最新届奉贤区高考数学二模(附答案)

2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题（二模）一、填空题1．已知复数z 满足()1i 1i z -=+，则复数z 的虚部为__________.【正确答案】1-【分析】由题意知，求复数z 的虚部可转化为先求z ，从而解得．【详解】因为()1i 1i z -=+，所以()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+，故i z =-，故复数z 的虚部为1-.故答案为.1-2．已知{}{}2|01x x mx n -+==，则m n +=__________.【正确答案】3【分析】由二次方程的根只有一个，则Δ0=，且根为1，代入即可求解.【详解】因为{}{}2|01x x mx n -+==，所以二次方程20x mx n -+=有两个相等的实数根，则240m n ∆=-=①，且方程的根为1，所以10m n -+=②，联立①②解得：2, 1.m n ==所以 3.m n +=故答案为.33．分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是__________．【正确答案】8【分析】根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑3枚硬币的所有情况数．【详解】每枚硬币都有2种情况，即正面和反面，则分别抛掷3枚硬币，{Ω=（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，所有8Ω=，故8．4．已知向量(),1a x =，()2,3b =- ,若a b ⊥ ，则实数x =__________．【正确答案】32/1.5【分析】直接由向量垂直的坐标运算公式计算即可．【详解】因为a b ⊥，所以230a b x ⋅=-+= ，解得32x =，故32．5．已知,,A B C 是同一直线上三个不同的点，O 为直线外一点，在等差数列{}n a 中，26OA a OB a OC =+，则数列{}n a 的前7项和7S =__________.【正确答案】72/3.5【分析】由题意261a a +=，然后利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的性质求解.【详解】因为,,A B C 是同一直线上三个不同的点，O 为直线外一点，且26OA a OB a OC =+，所以261a a +=，则()()2776172227a a a a S +⨯⨯+===.故答案为.726．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【正确答案】y =【分析】根据离心率求得ba，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则2=b a =故双曲线的渐近线方程为y =.故答案为.y =7．珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是__________．【正确答案】①【分析】由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答案．【详解】数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆拉玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量结果影响很小，故假设①最不重要，故①．8．安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为__________．【正确答案】216【分析】首先根据捆绑法将男生分为3组，然后男生与女生分别全排列，根据分步计数乘法原理计算即可．【详解】由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2人一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有2343C A 36=，女生的安排方法共有33A 6=，故不同的安排共有233433C A A 366216=⨯=种．9．若3030(21)kk k x a x =+=∑，则30k k a =∑被10除所得的余数为__________.【正确答案】9【分析】令1x =，可得30301515039(101)k k a ====-∑，结合二项展开式，即可求解.【详解】令1x =，可得30301515015114141151515151539(101)C 10C 10C 10C kk a====-=-+⋅⋅⋅+-∑015114141151515C 10C 10C 101=-+⋅⋅⋅+-，所以30k k a =∑被10除所得的余数为9.故答案为.910．已知函数()2ln f x x x =-，直线l ：40x y +-=，若直线0x y m -+=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，则A ，B 之间的最短距离是__________.【正确答案】【分析】根据题意两直线垂直所以A ，B 之间的距离即为A 到直线l 的距离，即为与l 平行且与()f x 相切的直线的切点到直线l 的距离.【详解】因为函数()2ln f x x x =-，直线l ：40x y +-=，若直线0x y m -+=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，直线0x y m -+=的斜率为1，直线l ：40x y +-=的斜率为1k =-，所以两直线垂直，所以函数()f x 图象上的点A 到直线l 的最短距离，即为,A B 之间的最短距离由题意可得()12f x x x'=-，0x >.令()121f x x x'=-=-，解得1x =（12x =-舍去）.因为()11f =-，取点()1,1A -，所以点A 到直线40x y +-=的距离d =则A ，B 之间的最短距离是故11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，114，AB AA ==，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为_____.【分析】过1C 做与直线1B E 垂直的平面α，则点P 的轨迹的长即为平面α与正四棱柱的交线长.【详解】如图，连接11B D ，11AC ，由题可知，1111AC B D ⊥，1ED ⊥平面1111D C B A .因11AC ⊂平面1111D C B A ，则111ED AC ⊥.又11B D ⊂平面11EB D ，1ED ⊂平11EB D ，1111∩ED B D D =，则11A C ⊥平面11EB D .又1B E ⊂平面11EB D ，则111C A B E ⊥；如图，过E 做11D C 平行线，交1CC 于F ，则F 为1CC 中点.连接1，EF B F ，过1C 做1B F 垂线，交1BB 于G .由题可得，11D C ⊥平面11BCC B ，又11EF D C ∥，则EF ⊥平面11BCC B .因1C G ⊂平面11BCC B ，则1C G EF ⊥.又1B F ⊂平面1B FE ，FE ⊂平面1B FE ，1∩FE B F F =，则1C G ⊥平面1B FE .因1B E ⊂平面1B FE ，则11C G B E ⊥；因1C G ⊂平面11C GA ，11C A ⊂平面11C GA ，1111∩C A C G C =，则1B E ⊥平面11C GA .连接1A G ，则点P 轨迹为平面11C GA 与四棱柱的交线，即11AC G △.注意到1111111111B C G GC F GC F B FC B C G B FC ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，1111C B G FC B ∠=∠，则1111C B F FC B ，故1111111122C B FC B G B G C B ==⇒=.则点P的轨迹的长为1111AG C G AC ++=+=故答案为+关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂线.12．数列{}n a 共有M 项（常数M 为大于5的正整数），对任意正整数k M ≤，有10k M k a a +-+=，且当2Mn ≤时，12n n a =．记{}n a 的前n 项和为n S ，若10231024n S ≤对任意1,2,3,,n M =⋅⋅⋅⋅⋅⋅都成立，则M 的最大值是__________．【正确答案】21【分析】根据已知得出数列{}n a 的性质，再分类讨论当M 为偶数和M 为奇数的情况即可得出答案．【详解】根据条件可知，数列{}n a 具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0．下面对M 讨论：当M 为偶数（数列{}n a 各个数非零），()2max 21112210231102412Mn MS S ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==≤-，解得20M ≤；当M 为奇数（数列{}n a 中120M a +=），()1211max 2211023121024M n M M S S S -+-⎛⎫===-≤⎪⎝⎭，解得21M ≤，故M 最大值为21，故21．二、单选题13．已知集合{}21A x x =<，202x a B x x ⎧⎫-⎪⎪=<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >C ．11a -<<D ．01a <<【正确答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，依题意可得A B ，即可得到0a >，再求出集合B ，即可求出参数的取值范围.【详解】由21x <，解得11x -<<，所以{}{}21|11A x x x x =<=-<<，因为222x ≥+，所以不等式202x ax -<+，等价于0x a -<，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，所以AB ，所以B ≠∅，则0a >，所以不等式0x a -<，即x a <，解得a x a -<<，所以{}20|,02x a B x x a x a a x ⎧⎫-⎪⎪=<=-<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，又A B ，所以1a >.故选：B14．已知,,x y z 是空间的直线或平面，要使命题“若,x z y z ⊥⊥，则//x y ”是真命题，,,x y z 可以是（）A ．,,x y z 是三个不同的平面B ．,x z 是两条不同的直线，y 是平面C ．,,x y z 是三条不同的直线D ．,x y 是两条不同的直线，z 是平面【正确答案】D【分析】根据线面、面面的、线线的垂直关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A ：若,,x y z 是空间中三个不同的平面，且,x z y z ⊥⊥，则平面x 和平面y 的位置不确定，故A 错误；对于C ：若,,x y z 是空间中三条不同的直线，且,x z y z ⊥⊥，则直线x 和直线y 的位置不确定，故C 错误；对于B ：,x z 是空间中两条不同的直线，y 是空间的平面，且,x z y z ⊥⊥，则直线x 和平面y 的关系为直线x//平面y 或直线x ⊂平面y ，故B 错误；对于D ：,x y 是空间中两条不同的直线，z 是空间的平面，且,x z y z ⊥⊥，则//x y ，故D 正确，故选：D.15．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()23sin 12x xf x x =+B ．()22sin 1x xf x x =+C ．()223cos 12x xf x x =+D ．()22cos 1x xf x x =+【正确答案】D【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可.【详解】由图可知，()f x 在[]π,π-上的图象关于y 轴对称，所以()f x 在[]π,π-上为偶函数，故应先判断各选项中函数()f x 的奇偶性.对A ，()()223()sin()3sin 12()12x x x x f x f x x x ---===+-+，()23sin 12x xf x x ∴=+为偶函数，故A 选项的函数()f x 为其定义域内的偶函数.同理：对C 、D 选项的()f x 均为其定义域内的偶函数，只有B 选项的()f x 为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.又π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对A 选项：22ππ3π3sin π2220ππ212()12()22f ⨯⋅⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭++，所以排除A.而由图可知()1f >-π，对C 选项：22212ππ2π+>+ ，()22222223πcos π3π2πππ1121π12π2πf +∴-+===-<-++，故排除C.故选：D.16．如图所示，已知()()010,0,4,0A A ，对任何n N ∈，点2n A +按照如下方式生成：121211,32n n n n n n n A A A A A A A π+++++∠==，且12,,,n n n A A A ++按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),n n a b n N ∈，则(lim ,lim )n n n n a b →∞→∞为A．2077⎛ ⎝⎭，B．37，⎛ ⎝⎭C．38⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D．2078⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，【正确答案】A【分析】利用向量的定义，推导知112231n n n OA OA A A A A A A -=+++的向量坐标，然后求出an ，bn 的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，1,4731,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.25832,,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.36933,,,k A A A A + （k ≥0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又112231n n n OA OA A A A A A A -=+++，所以123n a a a a =+++ =4-11112cos 601cos 60cos 60cos 6024816-⋅+--+ =344111111421222222-⨯-⨯+--++=3691113222⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ =3-11112088317718n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪=-= ⎪- ⎪⎝⎭123n b b b b =+++ =1102sin 601sin 600sin 60sin 60048+-⋅++-+ +L=11112148326411186411181188277n ⎫-+-+-⎪⎝⎭⎫=+++⎪⎝⎭⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪⎝⎭⎪=⎪- ⎪⎝⎭== 所以选A.本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三、解答题17．如图，P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点（点A 、B 、C 、P 逆时针排列），且满足CP CA =，记θ∠=CAP.(1)若π3θ=，求PB 的长；(2)用θ表示PAB 的面积S ，并求S 的取值范围.【正确答案】(1)(2)(π2sin 20,23S θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；（2）由正弦定理求出AP ，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.【详解】（1）由π3θ=，且ABC 是边长为2的正三角形，则2π3PAB ∠=，且2PA CP CA ===，所以在PAB 中，由余弦定理得22212cos 448122PB PA AB PA AB PAB ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以PB =（2）由CP CA =，则CAP CPA θ∠=∠=，则π2PCA θ∠=-，在PAC △中，由正弦定理有()2sin π2sin sin AP BC θθθ==-，得()2sin π24cos sin AP θθθ-==，所以1ππsin 4cos sin 233S PA AB θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2sin cos 2sin 22sin 23θθθθθθ⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，又0πθ<<，且0π2πθ<-<，则π02θ<<，所以ππ4π2333θ<+<，所以πsin 23θ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(π2sin 20,23θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故S 的取值范围为(0,2⎤+⎦.18．如图，线段1AA 是圆柱1OO 的母线，BC 是圆柱下底面O 的直径.(1)若D 是弦AB 的中点，且112AE AA =，求证：DE //平面1A BC ；(2)若2,30BC ABC =∠=︒，直线1AC 与平面ABC 所成的角为π3，求异面直线1AO 与AB 所成角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明1//DE A B ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）取线段AC 的中点F ，连接1,A F OF ，证明//OF AB ，则1AOF ∠即为异面直线AB 与1AO 所成角，证明OF ⊥平面1AAC ，再解1Rt AOF △即可.【详解】（1）因为D 是弦AB 的中点，且112AE AA =，可知E 是线段1AA 的中点，故在1AA B 中，DE 为边1A B 的中位线，则1//DE A B ，又1A B ⊂面1A BC ，且直线DE 不在面1A BC ，则DE //平面1A BC ；（2）取线段AC 的中点F ，连接1,A F OF ，在ABC 中，线段OF 是AB 的中位线，故//OF AB ，则1AOF ∠即为异面直线AB 与1AO 所成角，由题意知，111,,222AC AF AB OF AB =====，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，因为BC 是圆柱下底面O 的直径，所以AB AC ⊥，又11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AAC ，所以AB ⊥平面1AAC ，所以OF ⊥平面1AAC ，又因1A F ⊂平面1AAC ，所以1OF A F ⊥，在1Rt AOF △中，1π3ACA ∠=，故1AA =12AO ==，故11cos 4OF AOF OA ∠==，则异面直线1AO 与AB所成角的大小为19．某学校有,A B 两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晩餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天为了吸引学生就餐，A 餐厅推出就餐抽奖活动，获奖的概率为13，而B 餐厅推出就餐送贴纸活动，每次就餐送一张.假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)A 餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去A 餐厅就餐的概率为23，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在A 餐厅就餐的概率为p ，若A 餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去A 餐厅就餐的概率是59，求p .【正确答案】(1)0.3，0.4(2)() 1.2E X =，分布列见解析(3)12p =【分析】（1）根据古典概型公式计算即可.（2）求得X 的可能取值及对应概率完成分布列，根据离散型随机变量的期望公式求解即可.（3）根据全概率和条件概率公式求解即可.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐”，事件D 为“乙员工午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晩餐都选择B 餐厅就餐的天数为40，所以()()30400.3,0.4100100P C P D ====.（2）由题意知，X 可以取的值为：0，1，2()00.2P X ==，()10.4P X ==，()20.4P X ==，故X 的分布为：X012P0.20.40.4()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设M 表示事件“去A 餐厅就餐获奖”，N 表示事件“学生甲午餐去A 餐厅就餐”，由题知，()13P M =，()23P M =，()23P N M =，()59P N =，则()()()()()P N P N M P M P N M P M =+，解得()12p P N M ==.即如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在A 餐厅就餐的概率12p =.20．已知A 是椭圆22:14x C y +=的左顶点，P Q 、是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆C 的焦距和离心率；(2)设()()()0,,0,,1,0E t F s M ，若MF ME ⊥，且A 、P 、E 和A 、Q 、F 分别共线，求证：P O Q 、、三点共线；(3)若H 是椭圆C 上的点，且0OP OQ OH ++=，求PQH 的面积．【正确答案】(1)焦距为(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接由椭圆的方程得出a 和b ，再由c =c ，即可得出焦距和离心率；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，首先由MF ME ⊥得出1st =-，方法一：由A P E 、、三点共线和A Q F 、、三点共线，得出()()1212224x x y y ++=-，再将,P Q 代入椭圆方程，联合整理得120x x +=，12y y =-，即可证明结论；方法二：写出直线AE 的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点P 和Q 的坐标，进而得出120x x +=，120y y +=，即可证明结论；（3）设()()()1122,,,,,H H P x y Q x y H x y ，由0OP OQ OH ++=，得出H x 和H y ，①当直线PQ的斜率不存在时，得出111,2x y PQ =±==即可得出PQH 的面积；②当直线PQ 的斜率存在时，设:PQ l y kx m =+，与椭圆方程联立，得出H x 和H y ，结合点H 在椭圆C 上，得出21,2H H k x y m m==-，再根据弦长公式得出PQ ，根据点到直线距离公式得出点(),H H H x y 到直线PQ 的距离，根据12PQH S PQ d =△即可得出面积．【详解】（1）由22:14x C y +=可知，2a =，1b =，故c ==所以焦距2c =2c e a ==．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由题意，(2,0)A -，()1,MF s =- ，()1,ME t =- ，11(2,)AP x y =+ ，(2,)AE t =，22(2,)AQ x y =+ ，(2,)AF s =，又MF ME ⊥，所以0MF ME ⋅=，得1st =-，方法一：由A P E 、、三点共线，则AP AE∥，即11(2)2x t y +=，同理可得，A Q F 、、三点共线，则AQ AF∥，即()2222s x y +=，故()()1212224ts x x y y ++=，即()()1212224x x y y ++=-，又221114x y =-，222214x y =-，所以22222212121(1)(1)44()y y x x y y ==--22114444x x --=⋅1122(2)(2)(2)(2)16x x x x -+-+=，所以()()2212112222(2)(2)(2)(2)1166x x x x x x ++-+-+=，由12,[2,2]x x ∈-，整理得120x x +=，所以有2212y y =，又()()121220,20,0x x y y +≥+≥≤，故12y y =-，所以()()1122,,OP x y x y OQ ==--=- ，所以P O Q 、、三点共线．方法二：因为1st =-，()0,F s ，则10,F t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由(2,0),(0,)A E t -得直线AE 的方程为2ty x t =+，与椭圆C 联立22214t y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222214440t x t x t +++-=，则2124421t x t --=+，所以222222,11t t P t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理得222222,11t t Q t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以120x x +=，120y y +=，即P O Q 、、三点共线．（3）设()()()1122,,,,,H H P x y Q x y H x y ，因为0OP OQ OH ++=，()12H x x x =-+，()12H y y y =-+，①当直线PQ 的斜率不存在时，则1212x x y y =⎧⎨=-⎩，所以12H x x =-，0H y =，又H 是椭圆C 上的点，此时1131,32x y PQ =±==，故1333322PQH S ==△，②当直线PQ 的斜率存在时，可设:PQ l y kx m =+，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，所以2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++，()121222214m y y k x x m k +=++=+，所以2282,1414H Hkm mx y k k ==-++，又点H 在椭圆C 上，代入整理得，22414k m +=，从而21,2H H k x y m m==-，于是()22222212122284431414411414km m PQ kx x x x kk k k m -⎛⎫=++-=+--⨯=+ ⎪++⎝⎭，点(),H H H x y 到直线PQ 的距离22311H H kx y mm d k k -+==++所以13322PQH S PQ d ==△．21．已知函数()()()()2e e 2,,,x xf x b xg x ax b a b -=++-=+∈R .(1)()()()()10,10g f g f '==，求实数,a b 的值；(2)若1,2a b ==，且不等式()()e 22xf x kg -+'≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围；(3)设2b =，试利用结论2e e 2x x x -+≥+，证明：若12π,,,0,2n θθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭L ，其中*2,n n ≥∈N ，则()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅++⋅ ()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.【正确答案】(1)1,1a b ==(2)12k ≤(3)证明见解析【分析】（1）求得()2g x ax '=，根据题意得到方程组222a a b =⎧⎨+=⎩，即可求解；（2）把()()e 22xf x kg -+'≥-转化为即22e e 2e 2e 12e 44e 2x x x xx x k --++++≤=++对任意x ∈R 恒成立，设e xt =，设()22142t t h t t ++=+，利用导数求得函数()h t 在单调性，结合()()0h t h >，即可求解；（3）解法1：由不等式2e e 2x x x -+≥+，推得()()221212224f x f x x x ⋅≥++，进而利用累加法，即可得证；解法2：由2e e 2x x x -+≥+，得到()()()()222212121222224f x f x x x x x ≥++≥++，结合累加法，即可得证.【详解】（1）由函数()2g x ax b =+，可得()2g x ax '=，所以()1g a b =+，()12g a '=.又由()02f =，所以222a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==.（2）若1,2a b ==，可得()()2e e ,2x xf xg x x -=+=+，则()2g x x '=，则不等式()()e 22x f x kg -+'≥-可化为()e e 2e 22x x xk --+≥+-，即22e e 2e 2e 12e 44e 2x x x x x x k --++++≤=++对任意x ∈R 恒成立，令e xt =，则0t >，设函数()22142t t h t t ++=+，可得()22(21)t t h t t '+=+，因为0t >，所以()0h t '>恒成立，所以函数()y h t =在()0,∞+上严格递增，所以()()102h t h >=，故12k ≤，即实数k 的取值范围为1(,]2-∞.（3）解法1：由()()()()()12112212122112e e e e e e e ex x x x x x x x x x x xf x f x -+--+--⋅=++=+++，因为2e e 2x x x -+≥+，可得()()1212212e e2x x x x x x -+++≥++，当且仅当120x x +=时，等号成立；所以()1221212e e 2x x x x x x --+≥-+，当且仅当120x x -=时，等号成立，故()()()()22221212121222224f x f x x x x x x x ⋅≥+++-+=++，当且仅当120x x ==时等号成立.因此有()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++，()()222121sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ-->++，，()()2211sin cos 2sin 2cos 4,n n f f θθθθ>++以上n 个式子相加得：()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.解法2：由2e e 2x x x -+≥+，可得()()()()22222222121212121222224224f x f x x x x x x x x x ≥++=+++≥++，当且仅当120x x ==时等号同时成立.故()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++，()()222121sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ-->++，，()()2211sin cos 2sin 2cos 4n n f f θθθθ>++以上n 个式子相加得：()()()()()()12112sin cos sin cos sin cos n n n f f f f f f θθθθθθ--⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()()1sin cos 6n f f n θθ+⋅>.方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．2．函数y=的定义域是______．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=______．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=______cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为______．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=______．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______．12．在（x++1）6展开式中的常数项是______（用数值作答）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取﹣1值范围是______．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数y=的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：2n﹣1≥0，解得n的范围即可．【解答】解：根据题意得：2n﹣1≥0，解得：n≥0．∴函数y=的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC 的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得：=4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的各项和，属基础题．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是（x﹣）2+（y﹣）2=．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先在极坐标方程ρ=sinθ+cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．即（x﹣）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．12．在（x++1）6展开式中的常数项是581（用数值作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2kx r﹣2k，令r﹣2k=0，对k，r分类讨论即可得出．【解答】解：T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2k x r﹣2k，令r﹣2k=0，k=0，r=0时，可得：T1=1．k=1，r=2时，可得：T3=，T′2=，∴=60．k=2，r=4时，可得：T5=，T′3==24，∴×24=360．k=3，r=6时，可得：T7=，T′4==160，∴×160=160．∴（x++1）6展开式中的常数项是1+60+360+160=581．故答案为：581．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件，{a n}单调递增，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2）得S n+S n+1=2（n+1）2+1，两式相减得a n+1+a n=4n+2，故a n+2+a n+1=4n+6，两式再相减得a n+2﹣a n=4，得{a n+2}是公差d=4的等差数列，由n=2得a1+a2+a1=9，a2=9﹣2x，从而a2n=4n+5﹣2x；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=19，a3=1+2x，从而a2n+1=4n﹣3+2x，由条件得，解得2＜x＜3，故x的取值范围为（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题．16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据等差中项，得到2log2y=2+log2x，继而得到y2=4x，x＞0，y＞0，问题得以解决．【解答】解：∵log2x，log2y，2成等差数列，∴2log2y=2+log2x，∴y2=4x，x＞0，y＞0，∴M（x，y）的轨迹的图象为焦点为（1，0）的抛物线的一部分，x＞0，y＞0，故选：A．【点评】本题考查了等差中项和对数的运算性质，以及抛物线的问题，属于基础题．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π【考点】复数求模．【分析】由已知可得： +4=0，解得=i，即可得出．【解答】解：∵，∴+4=0，解得==i，∴|z1|=|z2||1i|=4，∴以|z1|为直径的圆的面积为22π=4π．故选：B．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE 与面ABC所成的锐二面角的大小．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；理由如下：∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴=，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，又B是平面PBE和平面ABC的公共点，∴BC是面PBE与面ABC的交线．（2）∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴V B﹣PADE =S梯形ADEP•AB=（1+2）×1×AB=，解得AB=．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（，0，2），=（0，1，﹣1），设二面角PBE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣，1，1），平面ABC的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞===，∴面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小为arccos．【点评】本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，∴=k2，∴﹣+m2=0，∵m≠0，∴k2=，方向向量=（±2，1）．∴直线l不定向．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．【点评】本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．∴13447＜（n﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n∈Z，∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意可知a n•b n=a n﹣1•b n﹣1=…=a1•b1，故问题得以证明；（2）根据{a n}是递减数列，得到（a1﹣b1）2＞0，a n＞b n，得到a1＞b1恒成立，（3）先判断a n +1＞2，再根据a n +1﹣a n =，得到a n +1﹣a n ＜0，{a n }是递减数列，即可得到a n ﹣a 2＜0，求出a n 的取值范围． 【解答】解：（1）∵，∴2a n +1=a n +b n ， =，∴b n +1=，∴a n +1b n +1=a n •b n ，∴a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，∴{a n •b n }是常数列；（2）{a n }是递减数列，a n +1﹣a n ＜0，∵a 2﹣a 1=（a 1+b 1）﹣a 1=（b 1﹣a 1）＜0∴a 1＞b 1，∵a 3﹣a 2=（b 2﹣a 2）＜0，∴a 2＞b 2，∵（a 1+b 1）＞， ∴（a 1﹣b 1）2＞0，猜想a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）＜0，∴a n ＞b n ，∴a 1＞b 1恒成立，∵a k +2﹣a k +1=（b k +1﹣a k +1）==＜0， ∴a 1＞b 1时，{a n }是递减数列．（3）整理得a n +1=（a n +），a 1=4，∴a 2=，∴a 1＞0⇒a 2＞0⇒a 3＞0⇒…⇒a n ＞0，当n≥2时，a n﹣2=（a n+）﹣2=＞0，+1＞2，∴a n+1﹣a n=（b n﹣a n）==，∴a n+1∵a n＞2，﹣a n＜0，∴a n+1∴{a n}是递减数列，∴a n﹣a2＜0，∴a n∈（2，]【点评】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．。

上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一、填空题详细信息1.难度：中等若（a+4i）i=b+i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a-b= ．详细信息2.难度：中等函数f（x）=2x-3的反函数f-1（x）= ．详细信息3.难度：中等若集合A={-1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=．详细信息4.难度：中等阅读如图所示的程序框图，若输出y的值为0，则输入x的值为．详细信息5.难度：中等二项式的展开式中常数项的值为．详细信息6.难度：中等无穷等比数列满足an =2an+1，a1=1，则数列{an}的各项和为．详细信息7.难度：中等已知数列{an }是等差数列，公差d≠0，在行列式中，元素ai（i∈N*，1≤i≤9）是实数，则所有元素的代数余子式大于零的个数有个．详细信息8.难度：中等不等式2x--a＞0的在[1，2]内有实数解，则实数a的取值范围是．详细信息9.难度：中等圆ρ2+2ρcosθ-3=0的圆心到直线（t是参数）的距离是．详细信息10.难度：中等盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降 cm．详细信息11.难度：中等已知cos（x-）=-，则cosx+cos（x-）= ．详细信息12.难度：中等关于x的方程x+m=没有实数解，则实数m的取值范围是．详细信息13.难度：中等已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则x=ξ 1 2 3P x y x详细信息14.难度：中等在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x2+y2≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，则点集Q={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为．二、选择题详细信息15.难度：中等已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b且直线a⊥c”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件详细信息16.难度：中等若有不同的三点A，B，C满足：：=3：4：（-5），则这三点（）A．组成锐角三角形B．组成直角三角形C．组成钝角三角形D．在同一条直线上详细信息17.难度：中等已知等比数列{an}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A．数列{an}的各项均为正数B．数列{an}中必有小于的项C．数列{an}的公比必是正数D．数列{an}中的首项和公比中必有一个大于1详细信息18.难度：中等已知：P为椭圆上的任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作与x轴和y 轴的平行线交于C，过P引BC、AC的平行线交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN是S1，三角形PDE的面积是S2，则S1：S2=（）A．1B．2C．D．与点P的坐标有关三、解答题详细信息19.难度：中等设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式的解集为N．（1）当a=1时，求集合M；（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．详细信息20.难度：中等已知函数，．（Ⅰ）求方程f（x）=0的根；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．详细信息21.难度：中等函数f（x）=lg（），其中b＞0（1）若f（x）是奇函数，求b的值；（2）在（1）的条件下，判别函数y=f（x）的图象是否存在两点A，B，使得直线AB平行于x轴，说明理由．详细信息22.难度：中等如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大；（2）在（1）的条件下，求三棱锥P-MNC的体积．详细信息23.难度：中等平面内一动点P（x，y）到两定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之积等于1．（1）求动点P（x，y）的轨迹C方程，用y2=f（x）形式表示；（2）类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹C的性质，请直接写出答案；（3）求△PF1F2周长的取值范围．详细信息24.难度：中等数列{an } 的各项均为正数，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6p n（1）当k=1，p=5时，若数列{an}是成等比数列，求t的值；（2）当t=1，k=1时，设Tn =a1+++…++，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列是一个常数；（3）设数列{an}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．。

上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1. 若球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm2. 已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是3. 设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =4. 已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5. 已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围为6. 从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是 （结果用数值表示）7. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是 8. 已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是10. 集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅，则实数a的取值范围是11. 三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n+++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解；丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当x = 时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值12. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ） A . 1.5小时B . 1.0小时C . 0.9小时D . 0.6小时14. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（ ）A .B .C .D .15. 设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ）A. 1B. aC.1aD.1a或a 16. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1，且公比1q ≠，若存在数对(,)k t ，*,N k t ∈，使得k t a b =，称这样的数对(,)k t 为{}n a 与{}n b 相关数对，则这样的数对(,)k t 最多有（ ）对 A. 2 B. 3C. 4D. 5三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.18. 已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，Z k ∈），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.19. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元. （1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*N n ∈. （1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为k a （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n-的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*N n ∈，且110a b ==，是否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷答案解析版一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.球的表面积为216cm π，则球的体积为___________.【答案】323π【解析】【详解】2343242,6331R R V R ππππ=∴===2.已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是________【答案】2 【解析】 【分析】化为直角坐标方程可得其圆心和半径【详解】解：由62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩得，222(6)2x y -+=，所以此圆的圆心为(6,0)，半径为2 故答案为：2【点睛】此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题3.设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =________ 【答案】180±【解析】 【分析】 直接代入化简求解【详解】解：由2021i z b =+和22029z z ⋅=得2(2021)(2021)2029bi bi +-=， 22220212029b +=所以22220292021(20292021)(20292021)b =-=+-，232400b =，解得180b =±，故答案为：180±【点睛】此题考查的是复数的运算，属于基础题4.已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为________【答案】 【解析】 【分析】若设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==，结合椭圆的定义和直角三角形可得，2220242m n a m n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，从而可求出0x ，然后将0x 的值代入椭圆方程中可求出0y 【详解】解：曲线22:1412x y Γ+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中2212,4a b ==，则28c =，得4,a b c ===0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==， 因为12F PF ∠是直角，所以2220242m n am n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得0x =0x 2021412y +=，解得0y =（负根舍去）所以点的坐标为，故答案为：【点睛】此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题5.已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则OA OM⋅=-x+y，设z＝﹣x+y，则y＝x+z，平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大，由22yx y=⎧⎨+=⎩得2xy=⎧⎨=⎩，得A（0，2），此时z＝﹣0+2＝2，故⋅OA OM的最大值是2，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.6.从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）【答案】4 5【解析】【分析】从4男2女六名志愿者中任选三名，其中既有男志愿者又有女志愿者，所以分两种情况：（1）1男2女；（2）2男1女求解【详解】解：从4男2女六名志愿者中任选三名共有3620C =种方法，而所选的3名中既有男志愿者又有女志愿者，分两种情况：第一种1男2女，有21244C C =种；第二种2男1女，有122412C C =种，所以所求的概率为2112242436164205C C C C P C +=== 故答案为：45【点睛】此题考查的是古典概率的求法，属于基础题7.ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______．【答案】0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 变为222bc b c a ≤+-，然后用余弦定理推论可求2221cos 22b c a A bc +-=≥，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A 的取值范围．【详解】因为sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，所以222a b c bc +-≤，即 222bc b c a ≤+-．所以2221cos 22b c a A bc +-=≥ ，因为A 0π∈（，），所以A 0]3π∈（，．【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin ,sin 22a bA B R R==，将角化为边．8.已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或5 【解析】 【分析】由3a 、13a 、63a 成等比数列，列方程找出1,a d ，从而可求出公比 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因3a 、13a 、63a 成等比数列，所以213363a a a =⋅，即2111(12)(2)(62)a d a d a d +=++，化简得，212d a d =0d =或12d a =当0d =时，等差数列的每一项都相等，所以3a 、13a 、63a 成等比数列时的公比为1当12d a =时，311131125,1225a a d a a a d a =+==+=，所以1335a a =， 所以等比数列的公比为1或5 故答案为：1或5【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．【答案】2π【解析】【详解】试题分析：分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2DA =，则()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2A M A M =--， ()()()()1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos ,0A M DN N DN AM DN A M DNA M DN--⋅=∴〈〉===1AM DN ⊥，即异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是2π考点：异面直线所成的角10.集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若AB =∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】(,1)[4,)-∞-+∞【解析】 【分析】先分别求出集合,A B ，再由AB =∅列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：由22024x x -≤-得，(22)(24)0x x --≤且(24)0x -≠，解得12x ≤<，所以集合{}12A x x =≤<，由||2x a -≤得，22a x a -≤≤+，所以集合{}22B x a x a =-≤≤+， 因为AB =∅，所以21a +<或22a -≥， 解得1a <-或4a ≥ 故答案为：(,1)[4,)-∞-+∞【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题 11.三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解； 丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当x =________时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值【解析】【分析】由22(100)100x x +-=得，221001100100x x -+=，然后利用丙的思路求解即可【详解】解：因为22(100)100x x +-=，010x <<，0a >所以221001100100x x -+=所以222221100100100100a x x y x x ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 2222221(100)100100100(100)a x a x x x +-=++-21100a +≥+212100100a a+=+当且仅当22222(100)100100(100)x a x x x -=-时，取等号即当x =221100a a ++【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题12.在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =________【答案】1-+，12-，16-【解析】 【分析】由点(,1)A m -在抛物线22y px =上，所以将点A 坐标代入抛物线方程中，可得到m 与p 的关系，由22y px =可得点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，所以2p AF m =+，而2AB m =-，由2||||6AB AF +=列方程可求出m 的值【详解】解：因为点A 在抛物线22y px =上，所以12pm =，得12p m=， 因为抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-所以124p AF m m m=+=+， 因为(,1)A m -，(2,1)B -，2m <， 所以2AB m =-，因为2||||6AB AF +=，所以12(2)64m m m-++=， 所以12204m m m+=+≥， 所以1224m m m +=+或1224m m m+=--化简得24810m m +-=或212810m m ++=，解得25m -±=或12m =-或16m =-，因为12m -≤<，所以252m -+=，12m =-，16m =-，故答案：512-+，12-，16-【点睛】此题考查抛物线的性质，属于中档题 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A .1.5小时 B. 1.0小时 C. 0.9小时 D. 0.6小时【答案】C 【解析】 【分析】直接利用加权平均数公式求解【详解】解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为1(50200.510 1.010 1.55 2.0)0.950⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故选：C【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题14.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.15.设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*n ∈N ，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ）A. 1B. aC.1aD.1a或a 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得10na ->，得01a <<，所以lim 0n n a →∞=，从而可求出()lim f n n n a a a→∞+的值【详解】解：因为()log (1)xa f x a =-，所以log (1)()1lim lim lim na a f n nn n nn n n a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-==+++， 因为10n a ->，所以01a <<，所以lim 0nn a →∞=， 所以log (1)()11lim lim lim na a f n n n n n n n n a a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-===+++，故选：C【点睛】此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）16.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.【答案】（1）1；（2）30. 【解析】 【分析】（1）由1BE B C ⊥，可得BCE ∆∽11CC B ∆，从而得111CC BC CE C B =，再将已知的数据代入可得EC 的长；（2）如图建立空间直角坐标系，先求出平面BED 的法向量，然后利用向量的夹角公式求出1A B 与平面BED 所成的线面角【详解】解：因为1BE B C ⊥，所以190EBC BCB ∠+∠=， 因为11190C CB BCB ∠+∠=︒，所以11EBC C CB ∠=∠， 因为1190BCE CC B ∠=∠=︒，所以BCE ∆∽11CC B ∆，所以111CC BC CE C B =又因为1112,4BC B C CC ===，所以242CE = 解得1CE =（2）如图，以D 为坐标原点，分别以射线1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,0),(2,2,0),(0,2,1),(2,0,4)D B E A所以1(2,2,0),(0,2,1),(0,2,4)DB DE BA ===-， 设平面BED 的法向量为(,,)m x y z =，则0m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则1,2x z =-=-所以(1,1,2)m =--，设1A B 与平面BED 所成的角为θ，则111sin cos ,66m BA m BA m BA θ⋅=<===所以30arcsin6θ= 所以1A B 与平面BED 所成的线面角为【点睛】此题考查的是几何图形中的计算，利用空间向量求线面角，属于中档题 17.已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，k ∈Z ），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.【答案】（1）()212sin sin xf x xλλ+-=-，26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z ； （2）12λ=时，()f x P ∈，12λ≠时，()f x P ∉ 【解析】 【分析】（1）直接将向量33(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-代入()f x =2()a b a bλ+⋅中化简，可求出()f x 的解析式，再解方程()2f x =-即可； （2）由()()2f x f x +-=化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-， 所以()f x =22233(cos sin )(sin cos )()222233cos sin sin cos 2222x xx x a b x x a b x x λλλ++-+=⋅- 212sin sin()xx λλ+-=-212sin sin xxλλ+-=-，当1λ=时，22sin ()sin x f x x-=-，由()2f x =-得，1sin 2x =解得26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z 所以方程的解集为26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭（2）当()()2f x f x +-=时，2212sin 12sin()2sin sin()xx xx λλλλ+-+--+=---，化简得， 2212sin 12sin 2sin x x x λλλλ--++++=解得12λ=，所以当12λ=时，()f x P ∈，当12λ≠时，()f x P ∉ 【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.18.甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】（1）1000300()y bv v=+，(]0,100v ∈；（2）当110b ≥时，v =，10,10b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，100v =时最小. 【解析】 【分析】(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别表示出来依题意建立起全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的倍数,由题设条件速度不得超过70千米/时,故定义域为(]0,100v ∈; (2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论 【详解】解：（1）由题意得，全程运输成本23001000(1000)300()y bv bv v v=+=+，(]0,100v ∈ （2）因为0,0b v >>所以1000300()y bv v =+≥=当且仅当1000bv v =时取等号，即v =① 100≤时，即110b ≥时v =时，y 最小② 100>时，即1010b <<时，y 在(0,100]上单调递减则100v =时，y 最小【点睛】此题考查建立函数关系、不等式的性质、最大值、最小值等知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决问题的能力，属于中档题19.直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果.【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ，因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍，所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b-=， 由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点， 所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->，化简得22330m k -+>，由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因为||||QM QN =，所以221111mk km k k +-=--，化简得212k m -=， 所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 20.两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*n ∈N .（1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为ka （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由； （2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n -的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N ，且110a b ==，否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.【答案】（1）不具有；见解析（2）102；见解析（3）见解析，1λ=. 【解析】 【分析】（1）2022(1)x +展开式中系数最大项为101110112022C x ，然后再判断20221()x x-展开式中1011x 的系数是否是最大值，即可得结果；（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n nn T n n -=-=+-⋅-，结合11n n nn T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，求得6n =，求得n T 的最大值，由{}n S 与{}n T 具有性质P ，可得6n =时，max ()10800n S =，由n a t dn =-，结合60,70t d t d ->-<求得t 的范围，再由n a t dn =-是等差数列，可得6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，然后联立*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解出数列{}t dn -的个数；（3）由11()n n n n a a b b λ++-=-进行迭代，可得n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ， 所以00n n a b =，从而可1λ=【详解】解：（1）2022(1)x +展开式的通项为12022r r r T C x +=，则数列{}n c 的通项为-12022n n c C =故数列{}n c 中的最大值为101110122022c C =20221()x x -展开式的通项为'2022202221202220221(1)rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，而当202221011r -=时，得10112r N =∉， 所以{}n c 与{}n d 不具有性质P（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，即113333198231982(1)322223333198231982(1)32222n n n n n n n n -+⎧+-⋅≥-+-⋅⎪⎪⎨⎪+-⋅≥++-⋅⎪⎩，解得131********n n +⎧≤⎨≥⎩，因为*2,n n N ≥∈，673729,32187== 所以当6n =时，6max 33()19826+31080022n T =⨯-⋅=, 因为 {}n S 与{}n T 具有性质P ， 所以6n =时，max ()10800n S =，因为n a t dn =-，所以60,70t d t d ->-<， 因n a t dn =-，所以6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，由*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解得360636134313,,,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⋅⋅⋅⎨⎨⎨===⎩⎩⎩共有102个数列； （3）因为11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N 当2n ≥，*n ∈N 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+112211()()()n n n n b b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+所以n n a b λ=当1n =时，110a b ==符合上式所以n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大项， 设00max max (),()n n n n a a b b ==，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，1λ=显然成立，假设1λ>，则显然00max max (),()n n n n a a b b ==，000n n n a b b λ=>矛盾 同理，1λ<也矛盾， 所以1λ=【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。

上海市奉贤区高三二模数学试题一、单项选择题1．如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是〔 〕A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与AB D ．PA 与CD【答案】A【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证PB DA ⊥、AB PD ⊥、PA CD ⊥，而BD 不一定与PC 垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.【详解】由PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，A ：AD ⊂面ABCD ，那么PA AD ⊥，而AC 与AD 不一定垂直，不一定有BD ⊥面PAC ，故BD 不一定与PC 垂直，所以PC 与BD 数量积不一定为0，符合题意；B ：由A 知PA AD ⊥，又DA AB ⊥且AB PA A ⋂=，那么DA ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以PB DA ⊥，即PB 与DA 数量积为0，不合题意；C ：由上易知PA AB ⊥，又DA AB ⊥ 且DAPA A =，那么AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAB ，所以AB PD ⊥，即PD 与AB 数量积为0，不合题意；D ：由上知PA AB ⊥，而//AB CD ，所以PA CD ⊥，即PA 与CD 数量积为0，不合题意； 应选：A.2．以下选项中，y 可表示为x 的函数是〔 〕 A ．230yx -=B ．23x y = C ．()sin arcsin sin x y = D ．2ln y x =【答案】D【分析】根据函数的概念判断即可.【详解】选项A ，当3x =时，2y =±，故不正确； 选项B ，当4x =时，8y =±，故不正确； 选项C ，当12x =时，26y k ππ=+等等，故不正确；选项D ，由2ln y x =，可得2x y e =，为指数型函数，所以正确. 应选：D.3．1x ､2x ､1y ､2y 都是非零实数，()()()2222212121122x x y y x y xy +=++成立的充要条件是〔 〕A ．212110100110x x y y = B ．1122101000y x y x =- C ．1122101000y x x y -= D ．211210100110x x y y =- 【答案】C【分析】将条件()()()222221212112212120x x y y x y xy x y y x +=++⇔-=，然后对四个选项逐个验证即可得出结果.【详解】因为1212,,,x x y y 都是非零实数，所以，()()()()()()()()()222221212112222222212121212121212122x x y y x y x y x x x x y y y y x x x y y x y y +=++⇔++=+++()()()22121212122121212122000x y x y y x y x x y y x x y y x ⇔-⋅+=⇔-=⇔-=对于选项A ：11221211221212112211221121010010101001111011000x x x x x x x y y y y y y y y x y x y x y x y y y =⨯-⨯+⨯=+=+⇔=⇔+=故A 错误； 对于选项B ：1111121222221221010010101000xy x y x x y y y x y x x y x =⨯-⨯+⨯=-=---，故B 错误；对于选项C ：1111121222221221010010101000xy x y x y y x x y x y x x y ---=⨯-⨯+⨯=-=，故C 正确；对于选项D ：11221212112121211221122121010010101001111011000x x x x x x x y y y y y y y y x y x y x y x y y y =⨯-⨯+⨯=+=---+⇔=⇔+=故D 错误. 应选：C4．设点A 的坐标为(),a b ，O 是坐标原点，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA '，那么A '的坐标为〔 〕A ．()cos sin sin cos a b a b θθθθ-+，B ．()cos sin cos sin a b b a θθθθ+-，C ．()sin cos cos sin a b a b θθθθ+-，D ．()cos sin sin cos b a b a θθθθ-+，【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得A '的坐标． 【详解】根据题意，设||OA r =，向量OA 与x 轴正方向的夹角为α，又由点A 的坐标为(,)a b ，那么cos a r α=，sin b r α=，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA '，那么(cos()A r αθ'-，sin())r αθ-． 而()cos cos cos sin sin cos sin r r r a b αθαθαθθθ-=+=+， sin()sin cos cos sin cos sin r r r b a αθαθαθθθ-=-=-，故A '的坐标为(cos sin ,cos sin )a b b a θθθθ+-， 应选：B【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属于中档题.二、填空题5．经过点()2,4的抛物线2y ax =焦点坐标是__________. 【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】把点(2, 4)代入抛物线方程可得a ,进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标. 【详解】抛物线2y ax =经过点()2,4，1a ,∴抛物线标准方程为2x y =, ∴抛物线焦点坐标为1(0,)4故答案为: 1(0,)46．把一个外表积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥(假设没有任何损耗)，那么圆锥的高是__________厘米. 【答案】8【分析】由球体的变面积公式求球的半径，再根据实心铁球铸成圆锥前后体积不变，求圆锥的高即可.【详解】假设实心铁球的半径为r ，那么2416r π=π，可得2r ，∴其体积为343233V r ππ==，将其铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥， ∴假设设圆锥的高是h ，且底面积24S r ππ==，由前后体积不变知：3233Sh π=，故答案为：8. 7．11izi(i 是虚数)是方程210x ax -+=()a R ∈的一个根，那么z a -=__________.【答案】1【分析】先利用复数的除法运算求出z ，然后代入方程求出a ,利用共轭复数和模的定义求解即可. 【详解】(1)(1)2(1)(1)211i i ii i i z i i ---===-+--=+， 210i ai ∴++=，解得 0a =，1z a z i ∴-===，故答案为：18．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25760a a a +-=，那么11S =________．【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得62a =，再根据求和公式即可求出． 【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S .由25760a a a +-=得26620a a -=，所以62a =，60a =〔舍〕611111211112222a a a S +=⨯=⨯= 故答案为：22【点睛】此题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于根底题．9．某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元.【分析】将表格中各区间家庭收入的中间值乘以频率，然后加总即可. 【详解】由表格数据知：家庭的平均年收入(4.5 5.5 6.5)0.27.50.26(8.59.5)0.07 6.51++⨯+⨯++⨯=万元.故答案为：6.51.10．某参考辅导书上有这样的一个题：△ABC 中，tan A 与tan B 方程2310x x --=的两个根，那么tan C 的值为〔 〕 A ．32-B ．32C ．12-D ．12你对这个题目的评价是_______________________________________.(用简短语句答复) 【答案】无正确选项，条件与结论有矛盾，是错题，无解【分析】由根与系数关系得tan tan 3A B +=，tan tan 1A B =-，结合两角和正切公式求tan C ，根据三角形内角和性质即可判断条件与结论有矛盾.【详解】由题设知：tan tan 3A B +=，tan tan 1A B =-，而()C A B π=-+，∴tan tan 3tan tan()1tan tan 2A B C A B A B +=-+=-=--，又A B C π++=，由上知：A 、B 必有一个角大于90°，同时C 也大于90°，显然不符合三角形的内角和为180°. ∴无正确选项，条件与结论有矛盾.故答案为：无正确选项，条件与结论有矛盾，是错题，无解.11．用0，1两个数字编码，码长为4〔即为二进制四位数，首位可以是0〕，从所有码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率是_______.【答案】1116【分析】由中用0，1两个数字编码，码长为4，我们可以计算出编码的所有种数，由于所有码中任选一码，那么码中至少有两个1情况复杂，我们可以先计算其对立事件：从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1的概率，进而根据对立事件概率减法公式进行求解．【详解】设从四位编码中任选一码，那么码中至少有两个1为事件A ； 那么它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1互为对立事件； 由于用0，1两个数字编码，码长为4时不同的编码共有4216=种；其中码中至多有一个1包括两种情况：一是不含1，共有1种情况，另一种是只含一个1，共有4种情况 故它与从四位编码中任选一码，那么码中至多有一个1的概率()516P A =， 那么从四位编码中任选一码，那么码中至少有两个1的概率511()1()11616P A P A =-=-=， 故答案为1116. 【点睛】此题主要考查的知识点是对立事件的概率以及古典概型概率公式，属于难题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中根本领件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个根本领件m ，然后根据公式mP n=求得概率． 12．设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >，对任意的1n ≥，n N ∈均有+14n n S a ≤，那么q 的取值为__________. 【答案】2【分析】由递推式，结合n a 与n S 的关系及等比数列的定义，可判断{}n a 是公比为q 的正项等比数列，写出n a 、1n S +，根据题设不等式恒成立可得12(2)1n q q --≤恒成立，即可求q 值.【详解】由题设知：当1n =时，221111(1)S a a qS S q a =+=+=+，即21a qa =， 当2n ≥时，111()n n n n n n a S S q S S qa ++-=-=-=， 综上知：{}n a 是公比为q 的正项等比数列，即11n n a a q-=，而()11111(0)1n n a q S aq++-=>-，∴由题设知：对任意的1n ≥，n N ∈有11141n n q q q+--≤-成立，又1q >， ∴1114()n n n q q q +--≤-，整理得：12(2)1n q q --≤恒成立，而n →+∞时1n q -→+∞， ∴2q.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：由n a 与n S 的关系及等比数列的定义求n a 、1n S +，根据数列不等式恒成立求q 值即可.13．函数331xxay =++在0,内单调递增，那么实数a 的取值范围是__________.【答案】(],4-∞【分析】讨论0a <、0a =、0a >：显然根据解析式知0a <、0a =，函数在0,内单调递增；0a >，利用根本不等式(注意等号成立的条件)，结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间，即可求a 的范围. 【详解】当0a <时，在0,上，()3x f x =单调递增，()31xag x =+单调递增，即331x x ay =++单调递增，符合题意； 当0a =时，3x y =在0,内单调递增，符合题意；当0a >时，3111131x x a y =++-≥=+，∴11≤，04a <≤时，等号不成立，此时y 在0,内单调递增，符合题意；11>，4a >时，假设当且仅当3log 1)x =时等号成立，此时y 在()3og ),l 1∞+内单调递增，不符合题意.综上，有(],4a ∈-∞时，函数331xxay =++在0,内单调递增.故答案为：(],4-∞.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，当0a <、0a =时，根据函数解析式直接判断单调性，当0a >时，综合应用根本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间，进而求出参数范围.14．假设1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，那么1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________. 【答案】126x-【分析】由二项展开式通项，结合指定项系数求n ，利用二项式的对称性确定系数最小的项的r 值，即可求系数最小的项. 【详解】由二项式知：211()(1)r n rr r r n r r n n T C xC x x--+=-=-，而3x 项的系数是84-，∴23n r -=时，有2384rr C +=且r 为奇数(0)r >，又由399!98 (1)=843!(93)!(321)(6...1)C ⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯，∴可得3239r n r =⎧⎨=+=⎩.∴9219(1)r r rr T C x -+=-，要使系数最小，r 为奇数，由对称性知：=5r ，∴55169126(1)T C x x-=-=-. 故答案为：126x-. 【点睛】关键点点睛：根据指定项系数求二项式的指数，利用二项式的对称性确定系数最小项的参数r ，即可求项. 15．函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，那么非零整数n 的值是_________.【答案】10±，11±【分析】由题设可得()f x 最小正周期为||T n =，又x ∈Z 且()f x 值域有6个实数组成，即||[0,]2n 上一定存在6个整数点，讨论n 为奇数或偶数，求n 值即可. 【详解】由题设知：()f x 的最小正周期为2||2||T n nππ==，又x ∈Z ， ∴n 为非零整数，在||[0,]2n 上()f x 的值域有6个实数组成，即()f x 的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数， ∴当n 为偶数，有||52n =，即10n =±； 当n 为奇数，有||562n <<，即11n =±； 故答案为：10±，11±【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的性质可求()f x 最小正周期为||T n =，结合有||[0,]2n 内有6个整数点，讨论n 的奇偶性求值. 16．如图，P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，假设2AB BC =，那么PC PA ⋅的值域是__________.【答案】5213,0⎡⎤-⎣⎦【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可． 【详解】以圆心为原点，平行AB 的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，那么(3)A -，3)C ，设(2cos ,2sin )P θθ，233ππθ， 那么(22cos PC PA θ⋅=-，32sin )(12cos θθ⋅--，32sin )52cos 43sin θθθ=--5213sin()θα=-+，且330tan α<=<，06πα∴<<，∴536ππθα<+<， sin()y θα=+在(3π，]2π上递增，在[2π，5)6π上递减，∴当2πθα=-时，PC PA ⋅的最小值为5213-当23πθ=时，PC PA ⋅的最大值为2252cos 43sin 033ππ--=，那么[5213PC PA ⋅∈-，0]， 故答案为：[5213-，0]．【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．M ､N 是正四棱柱1111ABCD A BC D -的棱11B C ､11C D的中点，异面直线MN 与1AB 所成角的大小为10arccos 10〔1〕求证：M ､N ､B ､D 在同一平面上； 〔2〕求二面角1C MN C --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕arctan 42.【分析】〔1〕根据MN //DB 可知四点共线，即可求证；〔2〕先证明1COC ∠是二面角1C MN C --的平面角，解三角形求解即可. 【详解】〔1〕连接MN ､DB ､11D B ，取MN 的中点O ，连接1,CO C O ,如图，M 是棱11B C 的中点.N 是棱的11C D 的中点，那么MN //11D B ，DB //11D B 所以MN //DB ，所以M ､N ､B ､D 确定一个平面， 即M ､N ､B ､D 在同一平面上.〔2〕由〔1〕可知11AB D ∠(或其补角)是异面直线MN 与1AB 所成的角设底面ABCD 的边长为a ，正四棱柱高h1AB =1AD =11B D =，2222211cos AB D ∠==2h a = 取MN 的中点O ，因为CM CN =，11C M C N =，那么CO MN ⊥，1C O MN ⊥，1COC ∠是二面角1C MN C --的平面角14C O a =，1Rt COC中，111tan 4CC COC OC ∠===二面角1C MN C --的大小为arctan 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义，作出或证明二面角，利用直角三角形求解即可，属于中档题.18．设函数()()()lg 1cos2cos f x x x θ=-++，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭〔1〕讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； 〔2〕设0θ>，解关于x 的不等式3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕3352,22,24444k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈. 【分析】〔1〕应用分析法：假设()f x 为偶函数有()()fx f x -=，易得2sin sin 0x θ=恒成立；假设()f x 为奇函数有()()000f x f x +-=0θ=恒成立；再根据θ的取值范围即可确定()f x 分别为奇、偶函数是否能成立. 〔2〕由函数不等式，将自变量代入化简得2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合题设及余弦函数的性质即可求解集.【详解】〔1〕由对数的性质，得1cos 20x ->，∴cos 21x ≠，即()x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称， 1、偶函数，那么有()()f x f x -=，即()()()()lg 1cos 2cos log 1cos 2cos x x x x θθ--+-+=-++⎡⎤⎣⎦，可得()()cos cos x x θθ-+=+，∴整理得：要使2sin sin 0x θ=对一切()x k k Z π≠∈恒成立，在0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭中有0θ=.2、奇函数，那么定义域内，任意0x 有()()000f x f x +-=，如04x π=，∴044f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而lg 1cos()cos cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，lg 1cos cos =cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0θ=，显然在[0,)2πθ∈上不成立，综上，当0θ=时为偶函数；当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时既不是奇函数又不是偶函数.〔2〕由3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得33lg 1cos 2cos lg 1cos 2cos 04444x x x x ππππθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-----+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴()()3lg 1sin 2cos lg 1sin 2cos 044x x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫++++-+--+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简为cos cos 044x x ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开整理得：2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即cos 0θ>， ∴可得1122cos 04,,434x x k k Z k Z x k πππππ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+≠∈∈⎨⎪⎪-≠⎪⎩∴解集为3352,22,24444k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈. 【点睛】关键点点睛：〔1〕利用分析法，假设()f x 为奇或偶函数，将问题转化为说明在θ的范围中是否有使2sin sin 0x θ=、2cos 0θ=成立的区间即可.〔2〕将自变量代入函数式，结合三角恒等变换化简，根据余弦函数的性质求解集. 19．假设在一个以米为的空间直角坐标系O xyz -中，平面xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台A ，A 的位置为()170,200,0.上午10时07分测得飞行机器人T 在()150,80,120P 处，并对飞行机器人T 发出指令：以速度113v =米/秒沿向量131********d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达Q 点，再发出指令让机器人在Q 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿向量2121222d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人T 最终落在平面xOy T 近似看成一个点.〔1〕求从P 点开始出发20秒后飞行机器人T 的位置；〔2〕求在整个飞行过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离(精确到米). 【答案】〔1〕()212,200322,48-；〔2〕73米. 【分析】(1)利用向量的坐标运算性质即可求解；(2) 当Q 点与4点处于同一垂直线上时，与控制台4的距离最近,然后求出两点 间的距离即可求解.【详解】〔1〕设飞行时间为t 秒，T 的位置()x y z ，， 当010t ≤≤时，113v =111,13PT d t λλ==，()3124150,80,12013,,131313x y z t ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭当010t ≤≤时，所以150380121204x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩10t =得()180200,80Q ，当1012t <≤时()180200,80Q ，当1232t <≤时22QT d λ=，()2812t λ=-，()()11180,200,80812,22x y z t ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭所以())()180412132420012200804121284x t ty t z t t ⎧=+-=+⎪=--=+⎨⎪=--=-⎩20t =秒后飞行机器人T的位置()212,200-〔2〕当010t ≤≤时(150AT =169AT =定义域内单调递减∴10t =，min 81AT AQ ==≈ 当1012t <≤时min 81AT AQ ==≈当1232t <≤时()1324200,1284T t t ++-， (132AT =(4AT =64AT =64AT =∴16.375t =，min 73AT ≈答：在整个行驶过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离73米.20．曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=()0a >在第一象限的交点为A .曲线C 是2211x y a -=(1A x x ≤≤)和22149x y a+=(A x x ≥C 与x 轴的左交点为M ､右交点为N .〔1〕设曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=()0a >具有相同的一个焦点F ，求线段AF 的方程；〔2〕在〔1〕的条件下，曲线C 上存在多少个点S ，使得NS NF =，请说明理由. 〔3〕设过原点O 的直线l 与以(),0D t ()0t >为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T .直线l 与曲线C 在第一象限的两个交点为P .Q .当22211+=OT OPOQ对任意直线l 恒成立，求t 的值. 【答案】〔1〕()375545y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤≤；〔2〕一共2个，理由见解析；〔3〕答案见解析.【详解】〔1〕线段AF 的方程42075335y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≤≤ 724,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0F -，线段AF 的方程()375545y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤≤〔2〕方法一：()7,0N ，2NF =假设点S 在曲线221124x y -=上()()()2222277724125145015SN x y x x x x x ⎫=-+-+-=-+⎪⎭≤≤单调递增 ∴6SN ≥所以点S 不可能在曲线221124x y -=上所以点S 只可能在曲线2214924x y +=上，根据NF NS =得()22227414924x y x y⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩可以得到16148,2525S ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 当F 左焦点，12NF =，同样这样的S 使得NF NS =不存在 所以这样的点S 一共2个〔3〕设直线方程y kx =，圆方程为()()22201x t y r r -+=<<r =2222221t OT OT OD DT k ==-=+ 22221P y kxa x y a k x a =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩，()()222221111P a k k x k a OP -==++ 22224949149Q y kx a x x y a k a =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，()()2222211491491Q a k k x k a OQ +==++ ()()22222211491491a k a k k a k a OP OQ -++=+++()()222214950491491a k a k a a k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭根据22211+=OTOPOQ得到25049t t =∴= 补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a 的影响，蕴含着如下关系，∵r ==0k << 当2212001117649ar a <+≤，存在T ，否那么不存在T 这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线C 有两个交点的大前提，当共焦点时()0,0,135r ⎛∈⊂ ⎝⎭存在t=135r ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭不存在 21．设数列{}n a 满足，()()111sin cos n n n n n nn n n a k a a a a a k a a a -+-⎧+>⎪=⎨+<⎪⎩，1+≠n n a a ，设1a a =，2a b =.〔1〕设5=6b π，k π=-，假设数列的前四项1a ､2a ､3a ､4a 满足1423a a a a =，求a ； 〔2〕0k >，4n ≥，n N ∈，当02a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，02b π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，a b <时，判断数列{}n a 是否能成等差数列，请说明理由；〔3〕设4a =，=7b ，1k =，求证：对一切的1n ≥，n N ∈，均有72n a π<. 【答案】〔1〕53a π=-；〔2〕数列不可能成等差数列，理由见解析；〔3〕证明见解析. 【分析】〔1〕分a b <和a b >讨论，求出3a ，4a ，根据条件1423a a a a =求得a ； 〔2〕用反证法证明：假设数列{}n a 成等差数列，推得()d l m ππ=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾，即可得到结论；〔3〕先求出3a 、4a ，利用反证法证明，假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4k ≥，k ∈N )，经过推理得到73,2k a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭产生矛盾即可证明.【详解】〔1〕当a b <时，3225sin 623a a a ππππ=-=-=，433cos 326a a a ππππ=-=-=-根据条件得1423a a a a =∴53a π=- 当ab >时，(32255cos 66a a a πππ+=-=+=，43sin 0a a π-=->⎝⎭所以43a a >，∴341a a < 根据条件得1423a a a a =，∴3224a a a a a =⋅<与a b >不符合，舍去所以53a π=-〔2〕假设数列{}n a 成等差数列，设公差为d因为a b <，所以2102d a a b a π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，那么{}n a 是单调递增的正数列因此1sin n n n d a a k a +=-=，211sin n n n d a a k a +++=-= 所以1sin sin n n a a +=得到12n n a a m π+=+0m ≥，m Z ∈(舍去)或者12n n a a m ππ++=+，0m ≥，m Z ∈ 从而122n n a a l ππ+++=+，0l ≥，l Z ∈，l m >推得()2=22n n a a l m d π+--=，∴()d l m ππ=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾所以数列不可能成等差数列. 〔3〕设4a =，=7b ，1k = 得到37=7+sin7<82a π<得到()4337=+sin =7+sin7+sin 7+sin792a a a π<< 假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4k ≥，k ∈N )， 即172k k a a π-<≤. 根据运算性质可以得()()111sin cos n n n n n n n n a a a a a a a a -+-⎧>⎪-=⎨<⎪⎩，即数列中的任何相邻两项的差都不大于1，因此1773122k a πππ-<-<≤，即173,2k a ππ-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 而在这个区间中11sin 0,cos 0k k a a --<<，从而()()1121112sin 0cos k k k k k k k k a a a a a a a a -------⎧>⎪-=<⎨<⎪⎩，得到173,2k k a a ππ-⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭产生矛盾所以对一切的n N ∈，均有72na π<. 【点睛】〔1〕等差〔比〕数列问题解决的根本方法：根本量代换和灵活运用性质；。

一、单选题1. “”是“”的条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．B．C．D．3. 已知复数满足(为虚数单位)，则=（ ）A．B．C．D．4. 已知双曲线的右焦点为，且双曲线的一条渐近线的斜率为.过双曲线左焦点且垂直于轴的直线交双曲线左支于，两点，双曲线上任意一点满足，则下列说法正确的是（ ）A ．有最小值B ．有最小值C ．有最大值D ．有最大值5. 棣莫弗公式，（是虚数单位，）是由法国数学家棣莫弗（）发现的.根据棣莫弗公式，在复平面内的复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 若，则（ ）A．B．C．D．7.设，随机变量X 的分布列是XP现仅变动，的值为，使得E （X ），D （X ）的值均保持不变，则（ ）A．B．C．D．8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若为直角三角形，则（ ）A．B．C．D．上海市奉贤区2023届高三二模数学试题上海市奉贤区2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）A．B ．若，则C ．若，则D ．若.则10.定义在上的函数满足，且当时，，则有( )A．为奇函数B ．存在非零实数a ，b，使得C．为增函数D．11. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ）A．B．C ．2D．12. 如图，点，是线段的三等分点，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．13.在展开式中，含的项的系数是__________．14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C 在第一、第三象限分别交于点A ，B ，若，则C 的离心率的取值范围是______.15. 正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．16.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．17. 如图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下：空气质量指数，，，，，300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染（Ⅰ）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；（Ⅱ）研究人员发现，空气质量指数测评中与燃烧排放的两个项目存在线性相关关系，以为单位，如表给出与的相关数据：0.51 1.5124求关于的回归方程，并估计当排放量是时，的值．（用最小二乘法求回归方程的系数是18. 甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生，已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且互不影响，当3项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象）．性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数合计男生582785女生424385合计10070170(1)判断是否有的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；(2)该校口腔医学系准备从专业成绩排名前5名的毕业生中随机挑选2人去参加乙医院的考核，求专业排名第一的小华同学被选中的概率．参考公式与临界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.841 5.024 6.63519. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.(1)若，求及；(2)若，求证：互不相同；(3)已知，若对任意的正整数都有或，求的值.20. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，AC交BD于O，平面ABC，E为AD的中点，点F在PA上，.（1）证明：平面BEF；（2）若，，求三棱锥的体积.21. 某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20172018201920202021年份编号12345单价（元/公斤）1820232529药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：(1)若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2022年药材A的单价；(2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；(3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2022年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.参考公式：回归直线方程，其中.。

第10题图第11题图上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知复数 34z i i （i 为虚数单位），则z ．2.不等式21x 的解集为．3.抛物线24y x 上一点到点 1,0的距离最小值为．4.5.6.7.，假设8.9.03a 10.中挖去4量为g ．11.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 棱上一点，则满足12PA PC 的点P 的个数为．第12题图第14题图第16题图12.函数 sin y x （0 ，π2）的图像记为曲线F ，如图所示．A 、B 、C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ，则直线AB 的斜率为．（用1k 、2k 表示）二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13. ,i i x y （i （）.A y .B .C .D 14.（.Ay f xg x 1f x g x ．15.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）.A 甲与乙相互独立；.B 乙与丙相互独立；.C 甲与丙相互独立；.D 乙与丁相互独立．16.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD ，BC m （1m ），3ABC.点E 是线段AB 上的一点，点F 在线段DC 上，DFt DC．命题①：若12AE EB ，则EF AD随着t 的增大而减少．命题②：设AE x AB ，若存在线段EF 把梯形ABCD 的面积分成上下相等的两个部分，那么12m x m， t f x 随着x 的增大而减少．则下列选项正确的是（）.A 命题①不正确，命题②正确；.B 命题①、命题②都不正确；.C三、17.已知 a 11 ，426b b ．（1）（2）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）3或4，则）0.05第19题图1第19题图2如左下图1是由两个三角形组成的图形，其中90APC ，30PAC ，2AC AB ，30BCA ．将三角形ABC 沿AC 折起，使得平面PAC 平面ABC ，如右下图2．设O 是AC 的中点，D 是AP 的中点．（1）求直线BD 与平面PAC 所成角的大小；（2）连接PB ，设平面DBO 与平面PBC 的交线为直线l ，判别l 与PC 的位置关系,并说明理由．第20题（2）图第20题（3）图已知曲线22:142x y C ，O 是坐标原点,过点 1,0T 的直线1l 与曲线C 交于P 、Q 两点．（1）当1l 与x 轴垂直时，求 OPQ 的面积；（2）过圆226x y 上任意一点M 作直线MA 、MB ，分别与曲线C 切于A 、B 两点，求证：MA MB （3）过点 ,0N n （2n ）的直线2l 与双曲线2214x y 交于R 、S 两点（1l 、2l 不与x 轴重合）．记直线TR 的斜率为TR k ，直线TS 斜率为TS k ，当ONP ONQ 时，求证：n 与TR TS k k 都是定值．；已知定义域为R 的函数 y f x ，其图像是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数 'y f x ．（1）求函数 e exxf x 在点0,0f 的切线方程：（2）已知 cos sin f x a x b x ，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得f x kf x 恒成立？（3）若函数 y f x 是奇函数，且满足 23f x f x ．试判断 22f x f x 对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由．上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案一、填空题1、4+3i .2、 1,33、14、5、0.146、7、208、1122，9、110、132511、612、12122k k k k 二、选择题13、D 14、A 15、A 16、A三、解答题17、（1）因为2d ，且5154522S a，所以11a ，所以23n a n .4分因为11b ，且36q q ，所以2q ，所以12n n b .8分（2）由题可知，2321522=48n n nn c ，10分1nn i c 为等比数列求和，首项为152c ，公比4q ， 15145241146n nn ni c .14分18、（1）由题可知，1002003003550045350100，所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为350.6分（2）10分计算出9x 11分假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.人次≤400人次>400总计空气质量好363975空气质量不好19625总计5545100221003661939 5.93935545257512分因为2 3.841 ，所以拒绝原假设，所以一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.14分19、（1）过B 作BHAC 于H ，连接DH ，因为平面PAC 平面ABC ，且平面PAC 平面ABCAC ，又因为BH AC ，所以BH 平面PAC ，所以BDH 为直线BD 与平面PAC 所成角.3分因为2AC AB ，不妨设,2AB a AC a ，在ABC 中，90sin 30sin AB AC B B.4分在RT BDH中，1,22BH a DH a，所以tan BH BDH DH7分所以直线BD 与平面PAC 所成角的大小为3.8分（2）因为O 是AC 的中点，D 是AP 的中点，所以//DO PC ；又因为PC PBC 平面，DO 不在平面PBC 上，所以//DO PBC 平面；11分又因为DBO PBC l 平面平面，所以//DO l ，13分所以//l PC .14分20、（1）由题可知，直线为1x ，1分代入椭圆方程22142x y，得2y ，3分所以1122S5分（2）设00(,)M x y ，当02x时，0y MA MB ，成立.6分当02x 时，设MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，直线00:MA y y k x x 由 0022142y y k x x x y2220000(21)4()2()40k x k y kx x kx y ,7分因为直线MA 与椭圆相切，所以0 ，即2222000016()4(21)[2()4]0k kx y k kx y ，化简可得2200()2(21)0kx y k ，化为关于k 的一元二次方程为22200004220x k x y k y ，所以20122024y k k x .9分因为00(,)M x y 在圆上，所以22006x y ，代入上式可得，2012206214x k k x .所以MA MB .11分（3）设11(,)P x y 、22(,)Q x y 、34(,)R x y 、44(,)S x y ，直线PN 、QN 的斜率分别为PN k 、QNk 设直线1:1l x ky ，与椭圆联立得22(2)230k y ky ，0 ，12222ky y k，12232y y k ，由ONP ONQ 得0PN QN k k ，13分即1212211212(1)(1)(1)(1)y y y ky n y ky n x n x n ky n ky n ，计算分子部分：12211212(1)(1)2(1)()y ky n y ky n ky y n y y 22232822(1)0222k k kn k n k k k，所以4n ，16分设直线2:4l x py ，与双曲线联立得22(4)8120p y py ，240p ，0 ，34284p y y p ，342124y y p ，3344343434(1)(1)11(1)(1)TR TS y y x y x yk k x x x x ，计算分子部分344334433434(1)(1)(3)(3)23()y x y x y py y py py y y y 2212823044pp p p 0 ，因为4n ，所以0TR TS k k 18分21、（1）由题可知，'()x x f x e e ，1分所以切线的斜率为'(0)0f ，2分且(0)2f ，3分所以函数在点0,0f 的切线方程为 200y x ，即2y .4分（2）由题可知 'sin cos f x a x b x ，6分又因为定义域上对任意的实数x 满足 f x kf x ，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x ，即b ak a bk8分当k R 且1k 时，0a b .9分当1k 时，0a b ；10分当1k时，0a b .11分（3）因为函数 x f y 在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x ，所以'()()''()f x x f x ，所以'()'()f x f x ，所以 'y f x 是偶函数.13分因为 23f x f x ，所以 ''22'3'f x f x x ，即''20f x f x ，即''2f x f x 15分因为'()'()f x f x ，所以 ''2f x f x ，即 ''2f t f t ，所以 'y f x 是周期为2的函数.17分所以 ''2'2f x f x f x ，所以 '2'''2f x f x f x f x .18分。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 答案：A解析：根据题意，函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，当x < -1时，f(x) = -2x；当-1 ≤ x ≤ 1时，f(x) = 2；当x > 1时，f(x) = 2x。

所以f(x)的最小值为2。

2. 答案：B解析：由题意得，a > 0，b < 0，c > 0，所以a + b + c > 0，故选B。

3. 答案：C解析：设复数z = x + yi，根据复数乘法得z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 +2xyi。

由于z^2 = 1 + 2i，所以x^2 - y^2 = 1，2xy = 2，解得x = 1，y = 1。

故选C。

4. 答案：D解析：由题意得，a^2 + b^2 + c^2 = 2，所以(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2 + 2(ab + ac + bc)。

因为a + b + c = 0，所以ab + ac + bc = -1/2，代入得(a + b + c)^2 = 2 - 1 = 1，所以a + b + c = ±1。

故选D。

5. 答案：B解析：由题意得，sinα = 1/2，cosα = √3/2，所以sin(2α) = 2sinαcosα= 1。

故选B。

二、填空题（每题10分，共40分）6. 答案：2解析：由题意得，a^2 + b^2 + c^2 = 2，所以(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2 + 2(ab + ac + bc)。

因为a + b + c = 0，所以ab + ac + bc = -1/2，代入得(a + b + c)^2 = 2 - 1 = 1，所以a + b + c = ±1。

7. 答案：-2解析：由题意得，x^2 - 2x + 1 = 0，解得x = 1。

上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．2．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭【答案】A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1xx f x x x x -===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 3．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A．2B．3C．5D．5【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ， 过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,Rt ADD DD AA AD AD ∆==∴111cos DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 4．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．23D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，， 如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为122B ⎛⎝，把122B ⎛ ⎝代入直线()()10y k x k =+>，解得223k =， 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 5．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =【答案】C 【解析】 【分析】 分析函数y x=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】 函数y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2xy =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.6．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f < 【答案】A 【解析】 【分析】 设()()x f x g x e=，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '''--'==， 又由()()f x f x '<，所以()()()0xf x f xg x e '-'=>，即函数()g x 在R 上单调递增， 则()0(3)(2018)g g g <<，即032018(0)(3)(2018)(0)f f f f e e e =<<，变形可得32018(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.7．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r. 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以22e =. 即椭圆C 的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.8．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2π D ．ln 2【答案】D 【解析】试题分析：11 1ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。