04本常微分方程期末试题A

平顶山学院补考课程：常微分方程(专升本)总时长：120分钟1. (填空题) 以为通解的线性微分方程为___.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无2. (填空题) 微分方程是___阶微分方程.(本题4.0分)答案: (1) 2 ;得分点:未设置解析: 无3. (填空题) 设某4阶常系数齐次线性微分方程的特征根为,（二重）,则该方程的通解为___.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无4. (填空题) 方程有只与相关的积分因子的充要条件是___.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无5. (填空题) 伯努利微分方程可通过变量代换___化为线性微分方程.(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无6. (填空题) 一个不可延展解的存在区间一定是___区间.(本题4.0分)答案: (1) 开;得分点:未设置解析: 无7. (填空题) 齐次线性方程组的解向量在定义区间上线性相关的___条件是它们的朗斯基行列式.(本题4.0分)答案: (1) 充要;得分点:未设置解析: 无8. (填空题) 若线性微分方程组的解在区间上线性无关,则在上它们的朗斯基行列式___.(本题4.0分)答案: (1) 0;得分点:未设置解析: 无9. (填空题) 方程满足的第次近似解_______(本题4.0分)答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无10. (填空题) 若,则=___.(本题4.0分)答案: (1);得分点:未设置解析: 无11. (单选题) 微分方程通过点的第二次近似解为( ).(本题4.0分)A.B.C.D.答案: B解析: 无12. (单选题) 阶线性齐次微分方程的所有解( ).(本题4.0分)A. 构成一个线性空间B. 构成一个维线性空间C. 构成一个维线性空间D. 不能构成一个线性空间答案: B解析: 无13. (单选题) 关于三阶常微分方程的通解,下列说法正确的是( ).(本题4.0分)A. 一定含有三个独立的任意常数B. 通解包含所有解C. 一个方程只有一种形式的通解D. 以上说法都不对答案: A解析: 无14. (单选题) 通解为的微分方程是( ).(本题4.0分)A.B.C.D.答案: C解析: 无15. (单选题) 方程的任一饱和解的最大存在区间必是一个( ).(本题4.0分)A. 闭区间B. 开区间C. 有限区间D. 以上说法都不对答案: B解析: 无16. (问答题) 求解方程.(本题10.0分)答案: 依题:因为:仅与x有关,..….3分所以原方程有积分因子……………………………….….….…..6分用x乘以原方程的两端得全微分方程将左端重新组合得:即:…………………………………..8分故原方程的通积分为…………………….…....10分得分点:未设置解析: 无17. (问答题) 求方程组的通解求方程组的通解(本题10.0分)答案:得分点:未设置解析: 无18. (问答题) 已知为线性方程的相应齐次线性方程的基本解组,求方程的通解.(本题20.0分)。

04专科期末高等数学试题A一.填空题(每题3分,共30分)1. =→x x x 1sin lim 20_________. 2. =+∞→xx x 1)21(lim ________.3. =++++∞→2321lim n n n ________.4. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,2)(2x x a x xxtg x f 在0=x 连续,则=a _________. 5. 设2)(0='x f ,则=-+→h x f h x f h )()2(lim 000_________.6. 由定积分几何意义,有 =-⎰-dx x 1121_________.7. 设x e x f -=)(，则='⎰dx x x f )(ln ___________.8. 曲线⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程为_____________. 9. 设),()2)(1()(n x x x x f ---= 则0)(='x f 根的个数为______. 10. 反常积分 =⎰+∞-dx e x 0_________.二.单项选择题(每题3分,共15分)1. )(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 可导的( )A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 无关条件2. 设0→x 时,)1ln(2ax +与x cos 1-是等价无穷小,则=a ( ) A. 1 B. 2 C. 21 D. 21-3. 设)(x f 的一个原函数为)13sin(+x ,则='⎰dx x f )(( ) A. )13cos(+x B. c x ++)13cos(3C.c x ++-)13sin(3D.)13cos(3+-x 4. 下列不等式中正确的是( ) A. dxe dx e x x ⎰⎰<10132B. dxx dx x ⎰⎰>212132C. xdxxdx ⎰⎰<21212ln ln D. ⎰⎰<+110)1ln(xdxdx x5. 下列积分中不为零的是( )A.dxxx x ⎰-+1121cos B. ⎰---11)(dxe e x xC. dx x ⎰--111D. dxx x ⎰-11 三.计算题(每题6分,共30分)1. 求方程0=-+e xy e y确定的隐函数y 的导数0=x dx dy.2. 求极限 30sin lim x x x x -→. 3. 计算积分dxe x⎰4. 计算dxx x ⎰--223cos cos ππ.5 计算dxx x ⎰--+111.四.应用题(每题9分共,18分)1. 设.1)(2x xx f += (1). 求函数)(x f 的极值.(2). 求曲线)(x f y =的拐点. (3). 求曲线)(x f y =的渐近线.2. 设曲线xe y =,(1). 求过点),1(e 曲线的切线方程.(2). 求该切线与曲线xe y =及Y 轴所围成平面图形的面积. 五. 证明题 (7分) 证明:0>x 时,x x+>+121.04专科期末高等数学试题A一、 填空题(每题3分,共30分)1. 设函数y xxy z +=,则=dz ________. 2. 设223y xy x z ++=，则=∂∂)2,1(22x z_________.3. 设平面区域D 由直线1,,=-==y x y x y 所围,则=⎰⎰Ddxdy _________.4. 设L 为圆周222a y x =+,则⎰+Ldsy x)(22_________.5. 交换积分次序⎰⎰=103),(dy y x f dx _________.6. 幂级数∑∞=+121n nn x 的收敛域是___________.7. 设 p 级数∑∞=11n pn 收敛，则p 满足的条件是_________.8. 空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x 在1=t 处的切线方程是_____________.9. 函数x e x f 2)(=展开为x 的幂级数是=xe 2______________.10.通解为xx e C e C y 221+=的二阶线性常系数齐次微分方程是___________.二、单项选择题(每题3分,共15分)1. ),(y x f 在点),(00y x 可微分是),(y x f 在点)00,(y x 连续的( ) A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件2. 设幂级数nn n xa∑∞=0在2-=x 收敛,则n n nx a∑∞=0在1=x 处 ( )A. 绝对收敛B. 发散C. 条件收敛D. 以上结论都不对3. 设,),(xy yx y x f +=则=-+),(y x y x f ( )A. 222x y x -B. 222y x x -C. 22y x x -D. 222y x y -4. 若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n nu( )A. 收敛B. 发散C. 可能收敛也可能发散D. 以上都不对 5. 设平面区域x y x D x y x x D ≤≤≤≤≤≤-≤≤0,10:,,10:1,则有⎰⎰=+Ddxdy xy )1(( )A. 0B. 2⎰⎰+1)1(D dxdy xyC. 1D. 2⎰⎰1D xydxdy三、计算题(每题6分,共30分)1. 设),ln(xy x z =求 .23y x z∂∂∂2. 应用格林公式计算曲线积分 ,)sin ()(22dy y x dx y xL+--⎰其中L 是在圆周22x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.3. 求微分方程x x y x y cos 11=+'的通解.4. 计算积分,)1ln(22dxdy y x D ⎰⎰++其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域.5. 求微分方程xe y y =+''的通解四、应用题(每题8分，共16分)1. 求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.2. 求幂级数n x nn n ∑∞=+-11)1(的和函数.五、证明题 (9分)设方程z y x z y x 32)32sin(2-+=-+确定隐函数),(y x z z =,证明: .1=∂∂+∂∂y z x z04本科期末高等数学试题A一.填空题(每题3分,共30分)1. =∞→x x x 1sin lim _________. 2. =+∞→n n n )21(lim ________. 3.=++++++∞→)12111(lim 222n n n n n ________. 4. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,2sin )(2x x a x xxx f 在0=x 连续,则=a _________. 5. 设3)(0='x f ,则=--+→h h x f h x f h )()(lim000_________.6. 由定积分几何意义,有 =-⎰dx x 1021_________.7. 设 x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 取极值,则=a _________. 8. 椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在4π=t 处的切线方程为_____________. 9. 设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ,则0)(='x f 根的个数为______. 10. 反常积分 =⎰+∞-dx e x 0_________.二.单项选择题(每题3分,共15分)1. )(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 连续的( )A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 无关条件 2. 设0→x 时,x 2cos 1-与ax x sin 是等价无穷小,则 =a ( )A. 1B. 2C. 2-D. 43. 设)(x f 的一个原函数为)13sin(+x ,则)(x f '=( )A. )13cos(+xB. )13cos(3+xC.)13sin(9+-xD. )13cos(9+x 4. 下列不等式中正确的是( )A. dxx dx x ⎰⎰<1312B. dxx dx x ⎰⎰>212132C. xdx xdx ⎰⎰>21212ln ln D. ⎰⎰<+1010)1ln(xdxdx x5. 下列积分中不为零的是( ) A.dxxx x ⎰-+11221sin B. dxe e x x ⎰---11)(C. dx x ⎰--111D. dxx x ⎰-11 三.计算题(每题6分,共30分)1. 求方程0333=-+axy y x 确定的隐函数y 的导数dx dy.2. 求极限)ln 11(lim 1x x x x --→. 3. 计算积分 dxx ⎰1cos . 4. 计算dxx x ⎰--223cos cos ππ5. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=-0,0,11)(2x xe x x x f x ,计算⎰-20)1(dx x f . 四.应用题(每题9分共,18分)1. 设(1).1)(2x xx f += (1). 求函数)(x f 的极值. (2).求曲线)(x f y =的拐点 (3). 求曲线)(x f y =的渐近线.2. 设曲线x y sin =，2π=x 与X 轴围成平面图形A. (1). 求此图形A 的面积S.(2). 求此图形A 绕X 轴旋转的旋转体体积X V . (3). 求此图形A 绕Y 轴旋转的旋转体体积Y V . 五. 证明题 (7分)证明:1>x 时,22)1(ln )1(->-x x x .05化学、资城本科高数试题A一、 选择题：共5个小题，每小题3分，共15分。

选 择 题1、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2'y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e +=(C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e++=特解的形状为( )(A)2-2 1 x y ax ey = (B) 2-21 () x y ax bx c e =++ (C)22-21 ()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21 ()x y x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)225,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =的通解是( )(A)(-) yx y c e = (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =6、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y ∂∂+=∂∂7、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+ (C)2 ' y by cx += (D) 4'0y xy += 8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)31, , x x (B)222,,x x x(C)21,sin ,cos2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =的通解是( )(A)() x y x e c =+ (B)( ) x x y e c =+ (C)(-) x x y c e = (D)(-)xy x e c =11、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)22-10 x y += (B) 2' x y y=(C) 222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性的是（ ）(A) dy dx y x = (B)2y '+6y '=1 (C)y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) 0,1, t (B) e t，2e t,e -t(C)e t e t t t --3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e xdx 的通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x)16、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数） 17、下列微分方程是线性的是（ ）(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -xcos x 特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Aex1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e ydy 的通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y)21、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) ''+=y y e x 2'22、下列微分方程是线性的是（ ）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C)y '-2y=2x 2(D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解的形状为( )(A) 31x y Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x 13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)2,,xxxe xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 2 1,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e xdx 的通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x) 26、微分方程dy dx y x tg yx=+的通解为（ ） (A) 1sin y xcx = (B) sin y x =x +c (C) sin yx =c x (D) sin x y =c x27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）(A) (x-c )2(B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2(C) c 1+(x -c 2)2(D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e ydy 的通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y)29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解*y 为（）(A)c x c x 123+ (B) c x cx123+ (C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x 123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x的特解y *的形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y-=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx 34、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+(C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x123-+ 35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()的特解， 则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解 (C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（ ）(A) e /2 (B)-1e (C) e 21- (D) e 23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（ ）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（ ）(A) x arctgy ce arctgy=-+-1 (B) x arctgy cearctgy=-++1(C) x arctgy cec arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy =-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 的通解为y=（ ）(A) e c x c x c x +++1223 (B) c x c x c 1223++ (C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 的通解是 y =（ ）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x 1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )(A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e 43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( ) (A) 1 (B) 1/2 (C) 22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件y x ==01, y x '==03的特解是y=( ) (A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'的通解是y=( )(A) ec x c x x -+31222(cos sin ) (B) e c x c x x 21233(cos sin )-(C) e c x c x x31222(cos sin )- (D) e c x c x x-+21233(cos sin )46、微分方程y yxc '++=20满足y x ==20的特解y =（ ）(A) 4422x x - (B)x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx y x 'cos -+=20的通解是（ ）(A)1()cos x c x y =+ (B) ()cos y x c x =+ (C) 1cos x x c y=+ (D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0的通解为（ ）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（ ） (A) cos2a x (B) cos2ax x(C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 的一个特解 y*=（ ）(A)ex x x-++574774sin cos (B)e x x x ++574774sin cos(C)ex x x-++6574774sin cos (D)e e x x x x --+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===的解是()y x =（ ）（其中其通解为1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性的是（ ）(A)2"'y xy y x ++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -= 54、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（ ）(A) F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y ∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +--- 56、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（ ） (A)2x e ln (B)22x e ln (C)2x e ln + (D)22xe ln +57、若3312,x xy e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ ）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为（ ）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+(C)11232c y c y y ++ (D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 连续，且满足方程()1()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（ ）(A)1n ncx- (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（ ）(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解 61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=的通解为（ ）(A)12x y c e c =+ (B)12x x y c e c e -=+ (C)212x y c e c x =+ (D)12xy c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+的一个特解形式为（ ）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)x ae bx + (D)xaxe b + 63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（ ）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（ ）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（ ）(A)()xax b e-+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=的特解*y 的形式为（ ）(A) xaxe (B)()x ax b e + (C)()x x ax b e + (D)2()xx ax b e + 67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=的解，则1122y c y c y =+是（ ）(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解68、方程"3'232xy y y x e -+=-的特解*y 的形式为（ ）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()x ax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e-++=特解的形式为（ ）(A) 22xy ax e-= (B)22()xy ax bx c e-=++(C)22()xy x ax bx c e -=++ (D)222()xy x ax bx c e -=++70、下列函数在定义域内线性无关的是（ ）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是（ ）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =-72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-的奇点为（ ） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt==--的（ ） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点74、方程dx dy dz xz yz xy==的首次积分是（ ） (A)2xy z c -= (B)2x c y= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -=75、方程22222dx dy dzx y z xy xz==--的首次积分是（ ） (A) 2x y z c x ++= (B)222x y z cy++= (C)y c x = (D)z c x =76、系统22dxx y dtdy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点77、系统3474dxx y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点类型为（ ）(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点78、方程"xy y xe-+=有形如（ ）特解(A)xy Axe -= (B)21()x y Ax Bx c e -=++(C)1()x y Ax B e -=+ (D)xAe -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（ ）(A)21()t x At Bt c e =++ (B)1()tx At B e =+（C)1t x Ate = (D)1tx Ae =80、方程"2'2cos xy y y e x --+=的特解形状为（ ）(A)1cos x y A xe -= (B)1sin xy A xe -=(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1xy Ae -=81、方程"2'2cos tx x x te t -+=的特解形状为（ ）(A)21()cos tx At Bt c e t =++ (B)21()sin t x At Bt c e t =++(C)1(cos sin )t x e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t tx At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0xyyx ye e dx xee dy ---++=的通解为（ ）(A)xyye xe c -= (B)yxye xe c -= (C)x y ye xe c --= (D)x yye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x xe y y x dx e y x dy -++=的通解为（ ）(A)sin 2cos xe y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c += (C)sin cos xe y y x c += (D)s 2cos xe co y y x c +=84、微分方程(2)0yye dx x xy e dy -+=的通解为（ ）(A)2yxe y c += (B)2y e y c x += (C)y xe xy c += (D)y y e c x+=85、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的通解为（ ）(A)32x xe x y c += (B)232(2)xx x e x y c -+=(C)232(22)x x x e x y c --+= (D)232(2)x x e x y c -+=86、下列方程为常微分方程的是（ ）(A)2220x y z ++= (B)22u u ux y y∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae =87、方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ= (B)1()x xμ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ=88、方程(2)0y ye x xy e dy -+=的积分因子为（ ）(A)21()x x μ=(B) 1()x xμ= (C)21()y y μ= (D) 1()y y μ=89、方程2(3)20xe y dx xydy ++=的积分因子为（ ）(A) 1()x xμ=(B)2()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 2()y y μ=90、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ ）(A)()x x e μ= (B)()xx e μ-= (C)()y y e μ= (D)()yy eμ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ=(B)21()1x x μ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ ）(A) 1()x x μ=(B) 21()x xμ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y μ=93、方程(2cos )0xxe dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ ）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ ）(A) 21()x x μ= (B) 21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x y μ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ ）(A) 21x μ= (B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y μ=96、方程36330x y x dx dy y y x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的积分因子为（ ）(A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2'y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性的是（ ）(A)22' y x y =+ (B)2" xy y e +=(C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

楚 雄 师 范 学 院2006—2007学年 第二 学期期末考试试卷 《数学实验》（A ）卷评分标准答题要求：１、写出各实验的ＭＡＴＬＡＢ求解命令或程序２、除绘图题外，写出各实验的实验结果一、完成以下实验（每个实验5分，共20分）。

实验一 曲线绘图1．抛物线232y x x =++解：clear;x=-2:0.1:2;y=x.^2+3*x+2;plot(x,y) 5分2．内摆线332cos ,2sin x t y t ==解：clear;t=linspace(0,2*pi);x=2*cos(t).^3;y=2*sin(t).^3;plot(x,y) 5分实验二 极限与导数3．求极限2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭解：clear;syms x;s=limit(2/(x^2-1)-1/(x-1),x,1)s =-1/2 5分4．求函数(ln y x x =阶导数解：syms x;y=x*log(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2);dy=diff(y,x,1)dy=log(x+(1+x^2)^(1/2))+x*(1+1/(1+x^2)^(1/2)*x)/(x+(1+x^2)^(1/2))-1/(1+x^2)^(1/2)*x 5分二、完成以下实验（每个实验5分，共20分）。

实验三 级数5．求出()()ln 1f x x =+马克劳林展开式的前５项解：clear;syms x;y=log(1+x);f=taylor(y,0,5)f =x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4 5分６．求级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和解：clearsyms ns=1/(n*(n+1)*(n+2));symsum(s,n,1,inf)ans =1/4 5分实验四 积分７．计算积分145sin dx x -⎰解：clear;syms x;s=int(1/(4-5*sin(x)),x)s =1/3*log(tan(1/2*x)-2)-1/3*log(2*tan(1/2*x)-1)5分８．选用一种计算数值积分的方法，求数值积分210x e dx -⎰解：法1 复化梯形求积公式x=0:0.01:1;y=exp(-x.^2);s1=trapz(x,y)s1 = 0.7468 5分法2 复化抛物线求积公式先编写M-函数文件function y=ex08(x)y=exp(-x.^2);保存后，在命令 命令运行指令：s2=quad('ex08',0,1)s2 =0.7468法3 牛顿-科兹求积公式s3=quadl('ex08',0,1)s3 =0.7468三、完成以下实验（每个实验5分，共20分）。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。

0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。

2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。

4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。

5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。

6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。

7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。

8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。

9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。

4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。

6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。

7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。

8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。

9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。

11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。

12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。