2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（A ）
一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程
22d d y x x
y
+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．
2. 方程组
n x x x
R Y R Y F Y
∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '
连续是保证方程
),(d d y x f x
y
=初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t
y y t
x
d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心
5．方程2)(2
1y y x y '+
'=的通解是221
C Cx y +=
6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是
()()
x P y N 1
7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关
8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x
x 22e ,e
--
二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程d ()()d y
p x y q x x
+=的积分因子是（ A ）．
（A ）⎰
=x
x p d )(e μ （B ）⎰
=x
x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x
x q d )(e μ
10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）
（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．
(A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x
12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-=
'x y y （ D ）奇解．
（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无
三、计算题（每小题8分，共48分）
。 14．求方程22
2d d x
y xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u
u
x u u dx du =--=1,2
所以原方程的通解为 x y x Cx
C
y =+=,12
15．求方程
0d )ln (d 3=++y x y x x
y
的通解 解：取()()x y y x N x
y y x M ln ,,,3
+==
则()()x y x N y x M x y 1
,,==，于是原方程为全微分方程
所以原方程的通解为 ⎰⎰=+y
x C dy y dx x y 1
3
1
即 C y x y =+
4
4
1ln 16．求方程2
22
1)(x y x y y +
'-'=的通解 解:令 p y ='，得到2
2
2
x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
整理得 ()012=⎪⎭
⎫
⎝⎛--dx dp x p ，则 取 02=-x p ,得 2
x
p =,代入（*） 得解 42x y =
取
01=-dx
dp
,得C x p +=,代入（*）得原方程得通解为 22
2
Cx Cx x y ++= 17．求方程53x
y y e '''-=的通解
解 对应的齐次方程的特征方程为 032
=-λλ， 特征根为 01=λ，32=λ
故齐次方程的通解为 x
C C y 321e += 因为5=α不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
x
A x y 51e )(= 代入原方程，得 x x x
A A 555e e 15e 25=-
即 10
1
=
A ， 故原方程的通解为 x
x
C C y 5321e 10
1e
+
+= 18．求方程2(cos 7sin )x
y y y e x x '''+-=-的通解 解：先求解对应的其次方程：02=-'+''y y y ，则有，
x x e C e C y 221212;2,1,02-+=-===-+λλλλ
因为数i i ±=±1βα不是特征根，故原方程具有形如 ()x B x A e
y x
sin cos 1+= 的特解。
将上式代入原方程，由于 ()x B x A e
y x
sin cos 1+=
()()[]x A B x B A e y x
sin cos 1
-++='
[]x A x B e y x
sin 2cos 21
-='' 故 =-'+''y y y 2[]x A x B e x
sin 2cos 2-()()[]x A B x B A e
x
sin cos -+++
()()x x e x B x A e
x x
sin 7cos sin cos 2-=+-
或 ()()x x x A B x A B sin 7cos sin 3cos 3-=+--
比较上述等式两端的x x sin ,cos 的系数，可得 73,13-=--=+-B A B A 因此，.1,2==B A 故()x x e y x
sin 1cos 21+=
所求通解为()x
x
x
e C e C x x e y 21sin 1cos 2+++=
19．求方程组
3553dY Y dx ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
的实基本解组 解：方程组的特征多项式为
3
55
3
--λλ，其特征根是i 532,1±=λ，那么
属于1λ的特征向量⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=11i α，
属于2λ的特征向量⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=i 12α。
则方程的基本解组为()()()()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=Φ-+-+x i x
i x i x
i ie e e ie x 535353531，
