常微分方程期末试题答案

常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。

对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。

显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。

2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。

3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。

4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。

福师《常微分方程》期末答案解析I. 选择题1. 下列关于常微分方程的定义正确的是？A. 含有未知函数及其导数的等式B. 只含有一个未知函数的方程C. 含有多个未知函数的方程D. 含有未知函数及其导数的等式，且未知函数的导数出现在等式的另一边答案：D解析：常微分方程是指含有未知函数及其导数的等式，且未知函数的导数出现在等式的另一边。

2. 常微分方程的阶数是指？A. 方程中未知函数的个数B. 方程中未知函数导数的最高阶数C. 方程中变量的个数D. 方程中常数的个数答案：B解析：常微分方程的阶数是指方程中未知函数导数的最高阶数。

II. 填空题1. 一阶微分方程是指未知函数的最高导数为一次的方程，即\(\frac{dy}{dx} = f(x)\)。

2. 二阶微分方程是指未知函数的最高导数为二次的方程，一般形式为 \(a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =g(x)\)，其中 \(a_0, a_1, \ldots, a_n \) 是常数。

III. 解答题1. 求解一阶线性微分方程 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)。

答案：解：一阶线性微分方程 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) 的通解为 \(y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int e^{\int P(x)dx} Q(x)dx + C \right)\)，其中 \(C\) 是积分常数。

2. 求解二阶线性常系数齐次微分方程 \(ay'' + by' + c y = 0\)，其中 \(a \neq 0\)。

答案：解：二阶线性常系数齐次微分方程 \(ay'' + by' + c y = 0\) 的通解为 \(y = C_1 e^{-\int \frac{b}{a}dx} + C_2 x e^{-\int \frac{b}{a}dx}\)，其中 \(C_1, C_2\) 是积分常数。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。

2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。

3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。

5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。

7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。

8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。

9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。

11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。

12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。

13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。

数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。

2.求通过点(0,1)的特解。

3.求满足初值条件y(0)=2的特解。

解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。

设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。

对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。

由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。

将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。

将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

（A）试卷份数考试本科考试科目常微分方程第 1 页（共 5页）年月日第2页（共 5 页）年月日第 3 页（共 5 页）年月日第4页（共 5 页）年月日12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．开二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．A 9．D 10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分）等式两端积分得通积分C xy+=e e （6分）12．解 方程化为x yx y 21d d += (2分) 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入上式，得 u xux +=1d d (4分) 分量变量，积分，通解为1-=Cx u (5分)原方程通解为x Cx y -=2(6分)13．解 对应齐次方程dy y dx x=的通解为Cx y = （2分） 令非齐次方程的特解为x x C y )(= （3分）代入原方程，确定出/1()c x x=（4分） 再求初等积分得C x x C +=ln )( （5分）因此原方程的通解为Cx y =+x x ln （6分）14．解： 由于xNy M y ∂∂==∂∂e ，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x yxy =+⎰⎰d 2de （4分）即 C y x y=+2e （6分）15．解： 令dxy dt=，则：32dy y x dt =-- 2分因为01023≠--，又由1023λλ-=+得2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负 4分故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。

6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ （1分） 特征根为：1,121-==λλ （2分）故齐次方程的通解为： xxC C y -+=ee 21 （4分）因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为xAx x y e )(1= （6分）代入原方程，有xx x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， （7分） 可解出41=A ． （8分） 故原方程的通解为xx x x C C y e 41e e 21++=- （10分）17．解： 特征方程为 0121=--=-λλλE A即 022=--λλ特征根为 21=λ，12-=λ （2分） 21=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--002121211b a可确定出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a （5分） 同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122b a （8分）所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x e e 2e e 2221 （10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18．证明 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由维尔公式 ⎰=-x0d )(0e)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）)(e)()(x0d )(0x p x W x W x ss p ⎰='-由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有 0)(>'x W 或 0)(<'x W故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分） 19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分）显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(0101x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ， (8分)这是因为零解也满足初值条件)()(0101x y x y '== 0， 于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）。