1||n n n a a b +-=(n ∈N)，则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”.（1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞++++ 的值；（3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，11a =，221n n a a -≤且221n n a a +≤，若||n a M ≤对任意n ∈*N 恒成立，求实数M 的最小值.21．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.解析上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．115【答案】D【解析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由1423x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得3x ﹣4y +5＝0，根据点到直线的距离公式可得d 223204511534⨯-⨯+==+．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 【答案】C 【解析】对于选项A ，b 与α可能平行，也可能在平面内，故A 不正确。

第十部分 解题技巧与应试心理94、解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法：选择符合题意数值加以检验，是解这类问题最有效方法；选择、填空题中要探讨一般性的结论可以在特殊值的背景中进行.另外遇到方程、不等式求解的选择题通常采用取值（选择支中的边界值最好）去代入验证.[举例]函数x b x a x f cos sin )(-=图像的一对称轴方程是4π=x ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角是――――――――――――――――――――――――――――――（ ）A 、4π；B 、43π；C 、3π；D 、32π. 分析：正弦曲线的对称轴方程是经过正弦曲线的最高（最低）点与x 轴垂直的直线.即4π=x 时，函数x b x a x f cos sin )(-=取最大值（或最小值），取1,1-==b a 即满足题义.知直线的倾斜角为43π.选B. 95、“数形结合”是解选择、填空题的重要的方法之一，特别是遇到含有字母的无理不等式及含有22y x +（曲线上的点到原点的距离的平方）、x y （曲线上的点与原点连线的斜率）等带有明显“几何特征”的式子时，数形结合比较方便.若做解答题用“数形结合”时，考虑到推理论证的严密，一定要辅之以必要的文字说明，不能以“由图知”代替推理.［举例1］若关于x 的不等式)1(1>≥+-a x a x 的解集为}|{n x m x ≤≤，且1+=-a m n ，则实数a 的值等于―――――――――――――――――――――（ ）A 、2；B 、3；C 、4；D 、5. 分析：作出函数1-=x y 与a x y -=的 图像（如图）.可以看出1=m ，n x =是方程 a x x -=-1的根.所以a n n -=-1，又1+=-a m n ，由2+=a n ，得3=a .选B.［举例2］已知函数2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 若方程kx f =)(有两个不同的解，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.分析：⎩⎨⎧∈-∈=]2,(,sin ],0[,sin 3)(πππx x x x x f .作出函数)(x f 的图像. 直线k y =与函数)(x f y =的交点，则31<<k . 96、“分类讨论”一般是在解题过程无法进行下去时采取的措施，即“分类”是解题得以继续的自然要求.只有搞清了为什么要分类，才知道怎样分类，然后把研究对象不重不漏地划分为若干类，逐一进行研究，通过分类实际是为解题增加一个新的条件.当然，选用适当的解法，能回避讨论时，应尽量回避.比如解分式不等式时，一般不是讨论分母的正负，而是移项、通分后利用数轴标根法求解.[举例]已知函数))(1()(R a x a x f ∈-=.（1）若不等式1)(>x f 在(1,2)上的解集不是空集求a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2|)1(|>-x f .分析：（1）若从解不等式出发，则很繁.注意到0)1(=f ，且)(x f 是关于x 的一次函数形式，只要1)2(>f 即可.从而得1>a .这样就可以避免讨论.（2）2|)1(|>-x f ，即2|1|+>-a x a .①当0=a 时，不等式解集为∅；②当0>a 时，a x 21|1|+>-，得a x 22+>或ax 2-<； ③当0<a 时，a x 21|1|+<-.若021≤+a，即02<≤-a 时，不等式解集为∅；当021>+a ，即2-<a 时，a x a 222+<<-. 综上知不等式2|)1(|>-x f 的解集为：22(,)(2,),(0),(20)22(,2),(2)a a a a a aa ⎧-∞-++∞>⎪⎪∅-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎩ . 需要注意的是分类讨论的最后结果要有所总结，这才体现出解题的完整性.97、解应用题重在读题，设法找出隐含的等量关系，把实际问题转化为数学问题，注意单位一定要化统一，结论要回归到题目的设问上，别忘了“答”.具体地说：函数问题的关键是正确地写出函数关系式（即建立等量关系）、数列问题要关注“前后项之间的关系”、“解几”问题别忘了圆锥曲线的“定义”、三角问题经常要联系正（余）弦定理.[举例1]用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么一共用了＿＿＿块砖.分析：第九层用完，则第九层用砖2块.寻找相邻两层之间关系：设第n 层用砖为n a 块，第1n +层用砖为1n a +块，则有1212n n a a +-=+，即112n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为12的等比数列.由92a =，所以共用砖23922221024++++= 块.另一方面：设共用砖x 块，前n 层共用砖n S 块，第n 层用砖n a 块，则有112n n x S a --=+，那么112n n x S a +-=+，两式相减可得112n n a a +=. ［举例2］甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？分析：函数型的应用性问题在列出函数关系式时要注意到函数的定义域，函数的定义域可以从条件中得到.（1）2()(0)s y bv a v c v=+<≤；（2）由()ay s bv v =+，应用基本不等式时，要注意等号成立的条件.当a bv v =时，v =c ≤，则2y s ≥此时v =若c >，可知函数()a y s bv v =+在区间(0,]c上单调递减，此时y c =时有最小值.c ≤/时行驶；当c >时，汽车应以c 千米/时行驶. 98、解高考题要注意“长题不难”、“新题不难”的特点，从容镇定、认真审题间.比较复杂的问题在解题过程中往往要遇到三次审题：一、把握好条件中的“关键词”，包括括号内一些容易忽略的条件（N b a ∈>,1…，等），从中获取尽可能多的信息，迅速找出解题方向；二、在解题受阻时，应再次审题，看看有没有漏掉什么条件，想想有什么隐含条件；三、解完题后再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理.99．要记住“解题是给别人看的”，因此要尽可能使得解题过程自然、流畅，尽可能使阅卷老师能够清晰地了解（感受到）我们的思维脉搏.要学会使用文字叙述，用好关联词；要对后面可能需要使用的式子和过渡性的结论做必要的标记（如：①、②、（﹡）等），以便使用；为了使解题过程简洁，可以略去有理式运算、平面几何的简单论证等，但涉及高中知识点、思考过程的要点及后面的解题要用的式子切不可跳过；解题的最后一步应回归到题目的设问上.100、高考不仅是知识考试，同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟时间，把试卷大题浏览一遍，确定解题的顺序.注意的是：小题中的“压轴题”（如填空题中的12题，选择题中的16题）不一定比解答题的前两题容易，若一时找不到思路可先放一放，不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心，适当慢一点，就会准一点.其实所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上，若能保证把会做的题做对，就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般会设置层次分明的“台阶”，也就是“难题”中也会有容易做的得分点，应争取拿到；即使是毫无思路，也尽量不要空在那儿，不妨想到什么写什么，想到哪儿，写到哪儿；因为没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了！总之，考试的全部诀窍就是：力争会做的题确保得满分，不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意，我难人难我不畏难.。