常微分方程期末考试试卷(A卷)

《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。

常微分方程期末考试试卷一.填空题 (共30分，9小题，10个空格，每格3分)。

1、当_______________ 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。

2、________________ 称为齐次方程。

3、求dy =f(x,y)满足穴x o) = y。

的解等价于求积分方程____________________ 的dx连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dy = f (x, y)dx 的解y=cp(x,x。

，y。

)作为x,x。

，y。

的函数在它的存在范围内是。

5、若x i(t),x2(t)... x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是06、方程组x/ =A(t)x的_________________ 称之为x/ = A6x的一个基本解组。

7、若*t)是常系数线性方程组x/ = Ax的基解矩阵，则expAt =。

8、满足____________________ 的点(x*,y*),称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部__________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为二、计算题(共6小题，每题10分)。

1、求解方程：dy=x7”dx x y 32、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程dy = 3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0, 0）的一切解4、求解常系数线性方程：x -2x/ +3x = e A cost, ……，一一一一 1 「12、5、试求方程组x/ = Ax的一个基解矩阵，并计算e At,其中A为3J6、试讨论方程组dx=ax+by, dy = cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常 dt dt 数，且ac#0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果平（t）是x/ = Ax满足初始条件中（t0）=n的解，那么■：（t）二e A（t」0）十答案一、填空题。

《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。

2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。

4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。

5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。

6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。

7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。

8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。

9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

《 常微分方程 》(A)答案：（省去了作题的详细步骤）一. 填空题（每小题3分, 共15分）1. );())()(()(121x y x y x y c x y +-=;2. 1||,<∈y R x ;3. tttee22,--; 4. n ; 5. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t te te e 0.二．单项选择题（每小题3分, 共15分）1. A2.B3. C 4 . D 5. A 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1. 分离变量：2211xdx ydy -=- （3分）积分，得通解 ,arcsin arcsin c x y += （６分） 特解： 1±=y （７分）2. 令 ,1-=y z 则 （２分）,2x z xdx dz --= （３分） ,422x x c z -= （５分） 得通解：4244x c x y -=．（６分）有特解： .0=y （７分） ３．令 ,2,2x y x N y x M -=+= （１分）,2x N x Ny M -=∂∂-∂∂ 积分因子 .1)(2xx u = （4分） 通解： ,||ln 2c xyy x =-+ （7分） ４．02'3''=++x x x 的特征根：,2,121-=-=λλ 通解：.221t te c e c x --+=（３分）原方程特解设为：t C t B Atex tcos sin 1++=-， （５分）代入原方程，可得： .103,101,1-===C B A 即.cos 103sin 1011t t tex t-+=- （７分） 所求通解为：.cos 103sin 101221t t te e c e c y tt t -+++=--- （８分）５．令 ,'2yt y =- 代入原方程，可得： （２分）.1'12t y t ty -=⇒+= （3分）.11'2c t x dt ty dy dx +=⇒-==（5分） 故通解为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11 消去 ,t 得 .1c x c x y -+-= （6分）2±=y 为特解. （7分）四． 特征根：.2,121=-=λλ （２分）11-=λ 对应特征向量：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；22=λ 对应特征向量：⎪⎪⎭⎫⎝⎛21；（４分） 基解矩阵： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t tt te e e e t 222)(， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Φ---t t t t e ee e s 221231)(， （６分） ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+--=ΦΦ=ΦΦ+ΦΦ=-----⎰⎰t t t t tt e e t t e e t t dss f s t dss f s t t t 22101013435cos 3sin 3235cos sin 2)()()()()()()0()0()()(ϕϕ （１０分）五．,222)24(24242by by ax xy b a ax dtdV----+-= （２分） 取 ,2,1==b a 则 222),(y x y x V += 定正． （４分）42424422y y x x dtdV----= 定负， （６分） 故零解渐近稳定． (8分)六．),)(exp()'( ))(exp()''''()(0222⎰⎰-=++='xx xx dt t p qy y dt t p p yy yy y x f （４分）由于)(x y y =为非0解, 可得y 与'y 在区间],[b a 上任何点处不同时为0 (否则与解的唯一性矛盾), 又 ,0<q 故 )(0)('],,[x f x f b a x ⇒>∈∀在],[b a 上严格单增.(8分)七.作逐步逼近序列: ),()(0x f x =ϕ0,1,2,n ,)(),()()(01 =+=⎰+xx n n d x K x f x ξξϕξλϕ(2分)记 ⎰===≤≤≤≤baba b x a dx x f M x f x K M ,|)(| ),(|),(|max2,1ξξ由 ,|||)(),(||||)()(|21001M M d x K x x b aλξξϕξλϕϕ≤=-⎰以及数学归纳法可得)(|||)()(|1211-+-≤-n nn n n a b M M x x λϕϕ. (4分)取 ,)(1||1a b M -<λ则∑∞=--1121)(||n n nn a b M M λ收敛，故 )(x n ϕ在],[b a 上一致收敛. 设 ],,[),()(b a x x x n ∈→ϕϕ 则 )(x ϕ为连续解. (5分) 设 )(x ψ为另一连续解, )()(x x ϕψ≠. 记 ,0||max ],[>-=∈ψϕb a x Q 由,1)(||)(|| )(||||||||1111≥-⇒-≤⇒-≤-≤-⎰a b M a b Q M Q a b Q M dx M baλλλψϕλψϕ矛盾. 故 ),()(x x ϕψ= 即解唯一. (8分)。