2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020年广东深圳高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第1题5分已知集合A ={x|−1<x <5}，B ={1,3,5}，则A ∩B =（ ）．A. {1,3}B. {1,3,5}C. {1,2,3,4}D. {0,1,2,3,4,5}2、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第2题5分2020年广东深圳高三二模理科第1题5分设z =1+i(1−i)2，则|z|=（ ）．A. 12B. √22C. 1D. √23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第3题5分已知a =ln 22，b =log 2⁡2e ，c =22e ，则（ ）．A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c4、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第4题5分设x ，y 满足约束条件{x −y ⩽1，x +y ⩽3，x ⩾0，则z =2x −y 的最大值为（）．A. −3B. 1C. 2D. 35、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第5题5分已知m，n是两条不同直线，a，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若m//α，n//α，则m//n；②若n⊥α，m⊥β，m//n，则α//β；③若α⊥β，m//α，n⊥β，则m//n；④若α//β，m⊂α，m⊥n，则n⊥β．其中，正确的命题个数是（）．A. 3B. 2C. 1D. 06、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第6题5分已知双曲线C: x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(−5,0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan⁡∠PF1F2=34，则C的方程为（）．A. x2−y224=1B. x 224−y2=1C. x 29−y216=1D. x 216−y29=17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第7题5分执行右边的程序框图，如果输入的k=0.4，则输出的n=（）．A. 5B. 4C. 3D. 28、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第8题5分函数f(x)=x2−2x+1的图象与函数g(x)=3cos⁡πx的图象所有交点的横坐标之和等于（）．A. 2 B. 4 C. 6 D. 89、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第9题5分已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为（）．A. 12B. 13C. 16D. 11210、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第10题5分2020~2021学年6月四川成都锦江区四川省成都市第十七中学高二下学期月考文科第7题函数f(x)=(1−4x)sin⁡x2x的部分图象大致为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第11题5分2020~2021学年11月内蒙古呼和浩特高三上学期月考理科第11题5分下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB→⋅CD→=（）．A. 32B. 28C. 26D. 2412、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第12题5分2020~2021学年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高二上学期期末第8题3分在三棱锥P−ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=PC=2，若AC=PB，则三棱锥P−ABC体积的最大值为（）．A. 4√23B. 16√39C. 16√327D. 32√327二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第13题5分2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为．14、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第14题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区高新第一中学国际部高一下学期开学考试第13题5分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b 2+c2−a24，bsin⁡C=csin⁡A+C2，则角C=．15、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第15题5分《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半，1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只：2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只，以此类推，假设n个月后共有老鼠a n只，则a n=．16、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第16题5分已知A，F分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为35b，若△FMN的周长为6，则△FMN的面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第17题12分已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第18题12分为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如下等高条形图．(1) 根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2) 为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3) 标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度．如果出现了治疗时间在(x−3s,x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]．参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第19题12分如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AA1=√2AB，M，N分别为AB，AA1的中点．(1) 求证：平面B1NC⊥平面CMN．(2) 若AB=2，求点N到平面B1MC的距离．20、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第20题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州大学附属中学高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州南沙区广州外国语学校高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州市铁一中学高三上学期月考第22题12分在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足AB→⋅BF→=0，点A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C．(1) 求曲线C的方程．(2) 已知点G(3,−2)，动直线x=t(t>3)与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线y=−2上截得的弦长的最小值．21、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=xe xe−3，g(x)=aln⁡x−2x(a∈R)．(1) 讨论g(x)的单调性．(2) 是否存在实数a，使不等式f(x)⩾g(x)恒成立？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第22题10分2020年广东深圳高三二模理科第22题10分椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1) 将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0⩽φ<2π），用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2) 已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0⩽α<π2）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点，当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第23题10分已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1．证明：(1) |a−12|+|b+c−1|⩾12．(2) (a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)⩾3．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】12;14 、【答案】512π;15 、【答案】2⋅7n;16 、【答案】8√35;17 、【答案】 (1) a n=29−2n，n∈N∗．;(2) T n={8n−n2,1⩽n⩽4n2−8n+32,n>4．;18 、【答案】 (1) 甲药．;(2) 甲药．;(3) 是．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √2．;20 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) 4√2+4．;21 、【答案】 (1) 当a⩽0时，g(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数g(x)在(0,a2)上为增函数，在(a2,+∞)上为减函数．;(2) 存在；a=4．;22 、【答案】 (1) M(2cos⁡φ,sin⁡φ)，x24+y2=1．;(2) x+√2y+√3=0．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）（含答案解析）2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|0<=""A. {x|0<="">B. {x|0<1}<="" p="">C. {x|1≤x <2}D. {x|0<2}<="" p="">2. 已知复数z 满足z(1+i)=(3+i)2，则|z|=( )A. √2B. √5C. 5√2D. 8 3. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 若x,y 满足约束条件{?3≤x ?y ≤1,?9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. ?3 C. ?5 D. ?65. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是( )A. l ?α，m ?β，且l ⊥mB. l ?α，m ?β，n ?β，且l ⊥m ，l ⊥nC. m ?α，n ?β，m//n ，且l ⊥mD. l ?α，l//m ，且m ⊥β6. 已知双曲线C ：x 2a 2?y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15°，∠PF 2F 1=105°，则该双曲线的离心率为( )B. √3C. √2+√62 D. √627. 执行如图的程序框图，若输入的k =9，则输出的S =( )A. 10B. 15C. 21D. 288. 函数f(x)=x 2?2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 89. 以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为( ) A. 18 B. 56 C. 16 D. 78 10. 函数y =sin?x ?1+2x 1?2x 的部分图像大致为( ) A. B.C. D.11. 下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ????? ?CD ????? =B. 28C. 26D. 2412. 如图，在三棱锥A ?BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AD =AB =1，∠BCD =45°，且BD =DC =√2.给出下面四个命题：①AD ⊥BC ；②三棱锥A ?BCD 的体积为√22；③CD ⊥平面ABD ；④平面ABC ⊥平面ACD ．其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2?a24，bsinC=csin A+C2，则角C=________．15.已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；……以此类推，则2018出现在第____________个等式中．16.过椭圆x24+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+?+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x?3s，x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？[(x1?x)2+(x2?x)2+?+(x n?x)2]，参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19. 如图，已知四棱锥P ?ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 和y 轴上运动，满足AB ????? ?BF=0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)已知点G(3,?2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =?2上截得的弦长的最小值．21.已知f(x)=(x?1)e x?a(x2+1)，x∈[1,+∞)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥?2a+lnx，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知正实数x，y满足x+y=1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x?y|≤52．(2)证明：(1x2?1)(1y21)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题.利用交集的定义求解即可．解：∵集合A={x|0<x< p="">∴A∩B={x|1≤x<2}，故选C．2.答案：C解析：本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由z(1+i)=(3+i)2，得z=(3+i)21+i =8+6i1+i，∴|z|=|8+6i1+i |=|8+6i||1+i|=√2=5√2．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log1< p="">31=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．</log1<></x<>。

2020年广东深圳文科高三二模数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

一、标题A.B.C.D.1.设集合，，则（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）．A.或B.或C.D.3.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）．4.已知是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.，，5.一个容量为的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别频数则样本数据落在上的频率为（ ）．A.B.C.D.6.在中，是边上一点，，，，则 （ ）．A.B.C.D.7.（ ）．A.B.C.D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为 的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ）．A.B.C.D.9.如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：①，②截面，③，④异面直线与所成的角为，其中所有正确结论的编号是（ ）．A.①③B.①②④C.③④D.②③④10.已知函数（）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）．A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递减D.函数在上有个零点，11.已知函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线、分别交双曲线的左右支于另一点、，若，且，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.13.已知轴为曲线的切线，则的值为 ．14.已知为数列的前项和，若，则 ．15.在中，若，则的值为 ．16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为 ．（1）（2）17.已知数列的首项，．证明：数列是等比数列．数列的前项和．（1）（2）（3）18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．需求量频率组距将表示为的函数，求出该函数表达式．根据直方图估计利润不少于万元的概率．根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（精确到）．19.如图所示，四棱锥中，平面．，，，为的中点．（1）（2）求证：平面．求点到平面的距离．（1）（2）20.已知椭圆：，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，求的最大值，并证明你的结论．若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围．（1）（2）21.已知函数（为自然对数的底数），其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为：，，证明：．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线（为参数，），曲线（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点的极坐标．已知直线与圆交于，两点，记的面积为，的面积为，求的值．（1）（2）23.已知．当时，解不等式．若存在实数，使得关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．2020年广东深圳文科高三二模数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−5<2x +1<7}，B ={x|−2<x <4}，则A ∩B =( )A. {x|−3<x <4}B. {x|−2<x <4}C. {x|−3<x <3}D. {x|−2<x <3}2. 已知复数z =i(a −i)(i 为虚数单位，a ∈R)，若|z|=√5，则a =( )A. 4B. 2C. ±2D. −23. 小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A. 13B. 23C. 16D. 124. 若x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤0x +1≥0，则z =y −2x 的最大值是( )A. 9B. 7C. 3D. 65. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( )A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺6. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为( )A. 2√3πB. 2√33πC. 8√33πD. 4√33π7. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x −1)>0的解集为( )A. (−3,3)B. (−2,4)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−4,2)8. 已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B.若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则该双曲线的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √29. 已知数列{a n }满足a n+1=an1+a n (n ∈N ∗)，且a 1=1，设b n =a n a n+1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 2019=( )A. 20182019B. 20192020C. 2019D. 1201910. 把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，关于g(t)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最上的最小值为√3；④函数g(x)∈[0,π]上单调递增，则以上说法正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11. 已知椭圆C 的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22，则椭圆C 的方程为( )A. x 22+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 24+y 22=1 D. x 24+y 2=112. 已知函数f(x)=12ax 2+cosx −1(a ∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=14，S 3=78，则公比q =______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，|b ⃗ |=1，且向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则|a ⃗ −2b ⃗ |=______．15. 对于任意实数a ，b ，定义min{a,b}={a,a ≤b b,a >b，函数f(x)=−ex +2e ，g(x)=e x ，ℎ(x)=min{f(x),g(x)}，若函数Q(x)=ℎ(x)−k 有两个零点，则k 的取值范围为______． 16. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2AD =2a ，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C .若当三棱锥A 1−CDE 的体积取得最大值时，三棱锥A 1−CDE 外接球的体积为8√23π，则a =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a(2√2cos 2A2−√2)=b ⋅cosC +c ⋅cosB ．(1)求角A 的大小；(2)若c =6√2，且AB 边上的高等于13AB ，求sin C 的值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE=1，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若∠BAD=60°，PA⊥PE，求三棱锥P−AOE的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表(单位：件)，并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．(3)已知每件产品的纯利润y(单位：元)与产品质量指标值的关系式为y ={2,30<t ≤451,15<t ≤30，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：y=−2的距离比它到点F(0,1)的距离大1．(1)求曲线C的方程；(2)曲线C任意一点处的切线m(不含x轴)与直线y=2相交于点M，与直线l相交于点N，证明：|FM|2−|FN|2为定值，并求此定值．21.已知函数f(x)=ae x−ex−a(a<e)，其中e为自然对数的底数．(1)若a=2，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的极小值为−1，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=a(a>0)．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1)解不等式：f(x)≤6；(2)若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥493．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|−5<2x +1<7}={x|−3<x <3}， B ={x|−2<x <4}， ∴A ∩B ={x|−2<x <3}． 故选：D ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为复数z =i(a −i)=1+ai ，所以|z|=√1+a 2=√5，即1+a 2=5，所以a =±2． 故选：C ．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可． 本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照， 基本事件总数n =A 33=6，小青不站在两边包含的基本事件个数m =A 22=2， ∴小青不站在两边的概率为P =m n=26=13．故选：A ．基本事件总数n =A 33=6，小青不站在两边包含的基本事件个数m =A 22=2，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤0x +1≥0，作出可行域如图，联立{x +y −3=0x +1=0，解得A(−1,4)，化目标函数z=y−2x为直线方程的斜截式：y=2x+Z．由图可知，当直线y=2x+Z过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为4−2×(−1)=6；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】D【解析】解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，9a1+36d=49.5，a1+a3+a5=10.5，即3a1+6d=10.5．解得d=1，a1=1.5．∴立秋的晷长=a4=1.5+3=4.5．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，可得：9a1+36d=49.5，a1+a3+a5=10.5，即3a1+6d=10.5.解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高d=2ℎ，∵一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为√3π，∴π×12×ℎ=√3π，解得ℎ=√3，∴圆锥的高d=2ℎ=2√3，∴该圆锥的体积为：V=13×π×22×2√3=8√33π．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高d=2ℎ，由内接圆柱的体积为√3π，求出ℎ=√3，从而圆锥的高d=2ℎ= 2√3，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减， 又由f(−3)=0，则f(x −1)>0⇒f(x −1)>f(−3)⇒f(|x −1|)>f(3)⇒|x −1|<3， 解可得：−2<x <4，即不等式的解集为(−2,4)； 故选：B ．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及f(−3)=0分析可得：f(x −1)>0等价于|x −1|<3，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：如图，由FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得∠AOB =90°，即∠AOF =45°，∴ba =tan45°=1，即a =b ． 则e =ca=√1+(b a )2=√2． 故选：D ．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到ba =1，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.【答案】B【解析】解：数列{a n }满足a n+1=an1+a n (n ∈N ∗)，整理得：a n+1+a n a n+1=a n ，所以：a n −a n+1=a n a n+1，故1an+1−1a n=1(常数)，由于且a 1=1，所以数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．故：1a n=1+(n −1)=n ，所以a n =1n ．设b n =a n a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，所以S n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1． 所以S 2019=20192019+1=20192020． 故选：B ．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，得y =2sin(x −π3)， 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象， 则g(x)=2sin(2x −π3).①∵g(π3)=2sin(2π3−π3)=√3≠0，∴函数g(x)的图象不关于点(π3,0)对称，故①错误； ②∵g(−π12)=2sin(−π6−π3)=−2，∴函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12，故②正确； ③当x ∈[π3,π2]时，2x −π3∈[π3,2π3]，则2sin(2x −π3)∈[√3,2]， 即函数g(x)在[π3,π2]上的最上的最小值为√3，故③正确； ④当x ∈[0,π]时，2x −π3∈[−π3,5π3]，可知函数g(x)在[0,π]上不单调，故④错误．∴正确命题的个数为2． 故选：C ．通过平移变换与伸缩变换求得函数g(x)的解析式．由g(π3)≠0判断①错误；由g(−π12)=−2求得最小值判断②正确；由x 的范围求得函数值域判断③正确；由x 的范围可知函数g(x)在[0,π]上不单调判断④错误． 本题考查命题的真假判断与应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，是中档题．11.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．【解答】解：椭圆C的焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为√22，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为√22，可得：{ca =√221 2×2c×b2a=√22a2=b2+c2，解得a=√2，b=1，所以：椭圆方程为：x22+y2=1．故选：A．12.【答案】B【解析】解：当a=0时，f(x)=cosx−1，显然此时函数f(x)的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程cosx=−12ax2+1有唯一解，即函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，当a<0时，如图，函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项D；当a>0时，如图，由二次函数的性质可知，函数ℎ(x)的开口向下，且a越大，函数ℎ(x)=−12ax2+1的开口越小，由图可知，此时函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当a=0，由余弦函数的周期性可知，此时函数f(x)的零点不唯一，当a≠0时，问题等价于函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，分a>0及a<0三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.【答案】12或2【解析】解：由a2=14，S3=78，∴14q+14+14q=78，化为：2q2−5q+2=0．解得q=12或2．故答案为：12或2．由a2=14，S3=78，可得：14q+14+14q=78，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=1,<a ⃗ ,b ⃗ >=π3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =1，∴(a ⃗ −2b ⃗ )2=a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=4−4+4=4，∴|a ⃗ −2b ⃗ |=2． 故答案为：2．根据向量a ⃗ 的坐标即可求出|a ⃗ |=2，进而求出a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，进而得出(a ⃗ −2b ⃗ )2的值，从而得出|a ⃗ −2b ⃗ |． 本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,e)【解析】解：因为f(x)=−ex +2e 单调递减，g(x)=e x 单调递增， 且f(1)=e =g(1)， 故ℎ(x)=min{f(x),g(x)}={e x ,x ≤1−ex +2e,x >1，作出函数ℎ(x)的图象如下：函数Q(x)=ℎ(x)−k 有两个零点等价于函数ℎ(x)与直线y =k 图象有2个交点， 由图可知，k ∈(0,e)； 故答案为：(0,e)．根据题意得到ℎ(x)解析式为ℎ(x)={e x ,x ≤1−ex +2e,x >1，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.【答案】√2【解析】解：在矩形ABCD 中，已知AB =2AD =2a ，E 是AB 的中点，所以：△A 1DE 为等腰直角三角形；斜边DE 上的高为：A′K =12DE =12√a 2+a 2=√22a ；要想三棱锥A 1−CDE 的体积最大；需高最大，则当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大，此时三棱锥A 1−CDE 的高等于：12DE =12√a 2+a 2=√22a ；取DC 的中点H ，过H 作下底面的垂线； 此时三棱锥A 1−CDE 的外接球球心在OH 上； ∵三棱锥A 1−CDE 外接球的体积为8√23π；所以球半径R =√2； 如图：OH 2=OC 2−CH 2；① A′O 2=A′G 2+GO 2；② 即：R 2−a 2=OH 2；③ R 2=(√22a −OH)2+(√22a)2；④ 联立③④可得a =√2； 故答案为：√2．要想体积最大，需高最大，当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论． 本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.【答案】解：(1)∵a(2√2cos 2A2−√2)=b ⋅cosC +c ⋅cosB ，∴√2acosA =bcosC +ccosB ，由正弦定理可得√2sinAcosA =sinBcosC +sinCcosB ， ∴√2sinAcosA =sin(B +C)=sinA ， ∵A ∈(0,π)，sinA ≠0， ∴解得cosA =√22，A =π4．(2)设AB 边上的高为CD ，在Rt △CDA 中，可得AD =CD =13×6√2=2√2=2√2， 可得BD =4√2，在Rt △CDB 中，根据勾股定理，可得BC =√CD 2+BD 2=2√10，在△ABC中，根据正弦定理ABsinC =BCsinA，可得sinC=AB⋅sinABC=6√2×√222√10=3√1010．【解析】(1)利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得√2sinAcosA=sinA，结合A∈(0,π)，sinA≠0，可得cos A，进而可求A的值．(2)设AB边上的高为CD，在Rt△CDA中，可得AD=CD=2√2，可得BD=4√2，在Rt△CDB中，根据勾股定理可得BC，在△ABC中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．(2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD=AB=4，∵O是BD的中点，∴BO=2，在Rt△ABO中，AO=√AB2−BO2=2√3，在Rt△PAO中，PA2=AO2+PO2=12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2=OE2+PO2=3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcos120°=21，∵PA⊥PE，∴PA2+PE2=AE2，∴12+PO2+3+PO2=21，∴PO=√3，∵S△AOE=S△ABC−S△ABE−S△COE=12×4×4×sin120°−12×4×1×sin120°−12×3×√3=3√32，∴三棱锥P−AOE的体积V P−AOE=13S△AOE⋅PO=13×3√32×√3=32．【解析】(1)推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PO，推导出PO⊥AC，由此能证明PO⊥平面ABCD．(2)取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，由余弦定理得PO=√3，S△AOE=S△ABC−S△ABE−S△COE，三棱锥P−AOE的体积V P−AOE=13S△AOE⋅PO，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．=0.7=70%，19.【答案】解：(1)估计新设备所生产的产品的优质品率为：30+25+15100估计旧设备所生产的产品的优质品率为：5×(0.06+0.03+0.02)=0.55=55%；(2)根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：=4.8>3.841，由列联表可知：K2=200×(30×55−45×70)275×125×100×100∴有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”；(3)∵新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有1000×0.7=700件优质品，有1000−700=300件合格品，∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700×2+300×1=1700(元)，∵800000÷1700≈471(天)，∴估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．【解析】(1)根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；(3)根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：(1)由题意可知，曲线C上每一点到直线y=−1的距离等于该点到点F(0,1)的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，F(0,1)为焦点的抛物线，∴曲线C的方程为：x2=4y；(2)依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得：x2−4ax−4b=0，由△=0得(4a)2+16b =0，整理得：b =−a 2， 故切线m 的方程可写为y =ax −a 2，分别令y =2，y =−2得点M ，N 的坐标为M(2a +a,2)，N(−2a +a,−2)，∴FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a+a,1)，FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2a+a,−3)， ∴|FM|2−|FN|2=(2a +a)2+1−(−2a +a)2−9=0， 即|FM|2−|FN|2为定值0．【解析】(1)利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，F(0,1)为焦点的抛物线，从而求出曲线C 的方程；(2)依题意，切线m 的斜率存在且不等于0，设切线m 的方程为：y =ax +b(a ≠0)，与抛物线方程联立，利用△=0得到b =−a 2，故切线m 的方程可写为y =ax −a 2，进而求出点M ，N 的坐标，用坐标表达出FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证得|FM|2−|FN|2为定值． 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.【答案】解：(1)∵a =2，∴f(x)=2e x −ex −2，则f′(x)=2e x −e ， ∴f′(1)=e ，又f(1)=2e −e −2=e −2，∴所求切线方程为y −(e −2)=e(x −1)，即y =ex −2； (2)函数f(x)的定义域为R ，f′(x)=ae x −e ， ①当a ≤0时，f′(x)<0对任意x ∈R 都成立， ∴f(x)在R 上递减，此时无极值；②当0<a <e 时，令f′(x)>0，解得x >ln ea ，∴当x ∈(ln e a ,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(−∞,ln ea )时，f′(x)<0， ∴f(x)在(−∞,ln e a )递减，在(ln ea ,+∞)递增， ∴当x =ln ea 时，f(x)取得极小值−1，∴f(ln ea )=ae ln ea −eln ea −a =−1，即elna −a +1=0， 令m(x)=elnx −x +1(0<x <e)，则m′(x)=ex −1=e−x x，∵0<x <e ，∴m′(x)>0，∴m(x)在(0,e)上递增，又m(1)=0，∴a=1．【解析】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于较难题．(1)将a=2代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；(2)分a≤0及0<a<e两种情形讨论，当a≤0时显然不合题意，当0<a<e时，利用导数可求得当x=ln ea 时，f(x)取得极小值−1，进而得解．22.【答案】解：(1)由√2ρcos(θ−π4)=a，得√2ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)=a，即ρcosθ+ρsinθ=a．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为x+y=a，即x+y−a=0；(2)依题意可知曲线C的参数方程为{x=2√3cosαy=2sinα(α为参数)．设P(2√3cosα,2sinα)，则点P到直线l的距离为：d=|2√3cosα+2sinα−a|√2=|4(√32cosα+12sinα)−a|√2=|4sin(α+π3)−a|2．∵a>0，∴当sin(α+π3)=−1时，d max=√2．又过点P作直线l1交直线于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，∴d|PA|=cos45°，即|PA|=√2d．∴|PA|的最大值为√2d max=6，即√2√2=6．∵a>2，∴解得a=2．【解析】(1)把√2ρcos(θ−π4)=a展开两角差的余弦，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直线l的直角坐标方程；(2)依题意可知曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =2sinα(α为参数).设P(2√3cosα,2sinα)，写出点P 到直线l 的距离，利用三角函数求其最大值，可得|PA|的最大值，结合已知列式求解a ．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题． 23.【答案】解：(1)函数f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2(x <−3)4(−3≤x ≤1)2x +2(x >1)． 当x <−3时，−2x −2≤6，解得x ≥−4，故−4≤x <−3． 当−3≤x ≤1时，4≤6，恒成立．当x >1时，2x +2≤6，解得x ≤2，故1<x ≤2， 所以不等式的解集为{x|−4≤x ≤2}．证明：(2)由(1)知：f(x)min =4，所以：a +b +c =4， 所以(a +1)+(b +1)+(c +1)=7， 所以[(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，所以(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+2(b +1)(c +1)=49≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2].当且仅当a =b =c =43时，等号成立． 故：(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493．【解析】(1)直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果． (2)直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.棣莫弗公式为虚数单位是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知点和在直线的两侧，则a的取值范围是A. 或B. 或C. D.4.已知是上的减函数，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.5.组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为A. B. C. D.6.如图，在中，，，，则的值为A. B. C. D.7.等于A. B. C. D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为A. B. C. D.9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：截面PQMN异面直线PM与BD所成的角为其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.10.已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调递减D. 函数在上有3个零点11.已知函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，当时，，则的值为A. B. C. D.12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x轴为曲线的切线，则a的值为______．14.已知为数列的前n项和，若，则______．15.在中，若，则的值为______．16.已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的首项，，，2，求证数列为等比数列；求数列的前n项和．18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每1吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以单位：吨，表示下一个销售季度的市场需求量，单位：万元表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．将T表示为x的函数，求出该函数表达式；根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小保留到小数点后一位．19.如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，，M为SB的中点．求证：平面SCD；求点B到平面SCD的距离．20.已知椭圆，、分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．求的最大值，并证明你的结论；若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．21.已知函数为自然对数的底数，其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为，，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，直线：为参数，，曲线：为参数，与相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点A的极坐标；已知直线：与圆：交于B，C两点，记的面积为，的面积为，求的值．23.已知．当时，解不等式；若存在实数，使得关于x的不等式有实数解，求实数m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，．故选：C．求函数的定义域得集合B，再根据补集与交集的定义运算即可．本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．由题意可得，再由三角函数的符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3.答案：C解析：解：点与，在直线的两侧，两点对应式子的符号相反，即，即，解得，故选：C．根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：是上的减函数，满足，即，解得，故选：C．根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：由频率分布表知，样本数据落在上的频率为：．故选：B．由频率分布表计算样本数据落在上的频率值．本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6.答案：D解析：解：在中，，故选：D．将转化成，化简后得，然后转化成，再进行化简可得结论．本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7.答案：B解析：解：原式．通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8.答案：A解析：解：由题意，直线l方程为：，代入抛物线整理得：，，设、，，弦BC的中点坐标为，弦BC的中垂线的方程为，令，可得，，，．故选：A．先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9.答案：B解析：解：在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面PQMN．由，，，．，，，，可得：，AC与BD不一定相等．，PM与QM所成的角为，异面直线PM与BD所成的角为．其中所有正确结论的编号是．故选：B．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面由，，，可得进而判断出结论．本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：解：函数的最小正周期是，，解得．，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，，，取，可得．，验证：，，因此AB不正确．若，则，因此函数在区间上单调递减，正确．若，则，因此函数在区间上只有两个零点，不正确．故选：C．函数的最小正周期是，，解得，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，可得，利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：解：由题意可得：因为函数是R上的奇函数，并且，所以，即．又因为函数是R上的偶函数，所以，所以，所以，所以，所以函数是周期函数，并且周期为8．所以．故选：D．根据函数是R上的奇函数，并且，得到结合是R上的偶函数，得到，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．解析：【分析】由题意，，，可得，，由，可得，由余弦定理可得，即可求出双曲线C的离心率．本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】解：由题意，，由双曲线的定义可得，，可得，由四边形为平行四边形，又，可得，在三角形中，由余弦定理可得，即有，即，可得，即．故选：B．13.答案：解析：解：由，得，轴为曲线的切线，的切线方程为，设切点为，则，又，由，得，，的值为．故答案为：．先对求导，然后设切点为，由切线斜率和切点在曲线上得到关于和a的方程，再求出a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14.答案：32解析：解：因为为数列的前n项和，若，则；则，得：数列是首项为2，公比为2的等比数列；故；．故答案为：32．根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15.答案：解析：解：在中，若，则，故答案为．在中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为，运算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16.答案：解析：解：作出截面图如图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，，，又，∽，，即，．圆锥体积，．令，得．．故答案为：．由题意画出截面图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，利用三角形相似可得R，h，r的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．17.答案：证明：，，，又，．数列为等比数列；解：由可得：，化为，．设，，，，数列的前n项和．解析：由，变形为，可得，即可证明；由可得：，设，利用“错位相减法”可得，即可得出数列的前n项和．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.答案：解：当时，；分当时，，分所以，分根据频率分布直方图及Ⅰ知，当时，由，得，分当时，由，分所以，利润T不少于57万元当且仅当，于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为；分估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为吨；分由频率分布直方图易知，由于时，对应的频率为，而时，对应的频率为，分因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间，于是估计中位数应为吨分解析：计算和时T的值，用分段函数表示T的解析式；计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目．19.答案：解：取SC的中点N，连结MN和DN，为SB的中点，，且，，，，，且，平行且等于MN，四边形AMND是平行四边形，，平面SCD，平面SCD，平面SCD．，M为SB中点，，平面ABCD，，，，平面SAB，，平面SBC，由可知，平面SBC，平面SCD，平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形SBC中，，，即点B到平面SCD的距离为．解析：取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而平面SCD；先证明得到平面SBC，进而得到平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20.答案：解：由椭圆的定义可知：，在中，由余弦定理可得：，，的最大值为，此时，即点M为椭圆C的上、下顶点时取最大值，其最大值为；设直线BM的斜率为，，则，，，又，，，，，故直线BM的斜率的取值范围为解析：由题意可知，在中，利用余弦定理可得：，再利用基本不等式得到，当且仅当时等号成立，再结合以及余弦函数的图象，即可得到的最大值；设直线BM的斜率为，，则，再根据k的范围即可得到的范围．本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21.答案：解：由条件可知，函数在上有意义，，，令可得，，，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，由，可得，当时，，当时，，因为，所以，又函数在上单调递减且，所以在上有最小值，由可知时，存在两个极值点为，，故，是的根，所以，且，因为，同理，，，，又，由知，，设，，令，，则，所以在上单调递增，，即，令则从而．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．22.答案：解：曲线：为参数，转换为直角坐标方程为．将代入得到．直线：为参数，，转换为极坐标方程为．将代入得到，由于，解得，故此时，所以点A的极坐标为由于圆：，转换为直角坐标方程为．所以圆心坐标为设，，将代入，得到，所以，．由于，．所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，即解不等式，当时，原不等式等价为，所以，则原不等式的解集为；当时，原不等式等价为，解得，综上可得原不等式的解集为；，显然等号可取，由，故原问题等价为关于a的不等式在有解，又因为，当且仅当取得等号，即，即m的范围是．解析：由绝对值的定义，讨论，，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；运用绝对值不等式的性质可得的最小值，由题意可得m大于这个最小值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班第二次教学质量检测(二模)数学(文)试题注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N|－3<x<3},B＝{－4,－2,0,2,4},则A∩B＝A.{－2,0,2}B.{0,2}C.{0}D.{2}2.若在复平面内,复数z＝2＋mi(m∈R)对应的点位于第四象限,且|z|＝4,则m＝A.－ C.23.已知函数f(x)的图象关于原点对称,当x>0时,f(x)＝2e x－3,则f(ln 13)＝A.－73B.73C.3D.－34.曲线y＝(x3－3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝05.2019年10月18日－27日,第七届世界军人运动会在湖北武汉举办,中国代表团共获得133金64银42铜,共239枚奖牌。

为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度,研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查,所得数据如下所示：现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人,抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12； ②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”。

2020年高考数学第二次模拟测试试卷（文科）一、选择题1．设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．（﹣1，1]D．[﹣1，+∞）2．棣莫弗公式（cos x+i sin x）n＝cos nx+i sin nx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+i sin）6在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣7或a＞24B．a＝7 或a＝24C．﹣24＜a＜7D．﹣7＜a＜244．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）5．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：组别（0，10]（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数1213241516137则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13B．0.52C．0.39D．0.646．在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥AB，＝，，则＝（）A．B．C．D．7．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．8．已知抛物线y2＝8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C 两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（）A．B．C．D．9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：①AC⊥BD②AC∥截面PQMN③AC＝BD④异面直线PM与BD所成的角为45°其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①②④C．③④D．②③④10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在区间[]上单调递减D．函数f（x）在[]上有3个零点11．已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，函数y＝g（x）是R上的偶函数，且f（x）＝g （x+2），当0≤x≤2时，g（x）＝x﹣2，则g（10.5）的值为（）A．1.5B．8.5C．﹣0.5D．0.512．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知x轴为曲线f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1的切线，则a的值为．14．已知S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n﹣2，则S5﹣S4＝．15．在△ABC中，若，则的值为．16．已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．18．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．20．已知椭圆，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．（1）求∠F1MF2的最大值，并证明你的结论；（2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．21．已知函数（e为自然对数的底数），其中a＞0．（1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：（t为参数，），曲线C1：（β为参数），l1与C1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程及点A的极坐标；（2）已知直线l2：与圆C2：交于B，C两点，记△AOB的面积为S1，△COC2的面积为S2，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣2a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞2x+1；（2）若存在实数a∈（1，+∞），使得关于x的不等式f（x）+＜m有实数解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．（﹣1，1]D．[﹣1，+∞）【分析】求函数的定义域得集合B，再根据补集与交集的定义运算即可．解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，∴∁R B＝{x|x≤1}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：C．2．棣莫弗公式（cos x+i sin x）n＝cos nx+i sin nx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+i sin）6在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由题意可得（cos+i sin）6＝cos+i sin＝，再由三角函数的符号得答案．解：由（cos x+i sin x）n＝cos nx+i sin nx，得（cos+i sin）6＝cos+i sin＝，∴复数（cos+i sin）6在复平面内所对应的点的坐标为（，﹣sin），位于第三象限．故选：C．3．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣7或a＞24B．a＝7 或a＝24C．﹣24＜a＜7D．﹣7＜a＜24【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．解：∵点（3，1）与B（﹣4，6），在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，∴两点对应式子3x﹣2y+a的符号相反，即（9﹣2+a）（﹣12﹣12+a）＜0，即（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24，故选：D．4．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．解：∵f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴满足，即，解得，故选：C．5．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：组别（0，10]（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数1213241516137则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13B．0.52C．0.39D．0.64【分析】由频率分布表计算样本数据落在（10，40]上的频率值．解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40]上的频率为：＝0.52．故选：B．6．在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥AB，＝，，则＝（）A．B．C．D．【分析】将转化成（+），化简后得•，然后转化成•＝（﹣）•，再进行化简可得结论．解：∵在△ABC中，AD⊥AB，∴＝0＝（+）＝•+•＝•＝•＝（﹣）•＝•﹣•＝故选：D．7．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．解：原式＝sin163°•sin223°+cos163°cos223°＝cos（163°﹣223°）＝cos（﹣60°）＝．故选：B．8．已知抛物线y2＝8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C 两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（）A．B．C．D．【分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程3x2﹣20x+12＝0，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．解：由题意，直线l方程为：y＝（x﹣2），代入抛物线y2＝8x整理得：3x2﹣12x+12＝8x，∴3x2﹣20x+12＝0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），∴x1+x2＝，∴弦BC的中点坐标为（，），∴弦BC的中垂线的方程为y﹣＝﹣（x﹣），令y＝0，可得x＝，∴P（，0），∵A（2，0），∴|AP|＝．故选：A．9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：①AC⊥BD②AC∥截面PQMN③AC＝BD④异面直线PM与BD所成的角为45°其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①②④C．③④D．②③④【分析】在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由AC∥MN，可得：AC∥截面PQMN．由AC∥PQ，BD∥QM，PQ⊥QM，可得AC⊥BD．进而判断出结论．解：在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由AC∥MN，可得：AC∥截面PQMN．由AC∥PQ，BD∥QM，PQ⊥QM，∴AC⊥BD．＝，＝，BP+AP＝1，PN＝PQ，可得：+＝，AC与BD不一定相等．∵BD∥QM，PM与QM所成的角为45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°．其中所有正确结论的编号是①②④．故选：B．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在区间[]上单调递减D．函数f（x）在[]上有3个零点【分析】函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，＝π，解得ω＝2．f（x）＝sin（2x+φ），若其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）为奇函数，g（x）＝sin（2x﹣+φ），可得g（0）＝sin（﹣+φ）＝0，可得φ，f （x）．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴＝π，解得ω＝2．∴f（x）＝sin（2x+φ），若其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）为奇函数，∴g（x）＝sin（2x﹣+φ），可得g（0）＝sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，取k＝﹣1，可得φ＝﹣．∴f（x）＝sin（2x﹣），验证：f（）＝0，f（）＝﹣1，因此AB不正确．若x∈[]，则（2x﹣）∈[﹣，﹣]，因此函数f（x）在区间[]上单调递减，正确．若x∈[]，则（2x﹣）∈[，]，因此函数f（x）在区间x∈[]上只有两个零点，不正确．故选：C．11．已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，函数y＝g（x）是R上的偶函数，且f（x）＝g （x+2），当0≤x≤2时，g（x）＝x﹣2，则g（10.5）的值为（）A．1.5B．8.5C．﹣0.5D．0.5【分析】根据函数y＝f（x）是R上的奇函数，并且f（x）＝g（x+2），得到g（﹣x+2）＝﹣g（x+2）．结合g（x）是R上的偶函数，得到g（x+2）＝﹣g（x﹣2），进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解：由题意可得：因为函数y＝f（x）是R上的奇函数，并且f（x）＝g（x+2），所以f（﹣x）＝﹣f（x），即g（﹣x+2）＝﹣g（x+2）．又因为函数y＝g（x）是R上的偶函数，所以g（x+2）＝﹣g（x﹣2），所以g（x）＝﹣g（x﹣4），所以g（x﹣4）＝﹣g（x﹣8），所以g（x）＝g（x﹣8），所以函数g（x）是周期函数，并且周期为8．所以g（10.5）＝g（2.5）＝﹣g（﹣1.5）＝﹣g（1.5）＝0.5．故选：D．12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由∠MF2N ＝120°，可得∠F1PF2＝120°，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝120°，可得∠F1PF2＝120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2＝20a2+8a2，即c2＝7a2，可得c＝a，即e＝＝．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x轴为曲线f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1的切线，则a的值为．【分析】先对f（x）求导，然后设切点为（x0，0），由切线斜率和切点在曲线上得到关于x0和a的方程，再求出a的值．解：由f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1，得f'（x）＝12x2+4（a﹣1），∵x轴为曲线f（x）的切线，∴f（x）的切线方程为y＝0，设切点为（x0，0），则①，又②，由①②，得，，∴a的值为．故答案为：．14．已知S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n﹣2，则S5﹣S4＝32．【分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．解：因为S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n﹣2，①则a1＝2a1﹣2⇒a1＝2；则S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1⇒a n＝2a n﹣1⇒数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列；故a n＝2n；∴S5﹣S4＝25＝32．故答案为：32．15．在△ABC中，若，则的值为﹣．【分析】在△ABC中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为+2cos2A﹣1，运算求得结果．解：在△ABC中，若，则＝＝+cos2A＝+2cos2A﹣1＝+﹣1＝﹣，故答案为﹣．16．已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为【分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，利用三角形相似可得R，h，r的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．解：作出截面图如图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，OC＝OD＝r，∠SCB＝∠SDO＝90°，又∠OSD＝∠BSC，∴△SOD∽△SBC，∴，即，∴R＝．∴圆锥体积V＝，V′＝．令h′（r）＝0，得h＝4r．∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1a n+a n+1＝2a n，变形为，可得，即可证明；（2）由（1）可得：＝，．设T n＝+…+，利用“错位相减法”可得T n，即可得出数列{}的前n项和S n＝T n+．【解答】（1）证明：∵a n+1a n+a n+1＝2a n，∴，∴，又，∴＝．∴数列{﹣1}为等比数列；（2）解：由（1）可得：＝，化为＝，∴．设T n＝+…+，＝++…++，∴+…+﹣＝﹣＝，∴T n＝，∴数列{}的前n项和S n＝T n+＝﹣．18．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【分析】（1）计算x∈[100，130）和x∈[130，150]时T的值，用分段函数表示T的解析式；（2）计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．解：（1）当x∈[100，130）时，T＝0.8x﹣39；…（1分）当x∈[130，150]时，T＝0.5×130＝65，…所以，T＝…（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当x∈[100，130）时，由T＝0.8x﹣39≥57，得120≤x＜130，…当x∈[130，150]时，由T＝65≥57，…所以，利润T不少于57万元当且仅当120≤x≤150，于是由频率分布直方图可知市场需求量x∈[120，150]的频率为（0.030+0.025+0.015）×10＝0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为0.7；…（3）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为＝105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15＝126.5（吨）；…由频率分布直方图易知，由于x∈[100，120）时，对应的频率为（0.01+0.02）×10＝0.3＜0.5，而x∈[100，130）时，对应的频率为（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6＞0.5，…因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间[120，130），于是估计中位数应为120+（0.5﹣0.1﹣0.2）÷0.03≈126.7（吨）．…19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．【分析】（1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM∥平面SCD；（2）先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离解：（1）取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN∥BC，且MN＝BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM∥DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM∥平面SCD．（2）∵AB＝AS＝1，M为SB中点，∴AM⊥SB，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC，由（1）可知AM∥DN，∴DN⊥平面SBC，∵DN⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形SBC中，SB•BC＝SC•BE，∴BE＝＝＝，即点B到平面SCD的距离为．20．已知椭圆，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．（1）求∠F1MF2的最大值，并证明你的结论；（2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．【分析】（1）由题意可知|MF1|+|MF2|＝4，在△F1MF2中，利用余弦定理可得：cos∠F1MF2＝﹣1，再利用基本不等式得到cos∠F1MF2≥﹣，当且仅当|MF1|＝|MF2|时等号成立，再结合0＜∠F1MF2＜π以及余弦函数的图象，即可得到∠F1MF2的最大值；（2）设直线BM的斜率为k'，M（x0，y0），则，再根据k的范围即可得到k'的范围．解：（1）由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF2|＝4，在△F1MF2中，由余弦定理可得：＝＝＝﹣1﹣1＝﹣，∵0＜∠F1MF2＜π，∴∠F1MF2的最大值为，此时|MF1|＝|MF2|，即点M为椭圆C的上、下顶点时∠F1MF2取最大值，其最大值为；（2）设直线BM的斜率为k'，M（x0，y0），则，，∴，又，∴，∴，∵，∴，故直线BM的斜率的取值范围为（，）．21．已知函数（e为自然对数的底数），其中a＞0．（1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．解：（1）由条件可知，函数在（﹣∞，0）上有意义，，'a＞0，令f′（x）＝0可得，＜0，＞0，x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，由，可得f（﹣a）＝0，当x＜﹣a时，f（x）＞0，当﹣a＜x＜0时，f（x）＜0，因为﹣a﹣x1＝﹣a+＝＞0，所以x1＜﹣a＜0，又函数在（x1，0）上单调递减且＜0，所以f（x）在（]上有最小值f（﹣）＝﹣e，（2）由（1）可知a＞0时，f（x）存在两个极值点为x1，x2（x1＜x2），故x1，x2是x2+ax﹣a＝0的根，所以x1+x2＝x1x2＝﹣a，且x1＜x2＜1，因为＝，同理f（x2）＝（1﹣x1），∴lnf（x2）＝ln（1﹣x1）+x2，lnf（x1）＝ln（1﹣x2）+x1，∴＝＝，又1＝，由（1）知，1﹣x1＞1﹣x2＞0，设m＝1﹣x1，n＝1﹣x2，令h（t）＝lnt﹣，t≥1，则＞0，所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞，令t＝则从而．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：（t为参数，），曲线C1：（β为参数），l1与C1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程及点A的极坐标；（2）已知直线l2：与圆C2：交于B，C两点，记△AOB的面积为S1，△COC2的面积为S2，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1：（β为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．将代入得到ρ2﹣8ρsinθ+12＝0．直线l1：（t为参数，），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．将θ＝α代入ρ2﹣8ρsinθ+12＝0得到ρ2﹣8ρsinα+12＝0，由于△＝（8sinα）2﹣4×12＝0，解得，故此时，所以点A的极坐标为（2）．（2）由于圆C2：，转换为直角坐标方程为．所以圆心坐标为（2）．设B（），C（），将代入，得到ρ2﹣6ρ+2＝0，所以ρ1+ρ2＝6，ρ1ρ2＝2．由于＝，＝．所以＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣2a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞2x+1；（2）若存在实数a∈（1，+∞），使得关于x的不等式f（x）+＜m有实数解，求实数m的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，讨论x＜2，x≥2，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得f（x）+的最小值，由题意可得m大于这个最小值，解不等式可得所求范围．解：（1）当a＝1时，即解不等式|x﹣2|＞2x+1，当x≥2时，原不等式等价为x﹣2＞2x+1，所以x＜﹣3，则原不等式的解集为∅；当x＜2时，原不等式等价为2﹣x＞2x+1，解得x＜，综上可得原不等式的解集为（﹣∞，）；（2）f（x）+＝|x﹣2a|+≥|2a+|，显然等号可取，由a＞1，故原问题等价为关于a的不等式2a+＜m在（1，+∞）有解，又因为2a+＝2（a﹣1）++2≥2+2＝6，当且仅当a＝2取得等号，即m＞6，即m的范围是（6，+∞）．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a =C ．247a -<<D ．724a -<<4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.646．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u ur u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g )A ．B CD7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( ) A ．12-B ．12C ．D 8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83CD ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.512．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A 22B 7C 3D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为 ． 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= ．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B CA ++的值为 ．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆22:14xC y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞【思路分析】求函数的定义域得集合B ，再根据补集与交集的定义运算即可． 【解析】：集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}{|10}{|1}B x y lg x x x x x ==-=->=>， {|1}R B x x ∴=„ð，(){|12}(1R A B x x ∴=-<=-I „ð，2]．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】由题意可得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，再由三角函数的符号得答案．【解析】：由(cos sin )cos sin n x i x nx i nx +=+，得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，∴复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点的坐标为(cos 5π-，sin )5π-，位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．247a -<< D ．724a -<<【思路分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．【解析】：Q 点(3,1)与(4,6)B -，在直线320x y a -+=的两侧，∴两点对应式子32x y a -+的符号相反，即(92)(1212)0a a -+--+<， 即(7)(24)0a a +-<， 解得724a -<<， 故选：D ．【归纳与总结】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)【思路分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．【解析】：1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩Q …是(,)-∞+∞上的减函数， ∴满足01102132a a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪-+⎪⎩…，即011216a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，解得1162a <„，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.64【思路分析】由频率分布表计算样本数据落在(10，40]上的频率值． 【解析】：由频率分布表知，样本数据落在(10，40]上的频率为： 1324150.52100++=．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g)A ．23B ．3C ．3D ．3【思路分析】将AC AD u u u r u u u r g 转化成()AB BC AD +u u u r u u u r u u u r ，化简后得BC AD u u u r u u u rg ，然后转化成33()BD AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，再进行化简可得结论．【解析】：Q 在ABC ∆中，AD AB ⊥， ∴0AB AD =u u u r u u u rg ()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g AB AD BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r g g BC AD =u u u r u u u r g3BD AD =u u u r u u u r g3()AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r g33AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r g g 3=故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．3D 3 【思路分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果． 【解析】：原式sin163sin223cos163cos223=︒︒+︒︒g cos(163223)=︒-︒ cos(60)=-︒ 12=． 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83C 163D ．3【思路分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程2320120x x -+=，利用韦达定理，可求弦BC 的中点坐标，求出弦BC 的中垂线的方程，可得P 的坐标，即可得出结论． 【解析】：由题意，直线l 方程为：3(2)y x =-， 代入抛物线28y x =整理得：2312128x x x -+=，2320120x x ∴-+=，设1(B x ，1)y 、2(C x ，2)y ，12203x x ∴+=， ∴弦BC 的中点坐标为10(3，43)，∴弦BC 的中垂线的方程为43310()3y x -=--，令0y =，可得223x =，22(3P ∴，0)，(2,0)A Q ，16||3AP ∴=．故选：A ．【归纳与总结】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论： ①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④【思路分析】在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，可得AC BD ⊥．进而判断出结论．【解析】：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形， 由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，AC BD ∴⊥．PQ BP AC AB =，AP PNAB BD =，1BP AP +=，PN PQ =，可得：111AC BD PQ +=，AC 与BD 不一定相等．//BD QM Q ，PM 与QM 所成的角为45︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒．其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点【思路分析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，2ππω=，解得2ω=．()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，2()sin(2)3g x x πϕ=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，可得ϕ，()f x ．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．【解析】：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，∴2ππω=，解得2ω=． ()sin(2)f x x ϕ∴=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， 2()sin(2)3g x x πϕ∴=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，23k πϕπ∴-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-．()sin(2)3f x x π∴=-，验证：2()03f π=，11()112f π=-，因此AB 不正确．若[,]212x ππ∈--，则4(2)[33x ππ-∈-，]2π-，因此函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减，正确．若3[,]42x ππ∈，则(2)[36x ππ-∈，8]3π，因此函数()f x 在区间3[,]42x ππ∈上只有两个零点，不正确．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.5【思路分析】根据函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，得到(2)(2)g x g x -+=-+．结合()g x 是R 上的偶函数，得到(2)(2)g x g x +=--，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．【解析】：由题意可得：因为函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+， 所以()()f x f x -=-，即(2)(2)g x g x -+=-+． 又因为函数()y g x =是R 上的偶函数， 所以(2)(2)g x g x +=--， 所以()(4)g x g x =--，所以(4)(8)g x g x -=--，所以()(8)g x g x =-，所以函数()g x 是周期函数，并且周期为8． 所以(10.5)(2.5)(1.5)(1.5)0.5g g g g ==--=-=． 故选：D ．【归纳与总结】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )AB C D 【思路分析】由题意，12||2||PF PF =，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a =，由2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即可求出双曲线C 的离心率． 【解析】：由题意，12||2||PF PF =， 由双曲线的定义可得，12||||2PF PF a -=， 可得1||4PF a =，2||2PF a = 由四边形12PF MF 为平行四边形， 又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得 2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即有2224208c a a =+，即227c a =， 可得c =，即ce a==．故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为14． 【思路分析】先对()f x 求导，然后设切点为0(x ，0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于0x 和a 的方程，再求出a 的值．【解析】：由3()44(1)1f x x a x =+-+，得2()124(1)f x x a '=+-，x Q 轴为曲线()f x 的切线，()f x ∴的切线方程为0y =，设切点为0(x ，0)，则200()124(1)0f x x a '=+-=①， 又3000()44(1)10f x x a x =+-+=②， 由①②，得012x =，14a =，a ∴的值为14．故答案为：14．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= 32 ． 【思路分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论． 【解析】：因为n S 为数列{}n a 的前n 项和， 若22n n S a =-，① 则111222a a a =-⇒=； 则1122n n S a --=-，②①-②得：11222n n n n n a a a a a --=-⇒=⇒数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 故2n n a =；554232S S ∴-==． 故答案为：32．【归纳与总结】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B C A ++的值为 19- ．【思路分析】在ABC ∆中，若1cos 3A =，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为21cos 2cos 12AA ++-，运算求得结果． 【解析】：在ABC ∆中，若1cos 3A =，则22221cos 221sin cos2cos2cos cos22cos 112222399B C A A A A sin A A A π+-++=+=+=+-=+-=-，故答案为19-．【归纳与总结】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为383r π 【思路分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，利用三角形相似可得R ，h ，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值． 【解析】：作出截面图如图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，OC OD r ==， 90SCB SDO ∠=∠=︒，又OSD BSC ∠=∠， SOD SBC ∴∆∆∽，∴BC SCOD SD =，即22()R r h r r =--， 222()2R h r rh hr∴==---．∴圆锥体积222133(2)r h V R h h r ππ==-，22(4)3(2)r h h r V h r π-'=-g ． 令()0h r '=，得4h r =． ∴38(4)3min V v r r π==．故答案为：383r π．【归纳与总结】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）由112n n n n a a a a +++=，变形为1121n n a a ++=，可得11111(1)2n na a +-=-，即可证明；（2）由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，2n n n n n a =+．设231232222n n nT =+++⋯+，利用“错位相减法”可得n T ，即可得出数列{}n n a 的前n 项和(1)2n n n n S T +=+．【解答】（1）证明：112n n n n a a a a +++=Q ，∴1121n n a a ++=， ∴11111(1)2n na a +-=-， 又123a =，∴11112a -=．∴数列1{1}na -为等比数列；（2）解：由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，化为111()2n n a =+， ∴2n n n nn a =+． 设231232222n n nT =+++⋯+， 234111*********n n n n nT +-=+++⋯++， ∴2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++⋯+-=-=--， 222n n nT +∴=-，∴数列{}n na 的前n 项和2(1)22222n n n n n n n n S T +++=+=+-．【归纳与总结】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【思路分析】（1）计算[100x ∈，130)和[130x ∈，150]时T 的值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可； （3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数， 根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．【解析】：（1）当[100x ∈，130)时，0.839T x =-；⋯（1分） 当[130x ∈，150]时，0.513065T =⨯=，⋯（2分） 所以，0.839,10013065,130150x x T x -<⎧=⎨⎩„剟 ⋯（3分）（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当[100x ∈，130)时，由0.83957T x =-…，得120130x <„，⋯（4分） 当[130x ∈，150]时，由6557T =…，⋯所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x 剟，于是由频率分布直方图可知市场需求量[120x ∈，150]的频率为 (0.0300.0250.015)100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； ⋯（7分） （3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.31350.251450.15126.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨)；⋯（9分）由频率分布直方图易知，由于[100x ∈，120)时， 对应的频率为(0.010.02)100.30.5+⨯=<，而[100x ∈，130)时，对应的频率为(0.010.020.03)100.60.5++⨯=>，⋯（10分）因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)， 于是估计中位数应为120(0.50.10.2)0.03126.7+--÷≈（吨)．⋯（12分）【归纳与总结】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目． 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．【思路分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 是平行四边形，进而//AM 平面SCD ；（2）先证明得到AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离 【解析】：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，M Q 为SB 的中点，//MN BC ∴，且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ，1AD =，2BC =，//AD BC ∴，且12AD BC =，AD ∴平行且等于MN ， ∴四边形AMND 是平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊂/Q 平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ．（2）1AB AS ==Q ，M 为SB 中点， AM SB ∴⊥，SA ⊥Q 平面ABCD ，SA BC ∴⊥， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ， BC AB ∴⊥， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ∴⊥，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ∴⊥平面SBC ， DN ⊂Q 平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，1122SB BC SC BE =g g ，22236SB BC BE SC ∴===g ，即点B 到平面SCD 的距离为23．【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．（12分）已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．【思路分析】（1）由题意可知12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，利用余弦定理可得：12122cos 1||||F MF MF MF ∠=-g ，再利用基本不等式得到121cos 2F MF ∠-…，当且仅当12||||MF MF =时等号成立，再结合120F MF π<∠< 以及余弦函数的图象，即可得到12F MF ∠的最大值；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则14k k '=-g ，再根据k 的范围即可得到k '的范围．【解析】：（1）由椭圆的定义可知：12||||4MF MF +=， 在△12F MF 中，由余弦定理可得：22212121212||||||cos 2||||MF MF F F F MF MF MF +-∠=2212121212(||||)||2||||2||||MF MF F F MF MF MF MF +--=g g12122||||||||MF MF MF MF -=g g2121222111||||||||2()2MF MF MF MF =--=-+g …，120F MF π<∠<Q ，12F MF ∴∠的最大值为23π，此时12||||MF MF =， 即点M 为椭圆C 的上、下顶点时12F MF ∠取最大值，其最大值为23π； （2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则002y k x =+，002y k x '=-，∴20204y k k x '=-g ，又220014x y +=，∴220044x y =-，∴14k k '=-g ，Q 11(,)23k ∈--，∴1324k '<<， 故直线BM 的斜率的取值范围为1(2，3)4．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．【解析】：（1）由条件可知，函数在(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，0a >，令()0f x '=可得，10x =<，20x =>， 1x x <时，()0f x '>，函数单调递增，当10x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，由()(1)x af x e x=+，可得()0f a -=，当x a <-时，()0f x >，当0a x -<<时，()0f x <，因为10a x a --=-+=>，所以10x a <-<，又函数在1(x ，0)上单调递减且1102x a a <-<-<，所以()f x 在1(,]2a -∞-上有最小值121()2a f a e --=-，（2）由（1）可知0a >时，()f x 存在两个极值点为1x ，212()x x x <，故1x ，2x 是20x ax a +-=的根， 所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，因为11121()(1)(1)x x af x e x e x =+=-，同理221()(1)x f x x e =-，212()(1)lnf x ln x x ∴=-+，121()(1)lnf x ln x x =-+， ∴2112212121()()(1)(1)lnf x lnf x ln x x ln x x x x x x --++--=-- 1212(1)(1)1(1)(1)ln x ln x x x ---=+---，又121222211122()(1)(1)a x x x x +=+=++-+-+-， 由（1）知，12110x x ->->， 设11m x =-，21n x =-，令2(1)()1t h t lnt t -=-+，1t …，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）0=，即2(1)1t lnt t ->+，令m t n =则2lnm lnn m n m n ->-+ 从而2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【归纳与总结】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． 【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．【解析】：（1）曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得到28sin 120ρρθ-+=． 直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，转换为极坐标方程为()R θαρ=∈． 将θα=代入28sin 120ρρθ-+=得到28sin 120ρρα-+=， 由于△2(8sin )4120α=-⨯=，解得3πα=，故此时ρ=所以点A的极坐标为)3π．（2）由于圆22:cos 20C ρθ-+=，转换为直角坐标方程为22(5x y -+=．所以圆心坐标为．设1(,)3B πρ，2(,)3C πρ，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得到2620ρρ-+=， 所以126ρρ+=，122ρρ=．由于1111sin()236A S ππρρ=-g g g，22221||sin()236S OC ππρ=-=g g g ．所以2212121212212112()2622162S S S S ρρρρρρρρρρ+--⨯+=+===． 【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）由绝对值的定义，讨论2x <，2x …，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得2()||1f x x a ++-的最小值，由题意可得m 大于这个最小值，解不等式可得所求范围．【解析】：（1）当1a =时，即解不等式|2|21x x ->+，当2x …时，原不等式等价为221x x ->+，所以3x <-，则原不等式的解集为∅；当2x <时，原不等式等价为221x x ->+，解得13x <， 综上可得原不等式的解集为1(,)3-∞；（2）222()|||2||||2|111f x x x a x a a a a ++=-+++---…，显然等号可取，由1a >，故原问题等价为关于a 的不等式22a m +<在(1,)+∞有解，又因为2222(1)22611a a a a +=-++=--…，当且仅当2a =取得等号，即6m >， 即m 的范围是(6,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。