省级联考2018年广东省高考数学二模试卷理科

广东省汕头市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={1，2z2，zi}，B={2，4}，i为虚数单位，若A∩B={2}，则纯虚数z为（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i2．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（5，4），且P（X＞k）=P（X＜k﹣4），则k 的值为（）A．6B．7C．8D．93．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．1C．D．4．（5分）以下说法错误的是（）A．“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”5．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或16．（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A．100（3+）cm2B．200（3+）cm2C．300（3+）cm2D．300cm27．（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A．B．C．D．8．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称二、填空题（共5小题）9．（5分）不等式|x﹣1|＞x﹣1的解集为．10．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，且S n是该数列的前n和，则S2015=．11．（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有种不同走法12．（5分）如图，在△ABC中，∠B=，点D在BC上，cos∠ADC=，则cos∠BAD=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S的取值范围是三、坐标系与参数方程选做题（满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为．四、几何证明选做题（满分0分）15．如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于．五、解答题（共6小题）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（﹣2015）=3（1）求A的值．（2）指出函数f（x）在x∈[0，8]上的单调区间（不要求过程）．（3）若f（﹣1）+f（+1）=，a∈[0，π]，求cos2a．17．（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．以此样本估计总体，试解决以下问题（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M 为PB的中点，N在BC上，且BN=BC（1）求证：MN⊥AB（2）求二面角P﹣AN﹣M的余弦值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有2S n﹣na n+1=0，数列{b n}满足b n=，T（n）是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式（2）用数学归纳法证明：当n≥2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n﹣1）=nT（n）（3）设A n=++…+，试证：＜A n＜．20．（14分）已知a＞0，且a≠1函数f（x）=log a（1﹣a x）（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e f（x））（x2﹣m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程（2）点P（x0，y0）是圆G：x2+y2=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值．广东省汕头市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={1，2z2，zi}，B={2，4}，i为虚数单位，若A∩B={2}，则纯虚数z为（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据A，B，以及A与B的交集，得到元素2属于A，列出关于z的方程，求出方程的解即可确定出z．解答：解：∵A={1，2z2，zi}，B={2，4}，且A∩B={2}，∴2z2=2或zi=2，解得：z=±1（不合题意，舍去）或z=﹣2i，则纯虚数z为﹣2i．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（5，4），且P（X＞k）=P（X＜k﹣4），则k 的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据正态曲线关于x=5对称，得到两个概率相等的区间关于x=5对称，得到关于k 的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量X服从正态分布N（5，4），且P（X＞k）=P（X＜k﹣4），∴，∴k=7，故选B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=5对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．3．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．1C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．解答：解：抛物线y=x2可知焦点F（0，1），准线方程y=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属基础题．4．（5分）以下说法错误的是（）A．“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，即可判断出；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；C．∃m=1∈R，使f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增；D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，即可判断出．解答：解：A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，因此“log3a＞log3b”是“（）a ＜（）b充分不必要条件，正确；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，正确C．∃m=1∈R，使f（x）=m是幂函数，且f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增，正确；D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，因此不正确．故选：D．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．5．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．6．（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A．100（3+）cm2B．200（3+）cm2C．300（3+）cm2D．300cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积解答：解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100，与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50，故此四棱锥的表面积为S=100（3+）cm2．故选：A点评：考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等，本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的力度．7．（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A．B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论．解答：解：由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个，[0，5）的频数为20×0.01×5=1个，[5，10）的频数为20×0.01×5=1个，[10，15）频数为20×0.04×5=4个，[15，20）频数为20×0.02×5=2个，[20，25）频数为20×0.04×5=4个，[25，30）频数为20×0.03×5=3个，[30，35）频数为20×0.03×5=3个，[35，40]频数为20×0.02×5=2个，则对应的茎叶图为A，故选：A．点评：本题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称考点：函数的图象．专题：计算题；新定义．分析：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，再求出其值域即可进行判断；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，从而得出答案．解答：解：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故T属于f（x）的同值变换；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，值域为（1，+∞），T不属于f（x）的同值变换；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故T属于f（x）的同值变换；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，故T属于f（x）的同值变换；故选B．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、函数的图象变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．二、填空题（共5小题）9．（5分）不等式|x﹣1|＞x﹣1的解集为（﹣∞，1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过|x﹣1|＞x﹣1可知x﹣1为负数，计算即可．解答：解：∵|x﹣1|＞x﹣1，∴x﹣1＜0，∴x＜1，故答案为：（﹣∞，1）．点评：本题考查求解绝对值不等式，去掉绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．10．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，且S n是该数列的前n和，则S2015=4030．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，可得2（a1+a2015）=8，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，∴2（a1+a2015）=8，解得a1+a2015=4．∴S2015==4030．故答案为：4030．点评：本题考查了等差数列的性质与等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有400种不同走法考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：分两步，从甲到丙由4×5=20种，从丙到甲由4×5=20种，根据分步计数原理可得答案．解答：解：分两步，从甲到丙由4×5=20种，从丙到甲由4×5=20种，根据分步计数原理得，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有20×20=400种，故答案为：400．点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题．12．（5分）如图，在△ABC中，∠B=，点D在BC上，cos∠ADC=，则cos∠BAD=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：根据三角形边角之间的关系，结合两角差的余弦函数公式可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC==，则cos∠BAD=cos（∠ADC﹣∠B）=cos∠ADC•cosB+sin∠ADC•sinB==．故答案为：．点评：本题主要考查解三角形的应用，利用两角差的余弦函数公式是解决本题本题的关键，难度不大，属于基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S的取值范围是[﹣3，6]考点：循环结构．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．解答：解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，0]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故答案为：[﹣3，6]．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．三、坐标系与参数方程选做题（满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：将直线ρcosθ+ρsinθ=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解．解答：解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①，∵在极坐标系中，定点A（2，），∴在直角坐标系中，定点A（0，﹣2），∵动点B在直线x+y=0上运动，∴当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+y=0，∴k AB=，设直线AB为：y+2=x，即y=x﹣2…②，联立方程①②求得交点B（，﹣），∴ρ==1，tanθ==﹣，∴θ=．故答案为．点评：此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：ρ=，tanθ=，x=ρcosθ，y=ρsinθ．四、几何证明选做题（满分0分）15．如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于7．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：连AO并延长，根据切线的性质定理得到Rt△PAD，根据切割线定理得到PA2=PC•PB，根据相交弦定理得到CD•DB=AD•DE，最后即可解得圆O的半径．解答：解：如图，连AO并延长，交圆O与另一点E，交割线PCB于点D，则Rt△PAD中，由∠DPA=30°，，得AD=2，PD=4，而PC=1，故CD=3，由切割线定理，得PA2=PC•PB，即，则PB=12，故DB=8．设圆O的半径为R，由相交弦定理，CD•DB=AD•DE，即3×8=2（2R﹣2），得R=7；故答案为7．点评：本小题主要考查圆的切割线定理和相交弦定理．属于基础题．五、解答题（共6小题）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（﹣2015）=3（1）求A的值．（2）指出函数f（x）在x∈[0，8]上的单调区间（不要求过程）．（3）若f（﹣1）+f（+1）=，a∈[0，π]，求cos2a．考点：二倍角的余弦；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意及诱导公式可得sin（）=Asin（）=Asin=A，即可解得A；（2）由正弦函数的性质即可求得函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间；（3）由诱导公式化简已知等式可得sin，α∈[0，π]，从而可求sin2α，结合范围α∈[0，π]，sin＞0，可求2α范围，利用同角三角函数关系式即可得解．解答：解：（1）∵由题意，f（﹣2015）=Asin（+）=Asin（）=Asin （）=Asin=A，∴解得：A=3…（4分）（2）函数f（x）的单调递增区间为[0，1]，[5，8]，单调递减区间为[1，5]…（6分）（3）∵f（﹣1）+f（+1）=3sin[×（﹣1）+]+3sin[×（+1）+]=3sinα+3sin （）=3sinα+3cosα=，∴sin，α∈[0，π]，由（sinα+cosα）2=可得：2sinαcosα=﹣，即sin2α=﹣，又∵α∈[0，π]，sin＞0，∴，∴2，∴cos2α＜0，∴由sin22α+cos22α=1可解得：cos2α=﹣=﹣=﹣…（12分）点评：本题主要考查了复合三角函数的单调性，二倍角的余弦公式，诱导公式，同角三角函数关系式以及三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．17．（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．以此样本估计总体，试解决以下问题（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：概率与统计．分析：（1）随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1求得P（A）（2）由分期付款的期数得出利润的概率求得分布列．解答：解：（1）由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1所以P（A）=（2）由因为35+25+a+10+b=100，所以b=15（2）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25．P（ξ=3）=0.15，P （ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15因为X可能取得值为1000元，1500元，2000元并且易知P（X=1000）=P（ξ=1）=0.35P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25所以X得分布列X 1000 1500 2000P 0.35 0.4 0.25所以X得数学期望E（X）=1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25=1450点评：主要考察随机变量的期望和方差，属于基础题型，在2015届高考中属于常见题型．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M 为PB的中点，N在BC上，且BN=BC（1）求证：MN⊥AB（2）求二面角P﹣AN﹣M的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：空间向量及应用．分析：（1）以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得和的坐标，证数量积为0即可；（2）平面PAN的法向量可取为=（0，1，0），待定系数可得平面AMN的法向量，计算向量的夹角余弦值即可得到二面角P﹣AN﹣M的余弦值．解答：解：（1）由题意可得∠BAN=30°，∴∠NAC=120°﹣30°=90°，以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（，﹣，0），M（，﹣，），N（，0，0），∴=（，﹣，0），=（，，），∴•=0，∴MN⊥AB（2）由（1）知P（0，0，1），C（0，1，0），=（，﹣，），=（，0，0），平面PAN的法向量可取为=（0，1，0），设平面AMN的法向量=（x，y，z），则，故可取量=（0，2，1），∴cos＜，＞==∴二面角P﹣AN﹣M的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，涉及二面角的求解，属中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有2S n﹣na n+1=0，数列{b n}满足b n=，T（n）是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式（2）用数学归纳法证明：当n≥2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n﹣1）=nT（n）（3）设A n=++…+，试证：＜A n＜．考点：数列与不等式的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数列中a n与前n项和为S n的关系，化简2S n﹣na n+1=0得到，利用累积法求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）求出b n，再利用数学归纳法证明结论即可；（3）由（1）可得，利用放缩法可得，即可证明左边不等式成立，再利用基本不等式得：，即可证明右边不等式成立．解答：解：（1）由题意得，①当n=1时，2S1﹣na2=0，则a2=2S1=2a1=2…1分，②由2S n﹣na n+1=0得，2S n+1﹣na n+2=0，…2分两式相减得：2a n+1﹣（n+1）a n+2+na n+1=0，即，又，所以对于任意n∈N+都有…3分所以a n==，即对于任意n∈N+都有a n=n…5分；证明：（2）由（1）知，b n==，用数学归纳法证明如下：①当n=2时，左边=2+T（1）=2+b1=2+1=3，右边=2T（2）（1+）=3=左边，所以n=2时结论成立…6分，②假设n=k（k≥3）时结论成立，则k+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（k﹣1）=kT（k）…7分那么当n=k+1时，k+1+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（k﹣1）+T（k）=kT（k）+T（k）+1=（k+1）T（k）+1==（k+1）T（k+1）…9分综上，当n≥2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n﹣1）=nT（n）成立…10分（3）由（1）知，，先证左边的式子：由于，所以1+2+3+…+n=…12分，再证右边的式子：由于，所以1+2+3+…+n+==＜…14分综上，对于任意n∈N+都有＜A n＜．点评：本题考查数列中a n与前n项和为S n的关系，累积法求数列的通项公式，以及数学归纳法、放缩法、基本不等式的在数列中应用，综合强，属于难题．20．（14分）已知a＞0，且a≠1函数f（x）=log a（1﹣a x）（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e f（x））（x2﹣m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减．（2）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值．解答：解：（1）由题意知，1﹣a x＞0所以当0＜a＜1时，f（x）的定义域是（0，+∞），a＞1时，f（x）的定义域是（﹣∞，0），f′（x）==当0＜a＜1时，x∈（0，+∞），因为a x﹣1＜0，a x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．当a＞1时，x∈（﹣∞，0），因为a x﹣1＜0，a x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数；（2）h（x）=e x（x2﹣m+1）（x＜0），所以h'（x）=e x（x2+2x﹣m+1），令h'（x）=0，即x2+2x﹣m+1=0，由题意应有△≥0，即m≥0．①当m=0时，h'（x）=0有实根x=﹣1，在x=﹣1点左右两侧均有h'（x）＞0，故h（x）无极值．②当0＜m＜1时，h'（x）=0有两个实根x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．当x变化时，h'（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，0）h′（x）+ 0 ﹣0 +h（x）递增极大值递减极小值递增∴h（x）的极大值为（1+），h（x）的极小值为2（1﹣）．③当m≥1时，h'（x）=0在定义域内有一个实根x=﹣1﹣．同上可得h（x）的极大值为（1+）．综上所述，m∈（0，+∞）时，函数h（x）有极值．当0＜m＜1时，h（x）的极大值为（1+），h（x）的极小值为2（1﹣）．当m≥1时，h（x）的极大值为（1+）．点评：本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；在含参数的函数中需要分类讨论．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程（2）点P（x0，y0）是圆G：x2+y2=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的离心率及其标准方程；（Ⅱ）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径．解答：解：（1）由题意，a=，c=，∴b=1，∴e==，椭圆的方程为；（2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1），（，﹣1），此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=﹣时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，代入椭圆方程得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+x02﹣3=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+x02﹣3=0．，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切⇔△=0、直线垂直与斜率的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

秘密★启用前试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若112z =+i , 21z =-i ，则12z z = A ．6B D2．已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，则M N =A ．(]1,2-B ．[]1,2- C ．{}0,2D．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 若输出32y =，则输入xA ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为 A ．13y x =±B．y x =C．y =D ．3y x =±5．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．若αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．3π=+βαB ．6π=+βαC ．3π=-βαD ．6π=-βα7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F，直线y =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为A．12B1C．12D18．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 该几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A ．18+πB ．182+π C ．16+πD ．162+π 9．已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜，则()f x 的单调递增区间是实际利用外资规模 实际利用外资同比增速A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．已知函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．e ln 2ab +>B ．e ln 2ab +<C ．223a b +<D ．1ab >11P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A B C D 12．已知直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ，且AB AC =，则()31=+∑iii x y =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,==a b ，()⊥+λa a b ，则实数λ=． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是．（填写所有正确结论的编号）……15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是．（用数字作答）16．已知等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+，其中n ∈N *．（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; （2）令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A A C =， 侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒． （1）证明: 11A A A C ⊥；（2）求二面角1A A B C --的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． （1）求该盒A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． （ⅰ）求()40P X =；（ⅱ）求X 的分布列和数学期望EX ．20．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线CA 1C 1B 1CBA在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，若△MON 是等腰三角形， 求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =e 2xx ax --．（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ． （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

秘密★启用前 试卷类型：A2018年市普通高中毕业班综合测试〔二〕理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设112z =+i , 21z =-i ，那么12z z = A ．6B 2．集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，那么M N =A ．(]1,2-B ．[]1,2-C ．{}0,2D．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 假设输出32y =，那么输入A ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4．假设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，那么C 的渐近线方程为 A ．13y x =±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．3y x =± 5．根据以下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的选项是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．假设αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么 A ．3π=+βαB ．6π=+βαC ．3π=-βαD ．6π=-βα7．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，那么C 的离心率为A ．212-B ．21-C ．312-D ．31-8．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 该几何体的三视图，那么该几何体的外表积是 A ．18+πB ．182+π C ．16+πD ．162+π实际利用外资规模 实际利用外资同比增速9．x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜，那么()f x 的单调递增区间是 A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，那么以下不等式中成立的是A ．e ln 2ab +>B ．e ln 2ab +<C ．223a b +<D ．1ab >11．体积为3P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，那么球O 的体积的最小值为A ．773πB ．2873C ．19193D ．76193π 12．直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ，且AB AC =，那么()31=+∑iii x y =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．13．向量a 与b 的夹角为4π，2,2==a b ()⊥+λa a b ，那么实数λ=． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数〞，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数〞．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数〞都可以看作两个相邻“三角形数〞之和，以下等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是．〔填写所有正确结论的编号〕……15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是．〔用数字作答〕16．等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC ，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 〔一〕必考题：共60分． 17．〔本小题总分值12分〕各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+， 其中n ∈N *．〔1〕证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; 〔2〕令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．〔本小题总分值12分〕如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A AC =， 侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒． 〔1〕证明: 11A A AC ⊥；〔2〕求二面角1A A B C --的余弦值．19．〔本小题总分值12分〕某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，假设4件都为合格品，那么认为该盒产品合格且其余产品不再检验；假设4件中次品数多于1件，那么认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；假设4件中只有1件次品，那么把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品那么认为该盒产品合格，检验出次品那么认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． 〔1〕求该盒A 产品可出厂的概率；〔2〕每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． 〔ⅰ〕求()40P X =；〔ⅱ〕求X 的分布列和数学期望EX ．A 1C 1B 1CBA20．〔本小题总分值12分〕O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =．〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，假设△MON 是等腰三角形， 求直线l 的方程.21．〔本小题总分值12分〕函数()f x =e 2xx ax --．〔1〕假设函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值围；〔2〕假设1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题计分．22．〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．〔1〕求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； 〔2〕假设l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=a 的值．23．〔本小题总分值10分〕选修4－5：不等式选讲函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ． 〔1〕求M ；〔2〕证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试〔二〕理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．假设112z =+i , 21z =-i，则12z z = A ．6BCD2．已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，则M N =A ．(]1,2-B ．[]1,2- C ．{}0,2D ．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 假设输出32y =，则输入xA ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4．假设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为 A ．13y x =±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．3y x =±5．根据以下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的选项是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大 6．假设αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．3π=+βα B ．6π=+βα C ．3π=-βαD ．6π=-βα 7．已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为A ．212-B ．21-C ．312- D ．31-8．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 该几何体的三视图，则该几何体的外表积是 A ．18+π B ．182+π C ．16+πD ．162+π实际利用外资规模 实际利用外资同比增速9．已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜，则()f x 的单调递增区间是 A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．已知函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则以下不等式中成立的是 A ．e ln 2ab +>B ．e ln 2ab +<C ．223a b +<D ．1ab >113P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A 77B 287C 1919D 761912．已知直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ， 且AB AC =，则()31=+∑iii x y =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,2==a b ()⊥+λa a b ，则实数λ= ． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，以下等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．〔填写所有正确结论的编号〕……15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是 ．〔用数字作答〕16．已知等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 〔一〕必考题：共60分． 17．〔本小题总分值12分〕已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+，其中n ∈N *．〔1〕证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; 〔2〕令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．〔本小题总分值12分〕如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A A C =， 侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒． 〔1〕证明: 11A A A C ⊥；〔2〕求二面角1A A B C --的余弦值．19．〔本小题总分值12分〕某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，假设4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；假设4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；假设4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． 〔1〕求该盒A 产品可出厂的概率；〔2〕已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． 〔ⅰ〕求()40P X =；〔ⅱ〕求X 的分布列和数学期望EX ．A 1C 1B 1CBA20．〔本小题总分值12分〕已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =． 〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，假设△MON 是等腰三角形，求直线l 的方程.21．〔本小题总分值12分〕已知函数()f x =e 2xx ax --．〔1〕假设函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；〔2〕假设1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．〔1〕求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； 〔2〕假设l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=，求a 的值． 23．〔本小题总分值10分〕选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ． 〔1〕求M ；〔2〕证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

开始 输入x1x >输出y结束22log y x=-是否2x y =2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、若112z =+i ， 21z =-i ，则12z z =（ )A ．6B ．10C ．6D ．22、已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤,{}2230N x x x =--<,则MN =（ ）A ．(]1,2-B ．[]1,2-C ．{}0,2D ．{}0,1,23、执行如图的程序框图， 若输出32y =， 则输入x 的值为（ ）A ．2log 31-或2B ．21log 3-或2C ．21log 3-D ．24、若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．13y x =±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．3y x =±5、根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况,以下结论正确的是（ ）A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6、若αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则（ ） A ．3π=+βα B ．6π=+βα C ．3π=-βα D ．6π=-βα7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,直线3y x =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥,则C 的离心率为( ）A ．212- B ．21- C ．312- D ．31-8、某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图,则该几何体的表面 积是（ ）A ．18+πB ．182+πC ．16+πD ．162+π9、已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜， 则()f x 的单调递增区间是（ )A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z10、已知函数()f x =e 2x x +-的零点为a ,函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e ln 2a b +>B ．e ln 2a b +<C ．223a b +<D ．1ab >11、体积为3的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为（ ） A ．773π B ．2873π C ．19193π D ．76193π 12、已知直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ,且AB AC =,则()31=+∑i i i x y =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知向量a 与b 的夹角为4π，2,2==a b ，()⊥+λa a b ，则实数λ= ．14、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数"，而把1,4,9,16,… 这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数"都可以看作两个相邻“三角形数"之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+； ④813645=+中符合这一规律的等式是 ．(填写所有正确结论的编号）……15、622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是 ．（用数字作答）16、已知等边三角形ABC 的边长为4,其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时,sin θ的值为 ．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一)必考题：共60分．17、(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+,其中n ∈N *．(1）证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）令n n b na =， 求数列{}n b 的前n 项和n S 。

秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若112z =+i , 21z =-i，则12z z = A ．6BCD2．已知集合{}2,M x x x =∈Z ≤，{}2230N x x x =--<，则M N =I A ．(]1,2- B ．[]1,2- C ．{}0,2D ．{}0,1,23．执行如图的程序框图, 若输出32y =，则输入xA ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则C 的渐近线方程为 A ．13y x =±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．3y x =±5．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大 6．若αβ,为锐角，且π2πcos sin 63αβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．3π=+βα B ．6π=+βα C ．3π=-βαD ．6π=-βα 7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为A ．212-B ．21-C ．312- D ．31-8．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 该几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A ．18+π B ．182+π C ．16+πD ．162+π实际利用外资规模 实际利用外资同比增速9．已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()ππ2f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜，则()f x 的单调递增区间是 A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 10．已知函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是 A ．e ln 2ab +>B ．e ln 2ab +<C ．223a b +<D ．1ab >11P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC , 2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A B C D 12．已知直线l 与曲线32113y x x x =-++有三个不同交点()()1122,,,,A x y B x y ()33,C x y ， 且AB AC =，则()31=+∑iii x y =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,==a b ()⊥+λa a b ，则实数λ= ． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）……15．622x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是 ．（用数字作答）16．已知等边三角形ABC 的边长为4，其外接圆圆心为点O ，点P 在△ABC 内，且1OP =，BAP θ∠=，当△APB 与△APC 的面积之比最小时，sin θ的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足221132n n n n a a a a ++=+，且()24333a a a +=+，其中n ∈N *．（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式; （2）令n n b na =, 求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，11A A A C =， 侧面11A ACC ⊥底面ABC ，直线1A B 与平面11A ACC 所成角为60︒． （1）证明: 11A A A C ⊥；（2）求二面角1A A B C --的余弦值．19．（本小题满分12分）某工厂生产的A 产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A 产品中有8件合格品，2件次品． （1）求该盒A 产品可出厂的概率；（2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A 产品的检验费用为X (单位：元)． （ⅰ）求()40P X =；（ⅱ）求X 的分布列和数学期望EX ．20．（本小题满分12分）A 1C 1B 1CBA已知O 为坐标原点，点()0,2R ，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，3RF OF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点R 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线2y =-交于点M ，抛物线C在点A ,B 处的切线分别记为12,l l ，1l 与2l 交于点N ，若△MON 是等腰三角形， 求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =e 2xx ax --．（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．参考数据： e 2.71828≈，ln 20.69≈．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=5，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M ． （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．103．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.24．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．17．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．83208．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或【分析】根据集合，解得A={2}，在根据B=（1，m），A⊆B，即2必须要在（1，m）中，得到m≥2即可求解【解答】解：∵解得：x=2，x=﹣1（舍）∴A={2}∵B=（1，m），A⊆B∴m＞2故选A【点评】本题以集合为依托，考查了解物理方程以及集合关系中的参数取值问题，属于基础题．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．4．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．【解答】解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinA=，由题意得：当A∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选C【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．【分析】利用复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．【解答】解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数，则=∴A（2，1），B（，﹣），∴tan∠XOA=，tan∠XOB=，∴tan∠AOB=tan（∠XOA+∠XOB）==1，则∠AOB等于故选B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【分析】由题意知凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，每一位有8种选法，根据分步计数原理得到结果，用总数减去不合题意的即可．【解答】解：∵凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，∴凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，∴后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，根据分步计数原理知共有8×8×8×8=4096，∴符合条件的有10000﹣4096=5904，故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，这种题目若是从正面来做包括的情况比较多，可以选择从反面来解决．8．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，考查f（x）的单调性即可；对于②，欲求原函数y=﹣1（x ≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于③，考查函数f（x）的奇偶性即可．【解答】解：对于①，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故错．对于②，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故错．对于③，考察函数f（x）的奇偶性，化简得y=是偶函数，图象关于y轴对称，故对．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB的重心，排除C；再利用△OAB的内心，排除B；最后利用△OAB的垂心，排除A；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G，AB中点为C，连接OC．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G轨迹圆弧．排除C；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB中点C就是三角形外接圆圆心，OC是定值，所以轨迹圆弧，排除C；垂心是原点O，定点，排除A故选D．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）【分析】由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．【解答】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为671．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和，从而解决问题．【解答】解：二项式展开式的通项令3r﹣9=0得r=3故展开式的常数项为﹣C93×23=﹣672．令二项式中的x=1得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1除常数项外，各项系数的和为：671．故答案为671．【点评】本题涉及的考点：（1）二项式定理及通项公式；（2）二项式系数与系数，解答时注意二项式系数与系数的区别．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．【分析】由已知中，边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，我们易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．【解答】解：边长是的正三角形ABC的外接圆半径r=．球O的半径R=．∴球心O到平面ABC的距离d==．∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．【分析】设出A、B两点的坐标，A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得2n﹣m=②，由①②解得m 和n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．【解答】解：右焦点F（c，0），直线的方程为y﹣0=x﹣c．设A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得（c﹣m，c﹣m）=2 （n﹣c，n﹣c），∴c﹣m=2（n﹣c），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m=②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e3﹣3e﹣e2+=0，（e2﹣1）•（3e﹣）=0．∵0＜e＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．【分析】（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女生”则所求的概率为：1﹣“全为女生”的概率（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ1+Eξ2即可运算【解答】解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人选取的两名学生都是女生的概率P=∴所求的概率为：1﹣P=（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8【点评】本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=•d=∴S△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．【分析】（I）由题设知a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=，a n2﹣a n﹣12﹣a n﹣a n﹣1=0，故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由此能导出a n=n．于是b n+1=b n+3n，b n+1﹣b n=3n，由此能求出b n．（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．【解答】解：（I），∴a1=1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n2﹣a n﹣12﹣an﹣a n﹣1=0，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．于是b n+1=b n+3n，∴b n+1﹣b n=3n，b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=．（II），∴，，∴==，，∴==．【点评】第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．【分析】（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，．对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．∴f max（x）=f（1）=﹣1；（II）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）f（x）=，f′（x）=，∴a n+1=+，a3=，a4==＜a2⇒2a22﹣3a2﹣2＞0，⇒（2a2+1）（a2﹣1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，a4﹣a2=⇒a4＜a2，结论成立．若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则a2k+2=⇒a2k+4=，a2k+4﹣a2k+2=⇒a2k+4＜a2k+2，由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．【点评】本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．。

2 π 2π 或 sin sin ，所以 + 3 3 6 3 3
F O
A
π 2 ，解得 或 0 （舍去） + 3 3 3
F2
7．解析：如图，设椭圆的右焦点为 F2 ，连结 AF2 ，由对称性可知 AF AF2 ，在 Rt△AFF2 中， AO 为 斜边 FF2 上的中线，所以 AO FO F2O ，又 AOF2 60 ，所以 AF2 F 60, AFF2 30 ，所 以 AF2 : AF : FF2 1: 3 : 2 ，所以离心率 e 8．解析：直观图如图所示，其表面积
2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学参考答案
1 B 13 2 D 3 A 4 B 14 5 C 6 C 7 D 15 8 A 9 B 10 C 16 11 B 12 D
2
①③④
120
13 3 8
1． 解析： z1 z2 z1 z2
5 2 10
2．解析： M {2, 1, 0,1, 2}, N {x | ( x 1)( x 3) 0} {x | 1 x 3}, M N {0,1, 2} 3．解析： y
2 log 2 x, x 1 2 ,
x
x
x ≤1
，所以当 x 1 时， y 2 log 2 x
3 1 , log 2 x , x 2 1 ， 2 2
当 x ≤ 1 时，y 2
3 3 , x log 2 log 2 3 log 2 2 log 2 3 1 1 ， 所以输入 x 的值为 log 2 3 1 或 2 ． 2 2