最优化问题的约束条件处理方法

拉格朗日法求解带约束条件的最优模型拉格朗日法是一种常用的数学方法，用于求解带有约束条件的最优化问题。

在实际问题中，我们经常会遇到需要在满足一定条件下寻找最大值或最小值的情况。

拉格朗日法通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将带约束条件的最优化问题转化为无约束条件的最优化问题，进而求解最优解。

我们考虑一个简单的示例问题，假设有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^2，我们希望在约束条件 g(x, y) = x + y = 1 下，求函数 f(x, y) 的最小值。

使用拉格朗日法求解这个问题的步骤如下：1. 建立拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子。

2. 求解拉格朗日函数的偏导数：∂L/∂x = 2x + λ∂L/∂y = 2y + λ∂L/∂λ = x + y - 13. 令偏导数等于零，并联立求解方程组：2x + λ = 02y + λ = 0x + y - 1 = 0解方程组得到 x = 1/2，y = 1/2，λ = -1。

4. 将求得的 x，y 值代入原函数 f(x, y) 中，得到最小值为f(1/2, 1/2) = 1/2。

通过以上步骤，我们成功使用拉格朗日法求解了带有约束条件的最优化问题。

当然，在实际问题中，可能会存在更复杂的约束条件和目标函数，但求解的思路是相似的。

除了上述示例问题外，拉格朗日法还可以应用于其他类型的问题，如带有多个约束条件的问题、非线性约束条件的问题等。

对于带有多个约束条件的问题，可以使用多个拉格朗日乘子，将每个约束条件转化为目标函数的一部分，并求解相应的偏导数方程组。

对于非线性约束条件的问题，可以使用约束条件的梯度向量与拉格朗日乘子的线性组合来建立拉格朗日函数。

拉格朗日法是一种强大的数学工具，可以帮助我们求解带有约束条件的最优化问题。

通过建立拉格朗日函数，引入拉格朗日乘子，并求解相应的方程组，我们可以得到最优解。

可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。

数学优化与约束条件的求解数学优化是数学的一个重要分支，它研究如何在给定的条件下找到一个最优解。

在现实生活中，我们经常需要解决一些最优化问题，例如如何在一定的资源约束下最大化利润，或者如何在一定的时间约束下找到最短路径等等。

为了解决这些问题，我们需要使用数学工具和方法，其中约束条件是一个重要的考虑因素。

一、数学优化的基本概念数学优化是通过建立数学模型来描述实际问题，并在一定的约束条件下求解最优解。

其基本概念包括目标函数、决策变量和约束条件。

目标函数是我们希望最大化或最小化的量，通常用一个数学函数表示。

例如，如果我们想要最大化利润，那么利润就是目标函数。

决策变量是我们需要做出决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。

例如，如果我们希望最大化利润，那么决策变量可能包括生产数量、销售价格等。

约束条件是对决策变量的限制条件，它们反映了现实生活中的实际情况。

例如，生产数量不能超过设备的容量，销售价格必须大于成本等。

二、数学优化的常用方法对于数学优化问题的求解，常用的方法包括可行解法、线性规划法、非线性规划法等。

可行解法是最简单的方法，它通过枚举所有可能的解并逐个验证是否满足约束条件，然后找到其中的最优解。

然而，对于复杂的问题而言，可行解法往往不切实际。

线性规划法是常用的求解数学优化问题的方法之一，它假设目标函数和约束条件都是线性的。

线性规划法通过构建一个线性规划模型，并应用线性规划算法来求解最优解。

这种方法的优点是计算效率高，对于线性问题有较好的适用性。

非线性规划法则用于解决目标函数和/或约束条件为非线性的问题。

非线性规划法一般包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法的基本思想是通过迭代计算来逐步逼近最优解，直到满足一定的停止准则。

三、约束条件的求解方法约束条件在数学优化问题中起着重要的作用，它们限制了决策变量的取值范围。

对于线性规划问题，约束条件通常采用等式或者不等式的形式表示。

而对于非线性规划问题，约束条件往往比较复杂，可能涉及到多个变量之间的关系。

当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)

x2 1

x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)

x2 1

x2 2

rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和

* * T * * * T * (1* , 2 ,, m ) 和 * ( 1 , 2 ,, m ) 使 Kuhn-Tucker 条 件 (9-6) 成 立 ，
且 对 满 足 下 述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三 条 件 的 任 意 非 零 向 量 z 有 (9-10) 成 立 ， 则 x* 是 问 题 (9-1) 的 严 格 局 部 极 小 点 ．
(1)
H ，定义集合
I ( x (1) ) {i g i ( x (1) ) 0,1 i l}
(1) x 为 点所有起作用约束的下标的集合．
可行下降方向的判定条件
g j ( x ) d 0 ( j I ( x ))
(1) T (1)
f ( x
(1)
) d 0
T
*
* j
必为零，在运用 K-T 条件求 K-T 点时，利用这一点可 以大大 地简化计算，另 外还要把约束条 件都加上．
2．求满足Kuhn-Tucker条件的点
例 9-1 求下列非线性规划问题的 Kuhn-Tucker 点．
min f ( x) 2x 2x1x2 x 10x1 10x2
线性无关．
若
* x* 是 (9-1) 的局部最优解，则比存在 * (1* , 2 ,, l* )T 和向量
* * T * (1* , 2 ,, m ) ，使下述条件成 立：
l m * * * * * f ( x ) j g j ( x ) i hi ( x ) 0 j 1 i 1 * * j g j ( x ) 0, j 1, 2, , l * j 0, i 1, 2, , l
2 1 2 2

在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。

这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。

常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。

等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。

数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。

2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。

最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。

根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。

常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。

2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。

3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。

4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。

5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。

在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。

通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。

约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。

以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。

2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。

3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。

4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。

5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。

6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。

7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。

8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。

这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。

第六章 约束最优化方法
6.1 Kuhn-Tucker 条件
一、等式约束性问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y) 在ф(x,y)=0 条件下的极 值。 即 min f(x,y) S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ
充要条件是
⎧ min ∇ f ( x ) T d ⎪ A 1d ≥ 0 ⎪ ⎨ Ed = 0 ⎪ ⎪ | d j |≤ 1 , j = 1 , L n ⎩ 0。
的目标函数最优值为
第六章
6.2 既约梯度法
显 然 d = 0 是 可 行 解 , 所 以 P1的 最 优 值 必 ≤ 0 。 1 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 < 0 , 则 d 为 ( P )的 下 降 可 行 方 向 ； 2 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 = 0， 则 x 为 K − T 点 。 < 确定一维搜索的步长： 设 x( k )是 可 行 解 , d ( k ) 为 下 降 可 行 方 向 , 求 λ k 使 x( k + 1 ) = x( k ) + λ k d ( k ) . ⎧ m in f ( x( k ) + λ d ( k ) ) ⎪ ⎪ s .t . A ( x( k ) + λ d ( k ) ) ≥ b λk满 足 : ⎨ ⎪ E ( x( k ) + λ d ( k ) ) = e ⎪ ⎩ λ ≥ 0 $ = b − A x( k ) , d $ = A d (k), 显 然 b $ < 0. 令b 2 2 2 利 用 定 理 1可 得 λ 的 上 限 λ m a x $i ⎧ b $ i < 0} ⎪ m in { $ | d = ⎨ di ⎪ +∞ ⎩ $< 0 d $≥ 0 d

约束条件下的最优化问题约束条件下的最优化问题是数学和工程领域中的常见问题之一。

在这类问题中，我们需要找到一个满足一系列给定约束条件的最优解。

这类问题可以在多个领域中找到应用，包括经济学、物理学、工程学和计算机科学。

在解决约束条件下的最优化问题时，我们需要首先定义目标函数。

目标函数可以是一个需要最小化或最大化的数值指标。

我们需要确定约束条件，这些约束条件可能是等式或不等式。

约束条件反映了问题的实际限制，我们需要在满足这些限制的情况下找到最优解。

在解决这类问题时，一个常用的方法是使用拉格朗日乘子法。

这种方法基于拉格朗日函数的最优性条件，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数中。

通过对拉格朗日函数进行求导，并解方程组可以找到满足约束条件的最优解。

在实践中，约束条件下的最优化问题可能会面临多个挑战。

问题的约束条件可能会很复杂，涉及多个变量和多个限制。

解决这些问题需要使用不同的数学工具和技巧。

问题的目标函数可能是非线性的，这使得求解过程更加复杂。

有时候问题可能会存在多个局部最优解，而不是一个全局最优解。

这就需要使用适当的算法来寻找全局最优解。

解决约束条件下的最优化问题有着重要的理论和实际价值。

在理论上，它为我们提供了了解优化问题的深入洞察和数学分析的机会。

在应用上，它可以帮助我们在现实世界中优化资源分配、最大化利润、降低成本等。

在工程领域中，我们可以使用最优化方法来设计高效的电路、最小化材料使用或最大化系统性能。

在总结上述讨论时，约束条件下的最优化问题是在特定约束条件下寻找最优解的问题。

通过使用拉格朗日乘子法和其他数学工具，我们可以解决这些问题并找到最优解。

尽管这类问题可能会面临一些挑战，但解决这些问题具有重要的理论和实际应用。

通过深入研究和理解约束条件下的最优化问题，我们可以在不同领域中做出更优化的决策，实现更有效的资源利用和更优秀的结果。

参考文献：1. Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical optimization. Springer Science & Business Media.2. Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization. Cambridge university press.3. Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., & Shetty, C. M. (2013). Nonlinear programming: theory and algorithms. John Wiley & Sons.个人观点和理解：约束条件下的最优化问题在现实生活中起着重要的作用。

不等式约束的最优化问题1. 引言不等式约束的最优化问题是数学领域中一类常见且重要的问题。

在实际生活和工程应用中，很多问题都可以转化为最优化问题，其中包含了一些约束条件，这些约束条件可以用不等式的形式表示。

本文将从理论和应用两个方面综合讨论不等式约束的最优化问题。

2. 理论基础2.1 最优化问题的定义最优化问题是指在满足一定的约束条件下，寻找使得目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。

最优化问题可以分为有约束和无约束两种情况，本文主要讨论带有不等式约束的最优化问题。

2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是解决带有等式约束的最优化问题的重要方法，然而对于带有不等式约束的问题，拉格朗日乘子法并不适用。

取而代之的是KKT条件，即Karush–Kuhn–Tucker条件。

2.3 KKT条件KKT条件是带有不等式约束的最优化问题的解的必要条件。

KKT条件包括了原问题的约束条件和原问题的一阶和二阶必要条件。

利用KKT条件，可以将不等式约束的最优化问题转化为无约束最优化问题，从而求解出问题的最优解。

3. 解决方法3.1 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，可以用于求解无约束和有约束的最优化问题。

对于带有不等式约束的问题，可以通过将约束条件变形为罚函数的形式，从而将其转化为无约束的问题。

梯度下降法的基本思想是根据目标函数的梯度信息不断迭代更新变量的取值，使得目标函数逐渐趋近于最优解。

3.2 内点法内点法是求解带有不等式约束的最优化问题的一种高效算法。

内点法的基本思想是通过不断向可行域的内部靠近，逐渐找到问题的最优解。

内点法具有较好的收敛性和稳定性，在实际应用中使用较为广泛。

3.3 割平面法割平面法是一种用于求解带有不等式约束的整数优化问题的有效方法。

割平面法的主要思想是通过逐步添加割平面，将原问题分解为一系列子问题，利用线性规划算法求解。

割平面法可以有效地提高整数规划问题的求解效率。

4. 应用领域4.1 金融领域在金融领域中，不等式约束的最优化问题被广泛应用于投资组合优化、风险管理等方面。

拉格朗日乘数法等式约束拉格朗日乘数法是数学中的一种优化方法，可以在等式约束条件下求解最优化问题。

它由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于经济学、物理学、工程学以及其他领域。

在许多最优化问题中，我们常常需要满足一些等式约束条件。

比如，在生产一种商品时，企业需要考虑生产成本、市场需求以及各种限制条件，如原材料的供应量等等。

在这些情况下，我们往往需要在满足约束条件的前提下，使得生产成本最小或者市场利润最大。

拉格朗日乘数法的基本思想是将约束条件引入到原始问题的目标函数中，通过引入拉格朗日乘子，将等式约束条件转化为目标函数的一部分。

这样，在求解最优化问题时，我们可以将原问题转化为求解一个无约束条件的问题。

这个无约束问题可以通过对目标函数进行微分来求解，得到一组函数方程，再通过求解这组方程，可以得到最优解。

通过拉格朗日乘数法，我们能够将原问题的复杂约束条件转化为一个简单的无约束问题，并通过解析求解的方法来找到最优解。

这种方法不仅能够在经济学、物理学等领域中对最优化问题进行求解，还能在实际生活中的决策问题中发挥重要作用。

举个例子，我们来看一个简单的最优化问题：如何分配时间来平衡学习和娱乐？假设一个学生希望在保证学习时间和娱乐时间之和为固定值的情况下，最大化他的学习成绩。

我们可以用拉格朗日乘数法来解决这个问题。

我们假设学生每天把x小时用于学习，y小时用于娱乐。

我们的目标是最大化学习成绩，即最大化某个函数f(x, y)。

但是我们还有一个约束条件，即学习时间和娱乐时间之和为常数c。

利用拉格朗日乘数法，我们可以通过构建一个拉格朗日函数L(x, y, λ)来解决这个问题。

这里的λ就是我们引入的拉格朗日乘子，用于处理约束条件。

通过对L(x, y, λ)进行微分，并令其等于0，我们可以得到一组方程，包括目标函数和约束条件。

通过求解这组方程，我们可以找到最优解，即学生应该分配多少时间用于学习和娱乐。

不等式约束条件的最优化问题概述在数学和经济学等领域中，最优化问题是一个常见的研究课题。

在解决最优化问题时，我们通常会面临各种约束条件，其中一种常见的约束条件是不等式约束条件。

本文将深入探讨不等式约束条件的最优化问题，包括其定义、求解方法以及应用领域等。

定义不等式约束条件的最优化问题是指在一组不等式条件下，寻找使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

不等式约束条件可以是单个不等式，也可以是多个不等式的组合。

一般来说，最优化问题可以分为线性最优化问题和非线性最优化问题，而不等式约束条件可以存在于两种类型的最优化问题中。

线性不等式约束条件的最优化问题求解方法线性不等式约束条件的最优化问题可以通过线性规划方法求解。

线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优化问题。

在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的，可以用线性代数的方法进行求解。

线性不等式约束条件的最优化问题可以通过单纯形法、内点法等方法进行求解。

单纯形法是一种基于顶点的搜索算法，通过不断移动顶点以搜索最优解。

内点法是另一种常用的求解线性规划问题的方法，它通过将问题转化为一个等价的无约束问题来求解。

应用领域线性不等式约束条件的最优化问题在实际应用中具有广泛的应用。

例如，在生产计划中，我们常常需要在一组资源有限的条件下，最大化产出或最小化成本。

在供应链管理中，我们需要在供应商、生产能力、运输成本等多个因素的约束下，优化供应链的效率和利润。

线性不等式约束条件的最优化问题也在金融投资、交通规划等领域中得到广泛应用。

非线性不等式约束条件的最优化问题求解方法非线性不等式约束条件的最优化问题相对复杂，求解方法也更加多样化。

常见的求解方法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法通常需要对目标函数进行求导或近似求导，以找到函数的极值点。

应用领域非线性不等式约束条件的最优化问题在实际应用中也非常常见。

例如，在机器学习和人工智能领域中，我们常常需要通过调整模型参数来最小化损失函数，以提高模型的准确性。

最优化问题中的约束条件与松弛优化问题在现代科技和生活中扮演着至关重要的角色。

最优化问题将一些决策变量的取值与某个目标函数联系起来，希望能够找到一组取值，使得目标函数最大化或最小化。

然而，在实际应用中，不同因素之间常常存在着各种约束条件。

约束条件有效地限制了决策变量的取值范围，这为寻找最优解带来了挑战。

例如，假设我们要在一段时间内最大化某个工厂的产量。

一些决策变量，比如机器的加工速度和员工的调度安排，会对产量产生影响。

同时，我们必须限制工厂能够使用的机器数量和员工数量。

我们不能简单地让所有机器都以最大速度运转，或者让所有员工都在同一时间工作。

这是一个典型的最优化问题中的约束条件。

在数学术语中，约束条件可以写为一组方程或不等式。

总体而言，约束条件将最优解空间约束在一定范围内。

这意味着我们需要寻找到在目标函数最优化的同时，满足所有约束条件的最优解。

这是一个挑战性的问题。

为了解决这个问题，研究者们发展了一系列技术和方法。

我们在这里介绍其中的一种：松弛约束方法。

这种方法在最优化问题中经常被使用。

松弛条件方法的核心思想是将约束条件转换为目标函数的一部分。

许多约束条件可以通过引入新的变量来表示，这些变量就是松弛变量。

通过定义一个适当的目标函数，我们可以在寻找最优解的同时，考虑这些松弛变量。

例如，我们考虑一个二元非线性规划问题：maximize f(x,y)subject tox^2 + y^2 <= 1x, y >= 0这个问题的目标函数是f(x,y)，它是x和y的函数，并希望最大化f(x,y)。

约束条件定义了可行解的空间，其中x和y都必须大于或等于0，并且它们的平方和不超过1。

首先，我们可以使用一个松弛变量s，将平方和约束条件转化为以下约束条件：x^2 + y^2 + s = 1s >= 0这里的s是一个新的决策变量，因此我们需要定义一个新的目标函数。

考虑将目标函数f(x,y)与松弛变量s的线性组合相加。

迭代，产生的极值点 xk*(r(k))
4
序列从可行域外部趋向原目标
函数的约束最优点 x* 。
外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
二. 惩罚函数的形式：
m
l
( x, r) f ( x) r max[0, gi ( x)]2 r [hj ( x)]2
i1
j1
• 惩罚因子rk 是递增的，rk1 a rk ，a为递增系数，a 1
惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭 代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。
加权因子（即惩罚因子）： r1 , r2
无约束优化问题：min . (x, r1, r2 )
Φ函数的极小点序列 x (k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2…
其收敛必须满足：
这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和 G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多 维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
§4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想： 内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚
六. 举例：盖板问题
设计一个箱形截面的盖板。 已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm， h 侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高 度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
tf ts
b
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
f (x) r1G[gu (x)] r2 H[hv (x)]

第八章 约束最优化方法无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。

但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束最优化方法。

由于约束最优化问题的复杂性，无论是在理论方面的研究，还是实际中的应用都有很大的难度。

目前关于一般的约束最优化问题还没有一种普遍有效的算法。

本书重点介绍几种常用的算法，力求使读者对这类问题的求解思路有一个了解。

8.1 约束优化方法概述一、约束优化问题的类型根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下： 1）等式约束优化问题 考虑问题l1,2,...,j x h t s x f j ==0)(..)(min其中，l 1,2,...,j x h x f j =),(),(为R R n→上的函数。

记为)(fh 问题。

2）不等式约束优化问题 考虑问题m1,2,...,i x g t s x f i =≤0)(..)(min其中，m 1,2,...,i x g x f i =),(),(为R R n→上的函数。

记为)(fg 问题。

3）一般约束优化问题()()()⎩⎨⎧===≤l ,1,2,j x h m ,1,2,i x g t s x f j i L L 00..min其中，l 1,2,...,j m i x h x g x f j i ==;,2,1),(),(),(L 为R R n→上的函数。

记为)(fgh 问题。

二、约束优化方法的分类约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。

1）直接法只能求解不等式约束优化问题的最优解。

其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。

如：约束坐标轮换法、复合形法等。

其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。

搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。

可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足m i x g i ,...,2,1,0)(=≤适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点的目标函数值是下降的，即满足)()()()1(k k x F x F <+2）间接法该方法可以求解不等式约束优化问题、等式约束优化问题和一般约束优化问题。

等式约束优化问题的求解方法等式约束优化问题是一类重要的数学问题。

它的求解方法在多个领域中得到广泛应用，如机器学习、运筹学、经济学等。

本文将介绍几种常见的求解等式约束优化问题的方法。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解等式约束优化问题的经典方法之一。

设等式约束为f(x)=0，目标函数为g(x)，则拉格朗日函数为：L(x,λ)=g(x)+λf(x)其中，λ称为拉格朗日乘子。

根据最优化问题的求解原理，若x*为最优解，则存在一个λ*使得L(x*,λ*)取最小值。

我们可以通过对L(x,λ)求偏导数，然后令它们等于0，得到x*和λ*的值。

具体来说，求解过程如下：1. 求g(x)的梯度，令其等于λf(x)的梯度，即：∇g(x*)=λ*∇f(x*)2. 求f(x)的值，令其等于0，即：f(x*)=03. 代入公式，解出λ*。

4. 代入公式，解出x*。

值得注意的是，拉格朗日乘数法求解等式约束优化问题的前提是强可行性条件成立，即在f(x)=0的前提下，g(x)的最小值存在。

二、牛顿法牛顿法也是一种常用的求解等式约束优化问题的方法。

它的思路是利用二阶导数信息迭代地逼近最优解。

具体来说，求解过程如下：1. 初始化x0。

2. 计算g(x)和f(x)的一阶和二阶导数。

3. 利用二阶导数信息，优化一个二次模型，即：min{g(x)+∇g(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)^TH(x-x0)} s.t. f(x)=0其中H是目标函数g(x)的海塞矩阵。

4. 求解约束最小二乘问题的解x*，即为下一轮的迭代结果。

5. 判断是否满足终止条件。

若满足，则停止迭代，输出结果。

否则，返回第2步。

牛顿法比拉格朗日乘数法更加高效，但是它不保证每次迭代都能收敛到最优解。

三、序列二次规划算法序列二次规划算法是一种求解等式约束优化问题的黑箱算法。

其主要思路是将目标函数g(x)的二次型模型转化为约束最小二乘问题。

这个约束最小二乘问题可以通过牛顿法来求解。

g1 ( x ) x1 x2 4,
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，