2020届广东省深圳市高三二模数学(文)试题(含解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x ≥1}，则A ∩B =( )A. {x|0<x ≤1}B. {x|0<x <1}C. {x|1≤x <2}D. {x|0<x <2}2. 已知复数z 满足z(1+i)=(3+i)2，则|z|=( )A. √2B. √5C. 5√2D. 8 3. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. −3 C. −5 D. −65. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是( )A. l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB. l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC. m ⊂α，n ⊂β，m//n ，且l ⊥mD. l ⊂α，l//m ，且m ⊥β6. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15°，∠PF 2F 1=105°，则该双曲线的离心率为( )A. √6B. √3C. √2+√62 D. √627. 执行如图的程序框图，若输入的k =9，则输出的S =( )A. 10B. 15C. 21D. 288. 函数f(x)=x 2−2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 89. 以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为( ) A. 18 B. 56 C. 16 D. 78 10. 函数y =sin x ⋅1+2x 1−2x的部分图像大致为( ) A. B.C. D.11. 下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 2412. 如图，在三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AD =AB =1，∠BCD =45°，且BD =DC =√2.给出下面四个命题：①AD ⊥BC ；②三棱锥A −BCD 的体积为√22； ③CD ⊥平面ABD ；④平面ABC ⊥平面ACD ．其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2−a24，bsinC=csin A+C2，则角C=________．15.已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；……以此类推，则2018出现在第____________个等式中．16.过椭圆x24+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x−3s，x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 和y 轴上运动，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)已知点G(3,−2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =−2上截得的弦长的最小值．21.已知f(x)=(x−1)e x−a(x2+1)，x∈[1,+∞)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥−2a+lnx，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知正实数x，y满足x+y=1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x−y|≤52．(2)证明：(1x2−1)(1y2−1)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题.利用交集的定义求解即可．解：∵集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}，故选C．2.答案：C解析：本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由z(1+i)=(3+i)2，得z=(3+i)21+i =8+6i1+i，∴|z|=|8+6i1+i |=|8+6i||1+i|=√2=5√2．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．。

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（ ） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}【答案】A 【解析】 【分析】直接进行交集的运算即可.详解】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题. 2. 设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（ ）A.12B.22C. 12【答案】B【解析】 【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可. 【详解】解：∵z 211(1)2i ii i++==--,∴|z |＝|12i i+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题. 3. 已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】容易得出22ln 2201log 0212e e<><<，，，从而可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】∵ln 20ln 12e <=<=，222log log 10e<=，20221e=＞，∴b ＜a ＜c . 故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4. 设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值， 由13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （2，1）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键.5. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交、异面，故①错误； 若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ，故②正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交、异面，故③错误；若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n 与β可以平行、相交或n β⊂，故④错误 所以正确的命题个数是1 故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6. 已知双曲线()2222:10, 0a y x C a bb =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（ ） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D.221169x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】由12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F =可得18PF =，26PF =，然后根据双曲线的定义求出a ，然后再根据222b c a =-求出b 即可．【详解】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF =根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a = 所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单．7. 执行如图的程序框图，如果输入的k＝0.4，则输出的n＝（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8. 函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切， 函数g （x ）的图象的最小正周期为T 22ππ==，函数的图象关于y 轴对称，如图所示：所以1412x x +=，2312x x +=， 则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4， 故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9. 已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（）A. 12B.13C.16D.112【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是2,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是2,∴这个正四棱锥的体积是111 3212=；∴构成的八面体的体积是211 126⨯=；∴八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V2＝1：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10. 函数f（x）()142xxsinx-=的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f （﹣x ）()()()()144114222------==-==xxxxxxsin x sinx sinx f （x ）， 所以f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项A ，C ，又f （2）()2214215sin 224-==-sin ，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f （2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB •CD =（ ）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C 【解析】 【分析】建立以,a b 为一组基底的基向量,其中1a b ==且,a b 的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量AB 和CD 均可以用a b ，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解. 【详解】解：如图所示,建立以,a b 为一组基底的基向量,其中1a b ==且,a b 的夹角为60°,∴24AB a b =+,42CD a b =+,∴()()22124428820882011262AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12. 在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A.423B.1639C.327323【答案】D 【解析】 【分析】取PB 中点M ，连结CM ，得到AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，求出V A ﹣PBC =，设t =，（0＜t ＜2），从而V A ﹣PBC 3823t t -=，（0＜t ＜2），利用导数求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值. 【详解】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM =，解得122PBCSx =⨯=，所以V A ﹣PBC (123x =⨯⨯=，设t =，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2， ∴V A ﹣PBC ()23248233t t t t--==，（0＜t ＜2），关于t 求导，得()2863t V t -'=，所以函数在单调递增，在)+∞单调递减.所以当t =时，（V A ﹣PBC ）max =.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____. 【答案】12【解析】 【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个. 甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个, ∴甲被选中概率为p 3162==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin2A Cb Cc +=，则角C ＝_____.【答案】512π 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=， 所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =， 因A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2BB C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==， 因为cos02B≠， 所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=， 即3B π=，53412C ππππ∴=--=. 故答案为：512π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15. 《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____. 【答案】27n ⨯ 【解析】 【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a .【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯,3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16. 已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.【答案】5【解析】 【分析】画出图形，由条件可得出b a =，b =，然后可得出M 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得226a c +=，从而可算出,,a b c 的值，然后利用()1325FANS FM b b ⎡⎤=⋅⋅--⎢⎥⎣⎦算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得3b a =又222a b c =+，∴222()3b c =+，解得3b c =， 令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3===c a b ∴()13883255FANSFM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦. 83【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++，求n T .【答案】(1)922nn a -=；(2)22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，【解析】 【分析】(1)本题可设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 与首项1a 的方程组，解出q 和1a ，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的n a 求出n b ，再求n b ，最后通过等差数列前n 项和公式即可求得n T . 【详解】(1)设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为232a =，3458a a a =， 所以213333454132()8a a q a a a a a q ==⎧⎨===⎩，解得712a ，14q =， 所以()922nn n a N -*=∈，(2)由(1)知，2922log log 292n nnb a n ，故9214294n n n b n n -≤≤⎧=⎨-⎩，，＞，当14n ≤≤时，279282n nT nn n ；当4n >时，2129753148322nn T n n n ，故22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前n 项和公式为12n na n S a +=⨯，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.18. 为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n⎤=⋅-+-++-⎦2340≈48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查 【解析】 【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断； （3）分别求出x ，s ，然后代入公式即可求解，作出判断即可. 【详解】（1）甲药的治愈率更高; （2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10，s 36251640014414423.410+++++++++==≈4.8，则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19. 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ； （2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离. 【答案】（1）见解析；（22【解析】 【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN . （2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h1=N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由111213B CMN N B CM B CMV V Sh --==⨯⨯，能求出点N 到平面B 1MC 的距离.【详解】（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ， ∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点， ∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， ∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA1=，∴11112A B AB AN AA ==111212AAA N AM AB ==， ∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ， ∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ， ∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ， ∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ， ∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA1=，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.∴MN =B 1M ==3，B 1C ==B 1N ==∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =CN =由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h1=∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴133322CMNS=⨯⨯=， ∴11163B CMN CMN V S h -=⨯⨯=， ∵B 1M ＝3，1233BC CN ==，，∴1133332B CMS =⨯⨯=， 设N 到平面B 1CM 的距离为h 2， ∵111213B CMN N B CM B CMV V S h --==⨯⨯，∴213363h ⨯⨯=， 解得h 22=.∴点N 到平面B 1MC 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C. （1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值. 【答案】（1）24y x =；（2）442+. 【解析】【分析】（1）根据点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，再由 ()1,0F ，0AB BF ⋅= ，得到a ，b 的关系式，然后由A 关于点B 的对称点为M ，得到0,22x a yb +==，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线()3x t t =>相交，设((,,P t Q t -，根据,P Q 关于x 轴对称，得到过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，由EG EP =，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令2y =-，得到圆E 在直线2y =-上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动， 所以设()()(),0,0,,,A a B b M x y ， 因为 ()1,0F ，0AB BF ⋅= ， 所以()()2,1,0a b b a b -⋅-=--=*，因为A 关于点B 的对称点为M ，所以0,22x a yb +==， 即 ,2ya xb =-=，代入*式得24y x =， 所以曲线C 的方程是24y x =.（2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，直线()3x t t =>与抛物线方程联立解得，y =±设((,,P t Q t -，因为,P Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上， 设圆心为(),0E m ，所以EG EP ==，解得241326t t m t +-=-，所以圆E 的方程为()()22234x m y m -+=-+， 令2y =-，的1223,3x m x =-=， 所以圆E 在直线2y =-上截得的弦长为221241325233633t t t t x x m t t +--+-=--=-=--，因为()2230,25140t t t t ->-+=-+>，所以2122583433t t x x t t t -+-==-++--，44≥=+当且仅当833t t -=-，即3t =+时，取等号，所以当3t =+时，圆E 在直线2y =-上截得的弦长的最小值为4+.【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21. 已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）.（1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,4a = 【解析】 【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）()'2a xg x x-=,x ＞0, （i ）当a ≤0时,g ′（x ）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,（ii ）当a ＞0时,令()'0g x >得102x a <<，令()'0g x <，得12x a >，所以函数g （x ）在（0,12a ）上单调递增,在（12a +∞，）上单调递减, （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即32xxe alnx x e-≥-恒成立,即xe x﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,令u （x ）＝xe x﹣aelnx +2ex ﹣3e ,则u （1）＝0, 要使得原不等式成立,则u （x ）在x ＝1处取得极小值, 因为()()'12x x xe ex ae u x x++-=, 所以u ′（1）＝0可得a ＝4, 检验a ＝4时,u ′（x ）()124x x x e ex ex++-=,设v （x ）＝x （x +1）e x +2ex ﹣4e ,且v （1）＝0, 显然v （x ）在（0,+∞）上单调递增,当x ∈（0,1）时,v （x ）＜0,即u ′（x ）＜0,u （x ）单调递减,当x ∈（1,+∞）时,v （x ）＞0,即u ′（x ）＞0,u （x ）单调递增, 故u （x ）的最小值u （1）＝0,满足题意, 综上，a ＝4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4－4：坐标系与参数方程22. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.【答案】（1）()2,M cos sin ϕϕ，2214x y +=；（2）230x y = 【解析】 【分析】（1）用三角函数表示出点M 的坐标，直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程；（2）设出直线l 1的参数方程，与椭圆方程联立利用直线参数的几何意义求出11EF FD+、GH ，根据题意有112GH EF FD+=，列出方程求出直线l 1的斜率即可求得直线l 2的方程.【详解】（1）设M （x ，y ）依题意得：x ＝2cos φ，y ＝sin φ， 所以M （2cos φ，sin φ），由于cos 2φ+sin 2φ＝1，整理得2214x y +=.（2）由于直线l 1倾斜角为α（02πα≤<），且l 1⊥l 2，所以直线l 2的倾斜角为2πα+，依题意易知：F （3，）， 可设直线l 1的方程为3cos sin x t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入2214x y +=得到：22(13sin )cos 10t αα+--=，易知()2212cos 413sin 0αα∆=++>，设点D 和点E 对应的参数为t 1和t 2，所以12t t +=122113sin t t α=-+.则122413sin t t α-==+， 由参数的几何意义：12121211114t t EF FD t t t t -+=+==， 设G 、H 对应的参数为t 3和t 4，同理对于直线l 2，将α换为2πα+，所以34224413cos 132sin GH t t παα=-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由于1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列，所以112GH EF FD +=，则24213cos α=+，解得21cos 3α=， 所以221tan 12cos αα=-=，又02πα≤<，所以tan α=，所以直线l 2的斜率为-l 2的直角坐标方程为x 0+=. 【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、直线参数方程中参数的几何意义、韦达定理的应用、等差数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于较难题.选修4－5：不等式选讲23. 已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1，得到b +c ﹣1＝﹣a ＜0，则|a 12-|+|b +c ﹣1|＝|a 12-|+|﹣a |，再利用绝对值三角不等式求解. （2）利用（a 3+b 3+c 3）≥3abc ，得到（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3abc （222111a b c++），进而变形为32⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦c b c a a b a b c b c a c b a ，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）∵a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1， ∴b +c ﹣1＝﹣a ＜0，∴|a 12-|+|b +c ﹣1|＝|a 12-|+|﹣a |≥|（a 12-）+（﹣a ）|12=.当且仅当（a 12-）（﹣a ）≥0，即012a ≤≤时，等号成立.∴|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3abc 222111()a b c++，33332222bc ac ab bc ac ab a b c a b c ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 32c b c a a b a b c b c a c b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，32222⎛≥ ⎝ ， ＝3（a +b +c ）＝3. 当且仅当a ＝b ＝c 13=时等号成立. ∴（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

2020年广东深圳高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第1题5分已知集合A ={x|−1<x <5}，B ={1,3,5}，则A ∩B =（ ）．A. {1,3}B. {1,3,5}C. {1,2,3,4}D. {0,1,2,3,4,5}2、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第2题5分2020年广东深圳高三二模理科第1题5分设z =1+i(1−i)2，则|z|=（ ）．A. 12B. √22C. 1D. √23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第3题5分已知a =ln 22，b =log 2⁡2e ，c =22e ，则（ ）．A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c4、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第4题5分设x ，y 满足约束条件{x −y ⩽1，x +y ⩽3，x ⩾0，则z =2x −y 的最大值为（）．A. −3B. 1C. 2D. 35、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第5题5分已知m，n是两条不同直线，a，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若m//α，n//α，则m//n；②若n⊥α，m⊥β，m//n，则α//β；③若α⊥β，m//α，n⊥β，则m//n；④若α//β，m⊂α，m⊥n，则n⊥β．其中，正确的命题个数是（）．A. 3B. 2C. 1D. 06、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第6题5分已知双曲线C: x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(−5,0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan⁡∠PF1F2=34，则C的方程为（）．A. x2−y224=1B. x 224−y2=1C. x 29−y216=1D. x 216−y29=17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第7题5分执行右边的程序框图，如果输入的k=0.4，则输出的n=（）．A. 5B. 4C. 3D. 28、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第8题5分函数f(x)=x2−2x+1的图象与函数g(x)=3cos⁡πx的图象所有交点的横坐标之和等于（）．A. 2 B. 4 C. 6 D. 89、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第9题5分已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为（）．A. 12B. 13C. 16D. 11210、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第10题5分2020~2021学年6月四川成都锦江区四川省成都市第十七中学高二下学期月考文科第7题函数f(x)=(1−4x)sin⁡x2x的部分图象大致为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第11题5分2020~2021学年11月内蒙古呼和浩特高三上学期月考理科第11题5分下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB→⋅CD→=（）．A. 32B. 28C. 26D. 2412、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第12题5分2020~2021学年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高二上学期期末第8题3分在三棱锥P−ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=PC=2，若AC=PB，则三棱锥P−ABC体积的最大值为（）．A. 4√23B. 16√39C. 16√327D. 32√327二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第13题5分2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为．14、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第14题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区高新第一中学国际部高一下学期开学考试第13题5分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b 2+c2−a24，bsin⁡C=csin⁡A+C2，则角C=．15、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第15题5分《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半，1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只：2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只，以此类推，假设n个月后共有老鼠a n只，则a n=．16、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第16题5分已知A，F分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为35b，若△FMN的周长为6，则△FMN的面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第17题12分已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第18题12分为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如下等高条形图．(1) 根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2) 为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3) 标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度．如果出现了治疗时间在(x−3s,x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]．参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第19题12分如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AA1=√2AB，M，N分别为AB，AA1的中点．(1) 求证：平面B1NC⊥平面CMN．(2) 若AB=2，求点N到平面B1MC的距离．20、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第20题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州大学附属中学高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州南沙区广州外国语学校高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州市铁一中学高三上学期月考第22题12分在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足AB→⋅BF→=0，点A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C．(1) 求曲线C的方程．(2) 已知点G(3,−2)，动直线x=t(t>3)与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线y=−2上截得的弦长的最小值．21、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=xe xe−3，g(x)=aln⁡x−2x(a∈R)．(1) 讨论g(x)的单调性．(2) 是否存在实数a，使不等式f(x)⩾g(x)恒成立？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第22题10分2020年广东深圳高三二模理科第22题10分椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1) 将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0⩽φ<2π），用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2) 已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0⩽α<π2）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点，当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第23题10分已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1．证明：(1) |a−12|+|b+c−1|⩾12．(2) (a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)⩾3．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】12;14 、【答案】512π;15 、【答案】2⋅7n;16 、【答案】8√35;17 、【答案】 (1) a n=29−2n，n∈N∗．;(2) T n={8n−n2,1⩽n⩽4n2−8n+32,n>4．;18 、【答案】 (1) 甲药．;(2) 甲药．;(3) 是．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √2．;20 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) 4√2+4．;21 、【答案】 (1) 当a⩽0时，g(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数g(x)在(0,a2)上为增函数，在(a2,+∞)上为减函数．;(2) 存在；a=4．;22 、【答案】 (1) M(2cos⁡φ,sin⁡φ)，x24+y2=1．;(2) x+√2y+√3=0．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。

2020年广东深圳文科高三二模数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

一、标题A.B.C.D.1.设集合，，则（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）．A.或B.或C.D.3.已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）．4.已知是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.，，5.一个容量为的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别频数则样本数据落在上的频率为（ ）．A.B.C.D.6.在中，是边上一点，，，，则 （ ）．A.B.C.D.7.（ ）．A.B.C.D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为 的直线，若与抛物线交于、两点，弦的中垂线交轴于点，则线段的长为（ ）．A.B.C.D.9.如图，在四面体中，截面是正方形，现有下列结论：①，②截面，③，④异面直线与所成的角为，其中所有正确结论的编号是（ ）．A.①③B.①②④C.③④D.②③④10.已知函数（）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）．A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递减D.函数在上有个零点，11.已知函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线、分别交双曲线的左右支于另一点、，若，且，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.13.已知轴为曲线的切线，则的值为 ．14.已知为数列的前项和，若，则 ．15.在中，若，则的值为 ．16.已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为 ．（1）（2）17.已知数列的首项，．证明：数列是等比数列．数列的前项和．（1）（2）（3）18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．需求量频率组距将表示为的函数，求出该函数表达式．根据直方图估计利润不少于万元的概率．根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小（精确到）．19.如图所示，四棱锥中，平面．，，，为的中点．（1）（2）求证：平面．求点到平面的距离．（1）（2）20.已知椭圆：，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，求的最大值，并证明你的结论．若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围．（1）（2）21.已知函数（为自然对数的底数），其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为：，，证明：．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线（为参数，），曲线（为参数），与相切于点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点的极坐标．已知直线与圆交于，两点，记的面积为，的面积为，求的值．（1）（2）23.已知．当时，解不等式．若存在实数，使得关于的不等式有实数解，求实数的取值范围．2020年广东深圳文科高三二模数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x ≤1}，B ={x|x 2<1}，则(∁R A)∩B =( )A. (0,1)B. [0,1]C. (−1,1]D. (−1,0]2. 若复数(x 2−1)+(x −1)i 对应的点在虚轴上，则实数x 的值为( )A. −1或1B. 0C. 1D. −13. 已知点(−3,−1)和点(4,−6)在直线3x −2y −a =0的两侧，则a 的取值范围为( )A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)4. 已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1log a x +13,x >1，当x 1≠x 2时，f(x1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是()A. (0,13]B. [13,12] C. (0,12] D. [14,13]5. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在[20,50)的频率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.756. 如图，在ΔABC 中，，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. √3B. √32C. √33 D. 2√37. cos50°cos20°+sin130°sin20°的值为( )A. 12B. 13C. √32D. √338.已知抛物线y2=4x，直线x+2y−1=0与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 24B. 20C. 16D. 129.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱CC1上，且CE=2EC1，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √72B. √52C. √132D. √13310.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π11.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1912.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.棣莫弗公式为虚数单位是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知点和在直线的两侧，则a的取值范围是A. 或B. 或C. D.4.已知是上的减函数，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.5.组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为A. B. C. D.6.如图，在中，，，，则的值为A. B. C. D.7.等于A. B. C. D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为A. B. C. D.9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：截面PQMN异面直线PM与BD所成的角为其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.10.已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调递减D. 函数在上有3个零点11.已知函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，当时，，则的值为A. B. C. D.12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x轴为曲线的切线，则a的值为______．14.已知为数列的前n项和，若，则______．15.在中，若，则的值为______．16.已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的首项，，，2，求证数列为等比数列；求数列的前n项和．18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每1吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以单位：吨，表示下一个销售季度的市场需求量，单位：万元表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．将T表示为x的函数，求出该函数表达式；根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小保留到小数点后一位．19.如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，，M为SB的中点．求证：平面SCD；求点B到平面SCD的距离．20.已知椭圆，、分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．求的最大值，并证明你的结论；若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．21.已知函数为自然对数的底数，其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为，，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，直线：为参数，，曲线：为参数，与相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点A的极坐标；已知直线：与圆：交于B，C两点，记的面积为，的面积为，求的值．23.已知．当时，解不等式；若存在实数，使得关于x的不等式有实数解，求实数m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，．故选：C．求函数的定义域得集合B，再根据补集与交集的定义运算即可．本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．由题意可得，再由三角函数的符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3.答案：C解析：解：点与，在直线的两侧，两点对应式子的符号相反，即，即，解得，故选：C．根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：是上的减函数，满足，即，解得，故选：C．根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：由频率分布表知，样本数据落在上的频率为：．故选：B．由频率分布表计算样本数据落在上的频率值．本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6.答案：D解析：解：在中，，故选：D．将转化成，化简后得，然后转化成，再进行化简可得结论．本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7.答案：B解析：解：原式．通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8.答案：A解析：解：由题意，直线l方程为：，代入抛物线整理得：，，设、，，弦BC的中点坐标为，弦BC的中垂线的方程为，令，可得，，，．故选：A．先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9.答案：B解析：解：在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面PQMN．由，，，．，，，，可得：，AC与BD不一定相等．，PM与QM所成的角为，异面直线PM与BD所成的角为．其中所有正确结论的编号是．故选：B．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面由，，，可得进而判断出结论．本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：解：函数的最小正周期是，，解得．，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，，，取，可得．，验证：，，因此AB不正确．若，则，因此函数在区间上单调递减，正确．若，则，因此函数在区间上只有两个零点，不正确．故选：C．函数的最小正周期是，，解得，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，可得，利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：解：由题意可得：因为函数是R上的奇函数，并且，所以，即．又因为函数是R上的偶函数，所以，所以，所以，所以，所以函数是周期函数，并且周期为8．所以．故选：D．根据函数是R上的奇函数，并且，得到结合是R上的偶函数，得到，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．解析：【分析】由题意，，，可得，，由，可得，由余弦定理可得，即可求出双曲线C的离心率．本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】解：由题意，，由双曲线的定义可得，，可得，由四边形为平行四边形，又，可得，在三角形中，由余弦定理可得，即有，即，可得，即．故选：B．13.答案：解析：解：由，得，轴为曲线的切线，的切线方程为，设切点为，则，又，由，得，，的值为．故答案为：．先对求导，然后设切点为，由切线斜率和切点在曲线上得到关于和a的方程，再求出a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14.答案：32解析：解：因为为数列的前n项和，若，则；则，得：数列是首项为2，公比为2的等比数列；故；．故答案为：32．根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15.答案：解析：解：在中，若，则，故答案为．在中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为，运算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16.答案：解析：解：作出截面图如图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，，，又，∽，，即，．圆锥体积，．令，得．．故答案为：．由题意画出截面图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，利用三角形相似可得R，h，r的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．17.答案：证明：，，，又，．数列为等比数列；解：由可得：，化为，．设，，，，数列的前n项和．解析：由，变形为，可得，即可证明；由可得：，设，利用“错位相减法”可得，即可得出数列的前n项和．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.答案：解：当时，；分当时，，分所以，分根据频率分布直方图及Ⅰ知，当时，由，得，分当时，由，分所以，利润T不少于57万元当且仅当，于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为；分估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为吨；分由频率分布直方图易知，由于时，对应的频率为，而时，对应的频率为，分因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间，于是估计中位数应为吨分解析：计算和时T的值，用分段函数表示T的解析式；计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目．19.答案：解：取SC的中点N，连结MN和DN，为SB的中点，，且，，，，，且，平行且等于MN，四边形AMND是平行四边形，，平面SCD，平面SCD，平面SCD．，M为SB中点，，平面ABCD，，，，平面SAB，，平面SBC，由可知，平面SBC，平面SCD，平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形SBC中，，，即点B到平面SCD的距离为．解析：取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而平面SCD；先证明得到平面SBC，进而得到平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20.答案：解：由椭圆的定义可知：，在中，由余弦定理可得：，，的最大值为，此时，即点M为椭圆C的上、下顶点时取最大值，其最大值为；设直线BM的斜率为，，则，，，又，，，，，故直线BM的斜率的取值范围为解析：由题意可知，在中，利用余弦定理可得：，再利用基本不等式得到，当且仅当时等号成立，再结合以及余弦函数的图象，即可得到的最大值；设直线BM的斜率为，，则，再根据k的范围即可得到的范围．本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21.答案：解：由条件可知，函数在上有意义，，，令可得，，，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，由，可得，当时，，当时，，因为，所以，又函数在上单调递减且，所以在上有最小值，由可知时，存在两个极值点为，，故，是的根，所以，且，因为，同理，，，，又，由知，，设，，令，，则，所以在上单调递增，，即，令则从而．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．22.答案：解：曲线：为参数，转换为直角坐标方程为．将代入得到．直线：为参数，，转换为极坐标方程为．将代入得到，由于，解得，故此时，所以点A的极坐标为由于圆：，转换为直角坐标方程为．所以圆心坐标为设，，将代入，得到，所以，．由于，．所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，即解不等式，当时，原不等式等价为，所以，则原不等式的解集为；当时，原不等式等价为，解得，综上可得原不等式的解集为；，显然等号可取，由，故原问题等价为关于a的不等式在有解，又因为，当且仅当取得等号，即，即m的范围是．解析：由绝对值的定义，讨论，，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；运用绝对值不等式的性质可得的最小值，由题意可得m大于这个最小值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班第二次教学质量检测(二模)数学(文)试题注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N|－3<x<3},B＝{－4,－2,0,2,4},则A∩B＝A.{－2,0,2}B.{0,2}C.{0}D.{2}2.若在复平面内,复数z＝2＋mi(m∈R)对应的点位于第四象限,且|z|＝4,则m＝A.－ C.23.已知函数f(x)的图象关于原点对称,当x>0时,f(x)＝2e x－3,则f(ln 13)＝A.－73B.73C.3D.－34.曲线y＝(x3－3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝05.2019年10月18日－27日,第七届世界军人运动会在湖北武汉举办,中国代表团共获得133金64银42铜,共239枚奖牌。

为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度,研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查,所得数据如下所示：现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人,抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12； ②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a =C ．247a -<<D ．724a -<<4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.646．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u ur u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g )A ．B CD7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( ) A ．12-B ．12C ．D 8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83CD ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.512．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A 22B 7C 3D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为 ． 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= ．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B CA ++的值为 ．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆22:14xC y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞【思路分析】求函数的定义域得集合B ，再根据补集与交集的定义运算即可． 【解析】：集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}{|10}{|1}B x y lg x x x x x ==-=->=>， {|1}R B x x ∴=„ð，(){|12}(1R A B x x ∴=-<=-I „ð，2]．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】由题意可得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，再由三角函数的符号得答案．【解析】：由(cos sin )cos sin n x i x nx i nx +=+，得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，∴复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点的坐标为(cos 5π-，sin )5π-，位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．247a -<< D ．724a -<<【思路分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．【解析】：Q 点(3,1)与(4,6)B -，在直线320x y a -+=的两侧，∴两点对应式子32x y a -+的符号相反，即(92)(1212)0a a -+--+<， 即(7)(24)0a a +-<， 解得724a -<<， 故选：D ．【归纳与总结】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)【思路分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．【解析】：1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩Q …是(,)-∞+∞上的减函数， ∴满足01102132a a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪-+⎪⎩…，即011216a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，解得1162a <„，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.64【思路分析】由频率分布表计算样本数据落在(10，40]上的频率值． 【解析】：由频率分布表知，样本数据落在(10，40]上的频率为： 1324150.52100++=．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g)A ．23B ．3C ．3D ．3【思路分析】将AC AD u u u r u u u r g 转化成()AB BC AD +u u u r u u u r u u u r ，化简后得BC AD u u u r u u u rg ，然后转化成33()BD AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，再进行化简可得结论．【解析】：Q 在ABC ∆中，AD AB ⊥， ∴0AB AD =u u u r u u u rg ()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g AB AD BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r g g BC AD =u u u r u u u r g3BD AD =u u u r u u u r g3()AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r g33AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r g g 3=故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．3D 3 【思路分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果． 【解析】：原式sin163sin223cos163cos223=︒︒+︒︒g cos(163223)=︒-︒ cos(60)=-︒ 12=． 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83C 163D ．3【思路分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程2320120x x -+=，利用韦达定理，可求弦BC 的中点坐标，求出弦BC 的中垂线的方程，可得P 的坐标，即可得出结论． 【解析】：由题意，直线l 方程为：3(2)y x =-， 代入抛物线28y x =整理得：2312128x x x -+=，2320120x x ∴-+=，设1(B x ，1)y 、2(C x ，2)y ，12203x x ∴+=， ∴弦BC 的中点坐标为10(3，43)，∴弦BC 的中垂线的方程为43310()3y x -=--，令0y =，可得223x =，22(3P ∴，0)，(2,0)A Q ，16||3AP ∴=．故选：A ．【归纳与总结】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论： ①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④【思路分析】在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，可得AC BD ⊥．进而判断出结论．【解析】：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形， 由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，AC BD ∴⊥．PQ BP AC AB =，AP PNAB BD =，1BP AP +=，PN PQ =，可得：111AC BD PQ +=，AC 与BD 不一定相等．//BD QM Q ，PM 与QM 所成的角为45︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒．其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点【思路分析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，2ππω=，解得2ω=．()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，2()sin(2)3g x x πϕ=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，可得ϕ，()f x ．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．【解析】：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，∴2ππω=，解得2ω=． ()sin(2)f x x ϕ∴=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， 2()sin(2)3g x x πϕ∴=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，23k πϕπ∴-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-．()sin(2)3f x x π∴=-，验证：2()03f π=，11()112f π=-，因此AB 不正确．若[,]212x ππ∈--，则4(2)[33x ππ-∈-，]2π-，因此函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减，正确．若3[,]42x ππ∈，则(2)[36x ππ-∈，8]3π，因此函数()f x 在区间3[,]42x ππ∈上只有两个零点，不正确．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.5【思路分析】根据函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，得到(2)(2)g x g x -+=-+．结合()g x 是R 上的偶函数，得到(2)(2)g x g x +=--，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．【解析】：由题意可得：因为函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+， 所以()()f x f x -=-，即(2)(2)g x g x -+=-+． 又因为函数()y g x =是R 上的偶函数， 所以(2)(2)g x g x +=--， 所以()(4)g x g x =--，所以(4)(8)g x g x -=--，所以()(8)g x g x =-，所以函数()g x 是周期函数，并且周期为8． 所以(10.5)(2.5)(1.5)(1.5)0.5g g g g ==--=-=． 故选：D ．【归纳与总结】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )AB C D 【思路分析】由题意，12||2||PF PF =，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a =，由2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即可求出双曲线C 的离心率． 【解析】：由题意，12||2||PF PF =， 由双曲线的定义可得，12||||2PF PF a -=， 可得1||4PF a =，2||2PF a = 由四边形12PF MF 为平行四边形， 又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得 2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即有2224208c a a =+，即227c a =， 可得c =，即ce a==．故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为14． 【思路分析】先对()f x 求导，然后设切点为0(x ，0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于0x 和a 的方程，再求出a 的值．【解析】：由3()44(1)1f x x a x =+-+，得2()124(1)f x x a '=+-，x Q 轴为曲线()f x 的切线，()f x ∴的切线方程为0y =，设切点为0(x ，0)，则200()124(1)0f x x a '=+-=①， 又3000()44(1)10f x x a x =+-+=②， 由①②，得012x =，14a =，a ∴的值为14．故答案为：14．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= 32 ． 【思路分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论． 【解析】：因为n S 为数列{}n a 的前n 项和， 若22n n S a =-，① 则111222a a a =-⇒=； 则1122n n S a --=-，②①-②得：11222n n n n n a a a a a --=-⇒=⇒数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 故2n n a =；554232S S ∴-==． 故答案为：32．【归纳与总结】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B C A ++的值为 19- ．【思路分析】在ABC ∆中，若1cos 3A =，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为21cos 2cos 12AA ++-，运算求得结果． 【解析】：在ABC ∆中，若1cos 3A =，则22221cos 221sin cos2cos2cos cos22cos 112222399B C A A A A sin A A A π+-++=+=+=+-=+-=-，故答案为19-．【归纳与总结】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为383r π 【思路分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，利用三角形相似可得R ，h ，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值． 【解析】：作出截面图如图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，OC OD r ==， 90SCB SDO ∠=∠=︒，又OSD BSC ∠=∠， SOD SBC ∴∆∆∽，∴BC SCOD SD =，即22()R r h r r =--， 222()2R h r rh hr∴==---．∴圆锥体积222133(2)r h V R h h r ππ==-，22(4)3(2)r h h r V h r π-'=-g ． 令()0h r '=，得4h r =． ∴38(4)3min V v r r π==．故答案为：383r π．【归纳与总结】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）由112n n n n a a a a +++=，变形为1121n n a a ++=，可得11111(1)2n na a +-=-，即可证明；（2）由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，2n n n n n a =+．设231232222n n nT =+++⋯+，利用“错位相减法”可得n T ，即可得出数列{}n n a 的前n 项和(1)2n n n n S T +=+．【解答】（1）证明：112n n n n a a a a +++=Q ，∴1121n n a a ++=， ∴11111(1)2n na a +-=-， 又123a =，∴11112a -=．∴数列1{1}na -为等比数列；（2）解：由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，化为111()2n n a =+， ∴2n n n nn a =+． 设231232222n n nT =+++⋯+， 234111*********n n n n nT +-=+++⋯++， ∴2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++⋯+-=-=--， 222n n nT +∴=-，∴数列{}n na 的前n 项和2(1)22222n n n n n n n n S T +++=+=+-．【归纳与总结】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【思路分析】（1）计算[100x ∈，130)和[130x ∈，150]时T 的值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可； （3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数， 根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．【解析】：（1）当[100x ∈，130)时，0.839T x =-；⋯（1分） 当[130x ∈，150]时，0.513065T =⨯=，⋯（2分） 所以，0.839,10013065,130150x x T x -<⎧=⎨⎩„剟 ⋯（3分）（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当[100x ∈，130)时，由0.83957T x =-…，得120130x <„，⋯（4分） 当[130x ∈，150]时，由6557T =…，⋯所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x 剟，于是由频率分布直方图可知市场需求量[120x ∈，150]的频率为 (0.0300.0250.015)100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； ⋯（7分） （3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.31350.251450.15126.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨)；⋯（9分）由频率分布直方图易知，由于[100x ∈，120)时， 对应的频率为(0.010.02)100.30.5+⨯=<，而[100x ∈，130)时，对应的频率为(0.010.020.03)100.60.5++⨯=>，⋯（10分）因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)， 于是估计中位数应为120(0.50.10.2)0.03126.7+--÷≈（吨)．⋯（12分）【归纳与总结】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目． 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．【思路分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 是平行四边形，进而//AM 平面SCD ；（2）先证明得到AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离 【解析】：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，M Q 为SB 的中点，//MN BC ∴，且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ，1AD =，2BC =，//AD BC ∴，且12AD BC =，AD ∴平行且等于MN ， ∴四边形AMND 是平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊂/Q 平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ．（2）1AB AS ==Q ，M 为SB 中点， AM SB ∴⊥，SA ⊥Q 平面ABCD ，SA BC ∴⊥， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ， BC AB ∴⊥， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ∴⊥，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ∴⊥平面SBC ， DN ⊂Q 平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，1122SB BC SC BE =g g ，22236SB BC BE SC ∴===g ，即点B 到平面SCD 的距离为23．【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．（12分）已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．【思路分析】（1）由题意可知12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，利用余弦定理可得：12122cos 1||||F MF MF MF ∠=-g ，再利用基本不等式得到121cos 2F MF ∠-…，当且仅当12||||MF MF =时等号成立，再结合120F MF π<∠< 以及余弦函数的图象，即可得到12F MF ∠的最大值；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则14k k '=-g ，再根据k 的范围即可得到k '的范围．【解析】：（1）由椭圆的定义可知：12||||4MF MF +=， 在△12F MF 中，由余弦定理可得：22212121212||||||cos 2||||MF MF F F F MF MF MF +-∠=2212121212(||||)||2||||2||||MF MF F F MF MF MF MF +--=g g12122||||||||MF MF MF MF -=g g2121222111||||||||2()2MF MF MF MF =--=-+g …，120F MF π<∠<Q ，12F MF ∴∠的最大值为23π，此时12||||MF MF =， 即点M 为椭圆C 的上、下顶点时12F MF ∠取最大值，其最大值为23π； （2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则002y k x =+，002y k x '=-，∴20204y k k x '=-g ，又220014x y +=，∴220044x y =-，∴14k k '=-g ，Q 11(,)23k ∈--，∴1324k '<<， 故直线BM 的斜率的取值范围为1(2，3)4．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．【解析】：（1）由条件可知，函数在(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，0a >，令()0f x '=可得，10x =<，20x =>， 1x x <时，()0f x '>，函数单调递增，当10x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，由()(1)x af x e x=+，可得()0f a -=，当x a <-时，()0f x >，当0a x -<<时，()0f x <，因为10a x a --=-+=>，所以10x a <-<，又函数在1(x ，0)上单调递减且1102x a a <-<-<，所以()f x 在1(,]2a -∞-上有最小值121()2a f a e --=-，（2）由（1）可知0a >时，()f x 存在两个极值点为1x ，212()x x x <，故1x ，2x 是20x ax a +-=的根， 所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，因为11121()(1)(1)x x af x e x e x =+=-，同理221()(1)x f x x e =-，212()(1)lnf x ln x x ∴=-+，121()(1)lnf x ln x x =-+， ∴2112212121()()(1)(1)lnf x lnf x ln x x ln x x x x x x --++--=-- 1212(1)(1)1(1)(1)ln x ln x x x ---=+---，又121222211122()(1)(1)a x x x x +=+=++-+-+-， 由（1）知，12110x x ->->， 设11m x =-，21n x =-，令2(1)()1t h t lnt t -=-+，1t …，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）0=，即2(1)1t lnt t ->+，令m t n =则2lnm lnn m n m n ->-+ 从而2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【归纳与总结】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． 【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．【解析】：（1）曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得到28sin 120ρρθ-+=． 直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，转换为极坐标方程为()R θαρ=∈． 将θα=代入28sin 120ρρθ-+=得到28sin 120ρρα-+=， 由于△2(8sin )4120α=-⨯=，解得3πα=，故此时ρ=所以点A的极坐标为)3π．（2）由于圆22:cos 20C ρθ-+=，转换为直角坐标方程为22(5x y -+=．所以圆心坐标为．设1(,)3B πρ，2(,)3C πρ，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得到2620ρρ-+=， 所以126ρρ+=，122ρρ=．由于1111sin()236A S ππρρ=-g g g，22221||sin()236S OC ππρ=-=g g g ．所以2212121212212112()2622162S S S S ρρρρρρρρρρ+--⨯+=+===． 【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）由绝对值的定义，讨论2x <，2x …，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得2()||1f x x a ++-的最小值，由题意可得m 大于这个最小值，解不等式可得所求范围．【解析】：（1）当1a =时，即解不等式|2|21x x ->+，当2x …时，原不等式等价为221x x ->+，所以3x <-，则原不等式的解集为∅；当2x <时，原不等式等价为221x x ->+，解得13x <， 综上可得原不等式的解集为1(,)3-∞；（2）222()|||2||||2|111f x x x a x a a a a ++=-+++---…，显然等号可取，由1a >，故原问题等价为关于a 的不等式22a m +<在(1,)+∞有解，又因为2222(1)22611a a a a +=-++=--…，当且仅当2a =取得等号，即6m >， 即m 的范围是(6,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|15}A x x =-<<，{1B =，3，5}，则(A B =I ) A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4，5}2．（5分）设21(1)iz i +=-，则||(z = ) A ．12BC ．1 D3．（5分）已知22ln a =，22log b e=，22e c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．（5分）设x ，y 满足约束条件130x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，则2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．1C ．2D ．35．（5分）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ； ②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ； ③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ； ④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥． 其中，正确的命题个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为( )A ．22124y x -=B ．22124x y -=C ．221916x y -= D ．221169x y -= 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的0.4k =，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）函数2()21f x x x =-+的图象与函数()3cos g x x π=的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为( ) A ．12B ．13C ．16D ．11210．（5分）函数(14)sin ()2x xxf x -=的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则(AB CD =u u u r u u u rg)A ．32B ．28C ．26D ．2412．（5分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A 42B 163C 163D 323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 ．14．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224b c a +-，sin sin 2A Cb Cc +=，则角C = ． 15．（5分）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a = ．16．（5分）已知A ，F 分别是椭圆2222:(0)x y C l a b a b+=>>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN∆的周长为6，则FAN ∆的面积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，123||||||||n n T b b b b =+++⋯+，求n T ．18．（12分）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(3x s -，3)x s +之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-g 234048≈．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，12AA =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点．（1）求证：平面1B NC ⊥平面CMN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离．。