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高中数学解题技巧之圆锥曲线方程求解圆锥曲线方程是高中数学中的一个重要知识点，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的圆锥曲线方程求解方法，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。
一、椭圆方程求解椭圆方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴。
例题1：求椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率。
解析：根据椭圆方程的一般形式，我们可以得到$a=2$和$b=3$。
离心率的定义是$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，代入$a$和$b$的值计算得到$e=\sqrt{1-\frac{9}{4}}=\frac{1}{2}$。
因此，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$。
考点：椭圆方程的一般形式，离心率的计算公式。
二、双曲线方程求解双曲线方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线的长半轴和短半轴。
例题2：求双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线方程。
解析：根据双曲线方程的一般形式，我们可以得到$a=3$和$b=2$。
双曲线的渐近线方程有两种情况：1. 当$a>b$时，渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。
代入$a$和$b$的值计算得到渐近线方程为$y=\pm\frac{2}{3}x$。
2. 当$a<b$时，渐近线方程为$x=\pm\frac{a}{b}y$。
代入$a$和$b$的值计算得到渐近线方程为$x=\pm\frac{3}{2}y$。
考点：双曲线方程的一般形式，渐近线方程的求解方法。
三、抛物线方程求解抛物线方程一般形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。
例题3：已知抛物线$y=2x^2-4x+1$的顶点坐标为$(1,-1)$，求抛物线的焦点坐标。
圆锥曲线求方程方法总结
圆锥曲线求方程的方法主要有以下几种：
1．定义法：根据椭圆的定义直接求解。
2．待定系数法：一般按步骤求出圆锥曲线的标准方程。
3．直接法：根据题目的条件，直接列出圆锥曲线的方程。
4．交轨法：先求出两曲线的交点轨迹方程，然后再利用椭圆、双曲线、圆的参数方程求解。
5．定义法求轨迹：根据题目的条件，利用已知的圆锥曲线的定义，直接求出轨迹方程。
6．直译法：将题目的条件翻译成数学表达式，然后再将表达式进行整理和化简。
7．参数法：利用参数方程，将题目的条件转化为参数方程，然后再进行求解。
8．交点法：将题目中的条件转化为交点坐标，然后再利用交点坐标求出轨迹方程。
9．定义法求曲线方程：根据题目条件，利用已知的圆锥曲线的定义，直接求出曲线方程。
10．相关点法：根据题目条件，利用已知的圆锥曲线的相关点，求出曲线方程。
高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析解圆锥曲线方程是高中数学中的重要内容之一。
在本文中，我将介绍解圆锥曲线方程的方法和实例分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
解圆锥曲线方程的关键是确定曲线的形状和位置，以及找到曲线上的特殊点。
下面我将分别介绍解椭圆、双曲线和抛物线方程的方法，并通过具体题目进行分析。
一、解椭圆方程的方法和实例分析椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示椭圆的半长轴和半短轴。
解椭圆方程的关键是确定椭圆的半长轴和半短轴，以及椭圆的中心坐标。
我们可以通过以下步骤进行解题：1. 比较给定方程与一般方程的形式，确定$a$和$b$的值。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，比较可知$a=2$，$b=3$。
因此，椭圆的半长轴为2，半短轴为3。
2. 确定椭圆的中心坐标。
椭圆的中心坐标为$(h, k)$，其中$h$和$k$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的坐标。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，可知椭圆的中心坐标为$(0, 0)$。
3. 确定椭圆的形状和位置。
$a>b$时，椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴；当$a<b$时，椭圆的长轴平行于$y$轴，短轴平行于$x$轴。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，由于$a=2>b=3$，所以椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴。
通过以上步骤，我们可以得到椭圆的形状、位置和中心坐标。
进一步地，我们可以通过计算椭圆上的特殊点，如焦点、顶点等，来进一步分析和应用椭圆的性质。
二、解双曲线方程的方法和实例分析双曲线的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示双曲线的半长轴和半短轴。
高中数学中的圆锥曲线方程圆锥曲线是高中数学中一个重要的概念，它是平面上由一个动点和一个定点到动点的距离之比保持不变的点的轨迹。
圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的特例。
在高中数学中，学生需要学习如何根据给定的条件确定圆锥曲线的方程。
本文将探讨高中数学中的圆锥曲线方程。
首先，让我们来看看圆的方程。
圆是最简单的圆锥曲线，它的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
这个方程告诉我们，圆上的每一个点到圆心的距离都等于半径的长度。
通过给定圆心和半径的信息，我们可以轻松地确定圆的方程。
接下来，我们来讨论椭圆的方程。
椭圆是一个拉伸的圆，它的方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
这个方程告诉我们，椭圆上的每一个点到椭圆中心的距离之比等于a 和b的比值。
通过给定椭圆的中心坐标和半长轴长度的信息，我们可以确定椭圆的方程。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，它的方程可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b和c是常数。
这个方程告诉我们，抛物线上的每一个点的y坐标都等于x的平方乘以一个常数，并加上另外两个常数。
通过给定抛物线上的三个点的坐标，我们可以确定抛物线的方程。
最后，我们来讨论双曲线的方程。
双曲线是一个开口向左和向右的曲线，它的方程可以表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线在x轴和y轴上的半长轴长度。
这个方程告诉我们，双曲线上的每一个点到双曲线中心的距离之差等于a和b的比值。
通过给定双曲线的中心坐标和半长轴长度的信息，我们可以确定双曲线的方程。
总结起来，高中数学中的圆锥曲线方程是一个重要的概念。
圆锥曲线的标准方程推导圆锥曲线是平面上各点与一个定点（称为焦点）和一个定直线（称为准线）的距离之比为定值的点的轨迹。
根据圆锥曲线的形状不同，可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将以直角坐标系下的圆锥曲线为例进行推导。
设圆锥的焦点为F(x₁, y₁)，准线为直线l，该直线与坐标轴交于原点O，与x轴正方向的交点为A，与y轴正方向的交点为B。
设坐标系上的任意一点P(x, y)，我们将推导出圆锥曲线的标准方程。
首先，假设P与焦点F的距离为r，与直线l的距离为d。
根据定义，我们可以得到以下两个关系式：1. 根据焦准定理，有：r/d = e （1）其中，e为圆锥曲线的离心率，满足0 < e < 1（对应椭圆），e = 1（对应抛物线），e > 1（对应双曲线）。
2. 根据直角三角形AOB，可得：r² = x² + y²（2）由式（1）和式（2）可得：(x² + y²) / d² = e²（3）接下来，我们将推导出不同类型圆锥曲线的标准方程。
一、椭圆：当0 < e < 1时，圆锥曲线为椭圆。
将式（2）带入式（3）中得：x² + y² = e²d²（4）由于直线l与x轴正方向相交于点A，所以直线l的方程为y = kx，其中k为直线l的斜率。
将y = kx代入式（4）中并整理得：x² + (kx)² = e²d²（5）化简式（5）得：1 + k² = e²（6）将方程（6）代入方程（5）得：x² + (kx)² = (1 + k²)d²（7）将方程（7）除以d²并整理得：(x²/d²) + (k²x²/d²) = 1 （8）令a² = 1/d²，b² = k²/d²，则方程（8）可以进一步简化为：(x²/a²) + (y²/b²) = 1 （9）方程（9）即为椭圆的标准方程。
高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m ＞0,n ＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程解 如图，建立直角坐标系xOy,使AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴设双曲线方程为2222b y ax -=1(a ＞0,b ＞0),则a=21AA ′=7 又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B 、C 在双曲线上，所以有179,17112222222122=-=-b y b y由题意，知y2－y1=20,由以上三式得 y1=－12,y2=8,b=72故双曲线方程为984922y x -=1 例2过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y=21x 过线段B B 'AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式 解法二，用韦达定理解法一 由e=22=ac ,得21222=-a b a ,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x0,y0),则kAB=－2y x ,又(x0,y0)在直线y=21x 上，y0=21x0,于是－002yx =－1,kAB=－1,设l 的方程为y=－x+1右焦点(b,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692=a ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y=－x+1 解法二 由e=21,22222=-=a b a a c 得,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C 的方程为x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x －1),将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=22214k k +,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212k k +直线l y=21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-,解得k=0，或k=－1 若k=0,则l 的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l 的方程为y=－(x －1),即y=－x+1,以下同解法一例3如图，已知△P1OP2的面积为427，P 为线段P1P2的一个三等分为213的双曲点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P 的离心率线方程命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 △P1OP2的面积是学生感到困难的技巧与方法 利用点P 在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a 、b 的两个方程，从而求出a 、b 的值 解 以O 为原点，∠P1OP2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系 设双曲线方程为2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0) 由e2=2222)213()(1=+=a b a c ，得23=a b ∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x 和y=－23x设点P1(x1, 23x1),P2(x2,－23x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2,得P 点坐标为(22,322121x x x x -+),又点P 在双曲线222294a y a x -=1上，所以222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①,427131241321sin ||||211312491232tan 1tan 2sin 21349||,21349||212121*********212121121=⋅⋅=⋅⋅=∴=+⨯=+==+==+=∆x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又P 1即x1x2= 29②由①、②得a2=4,b2=9故双曲线方程为9422y x -=1 例 4 双曲线2224b y x -=1(b ∈N)的两个焦点F1、F2，P 为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________解析 设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜317, 又∵c2=4+b2＜317,∴b2＜35,∴b2=1答案 1学生巩固练习1 已知直线x+2y －3=0与圆x2+y2+x －6y+m=0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则m 等于( ) A 3 B －3 C 1 D －12 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( )12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x3 直线l 的方程为y=x+3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________4 已知圆过点P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________5 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x 为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=3104，试求椭圆的方程6 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长7 已知圆C1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C2的方程为2222b y ax +=1(a ＞b ＞0)，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2的方程 参考答案:1 解析 将直线方程变为x=3－2y,代入圆的方程x2+y2+x －6y+m=0, 得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0整理得5y2－20y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)则y1y2=512m+,y1+y2=4又∵P 、Q 在直线x=3－2y 上，∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m －3=0，故m=3 答案 A2 解析 由题意，可设椭圆方程为 2222b x a y + =1,且a2=50+b2, 即方程为222250b x by ++=1 将直线3x －y －2=0代入，整理成关于x 的二次方程由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75 答案 C3 解析 所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P 使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解 答案4522y x + =14 解析 设所求圆的方程为(x －a)2+(y －b)2=r2则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(r a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程答案 x2+y2－2x －12=0或x2+y2－10x －8y+4=05 解 |MF|max=a+c,|MF|min=a －c,则(a+c)(a －c)=a2－c2=b2,∴b2=4,设椭圆方程为14222=+y a x①设过M1和M2的直线方程为y=－x+m ②将②代入①得 (4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③ 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为(x0,y0),则x0=21(x1+x2)=224a m a +,y0=－x0+m=244a m + 代入y=x,得222444a mam a +=+, 由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－2244a a +,又|M1M2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求椭圆方程为4522y x + =1 6 解 以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）设抛物线方程为x2=－2py,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p=12 5, 于是抛物线方程为x2=－25y由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y=－0 16,从而|EE ′|=(－0 16)－(－4)=3 84 故最长支柱长应为3 84米7 解 由e=22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1, 又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,又2222222212212,12b y b x b y b x +=+=1,两式相减，得22221222212b y y b x x -+-=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ，解得b2=8 故所求椭圆方程为81622y x +=1 课前后备注。
微专题71 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。
可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。
例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a=；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=> ⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等 抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。
曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。
常见的曲线系方程如下： ① 过相交直线11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的交点的直线系方程为：120l l λ+=即()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=（其中λ为参数）② 与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（其中λ为参数） ③ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（其中λ为参数）④ 过相交两圆221111222222:0:0C x yD xE yF C x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩e e 交点的圆系方程为： ()1201C C λλ+=≠-即()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=⑤ 若直线:0l Ax By C ++=与圆221:0C x y Dx Ey F ++++=有公共点，则过公共点的圆系方程为：0C l λ+=即()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221x y a b-=渐近线相同的双曲线系方程为：()22220x y a bλλ-=≠ 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于,M N 两点，记直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，则椭圆的方程为（ ）A.221164x y += B. 22142x y += C. 2214y x += D. 2214x y += 思路：由已知可得2a =，所以只需利用条件1214k k =-求出的值即可，设()00,P x y ，()11,M x y ，则()11,N x y --。
则101121010,y y y y k k x x x x -+==-+，从而22101010122210101014y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-，由分子分母平方差的特点及,M P 在椭圆上联想到点差法，得：()()221122222101022200211140414x y b x x y y b x y b ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，所以222102210144y y b x x -=-=-- 即21b =，所以椭圆方程为2214x y += 答案：D例2：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为,A B，且AB =（1）求椭圆C 的离心率（2）若斜率为的直线过点()0,2，且交椭圆C 于,P Q 两点，OP OQ ⊥，求直线的方程及椭圆C 的方程解：（1）由椭圆方程可得：()()(),0,0.,,0A a B b F cAB BF a ∴===AB =Q22254a b a =⇒+=2242a b a b ∴=⇒=::2:1:a b c ∴=c e a ∴==（2）由（1）可得椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=()()1122,,,P x y Q x y ，OP OQ ⊥Q 12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r由已知可得，直线的方程为22y x =+联立方程：2222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 可得：()22242240x x b ++-=，即：2217321640x x b ++-= 2121216432,1717b x x x x -∴=+=-()()()212121212142222444417b y y x x x x x x -∴=++=+++=⋅22121216414401717b b x x y y --∴+=+⋅=，解得：1b =经检验：当1b =，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件∴椭圆方程为2214x y +=例3：已知直线:1l y kx =+，椭圆()222:109x y E m m+=>， （1）若无论为何值，直线与椭圆E 均有公共点，试求m 的取值范围及椭圆离心率关于m 的函数关系式（2）当k =E 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =u u u u r u u u r ，求椭圆E 的方程解：（1）由:1l y kx =+可知直线过定点()0,1l Q 与E 恒有公共点()0,1∴在椭圆上或椭圆内2201119m m∴+≤⇒≥ 293m m ≠⇒≠Qm ∴的范围为[)()1,33,m ∈+∞U若2913m m <⇒<<，则2229,a b m ==c ∴==c e a∴==若293m m >⇒>，则222,9a m b ==c ∴==3c e a∴==综上所述：3333m e m >⎪⎪=<<⎪⎩（2）由已知可得：13y x =+，()0,1M ∴ 设()()1122,,,A x y B x y()()1122,1,,1AM x y MB x y ∴=--=-u u u u r u u u r2AM MB =u u u u r u u u r Q ()12122121x x y y -=⎧∴⎨-=-⎩联立直线与椭圆方程可得：2221319y x x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y可得：22229193m x x m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，整理后可得： ()()22210910mx m +++-=()212122291,1010m x x x x m m -∴+==++ 122x x =-Q()12222212221091210x x x m m x x x m ⎧+=-=⎪+⎪∴⎨-⎪=-=⎪+⎩①②2∴÷①②可得：()()222222101720912109110m m m m m ⎛⎫⎪+⎝⎭-=⇒-=+-+ ()()2211080m m ∴-+=，即429900m m +-=，解得：26m =或215m =-（舍） ∴椭圆方程为22196x y += 例4：过点()4,0A -，向椭圆()222210x y a b a b+=>>引两条切线，切点分别为,B C ，且ABCV 为正三角形，则ab 最大时椭圆的方程为（ ）A. 224143x y +=B. 228183x y +=C. 223144x y +=D. 223188x y += 思路：由题意可知本题确定,a b 值的关键在于ab 达到最大值时，,a b 的取值，那么需要得到关于,a b 的关系（等式或不等式），作出图形可知，若ABC V 为正三角形，则,AB AC 的斜率为3±，进而能够得到,AB AC 的方程。
以AB为例：()43y x =+，与椭圆方程联立并消元可得到：()2222222381630a bxa x a ab +++-=，所以220316a b ∆=⇒+=，则考虑利用均值不等式得到03ab <≤等号成立条件为223a b =，再结合22316a b +=即可求出,a b 的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知：,6OAB π∠=3AB k ∴=AB ∴的方程为：()43y x =+ ，联立方程：)22222243y x b x a y a b ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y ：()222222143b x a x a b ++=，整理后可得： ()2222222381630ab x a x a a b +++-=AB Q 与椭圆相切()()()22222228431630a a b a a b ∴∆=-+-=()44422224646412192360a a a b a b a b ∴--+-=即42222412192360a b a b a b -+=22316a b ∴+=由均值不等式可得：223a b +≥=163ab ∴≤⇒≤（等号成立条件为：223a b =） ab ∴的最大值为3，此时2222228383163a a b b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩∴椭圆方程为：223188x y += 答案：D例5：已知点F 是椭圆C 的右焦点，,A B 是椭圆短轴的两个端点，且ABF V 是正三角形 （1）求椭圆C 的离心率（2）直线与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为求椭圆C 的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由ABF V 是正三角形可得：2a b =，因为222a b c =+∴解得：::2a b c =c e a ∴== （2）由（1）可得椭圆的方程为：22244x y b +=， 设与椭圆C 的交点为()()1122,,,M x y N x y若斜率不存在，可得弦长MN = 若斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程：()()22222224184044y kx mk x kmx m b x y b=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ()2212122248,1414m b kmx x x x k k-∴+=-=++ ()()()()22222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=++-⎣⎦，整理可得：()()()22222222161414k b m k b MN k +-+∴=+l Q 与圆222x y b +=相切()2221d b m b k ∴==⇒=+， 代入到上式可得：()()()22222222222231312161641414k k k k MN b b k k ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤=++（等号成立条件：22312k k k =+⇒=±） max 2MN b ∴=2b b ∴=⇒=a ∴= ∴椭圆方程为：221123x y +=例6：设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10（1）求E 的离心率（2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程 解（1）由M 在线段AB 上和2BM MA =可得：2BM MA =u u u u r u u u r()(),0,0,A a B b Q1221,3333OM OB OA a b ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u ra ∴=::2a b c ∴=c e a ∴=== （2）由（1）中::2a b c =，可设1yAB x b+=⇒+= 由()(),0,0,A a C b -可得：1,22N b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设N 的对称点'07,2N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 依题意可得：0172222271x b b +-++=⎪⎪⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪= 可解得：3b =a ∴= ∴椭圆方程为221459x y +=1322103OMbb k a a ∴===例7：已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的半焦距为，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c （1）求椭圆的离心率（2）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程 解：（1）过()(),0,0,c b 的直线的方程为：10x ybx cy bc c b+=⇒+-= 2212O l bc bc d c a b c --∴===+ 1122b b a a ∴=⇒=，由222a b c =+可得：22222324a c a c a ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭ 32c e a ∴== （2）由（1）可得：::2:1:3a b c =∴椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=由圆方程()()225212x y ++-=可得：()102,1,2M r -=设()()1122,,,A x y B x y121242210210x x x x AB AB r +⎧+=-=-⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩==⎩设():21AB y k x =++，联立方程：()2222144y k x x y b=++⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2224214x k x b +++=⎡⎤⎣⎦，整理后可得： ()()()22221481241240k xk k x k b +++++-=()()221212228124124,1414k k k b x x x x k k ++-∴+=-=++ ()281214142k k k k +∴-=-⇒=+ 21282x x b ∴=-12AB x ∴=-==AB =Q 22213b b ∴-=⇒=∴椭圆方程为：221123x y += 例8：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2b y x b N *=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <，若1122,,PF F F PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为__________ 解：1122,,PF F F PF Q 成等比数列221212124F F PF PF c PF PF ∴=⋅⇒=⋅由渐近线方程()2b y x b N *=∈可知：2a =，不妨设P 在右支上 1224PF PF a ∴-== ()222121212=216PF PF PF PF PF PF ∴-+-⋅= 即22212816PF PF c +-= 由中线定理可知：()22221222PF PF OF OP +=+()2221682c c OP∴+=+ 即()222228383203OP c a b b =+=++=+5OP <Q225203253b b ∴+<⇒< 由b N *∈可知21b = ∴双曲线方程为：2214x y -= 答案：2214x y -= 小炼有话说：中线定理：已知AD 为ABC V 中底边BC 的中线，则有()22222AB AC AD BD+=+，证明如下：在ADB V 中，由余弦定理可知： 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅ ①同理，在ADC V 中，有： 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅ ② ADB ADC π∠+∠=Q 且由D 是BC 中点可知：BD CD =∴+①②可得：222222AB AC AD BD CD +=++，即()22222AB AC AD BD +=+例9：（2014，福建）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-（1）求双曲线E 的离心率（2）如图，O 为坐标原点，动直线分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一、四象限），且OAB V 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在请说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为b y x a=± 22b b a a∴=⇒= 22225c a b a ∴=+=c e a∴== （2）若直线不与轴垂直，设()()1122:,,,,l y mx t A x y B x y =+ 联立方程：11122212t x x my t m y x t y m ⎧=⎪=+⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪-⎩ ，同理可得11122212t x x my t m y x t y m -⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩设直线与轴交于(),0C t1212OAB S OC y y ∴=⋅⋅-V 即22122841421212t t t t m m m +=⇒=--+ 由直线与渐近线的交点,A B 分别在第一、四象限可知：111222m m >⇒-<< 2140m ∴-> ()22414t m ∴=-由（1）可得双曲线方程为：222214x y a a-= 联立与双曲线方程：()()22222224184044x my t m y mty t a x y a=+⎧⇒-++-=⎨-=⎩ 因为与双曲线相切()()()2222816410mt t a m ∴∆=---= 整理可得：()()()222222441401440m a m a m a +--=⇒--= 所以24a = ∴ 双曲线方程为：221416x y -= ∴存在一个总与相切的双曲线E ，其方程为221416x y -= 例10：已知,A B 分别为曲线()222:10x C y a a+=>与轴的左，右两个交点，直线过点B 且与轴垂直，P 为上异于点B 的点，且P 在第一象限，连结AP 与曲线C 交于点M（1）若曲线C为圆，且3BP =，求弦AM 的长 （2）设N 是以BP 为直径的圆与线段BM 的交点，若,,O N P 三点共线，求曲线C 的方程 解：（1）若曲线C 为圆，则可知1a =22:1C x y ∴+= ()()1,0,1,0,1,3A B P ⎛∴- ⎝⎭()3113AP k ∴==-- AP ∴的方程：)1103y x x =+⇒-+=12O AP d -∴==AM ∴==（2）由已知可得：()(),0,,0A a B a -，设直线():AP y k x a =+()(),2y k x a P a ak x a=+⎧∴⇒⎨=⎩联立直线与椭圆方程可得：()()22222221x y x k x a a a y k x a ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩，整理后可得：()22232422120a k x a k x a k a +++-=可知该方程的两根为：,A M x a x =-，由韦达定理可得：422221A M a k a x x a k -=+ 32221M a a k x a k -∴=+ ()2221M M ak y k x a a k ∴=+=+ ，即3222222,11a a k ak M a k a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,,O N P Q 共线，且BP 为圆的直径OP BM ∴⊥0OP BM ∴⋅=u u u r u u u u r()32222222,2,,11a k ak OP a ak BM a k a k ⎛⎫-== ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r Q 322222222011a k ak OP BM a ak a k a k -∴⋅=⋅+⋅=++u u u r u u u u r 4222222401a k a k a k-+∴=+，即4222240a k a k -+=解得：a =∴ 曲线C 的方程：2212x y +=。
