数学-扬州中学2014-2015学年高三下学期模拟考试 数学

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的 概率是 ．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －17．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53则c．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于 ．1 10．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin333k f ππ'==-=-11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ==⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．1513．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F 3，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为8134，则椭圆方程为 ．2214x y += 析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:3l y x =代入得13||A x =，DB由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()x x f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=， 则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()xxf x e -=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e ； 当0x <时，1'()0x x f x e-=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=．设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分 因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分 ⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分 又//MN 平面BCD ，平面ADE平面BCD DE =，所以//MN DE ， ……………12分 在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． ……………14分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A B a i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||2a =．⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sin A =，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13tan tan 022A B-=，故tan tan A B =13.……………7分(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为sin A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A BA B +=-+=-=--，sin C =……………12分因为正弦定理sin sin a cA C=，所以227c =，所以边长c =． ……………14分 17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2 倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司 进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元． ⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分 ⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S =-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x=+-，（ 1.2x ≥）……9分 52339600032'30003000x y x x x-=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN 2041解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=， 又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-，∴2222211113()()34MF x c y x c c x =-+=-+-22111111124|2|2422x cx c x c c x =-+=-=-同理2122NF c x =-， 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+= 两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得08y =，故直线MN的斜率为87644k c c ==--， ……………13分 直线MN的方程为(4)6y x c =--60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=c = 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*） 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ckx x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即6k =-． 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c = 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数m a a a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m k N <∈是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分 ⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m k k a +-=， 故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而1010241222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分 ⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅， 故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅，11(1)(21)m k k d a +--=- 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-， 则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ……………16分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()xf eg x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P Px x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分 ⑶由题得111xx e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈， 所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分解法一：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0xax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1x xax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-， 再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e-+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =， ①当0a =时，1'()0,x m x e=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴ ()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减， ∴()(0)=0h x h ≤，即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a -<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >= 即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()x f e g x ≥，不满足条件.综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. (16)分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立， 设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()xh x e ax x a a =-+-， 再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+- 同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()xf eg x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数 所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=， 即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >， 故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≥，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=，解得1,3λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分 令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分 21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值． 解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-= ……………4分又由12x y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t得0x =， ……………8分 因为直线l 与圆C2=得2m =，又0m >，所以432m =． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直， 且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为 DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==， 所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则13(0,0,0),(1,0,0),3),(3),(1,1,0),(0,2,0),(,1,22A B C D E F P -- ⑴33(1,0,3),(,0,22DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则3cos |||||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=-则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=+=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 得33z x y ==，取1x =，则1,3y z ==故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则2cos ||||5||||2AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，， 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n mS ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-． 解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m m m n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。

2014届江苏省扬州中学高三数学模拟训练（4.12）一、填空题：1. 已知集合{}1,2,3,4A =--，{}2|,5B x x R x =∈<，则AB = . {}1,2-2. 已知复数34z i =-，则z . 53. 设()f x 是定义在R 上的奇函数且(4)(3)2f f +-=，则(3)(4)f f-= .．2- 4. 已知平面向量),2(),3,12(m b m a =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 5. 设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为n S ，则43S a ＝ 1546. 已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（012222>>=+b a by a x 上，AB ∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ．7.右图是某小组在一次测验中的数学成绩的茎叶图，则平均成绩是______78 8. 函数sin()(0)6y x πωω=+>的图象关于直线3x π=对称，则ω的最小值为 19.“一条直线与两个相交平面都平行”是“这条直线与这两个平面的交线平行”的_________条件。

充分不必要 10. 给出下列四个结论：①命题“2,0"x R x x ∃∈->的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”； ②“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真； ③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；④对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x >0时,()0,()0,f x g x ''>> 则x <0时()().f x g x ''>其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）①④11. ⊙A ：(x －3)2+(y －5)2=1，⊙B :(x －2)2+(y －6)2=1，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若||),0,0(|,|||PO O PE PD 则=的最小值为 .223 12. 等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝P A →·PB →，则实数λ的值是________．1-2213. 给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，当1+n a =______时，1221++++++=n n n a a a y 取得最大值。

江苏省扬州中学20XX届高三1月质量检测试卷数学 Word版含答案_图文高三数学试卷2015.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．x＋3一、设集合M＝{x|＜0}，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合M∩N＝________．x－2二、复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是_______．三、某公司生产三种型号A、B、C的轿车，月产量分别为1200、6000、2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A的轿车应抽取________辆．四、有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是__________．五、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是________．六、设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的_________条件．七、取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1∶V2＝________.八、如图，在△ABC中，∠BAC＝120º，AB＝AC＝2，→→→→D为BC边上的点，且AD·BC＝0，CE＝2EB，→→则AD·AE＝_______.BECA九、对任意的实数b，直线y＝－x＋b都不是曲线y＝x3－3ax的切线，则实数a的取值范围是________．x2y2十、如图，已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆a＋b＝12(a＞b＞0)的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为．lgx (0＜x≤10)1十一、已知函数f (x)＝，若a,b,c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)， |6－| (x＞10)2则a＋b＋c的取值范围为．π十二、若函数f (x)＝sin(ωπx－4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是___________．1十三、若实数a,b,c成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是__________．十四、定义：若函数f (x)为定义域D上的单调函数，且存在区间(m,n)⊆D(m＜n)，使得当x∈(m,n)时，f (x)的取值范围恰为(m,n)，则称函数f (x)是D上的“正函数”．已知函数f (x)＝ax (a＞1)为R上的“正函数”，则实数a 的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证明过程或演算步骤．πB十五、在△ABC中，A、B、C为三个内角，f (B)＝4sinB·cos242＋cos2B．（Ⅰ）若f (B)＝2，求角B；（Ⅱ）若f (B)－m＜2恒成立，求实数m的取值范围．十六、正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE． BACE2十七、如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD＝60º，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．x2y21十八、已知椭圆Cab＝1(a＞b＞0)经过点3)，离心率为2，经过椭圆C 的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E．（1）求椭圆C的方程；→→→→（2）若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；（3）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．l2l1ACl1Bl2B（图甲）（图乙）3十九、设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a1＋a2＋a3＋···＋an＝(a1＋a2＋a3＋···＋an)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝3n＋(－1)n−1·λ·2n (λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1＞bn．mx二十、已知函数f (x)＝(m,n∈R)在x＝1处取到极值2． x＋n （1）求f (x)的解析式；11（2）设函数g(x)＝ax－lnx，若对任意的x1∈2, 2]，总存在唯一的x∈[2．．．ee](e为自然对数的底)，使得g(x2)＝f (x1)，求实数a的取值范围．…………内……………不……………要……………答……………题……………… a3333附加题 1. 已知矩阵M＝201a c2，N＝，且MN＝，b10d－20号________ 姓名_____________ （Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．x＝2＋2t2. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t 为参数)，椭圆C的方程为y＝1－tx224y＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小． 43. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC ＝2，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.B1 C1A1FCA4. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望E(X )；（2）求恰好得到n (n∈N*)分的概率．高三数学试卷参考答案2015.11、(1,2)2、(－1,1)3、6 34、55、636、 5充要 17、6548、119、(－∞,3)10、2－111、(25,34)12、13、5＋2 14、(1, e)1eπB15、解：(Ⅰ) f (B)＝4sinBcos2(42)＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋1―2sin2B＝2sinB＋1＝21π5π∴sinB2 又∵0＜B＜π ∴B＝66．(Ⅱ) ∵f (B)－m＜2恒成立∴2sinB＋1－m＜2恒成立∴2sinB＜1＋m ∵0＜B＜π，∴2sinB的最大值为2，∴1＋m＞2 ∴m＞1．16、证明：（1）正方形ABCD中，AB//CD，又AB平面CDE，CD平面CDE，所以AB//平面CDE．（2）因为AE平面CDE，且CD平面CDE，所以AE CD，CD AD，且AE 又正方形ABCD中，所以平面ABCD平面ADE．AD A，AE、AD平面ADE，所以CD平面ADE，又CD平面ABCD，17、解：（1）设AD与l1所成夹角为，则AB与l2所成夹角为60，对菱形ABCD的边长“算两次”得，解得tansinsin60所以，养殖区的面积S 3sin（5分）sin6091tan1sin60)；222180，（2）设AD与l1所成夹角为，BAD120，则AB与l2所成夹角为180，对菱形ABCD的边长“算两次”得，解得tan sin，2cossinsin180所以，养殖区的面积S sin4cos，sin91tan1sin952240得cos4，由S954cos95cos 2sin【要修改为：列表求最值】经检验得，当cos时，养殖区的面积Smin=27(m2)． 5答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为27m2．（15分） x2y218、解：（1）4＋3＝1（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0) →→∵MA＝AF ∴(x1,y1－y0)＝x1x2(1－x1,－y1) ∴＝1－x11－x26x1＋x2－2x1x2x1x2∴＋＝1－x11－x2x1x2－x1－x2＋1l：y＝k(x－1)4k2－128k22222∵2∴(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0，∴x1＋x2＝x1x2＝ 24k＋34k＋33x＋4y－12＝04k2－128k224∴x1＋x2－2x1x2－2，4k＋34k＋34k＋34k2－12－98k2x1x2－x1－x2＋1－＋1＝4k＋34k＋34k＋3248∴＋＝－9＝－35（3）当l⊥x轴时，易得AE与BD的交点为FK的中点(25下面证明：BD过定点P(2B、D、P共线kBP＝kDPy1y2355522＝x2y1－213y2＝2x2y142x2－22kx1x2－5k(x1＋x2)＋8k＝04k2－122k－4k＋33k(x2－1)＝2x2k(x1－1)－5k(x1－1)8k25k8k＝0 4k＋32k(4k2－12)－40k3＋8k(4k2＋3)＝0成立．得证．55同理，AE过定点P(2，∴直线AE与BD相交于一定点2,0)．【注】：书写可证明：kBP－kDP＝···－···＝·······，证明值为0． 19、证明：(1)在已知式中, 当n＝1时, a1＝a1∵a1＞0∴a1＝1当n≥2时, a1＋a2＋a3＋···＋an＝(a1＋a2＋···＋an)2···········① a1＋a2＋a3＋···＋an－1＝(a1＋a2＋···＋an－1)2(n≥2)········② 由①－②得, an＝an[2(a1＋a2＋···＋an－1)＋an] (n≥2) ∵an＞0 ∴an＝2(a1＋a2＋···＋an－1)＋an(n≥2) ········③ an－1＝2(a1＋a2＋···＋an－2)＋an－1(n≥3) ········④ ③－④得, an－an－1＝2an－1＋an－an－1＝an－1＋an (n≥3) ∵an－1＋an＞0, ∴an－an－1＝1(n≥3),∵a1＝1，a2＝2∴a2－a1＝1∴an－an－1＝1(n≥2) ∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1, 可得an＝n （2）∵an＝n, ∴bn＝3n＋(－1)n−1·2n∴bn＋1－bn＝3n+1＋(－1)n·2n+1－[3n＋(－1)n−1·2n]＝2·3n －3∴3(－1)n−1＜(2)n−1········⑤(－1)n−1·2n＞02222333333333323当n＝2k－1,k＝1,2,3,···时, ⑤式即为＜(22k−2········⑥ 依题意, ⑥式对k＝1,2,3,···都成立, ∴＜173当n＝2k,k＝1,2,3,···时, ⑤式即为＞－(2)2k−1·········⑦ 3依题意, ⑦式对k＝1,2,3,···都成立∴2 3∴－2＜1又≠0, ∴存在整数＝－1, 使得对任意n∈N*, 都有bn＋1＞bn．f (1)＝0m(x2＋n)－2mx2－mx2＋mn20、解：（1）∵f (x)f (x)在x＝1处取到极值2，∴(x＋n)(x＋n) f (1)＝2m＝4－m＋mnm4x∴＝2,∴，经检验，此时f (x)在x＝1处取得极值，故f (x)＝ 0(1＋n)1＋nx＋1n＝111（2）记f (x)在[2上的值域为A，函数g(x)在[ee]上的值域为B，－4x2＋4－4(x－1)(x＋1)1由（1）知：f (x)＝＝∴f (x)在[2,1]上单调递增，在(1,2]上单调(x＋1)(x＋1)递减，188由f (1)＝2，f (2)＝f (2)＝5f (x)的值域A＝[51111依题意g(x)＝a－x∵x∈[ee] ∴e≤x≤e2111①当a≤eg(x)≤0 ∴g(x)在[ee]上递减∴B＝[g(e),g(e)]，811由题意得：5,2]⊆B．∵g(e)＝ae－1，g(e)＝ae2，8g(e)＝ae－15a≤1313115e ∵＞∴0≤a≤ ∴ ∴115eee a≥0g(e＝ae＋2≥2111111②当ea＜e2时，e＞ae∴当x∈[ea时，g(x)＜0；当x∈(a,e]时，g(x)＞0；81∵对任意的y1∈5,2]，总存在唯一的x∈[2．．．ee]，使得g(x2)＝y1111∵g(e)－ge＝ae－ae3＝a(e－e)－3318a≥g(≤e3e2125∴∴当a＜e时，g(e)＞g(e，∴e22 无解 e－1g(e)≥2a≤－5e8g(e)＝ae－1a≤13133e2513e2115e ∵ ∴＜a当ea＜时，g(e)＜ge∴ ∴115ee－1ee－1a≥0g(e＝ae＋2≥213＜5e3e21当a＝g(e)＝g(e不成立；e－11111③当a≥e2时，ae ∴g(x)＞0 ∴g(x)在[ee]上递增∴B＝[g(eg(e)]8。

2014届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段测试数学试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.，是不同的直线，，是不同的平面，则下列正确命题的序号是( )A.若，，则；B.若，，则；C. 若，，则；D.若，，则．3.下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（）A． B． C． D．15．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A. B. C．8π D.6.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.a2B．2a2 C.a2 D.a27．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A．1 B．2C．3 D．49．如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥ABEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等10．已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于（）A．B． C．D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为13．长方体中，，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到点的最短距离是．14.在中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为15．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是_________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．三、解答题：本大题共6个小题，共75分。

2014年高考（527）江苏扬州中学2014届高三最后一考高考模拟2014-05-25 1919江苏扬州中学高三年级最后一次模拟考试语文试卷一、语言文字运用（15分）1.下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（3分）A.训诂/怙恶不悛泥淖/桂棹兰桨诘难/佶屈聱牙B.萎靡/虚与委蛇引吭/沆瀣一气隧道/遂心如意C.趿拉/岌岌可危昏愦/振聋发聩圜墙/声震寰宇D.桎梏/狡兔三窟皈依/如丸走坂稂莠/书声琅琅2.下列各项加点成语使用正确的一项是（3分）A.在论文答辩的整个过程中，导师徐教授不赞一词，而是严肃地指出了文章在逻辑上存在的诸多错误。

B.中国政府认为，中国海军在钓鱼岛附近海域巡航无可厚非，完全合法。

C.快速阅读不利于深入思考，看上去读得多，读得快，但“上心”的并不多。

长此以往，文化会变得浮泛和肤浅。

D.安宏纺织公司近年来对员工管理严格，求全责备，产品质量过硬，企业效益大幅度提升。

3.请为下面一段新闻拟一则标题，不超过20个字。

（3分）中新网北京5月6日电 (记者杜燕)从6日起，北京交管部门对“中国式过马路”、闯红灯等动真格罚款了，不只是规劝，而是开出罚单。

所谓“中国式过马路”，就是中国人过马路不看红绿灯，凑够一撮人就走。

今年4月9日，北京启动“非机动车行人交通秩序专项整治”行动，在全市范围内对行人和非机动车交通违法行为以劝阻为主，并在北京150个重点路口，给维持秩序的交通协管员配备耳麦式喊话器，用来提示行人及非机动车注意遵守交通法。

6日开始，北京交管部门表示，即日起，北京对违反交通信号的行人处以10元人民币罚款、对违反交通信号的电动自行车等非机动车处以20元罚款。

4.我校举行“黄金周高速公路是否应该免费”的辩论赛，请你作为反方辩手，阐述“反对重大节假日高速公路实行小客车免费的政策”的两条理由。

（6分）二、文言文阅读（共19分）阅读下面的文言文，完成5—8题。

段太尉逸事状柳宗元太尉始为泾州刺史时，汾阳王以副元帅居蒲。

2014-2015学年省中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（2015•高邮市校级模拟）若全集U=R，集合M={x|x2﹣x≥0}，则集合∁U M=（0，1）．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：把集合M化简，由实数集中不在集合M中的元素构成的集合就是M的补集．解答：解：M={x|x2﹣x≥0}={x|x≤0或x≥1}，又全集U=R，所以，∁U M={x|0＜x＜1}．故答案为（0，1）．点评：本题考查了补集及其运算，注意借助于数轴解答，是基础题．2．（2015春•校级期中）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=x a，由f（x）过点（2，），知，由此能求出f（4）．解答：解：设幂函数f（x）=x a，∵f（x）过点（2，），∴，∴f（4）=x4=（x2）2==，故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用．3．（2015春•校级期中）若函数f（x+1）=x2﹣2x+1，则函数f（x）的解析式为f（x）=（x﹣2）2．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：将f（x+1）=x2﹣2x+1变形，令x=x+1替换即可．解答：解：∵f（x+1）=x2﹣2x+1=x2+2x+1﹣4（x+1）+4=（x+1）2﹣4（x+1）+4，∴f（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查转化思想，是一道基础题．4．（2013•淇县校级一模）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性5．（2014春•海安县校级期末）函数的值域为（0，1）．考点：函数的值域．分析：将函数变形为，因为2x＞0，用观察分析法求值域即可．解答：解：，∵2x＞0，∴，∴0＜y＜1故答案为：（0，1）点评：本题考查函数的值域问题，属基本题型、基本方法的考查．6．（2013•一模）由下列各式：，…，归纳第n个式子应是．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中：，观察分析不等式两边的项数及右边数的大小，我们归纳分析得，左边累加连续2n﹣1个正整数倒数的集大于，由此易得到第n个式子．解答：解：∵，，，=…∴第n个式子应是：故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．（2015春•校级期中）设z=，则z的共轭复数是1﹣3i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的分母实数化后，求解共轭复数即可．解答：解：z===1+3i．z=，则z的共轭复数是1﹣3i．故答案为：1﹣3i．点评：本题考查复数的除法运算法则的应用，共轭复数的求法，基本知识的考查．8．（2015春•校级期中）函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为4．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．（2015春•校级期中）定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，当﹣3≤x ＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=337．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，再由定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2014）的值．解答：解：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f （2）=2，定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=335（﹣1+0﹣1+0+1+2）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=335+1+2﹣1+0=337．故答案为：337．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用．10．（2015春•校级期中）已知a=log510，b=log36，c=log714，则a，b，c按照由小到大的顺序排列为c＜a＜b．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质把三个数转化为1加一个对数式的形式，然后由换底公式可比较大．解答：解：a=log510=1+log52，b=log36=1+log32，c=log714=1+log72，因为log32＞log52＞log72，所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查了对数值的大小比较，考查了对数式的运算性质，是基础题．11．（2015春•校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣4x（x＞0），则不等式f（x）＞x的解集是（﹣5，0）∪（5，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设x＜0则﹣x＞0，根据题意和奇函数的性质求出x＜0时函数的解析式，再用分段函数的形式表示出来，对x进行分类讨论列出不等式组，求出不等式的解集．解答：解：设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣4x（x＞0），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣=﹣x2﹣4x，则f（x）=，∵f（x）＞x，∴或，解得﹣5＜x＜0或x＞5，∴不等式的解集是（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）．点评：本题考查函数的奇偶性的应用：求函数的解析式，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想，属于中档题．12．（2015春•校级期中）下列命题正确的序号是①③①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①根据指数函数的性质判断即可；②写出p的否命题即可；③根据充分必要条件的定义判断即可；④通过讨论a=0，a≠0判断即可．解答：解：①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是：“若a≤b，则2a≤2b”是真命题，故①正确；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“＜0”，故②错误；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，故③正确；④方程ax2+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故④错误；故答案为：①③．点评：本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，考查方程思想，本题综合性强，属于中档题．13．（2015春•校级期中）已知函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R，且a0≠0）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f′（x）的所有零点中最大值与最小值之差为|d|．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先设出函数f（x）的4个零点，求出f（x）的导数，得到f′（x）的零点，从而求出答案．解答：解：设函数f（x）的四个零点构成公差为d的等差数列为：t+3，t+1，t﹣1，t﹣3，公差d=2，f（x）=（x﹣t﹣3）（x﹣t﹣1）（x﹣t+1）（x﹣t+3），用平方差公式：f（x）=，令g（x）=（x﹣t）2﹣1，h（x）=（x﹣t）2﹣9，f′（x）=g′（x）h（x）+g（x）h′（x），整理得：f′（x）=4（x﹣t）（x2﹣2tx+t2﹣5），令f′（x）=0，解得：x=t﹣，t，t+，∴零点的最大值与最小值的差是；2=|d|，故答案为：|d|．点评：本题考查了函数零点问题，等差数列，导数的应用，是一道中档题．14．（2015春•校级期中）已知λ（x）=ax3+x2﹣ax（a≠0），若存在实数a∈（﹣∞，﹣]，使得函数μ（x）=λ（x）+λ′（x），x∈在x=﹣1处取得最小值，则实数b的最大值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由μ（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，知μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得ϕ（b）≥0，由此能求出b的最大值．解答：解：由题意，λ（x）=ax3+x2﹣ax的导数λ′（x）=3ax2+2x﹣a，μ（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，据题知，μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（1﹣3a））≥0…①当x=﹣1时，不等式①成立；当﹣1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0…②令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．又ϕ（﹣）=﹣a＞0，故不等式②成立的充要条件是ϕ（b）≥0，整理得：≤﹣在a∈（﹣∞，﹣]上有解，∴≤2，解得﹣1＜b≤．b的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（2015春•校级期中）记函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=lg（a＜1）的定义域为B（1）求A、B；（2）若B⊆A，数a的取值围．考点：集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：集合．分析：（1）要使函数f（x）=有意义，则（x+1）（x﹣1）≥0，解出即可．要使函数g（x）=lg（a＜1）有意义，则（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，解出即可．（2）由B⊆A，可得2a≥1或a+1≤﹣1，解出即可．解答：解：（1）由题意得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪∪．点评：本题考查了根式函数与对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2010•兴化市校级模拟）设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x ﹣9x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，数a的取值围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，数a的取值围．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值围．（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．由∈（﹣∞，0），知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a的取值围．解答：解：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，若a=0，显然不成立；若a≠0，解得a＞2故如果p是真命题时，实数a的取值围是（2，+∞）（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．∵x＞0∴3x＞1∴3x﹣9x∈（﹣∞，0）所以如果q是真命题时，a≥0．又p或q为真命题，命题p且q为假命题所以命题p与q一真一假∴或解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值围是点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．17．（2015春•校级期中）如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中∠C=∠D=90°，，CE=DE=1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y．（1）求x，y的关系式；（2）求水管PQ的长的最小值．考点：解三角形的实际应用．分析：（1）延长BD、CE交于A，利用S△ADE=S△BDE=S△BCE=，S△APQ=可建立x，y的关系式；（2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式求出水管PQ的长的最小值．解答：解：（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2 则S△ADE=S△BDE=S△BCE=∵S△APQ=，∴∴x，y的关系式为：（2）PQ2=AP2+AQ2﹣2AP•AQcos30°=•当，即，，∴水管PQ的长的最小值为．点评：本题主要考查变量关系，考查余弦定理及基本不等式的运用，有一定的综合性．18．（16分）（2015春•校级期中）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意的实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立．（1）证明：f（x）=x2不属于集合M；（2）设f（x）∈M，且T=2．已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用反证法，假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，推出T无解，即假设不成立，肯定结论．（2）将﹣3＜x＜﹣2转化为1＜x+4＜2，利用当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式解答：（1）证明：假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，即（1﹣T）x2+2Tx+T2=0对任意的x恒成立．∴．∴T∈∅．假设错误，所以f（x）=x2不属于集合M．（2）∵﹣3＜x＜﹣2，∴1＜x+4＜2，∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），∵存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，∴令T=2，∴f（x+4）=f=2f（x+2）=4f（x），∴f（x）=，∴当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式是f（x）=．点评：本题考查了抽象函数及其应用，反证法，函数解析式的求解及常用方法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．属于中档题19．（2011秋•期末）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值围．考点：函数与方程的综合运用；偶函数．专题：计算题．分析：（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值围．解答：解：（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）﹣2x﹣kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=﹣1（2）∵a＞0∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时a的围为a＞1综上所述，所求a的取值围为a＞1．点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k 值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．20．（16分）（2014•一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．解答：解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．。

2014届扬州中学高三数学周练卷 4.26第I 卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上． 1．已知复数i zz=-+11，则z 的虚部为 ▲ ． 2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 ▲ .3．右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．4．已知函数2()log f x x =．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上随机取一0x ，则使得0()0f x ≥的概率为 ▲ ．5．若直线()2210a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 6．若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 ▲ ． 7．将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 ▲ ． 8．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β，γ是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是 ▲ ．①若//m n ，m β⊥，则n β⊥； ②若//m n ，//m β，则//n β； ③若//m α，//m β，则//αβ； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ．9．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ▲ ；S ←0 a ←1 For I From 1 to 3 a ←2×aS ←S ＋a End For Print S （第3题）10.若c b a ,,为正实数，,0111,=++==zy x c b a zy x 则=abc ▲ ． 11．已知,为不共线的向量，设条件M ： )(-⊥；条件N ：对一切x ∈R，不等式≥-恒成立．则M 是N 的 ▲ 条件．12. 已知0x >，0y >，1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ▲ ． 13．对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1()]2f xx ++，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ▲ ． 14. 集合{}22(,)(cos )(sin )1x y x r y r θθ-+-≤其中01,0r θπ≤≤≤≤，对应图形的面积为 ▲ ．二、解答题：本大题6小题，共90分 15．(本题满分14分)已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABC，求sin A +sin B 的值．16．(本题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3． （Ⅰ）求证：AC ⊥DE ；（Ⅱ）求四棱锥P －ABCD 的体积．（第16题）CDEPFB17．(本题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．18．(本题满分16分) 一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点,A B 所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．19．（本小题共16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，2n n n T S S =-.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求证：1n n T T +>； （3）求证：当2n ≥时，271112n n S+≥．20．（本小题共16分）已知函数12()416mxf x x =+，m x x f -=)21()(2，其中m ∈R ． （1）若0<m ≤2，试判断函数f (x )=f 1 (x )+f 2 (x )()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论； （2）设函数12(),2,()(), 2.f x x g x f x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围．高三数学附加题 2014.0421．已知矩阵103213A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，点()1,1M -，()0,2N ．求线段MN 在矩阵1A -对应的变换作用下得到线段M N ''的长度．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x (θ为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线l 的极坐标方程为16cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ．求直线l 与曲线C 交点的极坐标．23.如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形， CD AB //，BC AB 2=，60ABC ∠=，且平面CDEF ⊥平面ABCD ． (1)求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；(2)线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．24．对有()4n n ≥个元素的总体{}n ,,3,2,1 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}m ,,3,2,1 和{}n m m ,,2,1 ++(m 是给定的正整数，且22m n -≤≤)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率．(1)求n P 1的表达式(用n m ,表示)；(2)求所有)1(n j i P ij ≤<≤的和．4.26参考答案：一、填空题1．1．2．06 3．14． 4。

扬州中学2013—2014学年高三开学检测数 学 试 卷一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．在复平面内，复数12ii+-（其中i 为虚数单位）对应的点位于第 ▲ 象限． 2．已知集合{},0M a =，{}2230,N x x x x =-<∈Z ，如果MN ≠∅，则a = ▲ ．3．已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ▲ ． 4．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =___▲___． 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．①.若 n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则β//n ； ③.若α//m ，β//m ，则βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则βα⊥．6．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ．7．已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ .8．已知Ω＝{(,)|6,0,0}x y x y x y +<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ▲ ．9．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个 单位后，得到的图像解析式为____▲____．10．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___▲___． 11．求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x xf x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程623(2)2x x x x +=+++的解集为 ▲ ．12．已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则ABCD的值为 ▲ ． 13．设函数22(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．14．设实数12345,,,,x x x x x 均不小于1，且12345729x x x x x ⋅⋅⋅⋅=，则1223max{,,x x x x3445,}x x x x 的最小值是 ▲ ．（max{,,,}a b c d 是指a 、b 、c 、d 四个数中最大的一个）二．解答题：（本大题共6小题，计90分） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2cossin()22A Af A π=- 22sin cos 22A A+-． （Ⅰ）求函数()f A 的最大值； （Ⅱ）若()0f A =，512C π=，a =b 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA 丄底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ．（I ）若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ； （II ）求三棱锥P ﹣ACE 的体积． 17．（本小题满分15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率＝商品的标价实际付款额．设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ．（Ⅰ）写出当x ∈(]1000,0时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于32？P 18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，（Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．19．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，函数3()f x x ax =+，2()g x x bx =+，/()f x 和/()g x 分别是()f x ，()g x 的导函数，若//()()0f x g x ≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性一致．（Ⅰ）设0a >，若函数()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上单调性一致，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设0a <且a b ≠，若函数()f x 和()g x 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．________ 姓名_____________ 学……………内……………不……………要……………答……………题………………20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足*1112()n n n n n a b a b na n N ++++=∈． （Ⅰ）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且112b =时，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定；（Ⅲ）设2*12()1n n n n a a a n N a ++=∈+，21nn i i S b ==∑，求证：226n S n <<．高三数学开学检测答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12． 13． 14．二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解：16．解：17．解：18．解：19．解：高三___________ 姓名_____________ 学号…………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………（20题做在反面）数学附加题1．（本小题满分10分） 求261()x x展开式中的常数项．2．（本小题满分10分）某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X 为选取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．3．（本小题满分10分）如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置（如图（2））． （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 长．4．（本小题满分10分）数列{21}n-的前n 项组成集合*{1,3,7,,21}()n n A n N =⋅⋅⋅-∈，从集合n A 中任取k （1k =，2，3，…，n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+．例如：当1n =时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n=2时，A 2={1，3}，T 1=1+3，T 2=1×3，S 2=1+3+1×3=7． （Ⅰ）求3S ；（Ⅱ）猜想n S ，并用数学归纳法证明．高三数学开学检测参考答案 2013.81．一 2．1 3．71- 4．6 5．① 6．145 7．1 8．29 9．)62sin(π-=x y10．π11．{﹣1，2} 12．1 13．2 14．9（Ⅰ），所以．则所以当，即）取得最大值，且最大值为，所以，所以，则．因为，所以，则．16．（I ）若F 为PE 的中点，由于底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ，故E 、F 都是线段PD 的三等分点．设AC 与BD 的交点为O ，则OE 是△BDF 的中位线，故有BF ∥OE ，而OE在平面ACE 内，BF 不在平面ACE 内，故BF ∥平面ACE ．（II ）由于侧棱PA 丄底面ABCD ，且ABCD 为矩形，故有CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAE ． 三棱锥P ﹣ACE 的体积V P ﹣ACE =V C ﹣PAE =S △PAE •CD=•（•S △PAD ）•AB=（••PA•PD ）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．17．（Ⅰ）∵500÷0.8＝625 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=.1000625,1008.0,6250,8.0x x x x y当x ＝1000时，y ＝100010010008.0-⨯＝0.7即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7． （Ⅱ）当x ∈［2500,3500］时，0.8x ∈［2000,2800］①当0.8x ∈[)2500,2000即x ∈[)3125,2500时，324008.0<-x x 解得x <3000 ∴2500≤x <3000; …10分②当0.8x ∈[]2800,2500即x ∈[]3500,3125时，325008.0<-x x 解得x <3750 ∴3125≤x ≤3500; ……13分综上，2500≤x <3000或3125≤x ≤3500 即顾客购买标价在[)[]2500,30003125,3500间的商品，可得到的实际折扣率低于32． 18．解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ， ∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=，又点P 在椭圆上，所以142020=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。

江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟试题数 学 2013.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则()U P Q = ð . 2． 复数ii215+的实部是 3．“6πα=”是“1sin 2α=”的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、 纵坐标，则点P 在直线5=+y x 上的概率为 . 5．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组 的频数为10，则抽取的学生人数是 .6．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本32,32,32321+++a a a 的方差是 7．执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = . 8．已知函数2log (0)(),3(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f 的值是 . 9．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=， 则10S = .10．已知实数x 、y 满足20350x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则y x z )21()41(⋅=的最小值为 .11．设向量(c os ,s i n a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2a b a b +=-，则βα-= . 12．若函数()f x =(],2-∞上有意义，则实数k 的取值范围是_ ___．13．若函数22()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =.14．对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函数”，则b a -的最大值为 .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++ ⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16．（本题满分14分）如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅（1）若BP PA =，求x ，y 的值；（2）若3BP PA = ，||4OA = ，||2OB =，且OA 与OB 的夹角为60°时，求OP AB ⋅的值。