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圆锥曲线的准圆(线)的一个漂亮性质

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圆锥曲线的一组美妙性质

圆锥曲线的一组美妙性质

乜
ｂ
△ （ ） （ 篓 一一 一 ＋ ～一 ）
（ 一） ＋２ ．
（直 ｚ椭 ｃ 离 △ ｏ薯 一 １ 线 与 圆 相 ㈢ ＜ ＋ １ ）
２
（ ）抛 物 线 Ｙ 一２ ｘ（ ≠ Ｏ ３ 。 ｐ ）在 点 Ｐ（ Ｙ ）处 ｘ
的切 线 方 程 为 Ｙ—ｐ ｘ＋ ） （ ． 利 用上 述 结 沦 ， 以证 得 圆锥 曲 线 的 下 列 美 妙 可
・ １ ３ ・
性 质 ２ 自直 线 ：
一
－ １ 的任 意一 点 上
设 切 点
（ ）直 线 ｌ ３ 与抛 物 线 Ｃ相 切 ㈢ △一４ ８ ｘｏ ｙ ～ ｐ
Ｏ ：一２ ｘ。 点 Ｐ（ ， ）点 在 抛 物线 上 ， Ｐ为 ㈢ ｐ ㈢ ｘ。 。 即
切点．
Ｑ分 别 作 双 曲线 ｃ： 一 Ｚ １的两 条 切 线 ｙ一
Ｐ（ ， 。 ｘ。 Ｙ ）位 于 区 域 Ｉ； （ ）当且 仅 当直 线 ｚ 与 双 曲 线 Ｃ 的 一 支 交 于 ２ 仅 两 点 时 ， Ｐ（ ， 。 点 ｘ。 Ｙ ）位 于 区 域 Ⅱ；
设切点分别为 Ｍ ，
Ｎ． 证 ： 线 ＭＮ 恒 过 一 定 点 ， 判 断 直 线 ｌ 求 直 并 与椭 圆
Ｐ（ 。 Ｙ ）位 于双 曲线 上 ， 时 其 即为 切 点 ； ｘ ，。 此 （ ）当且 仅 当直 线 ￡ 双 曲线 Ｃ 的 一 条 渐 近 线 ５ 与 平 行 时 ， Ｐ（ 。 Ｉ ）位 于渐 近线 上 ． 点 ｘ ，ｎ ｙ
，
例 １ 自直 线 ｌ ２ ：ｘ一 ３ ｙ一５上 的 任 意 一 点 Ｑ分 分 别 为 Ｍ ， ， 直 线 ＭＮ 恒 过 定 点 Ｐ（ ， 。 ， Ｎ 则 。 Ｙ ） 且 别 作 椭 圆 ｃ： 十 ２的两 条 切 线 ２ ｙ ｘ

圆锥曲线知识点总结6篇

圆锥曲线知识点总结6篇

圆锥曲线知识点总结6篇第1篇示例：圆锥曲线是解析几何学中非常重要的概念，它们分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。

在数学中，圆锥曲线具有丰富的性质和应用，掌握其基本知识对于理解其在几何、物理、工程等多个领域的应用至关重要。

本文将对圆锥曲线的基本性质和特点进行详细总结。

我们从圆锥曲线的定义入手。

圆锥曲线是平面上一点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比为常数的点的轨迹。

根据这个定义，椭圆的准线是实直线，双曲线的准线是虚直线，而抛物线的准线是平行于其自身的直线。

椭圆是圆锥曲线中最简单的一种。

椭圆的定义是到焦点和准线的距离之比小于1的点构成的轨迹。

椭圆具有对称性，其焦点到准线的垂直距离之和恒等于两焦距之和，这个性质被称为焦点定理。

椭圆还有面积、周长等重要性质，在几何中有重要的应用。

抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种，其定义是到焦点和准线的距离相等的点构成的轨迹。

抛物线具有对称性，其焦点到准线的垂直距离恰好等于焦距。

抛物线是一种非常重要的曲线，常见于物理学和工程学中的抛物线运动、光学、无线电通信等领域。

除了上述基本性质外，圆锥曲线还有许多重要的定理和性质。

焦点、准线、焦距、离心率等概念是理解圆锥曲线的重要基础。

圆锥曲线的方程形式也是研究和应用圆锥曲线的关键，椭圆和双曲线的标准方程分别为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1和x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，而抛物线的标准方程为y^2 = 2px。

圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，掌握其基本性质和定理对于理解几何学、物理学和工程学中的问题有重要意义。

通过对圆锥曲线的学习，我们不仅可以深入理解几何形体的性质，还可以应用圆锥曲线的知识解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。

加强对圆锥曲线知识的学习和应用是十分必要的。

第2篇示例：圆锥曲线是解析几何中最重要的一类曲线，它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种。

这些曲线在数学和物理学等领域中有着重要的应用，是我们熟悉的常见数学概念之一。

用三角函数定义巧证有心圆锥曲线的一类美丽性质

用三角函数定义巧证有心圆锥曲线的一类美丽性质
2 2
C2：4x2+y2=1，若M、N分别是 C 1、C 2上的动点，且 OM ⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.
解 ：由定理 4 （ 2） （ 由 λ =2，μ =-1，λ′ =4，μ′ =1，得 λ +μ′ =
定理4：若动点A、B分别在定曲线λx +μy =1、λ′x +μ′y =
2
2
3 λ′+μ=3），可立得点O到直线MN的距离是 姨 . 3
1
联立以上两式，便得欲证. （ 2）设Rt△OAB的斜边AB上的高为OH，则：
2 2 |OA|· |OB|2 |OA|· |OB|2 |OH | = = = 2 2 |AB| |OA| +|OB|2 2
姨 7 ，S荀A B A B =2S 荀B F B F . （ 1）求椭圆C的方程. （ 2）设 n 是过原点的直 线，l 是与 n 垂直相交于 P 点、 =
解： （ 1）
摇 y2 3 =1 （ a>0，b>0）的离心率为 姨 3 ，右准线方程为x= 姨 . b2 3 （ 1）求双曲线C的方程； （ 2）设直线l 是圆 O：x2+y2=2上动点 P （ x0，y0） （ x0y0≠0） 处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，证明∠AOB 的大小为定值. y2 解： （ 1）x2- =1. 2 1 （ 2）由定理 5 （ 由 λ =1，μ =- ，得坐标原点 O 到直线 2 摇 1 AB的距离是 姨 2 = 摇 ）中的 “ 圯”可得∠AOB=90°. 姨λ+μ
摇 |y| =1 （ a>b>0）所围成的封闭图形的面积为4 姨 5 ，曲线 b 摇
姨
2 5 C1的内切圆半径为 姨 . 记C 2为以曲线C 1与坐标轴的 3 交点为顶点的椭圆. （ 1）求椭圆C 2的标准方程； （ 2）设AB是过椭圆C 2中心的任意弦，l是线段AB的垂 直平分线，M是l上异于椭圆中心的点， 若M是l与椭圆C 2 的交点，求△AMB的面积的最小值.

圆锥曲线的一个优美性质

圆锥曲线的一个优美性质

圆锥曲线的一个优美性质摘要：解析几何是用代数方法研究几何问题的重要学科.解析几何中的直线过定点问题，有关定值（最值）问题正在成为各级考试的热点，备受命题者的青睐.本文利用研究圆锥曲线性质的一般方法：设方程，联立方程组，消元，利用一元二次方程根与系数的关系以及设而不求法，得到了圆锥曲线中满足一定条件的直线过定点的一组优美的统一性质.圆锥曲线有着众多的优美性质，只要我们善于探究和思考，就会发现它，它如同一道美丽的风景愉悦了我们的身心.在对圆锥曲线的研究中，笔者发现圆锥曲线的一组优美统一的性质，现叙述如下：性质1 设A，B是抛物线y2=2px（p>0）上异于原点O的两个不同点，直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，且α+β=，则直线AB恒过定点M （-2p，0）.证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1x2≠0，所以直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+b，则将y=kx+b与y2=2px联立消去y，得k2x2+（2kb-2p）x+b2=0，由韦达定理得x1x2=. 当α+β=时，tanαtanβ=1，所以・=1，即x1x2=y1y2. 又y1y2==2p，所以=2p，=2p，b=2pk. 因此直线AB的方程为y=kx+2pk，即y=k（x+2p）. 所以直线AB恒过定点M（-2p，0）.性质2设A，B是椭圆+=1（a>b>0）上异于顶点A1（-a，0）的两个不同点，直线A1A，A1B的倾斜角分别为α，β，且α+β=，则直线AB恒过定点M-，0.证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1≠-a，x2≠-a，所以直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+t，则将y=kx+t与+=1联立消去y，得b2x2+a2（kx+t）2-a2b2=0，整理得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0. 由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1y2=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=.又因为α+β=，所以tanαtanβ=1，从而・=1，即x1x2+a（x1+x2）+a2=y1y2. 又将x1+x2=，x1x2=，y1y2=代入上式并整理得（t-ak）[（a2-b2）t-ak（a2+b2）]=0，易知t-ak≠0，所以t=，因此直线AB的方程为y=kx+。

圆锥曲线的准圆(线)的一个漂亮性质

圆锥曲线的准圆(线)的一个漂亮性质

我很惊讶． 连连称赞她的解法新颖独到 这是一种逆向思维 的完美展 现— 巴 一元二 次不等式 的求解 过程一步 步倒 回去
了！
新课程倡导学生自主学习． 合作探究等多样的学习方式， 在
积极 主动的学习过程中建构 自己的知识和能力 ．并养成独立思 考、 合作 交流、 积极探 索的 良好习惯和品质。 案例 ２ ： 对数 的概 念 和运 算 。 这始终是学生的薄弱之处 ，经常会看到诸如 １ ｇ ５ ＋ ｌ ＝ １ 的 式子． 令人哭笑不得。为什么呢？ 说到底 ， 还是对数的概念和运算 法则理 解 不透 。 所以 ． 要 特 别重视 让 学 生经历 和 感知 对数 引入 的 必要性、 对数 的意义和对数运算法则 ， 并将其 内化为 自己的发现 和知识 对数的运算法则的探究。 我设计 了如 下几个环节： １ ． 猜想： （ １ ） ｌ ｇ ５ ＋ ｌ ＝ ？ （ ２ ） １ ｇ ５ — １ ＝ ｝ ［ 学 生基 本 都猜 １ 和 ＿ ３ ， 这是学生的第一反应 ， 也是 已有知识的一种 负迁移１
验 与“ 新 知” 相 互作 用 ． 更 能促成 知识 的 正 迁移 案例 ４ ： 已知 函数 ｆ （ ＿ ｘ ） ＝ ｘ ３ 一 ｘ ａ － ２ ｘ ＋ ｃ ， 对 任 意 的 ｘＥ卜１ ， ２ １ ，
‘ 。
不等式 ｆ （ Ｘ ） ＜ ｃ ｚ 恒成立 ， 求Ｃ 的取值范围。 初 次接 触 此 类 问题 ， 学 生不 理 解“ 恒成 立 ” 的含 义 ． 往往 会 无 从下手 因此． 我模拟了“ 姚明和全班 同学比身高” 的情景。 我 问： “ 姚明的身 高比我们班每个 同学的身 高都 高．这是事 实吧？” 同学们 点头笑。 我又说 ： “ 那如何证明呢？假如． 姚明就站 在我身边． 我们请每个同学都过来和姚 明比比高矮 ” 我开始模拟 比高矮的过程 ， 并公布 着结果 ： “ １ 号同学， 矮； ２ 号 同学， 矮； ３号 同学 ， 矮． ． ＿ …． ” 同学们笑 了。很快有同学高喊 ： “ 不用那么费事 ！ 让× × 同学和姚 明比比就行 了。 ” × × 同学是班里最高的同学 我 笑 着问： “ 大家同意吗？” “ 同意 ！ ” 同学心领神会 的说 我趁热打铁 ： “ 姚 明比全班每个同学都 高． 就是说全班最高的同学都 比他矮 对 吧？ 请 大家再来审视刚才这道题， 你有什 么发现？ ” 学生恍 然大悟 ． 对任意的ｘ∈卜１ ， ２ ］ ， 不等式 ｆ （ Ｘ ） ＜ ｃ 恒成立， 就意味着 ｆ （ ． ｘ ） ｔ 女 值 ＜ ｃ ２ ， 从 而将 问题 转化 为“ 求 函数 在给 定 闭 区间上 的最 大值 问题 ”

圆锥曲线的性质及应用

圆锥曲线的性质及应用

圆锥曲线的性质及应用作者：李卓阳来源：《数码设计》2018年第13期摘要：圆锥曲线问题是几何学习当中的非常重要的一部分。

在高中数学当中，圆锥曲线问题也占了很大的比例。

本文对圆锥曲线常见的题型分类进行总结，并总结了圆锥曲线的性质，最后，对于圆锥曲线在生活中的应用进行简单的说明。

关键词：圆锥曲线;性质;应用中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1672 - 9129（ 2018 ）13 - 0127 - 011引言圆锥曲线的性质及其运用是高中数学所学知识当中最重要的题型之一。

他也是个大考试题型当中最常考的一个知识点。

因为圆锥曲线的性质比较多，而且他能够与其他知识进行很好的结合，所以它也成为许多出题人每年都必出的一道题型。

本文就从圆锥曲线的分类，性质出发，对圆锥曲线在生活中的应用进行详细的阐述。

2圆锥曲线的分类，性质及应用2.1圆锥曲线的常见题型分类。

（1）求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围。

在解决这类型问题时，最简单的方法就是直接用定义，而在大多数的题型中，并没有直接给到我们所需要的a和c，的值。

所以我们会选择用更多其他的方法来解出a和c，的值或者是与a和c有关的关系式。

其次就是可以根据直线与圆锥曲线的位置为背景，设而不求确定e的方程。

再求解的e的取值范围时，我们更多的是去构造不等式来确定e的取值范围。

（2）求圆锥曲线上点的坐标。

求圆锥曲线上点的坐标一般用的是联立方程的方法。

我们都知道圆锥曲线与直线的位置关系结果就是可能有一个交点，或者是两个交点，或者没有交点。

所以当联立一个方程组之后，会得到一个方程式。

我们可以根据方程式去求△的值，比较它和零的大小，若是大于O的话，则说明有个不同的交点，如果是等于O说明有一个交点，那么小于0的时候，就没有交点。

然后在通过韦达定理进行进一步的计算，下面通过一个简单地例题来求在圆锥曲线上的一个点。

（3）求最值。

求最值的问题一般是出现在大题当中，最后的压轴题当中。

圆锥曲线论


谢谢观看
通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。 椭圆的通径： 双曲线的通径： 抛物线的通径：2p
中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程： 1、联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次 方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，再由中点坐标公式和两根之和的具体数值，求 出该弦的方程。 2、点差法（代点相减法） 设出弦的两端点坐标(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得 [ ( x ₁ + x ₂ ) ( x ₁ - x ₂ ) ] / a ²+ [ ( y ₁ + y ₂ ) ( y ₁ - y ₂ ) / b ²] = 0 由斜率为(y₁-y₂)/(x₁-x₂），可以得到斜率的取值（使用时注意判别式的问题）
极坐标方程
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中l表示半径，e表示离心率； 2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex(PF1>PF2)； |PF2|=a-ex(PF2<PF1)。 双曲线 P在左支，|PF1|=-a-ex，|PF2|=a-ex； P在右支，|PF1|=a+ex，|PF2|=-a+ex； P在下支，|PF1|= -a-ey，|PF2|=a-ey； P在上支，|PF1|= a+ey，|PF2|=-a+ey。 抛物线

圆锥曲线的定义与性质高考资料高考复习资料中考资料

圆锥曲线的定义与性质曲线名称圆（Circle）椭圆（Ellipse）双曲线（Hyperbola）抛物线（Parabola）标准方程x2+y2=r2（r>0）x y22221+=（a>b>0）a bx y22221-=（a,b>0）y2=2px（p>0）a bP P A抛物线的切点弦性质PF1+PF2=2a P PF1-PF2=2a抛物线的切点弦中点与极定义AF1BF2F1F2（2a>F F）12F1F2（0<2a<F F）12P M2M1B点连线的中点在抛物线上；特别地，若切点弦过抛物线体系PF1PF2=l（ l>0且 l¹1）焦点三角形面积qS=b2tan△PF F122焦点三角形面积qS=b2cot△PF F122焦点 F，则ÐAPB为直角且PF^AB一P光学性质O切线方程x x+y y=r200F1F2切线方程x x y y002+2=1a bF1F2F切线方程x x y y02021-=a b切线方程y y=p x+x()00从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延从圆心射出的光线的反射光线仍经过从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行焦点长线经过另一个焦点圆心P等张角线极坐标方程r=ep1-ecosq体系二对线段 AB张角相同的点的轨迹HlP PFPH=e PlHPFPH=eHlPA B PF=PH通径长F FF通径长通径长d=2p 2b2d==2epa2b2d==2epa体系BO定义1k×k=-PAPBAPAOPBk×k=-PAPBb2a2AOPBk×k=PAPBb2a2直线与圆锥曲线弦长公式!l=1+k x-x=1+m y-y=n×t-t22121212面积公式三垂径定理AMOBk×k=-1OMABAMOBba22k×k=-OM AB1AOM Bk×k=OMABb2a211212S=底×高 =水平宽×铅直高=l lsinq212位置关系椭圆的等效判别式 D=a2A2+b2B2-C2双曲线的等效判别式2(2222)D=C-a A-b B圆锥曲线的解题常见思路关键词一般情况过定点的直线弦长面积点与曲线的位置关系★引入参数控制运动，以交点坐标★弦长公式★利用共线或平行条件进行等积★将点代入圆锥曲线方程中再将定点在y轴上时用斜截式表示定点在x轴上时用倒斜横截式表示为中间变量表示其他所有几何量★两点间距离公式变换方程改写为不等式定点不在轴上时用参数方程表示★利用直线方程消去纵（横）坐标★三角形面积公式★若方程Px2+Qx+R=0的两根提示→将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标时，两根之差为x-x=12DP★四边形的面积公式12l l sinq12★四边形的对角线往往是相关的有时也直接求解坐标★注意参数的取值范围，需要保证★面积比往往转化为共线线段比直线与圆锥曲线相交关键词直线与圆锥曲线的位置关系焦点中点定比分点共线、平行、垂直★联立直线与曲线方程后通过判★两个焦点→体系一★注意取中点构造中位线★弦所在直线过焦点时，可补对应★利用斜率或向量表示别式判断★一个焦点★中点坐标公式★共线也可以利用点在另外两点准线后构造相似三角形提示★直接利用等效判别式判断→补焦点→体系一→补准线→体系二xx+x y+y=12，12y=22★利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化．所确定的直线上表示★注意利用极坐标方程★“x=a x（a¹-1）”21Û2æx+xöx x a．=ç12÷121èøa+关键词以AB为直径的圆过C垂直平分线关于直线…对称关于原点对称的两点与原点连线相互垂直★以AB为直径的圆过C★P在AB的垂直平分线上★A、B关于l对称★有关斜率的问题→体系三★利用相关直线设直线斜率ÛÐACB=90°ÛPA=PBÛl是AB的垂直平分线★注意取中点构造中位线★化齐次联立ÛMC=MA（M为AB中点）ÛPM^AB（M为AB中点）★注意对称变换下的几何不变量提示★斜率的比值计算可以平方后用★注意“姐妹圆”圆锥曲线的方程进行整理111=+r a b222R=a+b 222关键词与定点的两连线垂直向量的运算成锐角（直角、钝角）过…与…交点的曲线其他★利用相关直线设直线斜率★向量数乘→共线★转化为向量夹角★利用交点曲线系得到曲线方程★当运动由圆锥曲线上的单点驱向量和差→平行四边形法则借助向量数量积的符号判断动时注意利用圆锥曲线的参数方程★平移坐标系转化为与原点的连向量相等→形成平行四边形★极限思想，利用切线方程得到定线相互垂直的问题向量数量积→投影长度提示点或定值的具体数据★利用仿射变换★在求形如()()x-t x-t的值时，12可以将方程整理为形如改造椭圆为圆改造斜交直线为垂直直线20A(x-t)+B(x-t)+C=的形式2。

圆锥曲线与“类准线”有关的一个统一性质

参考 文献 ［］ 小雄 ，孙惠 华 ．新课标 高 中数学竞 赛通 用教材 （ １ 蔡 高一 分册 ） ．杭州 浙 江大 学 出版社 ，２ ０ ０７
（ ）， ｎ 而ｎ 一 ａ＝ ａＩ＋ －
，
‘ ．
寺 ・ ． 一 ＋
圆锥 曲线 与 “ 类准线 ＂有关的一个统一性质
确 的为
Ａ． Ｚ ＂ １＞
＞
Ｃ．
＞ｒ ２＞
Ｄ・
＞ ＞
２１ ００年全国各省市的高考卷 ，归纳了“ 多思少算” 的 几种类 型 ， 旨在 抛 砖 引玉 ． １ ．观 察发 现 ，多思少 算 达 尔 文在 总结 自己的成 就 时 曾说 ，“ 我既 没有 突 出 的理 解 力 ，也没 有 过 人 的机 智 ，只 是 在观 察 那些 稍 纵 即逝 的事物 ，并对 其进 行 精确 的观察 的能 力 上 ，
性质 ３如 图 ３ ，已 知抛 物 线 Ｙ ＝２ ｘｐ＞０ ， ｐ（ ） Ｆ（ ０（ ｍ， ） ＞０ 是 抛 物线 的“ ） 类焦 点” ，点 是抛 物 线
Ｆ
Ｐ Ｎ 、
的顶 点 ， Ｊ 抛物 线 的“ Ｐ是 类准 线” ： ，Ｘ＝一 ｍ上任一 点 ， 抛物 线 的两条 切 线 Ｐ Ａ， Ｐ Ｂ与抛 物 线在 顶 点 处 的 切线 分别 相 交于 ，Ⅳ 两 点 ，则 ，Ｊ Ｖ两点 的纵 坐 标之 积为 定值 ．
彭 世金 湖 南省常 德市 第六 中学 （ １０３ ４ ５０ ）
由 根 与 系 数 的 关 系 得 ＋ ＝
。 ： ＝ ．
笔者通过对 圆锥 哇线的研究 ，得到圆锥 曲线与 ｂ
‘ ‘ 线” 类准 有关 的一个 统一 性质 ，现介 绍如 下 ． 性 质 １如 图 １ ，已知 椭 圆 Ｌ Ｚ Ｘ ＋ｙ

圆锥曲线焦点弦的又一优美性质

圆锥曲线焦点弦的又一优美性质圆锥曲线焦点弦的又一优美性质
圆锥曲线焦点弦是几何学中的一种基本曲线，由一条圆锥曲线以及两个以它为焦点的弦构成，有着另外一种神奇的性质。

首先，当两个弦上任意两点连线，内切曲线定点差值不大于弦距离的一半，它将会过该点，而该点的连线将是弦的平行线，这就是所谓的Pappus点的定义。

此外，当两个弦上任意点连线，延长着的曲线会穿过圆锥曲线的其他三顶点，这就是所谓的Pascal三等分点定义。

也就是说，两个相邻的弦上任意点连线，将会穿过圆锥曲线的另一顶点，而该点来自另一条弦。

再者，当有任意三点在弦上，以两个点之间线段为直径圆上有着另外一点，该点与两个点连线组成的曲线含有另外一条相交的弦，而且被称为Steiner的内接圆三分点，即内接圆距离弦等于弦的四分之一。

以上便是圆锥曲线焦点弦的又一优美性质。

它是几何学中又一个奇妙的定理，它生动写明了圆锥曲线之间及其和弦之间的相互关系及特殊性，使这个定理有其美感，受到国内外数学研究者的关注和好评。

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圆锥曲线的准圆（线）的一个漂亮性质
作者：段留安
来源：《课程教育研究·中》2014年第09期
【摘要】类比推理就是根据两个或两类对象在某些关系或性质上相同或相似，通常这些另外的关系或性质为类比的对象之一所具有，而在另一类比对象那儿尚未发现。

运用类比推理来启发所要研究的对象具有某种关系或属性的方法称为类比法。

通过类比，可以大胆猜想结论，进而可以去证明。

【关键词】准圆 ;准线 ;切线 ;垂直
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0146-02
圆、椭圆、双曲线和抛物线为什么叫圆锥曲线而不叫圆柱曲线呢？这是因为这三种曲线是由圆锥被不同位置的平面所截得到的。

既然是同根生，它们应该具有相同的或相似的性质，抛物线和准线有密切的关系，那么椭圆、双曲线和准圆应该有怎样的密切关系呢？
【猜想1】给定椭圆C：+=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”，点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求证：l1⊥l2.
证明：①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=a或x=-a。

当l1方程为x=a时，此时l1与准圆交于点（a，b），（a，-b）此时经过点（a，b）（或（a，-b））且与椭圆只有一个公共点的直线是y=b（或y=-b），即l2为y=b（或y=-b），显然直线l1，l2垂直;同理可证l1方程为x=-a时，直线l1，l2垂直。

②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2+b2，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0联立y=kx+m+=1消去y得到
（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0，△4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）=0.经过化简得到：a2k2+b2-m2=0，把m=y0-kx0代入得，（a2-x）k2+2x0y0k+b2-y02=0. 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程，所以
k1k2===-1，即l1⊥l2.
【总结】猜想1证明的思路是①设点P的坐标和切线直线方程②联立消元③利用判别式△=0得到关于斜率k的一元二次方程④利用韦达定理整体求出k1k2，再利用点P在准圆上消去一个坐标得到结论。

但如果设切线方程时用直线的点斜式，这样在后面的联立消元和计算判别式时计算量很大，很多学生不堪忍受如此复杂的计算，所以可以先设切线方程的斜截式
y=kx+m，其中m=y0-kx0，计算判别式得到a2k2+b2-m2=0后再把m=y0-kx0代入，这样做计算量很小，这一技巧值得关注。

其次，是以椭圆焦点在x轴上时，过准圆上任一点P作椭圆的两
条切线，则两切线相互垂直;当椭圆焦点在y轴上时，同理可证这一性质也成立，于是有下面的结论1。

【结论1】过椭圆的“准圆”上任一点P作椭圆的两条切线，则两切线相互垂直。

那么作为有心二次曲线的双曲线是否也有“准圆”呢？如果有，是否也有相应的漂亮性质呢？
【猜想2】给定双曲线C：-=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是双曲线C的“准圆”，点P是双曲线C的“准圆”上的一个动点，过点P作双曲线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2
【证明】①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与双曲线相切，则其方程为x=a或x=-a。

当l1方程为x=a时，此时l1与准圆无交点;当l1方程为x=-a时，此时l1与准圆无交点。

②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2-b2，设经过点P（x0，y0），与双曲线相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0则y=kx+m+=1，消去y得到（b2-a2k2）x2-
2a2mkx-a2（m2+b2）=0，△=4a4m2k2+4a2（b2-a2k2）（m2+b2）=0，化简得：b2+m2-
a2k2=0，把m=y0-kx0代入得，（x-a2）k2-2x0y0k+b2+y02=0设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与双曲线都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程，所以k1k2===-1，即
l1⊥l2.
【结论2】过双曲线的“准圆”上任一点P作双曲线的两条切线，则两切线相互垂直。

特别注意：椭圆C的“准圆”半径为，双曲线C的“准圆”半径为;双曲线C：-=1中对a，b 的限制是a>b>0而非a>0，b>0.椭圆和双曲线的“准圆”相当于抛物线的准线，那么抛物线的准线是否也有相应的性质呢？
【猜想3】给定抛物线C：y2=2px（p>0，点P是抛物线C的准线l：x=-上的一个动点，过点P作抛物线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2.
证明：由题意知两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0，设经过点P（x0，y0）（其中
x0=-）与抛物线C的相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0，联立y=kx+my2=2px，消去y得到k2x2+2（mk-p）x+m2=0，△=4（mk-p）2-4m2k2=0，经过化简得到：2mk-p=0，把 m=y0-kx0代入得2x0k2-2y0k+p=0.设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与抛物线相切，所以k1，k2满足上述方程，所以k1k2===-1，即l1⊥l2.
【结论3】过抛物线的准线上任一点P作抛物线的两条切线，则两切线相互垂直。

行文至此，我们完成了对三类圆锥曲线横向的类比，而且证明了圆锥曲线准圆（线）的一个漂亮性质：过准圆（对于椭圆和双曲线而言）或准线（对于抛物线而言）上任意一点作相应圆锥曲线的两条切线，则两切线垂直。