求解约束优化问题的文化算法研究

非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。

约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。

解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。

一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。

该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。

2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。

该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。

3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。

拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。

4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。

全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。

二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。

通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。

2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。

罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。

3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。

该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。

4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。

该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。

非凸优化问题的约束优化算法研究非凸优化问题是现实生活中广泛存在的一类重要问题，其约束优化算法的研究对于解决实际问题具有重要意义。

本文将对非凸优化问题的约束优化算法进行深入研究，探讨其应用场景、算法原理以及存在的挑战和解决方案。

一、引言非凸优化问题是指目标函数和约束函数中至少有一个是非凸函数的优化问题。

相比于凸优化问题，非凸优化问题更具挑战性，因为其解空间中存在多个局部最优解。

而约束优化算法旨在在满足一定约束条件下寻找全局最优解。

二、应用场景非凸优化在实际生活中有广泛应用。

例如，在工程设计中，我们常常需要考虑多个设计变量和多个目标函数之间的平衡关系；在金融领域，我们需要考虑投资组合的风险和收益之间的平衡；在机器学习领域，我们需要通过调整模型参数来最小化损失函数等等。

这些都是典型的非凸优化问题。

三、常见算法1. 梯度下降法梯度下降法是一种常见且经典的优化算法，其思想是通过迭代的方式不断调整参数，使目标函数逐渐收敛到最优解。

然而，由于非凸优化问题存在多个局部最优解，梯度下降法容易陷入局部最优解而无法找到全局最优解。

2. 全局优化算法全局优化算法是专门用于解决非凸问题的一类算法。

其中，遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法等被广泛应用于非凸问题的求解。

这些算法通过引入随机性和多个搜索点来提高全局搜索能力。

3. 内点方法内点方法是一种求解约束最优化问题的有效方法。

其基本思想是通过将约束条件转化为罚函数或者广义拉格朗日函数，并引入惩罚项来实现约束条件的满足。

内点方法能够有效地处理非线性约束和不等式约束等复杂情况。

四、挑战与解决方案1. 局部最优陷阱非凸问题存在多个局部最优解，使得传统的梯度下降等方法容易陷入其中无法跳出。

为了克服这一挑战，可以采用全局搜索策略来提高找到全局最优解的概率。

2. 多约束条件非凸优化问题往往伴随着多个约束条件，这增加了问题的复杂性。

内点方法是解决多约束条件问题的有效方法，通过将约束条件转化为罚函数或广义拉格朗日函数，将多个约束条件转化为单一目标函数进行求解。

凸优化问题的带约束优化算法研究引言凸优化问题是数学和计算机科学领域中的一个重要研究方向，它在各个领域中都有广泛的应用。

在实际问题中，往往需要考虑一些约束条件，这就引出了带约束优化问题。

带约束优化算法是解决这类问题的关键工具。

本文将重点研究凸优化问题的带约束优化算法，并对其进行深入探讨。

一、凸优化和带约束条件1.1 凸集和凸函数在讨论凸优化之前，我们首先需要了解什么是凸集和凸函数。

一个集合称为凸集，如果对于该集合中的任意两个点，连接它们的线段上所有点都属于该集合。

而一个函数称为凸函数，如果其定义域上任意两点之间的线段上所有点都满足函数值不大于线段两端点对应函数值之间。

1.2 凸优化问题定义有了对于凸集和凸函数的理解后，我们可以定义一个一般性的凸优化问题：最小化一个定义在某个实数域上、具有某些性质（如连续性、可微性等）的凸函数，同时满足一些线性等式或不等式约束条件。

二、带约束优化算法2.1 无约束优化算法在介绍带约束优化算法之前，我们先来了解一下无约束优化算法。

无约束优化问题是凸优化问题的一个特例，即在没有任何额外的线性等式或不等式条件下，最小化一个凸函数。

常见的无约束优化算法有梯度下降、牛顿法、拟牛顿法等。

2.2 带约束优化问题带约束优化问题是在最小化一个凸函数的同时，还需要满足一些额外的线性等式或不等式条件。

这类问题可以进一步分为两类：有界条件和非有界条件。

对于有界条件，即最小值存在于一个特定区域内，我们可以使用投影梯度法、内点法和外点罚函数方法来解决。

投影梯度法通过将原始问题转换为无界情况下的最小值求解，并通过投影将结果限制在特定区域内；内点法则通过将原始问题转换为一个无限维空间中的无界问题，并使用迭代方法逼近最小值；外点罚函数方法则是通过对目标函数引入罚项来惩罚违反限制条件。

对于非有界条件，即最小值不存在于一个特定区域内，我们可以使用拉格朗日对偶法和KKT条件来解决。

拉格朗日对偶法通过引入拉格朗日乘子来将原始问题转换为一个对偶问题，并通过求解对偶问题得到原始问题的最优解；KKT条件则是一种必要条件，通过求解一组非线性方程组来确定最优解。

约束优化问题的遗传算法求解研究遗传算法是优化算法的一种，是受自然进化启发而建立的一种搜索算法。

在现实生活中，我们经常需要解决各种优化问题，例如在物流中心，如何安排最优的配送路线；在智能交通系统中，如何控制车辆的流量，减少交通拥堵；在人工智能领域，如何让计算机更好地学习和处理数据等等。

这些优化问题，往往需要找到一个最优解来达到最佳的效果。

而遗传算法是一种能够在复杂问题中找到接近最优解的解法。

约束优化问题是指在优化问题中，除了寻找最优解之外，还要满足一定的约束条件。

这些约束条件可以是技术、经济、环境等方面的限制，而这些约束条件的存在，往往会增加问题的难度。

因此，在解决约束优化问题时，我们需要有一种方法能够同时考虑到约束条件和优化目标，同时又要高效、准确地求解。

而遗传算法正是一种能够解决约束优化问题的有效方法。

在实际应用中，约束优化问题的求解往往需要处理一定量级的数据，而遗传算法是一种能够高效处理大规模数据的算法，它能够通过模拟自然进化过程，将问题解空间中的种群逐步演化成一组适应度高的最优解。

同时，遗传算法具有随机性和多样性的特点，能够缓解局部最优解问题，从而更容易找到全局最优解。

此外，遗传算法还能够处理多目标问题，将多个目标函数的优化结果整合成一组综合的最优解。

在约束优化问题的求解中，遗传算法的关键是如何设计适度的解码方法和适应度函数。

解码方法将问题的解编码为遗传算法中的染色体，而适应度函数则是对染色体进行评估的函数，用于刻画染色体对问题的适应程度。

因此解码方法和适应度函数的设计直接影响算法的求解效率和精度。

如果设计得当，遗传算法能够在较短时间内找到一组接近最优解的解决方案。

总之，遗传算法作为一种强大的优化算法，已经在各个领域得到了广泛的应用。

在求解约束优化问题上，遗传算法具有很大的优势，能够很好地处理复杂的优化问题，同时考虑到各种约束条件的限制。

当然，遗传算法还存在一些局限性，例如解码方法和适应度函数的设计不当，可能会导致算法陷入局部最优解，而无法找到全局最优解。

⾼数之拉格朗⽇乘法---解决约束优化问题
作为⼀种优化算法，拉格朗⽇乘⼦法主要⽤于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引⼊拉格朗⽇乘⼦来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题。

拉格朗⽇乘⼦背后的数学意义是其为约束⽅程梯度线性组合中每个向量的系数。

如何将⼀个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题？拉格朗⽇乘数法从数学意义⼊⼿，通过引⼊拉格朗⽇乘⼦建⽴极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个⽅程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗⽇乘⼦）⼀起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个⽅程的⽅程组问题，这样就能根据求⽅程组的⽅法对其进⾏求解。

解决的问题模型为约束优化问题：
min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0.
即：min/max f(x,y,z)
s.t. g(x,y,z)=0
example:
将原有的约束优化问题转化为了⼀种对偶的⽆约束的优化问题。

约束优化算法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种用于求解约束优化问题的数学方法。

该方法通过引入拉格朗日乘子，将原始问题转化为一个无约束问题，从而简化了求解过程。

本文将详细介绍拉格朗日乘子法的基本原理和求解步骤。

一、基本原理拉格朗日乘子法的基本思想是将原始问题的约束条件转化为目标函数的一部分，以此来将原始问题转化为无约束问题。

假设有一个原始优化问题如下：minimize f(x)subject to g(x) = 0,其中f(x)为目标函数，x为决策变量，g(x)为约束条件。

首先，定义拉格朗日函数L(x,λ)如下：L(x,λ)=f(x)+λg(x),然后，使用拉格朗日函数L(x,λ)来求解问题，即最小化拉格朗日函数：minimize L(x, λ) = f(x) + λg(x)将约束条件转化为拉格朗日函数的一部分后，原始约束问题就转化为了一个无约束问题。

原始问题的最优解必须满足原始目标函数和原始约束条件的两个必要条件：拉格朗日函数的一阶偏导数为零和约束条件等于零。

二、求解步骤使用拉格朗日乘子法求解约束优化问题的一般步骤如下：1.建立拉格朗日函数：根据原始问题的目标函数和约束条件，建立拉格朗日函数。

拉格朗日函数的形式为L(x,λ)=f(x)+λg(x)。

2.求取拉格朗日函数的偏导数：分别对决策变量x和拉格朗日乘子λ求取偏导数。

即计算∂L/∂x和∂L/∂λ。

3.令偏导数为零：将∂L/∂x和∂L/∂λ分别设置为零，得到关于x和λ的方程组。

解这个方程组可以得到最优解的估计。

4.求解约束条件：将x和λ带入原始约束条件g(x)=0中，求解约束条件得到λ的值。

5.检验最优解：将最优解带入原始目标函数f(x)中，检验是否满足最小化约束条件的目标。

三、实例分析为了更好理解拉格朗日乘子法的应用，我们通过一个实例来说明具体求解步骤。

假设有一个约束优化问题如下：minimize f(x) = x^2 + y^2subject to g(x, y) = x + y - 1 = 0通过拉格朗日乘子法求解该问题的具体步骤如下：1.建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)2.求取拉格朗日函数的偏导数：∂L/∂x=2x+λ∂L/∂y=2y+λ∂L/∂λ=x+y-13.令偏导数为零：将上述偏导数分别设置为零，得到方程组：2x+λ=02y+λ=0x+y-1=0通过解这个方程组，我们可以得到关于x、y和λ的值，即最优解的估计。

第36卷增刊(I)2006年7月　东南大学学报(自然科学版)JOURN AL OF SO UTHEAST UNI VERSITY (Natural S cience Edition )　Vol 136S up (I)July 2006 一种求解复杂约束优化问题的文化算法设计刘　升1,2　王行愚1　牛玉刚1(1华东理工大学信息科学与工程学院,上海200237)(2上海工程技术大学管理学院,上海200065)摘要:分析和设计了一种基于进化规划的文化算法,并研究了该算法在解决复杂约束优化问题中的应用.该研究的主要新特征是采用进化规划来对群体空间建模,并根据相应的群体空间,对信仰空间在进化过程中如何提取、存储和更新各种知识源进行了详细的分析和设计,并将所得到的新知识用来指导群体的进化过程.为验证算法的有效性,使用了一个典型的基准测试函数进行了仿真实验,并与目前其他较好的约束优化处理算法进行了详细比较,仿真结果表明,该算法具有更好的优化性能以及更低的运算代价.关键词:约束优化;进化计算;文化算法;进化规划中图分类号:TP30116 文献标识码:A 文章编号:1001-0505(2006)增刊(I )20094205Design of a cultural algor ithm for solving complex constra inedoptimization pr oblemsLiu Sheng 1,2　Wang Xingyu 1　Niu Yugang 1(1C ollege of In form ation S cience and Engineeri ng ,E as t Chi na Univers ity of Science and T echnol ogy ,S hanghai 200237,C hina)(2S chool of Management ,Shanghai Univers ity of Engi neering S cience ,S hanghai 200065,C hina)Abstract :　Based on evolutionary pr ogramming ,a cult ural algorithm is analyzed and designed.The a pplica 2tion of t his algorithm for s olving c omplex constrai ned optim ization pr oblems i s also discussed.The m ain novel feature of this appr oach is the use of ev olutionary pr ogramming as a population space ;according to the corre 2sponding population space ,how to acquire 、store and update the know ledge s ources contained in the belief space dur i ng evolution are specifically designed and the new ly 2acquired know ledge sources are used to guide the ev olutionary search.The appr oach is validated using a well 2known benchmark case.The simulation results show that the appr oach produces more c ompetitive results at a relatively low c omputational cost c ompared w ith some other better c onstraint 2handling algorithms.K ey w or ds:　constrained optimization ;evolutionary com putation ;cultural alg orithm ;ev olutionary pr ogram 2ming　收稿日期622　资助项目国家自然科学基金资助项目(6535)、国家重点基础研究发展计划(3计划)资助项目(B3)　作者简介刘升(66—),男,博士生;王行愚(联系人),男,博士,教授,博士生导师,yx @近年来,进化算法(E A )、粒子群优化(PS O )、蚁群算法(AC A )等智能优化方法已被广泛应用于求解复杂的约束优化问题,并取得了很有前途的结果[1-2].然而,目前进化计算的许多研究还只是在生物(或者说是基因)自然选择(竞争)这一层面上,许多情况表明,文化能使种群以一定的速度进化和适应环境,而这个速度是超越单纯依靠基因遗传生物进化速度的[3],种群在进化过程中,个体知识的积累以及群体内部知识的交流在另外一个层面促进群体的进化,这种知识在此被称为文化.文化算法正是受到这一启示而形成的,该算法分别从微观和宏观不同层面模拟生物层面的进化和文化层面的进化,更加准确地反映了物种的进化过程,各进化过程相互影响、相互促进,并在一些问题上取得了比传统进化算法更好的效果.本文在分析文化算法的计算框架和算法思想的基础上,分析和设计了一种基于进化规划的文化算法,并将该算法应用于求解复杂的约束优化问题.算法中,在微观层面上,群体空间中群体的进化采用进化规划策略;在宏观层面上,信仰空间的设计将针对群体空间的进化特点,研究如何在进化的过程中提取和表:2000420.:0400972002C 12200.:19wang .c n.示相关的约束知识;分析和设计各类知识在群体进化过程中的影响因子,并依据优化环境的变化情况,启发式地动态调整影响因子,从而用来指导微观群体的进化过程,提高优化效率和优化性能.图1　文化算法的计算框架1　文化算法的计算框架文化算法主要包含2个进化空间[4]:一个是由在进化过程中获取的经验和知识组成的信仰空间;另一个是由具体个体组成的群体空间.其计算构架如图1所示,这2个空间通过特定的协议进行信息的交流.算法的主要思想为:群体空间个体在进化过程中,形成个体经验,通过函数accept ()将个体经验传递到信仰空间,信仰空间将收到的个体经验根据一定的行为规则进行比较和优化,形成群体经验,并根据信仰空间现有的经验和新个体经验的情况用update ()函数更新群体经验.信仰空间在形成群体经验后通过infl uence ()函数对群体空间中个体的行为规则进行修改,以使个体空间获得更高的进化效率.从上述分析可以看出:文化算法在解决约束优化问题时,关键是如何表达和处理约束条件,如何从群体空间获取个体经验,信仰空间如何提炼群体经验和解决问题的知识,并用来指导和改善群体空间的进化过程,即如何设计群体空间和信仰空间.2　算法的分析和设计211　群体空间上的进化 当文化算法应用于实数参数的优化时,由于进化规划考虑的是整个繁殖种群,并能在实值函数优化的应用中获得较好的性能[5],这和文化算法所关心的相一致,因此,在对群体空间进行建模时,本文将采用进化规划策略,其中算法的主要执行步骤如下[2]:①当迭代次数t =0,随机生成一个具有p 个个体组成的初始群体;②通过目标函数obj ()对每个候选个体进行评价;③对群体中的每一个个体(x i ,ηi )进行如下变异产生一个后代(x ′i ,η′i )(i =1,2,…,p ),其中x i 为个体目标向量,ηi 为变异向量[6-7]:η′i (j )=ηi (j )exp (τ′N (0,1)+τN j (0,1))x ′(j )=x i (j )+η′(j )N j (0,1)式中,x i (j ),x ′i (j ),ηi (j ),η′i (j )分别表示向量x i ,x ′i ,ηi ,η′i 的第j 个分量(j =1,2,…,n );N (0,1)为一个满足一维正态分布的随机数;N j (0,1)为对每个不同的j 产生的随机数;τ和τ′通常被设置成(2n )-1和(2n )-1[8],注意此时群体空间中的个体数为2p .④通过目标函数obj ()评价每个新产生的个体;⑤所有双亲和子个体组成一个由2p 个个体组成的群体,对于该群体中的每一个个体,采用锦标赛的方法选择p 个具有最大值的获胜者作为下一代的双亲,t =t +1,重复②,直到满足一定的终止条件.212　信仰空间的设计和作用信仰空间的设计是文化算法的另一个更为重要的空间设计,该空间主要作用是提供一个明确的机制用来获取、存储和整合个体或群体解决问题的经验和行为,因此,当将文化算法应用于全局优化问题时,被接受的信仰将被视为约束条件,这样,约束条件将直接影响到搜索过程,因此信仰空间设计的好坏将直接影响到优化的性能和效率.本文将信仰空间划分为4种知识源,并针对进化规划的特点,详细分析和设计了不同的影响因子用来动态调节各种知识源在进化过程的所起的作用,具体设计如下:1)情形知识　情形知识包含进化过程中所发现的最好个体E ,它是其他个体所要跟随的领头个体,使得情形知识能决定群体空间进化的方向和步长,它对群体空间进化的影响可设计为x ′,j =x ,j +(x ,j j )N ,j (,)x ,j <jx ,j (x ,j j )N ,j (,)x ,j >jx ,j +λ(x ,j j )N ,j (,)其他59增刊(I )刘升,等:一种求解复杂约束优化问题的文化算法设计i i i -E i 01i E i -i -E i 01i E i i -E i 01式中,x i ,j 为群体空间中第i 个个体的第j 个决策变量;E j 为最好个体E 的第j 个决策分量;N i ,j (0,1)是依据群体空间的特点所设计的一个满足一维正态分布的随机数,目的是使子代能更好地接近所发现的最好点,情形知识的更新可以用当前所发现的最好个体x bes t 去代替所存储的个体E ,当且仅当x best 比E 更好;λ为一个常量,推荐取值为013[9].2)规范化知识　用来表示最好解的参数范围,包含目前已发现的最好解中各决策变量所在的区间,目的是使新的解朝这些区间变化,因此,规范知识可以用图2所示的结构来表示.l 1u 1l 2u 2…l n u n L 1U 1L 2U 2…L n U n d m 1d m 2…d m n图2　规范化知识的数据结构 图2中,l j ,u j 分别表示第j 个决策变量定义域的下限和上限;L j 表示下限l j 对应的目标函数的适应值;U j 表示上限u j 对应的目标函数的适应值.d m j 为规范知识中的比例因子,用来调节群体空间进化的变异算子,规范化知识对群体空间进化的影响规则可描述如下:x ′i ,j =x i ,j +(u j -l j )N i ,j (0,1) x i ,j <l j x i ,j -(u j -l j )N i ,j (0,1) x i ,j >u j x i ,j +u j -l j d m j (u j -l j )N i ,j (-1,1)　其他规范化知识的更新可以减小和扩大存储在其中的参数区间范围,当一个被接受的个体不在当前区间图3　地形知识数据结构范围时,可以扩大区间范围,反之,当所有被接受的个体都在当前区间范围时,可以相应减小区间范围,d m j可根据前几代依据u i -l i 所得到的值进行相应的更新.3)地形知识　地形知识的作用是创建一幅在进化过程中适应值的地貌图,它包含一系列细胞,每一个细胞中可找到最好的个体,并可依据细胞中最好个体适应值的大小得到一张最好细胞排序表.对于多维的地形知识结构,在设计时采用k -d 树或k 维二叉树来表示,如图3所示.在k 维二叉树中,每一个结点最多只有2个孩子,每个结点的数据结构如图4所示.包括各决策变量区间的下限和上限、其间的最好解和指向其孩子的指针.由于地形知识已标记了每一步的已知值,这样就可以检测到是否有变化的事件发生.区间下限(l 1,l 2,…,l n )区间上限(u 1,u 2,…,u n )最优解(x 1,x 2,…,x n )指向孩子的指针:null 图4　每个结点的数据结构如果一个个体的适应值比细胞中以前的最好解的适应值更好,并且树的深度没有达到最大值时,可将该细胞一分为二,新产生的细胞将给予标记,同时将得到的结果去更新最好细胞排序表,从而使地形知识得到更新.地形知识对群体空间进化的作用是使孩子趋向于最好细胞排序表中的任何一个细胞,可表示为x ′i ,j =x i ,j +(u c ,j -l c ,j )N i ,j (0,1)　x i ,j <l c ,j x i ,j -(u c ,j -l c ,j )N i ,j (0,1)　x i ,j >u c ,jx i ,j +(u c ,j -l c ,j )N i ,j (0,1)其他式中,l c ,j ,u c ,j 为细胞c 的下限和上限,细胞c 可随机从最好细胞排序表中选取.4)历史知识　其主要作用是用来当优化陷入局部最优的情况下调整偏移距离和方向,其结构表示如图5所示,表中存放环境变化前的优秀个体,其存放的最大数量为w ,其中e i 表示第i 次环境变化之前所得到的最好个体,d s j 是第j 个决策变量的平均偏移距离,d r j则表示平均偏移方向.…………图5　历史知识的结构69东南大学学报(自然科学版)第36卷e 1e i e w d s1d s 2d s n d r 1d r 2d r n 历史知识对群体空间进化的影响函数可描述为x ′i ,j =ex j +d r j random (0,1)α%的概率ex j +d s j random(-115,115)β%的概率random (l j ,u j )φ%的概率d s j =∑w -1k =1e k+1x j -e k x j w -1;d r j =sgn ∑w-1k =1sgn(e k+1x j -e k x j )式中,x ′i ,j 为新产生的第i 个个体的第j 个决策变量;ex j 为以前存储在历史知识中最好个体e 的第j 个决策变量;random (-115,115)是在[-115,115]范围内均匀产生的随机数,在这里可采用轮盘赌的方法来决定新产生的个体如何偏移;α%的概率为方向的偏移;β%的概率为距离的偏移;φ%的概率为在[l j ,u j ]范围随机产生.根据经验,α%、β%和φ%被分别推荐为45%、45%和10%[10].3　仿真实验与结果分析为验证所研究算法的有效性,本文以文献[11]给出的基准非线性优化问题为例进行了仿真研究,该问题的主要特征是:一个凸的目标函数受约束于一个非线性的不等式约束,该问题同样是一个多峰函数优化问题,其描述如下:min Z =-12x -7y +y 2s.t.0≤x ≤2,0≤y ≤3,y ≤-2x 4+2实验使用的参数如下:初始的种群数p =50,最大的迭代代数为200,k -d 树的最大深度为12;历史知识的表的大小w =5,α=β=0145,φ=0110,程序运行100次,每次当找到满意解(Z <-1617)或迭代代数达到200时程序停止.程序运行示例如图6所示,将得到的结果和文献[11]及Classical EP 方法得到的结果进行了比较,如表1所示.表1　算法运行结果统计比较算法(每个运行100次)平均迭代次数迭代次数的标准偏差C las sical EP>40>30Hierarchical Archit ecture m odel >8161>2162本文研究的算法>812>2155图6　程序运行示例 实验结果表明:所改进的算法不仅能处理非线性优化问题,而且具有较好的性能,与Classical EP 方法需要平均迭代40次以上才能得到满意的解相比,改进的算法平均迭代次数只需要812次,且标准偏差为2155,与文献[11]的H ierarchical Architecture model 方法相比,平均迭代次数和标准偏差分别降低了4176%和2167%.所有这些说明,通过设计适当的机制去获取、提炼和充分利用约束知识,对进化算法来说非常重要.4　结　语本文依据文化算法的主要特点,分析和设计了一种基于进化规划的文化算法,在求解复杂的约束优化问题方面,该算法在花费相当低的计算代价的情况下取得了较好的结果,这说明合适地利用领域知识可以改善进化算法的性能,同样,为达到问题的全局优化,算法也可在进化过程中提取领域知识,并用它来指导进化搜索,这和传统的进化算法形成了明显的对比.当然,还需要进一步完善该算法,将来工作的主要方向是对各种知识在进化过程中的相互作用进一步进行分析,充分设计和利用好信仰空间的各种知识源,提高种群的多样性79增刊(I )刘升,等:一种求解复杂约束优化问题的文化算法设计.89东南大学学报(自然科学版)第36卷参考文献(References)[1]Hu X,Shi Y,Eberhart R C.Recent advance in particle s warm[C]//Pro ceed ings o f th e2004Congress on Evo lu tionary Compu tation.Piscataway,N J:IEEE Press,2004:90-97.[2]Fogel L J.Arti ficia1intellig en ce through simulate ev olutio n[M].New Y ork:John W iley&S ons,1999:1362146.[3]Reyn olds R G.An introduction to cultural alg ory thms[C]//Sebald A V,F og el L J,eds.Pro c o f the3rd Annual Con f on Ev olutionProgramming.Riv er E dge,New Jersey:W orld Scientific Pub lish,1994:131-139.[4]Reyn olds R G,Z hu Shin in.K no wledge2based function optimizati on usin g f u zzy cultural alg orithms w ith ev olu ti 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多目标约束优化问题求解算法研究在现实世界中，我们往往需要在满足多个目标的情况下做出最优的决策。

例如，一个工程项目需要同时考虑成本和效益，一个团队需要同时平衡成员的工作负担和团队的工作进度等等。

这种情况下，我们往往需要使用多目标优化来求解问题。

多目标优化问题与单目标优化问题最大的不同在于，它需要考虑多个目标同时最优化，而不是仅优化一个目标。

这就导致了答案并不唯一，而是一个被称为“非支配解”的解集。

具体来说，一个解被称为非支配解，只有当它在所有目标上都至少不劣于所有其他解时才成立。

因此，我们需要设计一些算法来求解多目标优化问题。

这些算法通常被称为多目标优化算法。

在此，我们将介绍一些常见的多目标优化算法。

1.加权和法加权和法是最简单的多目标优化算法之一。

它的思路很简单：对于每个目标，我们都给它一个权重。

然后，将每个解在每个目标上得分后乘上对应权重，将得到一个加权和。

最后，我们将所有加权和加起来，得到这个解的最终得分。

尽管加权和法很容易就能实现，但它存在着一些问题。

例如，它假设每个目标的权重是固定不变的。

同时，它也无法处理非支配解的情况。

2.格点法格点法是另一种常见的多目标优化算法。

它的主要思路是将每个目标转化成网格上的坐标轴。

然后，我们遍历整个坐标网格，并找到所有非支配解。

这些解不会被其他解支配，因此被称为非支配解。

尽管格点法比加权和法更复杂，但它可以处理非支配解的情况。

同时，它也可以处理一个目标被优化的情况。

然而，格点法也存在着一些问题。

例如，它假设每个目标都必须具有相同的重要性。

同时，由于它是基于网格的，它可能会错过一些解。

3.进化算法进化算法是一种基于进化过程的多目标优化算法。

它的基本思想是将每个解视为某个种群的一员，并使用自然选择等原理来不断“进化”每个种群。

进化算法的优点在于，它可以处理离散的解，例如组合优化问题。

同时，进化算法还可以处理含有数百个甚至数千个变量的问题。

尽管进化算法很强大，但它也存在一些问题。