上海高考数学试题完整含解析

全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0 的x 的取值范围是 . 【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线3y x a=+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。

上海市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，，且交于点，，则（）A．B．C．D．第(2)题有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是A．B．C．D．第(3)题已知向量，，则（）A．B．C．D．第(4)题将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8第(5)题执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知直三棱柱A．B．C．D．第(7)题已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（）A．B．0C．1D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．用二分法求函数在内的零点近似解时，在运算过程中得到，，，则可以将看成零点的近似值，且此时误差小于C．甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，有种不同的坐法D．已知为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，则点坐标为第(2)题《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列说法正确的是（）A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑”．B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线、、相交于一点．C．四棱锥体积的最大值为．D．若是线段上一动点，则与所成角的最大值为．第(3)题下列函数中最小值为2的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，若，则的最大值为____________第(2)题若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________．第(3)题若函数的导函数为，且满足，则_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.第(2)题某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率．（视频率为概率）第(3)题已知函数.(1)讨论函数在上的单调性；(2)求证：.第(4)题已知函数.（1）若轴为曲线的切线，试求实数的值；（2）已知，若对任意实数，均有，求的取值范围.第(5)题将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．。

2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位），则12z z += ．【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：1234z z i+=+【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 I A B = 【思路分析】求出集合A ，再求出A B I【解析】：{}1212A x x x x ìü=≤=≤íýîþ，所以{}1,0I A B =-【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标【解析】：22240x y x y +--=可以化为22125x y -+-=（）（）所以圆心为(1,2)【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．4、如图边长为3的正方形,ABCD 则u u u r u u u rAB AC ⋅= 【思路分析】利用向量投影转化到边上.【解析】方法一：2=9u u u r u u u r u u u r AB AC AB ⋅=方法二：由已知||3AB =u u u r ，||AC =u u u r ，,4AC AB p<>=u u u r u u u r ，则39AB AC ⋅=´=u u u r u u u r ；【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意，得原函数的定义域为：(,0)(0,)-¥+¥U ，结合反函数的定义，得312x=+，解得3x =-，所以，1(1)3f -=-；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．6.已知二项式()5x a +的展开式中，2x 的系数为80，则a =________．【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】5331553,80,2r r r r T C a x r C a a -+=⇒===【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。

高考数学试题上海题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞)，则该函数的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，其最小值为-1，因此值域为[-1, +∞)。

由于值域为[0, +∞)，所以函数的零点个数为2。

2. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z| = √2，且z的实部与虚部的和为0，则a和b的值分别为：A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案：A解析：由|z| = √2，得√(a^2 + b^2) = √2，即a^2 + b^2 = 2。

又因为z的实部与虚部的和为0，即a + b = 0。

解得a = 1, b = -1。

3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 0B. 1D. √2答案：B解析：直线的倾斜角为45°，根据斜率的定义，斜率k = tan(45°) = 1。

4. 若向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。

5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象是开口向上的抛物线，且f(1) = f(3)，则该函数的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：由于抛物线开口向上，且f(1) = f(3)，根据抛物线的对称性，对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。

6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_3 = 7，S_6 = 28，则该数列的公比q为：B. 4C. 3D. 1/2答案：A解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7，S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。

理数高考试题答案及解析-上海亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题 1．计算：3-i=1+i （ i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i) 2-4i= = =1-2i1+i (1+i)(1-i) 2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可. 2．若集合 } 0 1 2 | { + = x x A ， } 2 | 1 || { = x x B ，则 = B A . 【答案】3 ,21 【解析】根据集合 A 2 1 0 x+ ，解得12x ，由 1 2, , 1 3 x x 得到，所以 = 3 ,21B A . 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数 1 sincos 2) (= xxx f 的值域是 . 【答案】 23,25 【解析】根据题目 2 2 sin212 cos sin ) ( = = x x x x f ，因为1 2 sin 1 x ，所以23) (25 x f . 【点评】本题主要考查1/ 18行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若 ) 1 , 2 ( = n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】 2 arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则 2 arctan , 2 tan = = . 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx 的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 3 3 34 62C ( ) 160 T xx= = . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 6．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nV V V2 1，则= + + + ) ( lim2 1 nnV V V . 【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项，81为公比的等比数列，因此，788111) ( lim21== + + + nnV V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数| |) (a xe x f= （ a 为常数）.若 ) (x f 在区间 ) ,1 [ + 上是增函数，则 a 的取值范围是 . 【答案】 ( ] 1 , 【解析】根据函数,( ),x ax ax ae x af x ee x a += =看出当 a x 时函数增函数，而已知函数 ) (x f 在区间 [ ) + , 1上为增函数，所以 a 的取值范围为：( ] 1 , . 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r ，母线长为 l ，根据条件得到 2212=l ，解得母线长 2 = l ，1 , 2 2 = = = r l r 所以该圆锥的体积为：331 231S312 2= = = h V 圆锥 . 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知2) ( x x f y + = 是奇函数，且 1 ) 1 ( = f ，若 2 ) ( ) ( + = x f x g ，则 = ) 1 ( g . 【答案】 1 】【解析】因为函数2) ( x x f y + = 为奇函数，所以 , 3 ) 1 ( , 1 ) 1 ( , 2 ) 1 ( ) 1 ( = = + =g f f g 所以，又 1 2 3 2 ) 1 ( ) 1 ( , 3 ) 1 ( = + = + = = f g f . ( 1) (1). f f = 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 ) ( x f y = 为奇函数，所以有) ( ) ( x f x f = 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.3/ 1810．如图，在极坐标系中，过点 ) 0 , 2 ( M 的直线 l 与极轴的夹角 6 = ，若将 l 的极坐标方程写成 ) ( f = 的形式，则 = ) ( f . 【答案】)6sin(1 【解析】根据该直线过点 ) 0 , 2 ( M ，可以直接写出代数形式的方程为：) 2 (21 = x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1) (= f . 【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12．在平行四边形 ABCD 中，3= A ，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足| || || || |CDCNBCBM= ，则 AN AM 的取值范围是 . 【答案】 [ ] 5 , 2 【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1 , 2 = = AD AB ，所以 5 1(0,0), (2,0), ( ,1) ( ,1).2 2A B C D 设1 5 1 5 5 1 5 1 5 1( ,1)( ), , - , - , (2 ,( )sin ).2 2 2 2 4 2 8 4 4 2 3N x x BM CN CN x BM x M x x = = = + 则根据题意，有 )83 2 3 5,4 821( ), 1 , (x xAM x AN = = . 所以83 2 3 5)4 821(x xx AN AM+ = 2521x ，所以 2 5. AM AN 64224610 5 5 10ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13．已知函数 ) ( x f y = 的图象是折线段 ABC ，其中 ) 0 , 0 ( A 、 ) 5 ,21( B 、 ) 0 , 1 ( C ，函数 ) ( x xf y = （ 1 0 x ）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45 【解析】根据题意得到，110 ,02( )110 10, 12x xf xx x = + 从而得到22110 ,02( )110 10 , 12x xy xf xx x x = = +所以围成的面积为45) 10 10 ( 101212210= + + =dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， 2 = BC ，若 c AD 2 = ，且 a CD AC BD AB 2 = + = + ，其中 a 、 c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是 . 【答案】 1322 2 c a c 【解析】据题 a CD AC BD AB 2 = + = + ，也就是说，线段 CD AC BD AB + + 与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱 BC 互相垂直，当 ABD BC 平面时，此时有最大值，此时5/ 18最大值为：1322 2 c a c . 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20 分） 15．若 i 2 1+ 是关于 x 的实系数方程 02= + + c bx x 的一个复数根，则（） A． 3 , 2 = = c b B． 3 , 2 = = c b C． 1 , 2 = = c b D． 1 , 2= = c b 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点 1 2 i 也是该方程的另一个根，所以 b i i = = + + 2 2 1 2 1 ，即 2 =b ，c i i = = + 3 ) 2 1 )( 2 1 ( ，故答案选择 B. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在 ABC 中，若 C B A2 2 2sin sin sin + ，则 ABC的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C 【解析】由正弦定理，得 , sin2, sin2, sin2CRcBRbARa= = = 代入得到2 2 2a b c + ，由余弦定理的推理得2 2 2cos 02a b cCab+ = ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设44 3 2 110 10 xx x x ，5510 = x ，随机变量1 取值5 4 3 2 1x x x x x 、、、、的概率均为 2 . 0 ，随机变量2 取值2 2 2 2 21 5 5 4 4 3 3 2 21x x x x x x x x x x + + + + +、、、、的概率也均为 2 . 0 ，若记2 1 D D 、分别为2 1 、的方差，则（） A．2 1 D D B．2 1 D D = C．2 1 D D D．1 D 与2 D 的大小关系与4 3 2 1x x x x 、、、的取值有关【答案】 A 【解析】由随机变量2 1 , 的取值情况，它们的平均数分别为：1 1234 51( ),5x x x x x x = + + + + ，2 3 3 4 45 5 1 122 11,5 2 2 2 2 2x x x x x x x x x xx x+ + + + + = + + ++ =且随机变量 2 1 , 的概率都为 2 . 0 ，所以有 1 D ＞2 D . 故选择 A. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1 nna n = ，n na a a S + + + = 2 1，在100 2 1, , , S S S 中，正数的个数是（） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（74分）：19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 是7/ 18矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 2 = AB ， 2 2 = AD ， 2 = PA ，求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形 PCD 的面积为 3 2 3 2 221= ................6 分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．（6+8=14 分）已知函数 ) 1 lg( ) ( + = x x f ．（1）若 1 ) ( ) 2 1 ( 0 x f x f ，求 x 的取值范围；（2）若 ) ( x g 是以 2 为周期的偶函数，且当 1 0 x 时，有 ) ( ) ( x f x g = ，求函数 ) ( x g y = （ ] 2 , 1 [ x ）的反函数. 【答案及解析】，3132 x 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y = ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7 ．（1）当 5 . 0 = t 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1C ：1 22 2= y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为 1 的直线 l 交1C 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 12 2= + y x 相切，求证：OQ OP ；（3）设椭圆2C ：1 42 2= + y x ，若 M 、 N 分别是1C 、2C 上的动点，且 ON OM ，求证：O 到直线 MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点 A与渐近线 x y 2 = 平行的直线方程为22 , 2 1.2y x y x= + = +即 1 = ON ，22= OM ,则 O 到直线 MN 的距离为33. 设 O 到直线 MN 的距离为 d . 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 x y = ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题． 23．（4+6+8=18 分）对于数集 } 1 {2 1 nx x x X ，，，， = ，其中nx x x 2 10 ， 2 n ，定义向量集} , ), , ( |9/ 18{ X t X s t s a a Y = = ，若对任意 Y a 1，存在 Y a 2，使得02 1= a a ，则称 X 具有性质 P ．例如 } 2 , 1 , 1 { 具有性质P ．（1）若 2 x ，且 } , 2 , 1 , 1 { x 具有性质 P ，求 x 的值；（2）若 X 具有性质 P ，求证：X 1 ，且当 1 nx 时， 11= x ；（3）若 X 具有性质 P ，且 11= x 、 q x =2（ q 为常数），求有穷数列nx x x ，，， 2 1的通项公式. 【答案及解析】必有形式 ) , 1 ( b 显然有2a 满足 02 1= a a 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义 X 具有性质 P 这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

2023年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为　（1，3）　．【答案】（1，3）．【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝　4　．【答案】4．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），∴•＝﹣2×1+3×2＝4．故答案为：4．3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝　189　．【答案】189．【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．故答案为：189．4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝　﹣　．【答案】﹣．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为　[1，+∞）　．【答案】[1，+∞）．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．【答案】．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝ ．【答案】．【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cos A＝＝＝，又∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin A＝＝＝．故答案为：．9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为　946（亿元）　．【答案】946（亿元）．【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，∴，∴x+y＝473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．故答案为：946（亿元）．10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为　49　．【答案】49．【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为＝•2023r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，二项式（2023﹣x）100的通项为＝•2023100﹣r•（﹣1）r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，∴a k＝+＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a k＜0，则k为奇数，此时a k＝（2023k﹣2023100﹣k），∴2023k﹣2023100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　arccos　．【答案】arccos．【解答】解：斜坡的长度为l＝，上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，函数的导数y′＝＝，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos．12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有　9　种．【答案】9．【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E，当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3＝9种情况．故答案为：9．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3}【答案】A【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（ ）A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关【答案】C【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C．15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（ ）A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0【答案】D【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a＝，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知s a＞0，t a＞0，故A可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＞0，t a＜0，故C可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＜0，t a＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s a＜0，t a＞0．故选：D．16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【答案】B【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．【答案】（1）证明见解答；（2）arctan．【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A，∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1，∴直线A1B∥平面DCC1D1；（2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为＝36，∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，则A1E在底面ABCD内的射影为AE，∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E，故∠A1EA即为所求，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD＝＝，∴AE＝＝＝，又A1A＝h＝4，∴tan∠A1EA＝＝＝，∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan．18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数．（2）（，）∪（，+∞）．【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝＝x++1，要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵y＝x+是奇函数，y＝1是偶函数，∴函数f（x）＝x++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．（2）若函数过点（1，3），则f（1）＝＝＝3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，此时f（x）＝，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，即f（x）＝＝0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，则，得，得，即a＞，若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根，则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a＝或a＝﹣1，则实数a的取值范围是a＞且a≠且a≠﹣1，即（，）∪（，+∞）．19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．【答案】（1）P（A）＝，P（B）＝．P（B|A）＝．事件A和事件B不独立．（2）EX＝277（元）．【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）＝＝，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）＝＝＝．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）＝，则P（B|A）＝＝＝＝．∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不独立．（2）由题意知X＝600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P＝＝＝，外观和内饰都异色的概率P＝＝，仅外观或仅内饰同色的概率P＝1﹣﹣＝，∵＞＞，∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，则X的分布列为：X150300600P则EX＝150×+300×+600×＝277（元）．20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a ＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为，由题意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则，由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为；（3）如图，设，则，故直线AP的方程为，令x＝﹣3，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a m≤a m﹣1﹣2；（3）k＝3．【解答】解：（1）证明：，则过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令x＝0，可得y＝lna m﹣1﹣1，根据题意可知，a m＝lna m﹣1﹣1，即得证；（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则，易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）可知，a m＝lna m﹣1﹣1≤a m﹣1﹣1﹣1＝a m﹣1﹣2；（3）假设存在这样的k符合要求，由（2）可知，数列{a n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，由（1）可知，公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则，易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3，当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0，则存在，使得h（x0）＝0，于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列．综上，k＝3．。

绝密★启用前2023年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知P={1,2}，Q={2,3}，若M={x|x∈P,x∉Q}，则M=( )A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2,3}2.根据所示的散点图，下列说法正确的是( )A. 身高越大，体重越大B. 身高越大，体重越小C. 身高和体重成正相关D. 身高和体重成负相关3.已知a∈R，记y=sinx在[a,2a]的最小值为s a，在[2a,3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是( )A. s a>0，t a>0B. s a<0，t a<0C. s a>0，t a<0D. s a<0，t a>04.已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|⋅|MQ|=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( )A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立第II卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.不等式|x −2|<1的解集为______ ．6.已知向量a ⃗=(−2,3)，b ⃗⃗=(1,2)，则a ⃗⋅b⃗⃗= ______ ． 7.已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n 项和为S n ，则S 6= ______ ．8.已知tanα=3，则tan2α= ______ ．9.已知函数f(x)={1,x ≤0,2x ,x >0，则函数f(x)的值域为______ ． 10.已知复数z =1−i(i 为虚数单位)，则|1+iz|= ______ ．11.已知圆x 2+y 2−4x −m =0的面积为π，则m = ______ ．12.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a =4，b =5，c =6，则sinA = ______ ．13.现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP 为232(亿元)，第四季度GDP 为241(亿元)，四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为______ ．14.已知(1+2023x)100+(2023−x)100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 99x 99+a 100x 100，若存在k ∈{0,1,2,⋯,100}使得a k <0，则k 的最大值为______ ．15.某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ.行人每沿着斜坡向上走1m 消耗的体力为(1.025−cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ= ______ ．16.空间中有三个点A 、B 、C ，且AB =BC =CA =1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A 、B 、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种.三、解答题：本题共5小题，共78分。

2024年上海高考数学试题+答案详解（试题部分）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是 ． 二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x +D ．22sin cos x x −15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（ ）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0−∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1−∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ，在使得[]1,1M =−的所有()f x 中，下列成立的是（ ）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； (2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x −<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =−+−，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． (1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t −−，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2024年上海高考数学试题+答案详解（答案详解）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ． 【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =， 答案：{}1,3,52．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为 ． 【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =， 故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<， 答案：{}|13x x −<<.4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=，故0a =， 答案：0.5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为 ． 【答案】15【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =． 答案：15．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为 ． 【答案】10【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =， 所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．答案：10．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为答案：8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85【解析】根据题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3， 各占比分别为543,,121212， 则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=． 答案：0.85．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为 ． 【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m =，答案：2.10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个；②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个． 答案：329．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠，()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。

2021年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分〕考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．〔4分〕〔2021•上海〕行列式的值为18 ．【考点】：二阶行列式的定义．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵与变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】此题考察行列式的定义，运算法那么的应用，是根本知识的考察．2．〔4分〕〔2021•上海〕双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长与虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的2，1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为±∴双曲线的渐近线方程为±故答案为：±【点评】此题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．〔4分〕〔2021•上海〕在〔1〕7的二项展开式中，x2项的系数为21 〔结果用数值表示〕．【考点】：二项式定理．菁优网版权所有【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式〔1〕7展开式的通项公式为=•，1令2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】此题考察了二项展开式的通项公式的应用问题，是根底题．4．〔4分〕〔2021•上海〕设常数a∈R，函数f〔x〕=12〔〕．假设f 〔x〕的反函数的图象经过点〔3，1〕，那么7 ．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f〔x〕=12〔〕的图象经过点〔1，3〕，由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f〔x〕=12〔〕．f〔x〕的反函数的图象经过点〔3，1〕，∴函数f〔x〕=12〔〕的图象经过点〔1，3〕，∴2〔1〕=3，解得7．故答案为：7．【点评】此题考察实数值的求法，考察函数的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．5．〔4分〕〔2021•上海〕复数z满足〔1〕1﹣7i〔i是虚数单位〕，那么 5 ．【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩大与复数．【分析】把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由〔1〕1﹣7i，得，那么．故答案为：5．【点评】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数模的求法，是根底题．6．〔4分〕〔2021•上海〕记等差数列{}的前n项与为，假设a3=0，a67=14，那么S7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n项与．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{}的前n项与为，a3=0，a67=14，解得a1=﹣4，2，∴S7=7a1﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】此题考察等差数列的前7项与的求法，考察等差数列的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．7．〔5分〕〔2021•上海〕α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，假设幂函数f〔x〕α为奇函数，且在〔0，+∞〕上递减，那么α=﹣1 ．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f〔x〕α为奇函数，且在〔0，+∞〕上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f〔x〕α为奇函数，且在〔0，+∞〕上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考察实数值的求法，考察幂函数的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．8．〔5分〕〔2021•上海〕在平面直角坐标系中，点A〔﹣1，0〕、B 〔2，0〕，E、F是y轴上的两个动点，且2，那么的最小值为﹣3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E〔0，a〕，F〔0，b〕，从而得出﹣2，即2，或2，并可求得，将2带入上式即可求出的最小值，同理将2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E〔0，a〕，F〔0，b〕；∴2，或2；且；当2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考察根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．〔5分〕〔2021•上海〕有编号互不一样的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，那么这三个砝码的总质量为9克的概率是〔结果用最简分数表示〕．【考点】：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不一样的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】此题考察古典概型的概率的求法，是根本知识的考察．10．〔5分〕〔2021•上海〕设等比数列{}的通项公式为﹣1〔n∈N*〕，前n项与为．假设=，那么 3 ．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{}的通项公式为﹣1〔n∈N*〕，可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，1．可得，可得3．故答案为：3．【点评】此题考察数列的极限的运算法那么的应用，等比数列求与以及等比数列的简单性质的应用，是根本知识的考察．11．〔5分〕〔2021•上海〕常数a＞0，函数f〔x〕=的图象经过点P〔p，〕，Q〔q，〕．假设236，那么 6 ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f〔x〕=的图象经过点P〔p，〕，Q〔q，〕．那么：，整理得：=1，解得：22，由于：236，所以：a2=36，由于a＞0，故：6．故答案为：6【点评】此题考察的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．〔5分〕〔2021•上海〕实数x1、x2、y1、y2满足：x1212=1，x2222=1，x1x21y2=，那么+的最大值为+．【考点】7F：根本不等式及其应用；：点到直线的距离公式．菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，由圆的方程与向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形为等边三角形，1，+的几何意义为点A，B两点到直线﹣1=0的距离d1与d2之与，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，由x1212=1，x2222=1，x1x21y2=，可得A，B两点在圆x22=1上，且•=1×1×∠，即有∠60°，即三角形为等边三角形，1，+的几何意义为点A，B两点到直线﹣1=0的距离d1与d2之与，显然A，B在第三象限，所在直线与直线1平行，可设：0，〔t＞0〕，由圆心O到直线的距离，可得2=1，解得，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】此题考察向量数量积的坐标表示与定义，以及圆的方程与运用，考察点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分，每题5分〕每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．〔5分〕〔2021•上海〕设P是椭圆=1上的动点，那么P 到该椭圆的两个焦点的距离之与为〔〕A．2B．2C．2D．4【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴〔焦点坐标〕所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：那么P到该椭圆的两个焦点的距离之与为22．应选：C．【点评】此题考察椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是根本知识的考察．14．〔5分〕〔2021•上海〕a∈R，那么“a＞1〞是“＜1〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1〞⇒“〞，“〞⇒“a＞1或a＜0〞，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，那么“a＞1〞⇒“〞，“〞⇒“a＞1或a＜0〞，∴“a＞1〞是“〞的充分非必要条件．应选：A．【点评】此题考察充分条件、必要条件的判断，考察不等式的性质等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．15．〔5分〕〔2021•上海〕?九章算术?中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1是正六棱柱的一条侧棱，如图，假设阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1为底面矩形的一边，那么这样的阳马的个数是〔〕A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义与正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，那么D1﹣A11，D1﹣A11满足题意，而C1，E1，C，D，E，与D1一样，有2×6=12，当A11为底面矩形，有2个满足题意，当A11为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16应选：D．【点评】此题考察了新定义，以及排除组合的问题，考察了棱柱的特征，属于中档题．16．〔5分〕〔2021•上海〕设D是含数1的有限实数集，f〔x〕是定义在D上的函数，假设f〔x〕的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，那么在以下各项中，f〔1〕的可能取值只能是〔〕A． B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入与赋值的方法当f〔1〕=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时0或者1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．应选：B．【点评】此题考察的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分〕解答以下各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．〔14分〕〔2021•上海〕圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．〔1〕设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；〔2〕设4，、是底面半径，且∠90°，M为线段的中点，如图．求异面直线与所成的角的大小．【考点】：异面直线及其所成的角；L5：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕；：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】〔1〕由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．〔2〕以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．【解答】解：〔1〕∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积〔2〕∵4，，是底面半径，且∠90°，M为线段的中点，∴以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，P〔0，0，4〕，A〔2，0，0〕，B〔0，2，0〕，M〔1，1，0〕，O〔0，0，0〕，=〔1，1，﹣4〕，=〔0，2，0〕，设异面直线与所成的角为θ，那么θ．∴θ．∴异面直线与所成的角的为．【点评】此题考察圆锥的体积的求法，考察异面直线所成角的正切值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是根底题．18．〔14分〕〔2021•上海〕设常数a∈R，函数f〔x〕222x．〔1〕假设f〔x〕为偶函数，求a的值；〔2〕假设f〔〕1，求方程f〔x〕=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】：两角与与差的三角函数；：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】〔1〕根据函数的奇偶性与三角形的函数的性质即可求出，〔2〕先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕222x，∴f〔﹣x〕=﹣222x，∵f〔x〕为偶函数，∴f〔﹣x〕〔x〕，∴﹣222222x，∴220，∴0；〔2〕∵f〔〕1，∴22〔〕11，∴f〔x〕222221=2〔2〕+1，∵f〔x〕=1﹣，∴2〔2〕+1=1﹣，∴〔2〕=﹣，∴2﹣+2kπ，或2π+2kπ，k∈Z，∴﹣ππ，或ππ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴或或﹣或﹣【点评】此题考察了三角函数的化简与求值，以及三角函数的性质，属于根底题．19．〔14分〕〔2021•上海〕某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中〔0＜x＜100〕的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f〔x〕=〔单位：分钟〕，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果答复以下问题：〔1〕当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？〔2〕求该地上班族S的人均通勤时间g〔x〕的表达式；讨论g〔x〕的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】〔1〕由题意知求出f〔x〕＞40时x的取值范围即可；〔2〕分段求出g〔x〕的解析式，判断g〔x〕的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；〔1〕由题意知，当30＜x＜100时，f〔x〕=2﹣90＞40，即x2﹣65900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈〔45，100〕时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；〔2〕当0＜x≤30时，g〔x〕=30•40〔1﹣〕=40﹣；当30＜x＜100时，g〔x〕=〔2﹣90〕•40〔1﹣〕=﹣58；∴g〔x〕=；当0＜x＜32.5时，g〔x〕单调递减；＜x＜100时，g〔x〕单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】此题考察了分段函数的应用问题，也考察了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．〔16分〕〔2021•上海〕设常数t＞2．在平面直角坐标系中，点F〔2，0〕，直线l：，曲线Γ：y2=8x〔0≤x≤t，y≥0〕．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段上的动点．〔1〕用t表示点B到点F的距离；〔2〕设3，2，线段的中点在直线上，求△的面积；〔3〕设8，是否存在以、为邻边的矩形，使得点E在Γ上？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由．【考点】：直线与抛物线的位置关系．菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔1〕方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得；方法二：根据抛物线的定义，即可求得；〔2〕根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△的面积；〔3〕设P及E点坐标，根据直线•﹣1，求得直线的方程，求得Q 点坐标，根据，求得E点坐标，那么〔〕2=8〔+6〕，即可求得P点坐标．【解答】解：〔1〕方法一：由题意可知：设B〔t，2t〕，那么2，∴2；方法二：由题意可知：设B〔t，2t〕，由抛物线的性质可知：2，∴2；〔2〕F〔2，0〕，2，3，那么1，∴，∴Q〔3，〕，设的中点D，D〔，〕，﹣，那么直线方程：﹣〔x﹣2〕，联立，整理得：3x2﹣2021=0，解得：，6〔舍去〕，∴△的面积××=；〔3〕存在，设P〔，y〕，E〔，m〕，那么，，直线方程为〔x﹣2〕，∴〔8﹣2〕=，Q〔8，〕，根据，那么E〔+6，〕，∴〔〕2=8〔+6〕，解得：y2=，∴存在以、为邻边的矩形，使得点E在Γ上，且P〔，〕．【点评】此题考察抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考察转化思想，计算能力，属于中档题．21．〔18分〕〔2021•上海〕给定无穷数列{}，假设无穷数列{}满足：对任意n∈N*，都有﹣≤1，那么称{}与{}“接近〞．〔1〕设{}是首项为1，公比为的等比数列，1+1，n∈N*，判断数列{}是否与{}接近，并说明理由；〔2〕设数列{}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{}是一个与{}接近的数列，记集合{，1，2，3，4}，求M中元素的个数m；〔3〕{}是公差为d的等差数列，假设存在数列{}满足：{}与{}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】〔1〕运用等比数列的通项公式与新定义“接近〞，即可判断；〔2〕由新定义可得﹣1≤≤1，求得，1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；〔3〕运用等差数列的通项公式可得，讨论公差d＞0，0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近〞，推理与运算，即可得到所求范围．【解答】解：〔1〕数列{}与{}接近．理由：{}是首项为1，公比为的等比数列，可得，1+11，那么﹣1﹣1﹣＜1，n∈N*，可得数列{}与{}接近；〔2〕{}是一个与{}接近的数列，可得﹣1≤≤1，数列{}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合{，1，2，3，4}，M中元素的个数3或4；〔3〕{}是公差为d的等差数列，假设存在数列{}满足：{}与{}接近，可得1+〔n﹣1〕d，①假设d＞0，取，可得1﹣1﹣＞0，那么b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②假设0，取1﹣，那么﹣1﹣﹣a1＜1，n∈N*，可得1﹣﹣＞0，那么b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③假设﹣2＜d＜0，可令b2n﹣12n﹣1﹣1，b221，那么b2n﹣b2n﹣121﹣〔a2n﹣1﹣1〕=2＞0，那么b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④假设d≤﹣2，假设存在数列{}满足：{}与{}接近，即为﹣1≤≤1，1﹣1≤1≤1+1，可得1﹣≤1+1﹣〔﹣1〕=2≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是〔﹣2，+∞〕．【点评】此题考察新定义“接近〞的理解与运用，考察等差数列与等比数列的定义与通项公式的运用，考察分类讨论思想方法，以及运算能力与推理能力，属于难题．第21 页。